中考数学总复习考点跟踪训练44解直角三角形的应用

F 在RtACE中，ACE 45o AE CE tan ACE AE 20 1 20(米) CD BE AB AE 20 3 2（0 米） 答：大树的高度为（20 3 20）米。
F 45° A
60° C
E
D 20 B
解法二：延长AC交直 线DB于点F, …
x ∴ 3= x 50 .
?
60° 45°
D
B 50 C
∴x=75+25 3
解法二：设BD=x（米）,
∴AD=75+25 3（米）
则AD=50+x（米），在
答：风筝此时距地面的高度 （75+25 3）米。
AD
为 Rt△ABD中用锐角三角函 数求解
解题反思
1.本题出现了2个我们熟悉的基本图形-----60°,45°角的直角三角形，并且这两个图形有 一条公共的直角边。
解（1）作AB⊥MN，B为垂足。
BN
在Rt△ABP中
P
∵∠ABP=90°，∠APB=30°，
30°
AP=160米，
M
160
∴AB=80米
AQ
∴点A到直线MN的距离小于100米。
∴这所中学会受到噪声的影响。
解题点拨 （2） 既然受影响， 怎样求受影响的时间呢？因拖拉
DN
机速度已知，故应求学校在受噪 声影响时拖拉机行驶的路程，即
45°方向上的B处，求此时轮船所在的B处与灯塔
P的距离。（结果保留根号）
北
M
A东
60°
方位角：指正北或正南方向线 与目标方向线所成的小于 P 90°的角。
45°
N B
解：过点P作PC AB于点C，

题型专项(四) 解直角三角形的实际应用 解直角三角形的实际应用历年来在云南各地的中考中都有考查，几乎都以解答题的形式出现，主要有两种类型：一是利用视角测量长度(高度)，二是利用方向角测量距离．解题的一般步骤为：画出平面图形，将实际问题转化为解直角三角形的数学问题，即根据条件特征，选用勾股定理或适当的三角函数解直角三角形，得出数学问题的答案，然后作答(回归实际问题)．预计2019年一定会有考查，复习时应加强训练．类型1 利用视角测量长度(高度)1．(2019·昆明市十县模拟)如图，在一个18米高的楼顶上有一信号塔DC ，李明同学为了测量信号塔的高度，在地面的A 处测得信号塔下端D 的仰角为30°，然后他正对塔的方向前进了18米到达地面的B 处，又测得信号塔顶端C 的仰角为60°，CD ⊥AB 于点E ，E 、B 、A 在一条直线上．请你帮李明同学计算出信号塔CD 的高度．(结果保留整数，3≈1.7，2≈1.4)解：根据题意得AB ＝18，DE ＝18，∠A ＝30°，∠EBC ＝60°.在Rt △ADE 中，AE ＝DE tan30°＝1833＝183， ∴BE ＝AE －AB ＝183－18.在Rt △BCE 中，CE ＝BE ·tan60°＝(183－18)×3＝54－183，∴CD ＝CE －DE ＝54－183－18≈5(米)．2．(2019·红河模拟)某中学九年级学生在学习“直角三角形的边角关系”时，组织开展测量物体高度的实践活动．在活动中，某小组为了测量校园内①号楼AB 的高度(如图)，站在②号楼的C 处，测得①号楼顶部A 处的仰角α＝30°，底部B 处的俯角β＝45°，已知两幢楼的水平距离BD为18米，求①号楼AB 的高度．(结果保留根号)解：∵AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，CE ⊥AB ，∴四边形CDBE 是矩形．∴CE ＝BD ＝18.在Rt △BEC 中，∵∠ECB ＝45°，∴EB ＝CE ＝18.在Rt △AEC 中，∵tan ∠ACE ＝AE CE， ∴AE ＝CE ·tan ∠ACE ＝18×tan30°＝6 3.∴AB ＝AE ＋EB ＝18＋63(米)． 答：①号楼AB 的高度为(18＋63)米．3．(2019·昆明西山区二模)如图，某新电视塔塔高AB 为600米，远处有一栋大楼，某人在楼底C 处测得塔顶B 的仰角为45°，在楼顶D 处测得塔顶B 的仰角为39°，求大楼的高度CD.(结果精确到1米，参考数据：sin39°＝cos51°≈0.629，cos39°＝sin51°≈0.777，tan39°≈0.810，tan51°≈1.235)解：∵∠ACB ＝45°，∠A ＝90°，∴AC ＝AB ＝600米．延长DE 交AB 于点F ，则DF ⊥AB ，四边形DF AC 为矩形．∴DF ＝AC ＝600米．在Rt △BDF 中，tan ∠BDF ＝BF DF， ∴BF ＝DF ·tan39°.∵CD ＝AF ，∴CD ＝AB －DF ·tan39°＝600－600×tan39°≈114(米)． 答：大楼的高度CD 约为114米．类型2 方位角问题4．(2019·云南考试说明)如图，A ，B 两城市相距100 km ，现计划在这两座城市之间修建一条高速公路(即线段AB)．经测量，森林保护中心P 在A 城市的北偏东30°，在B 城市的北偏西45°的方向上．已知森林保护区的范围在以P 点为圆心，50 km 为半径的圆形区域内．请问计划修建的这条高速公路会不会穿越保护区？为什么？(参考数据：3≈1.732，2≈1.414)解：过点P 作PC ⊥AB ，C 为垂足，则∠APC ＝30°，∠BPC ＝45°.∴AC ＝PC ·tan30°，BC ＝PC ·tan45°.∵AC ＋BC ＝AB ，∴PC ·tan30°＋PC ·tan45°＝100.∴(33＋1)PC ＝100. ∴PC ＝50(3－3)≈63.4>50.∴森林保护区的中心与直线AB 的距离大于保护区的半径，因此计划修建的这条高速公路不会穿越保护区．5．(2019·楚雄模拟)如图，某渔船在小岛O 南偏东75°方向的B 处遇险，在小岛O 南偏西45°方向A 处巡航的中国渔政船接到求救信号后立刻前往救援，此时，中国渔政船与小岛O 相距8海里，渔船在中国渔政船的正东方向上．(1)求∠BAO 与∠ABO 的度数；(2)若中国渔政船以每小时28海里的速度沿AB 方向赶往B 处救援，能否在1小时内赶到？请说明理由．(参考数据：tan75°≈3.73，tan15°≈0.27，2≈1.41，6≈2.45)解：(1)作OC ⊥AB 于C ，由题意得，∠AOC ＝45°，∠BOC ＝75°，∵∠ACO ＝∠BCO ＝90°，∴∠BAO ＝90°－∠AOC ＝90°－45°＝45°，∠ABO ＝90°－∠BOC ＝90°－75°＝15°.(2)若中国渔政船以每小时28海里的速度沿AB 方向赶往B 处救援，能在1小时内赶到．理由如下：∵在Rt △OAC 中，∠ACO ＝90°，∠AOC ＝45°，OA ＝8海里，∴AC ＝OC ＝22OA ≈4×1.41＝5.64(海里)． ∵在Rt △OBC 中，∠BCO ＝90°，∠BOC ＝75°，OC ＝42海里，∴BC ＝OC ·tan ∠BOC ≈5.64×3.73＝21.037 2(海里)．∴AB ＝AC ＋BC ≈5.64＋21.037 2＝26.677 2(海里)．∵中国渔政船以每小时28海里的速度沿AB 方向赶往B 处救援，∴中国渔政船所需时间为26.677 2÷28≈0.953(小时)＜1小时． 故若中国渔政船以每小时28海里的速度沿AB 方向赶往B 处救援，能在1小时内赶到．类型3 其他问题6．(2019·昆明模拟)如图，登山缆车从点A 出发，途经点B 后到达终点C ，其中AB 段与BC 段的运行路程均为200 m ，且AB 段的运行路线与水平面的夹角为30°，BC 段的运行路线与水平面的夹角为42°，求缆车从点A 运行到点C 的垂直上升的距离．(参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90)解：在Rt △ADB 中，∵∠ADB ＝90°，∠BAD ＝30°，AB ＝200 m ，∴BD ＝12AB ＝100 m. 在Rt △CEB 中，∵∠CEB ＝90°，∠CBE ＝42°，CB ＝200 m ，∴CE ＝BC ·sin42°≈200×0.67＝134(m)．∴BD ＋CE ≈100＋134＝234(m)．答：缆车从点A 运行到点C 的垂直上升的距离约为234 m.。

解直角三角形的应用练习题参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．（2012•襄阳）在一次数学活动中，李明利用一根栓有小锤的细线和一个半圆形量角器制作了一个测角仪，去测量学校内一座假山的高度CD．如图，已知小明距假山的水平距离BD为12m，他的眼镜距地面的高度为1.6m，李明的视线经过量角器零刻度线OA和假山的最高点C，此时，铅垂线OE经过量角器的60°刻度线，则假山的高度为（）A．（4+1.6）m B．（12+1.6）m C．（4+1.6）m D．4m考点：解直角三角形的应用．分析：根据已知得出AK=BD=12m，再利用tan30°==，进而得出CD的长．解答：解：∵BD=12米，李明的眼睛高AB=1.6米，∠AOE=60°，∴DB=AK，AB=KD=1.6米，∠CAK=30°，∴tan30°==，解得CK=4（米），即CD=CK+DK=4+1.6=（4+1.6）米．故选：A．点评：本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意得出tan30°==解答是解答此题的关键．2．（2014•随州）如图，要测量B点到河岸AD的距离，在A点测得∠BAD=30°，在C点测得∠BCD=60°，又测得AC=100米，则B点到河岸AD的距离为（）A．100米B．50米C．米D．50米考点：解直角三角形的应用．专题：几何图形问题．分析：过B作BM⊥AD，根据三角形内角与外角的关系可得∠ABC=30°，再根据等角对等边可得BC=AC，然后再计算出∠CBM的度数，进而得到CM长，最后利用勾股定理可得答案．解答：解：过B作BM⊥AD，∵∠BAD=30°，∠BCD=60°，∴∠ABC=30°，∴AC=CB=100米，∵BM⊥AD，∴∠BMC=90°，∴∠CBM=30°，∴CM=BC=50米，∴BM=CM=50米，故选：B．点评：此题主要考查了解直角三角形的应用，关键是证明AC=BC，掌握直角三角形的性质：30°角所对直角边等于斜边的一半．3．（2014•衡阳）如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽10米，坝高12米，斜坡AB 的坡度i=1：1.5，则坝底AD的长度为（）A．26米B．28米C．30米D．46米考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．专题：几何图形问题．分析：先根据坡比求得AE的长，已知CB=10m，即可求得AD．解答：解：∵坝高12米，斜坡AB的坡度i=1：1.5，∴AE=1.5BE=18米，∵BC=10米，∴AD=2AE+BC=2×18+10=46米，故选：D．点评：此题考查了解直角三角形的应用中的坡度坡角的问题及等腰梯形的性质的掌握情况，将相关的知识点相结合更利于解题．4．（2014•西宁）如图1，某超市从一楼到二楼有一自动扶梯，图2是侧面示意图．已知自动扶梯AB的坡度为1：2.4，AB的长度是13米，MN是二楼楼顶，MN∥PQ，C是MN上处在自动扶梯顶端B点正上方的一点，BC⊥MN，在自动扶梯底端A处测得C点的仰角为42°，则二楼的层高BC约为（精确到0.1米，sin42°≈0.67，tan42°≈0.90）（）A．10.8米B．8.9米C．8.0米D．5.8米考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题．专题：几何图形问题．分析：延长CB交PQ于点D，根据坡度的定义即可求得BD的长，然后在直角△CDA中利用三角函数即可求得CD的长，则BC即可得到．解答：解：延长CB交PQ于点D．∵MN∥PQ，BC⊥MN，∴BC⊥PQ．∵自动扶梯AB的坡度为1：2.4，∴==．设BD=5k米，AD=12k米，则AB=13k米．∵AB=13米，∴k=1，∴BD=5米，AD=12米．在Rt△CDA中，∠CDA=90゜，∠CAD=42°，∴CD=AD•tan∠CAD≈12×0.90≈10.8米，∴BC≈5.8米．故选：D．点评：本题考查仰角和坡度的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．5．（2014•临沂）如图，在某监测点B处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15°方向的A处，若渔船沿北偏西75°方向以40海里/小时的速度航行，航行半小时后到达C处，在C处观测到B在C的北偏东60°方向上，则B、C之间的距离为（）A．20海里B．10海里C．20海里D．30海里考点：解直角三角形的应用-方向角问题．专题：几何图形问题．分析：如图，根据题意易求△ABC是等腰直角三角形，通过解该直角三角形来求BC的长度．解答：解：如图，∵∠ABE=15°，∠DAB=∠ABE，∴∠DAB=15°，∴∠CAB=∠CAD+∠DAB=90°．又∵∠FCB=60°，∠CBE=∠FCB，∠CBA+∠ABE=∠CBE，∴∠CBA=45°．∴在直角△ABC中，sin∠ABC===，∴BC=20海里．故选：C．点评：本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题．解题的难点是推知△ABC是等腰直角三角形．二．填空题（共5小题）6．（2009•仙桃）如图所示，小华同学在距离某建筑物6米的点A处测得广告牌B点、C点的仰角分别为52°、35°，则广告牌的高度BC 为 3.5米（精确到0.1米）．（sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70；sin52°≈0.79，cos52°≈0.62，tan52°≈1.28）考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．专题：应用题；压轴题．分析：图中有两个直角三角形△ABD、△ACD，可根据两个已知角度，利用正切函数定义，分别求出BD 和CD，求差即可．解答：解：根据题意：在Rt△ABD中，有BD=AD•tan52°．在Rt△ADC中，有DC=AD•tan35°．则有BC=BD﹣CD=6（1.28﹣0.70）=3.5（米）．点评：本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．7．（2009•安徽）长为4m的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角（如图所示），则梯子的顶端沿墙面升高了2（）m．考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．专题：压轴题．分析：利用所给角的正弦函数求两次的高度，相减即可．解答：解：由题意知：平滑前梯高为4•sin45°=4•=．平滑后高为4•sin60°=4•=．∴升高了2（）m．点评：本题重点考查了三角函数定义的应用．8．（2014•宁波）为解决停车难的问题，在如图一段长56米的路段开辟停车位，每个车位是长5米宽2.2米的矩形，矩形的边与路的边缘成45°角，那么这个路段最多可以划出17个这样的停车位．（≈1.4）考点：解直角三角形的应用．专题：调配问题．分析：如图，根据三角函数可求BC，CE，由BE=BC+CE可求BE，再根据三角函数可求EF，再根据停车位的个数=（56﹣BE）÷EF+1，列式计算即可求解．解答：解：如图，BC=2.2×sin45°=2.2×≈1.54米，CE=5×sin45°=5×≈3.5米，BE=BC+CE≈5.04，EF=2.2÷sin45°=2.2÷≈3.14米，（56﹣5.04）÷3.14+1=50.96÷3.14+1≈16+1=17（个）．故这个路段最多可以划出17个这样的停车位．故答案为：17．点评：考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．9．（2014•十堰）如图，轮船在A处观测灯塔C位于北偏西70°方向上，轮船从A处以每小时20海里的速度沿南偏西50°方向匀速航行，1小时后到达码头B处，此时，观测灯塔C位于北偏西25°方向上，则灯塔C与码头B 的距离是24海里．（结果精确到个位，参考数据：≈1.4，≈1.7，≈2.4）考点：解直角三角形的应用-方向角问题．专题：几何图形问题．分析：作BD⊥AC于点D，在直角△ABD中，利用三角函数求得BD的长，然后在直角△BCD中，利用三角函数即可求得BC的长．解答：解：∠CBA=25°+50°=75°．作BD⊥AC于点D．则∠CAB=（90°﹣70°）+（90°﹣50°）=20°+40°=60°，∠ABD=30°，∴∠CBD=75°﹣30°=45°．在直角△ABD中，BD=AB•sin∠CAB=20×sin60°=20×=10．在直角△BCD中，∠CBD=45°，则BC=BD=10×=10≈10×2.4=24（海里）．故答案是：24．点评：本题主要考查了方向角含义，正确求得∠CBD以及∠CAB的度数是解决本题的关键．10．（2014•抚顺）如图，河流两岸a、b互相平行，点A、B是河岸a上的两座建筑物，点C、D是河岸b上的两点，A、B的距离约为200米．某人在河岸b上的点P处测得∠APC=75°，∠BPD=30°，则河流的宽度约为100米．考点：解直角三角形的应用．专题：几何图形问题．分析：过点P作PE⊥AB于点E，先求出∠APE及∠BPE、∠ABP的度数，由锐角三角函数的定义即可得出结论．解答：解：过点P作PE⊥AB于点E，∵∠APC=75°，∠BPD=30°，∴∠APB=75°，∵∠BAP=∠APC=75°，∴∠APB=∠BAP，∴AB=PB=200m，∵∠ABP=30°，∴PE=PB=100m．故答案为：100．点评：本题考查的是解直角三角形的应用，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键．三．解答题（共5小题）11．（2014•南昌）图1中的中国结挂件是由四个相同的菱形在顶点处依次串联而成，每相邻两个菱形均成30°的夹角，示意图如图2．在图2中，每个菱形的边长为10cm，锐角为60°．（1）连接CD，EB，猜想它们的位置关系并加以证明；（2）求A，B两点之间的距离（结果取整数，可以使用计算器）（参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）考点：解直角三角形的应用．分析：（1）连接DE．根据菱形的性质和角的和差关系可得∠CDE=∠BED=90°，再根据平行线的判定可得CD，EB的位置关系；（2）根据菱形的性质可得BE，DE，再根据三角函数可得BD，AD，根据AB=BD+AD，即可求解．解答：解：（1）猜想CD∥EB．证明：连接DE．∵中国结挂件是四个相同的菱形，每相邻两个菱形均成30°的夹角，菱形的锐角为60°∴∠CDE=60°÷2×2+30°=90°，∴∠BED=60°÷2×2+30°=90°，∴∠CDE=∠BED，∴CD∥EB．（2）BE=2OE=2×10×cos30°=10cm，同理可得，DE=10cm，则BD=10cm，同理可得，AD=10cm，AB=BD+AD=20≈49cm．答：A，B两点之间的距离大约为49cm．点评：此题考查了解直角三角形的应用，菱形的性质和平行线的判定，主要是三角函数的基本概念及运算，关键是运用数学知识解决实际问题．12．（2014•铁岭）如图，小丽假期在娱乐场游玩时，想要利用所学的数学知识测量某个娱乐场地所在山坡AE的长度．她先在山脚下点E处测得山顶A的仰角是30°，然后，她沿着坡度是i=1：1（即tan∠CED=1）的斜坡步行15分钟抵达C处，此时，测得A点的俯角是15°．已知小丽的步行速度是18米/分，图中点A、B、E、D、C在同一平面内，且点D、E、B在同一水平直线上．求出娱乐场地所在山坡AE的长度．（参考数据：≈1.41，结果精确到0.1米）考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题．分析：根据速度乘以时间得出CE的长度，通过坡度得到∠ECF=30°，作辅助线EF⊥AC，通过平角减去其他角从而得到∠AEF=45°即可求出AE的长度．解答：解：作EF⊥AC，根据题意，CE=18×15=270米，∵tan∠CED=1，∴∠CED=∠DCE=45°，∵∠ECF=90°﹣45°﹣15°=30°，∴EF=CE=135米，∵∠CEF=60°，∠AEB=30°，∴∠AEF=180°﹣45°﹣60°﹣30°=45°，∴AE=135≈190.35米点评：本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是作辅助线EF⊥AC，以及坡度和坡角的关系．13．（2014•抚州）如图1所示的晾衣架，支架主视图的基本图形是菱形，其示意图如图2，晾衣架伸缩时，点G在射线DP上滑动，∠CED的大小也随之发生变化，已知每个菱形边长均等于20cm，且AH=DE=EG=20cm．（1）当∠CED=60°时，求C、D两点间的距离；（2）当∠CED由60°变为120°时，点A向左移动了多少cm？（结果精确到0.1cm）（3）设DG=xcm，当∠CED的变化范围为60°～120°（包括端点值）时，求x的取值范围．（结果精确到0.1cm）（参考数据≈1.732，可使用科学计算器）考点：解直角三角形的应用；菱形的性质．分析：（1）证明△CED是等边三角形，即可求解；（2）分别求得当∠CED是60°和120°，两种情况下AD的长，求差即可；（3）分别求得当∠CED是60°和120°，两种情况下DG的长度，即可求得x的范围．解答：解：（1）连接CD（图1）．∵CE=DE，∠CED=60°，∴△CED是等边三角形，∴CD=DE=20cm；（2）根据题意得：AB=BC=CD，当∠CED=60°时，AD=3CD=60cm，当∠CED=120°时，过点E作EH⊥CD于H（图2），则∠CEH=60°，CH=HD．在直角△CHE中，sin∠CEH=，∴CH=20•sin60°=20×=10（cm），∴CD=20cm，∴AD=3×20=60≈103.9（cm）．∴103.9﹣60=43.9（cm）．即点A向左移动了43.9cm；（3）当∠CED=120°时，∠DEG=60°，∵DE=EG，∴△DEG是等边三角形．∴DG=DE=20cm，当∠CED=60°时（图3），则有∠DEG=120°，过点E作EI⊥DG于点I．∵DE=EG，∴∠DEI=∠GEI=60°，DI=IG，在直角△DIE中，sin∠DEI=，∴DI=DE•sin∠DEI=20×sin60°=20×=10cm．∴DG=2DI=20≈34.6cm．则x的范围是：20cm≤x≤34.6cm．点评：本题考查了菱形的性质，当菱形的一个角是120°或60°时，连接菱形的较短的对角线，即可把菱形分成两个等边三角形．14．（2014•宿迁）如图是某通道的侧面示意图，已知AB∥CD∥EF，AM∥BC∥DE，AB=CD=EF，∠AMF=90°，∠BAM=30°，AB=6m．（1）求FM的长；（2）连接AF，若sin∠FAM=，求AM的长．考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．专题：几何图形问题．分析：（1）分别过点B、D、F作BN⊥AM于点N，DG⊥BC延长线于点G，FH⊥DE延长线于点H，根据AB∥CD∥EF，AM∥BC∥DE，分别解Rt△ABN、Rt△DCG、Rt△FEH，求出BN、DG、FH的长度，继而可求出FM的长度；（2）在Rt△FAM中，根据sin∠FAM=，求出AF的长度，然后利用勾股定理求出AM的长度．解答：解：（1）分别过点B、D、F作BN⊥AM于点N，DG⊥BC延长线于点G，FH⊥DE延长线于点H，在Rt△ABN中，∵AB=6m，∠BAM=30°，∴BN=ABsin∠BAN=6×=3m，∵AB∥CD∥EF，AM∥BC∥DE，同理可得：DG=FH=3m，∴FM=FH+DG+BN=9m；（2）在Rt△FAM中，∵FM=9m，sin∠FAM=，∴AF=27m，∴AM==18（m）．即AM的长为18m．点评：本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据坡角构造直角三角形，利用三角函数解直角三角形，注意勾股定理的应用．15．（2014•邵阳）一艘观光游船从港口A以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向，马上以40海里每小时的速度前往救援，求海警船到大事故船C处所需的大约时间．（温馨提示：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）考点：解直角三角形的应用-方向角问题．专题：几何图形问题．分析：过点C作CD⊥AB交AB延长线于D．先解Rt△ACD得出CD=AC=40海里，再解Rt△CBD 中，得出BC=≈50，然后根据时间=路程÷速度即可求出海警船到大事故船C处所需的时间．解答：解：如图，过点C作CD⊥AB交AB延长线于D．在Rt△ACD中，∵∠ADC=90°，∠CAD=30°，AC=80海里，∴CD=AC=40海里．在Rt△CBD中，∵∠CDB=90°，∠CBD=90°﹣37°=53°，∴BC=≈=50（海里），∴海警船到大事故船C处所需的时间大约为：50÷40=（小时）．点评：本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，难度适中，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．。

查补重难点08.解直角三角形及其应用考点一：解直角三角形及其性质1.锐角三角函数的性质当0°＜∠A＜90°时，sin A随∠A的增大而增大；cos A随∠A的增大而减小；tan A随∠A的增大而增大。

2.解直角三角形的概念：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形。

3.在解直角三角形的过程中，常用关系：在Rt△ABC中，∠C=90°，则：（1）三边关系：a2+b2=c2；（2）两锐角关系：∠A+∠B=90°；（3）边与角关系：sinA=cosB=ac，cosA=sinB=bc，tanA=ab；4）sin2A+cos2A=1。

4.三角函数特殊值（熟记）：sin30°=12；sin45°=22；sin60°=32；cos30°=32；cos45°=22；cos60°=12；tan30°=33；tan45°=1；tan60°=3题型1.求锐角三角函数值在求锐角的三角函数值时，首先要明确是求锐角的正弦值，余弦值还是正切值，其次要弄清是哪两条边的比，但最重要的还是要以记清三角函数特殊角的函数值为前提。

根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形。

例1．（2023·江苏·中考真题）如图，在Rt ABC △中，90A ∠=︒，点D 在边AB 上，连接CD ．若BD CD =，13AD BD =，则tan B =．变式1．（2022·江苏扬州·中考真题）在ABC ∆中，90C ∠=︒，a b c 、、分别为A B C ∠∠∠、、的对边，若2b ac =，则sin A 的值为．变式2．（2023·江苏盐城·模拟预测）七巧板是我国祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”．由边长为的正方形可以制作一副如图1所示的七巧板，现将这副七巧板在拼成如图2所示的造型恰好放入矩形ABCD 中(其中点E ，F ，G ，H 都在矩形边上)，若:7:6AB BC =，则AGF ∠的正切值为．题型2.网格图与锐角三角函数在网格中求锐角三角形函数值，关键是利用锐角边上的格点找到直角三角形或构造直角三角形来进行求解。