上海数学初三中考冲刺讲义5(几何证明)培优(教案)【陈玉婷】

ABCA 1B 1C 1相似三角形的判定是九年级数学上学期第一章第三节的内容，本讲主要讲解相似三角形判定定理3和直角三角形相似的判定定理，并进行了相似三角形判定的相关综合练习．重点是灵活运用相似三角形的各个判定定理，难点是相似三角形与分类讨论及函数思想的互相结合．1、相似三角形判定定理3如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．可简述为：三边对应成比例，两个三角形相似．如图，在ABC ∆与111A B C ∆中，如果111111AB BC CAA B B C C A ==，那么ABC ∆∽111A B C ∆．相似三角形的判定（二）内容分析知识结构模块一：相似三角形判定定理3知识精讲步同级年九2 / 22ABCDEABC D【例1】 ABC ∆的边长分别为a 、b 、c ，111A B C ∆的边长分别为a 、b 、c ，则ABC ∆与111A B C ∆（选填“一定”、“不一定”或“一定不”）相似．【难度】★★ 【答案】不一定．【解析】若a b c ==时，相似；若a 、b 、c 中有两个不等，那么它们就不相似． 【总结】本题考查相似三角形的判定定理3，同时穿插了分类讨论的思想．【例2】 如图，点D 为ABC ∆内一点，点E 为ABC ∆外一点，且满足AB BC ACAD DE AE ==．求证：ABD ∆∽ACE ∆．【答案】略．【解析】AB BC ACAD DE AE == ∴ABC ADE ∆∆∽． ∴BAC DAE ∠=∠， 即BAD DAC CAE DAC ∠+∠=∠+∠．∴BAD CAE ∠=∠．AB ACAD AE= ∴ABD ∆∽ACE ∆． 【总结】本题考查相似三角形的判定定理3和相似三角形的性质知识．【例3】 如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，30ACB ∠=︒，2AC =，23CD =，4AD =．求证：ABC ∆∽ACD ∆．【答案】略． 【解析】90ABC ∠=︒，30ACB ∠=︒，2AC =．∴112AB AC ==，∴在Rt ABC ∆中，3BC =．23CD =，4AD =， ∴12AB AC BC AC AD CD ===，∴ABC ∆∽ACD ∆． 【总结】本题考查相似三角形的判定定理3和直角三角形的勾股定理知识．例题解析ABCDEF【例4】 已知：如图，在t R ABC ∆中，90ACB ∠=︒，2AC =，4BC =，点D 在BC 边上，且CAD B ∠=∠． （1）求AD 的长；（2）取AD 、AB 的中点E 、F ，联结CE 、CF 、EF ．求证：CEF ∆∽ADB ∆． 【答案】略． 【解析】（1）90ACB ∠=︒，CAD B ∠=∠，CAD CBA ∴∆∆∽ ∴CD AC AD AC CB AB==． ∴2AC CD CB =• ∴1CD =．∴在Rt ADC ∆中，AD（2）点E F 、分别是AD 、AB 的中点，∴12EF BD =． 在Rt ADC ∆、Rt ABC ∆中，12CE AD =，12CF AB =． ∴12CE CF EF AD AB BD ===，∴CEF ∆∽ADB ∆．【总结】本题考查相似三角形的判定定理3、直角三角形的性质和三角形中位线等知识．步同级年九4 / 22【例5】 如图，在梯形ABCD 中，AB // CD ，90A ∠=︒，2AB =，3BC =，1CD =，点E是AD 的中点．（1）求证：CDE ∆∽EAB ∆；（2）CDE ∆与CEB ∆有可能相似吗？若相似，请证明；若不相似，请说明理由． 【答案】略．【解析】（1）证明：过点C 作CF AB ⊥，垂足为F ，如图． 9090A CFB ∠=∠=，，//AD CF ∴．又//AB CD ，∴四边形AFCD 是平行四边形．又90A ∠=，∴平行四边形AFCD 是矩形． 1AF CD AD CF ∴===，，1BF ∴=．在Rt FBC ∆中，2222CF BC BF =-=，22AD ∴=． 点E 是AD 的中点 2ED EA ∴==．∴22DE CD AB AE ==又90D A ∠=∠=，∴CDE ∆∽EAB ∆．（本题还可用其它方法证明）（2）CDE ∆与CEB ∆相似．在Rt DCE ∆中，223CE DC DE =+=， 在Rt CBF ∆中，226BE AE AB =+=，3CE BE CBCD DE CE===， ∴CDE ∆∽CEB ∆． 【总结】本题考查了梯形及相似三角形的判定，着重考查学生对相似三角形的判定方法的理解及运用能力．本题实际上是“一线三直角”模型．模块二：直角三角形相似的判定定理ABCD EFABCDFG1、直角三角形相似的判定定理如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．可简述为：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似．如图，在Rt ABC ∆和111Rt A B C ∆中，如果190C C ∠=∠=︒，1111AB BCA B B C =，那么ABC ∆∽111A B C ∆．【例6】 如图，在ABC ∆中，CD AB ⊥于D ，DF AC ⊥于F ，DG BC ⊥于G ．求证：CF CA CG CB =．【答案】略． 【解析】证明：CD AB ⊥，DF AC ⊥，∴90ADC CFD ∠=∠=．又DCF DCA ∠=∠， ∴DCF ACD ∆∆∽． ∴DC CF AC DC=，即2DC CA CF =•．同理可得：2DC CG CB =•， ∴CF CA CG CB =． 【总结】本题考查了直角三角形相似的判定方法，同时考查了相似三角形的性质等知识．【例7】 已知直角三角形斜边上的高为12，并且斜边上的高把斜边分成3:4两段，则 斜边上的中线长是．【答案】73．知识精讲例题解析ABC A 1B 1C 1A BCDEFA BCDEFM【解析】解：如右图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=， CD AB ⊥于点D ，AE EB =．设3AD x =，4BD x =，12CD =．易证Rt ADC Rt CDB ∆∆∽，得DC BDAD DC=，得2DC AD DB =•，所以21234x x =•解得x =7AB x ==，而12CE AB =，所以CE = 【总结】本题考查了直角三角形相似的判定方法，同时考查了直角三角形斜边上的中线等相关知识．【例8】 如图，直角梯形ABCD 中，90BCD ∠=︒，AD // BC ，BC CD =，E 为梯形内 一点，且90BEC ∠=︒．将BEC ∆绕点C 旋转90°使BC 与DC 重合，得到DCF ∆，连接 EF 交CD 于点M ．已知5BC =，3CF =，求:DM MC 的值．【答案】43．【解析】解：由旋转的性质得：BEC DFC ∆≅∆， 且90BCD ECF ∠=∠=．903BEC ECF EC FC ∴∠=∠===，，5BC CD ==．∴180ECF DFC ∠+∠=， ∴//EC DF ．∴DM DFMC EC =．在Rt DCF ∆中，4DF =．∴43DM MC =． 【总结】本题考查了旋转的性质，三角形一边的平行线等相关知识．【例9】 如图，在ABC ∆中，CD AB ⊥于D ，DE AC ⊥于E ，DF BC ⊥于F ，求证：CEF ∆∽CBA ∆．【答案】略． 【解析】证明：CD AB ⊥，DE AC ⊥，∴90ADC CED ∠=∠=．又DCE DCA ∠=∠， ∴DCE ACD ∆∆∽． ∴DC CF AC DC=，即2DC CA CE =•．同理，可得：2DC CF CB =•．A BCD EF∴CA CE CF CB •=•， 即CF CEAC CB=．又FCE BCA ∠=∠， ∴CEF CBA ∆∆∽．【总结】本题考查了三角形相似的判定方法、相似三角形的性质等知识．【例10】 在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于点D ，E 是AC 边上的一个动点（不与A 、C 重合），CF BE ⊥于点F ，连接DF ． （1）求证：2CB BF BE =； （2）求证：BF AE FD BA =．【答案】略． 【解析】证明：（1）90ACB ∠=，CF BE ⊥，∴90ACB CFB ∠=∠=．又CBF CBE ∠=∠，∴CBF EBC ∆∆∽． ∴CB BEBF CB=，∴2CB BF BE =•．（2）90ACB ∠=，CD BA ⊥，∴90ACB CDB ∠=∠=．又CBD CBA ∠=∠，∴CBD ABC ∆∆∽． ∴CB ABBD CB=，即2CB BD BA =•． ∴BF BE BD BA •=•， ∴FB BD BA BE=又ABE FBD ∠=∠，∴FBD ABE ∆∆∽． ∴FB FDBA AE=．∴BF AE FD BA •=•．【总结】本题考查了三角形相似的判定方法、相似三角形的性质等知识．步同级年九8 / 22【例11】 求证：如果一个三角形的两边和第三边的中线与另一个三角形的对应线段成比例，那么这两个三角形相似．【答案】略．【解析】已知：如图，AD 、11A D 分别是ABC ∆、111A B C ∆边BC 、11B C 上的中线，且111111AC AB ADAC A B A D ==．求证：ABC ∆∽111A B C ∆． 证明：分别延长AD 、11A D 到点1E E 、． 使得1111DE ADD E A D ==，． ∴111122AE AD A E A D ==，．AD 、11A D 分别是ABC ∆、111A BC ∆边BC 、11B C 上的中线，∴1111BD DC B D D C ==，．111111ADB ADC A D B A D C ∠=∠∠=∠， ， ∴ADB EDC ∆≅∆，111111A D BE D C ∆≅∆ ∴1111BAD E B A D E ∠=∠∠=∠，．111111AC AB AD AC A B A D ==，∴111111AC AB AEAC A B A E ==． ∴111AEC A E C ∆∆∽，∴1111E E CAD C A D ∠=∠∠=∠，∴111BAD B A D ∠=∠ ，∴111BAC B AC ∠=∠．又1111AB ACA B AC =， ∴111ABC A B C ∆∆∽． 【总结】本题考查了三角形相似的判定方法，并且考查学生通过倍长中线来转化边角的方法．ABCD EF【例12】 如图，在Rt BDC ∆中，点E 在CD 上，DF BC ⊥于F ，DG BE ⊥于G ．求证：FG BC CE BG =．【答案】略．【解析】证明：联结GF ．90BDC ∠=，DF BC ⊥， ∴90BDC DFB ∠=∠=．又CBD FBD ∠=∠， ∴DBF CBD ∆∆∽． ∴DB BF BC DB=， ∴2DB BF BC =•．90EDB ∠=，GD BE ⊥， ∴90DGB EDB ∠=∠=．又EBD GBD ∠=∠， ∴GBD DBE ∆∆∽． ∴DB EBBG DB=， ∴2DB BG BE =•． ∴BF BC BG BE •=•， 即FB BGBE BC=．又GBF EBC ∠=∠， ∴GBF CBE ∆∆∽．∴GB FG BC CE=， ∴FG BC CE BG •=•． 【总结】本题考查了三角形相似的判定方法、相似三角形的性质等知识，综合性较强，需要通过多次相似证的结论成立．【例13】 如图，90CAB ∠=︒，AD CB ⊥，ACE ∆、ABF ∆是正三角形．求证：DE DF ⊥．【答案】略． 【解析】证明：ACE ∆、ABF ∆是正三角形，∴AC CE AB AF ==，，6060FAB ACE ∠=∠=，．AD BC ⊥， ∴90BDA ADC ∠=∠=． ∴90CAD ACD ∠+∠=．90BAC ∠=， ∴90BAD DAC ∠+∠=． BAD DCA ∴∠=∠．∴DBA DAC ∆∆∽． ∴CD AC AD AB =． ∴CD ECAD AF=．FAB BAD DCA ACE ∠+∠=∠+∠， ∴FAD DCE ∠=∠．∴FAD ECD ∆∆∽． ∴ADF EDC ∠=∠．90ADE EDC ∠+∠=， ∴90ADF EDA ∠+∠=． ∴DE DF ⊥．BCD EFG步同级年九10 / 22AB CD EFGH1 23【总结】本题考查了三角形相似的判定方法、等边三角形的性质等知识．1、相似三角形判定定理1：两角对应相等，两个三角形相似．2、相似三角形判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．3、相似三角形判定定理3：三边对应成比例，两个三角形相似．4、直角三角形相似的判定定理：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似．【例14】 在ABC ∆中，12AB =，15AC =，D 为AB 上一点，3ABBD=，在AC 上取一点E ，得到ADE ∆，若ADE ∆与ABC ∆相似，则AE =．【答案】10或325．【解析】若ADE ∆与ABC ∆相似，则分两种情况：ABC ADE ∆∆∽或ABC AED ∆∆∽，得AD AE AB AC =或AD AEAC AB =，即可得解． 【总结】灵活运用相似三角形的性质定理是解本题的重点，注意分类讨论．【例15】 如图，四边形ABDC 、CDFE 、EFGH 是三个正方形，则123∠+∠+∠的值为多少？【答案】90．【解析】解：设正方形ABDC 、CDFE 、 EFHG 的边长为1．则2AD =，5AF =，1DF =，2HD =，10AH =． ∴2AD DH AHDF AD AF===， ∴ADH FDA ∆∆∽． ∴3DAF ∠=∠． 四边形ABDC 是正方形， ∴AB BD =． ∴145∠=．又21DAF ∠+∠=∠， ∴231∠+∠=∠． ∴12390∠+∠+∠=．【总结】灵活运用相似三角形的判定定理来转化角度是解本题的关键．模块三：相似三角形的判定综合知识精讲例题解析ABCDEAB CDEN M【例16】 如图，正方形ABCD 的边长为2，AE EB =，1MN =，线段MN 的两端在CB 、CD 上滑动，当CM 为何值时，AED ∆与以M 、N 、C 为顶点的三角形相似．【答案】当CM 525时，ADE ∆与以 M 、N 、C 为顶点的三角形相似． 【解析】解：四边形ABDC 是正方形， ∴2AB AD ==． 又AE EB =， ∴1AE =．在Rt CMN ∆中，222MN CM CN =+． ① 当5CM = 时，25CN ，∴5AE AD CM CN = ∴ADE CNM ∆∆∽；② 当25CM =时，5CN =，∴5AE AD CN CM = ∴ADE CMN ∆∆∽． 【总结】本题考查了相似三角形的判定及正方形的性质相关知识点．【例17】如图，AB AC =，2AC AD AE =，求证：BC 平分DBE ∠．【答案】略． 【解析】证明：AB AC =，2AC AD AE =•，∴2AB ADAE =•， 即AB AEAD AB=．又A A ∠=∠， ∴ABD AEB ∆∆∽．∴ABD E ∠=∠． 又AB AC =， ∴ABD DBC ACB ∠+∠=∠．又CBE E ACB ∠+∠=∠， ∴CBD CBE ∠=∠．即BC 平分DBE ∠．【总结】本题考查了相似三角形的判定及三角形外角的性质．【例18】如图，在ABC ∆中，M 在AB 上，且8MB =，12AB =，16AC =，在AC 上步同级年九12 / 22AD求作一点N ，使AMN ∆与原三角形相似，并求AN 的长．【答案】3AN =或163．【解析】解：如右图，要使AMN ∆与原三角形相似，有两种情况：128AB BM ==，，∴4AM =．① 当//MN BC 时，AMN ABC ∆∆∽． ∴AM AN AB AC =，即41216AN =，∴163AN =． ② 当MN 与BC 不平行时，ANM ABC ∆∆∽． ∴AM AN AC AB =，即41612AN=，∴3AN =．∴3AN =或163． 【总结】灵活运用相似三角形的性质定理是解本题的重点．【例19】如图，EM AM ⊥，CE DE =．求证：2ED DM AD CD =．【答案】略．【解析】证明：过点E 作EH CD ⊥于点H ，得90EHD ∠=．EC ED =，EHCD ⊥，∴12DH CD =．EM AM ⊥，∴90M ∠=． ∴EHD M ∠=∠． 又EDH MDA ∠=∠， ∴EHD AMD ∆∆∽． ∴DM AD DH ED=， 即DM ED DA HD •=•．∴12DM ED DA CD •=•，即2ED DM DA CD •=•．【总结】本题考查了相似三角形的判定及等腰三角形的性质等相关知识．【例20】如图，在ABC ∆和DEF ∆中，90A D ∠=∠=︒，3AB DE ==，24AC DF ==．（1）判断这两个三角形是否相似，并说明为什么；（2）能否分别过点A 、D 在这两个三角形中各作一条辅助线，使ABC ∆分割成的两个AB CDEF 三角形与DEF ∆分割成的两个三角形分别对应相似？证明你的结论．【答案】（1）不相似，一组角相等，但夹它的两边不对应成比例，故不相似；（2）能，理由略．【解析】（2）题分割如下：作BAM E ∠=∠交BC 于点M ，作EDN B ∠=∠交EF 于点N ，可证明BAM DEN ∆∆∽，再证明另一对也相似即可．【总结】本题考查了相似三角形的判定知识．【例21】 如图，在ABC ∆中，3AB AC ==，2BC =，点D 、E 、F 分别在AC 、AB 、BC边上，BEF ∆沿着直线EF 翻折后与DEF ∆重合，设CD x =，BF y =．试问DFC ∆是否有可能与ABC ∆相似，如有可能，求出CD 的长；如不可能，说明理由．【答案】DFC ∆有可能与ABC ∆相似，此时65CD =或23．【解析】解：翻折后，BF DF =．当DFC ABC ∆∆∽时，DFC C B ∠=∠=∠． BF DF CD x ∴===，2CF x =-． CD CF CA CB ∴=，即232x x -=． 65x ∴=； 当DFC ACB ∆∆∽时，FDC C B ∠=∠=∠，1BF DF CF ∴===．CD CF CB CA ∴=，即213x =． 23x ∴=． ∴65CD =或23．【总结】本题考查了相似三角形的判定、翻折变换（折叠问题）等的相关知识． 【例22】 如图，ABC ∆是等边三角形，D 是AC 上的一点，BD 的垂直平分线交AB 于E ，交BC 于F ．（1）当点D 在边AC 上移动时，DEF ∆中哪一个角的大小始终保持不变？并求出它的度数；（2）当点D 在边AC 上移动时，ADE ∆与哪一个三角形始终相似？并写出证明过程．又AB CDEF 问：当点D移动到什么位置时，这两个三角形的相似比为1？（3）若等边三角形ABC的边长为6，2AD=，试求:BE BF的值．【答案】（1）EDF∠始终不变，且等于60；（2）ADE CFD∆∆∽．证明略；当点D移动到AC中点处时，这两个三角形的相似比为1；（3）45BEBF=．【解析】（1）翻折前后对应角相等；（2）相似比为1，说明ADE CFD∆≅∆，得DE DF=．又DB EF⊥，所以DB垂直平分EF，得BD平分ABC∠，则ABC∆是等边三角形，进而得出结论；（3）45AEDCFDCBE DEBF DF C∆∆===．【总结】本题考查了相似三角形的判定、翻折变换（折叠问题）、相似三角形的性质等的相关知识．ABC DEF ABCDE【习题1】 在ABC ∆中，点G 为重心，若BC 边上的高为6，求点G 到BC 的距离． 【答案】2．【解析】解：如图，联结AG 并延长交BC 于点D ，分别作GE BC ⊥、 AF BC ⊥于点E 、F ．由题知，6AF =．点G 为重心， ∴13DG DA =． 又//GE AF ， ∴GE DGAF DA=． ∴2GE =． 【总结】本题考查了重心的知识，构造相似形来解答问题．【习题2】 如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于D ，E 为AC 上一点，CF BE ⊥ 于F ，联结DF ．求证：BD DFBE AE=． 【答案】略． 【解析】证明：90ACB ∠=，CF BE ⊥， ∴90ACB CFB ∠=∠=．又CBF CBE ∠=∠， ∴CBF EBC ∆∆∽． ∴CB BE BF CB=，即2CB BF BE =•． 同理，得：2CB BD BA =•． ∴BF BE BD BA •=•， ∴FB BDBA BE=． 又ABE FBD ∠=∠， ∴FBD ABE ∆∆∽． ∴BD FDBE AE=． 【总结】本题考查了三角形相似的判定方法、相似三角形的性质等知识．【习题3】 已知梯形ABCD 中，AB // CD ，90B ∠=︒，3AB =，6CD =，12BC =，点E在BC 边上自B 点向C 点移动，求使得ABE ∆与ECD ∆相似的BE 的值．【答案】4或632±．【解析】解：由题知：90B C ∠=∠=． ABE ∆与ECD ∆相似，分两种情况：设BE x =．（1）ABE DCE ∆∆∽，得：AB BEDC CE=， 即3612x x=-，解得4x =；（2）ABE ECD ∆∆∽，得：AB BEEC DC=， 随堂检测ABC DEOAB CPQ 即3126xx=-，得212180x x-+=，解得6x=±综上：BE=4或6±【总结】本题考查了相似三角形的性质，着重考查学生分类讨论思想的应用．【习题4】如图，梯形ABCD中，AD//BC，AC与BD相交于点O，过点B作BE//CD交CA的延长线于点E，求证：2OC OA OE=．【答案】略．【解析】//AD CB，∴CO BOOA OD=．//BE CD，∴CO DOOE OB=．∴CO OAOE OC=，∴2OC OA OE=•．【总结】本题考查三角形一边的平行线定理的应用．【习题5】如图，在ABC∆中，90C∠=︒，8BC cm=，6AC cm=，点P从B出发，沿BC方向以2cm/s的速度移动到C点，点Q从C出发，沿CA方向以1cm/s的速度移动到A点．若点P、Q分别同时从B、C出发，经过多少时间CPQ∆与CBA∆相似？【答案】125t=或3211时，CPQ∆与CBA∆相似．【解析】设经过t秒CPQ∆与CBA∆相似，则2BP t=，CQ t=，∴82CP t=-．要使CPQ∆与CBA∆相似，有两种情况：①当CPQ CBA∆∆∽，∴CP CQCB CA=，即8286t t-=，∴125t=；ABCDEO②当CPQ CAB ∆∆∽，∴CP CQCA CB=， 即8268t t -=。

上海沪教版初三C专题三轮冲刺（动点产生的平行四边形问题3星）教学设计一. 教材分析上海沪教版初三C专题三轮冲刺（动点产生的平行四边形问题3星）教学设计，主要针对的是学生在学习几何过程中，对于动点产生的平行四边形问题的理解和应用。

教材通过具体的案例，让学生理解平行四边形的性质，以及如何利用这些性质解决实际问题。

教材内容丰富，既有理论知识，也有大量的实践操作，能够激发学生的学习兴趣，提高学生的几何思维能力。

二. 学情分析学生在学习几何的过程中，对于平行四边形的性质已经有了一定的了解，但可能在具体的应用上还存在一定的困难。

因此，在教学过程中，需要引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高学生解决问题的能力。

同时，学生对于几何图形的观察和分析能力有待提高，需要通过大量的实践操作，让学生在实践中学会观察、分析、解决问题。

三. 教学目标1.让学生掌握平行四边形的性质，并能够灵活运用。

2.培养学生观察、分析、解决问题的能力。

3.提高学生运用几何知识解决实际问题的能力。

四. 教学重难点1.重点：平行四边形的性质及应用。

2.难点：如何利用平行四边形的性质解决实际问题。

五. 教学方法1.案例教学法：通过具体的案例，让学生理解平行四边形的性质，并学会运用。

2.问题驱动法：引导学生发现问题、分析问题、解决问题，提高学生的思维能力。

3.实践操作法：让学生通过动手操作，加深对几何知识的理解。

六. 教学准备1.准备相关的教学案例，用于引导学生学习。

2.准备几何模型或图示，帮助学生直观理解。

3.准备练习题，用于巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生思考如何利用平行四边形的性质解决问题。

例如：在一个矩形中，有一个动点，如何找到与这个动点对应的平行四边形？2.呈现（15分钟）呈现相关的案例，让学生观察、分析，引导学生发现平行四边形的性质。

通过几何模型或图示，帮助学生直观理解。

3.操练（15分钟）让学生分组讨论，尝试解决类似的问题。

BOA CO A C B 精锐教育学科教师辅导教案学员编号： 年 级： 课时数： 学员姓名： 辅导科目： 学科教师： 课程主题：三角形与四边形下的常见压轴解析 授课时间：学习目标教学内容限时训练一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．如果实数a 、b 互为倒数，那么a 、b 之间的关系是 （A ）1a b +=； （B ）1a b -=； （C ）1a b ⋅=； （D ）1ab=． 2．下列运算正确的是（A ）3931=； （B ）3931±=；（C ）3921=； （D ）3921±=．3．在一个袋中，装有除颜色外其它完全相同的2个红球、3个白球和4个黑球，从中随机摸出一个球，摸到的球是红球的概率是（A ）19； （B ）29； （C ）13； （D ）49．4．货车行驶25千米与小轿车行驶35千米所用时间相同，已知小轿车每小时比货车每小时多行驶20千米，求两车的速度各为多少？设货车的速度为x 千米/小时，依题意列方程正确的是 （A ）253520x x =-； （B ）253520x x =-；（C ）253520x x =+； （D ）253520x x=+． 5．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是 （A ）等边三角形； （B ）平行四边形； （C ）抛物线； （D ）双曲线．6．如图，在⊙O 中，OA ＝AB ，OC ⊥AB ，交⊙O 于点C ，那么下列结论错误的是（A ）∠BAC =30°；（B ）弧AC 等于弧BC ；（C ）线段OB 的长等于圆内接正六边形的半径；（D ）弦AC 的长等于圆内接正十二边形的边长．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）(第6题图)A B C 16% 20%（第13题图） A 1NM CBA B 1 7．计算：22a =（2） .8．不等式组31x x <⎧⎨≥⎩的解集是 ．9．分解因式：32a ab -= . 10．方程221x x -=的根是 .11．关于x 的方程220x x k -+=没有实数根，那么k 的取值范围是 ．12．将直线y x =-沿着y 轴向上平移3个单位得到直线l ，那么直线l 与两条坐标轴围成的三角形的周长为 .13．闵行某学校九年级学生的体重（单位：kg ，精确到1kg ）情况进行了抽查，将所得数据处理后分成A 、B 、C 三组（每组含最低值，不含最高值），并制成图表（部分数据未填）．在被抽查的学生中偏瘦和偏胖的学生共有 人．分组 A B C 体重 30~35 35~40 40~45 人数 32 结论偏瘦正常偏胖14．如图，已知点P 是∠AOB 的角平分线上的一点，且PC ⊥OA ，垂足为C ，如果PC = 4，那么点P 到射线OB 的距离是 ．15．如图，在△ABC 中，线段CD 、AE 分别是边AB 、BC 上的中线，联结DE ，设AB a =，BC b =，那么向量DE = （结果用a 、b 的式子表示）.16．如图，一艘船向正北方向航行，在A 处测得灯塔S 在船的北偏东30°的方向上，航行12海里到达B点．在B 处测得灯塔S 在船的北偏东60°的方向上．此船继续沿正北方向航行过程中距灯塔S 的最近距离是 海里（结果保留根号）．17．我们把对称中心重合，四边分别平行的两个正方形之间的部分叫“方形环”，易知方形环四周的宽度相．．．等．．当直线l 与方形环的邻边相交时（如图），l 分别交AD 、''A D 、''D C 、DC 于M 、'M 、'N 、N ，l 夹角为α，那么''MM N N 的值为 （用含α的三角比表示）.与DC 的ABC ∆中，∠ACB =︒90,AC =4,BC =3,将ABC ∆绕点C 顺时针旋转至C B A 11∆的18．如图，在位置，其中B 1C ⊥AB ,B 1C 、A 1B 1交AB 于M 、N 两点，则线段MN 的长为 .M A C D 'N B 'C E 'B 'M 'A 'D N F l(α（第17题图） A B D （第15题图） C E （第14题图）A B C O P S （第16题图） A B（第18题）三、解答题：（本大题共2题，满分20分） 19．（本题满分10分）化简：21121(1)()x x x x--+-⋅，并求当2x =时的值．20．（本题满分10分）解方程组：225560x y x xy y -=⎧⎨--=⎩参考答案一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．C ；2．C ；3．B ；4．C ；5．D ；6．A ．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．44a ；8．13x ≤<；9．()()a a b a b +-；10．1x =；11．1k >；12．632+；13．18；14．4；15．1122a b +；16．63；17．tan α；18．0.8．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．解：原式21(1)x xx x -=⋅- …………………………………………………（2分+2分）11x =- …………………………………………………………………（2分） 当2x =时，原式121=- ………………………………………………………………（2分）21=+ …………………………………………………………………（2分）20．解：由 22560x x y y --=，得 60x y -=，0x y +=． …………………（2分）原方程组化为560x y x y -=⎧⎨-=⎩ 50x y x y -=⎧⎨+=⎩…………………………………………（4分） 解这两个方程组，得原方程组的解是116,1x y =⎧⎨=⎩； 225,25.2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩………………………………………………（4分）一、（三角形为背景的压轴解析）【知识梳理】 【例题精讲】例1. 如图，△ABC 中，∠ABC =90°，AB =BC =4，点O 为AB 边的中点，点M 是BC 边上一动点（不与点B 、C 重合），AD ⊥AB ，垂足为点A .联结MO ，将△BOM 沿直线MO 翻折，点B 落在点B 1处，直线M B 1与AC 、AD 分别交于点F 、N ..（1）当∠CMF =120°时，求BM 的长；（2）设BM x =，CMF y ANF ∆=∆的周长的周长，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）联结NO ，与AC 边交于点E ，当△FMC ∽△AEO 时，求BM 的长.解：（1）当120CMF ∠=︒时，可求得：30BMO ∠=︒ …………………………（2分） ∴Rt MOB ∆中，cot 3023MB OB =⋅︒= ……………………………（2分）（2）联结ON ，可证：ANO ∆≌1B NO ∆ ∴1AON B ON ∠=∠，1AN NB =知识精讲OA BCMD NB 1F第25题图又∵1MOB MOB ∠=∠ ∴90NOM ∠=︒又190OB M B ∠=∠=︒∴可证：1MB O ∆∽1OB N ∆ ∴2111OB MB NB =⋅又1=MB MB x =，12OB OB ==∴212x NB =⋅ ∴14NB x =∴4AN x=……………………………………（2分） ∵AD AB ⊥ ∴90DAB ∠=︒ 又90B ∠=︒ ∴//AD BC∴CMF ∆∽ANF ∆∴22441444CMF ANF C CM x x x x x C AN x∆∆--====-+ ∴214y x x =-+ (04)x <<………………………………………………（2分，1分）（3）由题意知：45EAO C ∠=∠=︒∵△FMC ∽△AEO ∴只有两种情况：FMC AEO ∠=∠或FMC AOE ∠=∠①当FMC AEO ∠=∠时，有CFM AOE ∠=∠又可证：AOE OMB FMO ∠=∠=∠ ∴CFM FMO ∠=∠ ∴//OM AC ∴45OMB C ∠=∠=︒∴Rt MOB ∆中，cot 452MB OB =⋅︒=………………………………………（2分） ②当FMC AOE ∠=∠时，∵AOE OMB OMF ∠=∠=∠[来源:Z*xx*] ∴60CMF OMF OMB ∠=∠=∠=︒∴Rt MOB ∆中，2cot 6033MB OB =⋅︒=………………………………（2分）所以，综上述，知2BM =或233BM =.……………………………………（1分）例2. 已知△ABC 中，︒=∠90ACB （如图8），点P 到ACB ∠两边的距离相等，且PA =PB ．（1）先用尺规作出符合要求的点P （保留作图痕迹，不需要写作法），然后判断△ABP 的形状，并说明理由；（2）设m PA =，n PC =，试用m 、n 的代数式表示ABC ∆的周长和面积；（3）设CP 与AB 交于点D ，试探索当边AC 、BC 的长度变化时，BCCDAC CD +的值是否发生变化，若不变，试求出这个不变的值，若变化，试说明理由．解：（1）依题意，点P 既在ACB ∠的平分线上，又在线段AB 的垂直平分线上.如图8—1，作ACB ∠的平分线CP ，作线段AB 的垂直平分线PM ，CP 与PM 的 交点即为所求的P 点。

考点分析 年份 200820092010201120122013201420152016题型 解答21 解答21 解答21 解答21 解答21 解答22 解答22 解答22 解答21 分值1010 101010 10101010内容 圆背景下求线 段梯形背景下求 余弦值 及线段 长度圆背景 下求三 角比 圆背景 下求弦 长锐角三 角比、 解直角 三角形锐角三 角比的 应用解直角 三角形解直角 三角形 的应用相似三 角形的 性质考点一：与锐角三角比相关的计算：（1） 熟练的掌握三个特殊角的四个特殊值； （2） 将锐角放在直角三角形中，通过作垂线构造．【例1】 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC ⊥AB ，AD =CD ，cosB =513，BC =26． 求（1）cos ∠DAC 的值；（2）线段AD 的长．CBA图4D几何计算与证明模块一：几何计算【巩固】如图，在梯形ABCD 中，81260AD BC AB DC BC B ===∠=，，，∥°，联结AC ．（1）求tan ACB ∠的值；（2）若M N 、分别是AB DC 、的中点，联结MN ，求线段MN 的长．【例2】 如图所示，在Rt ABC ，90ACB ∠=︒，D 是边AB 的中点，BE CD ⊥，垂足为E ，已知315cos 5AC A ==，，. （1）求线段CD 的长； （2）求sin DBE ∠的值．【巩固】如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是斜边AB 上的中线，过点A 作 AE ⊥CD ，AE 分别与CD 、CB 相交于点H 、E ，AH ＝2CH ．（1）求sin B 的值；（2）如果CD ＝5，求BE 的值．ADCBED BC A A BCDEH AABQDPMN考点二：锐角三角比的应用将实际问题转化到直角三角形中，建立合适的直角三角形．【例3】 某地下车库出口处“两段式栏杆”如图7-1所示，点A 是栏杆转动的支点，点E 是栏杆两段的连接点．当车辆经过时，栏杆AEF 升起后的位置如图7-2所示，其示意图如图7-3所示，其中AB ⊥BC ，EF ∥BC ，0143EAB ∠=， 1.2AB AE ==米，求当车辆经过时，栏杆EF 段距离地面的高度（即直线EF 上任意一点到直线BC 的距离）． （结果精确到0.1米，栏杆宽度忽略不计参考数据：sin 37° ≈ 0.60，cos 37° ≈ 0.80， tan 37° ≈ 0.75．）【巩固】如图，MN 表示一段笔直的高架道路，线段AB 表示高架道路旁的一排居民楼．已知点A 到MN 的距离为15米，BA 的延长线与MN 相交于点D ，且∠BDN ＝30°，假设汽车在高速道路上行驶时，周围39米以内会受到噪音的影响．（1）过点A 作MN 的垂线，垂足为点H ．如果汽车沿着从M 到N 的方向在MN 上行驶，当汽车到达点P 处时，噪音开始影响这一排的居民楼，那么此时汽车与点H 的距离为多少米?（2）降低噪音的一种方法是在高架道路旁安装隔音板．当汽车行驶到点Q 时，它与这一排居民楼的距离QC 为39米，那么对于这一排居民楼，高架道路旁安装的隔音板至少需要多少米长?(精确到1米) (参考数据：3≈1.7)．图7-1图7-2图7-3AEFAE FAE FBC考点三：圆内相关的计算圆内常做的两种辅助线：1、连半径，构造等腰或直角三角形；2、做垂线，根据垂径定理解直角三角形．【例4】如图，点C、D分别在扇形AOB的半径OA、OB的延长线上，且OA＝3，AC＝2，CD平行于AB，并与弧AB相交于点M、N．（1）求线段OD的长；（2）若1tan2C∠=，求弦MN 的长．【例5】机器人“海宝”在某圆形区域表演“按指令行走”，如图5所示，“海宝”从圆心O出发，先沿北偏西67.4°方向行走13米至点A处，再沿正南方向行走14米至点B处，最后沿正东方向行走至点C处，点B、C都在圆O上.（1）求弦BC的长；（2）求圆O的半径长．（本题参考数据：sin 67.4°=1213，cos 67.4° = 513，tan 67.4° =125）AB COSN67.4°北南COABDM N图5【巩固】已知：如图，在ABC∆中，3tan ,14445ABCA AB∠=︒==，；（1）求：ABC∆的面积；（2）若以C为圆心的圆C与直线AB相切，以A为圆心的圆A与圆C相切，试求圆A的半径．年份200820092010201120122013201420152016题型解答23解答23解答23解答23解答23解答23解答23解答23解答23分值121212121212121212内容判定特殊的四边形开放性求边相等（四边形）菱形背景证明位置关系梯形背景下特殊的四边形菱形背景下判定特殊的四边形平行四边形的判定及性质四边形相似三角形四边形相似三角形圆、平行四边形的判定模块二：几何证明考点四：三角形背景下相关证明 两种证明方向：1、通过证明全等，寻找边与角的关系；2、通过相似，证明边、角之间的关系．【例6】 在△ABC 中，点D 在边AC 上，DB =BC ，点E 是CD 的中点，点F 是AB 的中点．（1）求证：EF =12AB ；（2）过点A 作AG ∥EF ，交BE 的延长线于点G ，求证：△ABE ≌△AGE ．【例7】 如图，在△ABC 中，90ACB ∠=， B A ∠>∠，点D 为边AB 的中点，DE BC ∥交AC 于点E ，CF AB ∥交DE 的延长线于点F ．（1）求证：DE EF =；（2）联结CD ，过点D 作DC 的垂线交CF 的延长线于点G ， 求证：B A DGC ∠=∠+∠．ABFEDC图6FEDABC【巩固】已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC =DC ，CF 平分 ∠BCD ，DF ∥AB ，BF 的延长线交DC 于点E ． 求证：（1）△BFC ≌△DFC ； （2）AD =DE ．考点五：四边形背景下相关证明1、熟练的掌握特殊的平行四边形的性质；2、利用特殊的平行四边形的性质得出相应的边之间的关系．其中特殊的平行四边形的判定定理也是常考的一个知识点．【例8】 如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，AB ＝DC ，过点D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，并延长DE 至F ，使EF ＝DE ．联结BF 、CD 、AC ． （1）求证：四边形ABFC 是平行四边形；（2）如果DE 2＝BE ·CE ，求证四边形ABFC 是矩形．ABDFCE ABCD EF【例9】已知梯形ABCD中，AD//BC，AB=AD（如图所示），∠BAD的平分线AE交BC于点E，连结DE.（1）在图中，用尺规作∠BAD的平分线AE（保留作图痕迹，不写作法），并证明四边形ABED是菱形；（2）∠ABC＝60°，EC=2BE，求证：ED⊥DC．【巩固】如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若∠AED=2∠EAD，求证：四边形ABCD是正方形．【例10】如图所示，在菱形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，BAF DAE∠=∠，AE 与BD相交于点G.（1）求证：BE DF=；（2）当DF ADFC DF=时，求证：四边形BEFG是平行四边形．EDCBAFGAB CDEOAB CDE FO【例11】 已知：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝DC ，对角线AC 、BD 相交于点F ，点E 是边BC 延长线上一点，且∠CDE ＝∠ABD ． （1）求证：四边形ACED 是平行四边形；（2）联结AE ，交BD 于点G ，求证：DG DFGB DB．【巩固】已知：如图，平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，点E 在边BC 的延长线上， 且OE ＝OB ，联结DE ． （1）求证：DE ⊥BE ；（2）如果OE ⊥CD ，求证：BD ·CE ＝CD ·DE ．F BCEDAOEDCBA【回家作业】1、如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，3AC BC ==，点D 在边AC 上，且2AD CD =， DE AB ⊥，垂足为点E ，联结CE ，求：（1）线段BE 的长；（2）ECB ∠的余切值；2. 如图，已知梯形ABCD 中，AD //BC ，AC 、BD 相交于点O ，AB ⊥AC ，AD =CD ，AB =3， BC =5．求：（1）tan ACD ∠的值； （2）梯形ABCD 的面积．ABCDOABCD E3、 小明与班级数学兴趣小组的同学在学校操场上测得旗杆BC 在地面上的影长AB 为12米，同一时刻，测得小明在地面的影长为2.4米，小明的身高为1.6米. （1）求旗杆BC 的高度；（2）兴趣小组活动一段时间后，小明站在A B 、两点之间的D 处（A D B 、、三点在一条直线上），测得旗杆BC 的顶端C 的仰角为α，且tan 0.8α=，求此时小明与旗杆之间的距离．4、已知，如图，⊙O 是ABC ∆的外接圆，AB AC =，点D 在边BC 上，AE ∥BC ， AE BD =；（1）求证：AD CE =；（2）如果点G 在线段DC 上（不与点D 重合），且AG AD =， 求证：四边形AGCE 是平行四边形．ABCDE ODABCD EFMN（第7题图）5、如图9-1，在Rt △ABC 中，90ACB ∠=︒，点D 是边AB 的中点，点E 在边BC 上，AE =BE ， 点M 是AE 的中点，联结CM ，点G 在线段CM 上，作∠GDN =∠AEB 交边BC 于N . （1）如图9-2，当点G 和点M 重合时，求证：四边形DMEN 是菱形； （2）如图9-1，当点G 和点M 、C 不重合时，求证：DG =DN ．6、已知：如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 和CD 上，AE ＝AF ． （1）求证：BE ＝DF ；（2）连接AC 交EF 于点O ，延长OC 至点G ，使OG ＝OA ，连接EG 、FG ．判断四边形AE GF 是什么特殊四边形，并证明你的结论．7、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 、F 分别是边BC 、CD 的中点，直线EF 交边 AD 的延长线于点M ，交边AB 的延长线于点N ，联结BD ． （1）求证：四边形DBEM 是平行四边形； （2）联结CM ，当四边形ABCM 为平行四边形时， 求证：MN =2DB ．ABCD EN G M图9-2 ABC D ENM G图9-2ABCD EF GO8、 已知：如图，四边形ABCD 中，DB BC ⊥，DB 平分ADC ∠，点E 为边CD 的中点，AB BE ⊥．（1）求证：2BD AD DC =⋅； （2）联结AE ，当BD BC =时， 求证：ABCE 为平行四边形．9. 已知：如图8，在平行四边形ABCD 中，AC 为对角线，E 是边AD 上一点，BE ⊥AC 交 AC 于点F ，BE 、CD 的延长线交于点G ． （1）求证：四边形ABCD 是矩形； （2）如果AE=EG ，求证：2AC BC BG =⋅．ABCD EFG。

动点产生的平行四边形问题1.理解平行四边形的性质和判定；2.能应用平行四边形的性质和判定进行相关计算和证明；3.培养学生能在点的运动过程中寻找平行四边形，继而解决相关问题；4.培养学生分类讨论的能力，能应用分类讨论思想解决相关问题；5.体验运动过程，培养学生动态数学思维能力。

知识结构【备注】：1.根据后面两个图让学生回顾平行四边形的性质和判定，为后面的例题讲解做好准备；2.部分地方引导学生填空，让学生自己回顾。

时间大概5分钟。

一．平行四边形的性质：二．平行四边形的判定：例1.已知一个二次函数的图像经过()0,3A 、()4,3B 、()1,0C 三点。

（1）求这个二次函数的解析式；（2）若点D 在x 轴上，点E 在（1）中所求出的二次函数的图像上，且以点A 、C 、D 、E 为顶点的四边形是平行四边形，求点D 、E 的坐标。

（★★★★）【参考教法】：可参考以下教法引导学生分析问题、解决问题 一．寻找题目中的已知条件和特殊条件：1.哪些点的坐标已知？ 提示：()0,3A 、()4,3B 、()1,0C ；2.二次函数都经过了哪些点？ 提示：二次函数的图像经过()0,3A 、()4,3B 、()1,0C 三点；二．求解二次函数的解析式，挺简单的，你算算看吧！ 提示：二次函数经过了三点，用待定系数法即可求解。

三．当A 、C 、D 、E 为顶点的四边形是平行四边形时：1.哪些点不动？哪些点在动？ 提示：点A C 、不动；点D E 、在动；2.四个点的位置怎么样？ 提示：A 点在y 轴上、C 点在x 轴上、D 点在x 轴上、E 点在二次函数图象上。

3.你能简单的画一下图象吗？ 提示：让学生画图看看！4.在点的移动过程中需要分类讨论吗？ 提示：平行边不确定，需要。

5.如需要，怎么讨论？ 提示：因AC 确定，所以分AC 为边和对角线两个情况讨论：①当AC 是以点A 、C 、D 、E 为顶点的四边形是平行四边形的一边时：可得AE ∥CD ，所以根据图象和点的位置可直接写出点D 、E 的坐标；（如图1）②当AC 是以点A 、C 、D 、E 为顶点的四边形是平行四边形的一条对角线时：则可根据图象得出CD 依然还是这个平行四边形的一条边，结合图象既可求出点D 、E 的坐标；（如图2）。

初三数学证明华东师大版【同步教育信息】一. 本周教学内容：证明1. 证明的认识2. 用推理方法研究三角形包括：（1）等腰三角形，（2）角平分线，（3）线段的垂直平分线，（4）逆命题、逆定理。

二. 教学过程：（知识点回顾）1. 用公理、定理作为逻辑推理证明的依据，从而证明新的命题成立，常用公理如下：（1）一条直线截两条平行直线所得的同位角相等。

（2）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，则这两条直线平行。

（3）如果两个三角形的两边及其夹角（或两角及其夹边、或三边）分别对应相等，则这两个三角形全等。

（4）全等三角形的对应边、对应角分别相等。

2. 等腰三角形：（1）如果一个三角形有两个角相等，则这两个角所对的边也相等，简写成“等角对等边”，这是识别三角形是否是等腰三角形的一个重要的方法。

（2）重要性质：等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合，简写成“等腰三角形的三线合一”。

3. 角平分线：（1）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

（2）到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。

4. 线段的垂直平分线上（1）线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。

（2）到一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

【典型例题】例1. “三角形内角和180°”的证明。

方法1：方法2：D A EB C方法3：AE方法4：AE（注：通过作平行线将角转化），证明过程略。

例2. “四边形的内角和等于360°”的证明。

常用的方法是将四边形转化成三角形，利用三角形的内角和：（1）D （2）D（3）（4）D P也可以通过平移角的方法证明：（5） FDE∥BC，FH∥AB∠4＝∠6＝∠B∠3＝∠C∠5＝∠A∠A＋∠B＋∠C＋∠ADC＝∠5＋∠4＋∠3＋∠ADC＝360°例3. 如图，已知：AB∥DE，观察∠A、∠C、∠D的关系如何？A BD EC图1A B D EC图2图1：方法一：延长CD交AB于F∵AB∥DE∴∠1＝∠CDE又∵∠1＝∠A＋∠C∴∠CDE＝∠A＋∠C方法二：延长ED交AC于F∵AB∥DE∴∠CFD＝∠A又∵∠CDE＝∠C＋∠CFD∴∠CDE＝∠C＋∠A方法三：过C作CF∥AB∵AB∥DE，∴DE∥CF∴∠1＋∠D＝180°∠1＋∠2＋∠A＝180°∴∠D＝∠2＋∠A图2：方法一：∵AB∥DE∴∠A＝∠DEA＝∠D＋∠CA BD EC方法二：延长BA、CD交于F∵AB∥DE∴∠F＝∠EDC∴∠BAC＝∠F＋∠C＝∠EDC＋∠C方法三：解略此题是平移角的训练，关键体会只需移动角的位置。

上海沪教版初三C专题三轮冲刺（动点产生的平行四边形问题4星）教案一. 教材分析上海沪教版初三C专题三轮冲刺（动点产生的平行四边形问题4星）教案，主要针对学生对平行四边形知识的掌握，通过分析教材内容，了解本节课的主要知识点：动点产生的平行四边形问题。

教材内容紧密联系学生生活实际，从学生的认知水平出发，通过丰富的例题和练习，引导学生探索、发现、总结平行四边形的性质和规律，提高学生分析问题和解决问题的能力。

二. 学情分析初三学生对平行四边形知识已有一定的了解，但大部分学生仅限于表面的认识，对于动点产生的平行四边形问题，部分学生可能会感到困惑。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的认知水平，了解学生的学习需求，引导学生深入理解动点产生的平行四边形问题，提高学生解决问题的能力。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握动点产生的平行四边形问题的解题方法，提高学生分析问题和解决问题的能力。

2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生探究问题的能力，提高学生的逻辑思维能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于挑战困难的精神，使学生感受到数学在生活中的重要作用。

四. 教学重难点1.重点：动点产生的平行四边形问题的解题方法。

2.难点：如何引导学生发现、总结平行四边形的性质和规律。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例，引导学生了解动点产生的平行四边形问题，激发学生学习兴趣。

2.启发式教学法：教师引导学生观察、操作、思考，发现平行四边形的性质和规律。

3.合作学习法：学生分组讨论，共同解决问题，提高学生的团队协作能力。

4.反馈评价法：教师及时给予学生反馈，鼓励学生积极思考，提高学生解决问题的能力。

六. 教学准备1.教学PPT：制作含有丰富图片、例题和练习的PPT，便于引导学生直观地了解知识点。

2.教学素材：准备一些与动点产生的平行四边形问题相关的实际案例，用于导入和新课讲解。

3.练习题：设计一些有针对性的练习题，帮助学生巩固所学知识。

几何证明1（2015年崇明23） 如图，ABC ∆中，2BC AB =，点D 、E 分别是BC 、AC 的中点，过点A 作AF BC ∥交线段DE 的延长线于点F ，取AF 的中点G ，联结DG ，GD 与AE 交于点H ． （1）求证：四边形ABDF 是菱形； （2）求证：2DH HE HC =⋅．（2015年奉贤23） 已知：如图，在四边形ABCD 中，AB //CD ，点E 是对角线AC 上一点，∠DEC =∠ABC ，且CA CE CD ⋅=2． （1）求证：四边形ABCD 是平行四边形；（2）分别过点E 、B 作AB 和AC 的平行线交于点F ，联结CF ，若∠FCE= ∠DCE ，求证：四边形EFCD 是菱形．A BDHG FEC（第23题图）B （第23题图）A（2015年虹口23）． 如图，四边形是平行四边形，点为延长线上一点，联结，交边于点，联结.（1）求证：；（2）若，且，求证：四边形是菱形.（2015年黄浦23.） 如图6，在正方形ABCD 中，点E 在对角线AC 上，点F 在边B C 上，联结BE 、DF ，DF 交对角线AC 于点G ，且DE =DG ． （1）求证：AE =CG ；（2）求证：BE //DF .（2015年嘉定23）．如图8，已知△ABC 和△ADE 都是等边三角形，点D 在边BC 上，点E 在边AD 的右侧，联结CE ．（1）求证：︒=∠60ACE ；（2）在边AB 上取一点F ，使BD BF =，联结DF 、EF ．求证：四边形CDFE 是等腰梯形．AB C E F第23题图 D 图6 F图8（2015年金山二模23）已知：如图，在中ABC Rt ∆中，︒=∠90ACB ,BC AC =，点E 在边AC 上，延长BC 至D 点，使CD CE =，延长BE 交AD 于F ，过点C 作CG //BF ，交AD 于点G ，在BE 上取一点H ，使DCG HCE ∠=∠． （1）求证：ACD BCE ∆≅∆； (2) 求证：四边形FHCG 是正方形．(2015年上海静安23. )如图，在梯形ABCD 中，AB //CD ，AD ＝BC ，E 是CD 的中点，BE 交AC 于F ，过点F 作 FG ∥AB ，交AE 于点G ．(1) 求证：AG=BF ；(2) 当CF CA AD ⋅=2时，求证：AC AG AD AB ⋅=⋅．G FE D BAC第23题图HEDCGFAB（第23题图）（2015年上海闵行二模23．） 如图，已知在梯形ABCD 中，AD // BC ，∠A = 90º，AB = AD ．点E 在边AB 上，且DE ⊥CD ，DF 平分∠EDC ，交BC 于点F ，联结CE 、EF ． （1）求证：DE = DC ； （2）如果2BE BF BC =⋅，求证：∠BEF =∠CEF ．（2015年浦东23） 如图，已知在平行四边形ABCD 中，AE ⊥BC ，垂足为点E ，AF ⊥CD ，垂足为点F ．（1）如果AB =AD ，求证：EF ∥BD ；（2）如果EF ∥BD ，求证：AB =AD ．（2015年上海普陀23．）如图9，在△ABC 中，点D 、E 分别在边BC 、AC 上，BE 、AD 相交于点G ，EF ∥AD 交BC 于点F ，且2BF BD BC =g ，联结FG ． （1）求证：FG ∥CE ；（2）设BAD C ∠=∠，求证：四边形AGFE 是菱形．（第23题图） A B CD E F A BCDEF（第23题图）图9CG FEDBAAD．（2015年松江23. ）如图，已知在正方形ABCD 中，点E 在CD 边上，过C 点作AE 的垂线交于点F ，联结DF ，过点D 作DF 的垂线交AF 于点G ，联结BG .（1）求证：△ADG ≌△CDF ；（2）如果E 为CD 的中点，求证：BG ⊥AF .（2015年上海徐汇二模）．已知：如图，正方形ABCD ，BM 、DN 分别是正方形的两个外角平分线，∠MAN =45°，将∠MAN 绕着正方形的顶点A 旋转，边AM 、AN 分别交两条角平分线于点M 、N ，联结MN ． （1）求证：ABM ADN ∆∆:；（2）联结BD ，当∠BAM 的度数为多少时，四边形BMND 为矩形，并加以证明．A（第23题图）EGDFB（2015年杨浦二模23） 已知：如图，Rt △ABC 和 Rt △CDE 中，∠ABC =∠CDE =90 ，且BC 与CD 共线，联结AE ，点M 为AE 中点，联结BM ，交AC 于点G ，联结MD ，交CE 于点H 。

初三数学专题复习讲义第一讲：如何解决中考图形类证明题【知识梳理】1、几何证明是平面几何中的一个重要问题，它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。

几何证明有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。

这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。

2、掌握分析、证明几何问题的常用方法：（1）综合法（由因导果），从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题的解决； （2）分析法（执果索因）从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止；（3）两头凑法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的。

3、掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图形分解成基本图形。

在更多时候需要构造基本图形，在构造基本图形时往往需要添加辅助线，以达到集中条件、转化问题的目的。

【例题精讲】【专题一】证明线段相等或角相等两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。

很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。

证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到。

【例1】已知：如图所示，∆A B C 中，∠=︒===C AC BC AD DB AE CF 90，，，。

求证：DE ＝DF【巩固】如图所示，已知∆A B C 为等边三角形，延长BC 到D ，延长BA 到E ，并且使AE ＝BD ，连结CE 、DE 。

求证：EC ＝EDFEDCBA A BDC EDA【例2】已知：如图所示，AB ＝CD ，AD ＝BC ，AE ＝CF 。

求证：∠E ＝∠F【专题二】证明直线平行或垂直在两条直线的位置关系中，平行与垂直是两种特殊的位置。

几何证明综合复习九（梯形有关综合）1.培养学生通过探索和证明，发展推理意识和能力2.通过证明举例的学习和实践，懂得演绎推理的一般规则，并掌握规范表达的格式；了解证明之前进行分析的基本思路；3.体会用“分析综合法”探求解题思路；4.学习添置辅助线的基本方法，会添置常见的辅助线；5.会用文字语言、图形语言、符号语言三种数学语言进行证明说理。

知识结构【说明】：本部分为知识点方法总结性梳理，目的在于让学生能从题目条件和所证明结论，去寻找证明思路，用时大概 5-8 分钟左右。

【知识点、方法总结】：中考几何题证明思路总结几何证明题重点考察的是学生的逻辑思维能力，能通过严密的"因为" 、" 所以" 逻辑将条件一步步转化为所要证明的结论。

这类题目出法相当灵活，不像代数计算类题目容易总结出固定题型的固定解法，而更看重的是对重要模型的总结、常见思路的总结。

所以本文对中考中最常出现的若干结论做了一个较为全面的思路总结。

一、证明两线段相等1.两全等三角形中对应边相等。

2.同一三角形中等角对等边。

3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。

4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。

5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。

6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。

7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。

8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。

9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。

10.两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项（或两前项）相等。

11.等于同一线段的两条线段相等。

二、证明两角相等1.两全等三角形的对应角相等。

2.同一三角形中等边对等角。

3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。

4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。

5.同角（或等角）的余角（或补角）相等。

6.同圆（或圆）中，等弦（或弧）所对的圆心角相等；7.相似三角形的对应角相等；8.等于同一角的两个角相等。

动点产生的图形面积关系1.体会点的运动过程，能从点的运动过程中抓住一些不变的量；2.能从点的运动过程中建立自变量与面积的关系式；3.让学生学会求一些基本图形的面积；4.体会压轴题的解题方法和思路。

知识结构【备注】：1.此部分知识点梳理，根据第1个图先让学生初步体会到压轴题中求图形面积的种类，可以看看每一类图形学生都是怎么求解的；2再根据第2个图引导学生总结求三角形面积的一般方法。

时间5分钟左右完成。

一.压轴题中求图形面积类型：二．三角形面积的一般求解方法：例1.把两块边长为4的等边三角板ABC 和DEF 先如图11-1放置，使三角板DEF 的顶点D 与三角板ABC 的AC 边的中点重合，DF 经过点B ，射线DE 与射线AB 相交与点M ，接着把三角形板ABC 固定不动，将三角形板DEF 由图11-1所示的位置绕点D 按逆时针方向旋转，设旋转角为α．其中060α<<oo，射线DF 与线段BC 相交与点N （如图11-2示）。

（★★★★★） （1）求AM CN⋅的值；（2）设AM x =，两块三角形板重叠部分的面积为y ，求y 与x 的函数解析式并求定义域。

【参考教法】：可以通过以下方式引导学生分析题目、解决题目。

一．寻找题目中的已知条件或特殊条件：1.题目中有哪些边的长度是已知，让学生找找？提示：两个等边三角形的边长为4。

【备注】：1.以下每题教法建议，请老师根据学生实际情况参考；2.在讲解时：不宜采用灌输的方法，应采用启发、诱导的策略，并在读题时引导学生发现一些题目中的条件（相等的量、不变的量、隐藏的量等等），使学生在复杂的背景下自己发现、领悟题目的意思；3.可以根据各题的“参考教法”引导学生逐步解题，并采用讲练结合；注意边讲解边让学生计算，加强师生之间的互动性，让学生参与到例题的分析中来；4.例题讲解，可以根据“参考教法”中的问题引导学生分析题目，边讲边让学生书写，每个问题后面有答案提示；5.引导的技巧：直接提醒，问题式引导，类比式引导等等；6.部分例题可以先让学生自己试一试，之后再结合学生做的情况讲评；7.每个题目的讲解时间根据实际情况处理，建议每题7分钟，选讲例题在时间足够的情况下讲解。

上海沪教版初三C专题三轮冲刺（动点产生的平行四边形问题4星）教学设计一. 教材分析上海沪教版初三C专题三轮冲刺（动点产生的平行四边形问题4星）教学设计，主要针对学生对动点产生的平行四边形问题的理解与应用。

教材内容涉及平行四边形的性质、判定、分类及其在实际问题中的应用。

通过本节课的学习，使学生掌握平行四边形的性质，能够运用平行四边形的知识解决实际问题。

二. 学情分析初三学生已经学习过平行四边形的性质和判定，对平行四边形的基本概念有所了解。

但部分学生对平行四边形的应用问题解决能力较弱，对动点产生的平行四边形问题的理解不够深入。

因此，在教学过程中需要关注学生的个体差异，针对不同学生的学习需求进行有针对性的教学。

三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握平行四边形的性质，能够运用平行四边形的知识解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过观察、分析、推理等方法，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学学科的兴趣，培养学生的团队合作精神。

四. 教学重难点1.教学重点：平行四边形的性质及其在实际问题中的应用。

2.教学难点：动点产生的平行四边形问题的解决方法。

五. 教学方法1.情境教学法：通过设置实际问题，引导学生运用平行四边形的知识解决问题。

2.案例教学法：分析典型的动点产生的平行四边形问题，总结解题方法。

3.小组合作学习：分组讨论，共同解决问题，培养学生的团队合作精神。

4.启发式教学法：引导学生观察、分析、推理，培养学生的逻辑思维能力。

六. 教学准备1.准备相关的教学案例和实际问题，用于课堂导入和巩固环节。

2.准备多媒体教学资源，如PPT、图片等，用于呈现和讲解。

3.准备练习题，用于课堂练习和家庭作业。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生回顾平行四边形的性质。

例如：一个矩形框架，如何通过调整框架中的点，使其成为平行四边形？2.呈现（10分钟）呈现动点产生的平行四边形问题，引导学生观察、分析问题。

【例1】 已知90ABC ∠=︒，AB = 2，BC = 3，AD // BC ，P 为线段BD 上的动点，点Q 在射线AB 上，且满足：PQ ADPC AB=（如图1所示）． （1）当AD = 2，且点Q 与点B 重合时（如图2所示），求线段PC 的长；（2）在图1中，联结AP ．当32AD =，且点Q 在线段AB 上时，设点B 、Q 之间的距离为x ，APQ PBCS y S ∆∆=，其中APQ S ∆表示APQ ∆的面积，PBC S ∆表示PBC ∆的面积，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数定义域；（3）当AD < AB ，且点Q 在线段AB 的延长线上时（如图3所示），求QPC ∠的大小．【分析】（1）如图2，当AD = 2时，AD = AB ，由PQ ADPC AB=，可知PQ = PC ；由AD // BC 、 AD = AB 又可知45ABD PCB PBC ∠=∠=∠=︒，再由BC = 3可得PC 的长；（2）要求y 与x 的函数关系式，而y 与APQ S ∆和PBC S ∆有关，观察这两个三角形可发现， AQ 可用x 表示，BC 已知，所以APQ PBCS y S ∆∆=的值就是点P 到AB 和BC 的距离之比，故可过P 点分别向AB 和BC 作垂线段PF 和PE ，易得34PF PF AD PE BF AB ===，从而可表达y 与x 的函数关系式；对于定义域，要分析点Q 的运动范围（在线段AB 上）及限制条件 （PQ AD PC AB =），可得x 的最小值为0，当点P 在点D 处时，x 取得最大值，即得定义域；几何计算与说理例题解析E A D PCBQ 图1DAPCB （Q ）图2图3CADPBQ FM N2 / 14（3）要求QPC ∠的大小，而题中与QPC ∠有关的条件是“PQ ADPC AB=”，由（2）知若 过点P 向AB 和BC 作垂线PN 和PM ，可得PN AD PM AB =，所以PN PQPM PC=，既而可得 Rt PCM ∆∽Rt PQN ∆，易得90QPC ∠=︒．【解答】（1）∵AD // BC ，∴ADB DBC ∠=∠．∵AD = AB = 2，∴ABD ADB ∠=∠．∴DBC ADB ∠=∠． ∵90ABC ∠=︒，∴45PBC ∠=︒．∵PQ AD PC AB =，AD = AB ，点Q 与点B 重合，∴PB = PQ = PC ． ∴45PCB PBC ∠=∠=︒． ∴90BPC ∠=︒．在Rt BPC ∆中，32cos 3cos452PC BC C ==⨯︒=． （2）过点P 作PE BC ⊥，PF AB ⊥，垂足分别为E 、F ． ∴90PFB FBE BEP ∠=∠=∠=︒．∴四边形FBEP 是矩形． ∴PF // BC ，PE = BF ． ∵AD // BC ，∴PF // AD ，∴PF ADBF AB=． ∵32AD =，AB = 2，∴34PF PE =． ∵2AQ AB QB x =-=-，BC = 3，∴22APQ x S PF ∆-=，32PBC S PE ∆=． ∴24APQ PBCS x S ∆∆-=，即24xy -= ． 函数的定义域是708x ≤≤． （3） 过点P 作PM BC ⊥，PN AB ⊥，垂足分别为M 、N ． 易得四边形PNBM 为矩形，∴PN // BC ，PM = BN ，90MPN ∠=︒．∵AD // BC ，∴PN // AD ．∴PN AD BN AB =．∴PN ADPM AB =． ∵PQ AD PC AB =，∴PN PQPM PC=． 又∵90PMC PNQ ∠=∠=︒，∴Rt PCM ∆∽Rt PQN ∆． ∴CPM QPN ∠=∠．∵90MPN ∠=︒，∴90CPM QPM QPN QPM MPN ∠+∠=∠+∠=∠=︒， 即90QPC ∠=︒．【例2】 在Rt ABC ∆中，∠ACB = 90°，BC = 30，AB = 50．点P 是AB 边上任意一点，直线PE ⊥AB ，与边AC 或BC 相交于E ．点M 在线段AP 上，点N 在线段BP 上，EM = EN ，12sin 13EMP ∠=．（1）如图1，当点E 与点C 重合时，求CM 的长；（2）如图2，当点E 在边AC 上时，点E 不与点A 、C 重合，设AP = x ，BN = y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出函数的定义域；（3）若AME ∆∽ENB ∆（AME ∆的顶点A 、M 、E 分别与ENB ∆的顶点E 、N 、B 对应）， 求AP 的长．【分析】（1）当点E 与点C 重合时，易得EP 的长，再由12sin 13EMP ∠=可得CM 的长； （2）可以根据Rt AEP ∆∽Rt ABC ∆或者tan A =34得EP =43x ，再由12sin 13EMP ∠=可求 得PM 和PN 的长，从而可得y 与x 的函数关系式；关于定义域，x 的最小值为0，最 大值在点E 与C 重合时取得，由于不能重合，故0 < x < 32；（3）分两种情况进行讨论：当E 在AC 上或E 在BC 上；当E 在AC 上时，AM 、EN 、 EM 、NB 均可由x 表示，从而由比例关系求得AP 的长；当E 在BC 上时，重新画图， 寻找解题思路．【解答】（1）∵∠ACB = 90°，PE ⊥AB ，点E 与点C 重合∴1122ABC S AC BC AB CP =⋅⋅=⋅⋅∵AE = 40，BC = 30，AB = 50， ∴CP = 24， 又∵sin ∠EMP CP CM ==1312， ∴CM = 26；（2）在Rt AEP ∆与Rt ABC ∆中，∵ ∠EAP =∠BAC ，∴ Rt AEP ∆∽Rt ABC ∆， ∴ACBC AP EP =，即4030=x EP ，∴ EP =43x ， C AM P NBC(E)EAM P NB图1图24 / 14∵sin ∠EMP =1312，∴tan ∠EMP =512=MP EP ，即512=MPx43，∴ MP =165x = PN ， ∴BN =AB -AP -PN = 50-x -165x = 50-1621x ， ∴y = 50-1621x （0 < x < 32）； （3）①当E 在线段AC 上时， 由（2）知，1213=EP EM ，即121343=x EM ，∴EM =1613x = EN ，∵AME ∆∽ENB ∆，又AM = AP -MP = x -165x =1611x ， ∴ NB ME EN AM =， 即x x 16131611=x x1621501613-，解得：x = 22 ；②当E 在线段BC 上时，∵AME ∆∽ENB ∆，∴ ∠AEM =∠EBN ， 由外角定理，∠AEC =∠EAB +∠EBN =∠EAB +∠AEM =∠EMP ， ∴Rt ACE ∆∽Rt EPM ∆，∴PM EP CE AC =，∴CE =350… 设AP = z ，∴ PB = 50-z ， ∵Rt BEP ∆∽Rt BAC ∆，∴BC BA PB BE =，即z BE -50=3050，∴BE =35(50-z )， ∴CE = BC -BE = 30-35(50-z )… 联立 ， ，得：350=30-35(50-z )，解得：z = 42 ．综上：AP =22或42．图一DOEC BAABC DE O 【例3】 如图，在半径为2的扇形AOB 中，∠AOB = 90°，点C 是AB 上的一个动点（不与点A 、B 重合），OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ． （1）若BC = 1，求OD 的长；（2）在DOE ∆中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请 指出并求其长度；如果不存在，请说明理由；（3）设BD = x ，DOE ∆的面积为y ，求y 关于x 的函数关系 式，并写出它的定义域．【分析】（1）根据垂径定理可得OD 的长；（2）对于DOE ∆，很明显OD 、OE 的长会随着点C 的运动而发生变化；联结DE 后发 现，点D 、E 为BC 和AC 的中点，则DE 是ABC ∆的中位线，故其长度不变，为AB 的 一半；（3）DOE ∆中，DE 已知，OD 可用x 表达， 这样还没有办法表达DOE ∆的面积，则 需要继续挖掘关于DOE ∆的有效条件；由于OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，若联结OC ，易得BOD COD ∠=∠，COE AOE ∠=∠，所以45DOE ∠=︒；再过点D 作OE 的垂线，则垂线段的长度和OE 的的长度均可用x 表达，从而可求得y 关于x 的函数关系式； 定义域显然为：02x <<【解答】（1）∵OD ⊥BC ，BC = 1，∴1122BD BC ==．在Rt OBD 中，22221152()2OD OB BD =--；（2）存在．DE 的长保持不变．连接DE （如图一）． ∵OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，∴D 、E 分别是BC 、AC 的中点， ∴12DE BA =．在Rt AOB ∆中，222AB OB OA =+， ∴222222AB +． ∴2DE6 / 14图二DOF E C BA（3）连接OC ，过点D 作DF OE ⊥于点F （如图二）． ∵OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，OA OB OC ==， ∴BOD COD ∠=∠，EOC EOA ∠=∠，∵90AOB BOD COD EOC EOA ∠=∠+∠+∠+∠=， ∴45DOE EOC DOC ∠=∠+∠=． ∵OD ⊥BC ，BD = x ，2OB =， ∴2224DO OB BD x =-=- ∵DF OE ⊥，45DOE ∠=，∴224DF OF x =-． ∴222222(4)4EF DE DF x =--⋅-=．∴2211222()(4)422y OF EF DF x x =⋅+⋅=⋅--， 即2244x x x y -+-(02)x <<．A BCDPQM 【例4】 在矩形ABCD 中，点P 是边AD 上的动点，联结BP ，线段BP 的垂直平分线交边BC 于点Q ，垂足为点M ，联结QP （如图）．已知AD = 13，AB = 5，设AP = x ，BQ = y ． （1）求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的取 值范围；（2）当以AP 长为半径的⊙P 和以QC 长为半 径的⊙Q 外切时，求x 的值；（3）点E 在边CD 上，过点E 作直线QP 的垂 线，垂足为F ，如果EF = EC = 4，求x 的值． 【分析】（1） AP = x ，BQ = y ，要求y 关于x 的函数解析式，而AP 、BQ 在不同的三角形中， 则容易想到ABP ∆∽MQB ∆，从而根据线段的比例关系求得y 与x 的关系式；当Q 点与点C 重合时，x 取得最小值；当点P 运动到D 点时，x 取得最大值； （2）由两圆外切可得AP QC PQ BQ +==，可解得x ；（3）先根据题意将图形画出，如图，由EF = EC ，可得12∠=∠，又34∠=∠，35∠=∠， 可得15∠=∠，所以CEQ ∆∽ABP ∆，再根据线段的对应成比例可求得x 的值． 【解答】（1）在Rt ABP ∆中，222225BP AP AB x =+=+，∵MQ 是线段BP 的垂直平分线，∴BQ = PQ ，BM =12BP ，∠BMQ = 90°，∴∠MBQ +∠BQM = 90°，∵∠ABP +∠MBQ = 90°，∴∠ABP =∠BQM ， 又∵∠A =∠BMQ = 90°， ∴ABP ∆∽MQB ∆， ∴BP AP BQ BM =，即12BP x y BP =，化简得：()22112522y BP x x x ==+． 当点Q 与点C 重合时，BQ = PQ = 13， 在Rt PQD ∆中，222PQ QD PD =+， 即()22213513x =+-，解得：x = 1； 又∵13AP AD ≤=，∴113x ≤≤．∴()21252y x x =+（113x ≤≤）．8 / 14ABCDPQN（2）当⊙P 与⊙Q 相外切时，如图所示：设切点为N ， 则PQ = PN + QN = AP +（BC -BQ ） =()1313x y x y +-=+-；∵PQ = BQ ，∴13x y y +-=，即2130y x --=； 将()21252y x x =+代入上式，可解得：x =2513，故当x =2513时，以AP 长为半径的⊙P 和以QC 长为半 径的⊙Q 外切；（3）按题意画出图形，如图所示，联结QE ， ∵EF = EC ，EF PQ ⊥，EC QC ⊥ ∴12∠=∠， ∵PQ = BQ ， ∴34∠=∠，而1234∠+∠=∠+∠， ∴13∠=∠．又∵矩形ABCD ，∴AD // BC ， ∴35∠=∠，∴15∠=∠， 又∵90C A ∠=∠=︒， ∴CEQ ∆∽ABP ∆， ∴CQ EC AP AB =，即1345y x -=，化简得：4565x y +=， 将()21252y x x=+代入上式，解得：65102613x ±=， 故当65102613x ±=时，EF = EC = 4．ABCD PQMF E12 34 5A BCDEF OPQ 【例5】 已知：如图，AB 是半圆O 的直径，弦CD // AB ，动点P 、Q 分别在线段OC 、CD上，且DQ = OP ，AP 的延长线与射线OQ 相交于点E 、与弦CD 相交于点F （点F 与点C 、D 不重合），AB = 20，cos ∠AOC =45．设OP = x ，CPF ∆的面积为y ．（1）求证：AP = OQ ；（2）求y 关于x 的函数关系式，并写出它的定义域； （3）当OPE ∆是直角三角形时，求线段OP 的长． 【分析】（1）要证AP = OQ ，分析条件中与这两条线段有关的条件为“DQ = OP ”，故想到联结 OD ，证明AOP ∆≌ODQ ∆，即可得证；（2）要表达CPF ∆的面积，由CD // AB 可得PFC ∆∽PAO ∆，只需表达出PAO ∆的面 积，根据2AOPy CP S OP ∆⎛⎫= ⎪⎝⎭即可求y 关于x 的函数关系式； （3）根据直角三角形分别对三个内角分别为90°的情况进行分类讨论．【解答】（1）联结OD ，易得：AO = OD ；∵CD // AB ，∴AOC C ODQ ∠=∠=∠， ∴AOP ∆≌ODQ ∆，∴AP = OQ ；（2）作PH OA ⊥，∴4455OH OP x ==，35PH x =，∴132AOP S AO PH x ∆==； 又∵PFC ∆∽PAO ∆， ∴2210AOPy CP x S OP x ∆-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即：2360300x x y x -+=（501013x <<）． （3）当90POE ∠=︒时，25cos 2OC CQ QCO ==∠，72OP DQ CD CQ ==-=（舍）； 当90OPE ∠=︒时，cos 8OP AO COA =∠=； 当90OEP ∠=︒时，AOQ DQO APO ∠=∠=∠，∴AOC AEO ∠=∠，即OEP COA ∠=∠，此种情况不存在； ∴线段OP 的长为8．ABCDEF OPQ H10 / 14A BCD E F G【例6】 如图所示，梯形ABCD 中，AB // DC ，90B ∠=︒，AD = 15，AB = 16，BC = 12，点E 是边AB 上的动点，点F 是射线CD 上一点，射线ED 和射线AF 交于点G ， 且AGE DAB ∠=∠． （1）求线段CD 的长；（2）如果AEG ∆是以EG 为腰的等腰三角形，求线段AE 的长；（3）如果点F 在边CD 上（不与点C 、点D 重合），设 AE = x ，DF = y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的取 值范围． 【分析】（1）过点D 作线段AB 的垂线段，即可求得CD 的长；（2）由AGE DAB ∠=∠可得AEG ∆∽DEA ∆，所以DEA ∆是以AE 为腰的等腰三角形， 分两种情况进行讨论：AE = AD 或AE = DE ；（3）由AE = x 可表达DE 的长，根据AEG ∆∽DEA ∆可表达EG 的长，再根据DF DGAE EG=可表达DF 的长，即得y 与x 的函数关系式；对于x 的取值范围，从两点出发：F 在边 CD 上，y 的值大于0． 【解答】（1）过点D 作DH AB ⊥，垂足为点H ；在Rt DAH ∆中，90AHD ∠=︒，AD = 15，DH = 12； ∴229AH AD DH =-=；又∵AB = 16，∴7CD BH AB AH ==-=；（2）∵AEG DEA ∠=∠，又AGE DAE ∠=∠，∴AEG ∆∽DEA ∆；由AEG ∆是以EG 为腰的等腰三角形，可得DEA ∆是以AE 为腰的等腰三角形；○1若AE = AD ，∵AD = 15 ∴AE = 15； ○2若AE = DE ，过点E 作EQ AD ⊥，垂足为Q ，∴11522AQ AD ==； 在Rt DAH ∆中，90AHD ∠=︒，3cos 5AH DAH AD ∠==； 在Rt AEQ ∆中，90AQE ∠=︒，3cos 5AQ QAE AE ∠==；∴252AE =； 综上所述：当AEG ∆是以EG 为腰的等腰三角形时，线段AE 的长为15或252；（3）在Rt DHE ∆中，90DHE ∠=︒，DE = ∵AEG ∆∽DEA ∆，∴AE EGDE AE =，∴2EG∴2DG ；∵DF // AE ，∴DF DGAE EG=，即()2222129x x y x x +--=； ∴22518x y x -=，x 的取值范围为2592x <<．12 / 14ABCDEP【作业1】 如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒．半径为1的A 与边AB 相交于点D ，与边AC 相交于点E ，连结DE 并延长，与线段BC 的延长线交于点P ． （1） 当30B ∠=︒时，连结AP ，若AEP ∆与BDP ∆相似，求CE 的长； （2）若CE = 2，BD = BC ，求BPD ∠的正切值；（3）若1tan 3BPD ∠=，设CE = x ，ABC ∆的周长为y ，求y 关于x 的函数关系式． 【分析】（1）∠B = 30°可得∠BAC = 60°，从而得到∠EPC = 30°，BDP ∆为等腰三角形，根据AEP ∆与BDP ∆相似可得，AE = EP ，即得AC 的长；（2）过点D 作DQ ⊥AC 于点Q ，设AQ = a ，BD = x ，可利用AD AQAB AC=表达出a 与x 的关系，则在在Rt ADQ ∆中，DQ 可用x 表示，再根据DQ ADBC AB=可求得x 的值，即BD 和BC 的长度；要求BPD ∠的正切值，由于CE 已知，则要求CP 的长度，过点C 作 CF // DP ，由于AD = AE 可得AF = AC ，从而得到BF 的长，根据BFC ∆∽BDP ∆，可 求得CP 的长，即得BPD ∠的正切值；（3）过D 点作DQ ⊥AC 于点Q ，设AQ = a ，由1tan 3BPD ∠=可表达DQ ，在Rt ADQ ∆ 中，根据勾股定理可求得a 的值；在根据ADQ ∆∽ABC ∆，CE = x 可表达AB 、BC ，从 而可求得y 关于x 的函数关系式． 【解答】（1）解：∵∠B = 30°，∠ACB = 90°，∴∠BAC = 60°， ∵AD = AE ，∴∠AED = 60°=∠CEP ， ∴∠EPC = 30° ∴BDP ∆为等腰三角形 ∵AEP ∆与BDP ∆相似∴∠EAP =∠EP A =∠DBP =∠DPB = 30°， ∴AE = EP = 1， ∴在Rt ECP ∆中，EC =12EP =12；课后作业（2）过点D 作DQ ⊥AC 于点Q ，且设AQ = a ，BD = x ， ∵AE = 1，EC = 2，∴3QC a =-； ∵∠ACB = 90°，∴ADQ ∆∽ABC ∆，∴AD AQ AB AC = 即113a x =+，∴31a x =+, ∵在Rt ADQ ∆中，2222328111x x DQ AD AQ x x +-⎛⎫=-=-=⎪++⎝⎭，∵DQ ADBC AB=，∴228111x x x x x +-+=+， 解之得：x = 4，即BC = 4； 过点C 作CF // DP ，∴ADE ∆∽AFC ∆，∴AE AD AC AF =，即AF = AC ，即DF = EC = 2， ∴BF = DF = 2；∵BFC ∆∽BDP ∆， ∴2142BF BC BD BP ===，即：BC = CP = 4， ∴tan ∠BPD =2142EC CP ==； （3）过D 点作DQ ⊥AC 于点Q ，则DQE ∆∽PCE ∆，设AQ = a ，则1QE a =-， ∴QE DQ EC CP =，且1tan 3BPD ∠=，∴()31DQ a =-． ∵在Rt ADQ ∆中，据勾股定理得：222AD AQ DQ =+， 即：()222131a a =+-⎡⎤⎣⎦，解之得1a =（舍去），45a = ∵ADQ ∆∽ABC ∆，∴445155AD DQ AQ AB BC AC x x====++， ∴554x AB +=，334xBC +=， ∴ABC ∆的周长553313344x xy AB BC AC x x ++=++=+++=+， 即：33y x =+，其中x > 0．ABCDE PFQ14 / 14ABCDEFG P 【作业2】 如图，已知在平行四边形ABCD 中，AB = 5，BC = 8，cosB =45，点P 是边BC 上的动点，以CP 为半径的圆C 与边AD 交于点E 、F （点F 在点E 的右侧），射线CE 与射线BA 交于点G ．（1）当圆C 经过点A 时，求CP 的长； （2）联结AP ，当AP //CG 时，求弦EF 的长； （3）当AGE ∆是等腰三角形时，求圆C 的 半径长． 【分析】（1）当圆C 经过点A 时，CP = AC ，过点A 作BC 的垂线段AH 即可求AC ； （2）当AP //CG 时，易得四边形APCE 22AH PH CP +，可求得CP 的长，既而可以求得EF ；（3）AEG DEC ∆∆∽，再进行分类讨论等腰的情况，即可求出圆C 的长．【解答】（1）作AH ⊥BC 于H ．∴BH = 4，AH = 3，∴CH = 4．∴225AC AH CH =+， ∴CP = AC = 5； （2）∵AP //CG ，∴APCE 为平行四边形， 又∵CE = CP ，∴APCE 为菱形．设CP = x ，则AP = CP 22AH PH CP +． ()294x x +-=，解得：258x =，∴74EF =；（3）设AE t =，则()294CE t =+- ∵AEG DEC ∆∆∽，∴58t AG t =-，()2948t GE t t =+--分情况讨论：① AE = AG ，解得：3t =；② AE = GE ，解得：398t =，E 在F 点右边，舍去；③ AG = GE ，解得：0t =或8t =，均不可能，舍去． 当AE = 3时，10CE故当AGE ∆是等腰三角形时，圆C 10。

几何证明综合复习十九（新定义）1.培养学生通过探索和证明，发展推理意识和能力2.通过证明举例的学习和实践，懂得演绎推理的一般规则，并掌握规范表达的格式；了解证明之前进行分析的基本思路；3.体会用“分析综合法”探求解题思路；4.学习添置辅助线的基本方法，会添置常见的辅助线；5.会用文字语言、图形语言、符号语言三种数学语言进行证明说理。

知识结构【说明】：本部分为知识点方法总结性梳理，目的在于让学生能从题目条件和所证明结论，去寻找证明思路，用时大概5-8分钟左右。

【知识点、方法总结】：中考几何题证明思路总结几何证明题重点考察的是学生的逻辑思维能力，能通过严密的"因为"、"所以"逻辑将条件一步步转化为所要证明的结论。

这类题目出法相当灵活，不像代数计算类题目容易总结出固定题型的固定解法，而更看重的是对重要模型的总结、常见思路的总结。

所以本文对中考中最常出现的若干结论做了一个较为全面的思路总结。

一、证明两线段相等1.两全等三角形中对应边相等。

2.同一三角形中等角对等边。

3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。

4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。

5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。

6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。

7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。

8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。

9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。

10.两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项（或两前项）相等。

11.等于同一线段的两条线段相等。

二、证明两角相等1.两全等三角形的对应角相等。

2.同一三角形中等边对等角。

3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。

4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。

5.同角（或等角）的余角（或补角）相等。

6.同圆（或圆）中，等弦（或弧）所对的圆心角相等；7.相似三角形的对应角相等；8.等于同一角的两个角相等。