基于模糊理论的随机可靠性分析

f ( z) =
1/ l
, h + ( aK- dK) [ z < l + ( aK - dK)
h + l - z + ( aK- dK) , hl
l + ( aK - dK) [ z <
h + l + ( aK- dK)
0
, z > h+ l + ( aK- d K)
函数为[ 10] :
+]
Q L xT ( x ) =
m in[ f x ( x ) , f x ( t) ] dt ( 3)
-]
2 随机可靠性问题及变量互换
21 1 随机可靠性计算
为便于分析比较, 不失一般性, 设随机强度和
随机应力分别服从( 4) 式和( 5) 式的分布形式, 即
f rT ( r ) =
本文将提供随机可靠性问题分析的新方法, 为今后建立随机可靠性、模糊可靠性和非概率可 靠性混合模型的分析方法提供参考依据, 这对在 已有信息的条件下获得最合 理的可靠性分 析结 果, 丰富机械产品可靠性的设计理论与方法, 有重 要意义。
1 随机变量与模糊变量的互换通式
通过把模糊变量变换为当量随机变量, 可用 传统可靠性理论分析模糊可靠性问题。与此相对 应, 通过把随机变量变换为模糊变量的逆变换, 应 该可用模糊数学方法计算传统可靠性问题。为从
后, 利用区间数运算法则获得模糊干涉变量 Z=
r- s 的区间数 z K= rK- sK= [ aK- dK, bK- cK] , 然 后根据截集的概念, 认为干涉变量在该区间内为
服从均匀分布的随机变量, 在阈值为 K时的失效
概率为:
FK =
yKup
y Klow - yKlow
,
其中
在上述条件下:
Q Q F =
ms+ As mr- Ar
( ms + As ) A2s
s s r-
mr - Ar
( mr A2r
Ar ) dr
ds =
1 24A2r A2s
[
(
mr
-
Ar ) -
( ms +
As ) ] 4
( 6)
21 2 随机变量变换为模糊变量的表达式
根据( 3) 式的随机变量变换转化为模糊变量 的关系式, 可将( 4) 式和( 5) 式的概率密度函数变
记模糊变量隶属函数[ 6] 为:
Lx( x ) = L ( x ) , x [ m
( 1)
R(x) , x > m
其中, Lx( x ) 为模糊变量 x的隶属函数; m 为模糊 变量 x 的均 值; L ( x ) 、R ( x ) 分 别为隶属函数 的 左、右参照函数。
于是, 模糊变量 x变换为 当量随机变 量 x T
F Kd K=
0
K* 0
y Kup
yKlow - y Klow
dK,
代入相关参数并化简, 得:
F=
K* + 2
ms 2( Ar +
mr As )
(
1
-
1 - K* )
( 9)
在( 9) 式的计算过程中, K* 按下列方法获得。
令 Lr ( x ) = Ls ( x ) , 得:
K* = 1 -
后, 其当量概率密度函数为:
Q f xT ( x ) =
K 0
1 bK-
aKdK
( 2)
其中, aK、bK 为隶属函数的 K截集, 即
K= L ( x ) , x [ m。 R( x), x > m
相应地, 设随机变量 x 的概率密度函数为
f x ( x ) , 则其变换为当量模糊变量 x T 后, 隶 属度
换为隶属函数, 具体表达式分别为:
Lr ( r) =
1-
1 A2r
(
m
r
-
r)2 , mr -
Ar
[
r
[
mr +
Ar
0
其他
( 7)
Ls( s) =
1-
1 A2s
(
ms
-
s)2 , ms -
As
[
s[
ms +
As
0
其他
( 8) 在把随机强度和随机应力变换为模糊强度和
模糊应力后, 本文讨论用模糊数学方法分析上述
第 33卷 第 2 期 2010 年 2 月
合肥工业大学学 报( 自 然 科 学 版 )
JOU RN A L OF HEF EI U NI VERSIT Y O F T ECH NO L OG Y
Vo l. 33 No. 2 Feb. 2010
基于模糊理论的随机可靠性分析
赵古田, 董玉革, 宋智燕
( 合肥工业大学 机械与汽车工程学院, 安徽 合肥 230009)
r-
( mr A2r
Ar )
,
( mr + Ar ) A2r
r,
mr - Ar < r [ mr mr < r [ mr + Ar
( 4)
f sT ( s) =
s-
( ms A2s
As ) ,
( ms + As ) A2s
s,
ms - As < s [ ms ms < s [ m s + As
( 5)
认为强度和应力在各自的区间内服从均匀分布,
根据概率论的知识, 干涉变量 z K= rK- sK 将不服 从均匀分布。而上述方法在利用区间数的运算法
则, 获得干涉变量的区间数后, 再把干涉变量取为
该区间内的均匀分布的随机变量, 显然与真实情
况不同。
上述方法虽然计算过程简单, 但是计算结果
误差太大, 不宜采用。
数计算失效概率。
设 h= bK- aK, l = d K- cK, 当 h< l 时( h \l 时,
将其中所有的 l 与 h 互换) , 则在给定阈值 K时干
涉变量 z 的概率密度函数为:
0
, z < ( aK- dK)
z-
( aKhl
dK) , ( aK -
d K)
[
z<
h + ( aK-
d K)
和概率论相结合, 在不同的极限状态变量下进行可靠性计算; 与传统 可靠性计 算的结论进 行比较并 分析误差
原因。
关键词: 可靠性分析; 随机变量; 模糊变量; 隶属度函数; 模糊截集; 区间 数
中图分类号: T H122
文献标识码: A
文章编号: 1003- 5060( 2010) 02- 0249- 05
mr - ms 2 Ar + As
( 10)
第2期
赵古田, 等: 基于模糊理论的随机可靠性分析
25 1
经对多个算例的失效概率计算结果分析, 该
方法计算的失效概率与按随机变量计算的结果相
比, 误差较大( 详见文末算例) 。从理论上分析其 原因, 可以给出这样的解释: 在给定阈值 K时获得
模糊强度的区间数和模糊应力的区间数后, 可以
根据传统可靠性分析的随机应力强度干涉模
型, 可计算失效概率为[ 11] :
+]
s
Q Q F =
f sT ( s) f rT ( r) dr ds
-]
-]
模型中干涉区的位置与面积受 mr 、ms 、Ar 和
As 的影响, 上述参数的关系不同时需要具体讨论
积分范围和积分函数。由于篇幅原因, 在此取其
中的一种情况, mr \ms + As 且 m s [ mr - Ar , 即干 涉区域在 mr 、m s 之间。
摘 要: 文章针对传统可靠 性分析中计算量较 大、方法单 一、无法处 理模糊变量等问题, 提出了在 随机变量与
模糊变量相互等价转换的基础上, 用传统 可靠性 理论分析 模糊可 靠性问 题以及 用模糊 数学方 法计算传 统可
靠性问题; 探讨了利用模糊数学中的截集和区间数等模糊理论 进行可靠 性计算; 建立模糊 应力强度 干涉模型
Random reliability analysis based on the fuzzy theory
ZH AO Gu- t ian, DONG Yu- g e, SON G Zh-i yan
( Sch ool of M achinery and Au t om ob ile Engin eering, H efei U nivers ity of T echnology, Hef ei 230009, Chin a)
随机可靠性问题。
3 基于模糊理论的随机可靠性分析
对强度和应力均为模糊变量的可靠性分析,
所用到的模糊理论是模糊数学中的截集概念, 即
给定一阈值 K, 可将隶属函数 转化为该阈值 K时
的区间数。在获得给定阈值 K时模糊强度的区间
数 rK= [ aK, bK] 和模糊应力的区间数 sK= [ cK, d K]
目前, 主要有 2 种方法对可靠性进行分析: 一 种是随机的方法; 另一种是在 20 世纪 80 年代中 后期, 随着模糊数学的发展提出了模糊可靠性方 法, 包 括 模 糊 概 率 理 论[ 1- 3] 及 模 糊 截 集 的 方 法[ 4- 9] 。因此, 随机方法与模糊方法等价 性的研 究有利于 2 种方法的统一[ 4] 。本文首先将随机变 量转化为模糊变量, 采用 2 种方法分析其可靠性: ¹ 利用将隶属函数转化为该阈值 K时的区间数, 并利用区间数的运算法则计算失效概率; º 参照 随机应力强度干涉模型, 建立模糊应力强度干涉 模型, 结合概率论计算出极限状态变量的联合分 布密度函数, 最后算出失效概率。