第一部分：消费者理论
一、形式化表述分析消费者偏好的性质
（完备性，传递性，连续性，严格单调性，严格凸性等等） *二、效用函数存在性证明。 请参考教材
三、表述显示性偏好弱公理及显示性偏好强公理，并用于分析下面问题。 考察一个对物品1和物品2有需求的消费者，当物品价格为=1p （2，4）时，其需求为=1x （1，2）。当价格为=2p （6，3）时，其需求为=2x （2，1），该消费者是否满足显示性偏好弱公理。
如果=2x （1.4，1）时，该消费者是否满足显示性偏好弱公理。
解答：81*42*2x p 102*41*2x p 2111=+=>=+= 消费束1偏好于消费束2 151*32*6x p 122*31*6x p 2212=+=<=+= 消费束2偏好于消费束1 违反了显示性偏好弱公理。 如果=2x （1.4，1）时：
8.61*44.1*2x p 102*41*2x p 2111=+=>=+= 消费束1偏好于消费束2 4.111*34.1*6x p 122*31*6x p 2212=+=<=+= 消费束1在价格2的情况下买
不起。符合显示性偏好弱公理。
四、效用函数121),(x x x u =，求瓦尔拉斯需求函数
解答：
w x p x p t s x x x u =+=2211121..),(max 从效用函数121),(x x x u =可知商
品2对消费者没效用，因此最大化效用的结果是所有的收入都用于购买商品1，对商品2的需求为0，02=x ，1
1p w
x = 或者由w x p x p t s x x x u =+=22111
21..),(max ,可得到
)(0max
),(max 1
12112221源于消费束的非负限制，，此时p w
x x p w p x p w x x u ===-=
实际上，这是一个边角解，
五、效用函数ρρ
ρ1
2121)(),(x x x x u +=，对其求 1、瓦尔拉斯需求函数，间接效用函数； 2、希克斯需求函数，支出函数。 答案： 1、1
21
1
1
1
1
1---+=
ρρρρρp p wp x ，1
2
1
1
1
1
2
2---+=
ρρρρρp p wp x ，ρ
ρρρρρ11
2
1
1
21)
(),,(---+=
p p w
w p p v
2、ρ
ρρρρρ1
1
2
1
1
1
11
1)(---+=
p p up h ，ρ
ρρρρρ1
1
2
1
1
1
12
2)(---+=
p p up h ，ρ
ρ
ρρρρ---+=
11
2
1
1
)
(),(p p u
u p e
（形式可能不一样）
六、给出瓦尔拉斯需求函数、希克斯需求函数、间接效用函数、支出函数形式化描述，说明其性质，*并证明其中的凹凸性性质。 请参考教材
*七、证明对偶原理中的1.)],(,[),(w p v p h w p x ≡ 2.)],(,[),(u p e p x u p h ≡ 请参考教材
*八、考虑将瓦尔拉斯预算集扩展为一个任意消费集}
{,w x p X x B X w p ≤⋅∈=：：。
假定}0,{>>w p 。证明：如果X 是一个凸集，则w
p B ,也是凸集。
请参考教材
九、效用函数2121),(x x x x u =，
推导斯拉茨基方程，并分析替代效应、收入效应
1x
2x
和总效应。 请参考教材
十、效用函数ρ
ρ
ρ1
2121)(),(x x x x u +=，求其货币度量的直接和间接效用函数。
答案：ρ
ρρρρρρρ
ρ11
2
1
1
1
21)
()(),(---++=p p x x x p w
w q q p p w q p ρ
ρ
ρρρρρ
ρρρρρμ------++=11
2
1
1
11
2
1
1
)
()
(),(；
十一、效用函数2121),(x x x x u =，当40,3,20
20
1===w p p ，5,41
21
1==p p ，求其等价变化和补偿变化。 答案： w q q p p w q p 2
121),(=
；μ，)1103(40-=EV ，)310
1(40-=CV 十二、分析福利分析在税收方面的应用。 请参考教材
十三、2121),(x x x x u =，假定25.01=p ，12=p ，2=w ，对商品1开征消费税0.25元。求开征消费税的无谓损失（包括两种情况）。 解答：max 2121),(x x x x u =
s.t. w p x p x =+2211 1．求瓦尔拉斯需求函数 （1）建立拉格朗日函数
)--(221121x p x p w x x L λ+=
（2）求极值一阶条件
02
112122111=-=∂∂-λp x x x L (a)
02
1221
22112=-=∂∂-λp x x x L (b) 02211=--=∂∂x p x p w L
λ
(c) 由(a)和(b)整理得：
