数学分析考试试卷
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2014 -——2015学年度第二学期《数学分析2》A试卷学院班级学号(后两位)姓名一.判断题(每小题3分,共21分)(正确者后面括号内打对勾,否则打叉)1。
若在连续,则在上的不定积分可表为().2.若为连续函数,则()。
3。
若绝对收敛,条件收敛,则必然条件收敛().4。
若收敛,则必有级数收敛( )5. 若与均在区间I上内闭一致收敛,则也在区间I上内闭一致收敛().6. 若数项级数条件收敛,则一定可以经过适当的重排使其发散于正无穷大().7. 任何幂级数在其收敛区间上存在任意阶导数,并且逐项求导后得到的新幂级数收敛半径与收敛域与原幂级数相同().二.单项选择题(每小题3分,共15分)1.若在上可积,则下限函数在上( )A.不连续B. 连续C。
可微D。
不能确定2。
若在上可积,而在上仅有有限个点处与不相等,则()A。
在上一定不可积;B. 在上一定可积,但是;C。
在上一定可积,并且;D. 在上的可积性不能确定。
3.级数A。
发散 B.绝对收敛 C.条件收敛 D. 不确定4。
设为任一项级数,则下列说法正确的是( )A.若,则级数一定收敛;B。
若,则级数一定收敛;C。
若,则级数一定收敛;D. 若,则级数一定发散;5。
关于幂级数的说法正确的是( )A. 在收敛区间上各点是绝对收敛的;B. 在收敛域上各点是绝对收敛的;C。
的和函数在收敛域上各点存在各阶导数;D。
在收敛域上是绝对并且一致收敛的;三.计算与求值(每小题5分,共10分)1。
2。
四. 判断敛散性(每小题5分,共15分)1.2.3.五. 判别在数集D上的一致收敛性(每小题5分,共10分)1。
2。
六.已知一圆柱体的的半径为R,经过圆柱下底圆直径线并保持与底圆面角向斜上方切割,求从圆柱体上切下的这块立体的体积。
(本题满10分)七. 将一等腰三角形铁板倒立竖直置于水中(即底边在上),且上底边距水表面距离为10米,已知三角形底边长为20米,高为10米,求该三角形铁板所受的静压力。
华东师范大学数分期末试卷(A 卷)2009-2010年第一学期一.(20分)判断下列结论是否成立(若成立,说明理由;若不成立,举出反例)1.设()f x 在(a,b )连续,()f x 在0(,)x a b ∈取极值,则0'()0f x =;2.设()f x 在点0x 可导,则存在0δ>,使得()f x 在00(,)x x δδ-+上连续;3.设数列{}n a ,{}n b 满足1(1,2,)n n a b n ≤≤=…,lim()0n n n b a →∞-=,则极限lim ,lim n n n n a b →∞→∞ 都存在;4.设()f x 是区间(-a,a )上的可导偶函数,则()f x 在x=0取极值。
二.(16分)计算下列极限;1.20arctan limtan x x x x x→-; 2.20ln(1)sin lim x x x x →+-; 三.(16分)计算下列函数的导函数dy dx: 1.1,0,()1,0;x x e x y x e x -⎧≥⎪=⎨⎪+<⎩ 2.()y y x =由极坐标方程2(1cos )(0)a a ρθ=+>所确定。
四.(14分)讨论2x y x e -=的单调性区间,凹凸性区间,极值与拐点。
五.(14分)证明不等式:1.2arctan (0,);12, x x x x π+<∈+∞+ 2.过研究ln ()x f x x =的单调性,证明:e e ππ>. 六.(8分)设()f x 在区间I 上连续但不一致连续,()g x 在(,)-∞+∞上可导且'()0g x k ≥>.证明:复合函数(())g f x 在I 上不一致连续。
七.(12分)设()f x ,()g x 在[,)a +∞上连续可微,且极限()lim ()x f f x →+∞+∞=,()lim ()x g g x →+∞+∞= 存在,证明:1. 若()()f a f =+∞,则:(,)a ξ∃∈+∞,使得'()0f ξ=;2. 若对[,),'()0,x a g x ∈+∞≠则:(,)a ξ∃∈+∞,使得'()()()'()()()f f f ag g g a ξξ+∞-=+∞- 八.(附加题10分)设()f x 在[,)a +∞上二阶可导且''()1f x ≤,又极限lim ()x f x A →+∞=存在。
WORD 格式整理2014 ---2015 学年度第二学期 《数学分析 2》A 试卷学院 班级学号(后两位)姓名题号一二三四五六七八总分核分人得分一. 判断题(每小题 3 分,共 21 分)( 正确者后面括号内打对勾,否则打叉 )1.若 f x 在 a,b 连续,则 f x 在 a,b 上的不定积分 f x dx 可表为x af t dt C ( ).2. 若 f x ,g x 为连续函数,则 f x g x dx f x dx g x dx ( ).3. 若f x dx 绝对收敛,g x dx 条件收敛,则 [ f x g x ]dx 必aaa然条件收敛().4. 若f x dx 收敛,则必有级数f n 收敛( ) 1n 15. 若 f n 与 g n 均在区间 I 上内闭一致收敛,则 f ng n 也在区间 I上内闭一致收敛().6. 若数项级数a 条件收敛,则一定可以经过适当的重排使其发散 n n 1于正无穷大( ).7. 任何幂级数在其收敛区间上存在任意阶导数, 并且逐项求导后得到的新幂级数收敛半径与收敛域与原幂级数相同().专业资料值得拥有WORD 格式整理二. 单项选择题(每小题 3 分,共 15 分)8.若 f x 在 a,b 上可积,则下限函数axf x dx 在 a,b 上()A.不连续B. 连续C. 可微D. 不能确定9.若g x 在 a,b 上可积,而f x 在 a,b 上仅有有限个点处与g x 不相等,则()A. f x 在 a,b 上一定不可积;B. f x 在 a,b 上一定可积, 但是babf x dxg x dx;aC. f x 在 a,b 上一定可积,并且babf x dxg x dx;aD. f x 在 a,b 上的可积性不能确定 .10.级数n1 1 12nn 1nA. 发散B. 绝对收敛C. 条件收敛D. 不确定11.设u n 为任一项级数,则下列说法正确的是()uA. 若lim u n 0 ,则级数nn一定收敛;un 1B. 若lim 1,则级数u n 一定收敛;n unun 1C. 若N,当n N时有,1,则级数u n 一定收敛;un专业资料值得拥有WORD 格式整理u n 1D. 若 N,当nN 时有, 1,则级数u n 一定发散;u n12. 关于幂级数na n x 的说法正确的是()A. na n x 在收敛区间上各点是绝对收敛的; B. na n x 在收敛域上各点是绝对收敛的;C. na n x 的和函数在收敛域上各点存在各阶导数;D.na n x 在收敛域上是绝对并且一致收敛的;三. 计算与求值(每小题 5 分,共 10分)1 1.lim nnnn 1 n 2nn专业资料值得拥有WORD 格式整理ln sin x13.dx2cos x四. 判断敛散性(每小题 5 分,共 15 分)3 x 12.dx0 1 2x x专业资料值得拥有14.n1 n! n n15.n 1nn1 2nn 1 2专业资料值得拥有五. 判别在数集D上的一致收敛性(每小题 5 分,共 10 分)sin nx16.f n , 1,2 , ,x n Dn专业资料值得拥有WORD 格式整理2n17. D , 2 2,nx六.已知一圆柱体的的半径为R,经过圆柱下底圆直径线并保持与底圆面30 角向斜上方切割,求从圆柱体上切下的这块立体的体积。
数学分析试卷及答案6套第一套试卷一、选择题(共20题,每题4分,共80分)1. 若函数f(x) = 3x^2 + 2x - 1,求f(-1)的值是多少?A. -4B. 4C. 0D. 12. 函数f(x) = ln(x^2 + 1)在区间(-∞, 0)上的最小值是多少?A. ln(1)B. ln(0)C. ln(-1)D. 不存在最小值3. 已知函数f(x)在区间[0, 5]上连续,且f(0) = 2, f(5) = 1,证明在该区间上存在一个点c,使得f(c) = 3.(请写出证明过程)4. 求不等式2x - 5 < 3x + 2的解集。
A. x < -7B. x > -7C. x > -3D. x < -35. 设函数f(x)在区间[a, b]上连续,且f(a) = f(b),证明在该区间上至少存在两个不同的点c和d,使得f(c) = f(d).(请写出证明过程)..................第一套答案一、选择题1. B2. A3. (证明过程略)4. A5. (证明过程略)二、填空题(共5题,每题4分,共20分)1. 若e^x = 2,则x = ln(2);2. 设a, b为实数,若a^2 + 2ab + b^2 = 0,则a = -b;3. lim(x→∞) (x^2 - 2x - 3)/(3x + 1) = 1;4. 若函数f(x) = x^2 + 3x - 2,则f(-1) = -6;5. 若f(x) = √(2x + 1),则f'(x) = 1/√(2x + 1)。
三、解答题(共3题,每题20分,共60分)1. 设函数f(x) = x^3 - 2x + 1在区间[-2, 2]上的一个驻点为c,请求该驻点c的值以及f(c)的极值。
(请写出解题过程)2. 求函数f(x) = x^3 - 3x + 1的所有零点。
(请写出解题过程)3. 若函数f(x) = 3x^4 + 4x^3 - 12x^2 + 4在区间[0, 3]上的导函数f'(x)恰有一个零点c,并且f(c) = 2,求函数f(x)在该区间上的最大值。
数值分析试卷及答案数值分析试卷一、选择题(共10题,每题2分,共计20分)1. 数值分析的研究内容主要包括以下哪几个方面?A. 数值计算方法B. 数值误差C. 数值软件D. 数学分析答:A、B、C2. 下列哪种方法不属于数值积分的基本方法?A. 插值法B. 微积分基本公式C. 数值微积分D. 数值积分公式答:A3. 数值积分的目的是求解什么?A. 函数的导数B. 函数的原函数C. 函数的极值D. 函数的积分答:D4. 数值微分的目的是求解什么?A. 函数的导数B. 函数的原函数C. 函数的极值D. 函数的积分答:A5. 数值微分的基本方法有哪几种?A. 前向差分B. 后向差分C. 中心差分D. 插值法答:A、B、C6. 用数值方法求解方程的基本方法有哪几种?A. 迭代法B. 曲线拟合法C. 插值法D. 数值积分法答:A、B、C7. 用迭代法求方程的根时,当迭代结果满足何条件时可停止迭代?A. 当迭代结果开始发散B. 当迭代结果接近真实解C. 当迭代次数超过一定阈值D. 当迭代结果在一定范围内波动答:B8. 下列哪种插值方法能够确保经过所有给定数据点?A. 拉格朗日插值B. 牛顿插值C. 三次样条插值D. 二次插值答:A、B、C9. 数值解线性方程组的基本方法有哪几种?A. 直接法B. 迭代法C. 插值法D. 拟合法答:A、B10. 下列哪种方程求解方法适用于非线性方程?A. 直接法B. 迭代法C. 插值法D. 曲线拟合法答:B二、填空题(共5题,每题4分,共计20分)1. 数值积分的基本公式是_________。
答:牛顿-科特斯公式2. 数值微分的基本公式是_________。
答:中心差分公式3. 数值积分的误差分为_________误差和_________误差。
答:截断、舍入4. 用插值法求解函数值时,通常采用_________插值。
答:拉格朗日5. 数值解线性方程组的常用迭代法有_________方法和_________方法。
一、填空题(每空3分,共24分)1、 设z x u ytan =,则全微分=u d __________________________。
2、 设32z xy u =,其中),(y x f z =是由xyz z y x 3333=++所确定的隐函数,则=x u _________________________。
3、 椭球面14222=-+z y x 在点)1,1,2(M 处的法线方程是__________________。
4、 设,d ),()(sin 2y y x f x F xx⎰=),(y x f 有连续偏导数,则=')(x F __________________。
5、 设L 是从点(0,0)到点(1,1)的直线段,则第一型曲线积分⎰=Ls x yd _____________。
6、 在xy 面上,若圆{}122≤+=y x y x D |),(的密度函数为1),(=y x ρ,则该圆关于原点的转动惯量的二重积分表达式为_______________,其值为_____________。
7、 设S 是球面1222=++z y x 的外侧,则第二型曲面积分=⎰⎰dxdy z S2_______。
二、计算题(每题8分,共56分) 1、 讨论yx y x y x f 1sin 1sin )(),(-=在原点的累次极限、重极限及在R 2上的连续性。
2、 设),(2xy y x f u =具有连续的二阶偏导数,求二阶偏导数xx u 和xy u 。
3、 求22333),(y x x y x f --=在}16|),{(22≤+=y x y x D 上的最大值和最小值。
4、 求x x x e x xd sin e2⎰∞+---。
提示:C bx b bx a ba e x bx e ax ax+-+=⎰)cos sin (d sin 22。
5、 利用坐标变换求⎰⎰+-Dy x yx yx d d sec2,其中D 由1=+y x ,0=x 及0=y 围成。
数学分析-1样题(一)一. (8分)用数列极限的N ε-定义证明1n =.二. (8分)设有复合函数[()]f g x , 满足: (1) lim ()x ag x b →=;(2) 0()x U a ∀∈,有0()()g x U b ∈ (3) lim ()u bf u A →=用εδ-定义证明, lim [()]x af g x A →=.三. (10分)证明数列{}n x :cos1cos 2cos 1223(1)n nx n n =+++⋅⋅⋅+L 收敛. 四. (12分)证明函数1()f x x=在[,1]a (01)a <<一致连续,在(0,1]不一致连续. 五. (12分)叙述闭区间套定理并以此证明闭区间上连续函数必有界. 六. (10分)证明任一齐次多项式至少存在一个实数零点. 七. (12分)确定,a b使lim )0x ax b →+∞-=.八. (14分)求函数32()2912f x x x x =-+在15[,]42-的最大值与最小值.九. (14分)设函数()f x 在[,]a b 二阶可导, ()()0f a f b ''==.证明存在(,)a b ξ∈,使24()()()()f f b f a b a ζ''≥--.数学分析-1样题(二)一. (10分)设数列{}n a 满足: 1a =, 1()n a n N +=∈, 其中a 是一给定的正常数, 证明{}n a 收敛,并求其极限.二. (10分)设0lim ()0x x f x b →=≠, 用εδ-定义证明011lim()x x f x b→=.三. (10分)设0n a >,且1lim1nn n a l a →∞+=>, 证明lim 0n n a →∞=.四. (10分)证明函数()f x 在开区间(,)a b 一致连续⇔()f x 在(,)a b 连续,且lim ()x a f x +→,lim ()x bf x -→存在有限. 五. (12分)叙述确界定理并以此证明闭区间连续函数的零点定理.六. (12分)证明:若函数在连续,且()0f a ≠,而函数2[()]f x 在a 可导,则函数()f x 在a 可导. 七. (12分)求函数()1f x x x ααα=-+-在的最大值,其中01α<<.八. (12分)设f 在上是凸函数,且在(,)a b 可微,则对任意1x ,2x (,)a b ∈, 12x x <,都有12()()f x f x ''≤.九. (12分)设(),0()0,0g x x f x x x ⎧ ≠⎪=⎨⎪ =⎩ 且(0)(0)0g g '==, (0)3g ''=, 求(0)f '.数学分析-2样题(一)一.(各5分,共20分)求下列不定积分与定积分: 1. arctan x x dx ⎰2. xe dx -⎰3.ln 0⎰4.20sin 1cos x xdx xπ+⎰二.(10分)设()f x 是上的非负连续函数, ()0baf x dx =⎰.证明()0f x = ([,])x a b ∈.三. (10分)证明20sin 0xdx xπ>⎰. 四. (15分)证明函数级数(1)nn x x∞=-∑在不一致收敛, 在[0,]δ(其中)一致收敛.五. (10分)将函数,0(),0x x f x x x ππππ+ ≤≤⎧=⎨- <≤⎩展成傅立叶级数.六. (10分)设22220(,)0,0xy x y f x y x y ⎧ +≠⎪=⎨⎪ +=⎩证明: (1) (0,0)x f ', (0,0)y f '存在; (2) (,)x f x y ',(,)y f x y '在(0,0)不连续;(3) (,)f x y 在(0,0)可微.七. (10分)用钢板制造容积为V 的无盖长方形水箱,怎样选择水箱的长、宽、高才最省钢板? 八. (15分)设01σ<<, 证明111(1)n n n σσ∞=<+∑. 数学分析-2样题(二)一. (各5分,共20分)求下列不定积分与定积分:1.(0)a >2.1172815714x x dx x x++⎰3.10arcsin x dx ⎰4.1000π⎰二. (各5分,共10分)求下列数列与函数极限: 1. 221limnn k nn k→∞=+∑2. 20lim1xt xx x e dt e →-⎰三.(10分)设函数在[,]a b 连续,对任意[,]a b 上的连续函数()g x , ()()0g a g b ==,有()()0baf xg x dx =⎰.证明()0f x = ([,])x a b ∈.四. (15分)定义[0,1]上的函数列 证明{()}n f x 在[0,1]不一致收敛. 五. (10分)求幂级数(1)nn n x∞=+∑的和函数.六. (10分)用εδ-定义证明2(,)(2,1)lim (43)19x y x y →+=.七. (12分)求函数22(2)(2)(0)u ax x by y ab =-- ≠的极值.八. (13分)设正项级数1nn a∞=∑收敛,且1()n n a a n N ++≥ ∈.证明lim 0n n na →∞=.数学分析-3样题(一)一 (10分) 证明方程11(, )0F x zy y zx --++=所确定的隐函数(, )z z x y =满足方程.z z xy z xy x y∂∂+=-∂∂二 (10分) 设n 个正数12, , , n x x x L 之和是a ,求函数u =.三 (14分) 设无穷积分() af x dx +∞⎰收敛,函数()f x 在[, )a +∞单调,证明四 (10分) 求函数1220() ln() F y x y dx =+⎰的导数(0).y >五 (14分) 计算六 (10分) 求半径为a 的球面的面积S . 七 (10分) 求六个平面所围的平行六面体V 的体积I ,其中, , , i i i i a b c h 都是常数,且0 (1, 2, 3).i h i >= 八 (12分) 求22C xdy ydx x y -+⎰Ñ,其中C 是光滑的不通过原点的正向闭曲线.九 (10分) 求dS z ∑⎰⎰,其中∑是球面2222x y z a ++=被平面 (0)z h h a =<<所截的顶部. 数学分析-3样题(二)一 (10分) 求曲面2233, , x u v y u v z u v =+=+=+在点(0, 2)对应曲面上的点的切平面与法线方程.二 (10分) 求在两个曲面2221x xy y z -+-=与221x y +=交线上到原点最近的点. 三 (14分) 设函数()f x 在[1, )+∞单调减少,且lim ()0x f x →+∞=,证明无穷积分1() f x dx +∞⎰与级数1001()n f n =∑同时收敛或同时发散.四 (12分) 证明ln (0).ax bx e e bdx a b x a--+∞-=<<⎰五 (12分) 设函数()f x 在[, ]a A 连续,证明 [, ]x a A ∀∈,有六 (10分) 求椭圆区域221112221221: ()() 1 (0)R a x b y c a x b y c a b a b +++++≤-≠的面积A .七 (10分) 设222()() VF t f xy z dx dy dz =++⎰⎰⎰,其中2222: (0)V x y z t t ++≤≥,f 是连续函数,求'()F t .八 (10分) 应用曲线积分求(2sin )(cos )x y dx x y dy ++的原函数. 九 (12分) 计算 Sxyz dx dy ⎰⎰,其中S 是球面2221x y z ++=在0, 0x y ≥≥部分并取球面外侧.。
数学分析(2)期末试题课程名称数学分析(Ⅱ) 适 用 时 间试卷类别1适用专业、年级、班 应用、信息专业一、单项选择题(每小题3分,3×6=18分)1、 下列级数中条件收敛的是( ).A .1(1)nn ∞=-∑ B .1nn ∞=.21(1)n n n ∞=-∑ D .11(1)nn n ∞=+∑2、 若f 是(,)-∞+∞内以2π为周期的按段光滑的函数, 则f 的傅里叶(Fourier )级数在它的间断点x 处 ( ).A .收敛于()f xB .收敛于1((0)(0))2f x f x -++ C . 发散 D .可能收敛也可能发散3、函数)(x f 在],[b a 上可积的必要条件是( ).A .有界B .连续C .单调D .存在原函数4、设()f x 的一个原函数为ln x ,则()f x '=( )A .1x B .ln x x C . 21x- D . x e 5、已知反常积分20 (0)1dxk kx +∞>+⎰收敛于1,则k =( ) A . 2π B .22π C . 2D . 24π6、231ln (ln )(ln )(1)(ln )n nx x x x --+-+-+收敛,则( )A . x e <B .x e >C . x 为任意实数D . 1e x e -<<二、填空题(每小题3分,3×6=18分)1、已知幂级数1nn n a x∞=∑在2x =处条件收敛,则它的收敛半径为.2、若数项级数1n n u ∞=∑的第n 个部分和21n nS n =+,则其通项n u =,和S =. 3、曲线1y x=与直线1x =,2x =及x 轴所围成的曲边梯形面积为. 4、已知由定积分的换元积分法可得,1()()bxxaef e dx f x dx =⎰⎰,则a =,b =.5、数集(1)1, 2 , 3, 1nnn n ⎧⎫-=⎨⎬+⎩⎭的聚点为. 6、函数2()x f x e =的麦克劳林(Maclaurin )展开式为.65三、计算题(每小题6分,6×5=30分) 1、(1)dx x x +⎰. 2、2ln x x dx ⎰. 3、 0 (0)dx a >⎰. 4、 2 0cos limsin xx t dt x→⎰.5、dx ⎰.四、解答题(第1小题6分,第2、3 小题各8分,共22分)1、讨论函数项级数21sin n nxn ∞=∑在区间(,)-∞+∞上的一致收敛性. 2、求幂级数1nn x n ∞=∑的收敛域以及收敛区间内的和函数.3、设()f x x =,将f 在(,)ππ-上展为傅里叶(Fourier )级数.五、证明题(每小题6分,6×2=12分)1、已知级数1nn a∞=∑与1nn c∞=∑都收敛,且, 1, 2, 3 n n n a b c n ≤≤=,证明:级数1nn b∞=∑也收敛.2、证明:22 0sin cos nn x dx x dx ππ=⎰⎰.66试题参考答案与评分标准课程名称 数学分析(Ⅱ) 适 用 时 间试卷类别1适用专业、年级、班应用、信息专业一、 单项选择题(每小题3分,3×6=18分)⒈ B ⒉ B ⒊ A ⒋ C ⒌ D ⒍ D二、 填空题(每小题3分,3×6=18分)⒈2⒉2, =2(1)n u S n n =+⒊ln 2⒋1, a b e ==⒌1±⒍201, (,)!nn x x n ∞=∈-∞+∞∑三、 计算题(每小题6分,6×5=30分)1. 解111(1)1x x x x=-++1(1)dx x x ∴+⎰(3分)11()1dx x x =-+⎰ln ln 1.x x C =-++(3分)2. 解 由分部积分公式得231ln ln 3x xdx xdx =⎰⎰ 3311ln ln 33x x x d x =-⎰(3分) 33111ln 33x x x dx x =-⋅⎰ 3211ln 33x x x dx =-⎰ 3311ln 39x x x C =-+(3分) 3. 解 令sin , [0, ]2x a t t π=∈由定积分的换元积分公式,得⎰2220cos atdt π=⎰(3分)6722(1cos2)2at dtπ=+⎰221(sin2)22at tπ=+2.4aπ=(3分)4.解由洛必达(L'Hospital)法则得2coslimsinxxtdtx→⎰2coslimcosxxx→=(4分)lim cosxx→=1=(2分)5.解=(2分)2sin cosx x dxπ=-⎰424(cos sin)(sin cos)x x dx x x dxπππ=-+-⎰⎰(2分)244(sin cos)(sin cos)x x x xπππ=+-+2.=(2分)四、解答题(第1小题6分,第2、3小题各8分,共22分)1.解(,),x n∀∈-∞∞∀+(正整数)22sin1nxn n≤(3分)而级数211nn∞=∑收敛,故由M判别法知,21sinnnxn∞=∑在区间(,)-∞+∞上一致收敛.(3分)682. 解 幂级数1nn x n∞=∑的收敛半径1R ==,收敛区间为(1,1)-.(2分)易知1n n x n ∞=∑在1x =-处收敛,而在1x =发散,故1nn x n∞=∑的收敛域为[1,1)-.(2分) 01, (1, 1)1n n x x x ∞==∈--∑(2分) 逐项求积分可得0001, (1,1)1xx nn dt t dt x t ∞==∈--∑⎰⎰. 即101ln(1), (1,1).1n nn n x x x x n n+∞∞==--==∈-+∑∑(2分)3. 解 函数f 及其周期延拓后的图形如下函数f 显然是按段光滑的,故由收敛性定理知它可以展开为Fourier 级数。
哈尔滨工业大学(威海)秋季学期工科数学分析(B 类)试题卷(A )题号 一二三四五六七八卷 面 总 分 平 时 成 绩 课 程 总 成 绩分数一、选择题(请把答案写在括号内,每题2分,共10分)1. 数列有界是数列收敛的( )(A)必要条件 (B)充分条件(C)充分必要条件 (D)既非充分也非必要条件2.设22(cos )sin f x x '=,且(0)0f =,则()f x =( )(A) 21cos cos 2x x + (B) 241cos cos 2x x -(C) 212x x - (D) 212x x +3. 11lim(1)lim(sin )xx x x x x-→→∞++= ( ) (A).e (B). 1e -; (C). 1e + (D). 11e -+4. 对于不定积分,在下列等式中正确的是( )(A )[()]()d f x dx f x =⎰; (B )()()df x f x =⎰;(C )()()f x dx f x '=⎰; (D )()()df x dx f x dx =⎰. 得分遵守 考 试 纪 律 注 意 行 为 规 范5. 设()y f x =满足关系式240y y y '''-+=,若0()0f x >且0()0f x '=,则()y f x =在0x 点( ).(A).取极大值; (B).取极小值;(C).在某邻域内单调增; (D).在某邻域内单调减.二、填空题(每题2分,共10分) 1. 设,m n 为正整数,且m n <,则0sin()lim (sin )n mx x x →= .2. 设()(1)(2)(2002)f x x x x x =++⋅⋅⋅+,则 (0)f '= .3.定积分0=⎰ .4. 设()()f x g x '=,则微分2[(sin )]d f x = .5.不定积分2= .三、 算题(每题5分,共30分)1. 计算11lim()ln 1x x x x →--.遵守 考 试 纪 律注 意 行 为 规 范2.计算.1 lim(123)n n nn→∞++.3.已知21ln cos arcsin2xy x xx=++求y'.4.求由参数方程sin1cosx t ty t=-⎧⎨=-⎩确定的函数的导数dydx,22d ydx.5.计算积分(1ln)xe x xdxx+⎰.6.计算Iπ=⎰.四、解答下列各题(每题10分,共50分)1.设函数32ln(1),0,arcsin()60,10.sin4axaxxx xf x xe x axxxx⎧⎪+<⎪-⎪⎪==⎨⎪+--⎪>⎪⎪⎩问(1)a为何值时, ()f x在0x=处连续;(2)a为何值时, 0x=是()f x的可去间断点.2.当a为何值时,抛物线y=x2与三直线x = a,x = a+1,y= 0所3.围成的图形面积最小?4.已知1x2x =…, 1n x +=证明数列{}n x 收敛并求其极限.5. 设函数()f x ,()g x 在[,]a b 上连续,在(,)a b 内可导,且()()0f a f b ==,()0g x ≠,试 证:至少存在一个(,)a b ξ∈,使()()()()f g f g ξξξξ''=.5设严格单调递增函数()[,]f x C a b ∈且()0f x ''>,证明:()()()()()()2ba f a fb b a f a f x dx b a +-<<-⎰遵守 考 试 纪 律注 意 行 为 规 范哈尔滨工业大学(威海)秋季学期 工科数学分析(B 类)试题卷(A )答案一. (1).A (2).C (3).D (4).D (5)A二(1).0 (2).2002! (3)π(4)2(sin )sin 2g x x(5)35224235x x C ++三1. 11ln 1ln ()lim lim limln 1(1)ln (1)ln(11)111x x x x x x xx x x x x x x x x -----==---+-→→→211ln lim(1)x x x xx →--=-1ln 11lim 2(1)21x x x --==--→ 2.解:因为1113(3)(123)(33)n nn n nnn=≤++≤⨯=3lim n →∞=,所以1(123)3lim nn nn →∞++= 3.223211tan 2arcsin 22(1)x y x x x x x '=-++-+ 4.sin 1cos dydy t dt dx dx t dt==-, 22411()()()2sin 2d y d dy d dy dt d dy dx t dx dx dt dx dx dt dx dxdt ====- 5.(1ln )ln ln ln ln x x x x x x x xx e x x e e e e dx dx e xdx dx xde dx e x dx x x x x xe x C+=+=+=+-=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰6.202cos sin sin cos sin cos 1x xdx x xdx x xdx πππππ==-=⎰⎰⎰⎰四.解答题 1.解33200000000ln(1)3(00)()lim lim lim limarcsin arcsin 1x x x x ax ax ax f f x x x x x →-→-→-→-+-====---003(16lim x a a →-=-=-22200000011(00)()4lim lim lim sin4ax ax x x x e x ax e x ax f f x x x x →+→+→++--+--+=== 2220000002224442(2)lim lim lim 222ax ax ax x x x ae x a a e a e a x →+→+→++-++====+令(00)f +=(00)(0)f f -=得1a =-,从而当1a =-时()f x 在0x =连续; 令(00)f +=(00)(0)f f -≠得2a =-,从而当2a =-时0x =是()f x 的可去间断点。
《数学分析》(三)――参考答案及评分标准一. 计算题(共8题,每题9分,共72分)。
1.求函数11(,)f x y y x =在点(0,0)处的二次极限与二重极限。
解:11(,)f x y y x =+=,因此二重极限为0。
……(4分)因为011x y x →+与011y y x→+均不存在,故二次极限均不存在. ……(9分)2. 设(),()y y x z z x =⎧⎨=⎩ 是由方程组(),(,,)0z xf x y F x y z =+⎧⎨=⎩所确定的隐函数,其中f 和F 分别具有连续的导数和偏导数,求dzdx.解: 对两方程分别关于x 求偏导:, ……(4分). 解此方程组并整理得()()()()y y x y z F f x y xf x y F F dz dx F xf x y F '⋅+++-='++。
……(9分)3. 取,μν为新自变量及(,)w w v μ=为新函数,变换方程222z z zz x x y x ∂∂∂++=∂∂∂∂. 设,,22y x y x y w ze μν+-=== (假设出现的导数皆连续)。
解:z 看成是,x y 的复合函数如下:,(,),,22y w x y x yz w w e μνμν+-====. ……(4分) 代人原方程,并将,,x y z 变换为,,w μν。
整理得:2222w ww μμν∂∂+=∂∂∂. ……(9分)4. 要做一个容积为31m 的有盖圆桶,什么样的尺寸才能使用料最省?解: 设圆桶底面半径为r ,高为h ,则原问题即为:求目标函数在约束条件下的最小值,其中目标函数: 222S rh r ππ=+表,()()(1)0x yz dzdy f x y xf x y dx dx dy dz F F F dx dx ⎧'=++++⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩约束条件: 21r h π=。
……(3分) 构造Lagrange 函数:22(,,)22(1)F r h rh r r h λππλπ=++-。
数学分析三其中考试答案(命题人:夏赞勋)一、计算二重积分⎰⎰+Ddxdy y x 3)(,其中D 由曲线21y x +=与直线02=+y x 及02=-y x 围成。
(12分)解:积分区域可以分为两部分,即21D D D ⋃=,其中{}2112,10),(y x y y y x D +≤≤≤≤=, {}2212,01),(y x y y y x D +≤≤-≤≤-=。
则二重积分⎰⎰⎰⎰+++=+DDdxdy y xy y x x dxdy y x )33()(32233又1D 与2D 关于x 轴对称,则:0)3(32=+⎰⎰Ddxdy y y x ⎰⎰⎰⎰⎰⎰++=+=+11223232321)3(2)3(2)3(y yD Ddx xy x dy dxdy xy x dxdy xy x1514)41249(2)2341(212410122242=++-=+=⎰⎰+dy y y dy y x x y y二、设二元函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+<+≤+=21,11,),(222y x yx y x x y x f 计算二重积分⎰⎰Dd y x f σ),(,其中}2),{(≤+=y x y x D 。
(12分)解:由于积分区域D 关于x 轴,y 轴都对称,且在对称点处的函数值均相同,所以⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰++==211222144),(4),(s s D Dd yx d x d y x f d y x f σσσσ。
其中,211S S D ⋃=1S 为由坐标轴和直线1=+y x 围成的区域,2S 为由坐标轴以及直线2,1=+=+y x y x 围成的区域。
由于⎰⎰⎰⎰-==1010221211xs dy x dx d x σ θθθθσπθθθθπd rdr r d d y x s ⎰⎰⎰⎰⎰+++==+20sin cos 2sin cos 12022sin cos 1112)12ln(2)4tan()4sec(21)4cos(2122+=-+-=-=⎰ππθπθθπθπIn d即得:)12ln(2431),(++=⎰⎰Dd y x f σ三、计算二重积分⎰⎰-+Ddxdy y x )cos 1)1(2,其中积分区域D 是由直线2,2,252,3ππ-==-=+=y y x y x y 所围成。
工业大学工科数学分析期末考试试卷假设想免费下载该文档:登录.hnh12. ->论坛->文档下载区->〔搜索想要的文档〕工科数学分析期末考试试卷〔答案〕试题卷〔A〕考试形式〔开、闭卷〕:闭答题时间:150〔分钟〕本卷面成绩占课程成绩70%题号一二三四五六七八卷面总分平时成绩课程总成绩分数一.选择题〔每题2分,共10分〕1.以下表达中不正确者为〔D〕〔A〕如果数列收敛,那么数列一定有界。
〔B〕如果,那么一定有。
〔C〕在点处可导的充要条件是在点处可微。
〔D〕如果函数在点处导数为,那么必在该点处取得极值。
得分2.设在[0,1]上那么以下不等式正确者为〔B 〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕3.假设在上可积,那么以下表达中错误者为〔D〕〔A〕连续〔B〕在上可积第1页〔共7页〕〔C〕在上由界〔D〕在上连续4.假设,那么〔D〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D 〕5.〔D〕〔A 〕〔B 〕〔C 〕〔D 〕得分二.填空题〔每题2分,共10分〕1.的连续点为:,其类型为:第一类连续点。
2.的全部渐近线方程为:。
3.摆线处的切线方程为:。
4.=: 1 。
5.设在上可导,,第2页〔共7页〕那么=:三.计算以下各题:〔每题4分,此题总分值20分〕得分1.假设,求解:2,那么2.,解:,3.解:==4.解:第3页〔共7页〕5. ,求解:=,所以。
故四.解答以下各题:〔每题5分,此题总分值10分〕得分1.数列,,求证:收敛,并且证明:1)证有界因为,所以。
假设,那么。
故有界。
2〕证单调因为,故为单调上升数列。
由1〕和2〕知道收敛。
设,由,所以有解得。
而且为单调递增数列,所以。
故。
第4页〔共7页〕2.设,曲线与三条直线所围平面局部绕x 轴旋转成的旋转体的体积为取何值时,最大?解:,由得,。
当时,故当时,到达极大值,且为最大值。
五:证明以下各题:〔1,2题各4分,3,4题各6分,此题总分值20分〕得分1.证明方程至少有一个不超过的正根。
证明:设,显然它在上连续。
《数学分析(II )》试题2004.6一.计算下列各题:1.求定积分∫+e x x dx 12)ln 2(;2.求定积分; ∫−222),1max(dx x3.求反常积分dx x x ∫∞++021ln ;4.求幂级数()∑∞=−+1221n n n x n n 的收敛域;5.设,求du 。
yz x u =二.设变量代换可把方程⎩⎨⎧+=−=ay x v y x u ,20622222=∂∂−∂∂∂+∂∂y z y x z x z 简化为02=∂∂∂v u z ,求常数。
a三.平面点集(){}⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎟⎠⎞⎜⎝⎛L U ,2,11sin ,10,0n n n是否为紧集?请说明理由。
四.函数项级数n nn n x x n +⋅−∑∞=−1)1(11在上是否一致收敛?请说明理由。
]1,0[五.设函数在上连续,且满足)(x f ),(∞+−∞1)1(=f 和)arctan(21)2(20x dt t x tf x =−∫。
求。
∫21)(dx x f六.设函数在上具有连续导数,且满足)(x f ),1[∞+1)1(=f 和22)]([1)(x f x x f +=′,+∞<≤x 1。
证明:存在且小于)(lim x f x +∞→41π+。
七.设如下定义函数:dt t t x f x x t1sin 21)(2∫⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=,。
1>x 判别级数∑∞=2)(1n n f 的敛散性。
八.设∫=40cos sin πxdx x I n n (L ,2,1,0=n )。
求级数的和。
∑∞=0n n I《数学分析(II )》试题(答案)2004.6一.1.421π⋅; 2.320; 3.; 4. 0)2/1,2/1(−; 5.⎟⎠⎞⎜⎝⎛++=xdz y xdy z dx x yz x dz yz ln ln 。
二.。
3=a 三. 是紧集。
四.一致收敛。
五.43。
六.因为,所以单调增加,因此0)(>′x f )(x f 1)1()(=>f x f 。
综合测试试卷一一、 计算题(本大题共15小题,每小题2分,共30分)1、xx x tan 01lim ⎪⎭⎫⎝⎛+→; 2、()x x x 2cot lim 0→ ;3、设a 为非零常数,则xx a x a x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→lim ;4、⎪⎭⎫ ⎝⎛--+∞→n n n n n 3lim ; 5、xx x ex e111lim +-+→;6、⎪⎪⎭⎫⎝⎛++∞→x x x x 2sin 3553lim 2; 7、⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++++∞→n n n n n n n n n 2222211lim ;8、()x x x sin 2031lim +→;9、⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→x x x x 11ln sin 31ln sin lim ; 10、()()x x x x x x +++→1ln cos 11cossin 3lim20 ; 11、20211limx x x x --++→; 12、⎪⎭⎫ ⎝⎛-→x x x x tan 11lim 20; 13、()3021ln arctan limx xx x +-→ ;14、若0>a ,0>b 为常数,则xxx x ba 302lim ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+→;15、⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++∞→n n n n n n πππcos 12cos 1cos 11lim。
. 二、单项选择题(本大题共5小题,每小题2分,共10分)16、xx x x sin sinlim10→的值为( ) A. 1; B. ∞; C.不存在; D. 0.17、=+--+→232231x x x x x lim ( )A. 3;B. 4-;C. 1;D. 1-.18、 =⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→xx x 211lim ( )A.e 2;B. 2-e; C. 2e ; D.e2. 19、若22222=--++→x x bax x x lim ,则必有( ) A. 82==b a ,; B. 52==b a ,;C. 80-==b a ,; D. 82-==b a ,. 20、当+→0x 时,以下四式中为无穷小量的是( )A. x x 1sin ;B. x e 1; C. x ln ; D. x xsin 1.21、当+→0x 时,以下四式中为无穷大量的是( ) A. 12--x; B.xx sec sin +1; C. xe -; D. x e 1. 22、=→xx x x cos sinlim10( ) A.不存在; B. 0; C. 1; D. ∞.23、()=-→xx x cos tan lim 02π( )A.0;B. 1;C. ∞;D. 不存在. 24、=⎪⎭⎫⎝⎛--→1110x x e x lim ( )A.0;B. 21;C. ∞;D.21-. 25、()=+→xx x ex 10lim ( )A.e ;B. 1;C. 2e ; D. 2.三、计算题(本大题共3小题,每小题17分,共51分)26、623lim 2232--++-→x x xx x x ; 27、()11lim 22--+∞→x x x . 28、38231lim x x x +---→. 29、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--∞→1212lim 223x x x x x . 30、n n n n n !2lim ∞→. 31、()()()503020152332lim++-∞→x x x x . 32、设)(a f '存在,且0>)(a f ,求xx a f x a f ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→)(lim 1.33、xx x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→1lim . 34、11lim 31--→x x x . 35、xx x cos lim 00+→. 36、xx x x 10arcsin lim ⎪⎭⎫⎝⎛→. 37、()x x x x cos 1sin 1ln lim 0-+→. 38、201sin lim x x →. 39、21cos lim x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→. 40、121lim +∞→+++p p p p n n n ,0>p .41、()1ln lim0-+→xx e x.42、dx xx an nn ⎰+∞→1sin lim.(提示:先用积分中值定理:()()a b f dx x f ba-=⎰ξ)(,[]b a ,∈ξ)综合测试试卷一参考答案一、计算题(本大题共15小题,每小题2分,共30分) 1、1; 2、21; 3、a e 2;4、2;5、1-;6、56;7、21;8、6e ;9、2;10、23;11、41-;12、31; 13、61-; 14、()23ab ; 15、22π。
共 2 页 第 1 页 0, 0.五邑大学 2023 年攻读硕士学位研究生入学考试自命题科目试卷科目名称: 数学分析 科目代码: 616 提示:①请把答案写在答题纸上,写在试卷上不给分。
②答案应清楚标明题号,字迹应 清晰,卷面要整洁。
③试卷满分 150 分。
一、(每题 10 分,共 30 分)计算下列极限.1. lim tan xsin x x 0x 32. lim (11x )x e x 0 xn 1i 3. lim cos n i 1 n n二、(10 分)设f (x ) x 讨论函数f (x )在x x 处的连续性与可导性.三、(10 分)设 f (x ) 在[a ,b ] 上可导, 且 f (a )(a ,b ),使得 . 证明: 存在 x 2 sin 1 , 0,x 0 f (b ) 0共 2 页 第 2 页 xu yv 1,yu xv 2 sin x 2 y 2dxdy DD {(x ,y ) | 2 x 2 y 2 4 2} .(2x 3y 4z )ds , L四、(每题 10 分,共 30 分)计算下列不定积分与定积分.1.2.3.x 2五、(10 分)设F (x ) s in (x t )d t ,求F (x ).2x 1六、(10 分)已知方程组 确定u ,v 是关于x ,y 的函数,试求.七 、 ( 10 分 ) 计 算 二 重 积 分 , 其 中八、(10 分)讨论函数列f n(x ) 在[0, )上的一致收敛性.九、(10 分)求曲线积分2f ( ) f ( ) 0. x 2 12x 3 dx0 2e 2x cos x dx1 2x2 dx3v , v x y1 2nxn 2x 2 ,n 1,2,其中L 取自螺旋线:x 2 cos t,y 2 sin t,z3t,(0 t 2 ).十、(10 分)计算三重积分Vx 2y2dxdydz,其中 V 是由曲面所围区域.x 2 y2 z 2和平面z十一、(10 分)设f (x)以2为周期,在[ , ]上有f (x) 里叶级数展开式.x 2,求f (x)的傅1共2 页第3 页。