条件概率的乘法公式

第四节一、条件概率 二、乘法公式条件概率三、全概率公式与贝叶斯公式一、条件概率在许多问题中,我们往往会遇到事件 B 已经出 现的条件下求事件A的概率. 这时由于有了附加条 件, 因此称这种概率为事件B发生的条件下，事件 A的条件概率，记作 P(A|B) 同理P(Ｂ|Ａ)表示：事件Ａ发生的条件下，事件 Ｂ发生的概率例1 一个家庭中有两个小孩，已知两个小孩其中一个 是女孩，问两个小孩都是女孩的概率是多少？ （假定生男生女是等可能的） 解 由题意，样本空间为Ω = { (男，男)， (男，女)， (女，男)， (女，女) }A 表示事件“至少有一个是女孩”， B 表示事件“两个都是女孩”，则有 A＝{ (男，女)， (女，男)， (女，女) } B = { (女，女) } 由于事件A已经发生，所以这时试验的所有可能结果 只有三种，而事件B包含的基本事件只占其中的一 1 种， 所以有 P ( B A) =3(1)在这个例子中，若不知道事件A已经发生的信息，那 么事件B 发生的概率为 这里1 P( B) = 4 P( B)≠ P( B A)其原因在于事件 A的发生改变了样本空间，使它由原 来的Ω 缩减为Ω A = A，而 P( B A)是在新的样本空间 Ω A 中由古典概率的计算公式而得到的．上例中计算 P(B|A)的方法并不普遍适用．如果回 到原来的样本空间Ω 中考虑，显然有3 P( A) = 4从而即1 P ( AB) = 4 1 1 P ( B A) = = 4 3 3 4 P ( AB) P( B A ) = P ( A)(2)关系式（2）不仅对上述特例成立，对一般的古典概 型和几何概型问题，也可以证明它是成立的．定义1 设A, B是两个事件，且P( A) > 0，称P ( AB) P( B A ) = P ( A)(3)事件A发生的条件下事件B 发生的条件概率 性质： 设A是一事件，且P(A)>0，则 (1) 对任一事件B，0≤P(B|A)≤1; (2) P(Ω| A) =1 ； 1 1 非负性 非负性 2 2 规范性 规范性 3 3 可列可加性 可列可加性(3) 设B1, B2 ,··· 两两互不相容，则 P[(B1∪B2∪ ···)| A] = P(B1|A)+P(B2|A) + ···(4) P (φ A) = 0.(5) P(B1 ∪ B2 A) = P(B1 A) + P(B2 A) − P(B1 B2 A);(6) P ( B A) = 1 − P ( B A).条件概率的计算根据具体的情况，可选用下列两种方法之一来计算 条件概率P(B|A) （1）在缩减后 ΩA 的样本空间中计算； （2）在原来的样本空间Ω 中，直接由定义计算．条件概率 P(B|A)的样本空间ΩABAB样本空间ΩP( AB) P( B A ) = P( A)缩减的样本空间（即事件A）P( B | A)例2 一袋中有10 个球，其中3个黑球，7个白球， 依次从袋中不放回取两球． （ 1 ）已知第一次取出的是黑球，求第二次取出的 仍是黑球的概率； （ 2 ）已知第二次取出的是黑球，求第一次取出的 也是黑球的概率． 解 记 Ai = { 第 i 次取到黑球 } ( i = 1, 2) （1）可以在缩减的样本空间 ΩA 上计算。

概率公式大全概率公式大全（上篇）概率公式在概率论中起着非常重要的作用，它们用于描述随机事件的发生概率以及事件之间的关系。

本文将介绍一些常见的概率公式，帮助读者更好地理解和应用概率论。

1. 基本概率公式1) 事件的概率公式：在概率论中，事件的概率通常用P(A)表示，其中A表示一个事件。

事件A的概率可以用下述公式计算：P(A) = N(A) / N(S)其中，N(A)表示事件A发生的次数，N(S)表示样本空间S 中的总次数。

2) 样本空间的概率公式：当样本空间S的每个样本点发生的概率相同且为1/N(S)时，我们可以使用下述公式计算事件A的概率：P(A) = N(A) / N(S)这个公式在实际问题中应用广泛，是基本的概率公式之一。

2. 条件概率公式1) 条件概率的定义：在事件B发生的条件下，事件A发生的概率称为A在B 条件下的条件概率，用P(A|B)表示。

条件概率的计算公式如下：P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)其中，P(A ∩ B)表示事件A与事件B同时发生的概率。

2) 乘法公式：乘法公式是条件概率的推广形式，用于计算两个事件同时发生的概率。

根据乘法公式，我们可以得到：P(A ∩ B) = P(A|B) * P(B)这个公式在计算复杂事件的概率时非常有用。

3. 全概率公式全概率公式用于计算一个事件发生的总概率，它假设事件发生的样本空间可以划分为若干个互斥事件。

全概率公式如下：P(A) = Σi P(A|Bi) * P(Bi)其中，Bi表示样本空间S的一个划分，P(A|Bi)表示在Bi条件下事件A发生的概率。

这个公式可以在一些复杂问题中计算事件发生的概率，非常实用。

4. 贝叶斯公式贝叶斯公式是条件概率公式的逆运算，用于通过已知的条件概率反推出相反的条件概率。

根据贝叶斯公式，可以得到：P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B)其中，P(A)和P(B)分别表示事件A和事件B的概率。

全概率公式、贝叶斯公式推导过程（1）条件概率公式设A,B是两个事件，且P(B)>0,则在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率（conditional probability)为：P(A|B)=P(AB)/P(B)（2）乘法公式1.由条件概率公式得：P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)上式即为乘法公式；2.乘法公式的推广：对于任何正整数n≥全概率公式、贝叶斯公式推导过程（1）条件概率公式设A,B是两个事件，且P(B)>0,则在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率（conditional probability)为：P(A|B)=P(AB)/P(B)（2）乘法公式1.由条件概率公式得：P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)上式即为乘法公式；2.乘法公式的推广：对于任何正整数n≥2，当P(A1A2...A n-1) > 0 时，有：P(A1A2...A n-1A n)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)...P(A n|A1A2...A n-1)（3）全概率公式1. 如果事件组B1，B2，.... 满足1.B1，B2....两两互斥，即B i ∩ B j = ∅，i≠j ，i,j=1，2，....，且P(B i)>0,i=1,2,....;2.B1∪B2∪....=Ω ，则称事件组B1,B2,...是样本空间Ω的一个划分设 B1,B2,...是样本空间Ω的一个划分，A为任一事件，则：上式即为全概率公式（formula of total probability)2.全概率公式的意义在于，当直接计算P(A)较为困难,而P(B i),P(A|B i) (i=1,2,...)的计算较为简单时，可以利用全概率公式计算P(A)。

思想就是，将事件A分解成几个小事件，通过求小事件的概率，然后相加从而求得事件A的概率，而将事件A进行分割的时候，不是直接对A进行分割，而是先找到样本空间Ω的一个个划分B1,B2,...B n,这样事件A就被事件AB1,AB2,...AB n分解成了n部分，即A=AB1+AB2+...+AB n, 每一B i发生都可能导致A发生相应的概率是P(A|B i)，由加法公式得P(A)=P(AB1)+P(AB2)+....+P(AB n)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+...+P(A|B n)P(PB n)3.实例：某车间用甲、乙、丙三台机床进行生产，各台机床次品率分别为5%，4%，2%，它们各自的产品分别占总量的25%，35%，40%，将它们的产品混在一起，求任取一个产品是次品的概率。

条件概率公式条件概率：设A、B是两个事件，在A事件发生的条件下，B事件发生的概率，其中P（A）>0。

说明A事件发生的概率大于0,表示A事件是必然发生的。

记为：P(B|A)=P(AB)/P(A) 。

注意事件A作为条件，分母必定是条件概率，所以A事件的概率必定在分母上，分子P(AB)表示事件A与B相交的概率，记作P(A∩B)。

举例说明：将一枚硬币抛两次，观察正反面，正面记H,反面记T.样本空间Ω=（HH, HT,TH,TT）设事件A：至少一次为正面，即事件A=（HH,HT,TH）设事件B：两次为同一面，即事件B=（HH,TT）求事件A发生条件下，事件B发生的概率？即求P(B|A)。

（例子来自浙大版概率与统计第四版）从已知条件可知，总样本Ω为4个，A事件有3个，B事件有2个。

所以可以直接求出A的概率与B的概率。

即P(A)=3/4 ,A事件与B事件相交事件只有一个即HH。

即P(AB)=1/4.有公式1可知P(B|A)=P(AB)/P(A)=（1/4）/（3/4）=1/3.1.2 乘法公式：把式1条件概率公式P(B|A)=P(AB)/P(A)把P(AB)相交概率移到式子左边，把P(B|A)条件概率移动式子右边。

即得到乘法公式。

如式P(AB)=P(B|A) P(A)。

全概率公式：在条件概率中引入(A∩B)积事件的概念。

积事件概率表示相交事件的概率只有在A与B事件同事发生情况下才会发生。

P(A∩B)表示A和B相交的概率。

而在全概率公式中将引入∪和事件概念. 有个小窍门，其实可以把积事件理解为数字电路的与门、把和事件理解为数字电路的或门。

比如样本空间S，可以划分样本B1，B2...B6组成，即S=（B1∪B2∪ (6)。