备战2021中考数学考点专题训练——专题八十三：平面直角坐标系

江苏盐城2021年中考备战策略（13）《平面直角坐标系》专题强化提优知识点扫描考点一平面内点的坐标1．(1)平面内的点可以用一对________来表示．例如点A在平面内可表示为A(a，b)，其中a 表示点A的横坐标，b表示点A的纵坐标．(2)平面内的点和有序实数对是_______的关系，即平面内的任何一个点可以用一对________来表示；反过来每一对有序实数都表示平面内的一个点．(3)有序实数对表示这一对实数是有________的，即(1,2)和(2,1)表示两个______的点．2．平面内点的坐标规律(1)各象限内点的坐标的特征点P(x，y)在第一象限⇔x＞0，y＞0；点P(x，y)在第二象限⇔x＜0，y＞0；点P(x，y)在第三象限⇔x＜0，y＜0；点P(x，y)在第四象限⇔x＞0，y＜0.(2)坐标轴上的点的坐标的特征点P(x，y)在x轴上⇔y＝0，x为任意实数；点P(x，y)在y轴上⇔x＝0，y为任意实数；点P(x，y)在坐标原点⇔x＝0，y＝0.考点二特殊点的坐标特征1．(1)平行于x轴(或垂直于y轴)的直线上点的___________相同，横坐标为不相等的实数．(2)平行于y轴(或垂直于x轴)的直线上点的__________相同，纵坐标为不相等的实数．2．各象限角平分线上的点的坐标特征(1)第一、三象限角平分线上的点，横、纵坐标________．(2)第二、四象限角平分线上的点，横、纵坐标__________________3．对称点的坐标的特征点P(x，y)关于x轴的对称点P1的坐标为(x，－y)；关于y轴的对称点P2的坐标为(－x，y)；关于原点的对称点P3的坐标为(－x，－y)．以上特征可归纳为：(1)关于x轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标______________________(2)关于y轴对称的两点，横坐标___________________，纵坐标相同．(3)关于原点对称的两点，横、纵坐标均_____________．考点三。

2021年数学中考一轮单元总复习达标精准突破（原卷版）平面直角坐标系单元知识点呈现知识点1：认识平面直角坐标系1.有序数对：有顺序的两个数a与b组成的数对叫做有序数对，记做（a,b）2.平面直角坐标系：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。

3.横轴、纵轴、原点：水平的数轴称为x轴或横轴；竖直的数轴称为y轴或纵轴；两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。

4.坐标：对于平面内任一点P，过P分别向x轴，y轴作垂线，垂足分别在x轴，y轴上，对应的数a,b分别叫点P的横坐标和纵坐标。

5.象限：两条坐标轴把平面分成四个部分，右上部分叫第一象限，按逆时针方向一次叫第二象限、第三象限、第四象限。

坐标轴上的点不在任何一个象限内。

知识点2：坐标方法的简单应用1.用坐标表示地理位置；2.用坐标表示平移。

重点及方法解读1.平面直角坐标系中各象限点的坐标特点①第一象限的点：横坐标>0，纵坐标>0；②第二象限的点：横坐标<0，纵坐标>0；③第三象限的点：横坐标<0，纵坐标<0；④第四象限的点：横坐标>0，纵坐标<0。

2.平面直角坐标系中坐标轴上点的坐标特点①x轴正半轴上的点：横坐标>0，纵坐标=0；②x轴负半轴上的点：横坐标<0，纵坐标=0；③y轴正半轴上的点：横坐标=0，纵坐标>0；④y轴负半轴上的点：横坐标=0，纵坐标<0；⑤坐标原点：横坐标=0，纵坐标=0。

3．平面直角坐标系中对称点的坐标特点①关于x轴对称的两个点，横坐标相等，纵坐标互为相反数；②关于y轴对称的两个点，纵坐标相等，横坐标互为相反数；③关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数。

4．平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同；平行于y轴的直线上的点的横坐标相同；在一、三象限角平分线上的点的横坐标与纵坐标相同；在二、四象限角平分线上的点的横坐标与纵坐标互为相反数。

知识回顾微专题专题12平面直角坐标系考点一：平面直角坐标系之坐标特点1.有序数对：有顺序的两个数a 与b 组成的数对叫做有序数对。

表示为()b a ，，可以用来表示位置。

2.平面直角坐标系各部分的坐标特点：①x 轴上的所有点的坐标可表示为()0 ，x 。

②y 轴上的所有点的坐标可表示为()y ，0。

③第一象限内的所有点的坐标横纵坐标都是正数。

即（﹢，﹢）。

④第二象限内的所有点的坐标横坐标是负数，纵坐标是正数。

即（﹣，﹢）。

⑤第三象限内的所有点的坐标横纵坐标都是负数。

即（﹣，﹣）。

⑥第四象限内的所有点的坐标横坐标是正数，纵坐标是负数。

即（﹢，﹣）。

3.点到坐标轴的距离：点()b a ，到横坐标的距离等于纵坐标的绝对值。

即b 。

点()b a ，到纵坐标的距离等于横坐标的绝对值。

即a 。

1．（2022•六盘水）两个小伙伴拿着如图的密码表玩听声音猜动物的游戏，若听到“咚咚﹣咚咚，咚﹣咚，咚咚咚﹣咚”表示的动物是“狗”，则听到“咚咚﹣咚，咚咚咚﹣咚咚，咚﹣咚咚咚”时，表示的动物是（）A ．狐狸B ．猫C ．蜜蜂D ．牛【分析】根据点的坐标解决此题．【解答】解：由题意知，咚咚﹣咚咚对应（2，2），咚﹣咚对应（1，1），咚咚咚﹣咚对应（3，1）．∴咚咚﹣咚对应（2，1），表示C；咚咚咚﹣咚咚对应（3，2），表示A；咚﹣咚咚咚对应（1，3），表示T．∴此时，表示的动物是猫．故选：B．2．（2022•柳州）如图，这是一个利用平面直角坐标系画出的某学校的示意图，如果这个坐标系分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，并且综合楼和食堂的坐标分别是（4，1）和（5，4），则教学楼的坐标是（）A．（1，1）B．（1，2）C．（2，1）D．（2，2）【分析】根据综合楼和食堂的坐标分别是（4，1）和（5，4），建立适当的平面直角坐标系，即可解答．【解答】解：建立如图所示的平面直角坐标系：∴教学楼的坐标是（2，2），故选：D．3．（2022•铜仁市）如图，在矩形ABCD中，A（﹣3，2），B（3，2），C（3，﹣1），则D的坐标为（）A．（﹣2，﹣1）B．（4，﹣1）C．（﹣3，﹣2）D．（﹣3，﹣1）【分析】先根据A、B的坐标求出AB的长，则CD＝AB＝6，并证明AB∥CD∥x轴，同理可得AD∥BC ∥y轴，由此即可得到答案．【解答】解：∵A（﹣3，2），B（3，2），∴AB＝6，AB∥x轴，∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝6，AB∥CD∥x轴，同理可得AD∥BC∥y轴，∵点C（3，﹣1），∴点D的坐标为（﹣3，﹣1），故选：D．4．（2022•宜昌）如图是一个教室平面示意图，我们把小刚的座位“第1列第3排”记为（1，3）．若小丽的座位为（3，2），以下四个座位中，与小丽相邻且能比较方便地讨论交流的同学的座位是（）A．（1，3）B．（3，4）C．（4，2）D．（2，4）【分析】直接利用点的坐标特点得出与小丽相邻且能比较方便地讨论交流的同学的座位位置．【解答】解：如图所示：与小丽相邻且能比较方便地讨论交流的同学的座位是（4，2）．故选：C．5．（2022•扬州）在平面直角坐标系中，点P（﹣3，a2+1）所在象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】根据平方数非负数判断出点P的纵坐标是正数，再根据各象限内点的坐标特征解答．【解答】解：∵a2≥0，∴a2+1≥1，∴点P（﹣3，a2+1）所在的象限是第二象限．故选：B．6．（2022•乐山）点P（﹣1，2）在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】根据各象限内点的坐标符号直接判断的判断即可．【解答】解：∵P（﹣1，2），横坐标为﹣1，纵坐标为：2，∴P点在第二象限．故选：B．7．（2022•攀枝花）若点A（﹣a，b）在第一象限，则点B（a，b）在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】直接利用第一象限内点的坐标特点得出a、b的符号，进而得出答案．【解答】解：∵点A（﹣a，b）在第一象限内，∴﹣a＞0，b＞0，∴a＜0，∴点B（a，b）所在的象限是：第二象限．故选：B．8．（2022•衢州）在平面直角坐标系中，点A（﹣1，﹣2）落在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【分析】根据第三象限中点的坐标特征：横坐标为负数，纵坐标为负数，由此可确定A 点位置．【解答】解：∵﹣1＜0，﹣2＜0，∴点A （﹣1，﹣2）在第三象限，故选：C ．9．（2022•河池）如果点P （m ，1+2m ）在第三象限内，那么m 的取值范围是（）A ．﹣21＜m ＜0B ．m ＞﹣21C ．m ＜0D ．m ＜﹣21【分析】根据点P 在第三象限，即横纵坐标都是负数，据此即可列不等式组求得m 的范围．【解答】解：根据题意得，解①得m ＜0，解②得m ＜．则不等式组的解集是m ＜﹣．故选：D ．10．（2022•兰州）如图，小刚在兰州市平面地图的部分区域建立了平面直角坐标系，如果白塔山公园的坐标是（2，2），中山桥的坐标是（3，0），那么黄河母亲像的坐标是．【分析】根据白塔山公园的坐标是（2，2），中山桥的坐标是（3，0）画出直角坐标系，然后根据点的坐标的表示方法写出黄河母亲像的坐标；【解答】解：如图，根据白塔山公园的坐标是（2，2），中山桥的坐标是（3，0）画出直角坐标系，∴黄河母亲像的坐标是（﹣4，1）．故答案为：（﹣4，1）．11．（2022•广安）若点P（m+1，m）在第四象限，则点Q（﹣3，m+2）在第象限．【分析】根据点P（m+1，m）在第四象限，求出m的取值范围，得到1＜m+2＜2，进而得到点Q所在的象限．【解答】解：∵点P（m+1，m）在第四象限，∴，∴﹣1＜m＜0，∴1＜m+2＜2，∴点Q（﹣3，m+2）在第二象限，故答案为：二．12．（2022•鄂州）中国象棋文化历史久远．某校开展了以“纵横之间有智慧攻防转换有乐趣”为主题的中国象棋文化节．如图所示是某次对弈的残局图，如果建立平面直角坐标系，使“帥”位于点（﹣1，﹣2），“馬”位于点（2，﹣2），那么“兵”在同一坐标系下的坐标是．【分析】应用平面内点的平移规律进行计算即可得出答案．【解答】解：根据平面内点的平移规律可得，把“帅”向左平移两个单位，向上平移3个单位得到“兵”的位置，∴（﹣1﹣2，﹣2+3），即（﹣3，1）．故答案为：（﹣3，1）．13．（2022•烟台）观察如图所示的象棋棋盘，若“兵”所在的位置用（1，3）表示，“炮”所在的位置用（6，4）表示，那么“帅”所在的位置可表示为．【分析】直接利用已知点坐标得出原点位置进而得出答案．【解答】解：如图所示：“帅”所在的位置：（4，1），故答案为：（4，1）．考点二：平面直角坐标系之坐标变换知识回顾微专题1.平行于x 轴（垂直于y 轴）的直线上的点的坐标：纵坐标相等。

第八讲平面直角坐标系及函数命题点1 平面直角坐标系中点的坐标特征类型一坐标确定位置1．（2021•山西）如图是一片枫叶标本，其形状呈“掌状五裂型”，裂片具有少数突出的齿，将其放在平面直角坐标系中，表示叶片“顶部”A，B两点的坐标分别为（﹣2，2），（﹣3，0），则叶杆“底部”点C的坐标为．【答案】（2，﹣3）【解答】解：∵A，B两点的坐标分别为（﹣2，2），（﹣3，0），∴得出坐标轴如下图所示位置：∴点C的坐标为（2，﹣3）．故答案为：（2，﹣3）．2．（2020•泰州）以水平数轴的原点O为圆心，过正半轴Ox上的每一刻度点画同心圆，将Ox逆时针依次旋转30°、60°、90°、…、330°得到11条射线，构成如图所示的“圆”坐标系，点A、B的坐标分别表示为（5，0°）、（4，300°），则点C的坐标表示为．【答案】（3，240°）【解答】解：如图所示：点C的坐标表示为（3，240°）．故答案为：（3，240°）．类型二点于象限3．（2021•扬州）在平面直角坐标系中，若点P（1﹣m，5﹣2m）在第二象限，则整数m的值为．【答案】2【解答】解：由题意得：，解得：，∴整数m的值为2，故答案为：2．4．（2020•邵阳）已知a+b＞0，ab＞0，则在如图所示的平面直角坐标系中，小手盖住的点的坐标可能是（）A．（a，b）B．（﹣a，b）C．（﹣a，﹣b）D．（a，﹣b）【答案】B【解答】解：∵a+b＞0，ab＞0，∴a＞0，b＞0．A、（a，b）在第一象限，因为小手盖住的点在第二象限，故此选项不符合题意；B、（﹣a，b）在第二象限，因为小手盖住的点在第二象限，故此选项符合题意；C、（﹣a，﹣b）在第三象限，因为小手盖住的点在第二象限，故此选项不符合题意；D、（a，﹣b）在第四象限，因为小手盖住的点在第二象限，故此选项不符合题意；故选：B．类型三点的平移于对称5．（2021•贺州）在平面直角坐标系中，点A（3，2）关于原点对称的点的坐标是（）A．（﹣3，2）B．（3，﹣2）C．（﹣2，﹣3）D．（﹣3，﹣2）【答案】D【解答】解：点（3，2）关于原点对称的点的坐标是：（﹣3，﹣2）．故选：D．6．（2021•阿坝州）平面直角坐标系中，点P（2，1）关于y轴的对称点P′的坐标是（）A．（﹣2，﹣1）B．（1，2）C．（2，﹣1）D．（﹣2，1）【答案】D【解答】解：点P（2，1）关于y轴对称的点P′的坐标是（﹣2，1）．故选：D．7．（2021•兰州）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣2，4）关于x轴对称的点B的坐标是（）A．（﹣2，4）B．（﹣2，﹣4）C．（2，﹣4）D．（2，4）【答案】B【解答】解：在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣2，4）关于x轴对称的点B的坐标是（﹣2，﹣4）．故选：B．8．（2021•丽水）四盏灯笼的位置如图．已知A，B，C，D的坐标分别是（﹣1，b），（1，b），（2，b），（3.5，b），平移y轴右侧的一盏灯笼，使得y轴两侧的灯笼对称，则平移的方法可以是（）A．将B向左平移4.5个单位B．将C向左平移4个单位C．将D向左平移5.5个单位D．将C向左平移3.5个单位【答案】C【解答】解：∵A，B，C，D这四个点的纵坐标都是b，∴这四个点在一条直线上，这条直线平行于x轴，∵A（﹣1，b），B（1，b），∴A，B关于y轴对称，只需要C，D关于y轴对称即可，∵C（2，b），D（3.5，b），∴可以将点C（2，b）向左平移到（﹣3.5，b），平移5.5个单位，或可以将D（3.5，b）向左平移到（﹣2，b），平移5.5个单位，故选：C．命题点2 函数及其自变量的取值范围类型一函数的概念9．（2021•嘉兴）根据数学家凯勒的“百米赛跑数学模型”，前30米称为“加速期”，30米~80米为“中途期”，80米~100米为“冲刺期”．市田径队把运动员小斌某次百米跑训练时速度y（m/s）与路程x（m）之间的观测数据，绘制成曲线如图所示．（1）y是关于x的函数吗？为什么？（2）“加速期”结束时，小斌的速度为多少？（3）根据如图提供的信息，给小斌提一条训练建议．【答案】（1）略（2）10.4m/s（3）略【解答】解：（1）y是x的函数，在这个变化过程中，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应．（2）“加速期”结束时，小斌的速度为10.4m/s．（3）答案不唯一．例如：根据图象信息，小斌在80米左右时速度下降明显，建议增加耐力训练，提高成绩．类型二函数的关系式10．（2019•柳州）已知A、B两地相距3千米，小黄从A地到B地，平均速度为4千米/小时，若用x表示行走的时间（小时），y表示余下的路程（千米），则y关于x的函数解析式是（）A．y＝4x（x≥0）B．y＝4x﹣3（x≥）C．y＝3﹣4x（x≥0）D．y＝3﹣4x（0≤x≤）【答案】D【解答】解：根据题意得：全程需要的时间为：3÷4＝（小时），∴y＝3﹣4x（0≤x≤）．故选：D．11．（2020•百色）黄老师某次加油时，加油站的加油表显示屏的部分读数如图所示，则加油金额y（元）与加油量x（0≤x≤60）（L）的关系式为．【答案】y＝6x【解答】解：设加油金额y（元）与加油量x（0≤x≤60）（L）的关系式为：y＝kx，∴50x＝300，∴x＝6，∴加油金额y（元）与加油量x（0≤x≤60）（L）的关系式为：y＝6x．故答案为：y＝6x．类型三函数自变量的取值范围12．（2021•黄石）函数y＝+（x﹣2）0的自变量x的取值范围是（）A．x≥﹣1B．x＞2C．x＞﹣1且x≠2D．x≠﹣1且x≠2【答案】C【解答】解：由题意可得：，解得：x＞﹣1且x≠2，故选：C．13．（2021•黑龙江）在函数y＝中，自变量x的取值范围是．【答案】x≠2【解答】解：要使分式有意义，即：x﹣2≠0，解得：x≠2．故答案为：x≠2．14．（2021•赤峰）在函数y＝中，自变量x的取值范围是．【答案】x≥﹣1且x≠【解答】解：根据题意得：，解得：x≥﹣1且x≠．故答案为：x≥﹣1且x≠．类型四函数值的运算15．（2021•上海）已知f（x）＝，那么f（）＝．【答案】【解答】解：由题意将x＝代入函数表达式，则有：．故答案为：．16．（2021•达州）如图是一个运算程序示意图，若开始输入x的值为3，则输出y值为．【答案】2【解答】解：∵3＜4，∴把x＝3代入y＝|x|﹣1得y＝3﹣1＝2，故答案为2．17．（2020•烟台）按如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x值为﹣3，则输出y的结果为．【答案】18【解答】解：∵﹣3＜﹣1，把x＝﹣3代入y＝2x2，得y＝2×9＝18，故答案为：18．命题点3 分析、判断函数图像类型一实际问题考向1 行程问题判断函数图像18．（2021•重庆）甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面20m高的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升10s．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y（单位：m）与无人机上升的时间x（单位：s）之间的关系如图所示．下列说法正确的是（）A．5s时，两架无人机都上升了40mB．10s时，两架无人机的高度差为20mC．乙无人机上升的速度为8m/sD．10s时，甲无人机距离地面的高度是60m【答案】B【解答】解：由图象可得，5s时，甲无人机上升了40m，乙无人机上升了40﹣20＝20（m），故选项A错误；甲无人机的速度为：40÷5＝8（m/s），乙无人机的速度为：（40﹣20）÷5＝4（m/s），故选项C错误；则10s时，两架无人机的高度差为：（8×10）﹣（20+4×10）＝20（m），故选项B正确；10s时，甲无人机距离地面的高度是8×10＝80（m），故选项D错误；故选：B．19．（2021•武汉）一辆快车和一辆慢车将一批物资从甲地运往乙地，其中快车送达后立即沿原路返回，且往返速度的大小不变，两车离甲地的距离y（单位：km）与慢车行驶时间t （单位：h）的函数关系如图，则两车先后两次相遇的间隔时间是（）A．h B．h C．h D．h【答案】B【解答】解：根据图象可知，慢车的速度为．对于快车，由于往返速度大小不变，总共行驶时间是4 h，因此单程所花时间为2 h，故其速度为．所以对于慢车，y与t的函数表达式为①．对于快车，y与t的函数表达式为y＝，联立①②，可解得交点横坐标为t＝3，联立①③，可解得交点横坐标为t＝4.5，因此，两车先后两次相遇的间隔时间是1.5，故选：B．20．（2021•赤峰）甲、乙两人在一条长400米的直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步，先到终点的人原地休息．已知甲先出发3秒，在跑步过程中，甲、乙两人间的距离y （米）与乙出发的时间x（秒）之间的函数关系如图所示，则下列结论正确的个数是（）①乙的速度为5米/秒；②离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点12米；③甲、乙两人之间的距离超过32米的时间范围是44＜x＜89；④乙到达终点时，甲距离终点还有68米．A．4B．3C．2D．1【答案】B【解答】解：由函数图象，得：甲的速度为12÷3＝4（米/秒），乙的速度为400÷80＝5（米/秒），故①正确；设乙离开起点x秒后，甲、乙两人第一次相遇，根据题意得：5x＝12+4x，解得：x＝12，∴离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点为：12×5＝60（米），故②错误；当甲、乙两人之间的距离超过32米时，，可得44＜x＜89，故③正确；∵乙到达终点时，所用时间为80秒，甲先出发3秒，∴此时甲行走的时间为83秒，∴甲走的路程为：83×4＝332（米），∴乙到达终点时，甲、乙两人相距：400﹣332＝68（米），故④正确；结论正确的个数为3．故选：B．21．（2020•恩施州）甲乙两车从A城出发前往B城，在整个行程中，汽车离开A城的距离y与时刻t的对应关系如图所示，则下列结论错误的是（）A．甲车的平均速度为60km/hB．乙车的平均速度为100km/hC．乙车比甲车先到B城D．乙车比甲车先出发1h【答案】D【解答】解：由图象知：A．甲车的平均速度为＝60km/h，故A选项不合题意；B．乙车的平均速度为＝100km/h，故B选项不合题意；C．甲10时到达B城，乙9时到达B城，所以乙比甲先到B城，故C选项不合题意；D．甲5时出发，乙6时出发，所以乙比甲晚出发1h，故此选项错误，故选：D．考向2 其他问题22．（2020•西藏）如图，一个弹簧不挂重物时长6cm，挂上重物后，在弹性限度内弹簧伸长的长度与所挂重物的质量成正比．弹簧总长y（单位：cm）关于所挂物体质量x（单位：kg）的函数图象如图所示，则图中a的值是（）A．3B．4C．5D．6【答案】A【解答】解：设y与x的函数关系式为y＝kx+b，将点（0，6），（9，10.5）代入上式得，，解得，，即y与x的函数关系式是y＝0.5x+6，当y＝7.5时，7.5＝0.5x+6，得x＝3，即a的值为3，故选：A．类型二几何图像中的动态问题考向1 判断函数图像动点问题23．（2021•朝阳）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线AB运动，同时动点N从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线AD→DC→CB运动，当点N运动到点B时，点M，N同时停止运动．设△AMN的面积为y，运动时间为x（s），则下列图象能大致反映y与x之间函数关系的是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：当点N在AD上时，即0＜x＜2∵AM＝x，AN＝2x，∴，此时二次项系数大于0，∴该部分函数图象开口向上，当点N在DC上时，即2≤x＜4，此时底边AM＝x，高AD＝4，∴y＝＝2x，∴该部分图象为直线段，当点N在CB上时，即4≤x＜6时，此时底边AM＝x，高BN＝12﹣2x，∴y＝，∵﹣1＜0，∴该部分函数图象开口向下，故选：B．24．（2021•百色）如图，矩形ABCD各边中点分别是E、F、G、H，AB＝2，BC＝2，M 为AB上一动点，过点M作直线l⊥AB，若点M从点A开始沿着AB方向移动到点B即停（直线l随点M移动），直线l扫过矩形内部和四边形EFGH外部的面积之和记为S．设AM＝x，则S关于x的函数图象大致是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：①当M点运动在AE段，此时S＝S△HAE+S△GHD﹣S△EOM﹣S△GPS，∵四边形ABCD是矩形，直线l⊥AB，H、E、F、G为AD、AB、BC、CD的中点，∴AH＝AD＝＝1，AE＝AB＝，S△HAE＝S△GHD，S△EOM＝S△GPS，∴S＝2S△HAE﹣2S△EOM，∴S△HAE＝AE•AH＝；∵直线l⊥AB，∴∠OME＝∠A＝90°，∠HEA＝∠OEM，∴△HAE∽△OME，∴，∴OM＝，又∵ME＝AE﹣AM＝﹣x，∴OM＝ME＝，∴S△EOM＝，∴S＝2S△HAE﹣2S△EOM＝，此时，对应抛物线开口向下；②当M点运动到在BE段，此时，S＝S△HAE+S△GHD+S△EO1M1+S△GP1S1，即S＝2S△HAE+2S△EO1M1，与①同理，O1M1＝，又∵M1E＝AM1﹣AE＝x﹣，∴O1M1＝M1E＝，∴S△EO1M1＝，∴S＝2S△HAE+2S△EO1M1＝，此时，对应抛物线开口向上，故选：D．25．（2021•本溪）如图，在矩形ABCD中，BC＝1，∠ADB＝60°，动点P沿折线AD→DB 运动到点B，同时动点Q沿折线DB→BC运动到点C，点P，Q在矩形边上的运动速度为每秒1个单位长度，点P，Q在矩形对角线上的运动速度为每秒2个单位长度．设运动时间为t秒，△PBQ的面积为S，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝1，∠A＝∠C＝90°，AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC＝60°，∴∠ABD＝∠CDB＝30°，∴BD＝2AD＝2，当点P在AD上时，S＝•（2﹣2t）•（1﹣t）•sin60°＝（1﹣t）2（0＜t＜1），当点P在线段BD上时，S＝（4﹣2t）•（t﹣1）＝﹣t2+t﹣（1＜t≤2），观察图象可知，选项D满足条件，故选：D．考向2 分析函数图像动点问题26．（2021•西宁）如图1，动点P从矩形ABCD的顶点A出发，在边AB，BC上沿A→B→C的方向，以1cm/s的速度匀速运动到点C，△APC的面积S（cm2）随运动时间t（s）变化的函数图象如图2所示，则AB的长是（）A．cm B．3cm C．4cm D．6cm【答案】B【解答】解：由图2可知，AB＝acm，BC＝4 cm，当点P到达点B时，△APC的面积为6cm2，∴•AB•BC＝6，即•a•4＝6，解得a＝3 cm．即AB的长为3cm．故选：B．27．（2021•河南）如图1，矩形ABCD中，点E为BC的中点，点P沿BC从点B运动到点C，设B，P两点间的距离为x，P A﹣PE＝y，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则BC的长为（）A．4B．5C．6D．7【答案】C【解答】解：由函数图象知：当x＝0，即P在B点时，BA﹣BE＝1．利用两点之间线段最短，得到P A﹣PE≤AE．∴y的最大值为AE，∴AE＝5．在Rt△ABE中，由勾股定理得：BA2+BE2＝AE2＝25，设BE的长度为t，则BA＝t+1，∴（t+1）2+t2＝25，即：t2+t﹣12＝0，∴（t+4）（t﹣3）＝0，由于t＞0，∴t+4＞0，∴t﹣3＝0，∴t＝3．∴BC＝2BE＝2t＝2×3＝6．故选：C．28．（2021•嘉峪关）如图1，在△ABC中，AB＝BC，BD⊥AC于点D（AD＞BD）．动点M 从A点出发，沿折线AB→BC方向运动，运动到点C停止．设点M的运动路程为x，△AMD的面积为y，y与x的函数图象如图2，则AC的长为（）A．3B．6C．8D．9【答案】B【解答】解：由图2知，AB+BC＝2，∵AB＝BC，∴AB＝，∵AB＝BC，BD⊥AC，∴AC＝2AD，∠ADB＝90°，在Rt△ABD中，AD²+BD²＝AB²＝13①，设点M到AC的距离为h，∴S△ADM＝AD•h，∵动点M从A点出发，沿折线AB→BC方向运动，∴当点M运动到点B时，△ADM的面积最大，即h＝BD，由图2知，△ADM的面积最大为3，∴AD•BD＝3，∴AD•BD＝6②，①+2×②得，AD²+BD²+2AD•BD＝13+2×6＝25，∴（AD+BD）²＝25，∴AD+BD＝5（负值舍去），∴BD＝5﹣AD③，将③代入②得，AD（5﹣AD）＝6，∴AD＝3或AD＝2，∵AD＞BD，∴AD＝3，∴AC＝2AD＝6，故选：B．29．（2020•南通）如图①，E为矩形ABCD的边AD上一点，BE＜BC，点P从点B出发沿折线B﹣E﹣D运动到点D停止，点Q从点B出发沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是1cm/s．现P，Q两点同时出发，设运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），若y与x的对应关系如图②所示，则矩形ABCD的面积是（）A．96cm2B．84cm2C．72cm2D．56cm2【答案】C【解答】解：从函数的图象和运动的过程可以得出：当点P运动到点E时，x＝10，y＝30，过点E作EH⊥BC于H，由三角形面积公式得：y＝＝30，解得EH＝AB＝6，∴AE＝＝＝8（cm），由图2可知当x＝14时，点P与点D重合，∴AD＝AE+DE＝8+4＝12（cm），∴矩形的面积为12×6＝72（cm2）．故选：C．30．（2020•东营）如图1，点P从△ABC的顶点A出发，沿A→B→C匀速运动到点C，图2是点P运动时线段CP的长度y随时间x变化的关系图象，其中点Q为曲线部分的最低点，则△ABC的边AB的长度为（）A．12B．8C．10D．13【答案】C【解答】解：根据图2中的曲线可知：当点P在△ABC的顶点A处，运动到点B处时，图1中的AC＝BC＝13，当点P运动到AB中点时，此时CP⊥AB，根据图2点Q为曲线部分的最低点，得CP＝12，所以根据勾股定理，得此时AP＝＝5．所以AB＝2AP＝10．故选：C．命题点4 函数图像与性质探究题31．（2021•兰州）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，将∠BAC绕点A 顺时针旋转，角的两边分别交射线BC于D，E两点，F为AE上一点，连接CF，且∠ACF＝∠B（当点B，D重合时，点C，F也重合）．设B，D两点间的距离为xcm（0≤x ≤8），A，F两点间的距离为ycm．小刚根据学习函数的经验，对因变量y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小刚的探究过程，请补充完整．（1）列表：下表的已知数据是根据B，D两点间的距离x进行取点，画图，测量分别得到了x与y的几组对应值；x/cm00.51 1.52 2.53 3.54 4.55678 y/cm 6.00 5.76 5.53 5.31 5.09 4.88 4.69 4.50 4.33 4.17 4.02 3.79 3.65a 请你通过计算补全表格：a＝；（2）描点、连线：在平面直角坐标系xOy中，描出表中各组数值所对应的点（x，y），并画出函数y关于x的图象；（3）探究性质：随着自变量x的不断增大，函数y的变化趋势：；（4）解决问题：当AF＝CD时，BD的长度大约是cm．（结果保留两位小数）【答案】（1）3.6 （2）略（3）y的值逐渐减小（4）3.54【解答】解：（1）如图1中，连接DF．∵∠BAC＝∠DAF，∴∠BAD＝∠CAF，∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∠CFE＝∠ACF+∠CAF，∠ACF＝∠B，∴∠CFE＝∠ADC，∴A，F，C，D四点共圆，∴∠AFD＝∠ACD＝90°，当BD＝8时，如图2中，在Rt△ACB中，AC＝6cm，BC＝8cm，∴AB＝＝＝10（cm），∵cos∠CAF＝cos∠CAB，∴＝，∴AF＝＝＝3.6（cm），∴a＝3.6，故答案为：3.6．（2）函数图象如图所示：（3）随着自变量x的不断增大，函数y的值逐渐减小．故答案为：y的值逐渐减小．（4）如图，因为直线CD的红线解析式为y＝﹣x+8，观察图象可知，当CD＝AF时，x≈3.54，∴BD≈3.54（cm），故答案为：3.54．32．（2020•大连）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点D从点B出发，沿边BA→AC以2cm/s的速度向终点C运动，过点D作DE∥BC，交边AC（或AB）于点E．设点D的运动时间为t（s），△CDE的面积为S（cm2）．（1）当点D与点A重合时，求t的值；（2）求S关于t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围．【答案】（1）t＝＝5（s）（2）S＝【解答】解：（1）∵△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，∴AB＝＝＝10（cm），当点D与点A重合时，BD＝AB＝10cm，∴t＝＝5（s）；（2）当0＜t＜5时，（D在AB上），∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝，∴，∴＝＝，解得：DE＝，CD＝t，∵DE∥BC，∠ACB＝90°，∴∠CED＝90°，∴S＝DE•CD＝×t＝﹣t2+t；当t＝5时，点D与点A重合，△CDE不存在；如图2，当5＜t＜8时，（D在AC上），则AD＝2t﹣10，∴CD＝16﹣2t，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ACB，∴＝＝，∴＝，∴DE＝，∴S＝DE•CD＝×（16﹣2t）＝﹣t2+t﹣，综上所述，S关于t的函数解析式为S＝．33．（2020•河南）小亮在学习中遇到这样一个问题：如图，点D是上一动点，线段BC＝8cm，点A是线段BC的中点，过点C作CF∥BD，交DA的延长线于点F．当△DCF为等腰三角形时，求线段BD的长度．小亮分析发现，此问题很难通过常规的推理计算彻底解决，于是尝试结合学习函数的经验研究此问题．请将下面的探究过程补充完整：（1）根据点D在上的不同位置，画出相应的图形，测量线段BD，CD，FD的长度，得到下表的几组对应值．BD/cm0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.07.08.0 CD/cm8.07.77.2 6.6 5.9a 3.9 2.40 FD/cm8.07.4 6.9 6.5 6.1 6.0 6.2 6.78.0操作中发现：①“当点D为的中点时，BD＝5.0cm”．则上表中a的值是；②“线段CF的长度无需测量即可得到”．请简要说明理由．（2）将线段BD的长度作为自变量x，CD和FD的长度都是x的函数，分别记为y CD和y FD，并在平面直角坐标系xOy中画出了函数y FD的图象，如图所示．请在同一坐标系中画出函数y CD的图象；（3）继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出：当△DCF为等腰三角形时，线段BD长度的近似值（结果保留一位小数）．【答案】（1） 5.0 ；线段CF的长度无需测量即可得到（2）略（3）BD＝3.8cm或5.0cm或6.2cm时，△DCF为等腰三角形．（答案不唯一）【解答】解：（1）①∵点D为的中点，∴＝，∴BD＝CD＝a＝5.0，故答案为：5.0；②∵点A是线段BC的中点，∴AB＝AC，∵CF∥BD，∴∠F＝∠BDA，又∵∠BAD＝∠CAF，∴△BAD≌△CAF（AAS），∴BD＝CF，∴线段CF的长度无需测量即可得到；（2）由题意可得：（3）由题意画出函数y CF的图象；由图象可得：BD＝3.8cm或5.0cm或6.2cm时，△DCF为等腰三角形．（答案不唯一）。