第七章 第二节二重积分的计算(1)共16页

D
∫ ∫ b
d
= a ( f1( x) ⋅ c f2( y)dy )dx
∫ ⋅∫ 得 =
b
a f1( x)dx
d
c f2( y)dy
即等于两个定积分的乘积.
7
二重积分的计算法
X型区域的特点: 穿过区域且平行于y轴的直线 与区域边界相交不多于两个交点.
Y型区域的特点: 穿过区域且平行于x轴的直线 与区域边界相交不多于两个交点.
0
0
0
y
∫ ∫ =
a 0
f
( y)⋅
x
a y
dy
=
a
O
(a − y) f ( y)dy
0
•(a,a)
a
x
∫a
= (a − x) f ( x)dx 0
证毕.
21
二重积分的计算法
立体顶部 x2 + z2 = R2
例 求两个底圆半径为立R体,且底这部两x个2 圆+ 柱y2面= 的R2方程
分别为 x2 + y2 = R2及 x2 + z2 = R2 .求所围成的
x2
y +
y
2
⎟⎞ ⎠
=
f ( x, y),
∫ ∫ 故
1
f ( x, y)dy =
0
1 ∂ ⎜⎛ 0 ∂y ⎝
x2
y +
y2
⎞⎟ dy ⎠
=
x2
y +
y2
1 0
=
x
1 2+
; 1
∫ ∫ ∫ 所以 I1 =
1
1
dx f ( x, y)dy =
0
0

探索二重积分在几何问题中的应用，如面积和体积计算。
二、计算方法
1
1. 积分区域为矩形或直角梯形
学习如何计算矩形或直角梯形形状的积
2. 积分区域为一般图形
2
分区域。
掌握将一般图形的积分区域化为标准形
式来计算二重积分。
3
3. 二重积分的性质
了解二重积分的线性性质、区域可加性 质、乘性质和区域可减性质。
七、问题解答
回答大家在学习过程中遇到的问题，确保所有疑惑都得到解答。
八、结束语
恭喜您完成了本次《二重积分计算》的课程！希望本课件对您的学习有所帮 助，继续努力，探索更多数学的奥秘！
作业练习
通过练习题检验你对二重积分 计算的理解和掌握程度。
五、实践案例
工程实践中的二重积分
了解工程实践中如何应用二重积 分解决实际问题。
统计学中的二重积分
探索统计学中如何利用二重积分 分析数据和概率分布。
建筑设计中的二重积分
了解建筑设计中如何应用二重积 分计算面积和体积。
六、扩展阅读
进一步探索二重积分的相关知识和应用领域，拓宽你的数学视野。
三、应用
质心和重心
探索如何利用二重积分计算物体的质心和重心坐标。
面积和弧长
了解如何通过二重积分计算图形的面积和曲线的弧长。
积分坐标变换
学习如何应用坐 技巧
总结二重积分的计算方法，掌 握其中的技巧和要点。
小结
回顾课程的重点内容，帮助你 巩固所学知识。
《二重积分计算》PPT课 件
欢迎大家来到《二重积分计算》的课件！本课程将带您深入了解二重积分的 基本概念、几何意义和计算方法。让我们一起开始探索吧！
一、概述
什么是二重积分

D
曲面 zf( x ,y ) 为曲顶柱体的体积．
用平面x=x0截立体， z 截得A(x0). 应用计算 “平行截面面积为 已知的立体求体积” y 的方法, y ( x ) 2
bx0 )
a
x
y ( x ) 1 得 f ( x , y ) dxdy dx ( x , y ) dy . f
1 2 2
x e dxdy ( 0 , 0 ), ( 1 , 1 ), 例 5 求 ， 其 中 D 是 以
D
2 2 y
( 0 , 1 ) 为 顶 点 的 三 角 形 .
e dy 解 无 法 用 初 等 函 数 表 示
积 分 时 必 须 考 虑 次 序
2 y
x e
D
1 0
第二节
二重积分的计算方法
二重积分的计算可以按照定义来进行， 同定积分按照定义进行计算一样，能够按照 定义进行计算的二重积分很少，对少数特别 简单的被积函数和积分区域来说是可行的， 但对于一般的函数和积分区域却不可行。 本节介绍一种计算二重积分的方法—— 把 二重积分化为二次单积分（定积分）来 计算。
2 a 2 a
2
dy x ,y ) dx . dy ( x , y ) dx y f( 2 2f a 0 a a y
2 a
2a
D ( x y ) dxdy 例 4 求 ， 其 中 是 由 抛 物 线
2
y x x y 和 所 围 平 面 闭 区 域 .
根据二重积分的几何意义：二重积分是以 为顶的曲顶柱体的体积。故可以考虑用定积分应用中求 平行截面面积为已知的立体的体积的方法。
zf (x ,y )
o
a
dx x x

即等于两个定积分的乘积.
例2 求 x2e y2dxdy, 其中D 是以 (0,0),(1,1),(0,1)
D
为顶点的三角形.
解 因 e y2dy 无法用初等函数表示,
所以, 积分时必须考虑次序.
x2e y2dxdy
1
dy
y x 2e y2 dx
0
0
D
e1 y2
y3 dy
1
1 y2e y2dy2 1 1 2
Oa
b x Oa
bx
f ( x, y)d
b
dx
2 ( x) f ( x, y)dy
a
1 ( x)
D
3. 若区域如图, 则必须分割. 在分割后的三个区域上分别 使用积分公式. (利用积分区域的可加性)
y
D3
D1 D2
O
x
D
D1
D2
D3
例1 求 ( x2 y)dxdy,其中D是抛物线y x2和
0
3
60
6 e
例3 交换积分次序:
1
2 x x2
2
2 x
0 dx0
f ( x, y)dy 1 dx0 f ( x, y)dy
y
解 积分区域:
y2 x
y 2x x2
O
1
2x
原式=
1
dy
2 y
f ( x, y)dx
0
1 1 y2
例4 计算积分 I
1
2 1
dy
1
y
y e x dx
(
x,
y)dx)dy
D
即
f y)dx.
D
c
1( y)

穿入穿出不唯一。
01
解
02
积分区域如图
01
积分区域如图
解
01
单击此处添加大标题内容
解
原式
例4. 计算
其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及
y＝x 所围的闭区域.
解法1. 将D看作X–型区域, 则
解法2. 将D看作Y–型区域, 则
例5. 计算
其中D 是抛物线
所围成的闭区域.
解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分,
及直线
则
例6. 计算
其中D 是直线
所围成的闭区域.
解: 由被积函数可知,
因此取D 为X – 型域 :
先对 x 积分不行,
说明: 有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序.
解: 由被积函数可知,
例7．求I=
取D 为X – 型域 :
因此取D 为Y – 型域 :
先对 y 积分不行,
例8．求I=
若D为Y –型区域
则
当被积函数
单击此处添加小标题
添加标题
10%
说明: (1) 若积分区域既是X–型区域又是Y –型区域 ,
为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序.
则有
(2) 若积分域较复杂,可将它分成若干
X-型域或Y-型域 ,
则
X型区域的特点： 穿过区域且平行于y 轴的
Y型区域的特点： 直线与区域边界相交不多于两个交点. 直线与区域边界相交不多于两个交点. 计算中的技巧（问题）： 、先画积分区域草图； 、有无奇偶对称性: 穿过区域且平行于x 轴的
第二节
二重积分的计算法 与直系下二次积分互化
由曲顶柱体体积的计算可知, 且在D上连续时, 若D为 X – 型区域

《二重积分的计算》PPT 课件
数学是一门追求完美和精度的学科。二重积分是数学中非常重要的知识点之 一。
问题引入
什么是二重积分？
介绍二重积分的基本概念和定 义。
为什么需要学习二重积 分？
探究二重积分在数学和物理领 域的应用。
二重积分和单重积分有 什么不同？
比较二者之间的异同，并解释 二重积分的意义。
二重积分的概念
定义
探究二重积分的定义和本 质特征。
性质
总结二重积分的性质，包 括可加性、线性性和积分 换元公式。
图形解释
通过几何图形展示二重积 分的本质和计算过程。
二重积分的计算方法
1
直角坐标系
介绍利用直角坐标系计算二重积分的步骤和方法。
2
极坐标系
介绍利用极坐标系计算二重积分的步骤和方法。
3
坐标系转换
将直角坐标系和极坐标系进行转换，让计算更加灵活和简便。
利用直角坐标系计算二重积分
基本思路
介绍利用矩形区域逐个计算的 方法和注意事项。
计算公式
列出矩形区域以及对应的积分 式，进行逐步计算。
曲线分割
对于曲线较为复杂的曲面，可 以对其进行曲线分割求积分。
利用极坐标系计算二重积分
1 基本思路
2 计算公式
总结和展望
总结
总结二重积分的基本概念、计算方法和应用，强化学习效果。
展望
介绍在三维坐标系中，如何推广二重积分，探究其更加广泛的应用场景。
介绍利用极坐标系逐个 计算的方法和注意事项。
列出极坐标系下的积分 式，进行逐步计算。
3பைடு நூலகம்极坐标系下的体积
计算
通过利用极坐标系计算 出空间曲面的体积。

D
ϕ 1 (θ ) ≤ r ≤ ϕ 2 (θ ).
o
βα
A
∫∫ f ( r cosθ , r sinθ )rdrdθ
D
= ∫ dθ ∫
α
β
ϕ2 (θ )
ϕ1 (θ )
f (r cosθ , r sinθ )rdr.
区域特征如图
r = ϕ1(θ )
D
α ≤θ ≤ β,
r = ϕ2 (θ )
ϕ 1 (θ ) ≤ r ≤ ϕ 2 (θ ).
第二节 二重积分的计算方法
二重积分的计算可以按照定义来进行， 二重积分的计算可以按照定义来进行， 同定积分按照定义进行计算一样， 同定积分按照定义进行计算一样，能够按照 定义进行计算的二重积分很少， 定义进行计算的二重积分很少，对少数特别 简单的被积函数和积分区域来说是可行的， 简单的被积函数和积分区域来说是可行的， 但对于一般的函数和积分区域却不可行。 但对于一般的函数和积分区域却不可行。 本节介绍一种计算二重积分的方法—— 本节介绍一种计算二重积分的方法 二重积分化为二次单积分（定积分） 把 二重积分化为二次单积分（定积分）来 计算。 计算。
z = f (x, y)
o
a
x
x + dx
b
x
a
o
已知平行截面面积 A ( x ) 的立体的体积
α
y
x
b
x
V = ∫a A(x)dx.
b
y
o
x
a
b
x
∵ 当 f ( x , y ) > 0时 , ∫∫ f ( x , y )dxdy 的值等于以 D 为底，以 为底，
D
为曲顶柱体的体积． 曲面 z = f ( x , y ) 为曲顶柱体的体积．

二重积分运算
二重积分运算是微积分中的一个重要概念，它是对二元函数在一个有限区域内的积分运算。

在实际应用中，二重积分运算被广泛应用于物理、工程、经济学等领域，是解决实际问题的重要工具。

二重积分运算的定义是：设f(x,y)在闭区域D上连续，则在D上的二重积分为：
∬Df(x,y)dxdy
其中，D表示二元函数f(x,y)的定义域，dxdy表示对x和y的积分运算。

二重积分运算的结果是一个数值，表示在D上f(x,y)的积分值。

二重积分运算的计算方法有两种：直接计算和变量代换法。

直接计算法是将二元函数f(x,y)在D上分割成若干个小区域，然后对每个小区域进行积分运算，最后将所有小区域的积分值相加得到二重积分的结果。

变量代换法是将二元函数f(x,y)在D上的积分转化为在另一个区域上的积分，然后再进行计算。

二重积分运算在实际应用中有着广泛的应用。

例如，在物理学中，二重积分运算可以用来计算物体的质心、重心、转动惯量等物理量；在工程学中，二重积分运算可以用来计算材料的强度、应力、变形等参数；在经济学中，二重积分运算可以用来计算市场需求、供给、价格等经济指标。

二重积分运算是微积分中的一个重要概念，它在实际应用中有着广泛的应用。

掌握二重积分运算的计算方法和应用技巧，对于解决实际问题具有重要的意义。

y x 4
x
例1.计算I ydxdy,其中D由x 2, y 0
D
y 2, x 2y y2围成
2
D
分析：注意到被积函数只与y有关 -2
0
解1：在直角坐标系下，先x对后对y积分
I
2
2 y y2
ydy
dx
2
y(2
2 y y2 )dy
0
2
0
2
2 ydy
2
y
2 y y2 dy 4
c
d
x 1( y)
c
D
x 2( y)
a、穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界的交点不
多于两个。b、1( y) 2( y).
(3)积分限的确定
1 若先对y后对x积分，则y的积分限可这样
确定：用平行于y轴的直线沿y轴方向穿过
区域，穿进的边界曲线 y f1( x) 为
下限，穿出的边界曲线 y f2 (x) 为
2 若D对称于y 轴，关于变量x被积函数 是奇函数， 其积分值为0；若是偶函数，其积分值两倍于x>0 的区域上的积分；
3 若x 交换 y, D不变，则 f ( x, y)dxdy f ( y, x)dxdy
D
D
(1) x2 ydxdy 0 D:0 x1,1 y1
(2) ( x x3 y2 )dxdy 0 D:x2 y2 4, y0
（2）根据被积函数及积分区域D的形状选择积 分次序:
* 如果D由上下曲线围成，一般先对y后对x积分, 此时各交点向x轴引垂线并确定垂足坐标；
* 如果D由左、右曲线围成，一般先对x后对y 积分，此时各交点向轴引垂线并确定垂足 坐标；
* 若D不是简单区域，用平行于坐标轴的直线穿 过区域时交点多于两个，或D内不同的两条平 行于坐标轴的直线穿过区域时会交于不同的两 条曲线，则要分块积分，此时各交点向坐标轴 引垂线（若要对y积分，交点向x轴引垂线, 若要对x积分，交点向y轴引垂线）. * 如果被积函数是x的不可积函数，则先对y后 x积分；是y的不可积函数时，则先对x后对y 积分； * 如果二重积分是以二次积分的形式给出的， 一般要更换积分次序。

第二节二重积分的计算二重积分是微积分中的重要内容之一，用于计算在二维区域上的函数的平均值、面积、质心等物理量。

本文将介绍二重积分的计算方法，并以具体的例子说明。

在介绍二重积分的计算方法之前，我们先来回顾一下一重积分。

一重积分是对一维区间上的函数进行求和的过程。

对于一维区间[a,b]上的函数f(x)，可以将区间[a,b]分成无数个小区间，然后计算每个小区间上的函数值与区间长度的乘积，并将所有结果相加。

数学表示为：∫f(x)dx = lim(n->∞) Σ f(xi)Δx其中lim(n->∞)表示极限，Σ表示求和，xi表示区间的随机点，Δx表示区间的长度。

而二重积分是对二维区域上的函数进行求和的过程。

对于二维区域D 上的函数f(x,y)，可以将区域D分成无数个小区域，然后计算每个小区域上的函数值与小区域面积的乘积，并将所有结果相加。

数学表示为：∬f(x,y)dxdy = lim(m,n->∞) Σ Σ f(xi,yj)ΔxΔy其中lim(m,n->∞)表示极限，Σ表示求和，xi和yj表示区域的随机点，Δx和Δy分别表示小区域在x轴和y轴方向上的长度。

二重积分的计算方法有两种：直角坐标系下的二重积分和极坐标系下的二重积分。

首先介绍直角坐标系下的二重积分的计算方法。

在直角坐标系下，二重积分的计算可以通过将区域D投影到x轴和y轴上得到：∬f(x,y)dxdy = ∫[a,b]∫[c,d]f(x,y)dxdy其中[a,b]是区域D在x轴上的投影区间，[c,d]是区域D在y轴上的投影区间。

接下来我们以具体的例子说明直角坐标系下的二重积分的计算方法。

考虑函数f(x,y)=x^2+y^2在区域D:0≤x≤1，0≤y≤2上的二重积分的计算。

首先我们将其投影到x轴和y轴上，得到[a,b]=[0,1]和[c,d]=[0,2]。

然后我们可以计算二重积分：∬f(x,y)dxdy = ∫[0,1]∫[0,2](x^2 + y^2)dxdy内层积分∫(x^2 + y^2)dx的结果为(x^3/3 + xy^2)，[0,1] = (1/3 + y^2/3)，将其带入到外层积分∫(1/3 + y^2/3)dy中，得到：∫[0,2](1/3 + y^2/3)dy = (y/3 + y^3/9)，[0,2] = (2/3 + 8/9)- (0/3 + 0/9) = 2/3 + 8/9 = 26/9所以，函数f(x,y)=x^2+y^2在区域D:0≤x≤1，0≤y≤2上的二重积分的结果为26/9接下来我们介绍极坐标系下的二重积分的计算方法。

《二重积分计算法》PPT 课件
本课件旨在介绍和探讨《二重积分计算法》这一重要课题。我们将从引入和 定义开始，逐步探讨二重积分的计算方法，并探索其在几何学和物理学中的 应用。
导入和目录
• 介绍课题 • 目标和结构
一、二重积分的引入和定义
单纯形的概念
通过引入单纯形的概念，我们可以更好地理解二 重积分的定义和性质。
二重积分的定义和性质
探讨二重积分的定义以及它的基本性质，为后续 的计算方法打下基础。
二、二重积分的计算方法
直角坐标系下的计算
介绍在直角坐标系下计算二重积分的方法和技巧， 并举例说明。
极坐标系下的计算
讨论在极坐标系下计算二重积分的方法和技巧，并 通过实例加深理解。

三、应用实例
1
二重积分在几何学中的应用
探索二重积分在几何学中的实际应用，如计算平面区域的面积和质心。
2
二重积分在物理学中的应用
讨论二重积分在物理学中的应用，如计算质量分布和质心位置。
四、总结和展望
学习二重积分的意义
总结学习二重积分的意义，以及掌握这一知识的 重要性。
下一步的学习方向
展望下一步学习方向，鼓励学生继续深入探索与 求数学知识。

D 8 y2
2
0 d y f ( x, y)d x
2y
y x2 y2 8
2
yLeabharlann 1 2x2 D1 D2
o 22 2 x
12
例 7
改变积分
2a
dx
0
2ax
2axx2 f ( x, y)dy (a 0)
的次序.
解
2a
y 2ax
a
y 2ax x2 x a a2 y2
a 2a
= 原式
a
a a2 y2
dy
0
y2
f ( x, y)dx
2a
a
2a
dy
0
a
a2 y2
f ( x, y)dx
2a
dy
a
2a
y2 f ( x, y)dx.
2a
13
例 8
1
计算积分 I 2 dy
yy
1
e xdx dy
yy
e xdx .
1
1
4
2
1 2
y
y
解 e xdx 不能用初等函数表示
先改变积分次序.
RD
8 (R2
x2 ) dx
16
R3
0
3
0
16
0
D
(0,1)为顶点的三角形.
解 e y2dy 无法用初等函数表示
积分时必须考虑次序
x2e y2dxdy
1
dy
y x2e y2dx
00
D
e1 y2
y3 dy
1 y 2 de y2
1 (1 2).
0
3
06
6e
10

xyc1(yy )D1x (x )2(y)
oa x bx
为计算方便,可选择积分次序, 必要时还可交换积分次序.
(3) 若积分域较复杂,可将它分成若干 X-型域或Y-型域.
y D2
D1 D3
D
D 1
D 2
D 3
o
x
9
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10/26
【例1】 计算 xyd,其D 中 ：y由 2x及
d
x1(y) D x2(y)
c
d
x1(y) D
c
x2(y)
【Y—型区域的特点】穿过区域且平行于x 轴的
直线与区域边界相交不多于两个交点.
4
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5/26
(3)［既非X－型域也非Y－型域］如图
则必须分割.
在分割后的三个区域上分别都 是X－型域(或Y—型域)
D3 D1
D2
由二重积分积分区域的可加性得
y2(x)
D
y1(x)
a
b
y2(x)
D
y1(x)
a
b
其中函数1(x、) 在2(x区)间 上[a连,b续] .
【X—型区域的特点】 穿过区域且平行于y 轴的直 线与区域边界相交不多于两个交点.
3
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4/26
(2)［Y－型域］ cyd, 1 (y ) x 2 (y ).
72二重积分的计算法一
36、“不可能”这个字(法语是一个字 )，只 在愚人 的字典 中找得 到。--拿 破仑。 37、不要生气要争气，不要看破要突 破，不 要嫉妒 要欣赏 ，不要 托延要 积极， 不要心 动要行 动。 38、勤奋，机会，乐观是成功的三要 素。(注 意：传 统观念 认为勤 奋和机 会是成 功的要 素，但 是经过 统计学 和成功 人士的 分析得 出，乐 观是成 功的第 三要素 。

例1 计算 xyd , D 其中D为y2 =x 和y =x2 所围的闭区域.
解: D为X－型区域
D 0 x 1, x 2 y
1 x
2
x
xyd 0 dx x xydy
D
y 1 y=x2
y x
y 0 x dx 2 x
1 2
2
x
1 1 2 5 0 ( x x )dx 2
0 dx 0 f ( x , y )dy
y=x D x
1
1
x
f ( x , y )dxdy
D
0
0 dy y f ( x , y )dx
1 1
例5 改换二次积分 0 dy 0
1
2 y y2
f ( x , y )dx 的积分次序.
解： D : 0 x
2 y y2 ,0 y 1
x
z=f (x, y)
A( x)

D
2 ( x )
1( x)
f ( x , y )dy
f ( x , y )d
a [ ( x ) f ( x , y )dy ]dx
b
1
A( x)
1(x)
y
2(x)
2 ( x )
a dx ( x ) f ( x , y )dy
1 2
先交换交换顺序
1 1 cos 1 2
例7 计算I
x e
2 D
y2
dxdy ,
其中D为x 0, y 1, y x围成。
解 区域D既是X－型，又是Y－型的
e 的原函数不是初等函数。
y2
y
y=1