范里安《高级微观经济学》复习资料1-16章完整版

高级微观复习第一章： P12—22：给出生产函数可求出技术替代率、替代弹性、规模报酬等（结合书上P13、P15和P19例题看+P21CES 生产函数）1、技术替代率TRS ：，假设维持产量水平不变，我们想增加要素1的投入量减少要素2的投入量。

这就是这两种要素之间的技术替代率，是衡量等产量线的斜率。

二维情况下：),(),(),(2122111221x x MP x x MP x x x x TRS -=∆∆= N 维情况下，TRS(x 1,x 2)：或者柯布-道格拉斯函数下的技术替代率：2、替代弹性 替代弹性衡量等产量线的曲率。

更具体地说，替代弹性衡量在产量维持不变的情形下，要素投入比率的变动百分比除以TRS 变动百分比。

根据公式推导，连锁法则（）柯布-道格拉斯函数的替代弹性是1。

3、规模报酬产量等比例增加，我们通常假设只要将以前的生产模式复制，就能生产出t 倍的产量。

定义（规模报酬不变）：某生产技术呈现规模报酬不变的现象，若它满足下列条件：定义（规模报酬递增）：若f(tx)>tf(x)（其中t>1），则该技术是规模报酬递增的。

4、CES函数的相关概念CES函数具有规模报酬不变性质。

（1）线性生产函数（ρ=1）。

将ρ=1代入CES生产函数可得y=x1+x2，，第二章利润最大化问题：求解要素需求函数、供给函数（参考P32柯布道格拉斯技术的例子）基本原理：对于每个价格向量(p,w)，通常会存在要素的最优选择x*。

要素最优选择是价格向量的函数，这个函数称为企业的要素需求函数。

我们将该函数记为x(p,w)。

P是产品的价格，W是要素的价格。

函数y(p,w)=f(x(p,w))称为企业的供给函数。

柯布-道格拉斯函数：简化：就是对生产函数求导，然后，要素需求函数X=。

Y=f(X)=。

利润函数：第三章霍特林引理（P46）第四章成本最小化问题：求条件需求函数、成本函数等（参考P57-58：柯布道格拉斯和CES成本函数，后面的例子也可以看看）1、成本函数成本函数是要素价格为w和产量为y时的最小成本，即：c(w,y)=wx(w,y)。

第11章不确定性一、判断题1．对于两种赌博，不论他们的期望报酬怎样，一个风险厌恶者总会选择方差小的那种。

（）【答案】F【解析】风险厌恶者更加偏好的是财富的期望值，而不是赌博本身。

因此，期望报酬对风险厌恶者的选择是有影响的。

当期望报酬相等，风险厌恶者总会选择方差小的那种。

2．某消费者不属于风险厌恶者。

他有机会通过支付10元去买一张彩票，这张彩票将使他以0.05的概率赢得100元，以0.1的概率赢得50元，有0.85的概率他将一无所获。

如果他明白胜算的可能并且计算没有错误，那么他将买下彩票。

（）【答案】T【解析】买彩票的期望效用为：()()()⨯+⨯+⨯。

买彩票和不买彩0.051000.1500.850u u u票的期望收益是相等的，对于一个非风险厌恶者来说，有：()()()()()u u u u u⨯+⨯+⨯≥⨯+⨯+⨯=0.051000.1500.8500.051000.1500.85010因此他将买下彩票。

3．如果保险费用上升，人们将减少风险厌恶程度。

（）【答案】F【解析】并不是由保险费用来决定风险厌恶程度，而是由风险厌恶程度来决定保险费用。

对于风险厌恶者来说，完全保险是他的最优选择；而风险偏好者对保险的需求并没有前者大。

4．某消费者有冯·诺依曼-摩根斯顿效用函数()()(),,,a b a b a a b b u c c p p p v c p v c =+。

a p 和b p 分别是事件a 和事件b 发生的概率，a c 和b c 分别是以事件a 和事件b 而定的消费。

如果()v c 是一个增函数，这个消费者必定是风险爱好者。

（）【答案】F【解析】()v c 是一个增函数，则()0v'c >。

()()()0a b a b a a b b u'c c p p p v'c p v'c =+>，，，，()()(),,,a b a b a a b b u''c c p p p v''c p v''c =+。

高级微观复习第一章：P12—22：给出生产函数可求出技术替代率、替代弹性、规模报酬等（结合书上P13、P15和P19例题看+P21CES 生产函数）1、技术替代率TRS ：，假设维持产量水平不变，我们想增加要素1的投入量减少要素2的投入量。

这就是这两种要素之间的技术替代率，是衡量等产量线的斜率。

二维情况下：),(),(),(2122111221x x MP x x MP x x x x TRS -=∆∆= N 维情况下，TRS(x 1,x 2)：或者柯布-道格拉斯函数下的技术替代率：2、替代弹性 替代弹性衡量等产量线的曲率。

更具体地说，替代弹性衡量在产量维持不变的情形下，要素投入比率的变动百分比除以TRS 变动百分比。

根据公式推导，连锁法则（）柯布-道格拉斯函数的替代弹性是1。

3、规模报酬产量等比例增加，我们通常假设只要将以前的生产模式复制，就能生产出t 倍的产量。

定义（规模报酬不变）：某生产技术呈现规模报酬不变的现象，若它满足下列条件：定义（规模报酬递增）：若f(tx)>tf(x)（其中t>1），则该技术是规模报酬递增的。

4、CES函数的相关概念CES函数具有规模报酬不变性质。

（1）线性生产函数（ρ=1）。

将ρ=1代入CES生产函数可得y=x1+x2，，第二章利润最大化问题：求解要素需求函数、供给函数（参考P32柯布道格拉斯技术的例子）基本原理：对于每个价格向量(p,w)，通常会存在要素的最优选择x*。

要素最优选择是价格向量的函数，这个函数称为企业的要素需求函数。

我们将该函数记为x(p,w)。

P是产品的价格，W是要素的价格。

函数y(p,w)=f(x(p,w))称为企业的供给函数。

柯布-道格拉斯函数：简化：就是对生产函数求导，然后，要素需求函数X=。

Y=f(X)=。

利润函数：第三章霍特林引理（P46）第四章成本最小化问题：求条件需求函数、成本函数等（参考P57-58：柯布道格拉斯和CES成本函数，后面的例子也可以看看）1、成本函数成本函数是要素价格为w和产量为y时的最小成本，即：c(w,y)=wx(w,y)。

微观经济学Chapter 3 偏好※ 无差异曲线类型→ 完全替代 / 完全互补 / 厌恶品（Bad ）/ 中立品（Neutral ）/ 餍足品（Satiation ） ※ 关于偏好的假设→ 单调性（越多越好） → MRS<0→ 平衡消费更优（大于某个特定效用的商品构成一个凸集）→ 121212((1),(1))(,)tx t x ty t y x x +-+-→ MRS 单调递减→ 无差异曲线是严格凸的→ 效用函数是严格拟凹的※ MRS 的涵义→ 只要交换比率不恰好等于MRS ，即: 预算约束曲线不与无差异曲线相切时，都存在进一步交换的动机====================================================================== Chapter 4效用 ※ 效用函数与偏好的关系→ 12121212(,)(,)(,)(,)x x y y u x x u y y ⇔> ※ 不同类型的效用函数→ 完全替代 / 完全互补 / 拟线性 / Cobb-Douglas→ 拟线性函数: (,)()u x y v x y =+（垂直平移得到一组无差异曲线） ※ 12MU MU MRS =- → 效用函数的单调变换不改变边际替代率====================================================================== Chapter 5 消费选择※ 最优消费选择的解的情况→ 内部解 V.S. 角点解→ 对于内部解: 必要条件为: 12P MRS P =-（即: 无差异曲线与预算约束线相切） → 对于角点解: 不需要满足相切的条件 → 无差异曲线严格凸 VS 非凸（即: 是否满足MRS 单调递减）→ 严格凸: 相切是充分条件 → 严格凹: 偏好极端消费（1220,/x x m P ==）→ 其他情况: 图形观察并求解※ 马歇尔需求函数→ 数学模型: max (,)u x y ..x y s t P x P y m += （拉格朗日乘数法）→ 马歇尔需求函数的形式: (,,)i i x y x x P P m =→ 完全替代 / 完全互补 / Cobb-Douglas / 拟线性※ 评价从量税和总额税→ 假设: 两种税收制度下得到同样的税收收入→ 两条预算约束线相交于从量税下的最优选择点→ 总额税使得消费者的效用水平总是不差于从量税→ 只有当消费者偏好为完全互补时，两种税收制度可以达到的效用水平相等====================================================================== Chapter 6 需求※ 收入与需求的关系（位似偏好下的收入扩张曲线 / 恩格尔曲线）※ 拟线性偏好下的需求函数◆ 收入与需求的关系（1） 收入扩张曲线→ 三种情况（完全替代 / 完全互补 / Cobb-Douglas ）→ 相同点: 收入扩张曲线都是从原点出发的曲线→ 原因: 满足位似偏好（2） 恩格尔曲线（描述收入与需求之间的关系）→ 三种情况（完全替代 / 完全互补 / Cobb-Douglas ）→ 相同点: 从原点出发的直线→ 原因: 满足位似偏好→ 收入扩张曲线为直线 ⇔ 恩格尔曲线为直线（3） 位似偏好→ 定义: 效用函数为一次齐次的偏好→ 12121212(,)(,)(,)(,)x x y y tx tx ty ty ⇔（偏好取决于12x x ）→ 性质: → 需求与收入保持同比例关系，即: x km =→ 需求的收入弹性为1，即: ln 1ln x m∂=∂ → 两种商品的需求量保持一定的比例◆ 拟线性偏好下的需求函数→ 数学模型: 1212max (,)()u x x v x x =+ 1122..s t Px P x m +=→ 最优消费选择: '*112()P v x P = → 结论: 1x 的需求与收入无关（仅针对超过某个特定值的收入水平适用）→ 举例: 1212(,)ln u x x x x =+（课本117页，注意: x 的需求量分两段，图示!!）→ 拟线性偏好下的收入扩张曲线为垂直的直线；恩格尔曲线有两段◆ 需求函数 V.S. 反需求函数→ 111()x x p = V .S 111()p p x =→ 反需求函数的涵义: 12||p p MRS =，若21p =，则1p 衡量了人们意愿为额外多消费商品1所支付的价格====================================================================== Chapter 7 显示偏好※ 显示偏好弱公理和显示偏好强公理（学会判断是否违背公理——表格法）※ 两种数量指数和两种价格指数（如何判断消费者状况是否改善）◆ 直接显示偏好 V .S 间接显示偏好→ 直接显示偏好: 11221122p x p x p y p y xy +≥+⇔ → 间接显示偏好: x y y z x z ⇒◆ 检验W ARP 和SARP→ 举例（课本127页和129页）◆ 数量指数和价格指数（帕氏 / 拉氏）（1） 数量指数→ 帕氏: 以t 期价格作为权重→ 表达式: 11221122t t t t q t b t b p x p x P p x p x +=+ → 112211221t t t t t b t bq P p x p x p x p x >⇒+>+ → t 期消费者状况比b 期改善了!! → 拉氏: 以b 期价格作为权重→ 表达式: 11221122b t b t q b b b b p x p x L p x p x +=+→ 112211221b t b t b b b b q L p x p x p x p x <⇒+<+ → t 期消费者状况比b 期恶化了!!（2） 价格指数→ 帕氏: 以t 期数量作为权重→ 11221122t t t t p b t b t p x p x P p x p x +=+→ 1122112211221122t t t t b b b b b t b t p b b b b p x p x P M p x p x p x p x p x p x +>=⇒+>++ → t 期消费者状况比b 期恶化了!!→ 拉氏: 以b 期数量作为权重→ 11221122t b b b p b b b b p x p x L p x p x +=+→ 1122112211221122t t t t t b t b t t t t p b b b b p x p x L M p x p x p x p x p x p x +><⇒+<++ → t 期消费者状况比b 期改善了!!================================================================== Chapter 8 Slutsky 方程※ 价格效应的分解（针对Slutsky 补偿，替代效应和收入效应的分解）※ 两种Slutsky 方程（Slutsky 补偿和Hicks 补偿）→ 掌握: 两种补偿下的“替代效应是负的”的证明※ 两种需求函数（马歇尔需求函数 / 希克斯需求函数）※ 需求定律※ 两种税收制度的评价◆ 价格效应的分解（仅针对Slutsky 补偿）（1） 收入效应和替代效应→ 收入补偿: '111'()m m x p p -=-→ 替代效应: '111111(,')(,)s x x p m x p m ∆=-→ 收入效应: ''11111(,)(,')n x x p m x p m ∆=-（2） 举例（课本141页）（3） 特殊效用函数的价格效应→ 完全互补（替代效应为0；全部表现为收入效应）→ 完全替代（若消费对象发生变化，则收入效应为0，全部表现为替代效应）→ 拟线性需求函数（对于其中一种商品而言，只有替代效应，没有收入效应）◆ 两种Slutsky 方程（1） Slutsky 补偿下的Slutsky 方程 → 形式（课本157页）→ 推导:（2） Hicks 补偿下的Slutsky 方程→ 形式:→ 推导:（3） 证明“替代效应是负的”→ Hicks 补偿（相切于初始的无差异曲线）→ 利用MRS 递减→ Slutsky 补偿（绕着初始的消费束旋转）→ 利用显示偏好来证明 → Proof （课本155页）◆ 两种需求函数→ 马歇尔需求函数（未补偿的需求函数）: 12,(,)x x p p m =→ 既反映了收入效应，也反映了替代效应→ 希克斯需求函数（补偿的需求函数）: 12,(,)h h x x p p u =→ 只反映了替代效应◆ 需求定律→ 表述: 如果一种商品是正常品（需求随收入增加而增加，收入效应为正），则这种商品必定是一般品（需求随价格的上升而下降）→ 推论: 如果一种商品是吉芬商品（需求随价格的上升而上升），则这种商品必定是劣质品（需求随收入的增加而下降，收入效应为负）◆ 两种税收制度的评价（1） 返税（在新的消费束的基础上进行补偿）→ 表达式: ()'''p t x y m tx ++=+→ 征税后的最优消费束落在了初始的预算约束上→ 结论: 征税使得消费者的状况恶化了!!（2） 补贴（征税但在旧的消费束上进行补偿）→ 表达式: 0()''p t x y m tx ++=+（其中0x 为征税前的最优消费束）→ 征税前的最优消费束落在了征税后的预算约束上→ 结论: 这种制度下消费者的状况改善了!!→原因: 征税后得到的税收为*tx ，而政府进行的补贴为0tx ；由于征税后有*0x x <，因此这种制度下，相当于政府对公众进行了补贴（3） 两种税收制度的图示（课本151页/ 153页）====================================================================== Chapter 9 买与卖（带有禀赋的分析）※ 带有禀赋的消费者选择（价格效应的三种分解）※ 带有禀赋的Slutsky 方程→ 解释在正的收入效应下，“吉芬商品”存在的原因※ 劳动供给模型（引入禀赋分析）→ 解释: 劳动供给曲线的形状※ 分析: 为什么加班费可以提高工作量，而工资水平的整体提高却不一定可以提高工作量◆ 带有禀赋的消费者选择（1）数学模型: 12max (,)u x x 11221122..s t p x p x p w p w +=+ （2）收入效应的三种分解和举例（课本180页 / 课本172页）（3）价格变化对不同角色个体的影响（买和卖的不同身份）→ 卖者 + 价格下降→ 若依旧保持卖方角色，则效用必定降低→ 若转换为买方角色，则效用的变化是未知的→ 究竟会不会转换为买方，这是无法一概而论的!!→ 卖者 + 价格上升→ 依旧保持卖方角色，且效用水平提高了!!→ 但卖的数量变化却是未知的!!→ 买者 + 价格下降→ 依旧保持买者角色，且效用水平提高了!!→ 但买的数量变化却是未知的!!→ 买者 + 价格上升→ 若依旧保持买方角色，则效用水平必定降低→ 若转换为卖方角色，则效用的变化是未知的→ 究竟会不会转换为卖方，这是无法一概而论的（图示卖者的选择 → 利用显示偏好）（课本165页）◆ 带有禀赋的Slutsky 方程→ 形式（课本181页）→ 推导→ 解释在正的收入效应下，“吉芬商品”存在的原因→ 当11w x >时（即: 作为商品1的净供应者），价格上升时，禀赋带来的正的收入效应可能占据主导地位，从而抵消了一般收入效应和替代效应◆ 劳动供给模型（引入禀赋分析）（1）预算约束: PC WR PC W R +=+ （其中/C M P =,M 为初始财富）→ 有时候把PC W R M W R +=+称作“隐性收入“ → 预算约束上的禀赋点为(,)C R （2）工资对劳动供给量的影响（分析工资对闲暇的影响）→ Slutsky 方程: ()R R substitution R R w m∆∆=+-∆∆ → 解释：劳动供给曲线的形状→ 当劳动供给水平较低时，即()R R -较小时，替代效应占了主导，此时工资上升，闲暇消费减少，从而劳动供给水平上升；但随着劳动供给的增加，闲暇的收入效应占据了主导，此时工资和劳动供给成了反向的关系（3）分析: 加班费可以提高工作量，而工资水平的整体提高却不一定可以提高工作量→ 加班费仅针对超过“最优选择”的工作量的劳动供给，因此只有替代效应，必然导致劳动供给水平上升→ 工资水平的整体提高会同时带来收入效应，因此工作量不一定提高→ 图形分析（课本178页）====================================================================== Chapter 10 跨时期选择※ 利率变化对借贷者的影响（Slutsky 方程分析 + 显示偏好）◆ 跨时期的预算约束（带禀赋的分析）（1） 跨时期预算约束: 221111C M C M r r+=+++（这里应采用实际利率） （2） 利率变化对借贷者的影响→ Slutsky 方程分析: 1111111()t s m c c c m c p p m∆∆∆=+-∆∆∆ （利率上升相当于第一期价格上升） → 利率变化对当期消费的影响取决于身份（借者或贷者）→ 若110m c -<（初始为借方）则利率提高后，借的数量减少，甚至可能变为贷方 → 若110m c ->（初始为贷方）则利率提高后，贷款数量的变化是未知的→ 定性分析（显示偏好）→ 贷方在利率升高时，依旧为贷方，且效用水平提高，但贷款数量变化未知 → 借方在利率降低时，依旧为借方，且效用水平提高，但贷款数量变化未知 → 图示（贷方 + 利率升高；课本188页）====================================================================== Chapter 11 资本市场※ 可耗竭资源的价格决定（石油）※ 何时砍树最佳？◆ 可耗竭资源的价格决定（石油）（1）石油价格如何随着年份而改变？→ 1(1)t t p r p +=+（2）什么决定了石油的当期价格？→ 0(1)T C p r =+ 其中C 为可替代资源的价格，T 为石油待到耗竭时所经历的年数 → 影响石油价格的因素: T 和C→ 当石油储量越多时，T 越大，石油价格就越低→ 可替代资源的价格越低，石油的价格也越低◆ 何时砍树最佳？（假设：树的增长率先快后慢）（1） 定性分析→ 当树的增长率与银行利率相等时，就是最佳的砍树时机→ 图示（课本210页）（2） 数学分析→ 假设: 连续利率支付→ 最佳砍树时机满足：砍伐时树的现值达到最大值→ 结论: 最佳砍树时机时，树的增长率与银行利率相等→ Proof ：（课本214页）====================================================================== Chapter 12 不确定性※ 关于两个条件消费计划（contingent consumption plan ）的最佳选择（最优保险量的决定）※ 分析: 在什么条件下，风险规避者也愿意进行投资？※ 解释：对于风险资产收益的征税为什么会提高最优投资水平？◆ 最优保险量的决定（1）预算约束→ 斜率的确定: 1gb C K C K K γγγγ∆=-=-∆-- 其中γ为每单位保险量的“保费”（2）期望效用函数（Expected Utility ）→ 表达式: 12121122(,,,)()()u C C v C v C ππππ=+→ 独立性假设，即两个不确定状态下的消费决定不相互影响 → 正仿射变换（即: ()v u au b =+, 0a >）可以保持其性质，其他单调变换都不可以（3） 最优保险两的决定→ 假设: 风险规避（''()0v x <）+ 公平保费（γπ=） → 最优化条件: ()()11(1)g g b bv c c MRS v c c πγπγππ∂∂=-=-=-∂---∂ ()()g b g b g bv c v c c c W K W L K K c c γγ∂∂⇒=⇒=⇒-=-+-∂∂ K L ⇒= （即: 完全投保会是最优的选择!!）◆ 风险规避者的投资（1） 数学模型: ()(1)g g g W w x x r w xr =-++=+()(1)b b b W w x x r w xr =-++=+()()(1)()g b EU x u w xr u w xr ππ=++-+⇒ '()'()(1)'()g g b b EU x u w xr r u w xr r ππ=++-+⇒22''()''()(1)''()g g b b EU x u w xr r u w xr r ππ=++-+ → 假设: 风险规避 ⇒ ''()0EU x <（2）最佳投资水平的确定→ 先考虑'(0)EU→ '(0)'()[(1)]'()*g b EU u w r r u w e ππ=+-= 其中*e 为资产的预期收益率→ 若*0e ≤，则'(0)0EU ≤，此时最优的投资选择就是零投资!! 若*0e >，则'(0)0EU >，此时最优投资满足'(*)0EU x =→ 结论: 只要资产的预期收益率大于0，即使是风险规避者也会选择一定量的投资!! → 两种情况下的图示（课本232页）（3）征税对最优投资量的影响→ 模型的修正: (1)g g r t r →-(1)b b r t r →- 最优投资量依旧满足: '(')EU x =→ 结论: *'1x x t =- （其中'x 为征税后的最优投资量，*x 前为征税前的最优投资量） → '*x x >，即: 征税提高了最优的投资量水平→ 原因: 征税在使得收益减少的同时，也使得损失有所减少；因此，随手一方面降低了预期的收益，另一方面也降低对了风险，因此刺激了投资量的增加====================================================================== Chapter 13 风险资产※ 无风险和有风险资产的选择模型※ 风险资产的市场均衡条件（CAPM ）◆ 无风险和有风险资产的选择模型→ 投资组合的语气收益率: (1)x m f r xr x r =+- 222x m x σσ=其中m r 和f r 分别为风险资产（市场中所有资产）和无风险资产的收益率→ “风险”和“收益”的选择模型:→ 预算约束: m fx x f m r r r r σσ-=+→ 风险的价格: m fmr r p σ-=→ 最优选择的条件: m fmr r p MRS σ-==→ 图示选择模型（课本239页）◆ 风险资产的市场均衡条件 （1）i β的定义cov(,)i m i mr r βσ== (how risky asset i is ) / (how risky the stock market is )（2） 风险调整cos ()m fi m i mi m f mr r t of risk risk adjustment p r r βσβσβσ---=-===-（3） 风险资产的均衡条件:→ 表述: 经过风险调整后的所有资产都具有相同的回报率，即:()()i i m f j j m f r r r r r r ββ--=--→ 另一种表述方式: （选择无风险资产作为资产j ）()()i i m f f f m f f r r r r r r r ββ--=--=()i f i m f r r r r β⇒=+-（4） 资本资产定价定理（Capital Asset Pricing Model ，CAPM ）→ ()i f i m f r r r r β=+-（5） 市场的动态调整（从不均衡向均衡过渡）→10()i p p r E p -= 当()i f i m f r r r r β>+-时，会造成对资产i 的过度需求，从而推动0p 上升，这将造成i r 减小，直至满足CAPM 的等式======================================================================Chapter 14 消费者剩余※ 补偿变换（CV ）和等价变换（EV ） ※ 拟线性偏好的特殊性◆ 补偿变换（CV ）和等价变换（EV ）（1） 概念对比→ 补偿变换: 在新的价格下，为了维持初始的效用水平，需要给予的收入补偿 → 等价变换: 在达到新的效用水平的前提下，为保持旧的价格所放弃的收入 （2） 数学表达式→ 补偿变换: *****12012(,,)(,,)CV e p p u e p p u =- → 等价变换:0000*12012(,,)(,,)EV e p p u e p p u =-→ CV 和EV 的差别从表达式而言，前者采用变化后的价格，后者采用变化前的价格（3） 举例（课本256页）◆ 拟线性偏好的性质（1212(,)()u x x v x x =+）（1）需求函数的性质: 1x 的需求与收入m 无关，仅与1p 和2p 有关 （2）消费者剩余: 111()CS v x p x =- → proof: （假设21p =，(0)0v =） 111111211111110()'()()x x CS P x dx p x p v x dx p x v x p x =-=-=-⎰⎰第二个等号成立是因为最优消费选择，需要满足112'()/v x p p =（3）CV EV CS ==∆ → proof: （假设价格从*1p 变化为^1p ）→ 对于CV 有: ^^^***111111()()v x m CV p x v x m p x ++-=+-***^^^111111[()][()]CV v x p x v x p x ⇒=---注意: 由于1x 不存在收入效应，因此收入改变CV 并不会影响1x 的需求→ 对于EV 有: ***^^^111111()()v x m E p x v x m p x +--=+-***^^^111111[()][()]EV v x p x v x p x ⇒=---CV EV CS ⇒==∆→ 图形分析（课本255页）======================================================================Chapter 15 市场需求※ 需求的价格弹性（弹性与收入的关系）→ 解释: 为什么垄断企业只会选择在富有弹性的产量水平上生产 ※ 价格弹性为常数的需求函数 ※ 恩格尔加总→ 解释: 一组商品总是存在奢侈品和必需品 ※ 拉弗曲线→ 分析: 劳动供给的价格弹性满足什么条件时，当税率提高，税收总额反而减少?◆ 需求的价格弹性 （1）/ln /ln dq q dq p d qdp p dp q d pε=== （2）弹性与收入的关系→(1)Rq pε∂=+∂ →0||1Rpε∂>⇒<∂ →1(1)R p q ε∂=+∂ → 0||1R qε∂<⇒<∂→ 这个公式常用于求解利润最大化时企业的RMR q∂=∂ （3）解释: 为什么垄断企业只会选择在富有弹性的产量水平上生产?→ 若需求是缺乏弹性的，则由MR 可以知，垄断企业总是可以通过降低产量来实现更多的收入；另外，低产量也意味着较低的成本；因此，总的利润是增加的!!◆ 价格弹性为常数的需求函数 （1）需求函数的一般形式: q Ap ε= 或者 ln ln q p C ε=+（2）单位弹性（1ε=）的需求函数: Ap q=，或者pq A R ==（即: 收入恒为常数） → 性质:0R R q p∂∂==∂∂ （3）边际收益曲线的性质11(1)(1)||R MR p p kp q εε∂==+=-=∂（其中11||k ε=-）→在垂直距离上|||()|MR k p q =◆ 恩格尔加总 （1）等式:1i is η=∑（其中i s 为商品的消费份额占总收入的比例，i η为收入弹性）→ proof: 对预算收入i ip x m =∑两边关于m 求导（2）解释: 一组商品总是存在奢侈品和必需品 → 奢侈品（收入弹性大于1） V .S 必需品（收入弹性小于1）→ proof: 若都为奢侈品，则1i iis sη>=∑∑；都为必需品，则1i i i s s η<=∑∑◆ 拉弗曲线（1） 曲线涵义: 反映税收收入和税率之间的关系（2） 分析: 劳动供给的价格弹性满足什么条件，税率提高时，税收总额反而减少？→ 模型假设: 劳动需求曲线水平（dL w w =：）；斜向上的劳动供给曲线: ()sL S w = → 总税收为: ()R twS w = 其中(1)w t w =-→ 税收收入随着税率提高而增加的条件: 2()'()0RwS w tw S w t∂=-<∂()1()1()11()()wdS w w dS w dS w w t t dw S w t dw S w t dw S t--⇒>⇒>⇒>→ ,1s w ttε->→ 结论: 当劳动供给的价格弹性超过某一个特定值的时候，税率的提高反而不利于税收总额的增加 → 由于税率较高时，1tt-较小（极端情况下，110t t t -=⇒=），此时较小的弹性就可以满足以上不等式的条件；因此税率不宜过高!!======================================================================Chapter 16 均衡※ 借贷市场均衡分析（考虑税率的影响）◆ 借贷市场均衡分析（考虑税率的影响） （1）借款和贷款的税率相同 → 结论： 税率不影响均衡时的贷款（或借款）的总量；但均衡的利率水平提高 → Proof ：（数学模型） 不存在税收情况下: (*)(*)D r S r =若借款和贷款的税率都为t ，则在征收税收情况下有:((1)')((1)')D t r S t r -=- （注意: 借款和贷款都取决于税后利率）**(1)''1r r t r r t⇒=-⇒=-→ 税率的实际作用对于债权者是征税，对于债务者则是补贴 → 图形分析（课本304页）（2）借款和贷款的税率不同 → 数学模型: 假设对债务者（借款）的税率为b t ，对债权者（贷款）的税率为l t则税后利率有: ()(1)b b r q t r =- ()(1)l l r q t r =-()()11b l b lr q r q r t t ⇒==-- → 税收的净效果分析:1()()1bb l lt r q r q t -=- → 若1()()1bl b b l lt t t r q r q t ->⇒⇒>-（即: 贷款的税率高于借款）则税收的净效果为“向借款者征税”（这个跟直觉上的结论是相反的）→ 原因: 征税后的贷款（借款）总额降低了!!→ 若()()l b b l t t r q r q <⇒<（借款的税率高于贷款），则税收的净效果为“向贷款者征税”→ 原因: 征税后的贷款（借款）总额增加了!!======================================================================Chapter 17 拍卖※ 两类拍卖（个人价值拍卖 V .S 共同价值拍卖） ※ 四种拍卖方式（Bidding Rules ）→ 分析: 是否实现两个目标（帕累托有效 + 拍卖者的收益最大化）◆ 两类拍卖→ 个人价值拍卖（private-value auction ）→ 同一件商品对于不同的人有不同的主观价值（如: 艺术品等） → 共同价值拍卖（common-value auction ） → 同一件商品对于所有人的价值是一样的（如: 土地等）◆ 四种拍卖方式（Bidding Rules ）（1） 英国式拍卖（从低价往高价叫价，价高者得）→ 满足帕累托最优；但不一定是收益最大化的→ 若拍卖者提供一个保留价格，则更有可能获得较高的收益 （2） 荷兰式拍卖（从高价往低价叫价，价高者得）→ 不一定满足帕累托最优（竞标者可能在伺机行动时，出现错误判断） （3） 密封拍卖（sealed-bid auction ）（价高者得，支付所写的金额）→ 不一定满足帕累托最优（竞标者可能出现错误的判断）（4） 集邮家拍卖 / 维克里拍卖（philatelist auction / Vickrey auction ）→ 价高者得，但只需要支付次高者所填写的金额→ 实质: 英国式拍卖（必定是帕累托有效的，但拍卖者无法得到最大收益） → 分析: 每个竞标者都会暴露自己的真实保留价格→ proof: 假设竞标价格分别为1b 和2b ；真实的保留价格为1v 和2v则对于竞标者1的期望收益为: 1212Pr()[]b b v b >-⇒若12v b >则应尽可能最大化12Pr()b b >，故令11v b =（此时Pr=1）若12v b <，则应尽可能最小化12Pr()b b >，故依旧令11v b =（此时Pr=0）⇒在任何一种可能下，竞标者的最优选择都是11v b =，即: 暴露自己的真实保留价格；故这种拍卖方式是帕累托最优的⇒由于中标者只需要支付次高者所填写的金额，因此中标者保留了部分剩余；拍卖者的收益并没有实现最大化◆ 共同价值拍卖的最优策略→ 报价低于估价（即: 自己愿意支付的最大金额）；当竞标者越多时，报价就应该越低 → 原因: Winner ’s Curse （中标者往往是因为高估了商品的价值）======================================================================Chapter 18 技术※ 生产函数（等产量线类比: 无差异曲线） ※ 不同规模报酬的生产函数的性质◆ 生产函数的性质（1）短期 / 长期 （是否存在固定投入要素） （2）两个假设→ 要素的边际产量（MP ）递减→ 要素的技术替代率（TRS ）递减⇔等产量线是严格凸的⇔生产函数是严格拟凹的 → 类似于: 无差异曲线的性质◆ 不同规模报酬的生产函数的性质→ 针对两种（多种）投入要素 → 规模报酬递增: 1212(,)(,)tf x x f tx tx > （要求1t >）→ 规模报酬不变: 1212(,)(,)tf x x f tx tx =→ 生产函数是一次齐次性的 → 针对一种投入要素 → 规模报酬不变: 生产函数是一条直线 Proof ：()()()'()tf x f tx f x xf tx =−−−−→=关于t 求导1(0)0()'()()(1)t f f x xf x f x kx f x APx ==−−→=−−−→===→ 规模报酬递减: 生产函数是凸状的（不严格意义上，准确的说AP 递减）Proof: ()()()'()tf x f tx f x xf tx >−−−−→>关于t 求导1()()'()'()t f x f x xf x f x AP MP AP x=−−→>⇒>⇒>⇒↓→ 规模报酬递增: 生产函数是凹状的（AP 递增） → 三种不同的规模报酬的图像（单一投入要素）（课本329页）======================================================================Chapter 19 利润最大化（价格是外生的，选择最优产量和要素投入）※ 利润最大化的数学模型※ 利用“显示盈利”说明价格与产量的正向关系，要素需求和要素价格的反向关系 ※ 规模报酬不变生产函数的性质※关于最优产量是否存在的讨论（即: 是否存在利润最大化的产量选择问题）◆ 利润最大化的数学模型（1） 假设: 完全竞争产出市场和要素市场（产出价格和要素价格都是外生给定的） （2） 数学模型: 区分短期 V .S. 长期→ 短期: 121122max (,)pf x x w x w x -- → 长期: 121122max (,)pf x x w x w x --→ 利润最大化的条件: i i pMP w =（短期有一种要素需求是已知且恒定的） （3） 要素需求函数:→ 短期: 12(,,)i i x x p w x = （注: 与固定要素的价格无关，但与其使用量有关）→ 长期: 12(,,)i i x x p w w =（4）最优产量的确定（后面会具体分析） → 对于规模报酬递减的生产函数，最优产量可直接将要素需求带入生产函数求出 → 对于规模报酬不变的生产函数，任意产量都为最优产量（因为利润始终为0） → 对于规模报酬递增的生产函数，不存在最优产量（生产越多越好）◆ 显示盈利（Revealed Profitability ）（类比: 显示偏好）（1） Weak Axiom of Profit Maximization （WAPM ，弱利润最大化公理）→ 满足条件: （课本341页） → 若企业的决策总是满足W APM ，则企业的决策一定满足利润最大化的条件 （2） 若厂商的选择满足W APM ，则可以推出: 11220p y w x w x ∆∆-∆∆-∆∆≥→ Proof （课本341页）（3） 解释: 价格与产量的正向关系；要素需求与要素价格的反向关系→ 价格与产量的正向关系令10w ∆=，20w ∆=，则0p y ∆∆≥→ 要素需求与要素价格的反向关系令20w ∆=，0p ∆=，则110w x ∆∆≤◆ 规模报酬不变的生产函数的性质（1） 在完全竞争产出市场和要素市场的假设下，利润始终为0→ 第一种证明方法（欧拉定理）121212*********1211122212(,)(,)(,)'(,)'(,)(,)'(,)'(,)t tf x x f tx tx f x x x f tx tx x f tx tx f x x x f x x x f x x ==−−−−→=+−−→=+关于t 求导由利润最大化的条件知: 1112'(,)w f x x P=2212'(,)w f x x P=112212121122(,)(,)0w x w x f x x Pf x x w x w x P Pπ⇒=+⇒=--= → 第二种证明方法（反证法） 假设: max 121122*(,)Pf x x w x w x ππ==--且: 121122121122'(,)()()(,)Pf tx tx w tx w tx tPf x x tw x tw x π=--=--（t ∀）'*()'*0t t ππππ⇒=∀⇒==都成立（2） 对于规模报酬不变的生产函数，不存在某个最优产量使利润最大化→ 任何产量都可以使得企业的利润达到最大值: 零!!◆ 关于最优产量是否存在的讨论（即: 是否存在利润最大化的产量选择问题） （1） 只适用于规模报酬递减的生产函数→ 利用利润最大化的模型，求解出要素需求函数，带入生产函数，即可得到最优的产量选择→ 不适用于规模报酬不变的生产函数 → 任何产量都是“最优产量” → 始终都具有最大化的利润: 零! → 不适用于规模报酬不变的生产函数 → 不存在某个最优产量；利润水平可以随着产量增加而增加 → Proof: 假设存在某个最大化的利润水平 max 121122*(,)Pf x x w x w x ππ==-- 且: 121122121122'(,)()()(,)Pf tx tx w tx w tx tPf x x tw x tw x π=-->-- (1)t ∀>'*(1)t t ππ⇒>∀>又因为*'ππ≥（前者是最大化的利润水平），故**(1)t t ππ>∀>显然，这个不等式无解!! → 不存在最大化的利润水平!!（2） 解释: 为什么现实中很多企业都要进行扩大生产？→ 企业在初始成长初期，经历规模报酬递增，因此扩大产量可以增加利润水平 → 即使处于规模报酬不变的企业，也可能进行扩大生产，一方面是为了获得垄断能力，从而使产出价格不再是外生变量；另外一方面，随着企业生产的扩大，企业将经历规模报酬递减，此时最优的产量可能要求企业进一步扩大生产（3） 生产的决策→ 企业的决策可以分为以下两步骤:Step1: 根据产出市场的价格，确定最优产量→ 在完全竞争市场下，由于长期均衡的利润为0，因此企业愿意供给任何水平的产量→ 在垄断市场下，企业根据MR MC =选择最优产量Step2: 根据选定的最优产量，以及要素市场的要素价格，企业选择合意的要素投入组合（目标: 成本最小化）======================================================================Chapter 20 成本最小化※ 成本最小化的数学模型（条件要素需求）※ 显示成本最小化（解释要素价格与条件要素需求之间的反向关系） ※ 不同规模报酬的生产函数与成本之间的关系 ※ 短期成本函数 V .S 长期成本函数◆ 成本最小化的数学模型（针对长期生产函数）（1） 假设: 要素市场是完全竞争的（要素价格是外生给定的）+ 给定企业的产量选择 （2） 成本最小化的条件（内部解）: 1122MP w TRS MP w == → 图形特点: 等产量线与等成本线相切 （类比: 无差异曲线与预算约束线相切）（3） 条件要素需求函数→ 形式: 11(,,)c ci i x x w w q =（产量是外生变量，与产出品的价格无关）→ 对比: 要素需求函数11(,,)i i x x w w p = （产出品的价格是外生变量）◆ 显示成本最小化（Revealed Cost Minimization ）（类比: 显示偏好 / 显示盈利） （1） Weak Axiom of Cost Minimization （W ACM ，弱成本最小化公理）→ 满足条件: （课本353页）（2） 若厂商的选择满足W ACM ，则可以推出: 11220w x w x ∆∆+∆∆≤→ Proof （课本531页）。

Chapter 16: EquilibriumIntermediate Microeconomics:A Modern Approach (7th Edition)Hal R. Varian(University of California at Berkeley)第16章:均衡（含习题详细解答）含习题详细解答）中级微观经济学:现代方法（第7版）范里安著（加州大学伯克利）曹乾译（东南大学caoqianseu@）简短说明：翻译此书的原因是教学的需要，当然也因为对现行中文翻译版教材的不满。

市场中的翻译版翻译生硬错误百出。

此次翻译的错误是微不足道的，但仍欢迎指出。

仅供教学和学习参考。

16均衡在前面章节，我们已知道如何根据偏好和价格信息构建个人需求曲线。

在第15章，我们把这些个人需求曲线加总从而得到市场需求曲线。

在本章，我们介绍如何使用这些市场需求曲线来决定均衡的市场价格。

我们在第1章曾说过，微观经济学基本原理有两条，一条是最优化原理，另外一条是均衡原理。

直到目前，我们研究的都是最优化原理的例子：我们假设消费者在预算集内选择最优的消费束，然后研究根据这个假设能推导出什么结论。

在后面章节，我们还会使用最优化这种分析方法研究厂商的利润最大化行为。

最后，我们将消费者行为和厂商行为放在一起一起进行分析，因为他们在市场中会互相作用，所以我们要看看这种互相作用能导致什么样的均衡结果。

在详细分析市场均衡结果之前，我们有必要简单说明如何使用均衡分析这个工具，即分析价格如何变动才能使经济主体（economic agents）的需求和供给决策相容（compatible）。

我们已介绍过需求，在介绍如何使用均衡分析之前，我们需要先介绍供给，因为均衡分析涉及需求和供给这两个方面。

16.1供给事实上，我们已经看到过若干供给曲线的例子。

例如，我们在第1章学过公寓的供给曲线，这条曲线是垂直的。

在第9章，我们研究过消费者是否决定成为某种商品的净供给者或净需求者，我们还分析过劳动供给决策。

范里安微观经济学期末考试重点名词解释边际替代率：在维持效用水平或满足程度不变的前提下，消费者增加1单位的某种商品的消费时，所需要放弃的另一种商品的消费数量，被称为商品的边际替代率。

边际替代率递减规律:是指在维持效用水平或满足程度不变的前提下，随着一种商品消费数量的连续增加，消费者为得到每一单位的这种商品所需要放弃的另一种商品的消费数量是递减的。

边际技术替代率：在维持产量水平不变的条件下，增加一个单位的某种生产要素投入量时所减少的另一种生产要素的投入数量，被称为边际技术替代率。

边际技术替代率递减规律：在维持产量不变的前提下，当一种生产要素的投入量不断增加时，每一单位的这种生产要素所能替代的另一种生产要素的数量是递减的。

这种现象称边际技术替代率递减规律。

边际产量递减规律由边际技术递减规律决定的。

边际效用：是指消费者在一定时间内增加一单位商品的消费所得到的效用量的增量。

边际效用递减规律：在一定时间内，在其他商品消费数量保持不变的条件下，随着消费者对某种商品消费数量的增加，消费者从该商品连续增加的每一消费单位中所得到的效用增量是递减的。

价格效应：恩格尔定律：在一个家庭或一个国家中，食物支出在收入中所占比例，随着收入的增加而减少。

随着收入的增加，用于食品的支出部分将下降；用于住宅和衣服方面的支出将基本保持不变；而用于其他商品的支出会增加。

恩格尔曲线表示消费者在每一收入水平对某商品的需求量。

X=f（I）。

保留价格：是指买方或卖方所能接受的最高价格。

消费者为获取一件商品所愿支付的最高价格，或者使消费者消费或不消费刚好无差异的那个价格。

消费者剩余：是消费者在购买一定数量商品时愿意支付的最高总价格和实际支付的总价格之间的差额。

无差异曲线：无差异曲线是用来表示两种商品或两组商品的不同数量的组合对消费者所提供的效用是相同的。

无差异曲线符合这样一个要求：如果听任消费者对曲线上的点作选择，那么，所有的点对他都是同样可取的，因为任一点所代表的组合给他所带来的满足都是无差异的。

高级微观复习第一章：➢ P12—22：给出生产函数可求出技术替代率、替代弹性、规模报酬等（结合书上P13、P15和P19例题看+P21 CES 生产函数） 1、技术替代率TRS ：，假设维持产量水平不变，我们想增加要素1的投入量减少要素2的投入量。

这就是这两种要素之间的技术替代率，是衡量等产量线的斜率。

二维情况下：),(),(),(2122111221x x MP x x MP x x x x TRS -=∆∆=N 维情况下，TRS(x 1,x 2)：或者柯布-道格拉斯函数下的技术替代率：2、替代弹性替代弹性衡量等产量线的曲率。

更具体地说，替代弹性衡量在产量维持不变的情形下，要素投入比率的变动百分比除以TRS 变动百分比。

根据公式推导，连锁法则（）柯布-道格拉斯函数的替代弹性是1。

3、规模报酬产量等比例增加，我们通常假设只要将以前的生产模式复制，就能生产出t倍的产量。

定义（规模报酬不变）：某生产技术呈现规模报酬不变的现象，若它满足下列条件：定义（规模报酬递增）：若f(tx) >tf(x)（其中t>1），则该技术是规模报酬递增的。

4、CES函数的相关概念CES函数具有规模报酬不变性质。

（1）线性生产函数（ρ=1）。

将ρ=1代入CES生产函数可得y =x1+x2，，第二章➢利润最大化问题：求解要素需求函数、供给函数（参考P32柯布道格拉斯技术的例子）基本原理：对于每个价格向量( p,w)，通常会存在要素的最优选择x *。

要素最优选择是价格向量的函数，这个函数称为企业的要素需求函数。

我们将该函数记为x( p,w)。

P是产品的价格，W是要素的价格。

函数y ( p,w)=f(x(p,w))称为企业的供给函数。

柯布-道格拉斯函数：简化：就是对生产函数求导，然后，要素需求函数X=。

Y=f(X)=。

利润函数：第三章➢霍特林引理（P46）第四章成本最小化问题：求条件需求函数、成本函数等（参考P57-58：柯布道格拉斯和CES成本函数，后面的例子也可以看看）1、成本函数成本函数是要素价格为w和产量为y时的最小成本，即：c ( w,y)=wx(w,y)。

范里安微观经济学笔记微观笔记本书的核心章节：预算→偏好→效用→选择→需求→消费者剩余，市场需求→均衡→交换；技术→利润最大化，技术→成本最小化→成本曲线→厂商供给→行业供给→垄断→外部性→公共物品第一章市场1.经济学是研究如何将稀缺的资源有效地配置给相互竞争的用途的科学。

——莱昂内尔·罗宾斯《论经济科学的性质和意义》2.微观经济学的研究对象，是生产什么、怎样生产和为谁生产；研究领域是消费者理论，生产者理论，市场理论，分配理论，一般均衡理论，福利经济学和市场失灵与政府作用理论；研究方法，除了无法回避的规范分析以外，主要是实证分析，大量采用数学技术。

3.微观经济学的发展，我看经历了这样几个阶段。

第一个阶段，从古典到马歇尔，瓦尔拉斯。

主要借助文字和图表，对供给(穆勒)，需求(杰文斯)，分配(克拉克)，单个市场(马歇尔)和多个市场(瓦尔拉斯)的交换与价格决定等方面的问题作了开创性的研究。

第二个阶段，到希克斯和萨缪尔逊，主要运用微积分。

对消费者理论，生产者理论，不完全竞争理论，一般均衡理论，福利经济学等进行重塑和补充。

第三个阶段，到阿罗和德布鲁，主要运用集合论和线性模型，在效用函数理论，竞争均衡和最优性问题，不确定性条件下的均衡，投入产出分析和对策论等方面取得重大成就。

第四个阶段，到当前，综合运用各种方法，发展了交易费用，产权，非均衡，X效率，寻租，信息，次优，机会选择，资产定价，资产组合，跨时期分析，整体分析，和对偶分析等一系列新的理论和方法，大大拓宽了传统的学科边界和应用领域。

4.但是，从亚当·斯密始于今，上下几百年，贯穿全部微观经济学(或者，经济学)的主题，我看却始终只是一个，那就是经济自由主义信条：在自由市场经济中，大量自由的、极端自利的，追逐最大利润和最大效用的个人的分散的活动，经由价格和竞争机制调节，会自动趋于和谐、有序、均衡，达到最佳效率状态。

在此意义上可以说，对于这信条证明的日趋严密和简洁，就是微观经济学的日趋成熟和精确。

高级微观复习第一章：➢ P12—22：给出生产函数可求出技术替代率、替代弹性、规模报酬等（结合书上P13、P15和P19例题看+P21CES 生产函数）1、技术替代率TRS ：，假设维持产量水平不变，我们想增加要素1的投入量减少要素2的投入量。

这就是这两种要素之间的技术替代率，是衡量等产量线的斜率。

二维情况下：),(),(),(2122111221x x MP x x MP x x x x TRS -=∆∆= N 维情况下，TRS(x 1,x 2)：或者柯布-道格拉斯函数下的技术替代率：2、替代弹性 替代弹性衡量等产量线的曲率。

更具体地说，替代弹性衡量在产量维持不变的情形下，要素投入比率的变动百分比除以TRS 变动百分比。

根据公式推导，连锁法则（）柯布-道格拉斯函数的替代弹性是1。

3、规模报酬产量等比例增加，我们通常假设只要将以前的生产模式复制，就能生产出t 倍的产量。

定义（规模报酬不变）：某生产技术呈现规模报酬不变的现象，若它满足下列条件：定义（规模报酬递增）：若f(tx)>tf(x)（其中t>1），则该技术是规模报酬递增的。

4、CES函数的相关概念CES函数具有规模报酬不变性质。

（1）线性生产函数（ρ=1）。

将ρ=1代入CES生产函数可得y=x1+x2，，第二章➢利润最大化问题：求解要素需求函数、供给函数（参考P32柯布道格拉斯技术的例子）基本原理：对于每个价格向量(p,w)，通常会存在要素的最优选择x*。

要素最优选择是价格向量的函数，这个函数称为企业的要素需求函数。

我们将该函数记为x(p,w)。

P是产品的价格，W是要素的价格。

函数y(p,w)=f(x(p,w))称为企业的供给函数。

柯布-道格拉斯函数：简化：就是对生产函数求导，然后，要素需求函数X=。

Y=f(X)=。

利润函数：第三章➢霍特林引理（P46）第四章成本最小化问题：求条件需求函数、成本函数等（参考P57-58：柯布道格拉斯和CES成本函数，后面的例子也可以看看）1、成本函数成本函数是要素价格为w和产量为y时的最小成本，即：c(w,y)=wx(w,y)。

第1章 技 术1．如果()V y 是个凸集，那么相关的生产集Y 一定是凸的。

对或错？True or false ? If ()V y is a convex set, then the associated production set Y must be convex.答：这个说法错误。

理由如下：凸生产集意味着凸投入要素集，但是反过来不成立。

首先证明凸生产集意味着凸投入要素集：证明：如果Y 是一个凸集，那么可以得出，对任何使(),y x -和(),y x '-都在Y 中的x 和x '′来说，一定会有()()()1,1ty t y tx t x '+----在Y 中，即()(),1y tx t x '---在Y 中。

从而可知：如果x 和x '在()V y 中，那么()1tx t x '+-也在()V y 中，从而可知()V y 也是凸的。

下面举反例说明凸的投入要素集并不意味着凸的生产集。

考虑由生产函数()2f x x =规定的技术。

生产集(){}2,Y y x y x =-≤∶当然不是凸的，但投入要素集(){v y x x =≥:是凸集。

2．当12a a ≠时，CES 生产函数11122()y a x a x ρρρ=+的替代弹性是什么？What is the elasticity of substitution for the general CES technology11122()y a x a x ρρρ=+ when 12a a ≠?解：为了计算替代弹性，首先要计算技术替代率，根据技术替代率的定义：11111222fx a x TRS f a x x ρρ--∂∂=-=-∂∂ 上式两边取对数后得到：()1221ln ||ln1ln a x TRS a x ρ=+- 根据替代弹性的定义： ()23ln /1ln 1d x x d TRSσρ==-3．将要素i 的产出弹性定义成：()()()i i if x x x x f x ε∂=⋅∂，如果()12a bf x x x =，每个要素的产出弹性是什么？Define the output elasticity of a factor i to be ()()()i i if x x x x f x ε∂=∂.If ()12a bf x x x =, what is the output elasticity of each factor?解：()()11112212,a b a b f x ax x f x bx x --==，从而第一个要素的产出弹性为： ()()()111111212a ba bx x x f x ax x a f x x x ε-=== 第二个要素的产出弹性为：()()()122221212a b a bx x x f x bx x b f x x x ε-===4．如果()x ε是规模弹性，()i x ε是要素i 的产出弹性，证明：()()1ni i x x εε==∑If ()x ε is the elasticity of scale and ()i x ε is the output elasticity of factor i ,show that()()1ni i x x εε==∑证明：对生产函数()y f x =，令()()y t f tx =，其中0t >。