2015西南交大大物AI作业04答案

3．一个质量为 m 的质点，仅受到力 F = k r / r 3 的作用，式中 k 为常数，r 为从某一定点到质点的矢径。该质点在 r = r0 处被释放，由静止开始运动，则当它到达无穷远时的速率为 解：由功的定义，在该过程中变力 F 作的功为 根据质点的动能定理有： A = 。
G
G
G
G
A=
∫
∞
r0
t 2 ~ t 3 间，v 减小 ∆E k < 0, W2 < 0
t3 ~ t4 间， v 增大 ∆E k > 0, W3 > 0
5.如图所示，圆锥摆的小球在水平面内作匀速率圆周运动，判断下列说法中正确的是[ A ] (A)重力和绳子的张力对小球都不作功。 (B)重力和绳子的张力对小球都作功。 (C)重力对小球作功，绳子张力对小球不作功 (D)重力对小球不作功，绳子张力对小球作功。 答：(A)对。无论是重力还是绳子张力与小球位移都时候重直，所以都不作功。 三、填空题：
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《大学物理 AI》作业 No.04 机械能 机械能守恒定律
一、判断题： （用“T”和“F”表示） [
G 解：不受外力作用的系统， ∑ F外 = 0 ，动量是守恒的。而机械能守恒的条件是： ∑ A外 + ∑ A非保内 = 0 ，不受
外力作用的系统只能保证外力做功的代数和为 0，不能保证非保守内力做功的代数和为 0，所以机械能不一定守恒。 [ T ] 2．质点系的内力可以改变系统的总动能，不能改变系统的总动量。 解：质点系的内力的矢量和为 0，所以不会改变系统的总动量，而质点系内力做功的代数和不一定为 0，因而可以改变 系统的总动能。 [ F ] 3．质点运动过程中，作用于质点的某力一直没有做功，表明该力对质点的运动没有产生任何影响。 解：比如单摆运动中绳子的拉力，时刻与位移垂直，不做功，但是它对摆球的运动当然有影响。 [ F ] 4．保守力作正功时，系统内相应的势能增加。 解：保守力做功数值上等于相关势能增量的负值。所以当保守力作正功时，系统内相应的势能会减少。 [ F] 5．图示为连接 a 点和 b 点的三条路径。作用力 F 对一质点做功，经由图示方向和
G G ∞k k F ⋅ dr = ∫ 2 ⋅ dr = r0 r r0
1 mv 2 − 0 2 2A = 即质点到达无穷远处的速率为 v = m
2k m r0
4．一质量为 m = 5 kg 的物体，在 0 到 10 秒内，受到如图所示的变力 F 的作用，由静止开始 沿 x 轴正向运动， 而力的方向始终为 x 轴的正方向， 则 10 秒内变力 F 所做的功为 。
m2 g 2 2k
m2 g 2 2k m2 g 2 (D) mgh + k
(B) mgh −
解：以 m、弹簧、地球所组成的系统作为研究对象，系统机械能守恒。 物体动能最大时，位于物体所受合外力为零的地方，即弹力等于重力的地方： mg = kx ⇒ x = 以此位置作为重力势能 0 点，根据机械能守恒：
3 2
总功： A = dA = ( 54t − 216t + 246t − 72)dt = 528(J )
∫
∫
0
4
3
2
其二：用动能定理
2．某弹簧不遵守胡克定律，若施力 F，则相应伸长为 x，力的大小与伸长量的关系为
F = 50 x + 30 x 2 ( SI ) ， 求：（1）将弹簧从定长 x1 = 0.50 m 拉伸到定长 x2 = 1.00 m 时，外力所需做的功。
F ]
1．一个不受外力作用的系统,它的动量和机械能都守恒。
K
路径，功的示数表示在图中。由此可以判断 F 是保守力。 解：保守力做功的特点：做功与路径无关。 二、选择题： 1. 一个质点同时在几个力作用下的位移为 ∆ r = 4i − 5 j + 6 k
K
K
K
K
K
K K K K F = 6i − 5 j + 7 k
1 2 1 2 mv1 − mv2 2 2 K K x1 0.50 2 左边： AF = ∫ F ⋅ d r = − ∫ F ⋅ dx = − ∫ (50 x + 30 x )dx = 27.5 (J) AF = ∆Ek =
K K x2 1.00 A = ∫ F ⋅ d r = − ∫ F ⋅ dx = − ∫ (50 x + 30 x 2 )dx = −27.5(J) （弹簧弹力的方向与 x 轴正向相反）
x1 0.50
弹力的大小等于外力的大小，方向相反，故外力所需做的功为 27J。 (2) 物体随弹簧从一定长 x2 = 1.00 m 回到 x1 = 0.50 m 的过程中，只有弹力作功，根据动能定理
1．质量为 10 kg 的质点，在合外力作用下做曲线运动，该质点的速度为 v = 4t i + 16k
2
K
K
K
(SI) ，则在t = 1 s到t = 2 s时
间内，合外力对该质点所做的功为
1200
J。
K K K 2 解： 由 v = 4t i + 16k ：
K K 1 1 K 2 2 v1 = 4i + 16 k ⇒ E k 1 = mv 1 = m vx + v2 y = 1360 J 2 2 K K 1 1 K 2 2 t = 2s v mv 2 = m vx + v2 2 = 16 i + 16 k ⇒ E k 2 = y = 2560 J 2 2 根据动能定理： A = ∆E K = E K 2 − E K 1 = 1200 J
l
l0
k
A
m
1 1 2 ， k ( l − l0 )2 + mv B 2 2 1 1 2 2 由系统机械能守恒有： m g l = k ( l − l0 ) + mv B ，所以 2 2
对于 B 点，机械能为：
m
B
v B = 2 gl −
k ( l − l 0 )2 m
A
m
R
6．如图所示，质量 m = 2 kg 的物体从静止开始，沿 1 / 4 圆弧从 A 滑到 B，在 B 处速度的大小为
t = 1s
(
)
(
)
2．一块 10 kg 的砖头沿x轴运动。它的加速度与位置的关系如图所示。在砖头从x=0 运动至 x=8.0m的过程中，加速的力对它所做净功W= 解：由图可以得出： a =
8 8
800
J。
5 5 x ⇒ F = ma = mx ， 2 2
8
5 5 A = ∫ Fdx = ∫ mx dx = ( mx 2 ) = 800(J ) 2 4 0 0 0
B
1 1 mv 2 − mgR = × 2 × 62 − 2 × 10 × 4 = − 44 (J) 2 2
四、计算题： 1．一个力作用在一个 3.0 kg 的类质点物体上，物体的位置作为时间的函数为 x = 3.0t - 4.0t + 1.0t ，式中 x 以 m 为 单位， t 以 s 为单位。求：在 t =0 s 至 t=4.0 s 的时间间隔内，该力对物体做的功？ 解：该题两种解法：其一：用变力做功
（2）将弹簧放在水平光滑的桌面上，一端固定，另一端系一个质量为 6.0kg 的物体，然后将弹簧拉伸到一定长 x2 = 1.00m ，再将物体由静止释放，求当弹簧回到 x1 = 0.50m 时物体的速率。 （3）此弹簧的弹力是保守力吗？ 解：(1) 由功定义，弹簧从定长 x1 = 0.50 m 拉伸到定长 x2 = 1.00 m 时，弹力 F 作功为
W1 > 0 , W 2 < 0 ,W 3 < 0
v
(B) W1 > 0 , W 2 < 0 ,W 3 > 0
W1 = 0 , W 2 < 0 ,W 3 > 0 (D) W1 = 0 , W 2 < 0 ,W 3 < 0
t4
O
t1
t 2 t3
t
解：根据质点的动能定理 W = ∆E k
t1 ~ t 2 间，v 不变, ∆E k = 0, 所以W1 = 0
2 3
x = 3.0t - 4.0t 2 + 1.0t 3 ⇒ dx = ( 3 − 8t + 3t 2 )dt ⇒ v =
dx dv = 3 − 8t + 3t 2 ⇒ a = = −8 + 6t dt dt
元功： dA = F ⋅ dx = ma ⋅ dx = ( 54t − 216t + 246t − 72)dt
方法二：根据定积分的几何意义，F-t 曲线下的面积就等于物体从 0-10S 内受到的冲量。
I = ∫ Fdt = S F − t =
0
10
1 × 5 × 40 + 5 × 20 = 200 N.S 2
根据动量定理：
I = ∆P = P2 − P1 = mv ⇒ v = 40(m.s−1 )
根据质点的动能定理，10 秒内变力作的功为
40
F (N)Leabharlann Baidu
⎧8t ( 0 s ≤ x ≤ 5 s) 解：方法一：由 F-t 图可知，物体各时段受力为 F = ⎨ ⎩ 20 ( 5 s ≤ t ≤ 10 s )
0 ~ 5 秒内应用动量定理： 5 秒末速度
20
O 5
10
t (s)
∫
5
0
8 t d t = mv 5 − 0 得
v5 =
4 × 52 = 20 (m⋅ s − 1 ) 5
[ 2. 一质点在如图所示的坐标平面内作圆周运动，有一力 F = F0 ( x i + y j ) 作用在质点上。在
K
K
K
Y
K 该质点从坐标原点运动到（R，R）位置过程中，力 F 对它所作的功为 ( A ) F0 R 2 ( C ) 3F0 R 2
G
[A ]
( B ) 2 F0 R 2 ( D ) 4 F0 R 2
mg ， k
mg ( h + x ) =
1 2 mv max 2
1 1 mg 2 代入得到 mv max + kx 2 ，将 x = 2 2 k 2 mg ⎞ 1 ⎛ mg ⎞ m2g2 ⎛ = mg ⎜ h + ⎟ − k⎜ ⎟ = mgh + k ⎠ 2 ⎝ k ⎠ 2k ⎝
4．一个作直线运动的物体，其速度 v 与时间 t 的关系曲线如图所示。设时刻 t1 至 t 2 间外力作功为 W1 ；时刻 t 2 至 t 3 间 外力作的功为 W2 ；时刻 t 3 至 t 4 间外力作功为 W3 ， 则 [ C ] (A) (C)
5 ~ 10 秒内再应用动量定理： 10 秒末速度
∫
10
0
20d t = mv10 − mv5 得
20( 10 − 5 ) + v5 = 20 + 20 = 40 (m ⋅ s −1 ) 5 1 1 2 2 根据质点的动能定理，10 秒内变力作的功为 A = mv10 − 0 = × 5 × 40 = 4000 (J) 2 2 v10 =
B ] ( A ) 67J
( SI ) , 其中一个力为恒力
( SI ) ，则此力在该位移过程中所作的功为
( B ) 91J ( C ) 17 J ( D ) − 67 J G G G G G G G K G 解：由功的定义， F 力的功为 A = F ⋅ ∆r = (6i − 5 j + 7 k ) ⋅ (4i − 5 j + 6k ) = 24 + 25 + 42 = 91(J)
v = 6 m⋅ s −1 ， 已知圆的半径 R = 4m，则物体从 A 到 B 的过程中摩擦力对它所作的功 A=
解：以 B 点为重力势能零点，由功能原理 A外 ＋A内非保守 ＝∆E 摩擦力作的功为 A = 或A=
。
1 1 mv 2 − mgR = × 2 × 62 − 2 × 9.8 × 4 = − 42.4 (J) 2 2
O
R
解：由功的定义，力 F 的功为
X
G G R R A = ∫ F ⋅ dr = ∫ Fx dx + ∫ F y dy = ∫ F0 xdx + ∫ F0 ydy = F0 R 2
0 0
m h
3．如图，一质量为 m 的物体，位于质量可以忽略的直立弹簧正上方高度为 h 处，该物体从静止开始落向 弹簧，若弹簧的劲度系数为 k，不考虑空气阻力，则物体下降过程中可能获得的最大动能是 [ C ] (A) mgh (C) mgh +
A=
1 1 2 mv10 − 0 = × 5 × 402 = 4000 (J) 2 2
O
5．如图所示，质量为 m 的小球系在劲度系数为 k 的轻弹簧一端，弹簧的另一端固定在 O 点。 初始时，弹簧在水平位置，原长为 l 0 处于自然状态。小球由位置 A 释放，下落到 O 点正下方 位置 B 时，弹簧的长度变为 l，则小球到 B 点时的速度大小为 。 解：以小球、弹簧和地球组成的系统为研究对象，系统在小球运动过程中只有保守内力----弹 力作功，系统机械能守恒。设 B 点重力势能为零，弹簧原长处弹性势能为零， 则对于 A 点，机械能为： m g l ，