第2章_马尔可夫链

《信息论与编码》-曹雪虹-课后习题答案 第二章2.1一个马尔可夫信源有3个符号{}1,23,u u u ，转移概率为：()11|1/2p u u =，()21|1/2p uu =，()31|0p u u =，()12|1/3p u u =，()22|0p u u =，()32|2/3p u u =，()13|1/3p u u =，()23|2/3p u u =，()33|0p u u =，画出状态图并求出各符号稳态概率。

解：状态图如下状态转移矩阵为：1/21/201/302/31/32/30p ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭设状态u 1，u 2，u 3稳定后的概率分别为W 1，W 2、W 3由1231WP W W W W =⎧⎨++=⎩得1231132231231112331223231W W W W W W W W W W W W ⎧++=⎪⎪⎪+=⎪⎨⎪=⎪⎪⎪++=⎩计算可得1231025925625W W W ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩2.2 由符号集{0，1}组成的二阶马尔可夫链，其转移概率为：(0|00)p =0.8，(0|11)p =0.2，(1|00)p =0.2，(1|11)p =0.8，(0|01)p =0.5，(0|10)p =0.5，(1|01)p =0.5，(1|10)p =0.5。

画出状态图，并计算各状态的稳态概率。

解：(0|00)(00|00)0.8p p == (0|01)(10|01)0.5p p ==(0|11)(10|11)0.2p p == (0|10)(00|10)0.5p p == (1|00)(01|00)0.2p p == (1|01)(11|01)0.5p p == (1|11)(11|11)0.8p p == (1|10)(01|10)0.5p p ==于是可以列出转移概率矩阵：0.80.200000.50.50.50.500000.20.8p ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭状态图为：设各状态00，01，10，11的稳态分布概率为W 1,W 2,W 3,W 4 有411i i WP W W ==⎧⎪⎨=⎪⎩∑ 得 13113224324412340.80.50.20.50.50.20.50.81W W W W W W W W W W W W W W W W +=⎧⎪+=⎪⎪+=⎨⎪+=⎪+++=⎪⎩ 计算得到12345141717514W W W W ⎧=⎪⎪⎪=⎪⎨⎪=⎪⎪⎪=⎩2.3 同时掷出两个正常的骰子，也就是各面呈现的概率都为1/6，求：(1) “3和5同时出现”这事件的自信息； (2) “两个1同时出现”这事件的自信息； (3) 两个点数的各种组合（无序）对的熵和平均信息量；(4) 两个点数之和（即2, 3, … , 12构成的子集）的熵；(5) 两个点数中至少有一个是1的自信息量。

空间马尔可夫链测算-概述说明以及解释1.引言1.1 概述在空间马尔可夫链的研究中，该模型主要用于描述和分析具有空间特征的随机过程。

与传统的马尔可夫链不同的是，空间马尔可夫链不仅考虑了状态的转移概率，还考虑了状态间的空间依赖关系。

通过将马尔可夫链的状态扩展为空间上的节点，我们可以更好地模拟和分析各种现实世界中的随机过程。

本文将详细介绍空间马尔可夫链的概念和测算方法。

在第二章中，我们将首先给出空间马尔可夫链的定义和基本概念，包括状态空间、状态转移概率和初始概率分布等。

然后，我们将介绍一些经典的空间马尔可夫链模型，如格点模型和连续空间模型，并对它们的特点进行讨论。

在第三章中，我们将重点介绍空间马尔可夫链的测算方法。

这些方法包括参数估计、马尔可夫链融合和模拟仿真等。

我们将详细介绍每种方法的原理和步骤，并给出相应的数学公式和算法。

此外，我们还将讨论测算结果的解释和应用，以及可能存在的限制和改进空间。

总之，本文旨在为读者提供一个全面的关于空间马尔可夫链测算的指南。

通过对该模型的深入理解和应用，我们可以更好地分析和预测各种具有空间特征的随机过程，为实际问题的解决提供科学依据和决策支持。

在未来的研究中，我们也将继续探索空间马尔可夫链的新理论和方法，以适应不断变化的科学和工程需求。

文章结构部分的内容应该是对整篇文章的结构和各个部分的内容进行介绍和说明。

以下是对文章结构部分的内容的一个可能的编写：1.2 文章结构本文共分为引言、正文和结论三个部分。

每个部分的主要内容如下：引言部分：引言部分包括了概述、文章结构和目的三个小节。

概述部分会对空间马尔可夫链测算的主题进行简要介绍，指出该主题的重要性和研究意义。

文章结构部分则会明确说明整篇文章的结构安排和各个部分的主要内容。

目的部分则会明确表达本文的研究目的和所要解决的问题。

正文部分：正文部分分为空间马尔可夫链的概念和空间马尔可夫链的测算方法两个小节。

空间马尔可夫链的概念部分会系统介绍空间马尔可夫链的基本概念、特点和相关理论背景，为后续的测算方法提供理论基础。

第四章4.1 马尔可夫链的的概念与转移概率一、知识回忆二、马尔可夫链的的定义三、转移概率四、马尔可夫链的一些简单例子五、总结一、知识回忆1. 条件概率定义：设A，B为两个事件，且P(A)>0，称P(B|A)=P(PP) P(P)为事件A发生条件下B事件发生的条件概率。

将条件概率公式移项即得到所谓的乘法公式：P(AB)=P(A)P(B|A)2.全概率公式设试验E的样本空间为S，A为E的事件，假设P1,P2，⋯，PP为S的一个完备事件组，既满足条件：1).P1,P2，⋯，PP两两互不相容，即P P P P=P，i≠j,i,j=1,2,⋯,n2).P1∪P2∪⋯∪P P=P，且有P(P P)>0,i=1,2,⋯,n，那么P(A)=∑P(P P)P(P|PP )PP=1此式称为全概率公式。

3.矩阵乘法矩阵乘法的定义A=(P11P12P13P21P22P23)，B=(P11P12P21P22P31P32)C=(P11P12P21P22)如果P11=P11×P11+P12×P21+P13×P31P12=P11×P12+P12×P22+P13×P32P21=P21×P11+P22×P21+P23×P31P22=P21×P12+P22×P22+P23×P32那么矩阵C叫做矩阵A和B的乘积，记作C=AB4.马尔可夫过程的分类马尔可夫过程按其状态和时间参数是连续的或离散的，可分为三类：（1）时间、状态都是离散的马尔科夫过程，称为马尔可夫链；（2）时间连续、状态离散的马尔科夫过程称为连续时间的马尔可夫链的；（3）时间、状态都连续的马尔科夫过程。

二、马尔科夫链的定义定义 4.1设有随机过程{P P,n∈T}，假设对于任意的整数n∈T和任意的P0,P1,…,P P+1∈P，条件概率都满足P{P P+1=P P+1|P0=P0,P1=P1,…,P P=P P}=P{P P+1=P P+1|P P=P P}那么称{P P,n∈T}为马尔科夫链，简称马氏链。

哈尔滨工业大学理学硕士学位论文第1章 绪论1.1 Markov 过程的历史与背景在现代概率论中，随机过程是由于物理学、生物学、通讯与控制、管理科学等应用方面的需要而渐次发展起来的，并且在这些研究学科中显示出了十分重要的地位。

所谓随机过程就是随机函数的集合，随机过程{}T n Y n ∈,可以视作为由变量参数与概率空间中点的二元函数，对n w ),(,00w n Y T n ∈∀是定义在上的随机变量状态，对于),(,000w n Y w Ω∈∀),,(P F Ω是定义在T 上的一个任意的普通函数，称之为随机过程{}T n Y n ∈,相对应于的一个普通样本函数，有时也被称之为轨道或现实。

当参数在0w 0w Ω中变动时便可得到了一系列的样本函数，在这里样本函数一般定义在时间域或空间域上。

随机过程，是研究和某一个参数有关系的随机现象中的数量关系及统计规律的一门科学。

1929年，概率论的数学基础的奠基人柯尔莫哥洛夫(A.H.Kolmogorov)开始研究随机过程，为随机过程得到更快、更深刻地发展做出了主要贡献。

在1906-1912年期间，Markov 提出并研究了一种可以描述某些特定的随机现象，并且可以利用数学分析方法研究自然科学过程的数学模型—Markov 链。

Markov 创新的理论与有关知识对概率论理论研究做出了极大贡献，从而促进了随机过程论理论的诞生及其发展。

为了纪念Markov 所做的卓有成效的科研成果，他所研究的这种随机过程又被世人称之为Markov 过程。

Markov 过程的理论研究方面，1931年，A. H. Kolmogorov 在《概率论的解析方法》一文中，第一次将微分方程与Markov 过程利用数学分析方法提出，从而构建了它的基础理论的最原始的定义与性质；1951年日本籍数学家伊藤清建立了广义Markov 过程的理论研究基础，为后续Markov 过程的进一步研究开辟了新的发展之路；1954年前后，有学者在Markov 过程的研究中将半群分析方法引入到概率论中；1950年日本著名学者角谷静夫等学者从狄利克雷问题的角度发现了布朗运动与偏微分方程的关系问题[]。

第二章 信源与信息熵（第二讲）（2课时）主要内容：（1）信源的描述（2）信源的分类 重点：信源的分类，马尔可夫信源。

难点：信源的描述，马尔可夫信源。

作业：2.1, 2.2, 2.3说明：本堂课推导内容较多，枯燥平淡，不易激发学生兴趣，要注意多讨论用途。

另外，注意，解题方法。

多加一些内容丰富知识和理解。

2．1 信源的描述与分类在通信系统中收信者在未收到消息以前对信源发出什么消息是不确定的，是随机的，所以可用随机变量、随机序列或随机过程来描述信源输出的消息，或者说用一个样本空间及其概率测度——概率空间来描述信源。

信源：产生随机变量、随机序列和随机过程的源。

信源的基本特性：具有随机不确定性。

信源的分类离散信源：文字、数据、电报——随机序列 连续信源：话音、图像——随机过程离散信源：输出在时间和幅度上都是离散分布的消息。

消息数是有限的或可数的，且每次只输出其中一个消息，即两两不相容。

发出单个符号的无记忆信源离散无记忆信源： 发出符号序列的无记忆信源离散信源离散有记忆信源： 发出符号序列的有记忆信源发出符号序列的马尔可夫信源 概率论基础：无条件概率，条件概率和联合概率的性质和关系： 非负性0()()(/)(/)()1i j j i i j i j p x p y p y x p x y p x y ≤≤，，，， 完备性111111()1,()1,(/)1,(/)1,()1n m nijiji j i mm nji i j j j i p x p y p x y p yx p x y ===========∑∑∑∑∑∑11()(),()()n mijjijii j p x y p y p x y p x ====∑∑联合概率()()(/)()(/)()()()(/)()(/)()i j i j i j i j i j i j j i j i j i p x y p x p y x p y p x y X Y p x y p x p y p y x p y p x y p x =====当与相互独立时，，贝叶斯公式11()()(/)(/)()()i j i j i j j i nmijiji j p x y p x y p x y p y x p x y p x y ====∑∑，2.1.1 无记忆信源：例如扔骰子，每次试验结果必然是1～6点中的某一个面朝上。

随机过程理论一、课程目标知识目标：1. 理解随机过程的基本概念，掌握随机过程的分类和特点；2. 学会运用随机过程的相关理论分析实际问题，掌握随机过程的数学模型；3. 掌握随机过程中的马尔可夫链、泊松过程等典型过程的基本原理和性质。

技能目标：1. 能够运用随机过程理论解决实际问题，提高数学建模和数据分析能力；2. 能够运用概率论和数理统计方法分析随机过程中的现象，提高实际操作能力；3. 能够通过小组合作、讨论等方式，提高沟通和协作能力。

情感态度价值观目标：1. 培养学生对随机过程理论的学习兴趣，激发学生的探究欲望；2. 培养学生严谨的科学态度，提高学生的逻辑思维和分析能力；3. 增强学生对数学美的感知，培养学生的审美情趣；4. 引导学生关注随机过程在现实生活中的应用，提高学生的社会责任感。

课程性质：本课程属于数学学科，以理论教学为主，结合实际案例分析，旨在提高学生的随机过程理论水平和实际应用能力。

学生特点：学生为高中年级学生，具备一定的数学基础和逻辑思维能力，对新鲜事物充满好奇，但可能对抽象理论感到困惑。

教学要求：结合学生特点，课程设计应注重理论与实际相结合，采用生动案例和形象比喻，降低理论难度，提高学生的学习兴趣和积极性。

同时，注重培养学生的动手能力和团队协作精神，将课程目标分解为具体的学习成果，以便于教学设计和评估。

二、教学内容1. 随机过程的基本概念- 随机过程的定义与性质- 随机过程的分类与表述方法2. 马尔可夫链- 马尔可夫链的基本原理- 马尔可夫链的转移概率与状态分类- 马尔可夫链的稳态分布与应用3. 泊松过程- 泊松过程的定义与性质- 泊松过程的强度函数与条件概率- 泊松过程的应用案例4. 随机过程中的数学模型- 模型的建立与求解方法- 基于随机过程的预测与决策- 案例分析与讨论5. 课程总结与拓展- 总结随机过程理论的核心知识点- 拓展阅读与思考：随机过程在其他领域的应用- 课程实践项目：小组合作，运用随机过程解决实际问题教学大纲安排：第1周：随机过程基本概念第2周：马尔可夫链基本原理与状态分类第3周：马尔可夫链的稳态分布与应用第4周：泊松过程的定义与性质第5周：泊松过程的应用案例第6周：随机过程中的数学模型第7周：课程总结与拓展第8周：课程实践项目教材章节关联：第1章：随机过程概述第2章：马尔可夫链第3章：泊松过程第4章：随机过程的应用第5章：随机过程模型与案例分析教学内容确保科学性和系统性，结合课程目标，按照教学大纲安排和进度，有序开展教学活动。

第二章 Markov 过程4. 马尔可夫链状态的分类（一） 到达与相通定义：对给定的两个状态S j i ∈,，若存在正整数1≥n ，是的0)(>n j i p ，则称从状态i 可到达状态j ，记作j i →，反之称从状态i不可到达状态j 。

注意：当状态i 不能到达状态j 时，对于1≥∀n ，0)(=n ji p ，因此 {}{}01)(10010====≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧====∑∑∞=∞=∞=n n ji n n n n p i X j X P i X j X P i X j P Y 到达状态定义：有两个状态 i 和j ，如果由 i 状态可到达j 状态，即j i →，且由j 状态也可到达i 状态，即i j →，则称状态 i 和状态j 相通，记作j i ↔。

定理：可到达和相通都具有传递性。

即若j k k i →→,，则j i →；若j k k i ↔↔,，则j i ↔。

证明：如果j k k i →→,，则由定义，存在1≥r 和1≥n ，使得：0,0)()(>>n j k r k i p p根据C －K 方程，我们有：)(0)()()()()(S k p p p p p n j k r k i Sm n j m r m i n r j i ∈>≥=∑∈+ 因此，j i →。

同理可以证明相通的情形。

（二） 首达时间和首达概率：定义：对于任意的S j i ∈,，称：{}1,,:m in ˆ0≥===n j X i X n T n j i为从状态i 出发首次到达（进入）状态j 的时间（时刻），简称首达时间。

注意：首达时间j i T 是一随机变量，它取值于{}∞=∞,,2,1ΛN 。

定义：对于任意的S j i ∈,，称：{}i X n T P f j i n j i ===0)(ˆ为系统在0时从状态i 出发，经n 步首次到达状态j 的概率。

由定义，显然有：{}i X n m j X j X P f m n n j i =-=≠==0)(1,,2,1,;Λ{}i X j X P p f j i j i ====01)1( {}i X m j X P f m j i =≥∀≠=∞0)(1,定义：对于任意的S j i ∈,，称：{}{}∞<=====∑∑∞<≤∞<≤j i n ji n n ji j i T P i X n TP ff 101)(为系统在0时从状态i 出发经过有限步转移后迟早到达状态j 的概率。

马尔可夫链课课程设计一、教学目标本节课的教学目标是让学生掌握马尔可夫链的基本概念、性质和应用，能够运用马尔可夫链解决实际问题。

具体分为以下三个部分：1.知识目标：（1）了解马尔可夫链的定义和基本性质；（2）掌握马尔可夫链的转移概率和稳态分布；（3）了解马尔可夫链在实际应用中的例子。

2.技能目标：（1）能够运用马尔可夫链解决简单的实际问题；（2）能够运用计算机软件进行马尔可夫链的模拟。

3.情感态度价值观目标：（1）培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力；（2）激发学生对概率论和数学建模的兴趣；（3）培养学生团队合作和自主学习的能力。

二、教学内容本节课的教学内容主要包括以下三个方面：1.马尔可夫链的基本概念和性质；2.马尔可夫链的转移概率和稳态分布；3.马尔可夫链在实际应用中的例子。

具体安排如下：1.马尔可夫链的基本概念和性质；2.马尔可夫链的转移概率；3.马尔可夫链的稳态分布；4.马尔可夫链在实际应用中的例子；5.计算机软件进行马尔可夫链的模拟。

三、教学方法为了达到本节课的教学目标，我将采用以下教学方法：1.讲授法：通过讲解马尔可夫链的基本概念、性质、转移概率和稳态分布，使学生掌握相关知识；2.案例分析法：通过分析实际应用中的例子，使学生了解马尔可夫链在实际问题中的应用；3.实验法：让学生利用计算机软件进行马尔可夫链的模拟，增强学生的实践能力。

四、教学资源为了支持本节课的教学内容和教学方法的实施，我将准备以下教学资源：1.教材：《概率论与数理统计》；2.参考书：《随机过程导论》；3.多媒体资料：PPT课件、相关视频；4.实验设备：计算机、投影仪。

五、教学评估为了全面、客观地评估学生的学习成果，我将采用以下评估方式：1.平时表现：通过观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，评估学生的学习态度和理解程度；2.作业：布置与本节课内容相关的作业，评估学生的掌握程度；3.考试：通过期末考试或课堂小测，评估学生对马尔可夫链知识的掌握程度。