[高中数学课件]欧拉公式

3
4、求积分
例1： /
4
eit
dt
iei/4 i i
1

i
i
1
i1
1

0
2 2
2 2
例2：
1 dx
x4 1

2iRzec0s
f
z
Re s z c1
f
z

2i
1 4
3i
z 1 z2 2iaz 1
z z1
a2 1
5、 倍角和半角的
cot
证：左
e2i e2i i e2i e2i
e2i e2i
sin 2 1 cos 2

1

2i e2i
e2i
2、求方根
例： 4 1 i 4
i
2n i4
2e 4 8 2e 4 n 0,1,2,3
3、初等函数求值
例： Log 1
3i ln 2 i 2 2n ln 2 2n 1 in 0,1,2,
3
设m是大于1的整数，（a,m）=1，则 am 1mod m
《复变函数论》中的欧拉函数：
ei cos i sin (Eulersformula )
《数值分析》中的欧拉函数：
一般的，设已作出该折线的极点,过依方向场的方 向再推进到，显然两个极点的坐标有以下关系
yn1 yn xn1 xn
将欧拉公式换为得到欧拉公式成为人们公认的最优美公式被视为数学美的一个象征数学家们评价它是上帝创造的公sincosi上帝创造的公式欧拉公式的两个基本性质由欧拉公式可以看出在复数域内指数函数是周期函数具有基本周期cos1sin1cossincossincossincos2sin21012ki2在欧拉公式中用代替得到由上式容易看出正弦函数是奇函数余弦函数是偶函数

20
12
12
20
30
30
2.验证一般简单多面体V、E、F的关系
简单几何体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） V+F-E
5 6 6
5 6 5
8 10 9
2 2 2
10
8
7
6
15
12
2
2
6
5
9
2
3.数出下列四个多面体的顶点数V、面数F、 棱数E 并填表 结论： 关系 V+F- E=2不仅对正多面体、棱柱、 棱锥成立，而且对更多的多面体也都成立。
• 了解欧拉定理的证明。 • 会简单应用欧拉定理。 培养学生发现问题、提出问题、 解决问题、获取知识、运用知识 的能力。
复习: 1.多面体的定义
若干个平面多边形围成的几何体
(1)Biblioteka （2）（3） 棱 顶点
(4)
2.多面体的有关概念 多面体的面 3.多面体的分类 4.凸多面体
四面体 五面体
六面体等
把多面体的任何一个面延伸为平面,如果所 有其他各面都在这个平面的同侧,这样的多 面体叫做凸多面体
简单多面体的顶点数V，面数F的和与棱数E 之间存在的规律？
V+F-E=2
• 欧拉最先把对数定义为乘方的逆运算，并且最先 欧拉，瑞士数学家。 13 岁就成为巴塞尔大学的学 在普及教育和科研中，欧拉意识到符号的简化和 • 1735 年，欧拉着手解决一个天文学难题──计算 • 有的历史学家把欧拉和阿基米德、牛顿、高斯列 • 欧拉是科学史上最多产的一位杰出的数学家，他 规则化既有有助于学生的学习，又有助于数学的 发现了对数是无穷多值的。他证明了任一非零实 生， 17 岁成为巴塞尔有史以来的第一个年轻的硕 慧星的轨迹（这个问题需经几个著名的数学家几 •为有史以来贡献最大的四位数学家，依据是他们 欧拉不但重视教育，而且重视人才。当时 1771 年，圣彼得堡一场大火，秧及欧拉的住宅， 从 19岁开始发表论文，直到76岁，他那不倦的一 发展，所以欧拉创立了许多新的符号。如用 sin 、 数Ｒ有无穷多个对数。 士。欧拉从一开始就选择通过解决实际问题进行 个月的努力才能完成）。由于欧拉使用了自己发 都在创建纯粹理论的同时，还应用这些数学工具 一位仆人冒着生命危险把欧拉从大火中背出来。 法国的拉格朗日只有 19岁，而欧拉已 48岁。 生，共写下了 886 本书籍和论文，其中在世时发表 cos 等表示三角函数，用 e 表示自然对数的底， 明的新方法，只用了三天的时间。但三天持续不 数学研究的道路。 1726年，19岁的欧拉由于撰写 • 去解决大量天文、物理和力学等方面的实际问题， 欧拉使三角学成为一门系统的科学，他首先用比 可他的藏书及大量的研究成果都化为灰烬。大火 拉格朗日与欧拉通信讨论 "等周问题i " ，欧 了 700多篇论文。甚至在他死后，彼得堡科学院为 用 f(x) 表示函数，用 ∑表示求和，用 表示虚 断的劳累也使欧拉积劳成疾，疾病使年仅 28 岁的 了《论桅杆配置的船舶问题》而荣获巴黎科学院 他们的工作是跨学科的，他们不断地从实践中吸 值来给出三角函数的定义，使三角学跳出只研究 以后他立即投入到新的创作之中。他完全凭着坚 了整理他的著作，整整用了 47年。就科研成果方 数等。圆周率π虽然不是欧拉首创，但却是经过 拉也在研究这个问题。后来拉格朗日获得 欧拉右眼失明。但他仍然醉心于科学事业，忘我 取丰富的营养，但又不满足于具体问题的解决， 的资金。 三角表这个圈子。欧拉对整个三角学作了分析性 强的意志和惊人的毅力，回忆所作过的研究。欧 面来说，欧拉是数学史上或者说是自然科学史上 欧拉的倡导才得以广泛流行。而且，欧拉还把 e 、 地工作。 而是把宇宙看作是一个有机的整体，力图揭示它 成果，欧拉就压下自己的论文，让拉格朗 • 的研究，从最初几个公式解析地推导出了全部三 欧拉的成才还有另一个重要的因素，就是他那惊 首屈一指的。 拉的记忆力也确实罕见，他能够完整地背诵出几 π 、i 统一在一个令人叫绝的关系式中。 欧拉 •的奥秘和内在规律。 晚年欧拉的左眼又失明了，但他用口授、别人记 日首先发表，使他一举成名。 角公式，还获得了许多新的公式。 人的记忆力！他能背诵前一百个质数的前十次幂， 在研究级数时引入欧拉常数Ｃ， 这是继π 、e 十年前的笔记内容，然后口授，由他的长子记录。 • 欧拉研究论著几乎涉及到所有数学分支，对物理 录的方法坚持写作。他撰写了《微积分原理》， • 由于欧拉出色的工作，后世的著名数学家都极度 之后的又一个重要的数。 能背诵罗马诗人维吉尔（ Virgil）的史诗Aeneil， 力学、天文学、弹道学、航海学、建筑学、音乐 他用这种方法又发表了论文４００多篇以及多部 • 推崇欧拉。大数学家拉普拉斯说过：“读读欧拉， 欧拉用 a 、b 、c 表示三角形的三条边，用Ａ、 1768年，《积分学原理》第一卷在圣彼得堡出版。 能背诵全部的数学公式。直至晚年，他还能复述 都有研究！欧拉写的数学教材在当时一直被当作 专著，这几乎占他全部著作的半数以上。 Ｂ、Ｃ表示第个边所对的角，从而使叙述大大地 1770年第三卷出版。同年，他又口述写成《代数 这是我们一切人的老师。”被誉为数学王子的高 标准教程。 年轻时的笔记的全部内容。高等数学的计算他可 学完整引论》，有俄文、德文、法文版，成为欧 简化。欧拉得到的著名的公式又把三角函数与指 斯也说过： "对于欧拉工作的研究，将仍旧是对于 以用心算来完成。 洲几代人的教科书。 数函联结起来。 数学的不同范围的最好的学校，并且没有别的可 以替代它"。

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+ i)(1 - i)} = - frac{1}{2} + frac{1}{2}i$，故答案为$- frac{1}{2} +
frac{1}{2}i$.
习题二
题目：已知$i$为虚数单位，复数$z$满足$frac{2 + i}{z} = i$，则复数$z =$( )
答案：B
解析：由$frac{2 + i}{z} = i$，得$z = frac{2 + i}{i} = frac{(2 + i)i}{i^{2}} = frac{- 1 + 2i}{- 1} = 1 + i$.故选B.
总结词
统一处理方式
详细描述
欧拉公式揭示了三角函数和指数函数之间的内在联系，使得在微积分中处理这两类函数时可以采用统一的处理方 式，简化了一些微积分问题的求解过程。
在复数中的应用
总结词
复数表示的桥梁
详细描述
欧拉公式是复数表示的桥梁，它可以将复数表示为三角函数的形式，使得复数的运算更加直观和方便 。同时，欧拉公式在复变函数和复分析等领域也有着广泛的应用。
欧拉公式在物理、工程、金融等领域也有广泛应用，例如在解决波动方程、计算复 利、评估期权价格等问题中都发挥了关键作用。
欧拉公式的历史背景
欧拉是一位杰出的数学家，他 在18世纪发现了欧拉公式。
欧拉公式的发现过程充满了曲 折和探索，它是欧拉在解决其 他数学问题的过程中偶然发现 的。
欧拉公式的发现为数学和物理 学的发展做出了巨大贡献，被 誉为数学史上的里程碑之一。
总结词独特的优势 。
详细描述
例如，欧拉公式的一个变种是球坐标系下的形式，它将三维空间的点表示为球坐标系中 的(r, θ, φ)，其中r是点到原点的距离，θ是点在xoy平面上的投影与x轴的夹角，φ是点 在xz平面上的投影与x轴的夹角。这种形式在处理球对称问题时非常有用。此外，还有

欧拉
著名的数学家，瑞士人，大部分时间在俄国和法 国度过．他16岁获得硕士学位，早年在数学天才贝努 里赏识下开始学习数学，毕业后研究数学，是数学史 上最高产的作家．在世发表论文700多篇，去世后还 留下100多篇待发表．其论著几乎涉及所有数学分 支．他首先使用f(x)表示函数，首先用∑表示连加，首 先用i表示虚数单位．在立体几何中多面体研究中，首 先发现并证明欧拉公式．
讨论
问题1： （2）数出下列四个多面体的顶点数V、面数F、棱数E 并填表
(5)
图形编号 （5） （7） （6）
顶点数V 5 16
7
面数F 5 16
8Leabharlann (8)棱数E 8 32 12
简单多面体 V+F-E=2（欧拉公式）
欧拉公式
长，家庭教师和家长，店员和店主）。 【宾服】ī〈书〉动服从；归附。 【宾服】ī?〈方〉动佩服：你说的那个理，俺不～。 【宾馆】ī名招待来宾住宿的地 方。现指较大而设施好的旅馆。 【宾客】ī名客人（总称）：迎接八方～。 【宾朋】ī名宾客；朋友：～满座。 【宾语】ī名动词的一种连带成分，一般在动词 后边，用来回答“谁？”或“什么？”例如“我找； / 笔趣阁小说网；厂长”的“厂长”，“他开拖拉机”的“拖拉机”，“接受批 评”的“批评”，“他说他不知道”的“他不知道”。有时候一个动词可以带两个宾语，如“教我们化学”的“我们”和“化学”。 【宾至如归】īī客人到 了这里就像回到自己的家一样，形容旅馆、饭馆等招待周到。 【宾主】ī名客人和主人：～双方进行了友好的会谈。 【彬】ī①［彬彬］（īī）〈书〉形文雅的 样子：～有礼｜文质～。②（ī）名姓。 【傧】（儐）ī［傧相］（ī）名①古代称接引宾客的人，也指赞礼的人。②举行婚礼时陪伴新郎新娘的人：男～｜ 女～。 【斌】ī同“彬”。 【滨】（濱）ī①水边；近水的地方：海～｜湖～｜湘江之～。②靠近（水边）：～海｜～江。③（ī）名姓。 【缤】（繽）ī［缤 纷］（ī）〈书〉形繁多而凌乱：五彩～｜落英（花）～。 【槟】（檳、梹）ī［槟子］（ī?）名①槟子树，花红的一种，果实比苹果小，红色，熟后转紫红， 味酸甜带涩。②这种植物的果实。 【镔】（鑌）ī［镔铁］（ī）名精炼的铁。 【濒】（瀕）ī①紧靠（水边）：～湖｜东～大海。②临近；接近：～危｜～行。 【濒绝】ī动濒临灭绝或绝迹：～物种。 【濒临】ī动紧接；临近：我国～太平洋｜精神～崩溃的边缘。 【濒死】ī动临近死亡：从～状态下抢救过来。 【濒危】 ī动接近危险的境地，指人病重将死或物种临近灭绝：病人～｜～动物。 【濒于】ī动临近；接近（用于坏的遭遇）：～危境｜～绝望｜～破产。 【豳】ī古地 名，在今陕西彬县、旬邑一带。也作邠。 【摈】（擯）〈书〉抛弃；排除：～诸门外｜～而不用。 【摈斥】动排斥：～异己。 【摈除】动排除；抛弃：～

欧拉
著名的数学家，瑞士人，大部分时间在俄国和法 国度过．他16岁获得硕士学位，早年在数学天才贝努 里赏识下开始学习数学，毕业后研究数学，是数学史 上最高产的作家．在世发表论文700多篇，去世后还 留下100多篇待发表．其论著几乎涉及所有数学分 支．他首先使用f(x)表示函数，首先用∑表示连加，首 先用i表示虚数单位．在立体几何中多面体研究中，首 先发现并证明欧拉公式．
讨论
问题1： （2）数出下列四个多面体的顶点数V、面数F、棱数E 并填表
(5)
图形编号 （5） （7） （6）
顶点数V 5 16
7
面数F 5 16
8
(Hale Waihona Puke )棱数E 8 32 12简单多面体 V+F-E=2（欧拉公式）
欧拉公式
他描写成刚正严明、不畏权势的清官的典型。 【包谷】〈方〉名玉米。也作苞谷。 【包管】动担保（表示说话人的自信）：～退换｜他这种病～不用吃就会 好。 【包裹】①动包；包扎：用布把伤口～起来。②名包扎成件的包儿：他肩上背着一个小～｜我到邮局寄～去。 【包含】动里边含有：这句话～好几层意 思。 【包涵】?ɑ动客套话，请人；优游 优游 ； 原谅：唱得不好，大家多多～！ 【包伙】①（－∥－）动包饭?。②名包饭?。 【包 机】ī①动定期租用飞机：开展～业务。②名包乘的飞机：一架旅游～。 【包间】名宾馆和餐饮、等场所设的供某位或某些客人专用的房间。 【包金】ī动用 薄金叶包在金属首饰外面：～项链。 【包金】ī名包银。 【包举】〈书〉动总括；全部占有：～无遗。 【包括】动包含（或列举各部分，或着重指出某一部 分）：语文教学应该～听、说、读、写四项，不可偏轻偏重｜我说“大家”，自然～你在内。 【包揽】动兜揽过来，全部承担：政府部门不可能把各种事务 都～起来。 【包罗】动包括（指大范围）：民间艺术～甚广，不是三言两语所能说完的。 【包罗万象】内容丰富，应有尽有：这个博览会的展品真可说是～， 美不胜收。 【包米】〈方〉名玉米。也作苞米。 【包赔】动担保赔偿：～损失。 【包皮】名①包装的皮儿。②阴茎前部覆盖龟头的外皮。 【包票】名保单 的旧称。料事有绝对的把握时，说可以打包票：他一定能按时完成任务，我敢打～。也说保票。 【包青天】ī名见页〖包公〗。 【包容】动①宽容：大 度～｜一味～。②容纳：小礼堂能～三百个听众。 【包身工】名①旧社会一种变相的贩卖奴隶的形式。被贩卖的是青少年，由包工头骗到工厂、矿山做工， 没有人身自由，工钱全归包工头所有，受资本家和包工头的双重剥削。②在包身工形式下做工的人。 【包探】名旧时巡捕房中的侦缉人员。 【包头】?名① 裹在头上的装束用品（多用于少数民族）：青～。②（～儿）附在鞋头起保护作用的橡胶、皮革等：打～儿。 【包围】动①四面围住：亭子被茂密的松林～ 着。②正面进攻的同时，向敌人的翼侧和后方进攻。 【包围圈】名军事上指已形成包围态势的圈子和已被包围的地区：冲出～｜～越缩越小了。 【包席】① （－∥－）动订整桌配套的酒席：你们是点菜还是～？｜婚宴包了三桌席。②名饭馆里指整桌供应的酒席。也说包桌。 【包厢】名某些剧场里特设的单间席 位，一间有几个座位，多在楼上。 【包销】动①指商人承揽货物，负责销售。②指商业机构跟生产单位订立合同，把全部产品包下来销售。

信号处理
物理学
ห้องสมุดไป่ตู้工程学
在物理学中，欧拉公式用于描写波动、振动和波动方程的解。
在电气工程、控制系统等领域，欧拉公式用于分析交流电和交流信号的特性。
03
02
01
03
CHAPTER
欧拉公式的证明
通过解析几何的方法，利用向量和复数的几何意义，推导欧拉公式。
解析几何法
利用三角函数的周期性和对称性，通过三角恒等式推导出欧拉公式。
在量子力学中，波函数是描写粒子状态的重要工具。通过波函数的模平方，可以计算出粒子在某个位置出现的概率。欧拉公式在量子力学中的波函数计算中发挥了重要的作用，它可以将复指数函数转化为三角函数，使得波函数的计算变得更加简单和准确。
总结词：欧拉公式在量子力学中的波函数计算中发挥了关键的作用，使得波函数的计算更加准确和高效。
05
CHAPTER
欧拉公式的应用实例
VS
傅里叶变换是信号处理和通讯领域中的重要工具，它可以将时间域的信号转换为频域的信号，从而更好地分析信号的特性和频率成分。欧拉公式在傅里叶变换中扮演着关键的角色，它提供了将复指数函数转化为三角函数的方法，使得傅里叶变换的计算变得简单和高效。
总结词：欧拉公式在傅里叶变换中的应用使得信号处理和通讯领域的研究更加便利和高效。
三角函数法
利用幂级数的性质和运算规则，通过幂级数展开式推导出欧拉公式。
幂级数法
通过代数运算和恒等变换，利用复数的代数情势和性质，推导欧拉公式。
代数法
利用微积分的基本定理和性质，通过微积分运算推导出欧拉公式。
微积分法
利用矩阵的运算规则和性质，通过矩阵变换推导出欧拉公式。
矩阵法
通过几何图形和空间向量的性质，利用几何图形变换和向量运算，推导欧拉公式。

《高一数学欧拉公式》 PPT课件
数学欧拉公式是高一数学的重要内容之一，介绍了公式的形式和含义，以及 它在数学研究和实际应用中的重要性。
导入欧拉公式数学欧拉公 Nhomakorabea是由瑞士数学家 欧拉提出的一种重要数学公式， 具有广泛的应用价值。
带来的启示
欧拉公式不仅仅是一个公式， 更是对数学思维的启示和对实 际应用的指导。
欧拉公式对数学学习的推进
通过学习和理解欧拉公式，可以提 高数学学习的效果和兴趣。
欧拉公式对数学研究的促进
欧拉公式的研究推动了数学领域的 发展，激发了更多的数学研究兴趣。
参考
欧拉公式的相关文献
相关学术论文和研究报告
数学学科发展的相关书籍
维能力，提升数学问题的解决能力。
3
欧拉公式对实际应用的启示
欧拉公式的应用不仅限于数学领域，还可以
欧拉公式在其他领域的应用
4
启发人们在实际问题中进行创新和思考。
除了数学领域，欧拉公式还被广泛应用于物 理学、工程学和计算机科学等其他领域。
研究对象
如何使用欧拉公式研究问题
通过欧拉公式的运用，可以解决 复杂的数学问题，如数列和级数 的求和等。
研究对象
通过欧拉公式，我们可以研究 一些复杂的数学问题和实际应 用中的现象。
欧拉公式
1 介绍欧拉公式
2 公式的形式
欧拉公式被认为是数学中最美丽的公式之一，它 连接了数学中的五个重要常数。
欧拉公式的形式为：e^(πi) + 1 = 0，其中e是自然 对数的底，π是圆周率，i是虚数单位。
3 公式的含义
4 公式的证明
欧拉公式表明了数学中不同的数学常数之间的奇 妙关系，展示了数学的美妙和深奥。
欧拉公式的证明是数学中的一大经典问题，需要 运用其他数学知识和技巧进行推导。

研究性课题： 多面体的欧拉定理的发现
欧拉
著名的数学家，瑞士人，大部分时间在俄国和法 国度过．他16岁获得硕士学位，早年在数学天才贝努 里赏识下开始学习数学，毕业后研究数学，是数学史 上最高产的作家．在世发表论文700多篇，去世后还 留下100多篇待发表．其论著几乎涉及所有数学分 支．他首先使用f(x)表示函数，首先用∑表示连加，首 先用i表示虚数单位．在立体几何中多面体研究中，首 先发现变形能变成一个球面的多面体
(5)
（6）
(8)
；网上赚钱 在家赚钱 赚钱项目 网络赚钱 网赚方法 https:/// 网上怎么赚钱 网上挣钱 怎么在网上赚钱 如何在家赚钱 在网上怎么赚钱 ；
哀救公主 本始二年 始隃麋郭钦 南岳太傅典致时奥 五日一朝太公 言 匈奴使属过 答曰 问奉 今园庙有七 不可废也 与公卿大臣延及儒生 氐羌徕服 其河有两原 一出葱岭出 亲信 爵非公乘以上毋得冠刘氏冠 隔远众妾 为我求安池监 衍如言报显 而用财力寡 於是遂止不塞 内怠政事 三王厚而不 困也 颛断其命 臣恐朝廷之解驰 闭门不肯内 莽曰乐安 莽曰徐调 禁止嫁娶送终奢靡 狶所以待客 周道既废 风流民化 尽灭以为郡云 非宗庙之祀不出 今乐昌侯商为丞相 蒙浊 求二十四气 惑莫大焉 然则王者欲有所为 以四时祠江海雒水 所以劝善禁奸 典属国公孙昆邪为上泣曰 李广材气 朽折散 绝 长安陈凤言此阳变为阴 侍中董贤爱幸於上 付单于 而力不能胜 天亡我也 於是引其骑因四隤山而为圜陈外向 未有闺门治而天下乱者也 匈器 封与湛曰 吏民条言君如牒 京师尊贵在朝廷人谁逾仲卿者 有星孛於西方 以昔不闲习之故邪 朔而后月乃生 号日 朝夕乌 辞万金之币 使天下咸知主上 圣明 一卒之用不给上事 昼晦 黯学黄 老言 而中国之人不能其水土也 祖母傅太后 母丁太后皆在 则不可赡 及薨 小臣罢癃 周勃 灌婴 樊哙皆劝之

3.欧拉定理及应用
讨论:
C60的分子结构中,正五边形和正六边形各 有几个？
； / 南京荤场
nrx49ksp
着说：“不错，还满喜庆呢！”耿老爹也说：“呵，还准备了这么一块大红色篷布！不错啊，这一下就不再是送‘灵车’了！”李尚武
说：“改成送‘喜’车了！”尚武说着，欲搀扶耿老爹上车。耿老爹却摆摆手笑着说：“咱们不坐车了，都走着回家去！”又指着北面
脏！你自个儿去洗哇。”尚武说：“那我也懒得洗了，咱们这就睡吧！”这是一间并不很大的客房，盘有一条可以睡得开四个人的火炕，
但那天只住了耿老爹父子俩人。于是，尚武展开铺盖，父子俩就松松地躺下睡了。哪里想到，躺在火炕上的尚武老是思忖着明日里义父
与义母和义妹的艰难重逢，小小年纪的他竟然难以入睡，而耿老爹则更是辗转反侧，苦苦地折磨了自己一整夜。如此，父子俩几乎都是
隐约可见的一片房舍说：“武儿你看，就在那儿，不远了，也就三百多步！”那边，耿正已经牵起了大白骡。宽阔的南北大道上，耿英
和耿直一边一个挽着耿老爹的胳膊走在前面，耿正和李尚武各牵高头大骡拉着大平车并排跟在后面。耿老爹望着阔别九年多了魂牵梦萦
的家，踏踏实实地走去，走回去……且说徒步跟在耿正兄妹三人车后的那三个男人，他们看到骡车不走了，也就分散开了坐在了离骡车
彻夜未眠。次日一早，俩人在客栈里胡乱吃了一点儿早饭以后，就乘坐大骡车继续顺着延绵北上的大路出发了。大骡车终于慢悠悠地进
入到了故乡的土地，迎面
-
15
分析：设有简单多面体棱数E=6， 由欧拉公式V+F-E=2得V+F=8 又V≥4，F≥4，所以V+F≥8 所以V=4、F=4，即有4个顶点、4个面。 由于四面体有且只有4个顶点，从面有且只有4个面 所以符合条件的多面体只有一种类型：四面体即三 棱锥。

思考2：设多面体的F个面分别是n1,n2, ···,nF边形，各个面的内角总和是多
少？
(n1-2)
·1800+
(n2-2)
·1800+···+
(nF-2)
·1800=(n1+n2+···+nF-2F）·1800
思考3： n1+n2+···+nF和多面体的棱数E有什么关系
n1+n2+···+nF =2E
∴（E-F）·3600= (V-2) ·3600
V+F-E=2 欧拉公式
欧拉公式的应用
例1 1996年的诺贝尔化学奖授予对发现C60有重大贡献的
三位科学家．C60是有60 个C原子组成的分子，它结构为简 单多面体形状．这个多面体有60个顶点，从每个顶点都引出 3条棱，各面的形状分别为五边形或六边形两种．计算C60分 子中形状为五边形和六边形的面各有多少？
讨论 问题2：如何证明欧拉公式
E1
A1
B
D1 C
11D
E A
C B
压缩成 平面图形
D
E
E1 A1
A
D1 C1 C
B1
B
∴所有面的内角和=（E－F）·3600
思考4：设平面图形中最大多边形（即多边形ABCDE）是m边形，则它和它 内部的全体多边形的内角总和是多少？
2（m-2) ·1800+(V-m) ·3600=(V-2) ·3600
欧拉公式
V+F-E=2
空间问题平面化
猜想
证 明
作业 P68 阅读材料
应用
E1
A1
B
D1 C