2020年中考数学考点专题训练14尺规作图

第3讲尺规作图一级训练1．(2020年河北)如图6－3－11，点C在∠AOB的OB 边上，用尺规作出了CN∥OA，作图痕迹中，»FG是( )图6－3－11A．以点C为圆心，OD为半径的弧B．以点C为圆心，DM为半径的弧C．以点E为圆心，OD为半径的弧D．以点E为圆心，DM为半径的弧2．(2011年浙江绍兴)如图6－3－12，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于1AB的长为半径画弧，两弧相2交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD.若△ADC 的周长为10，AB＝7，则△ABC的周长为( )A．7 B．14 C．17 D．20图6－3－123．如图6－3－13，已知点M，N，作图：①连接点M，N；②分别以M，N为圆心、大于________的长为半径作弧，两弧相交于A，B两点；③作直线AB交MN于点C.C是________的________，AB是MN的________线．图6－3－134．如图6－3－14，已知线段AB和CD，求作一线段，使它的长度等于AB＋2CD.图6－3－145．A，B是平面上的两个定点，在平面上找一点C，使△ABC构成等腰直角三角形，且C为直角顶点．请问：这样的点有几个？在图中作出符合条件的点(要求尺规作图，保留痕迹，不写作法)．6．试把如图6－3－15所示的角四等分(不写作法)．图6－3－157．如图6－3－16，已知△ABC，画它的外接圆⊙O(要求：①保留作图痕迹；②写出作法)．图6－3－168．(2011年浙江杭州)四条线段a，b，c，d如图6－3－17，a∶b∶c∶d＝1∶2∶3∶4.(1)选择其中的三条线段为边作一个三角形(尺规作图，要求保留作图痕迹，不必写出作法)；(2)任取三条线段，求以它们为边能作出三角形的概率．图6－3－179．(2020年山东青岛)如图6－3－18，已知：线段a，c，∠α.求作：△AB C.使BC＝a，AB＝c，∠ABC＝∠α.图6－3－18二级训练10．如图6－3－19，△ABC是不等边三角形，DE＝BC，以D，E为两个顶点作位置不同的三角形，使所作三角形与△ABC全等，这样的三角形最多可以画出( )个．( )图6－3－19A．2 B．4 C．6 D．811．如图6－3－20，画一个等腰三角形ABC，使其底边BC＝a，高AD＝h.图6－3－2012．尺规作图：请在图6－3－21上作∠AOC，使其是已知∠AOB的32倍(要求：写出已知、求作，保留作图痕迹，在所作图中标上必要的字母，不写作法和结论)．已知：求作：图6－3－2113．(2020年山东德州)有公路l1同侧、l2异侧的两个城镇A，B，如图6－3－22.电信部门要修建一座信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条公路l1，l2的距离也必须相等，发射塔C应修建在什么位置？请用尺规作图找出所有符合条件的点，注明点C的位置(保留作图痕迹，不要求写出画法)．图6－3－22三级训练14．(2020年贵州铜仁)某市计划在新竣工的矩形广场的内部修建一个音乐喷泉，要求音乐喷泉M到广场的两个入口A，B的距离相等，且到广场管理处C的距离等于A和B之间距离的一半，A，B，C的位置如图6－3－23，请在原图上利用尺规作图作出音乐喷泉M的位置(要求：不写已知、求作、作法和结论，保留作图痕迹，必须用铅笔作图)．图6－3－2315．(2011年甘肃兰州)如图6－3－24，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点A，B，C.(1)请完成如下操作：①以点O为原点、竖直和水平方向所在的直线为坐标轴、网格边长为单位长，建立平面直角坐标系；②用直尺和圆规画出该圆弧所在圆的圆心D的位置(不用写作法，保留作图痕迹)，并连接AD，CD；(2)请在(1)的基础上，完成下列问题：①写出点的坐标：C__________，D__________；②⊙D的半径＝____________(结果保留根号)；③若扇形ADC是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面面积为________(结果保留π)；④若点E(7,0)，试判断直线EC与⊙D的位置关系，并说明你的理由．图6－3－24第3讲尺规作图【分层训练】1．D 2.C3.12MN MN中点垂直平分作图略4．略5．解：因为等腰直角三角形的直角顶点到另外两点距离相等，且∠C＝90°，故利用线段中垂线的性质和圆中直径所对的圆周角为直角作图．如图D35，故符合题意的点有2个．图D356．略提示：首先把∠O二等分，再把得到的两部分分别再二等分即可．7．略提示：分别作AB和BC的垂直平分线，设其交点为O，以O为圆心，OA为半径作圆，⊙O即为外接圆．8．解：(1)只能取b，c，d三条线段，作图略．(2)四条线段中任取三条共有四种等可性结果：(a，b，c)，(a，b，d)，(a，c，d)，(b，c，d)，其中能组成三角形的只有(b，c，d)，所以以它们为边能作出三角形的概率是1 4 .9．略10．B 解析：如图D36，图D36这样的三角形最多可以画出4个．故选B. 11．略12．解：已知：∠AOB.求作：∠AOC＝32∠AOB.作图如图D37.图D3713．解：作AB的垂直平分线及∠l1Ol2的平分线，两直线的交点即是所求．如图D38，C1，C2就是所求的位置．图D3814．解：如图D39.图D3915．解：(1)如图D40.图D40(2)①(6,2) (2,0) ②2 5 ③5 4π④相切．理由：∵CD＝2 5，CE＝5，DE＝5，∴CD2＋CE2＝25＝DE2.∴∠DCE＝90°，即CE⊥CD.∴CE与⊙D相切．。

2020年中考数学人教版专题复习：尺规作图基本作图1．最基本、最常用的尺规作图，通常称为基本作图．2．基本作图有五种：（1）作一条线段等于已知线段；（2）作一个角等于已知角；（3）作一个角的平分线；（4）作一条线段的垂直平分线；（5）过一点作已知直线的垂线．典例精析典例1如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以点A和B为圆心，以相同的长（大于AB）为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E，连接CD，下列结论错误的是A．AD=BD B．BD=CDC．∠A=∠BED D．∠ECD=∠EDC【答案】D【解析】∵MN为AB的垂直平分线，∴AD=BD，∠BDE=90°，∵∠ACB=90°，∴CD=BD，∵∠A+∠B=∠B+∠BED=90°，∴∠A=∠BED，∵∠A≠60°，AC≠AD，∴EC≠ED，∴∠ECD≠∠EDC．故选D．典例2如图，已知∠MAN，点B在射线AM上．（1）尺规作图：①在AN上取一点C，使BC=BA；②作∠MBC的平分线BD，（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）的条件下，求证：BD∥AN．1 2【解析】（1）①以B点为圆心，BA长为半径画弧交AN于C点；如图，点C即为所求作；②利用基本作图作BD平分∠MBC；如图，BD即为所求作；（2）先利用等腰三角形的性质得∠A=∠BCA，再利用角平分线的定义得到∠MBD=∠CBD，然后根据三角形外角性质可得∠MBD=∠A，最后利用平行线的判定得到结论．∵AB=AC，∴∠A=∠BCA，∵BD平分∠MBC，∴∠MBD=∠CBD，∵∠MBC=∠A+∠BCA，即∠MBD+∠CBD=∠A+∠BCA，∴∠MBD=∠A，∴BD∥AN．拓展1．根据下图中尺规作图的痕迹，可判断AD一定为三角形的A．角平分线B．中线C．高线D．都有可能2．（1）请你用尺规作图，作AD平分∠BAC，交BC于点D（要求：保留作图痕迹）；（2）∠ADC的度数．复杂作图利用五种基本作图作较复杂图形．典例精析典例2如图，在同一平面内四个点A，B，C，D．（1）利用尺规，按下面的要求作图．要求：不写画法，保留作图痕迹，不必写结论．①作射线AC；②连接AB，BC，BD，线段BD与射线AC相交于点O；③在线段AC上作一条线段CF，使CF=AC–BD．（2）观察（1）题得到的图形，我们发现线段AB+BC>AC，得出这个结论的依据是__________．【答案】见解析．【解析】（1）①如图所示，射线AC即为所求；②如图所示，线段AB，BC，BD即为所求；③如图所示，线段CF即为所求；（2）根据两点之间，线段最短，可得AB+BC>AC．故答案为：两点之间，线段最短．拓展3．作图题：学过用尺规作线段与角后，就可以用尺规画出一个与已知三角形一模一样的三角形来．比如给定一个△ABC，可以这样来画：先作一条与AB相等的线段A′B′，然后作∠B′A′C′=∠BAC，再作线段A′C′=AC，最后连接B′C′，这样△A′B′C′就和已知的△ABC一模一样了．请你根据上面的作法画一个与给定的三角形一模一样的三角形来．（请保留作图痕迹）同步测试1．根据已知条件作符合条件的三角形，在作图过程中主要依据是A．用尺规作一条线段等于已知线段B．用尺规作一个角等于已知角C．用尺规作一条线段等于已知线段和作一个角等于已知角D．不能确定2．下列作图属于尺规作图的是A．画线段MN=3 cmB．用量角器画出∠AOB的平分线C．用三角尺作过点A垂直于直线l的直线D．已知∠α，用没有刻度的直尺和圆规作∠AOB，使∠AOB=2∠α3．如图，已知钝角△ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹．步骤1：以C为圆心，CA为半径画弧①；步骤2：以B为圆心，BA为半径画弧②，交弧①于点D；步骤3：连接AD，交BC延长线于点H．下列叙述正确的是A ．BH 垂直平分线段ADB ．AC 平分∠BAD C ．S △ABC =BC ·AHD ．AB =AD4．如图，点C 在∠AOB 的OB 边上，用尺规作出了∠AOB =∠NCB ，作图痕迹中，弧FG 是A ．以点C为圆心，OD 为半径的弧 B ．以点C 为圆心，DM 为半径的弧 C ．以点E 为圆心，OD 为半径的弧 D ．以点E 为圆心，DM 为半径的弧5．如图，△ABC 中，∠C =90°，∠CAB =50°．按以下步骤作图：①以点A 为圆心，小于AC 长为半径画弧，分别交AB 、AC 于点E 、F ； ②分别以点E 、F 为圆心，大于EF 长为半径画弧，两弧相交于点G ； ③作射线AG 交BC 边于点D ． 则∠ADC 的度数为A ．65°B ．60°C ．55°D ．45°6．如图，△ABC 为等边三角形，要在△ABC 外部取一点D ，使得△ABC 和△DBC 全等，下面是两名同学做法： 甲：①作∠A 的角平分线l ；②以B 为圆心，BC 长为半径画弧，交l 于点D ，点D 即为所求；12乙：①过点B作平行于AC的直线l；②过点C作平行于AB的直线m，交l于点D，点D即为所求．A．两人都正确B．两人都错误C．甲正确，乙错误D．甲错误，乙正确交于两点M，N；②作直线MN交AC于点D，连接BD．若CD=BC，∠A=35°，则∠C=__________．8．如图，在△ABC中，AB=A C．以点C为圆心，以CB长为半径作圆弧，交AC的延长线于点D，连接BD．若∠A=32°，则∠CDB的大小为__________度．9．按要求用尺规作图（要求：不写作法，但要保留作图痕迹，并写出结论）已知：线段AB；求作：线段AB的垂直平分线MN．10．如图，已知△ABC，∠BAC=90°，（1）尺规作图：作∠ABC的平分线交AC于D点（保留作图痕迹，不写作法）（2）若∠C=30°，求证：DC=DB．。

中考数学专题练习尺规作图知识归纳一尺规作图1．定义只用没有刻度的和作图叫做尺规作图．2．步骤①根据给出的条件和求作的图形,写出已知和求作部分；②分析作图的方法和过程；③用直尺和圆规进行作图；④写出作法步骤,即作法．二五种基本作图1．作一条线段等于已知线段；2．作一个角等于已知角；3．作已知角的平分线；4．过一点作已知直线的垂线；5．作已知线段的垂直平分线．三基本作图的应用1．利用基本作图作三角形1已知三边作三角形；2已知两边及其夹角作三角形；3已知两角及其夹边作三角形；4已知底边及底边上的高作等腰三角形；5已知一直角边和斜边作直角三角形．2．与圆有关的尺规作图1过不在同一直线上的三点作圆即三角形的外接圆．2作三角形的内切圆．基础检测1．如图,在平面直角坐标系中,以O 为圆心,适当长为半径画弧,交x 轴于点M ,交y 轴于点N ,再分别以点M 、N 为圆心,大于MN 的长为半径画弧,两弧在第二象限交于点P ．若点P 的坐标为2a ,b +1,则a 与b 的数量关系为A ．a =bB ．2a +b =﹣1C ．2a ﹣b =1D ．2a +b =12.如图,已知△ABC ,以点B 为圆心,AC 长为半径画弧；以点C 为圆心,AB 长为半径画弧,两弧交于点D ,且点A ,点D 在BC 异侧,连结AD ,量一量线段AD 的长,约为A ．2.5cmB ．3.0cmC ．3.5cmD ．4.0cm3.如图,已知△ABC,∠BAC=90°,请用尺规过点A 作一条直线,使其将△ABC 分成两个相似的三角形保留作图痕迹,不写作法4.如图,在边长为1的正方形网格中,△ABC 的顶点均在格点上,点A 、B 的坐标分别是A4,3、B4,1,把△ABC 绕点C 逆时针旋转90°后得到△A 1B 1C ．1画出△A 1B 1C,直接写出点A 1、B 1的坐标；2求在旋转过程中,△ABC 所扫过的面积．5．如图,在边长为1个单位长度的小正方形组成的12×12网格中,给出了四边形ABCD 的两条边AB 与BC,且四边形ABCD 是一个轴对称图形,其对称轴为直线AC ．1试在图中标出点D,并画出该四边形的另两条边；2将四边形ABCD 向下平移5个单位,画出平移后得到的四边形A′B′C′D′．6．已知：线段a 及∠ACB．求作：⊙O,使⊙O 在∠ACB 的内部,CO=a,且⊙O 与∠ACB 的两边分别相切．7．如图,OA=2,以点A 为圆心,1为半径画⊙A 与OA 的延长线交于点C,过点A 画OA 的垂线,垂线与⊙A 的一个交点为B,连接BC1线段BC 的长等于 ； 2请在图中按下列要求逐一操作,并回答问题：①以点 为圆心,以线段的长为半径画弧,与射线BA 交于点D,使线段OD 的长等于A B C②连OD,在OD上画出点P,使OP得长等于,请写出画法,并说明理由．达标检测一、选择题1．如图,在△ABC中,∠B=55°,∠C=30°,分别以点A和点C为圆心,大于AC的长为半径画弧,两弧相交于点M,N,作直线MN,交BC于点D,连接AD,则∠BAD的度数为A．65° B．60° C．55° D．45°2.如图,已知钝角△ABC,依下列步骤尺规作图,并保留作图痕迹.步骤1：以C为圆心,CA为半径画弧错误!；步骤2：以B为圆心,BA为半径画弧错误!,将弧错误!于点D；步骤3：连接AD,交BC延长线于点H.下列叙述正确的是第10题图A．BH垂直分分线段AD B．AC平分∠BAD=BC·AH D．AB=ADC．S△ABC二、填空题3.如图,已知线段AB,分别以点A和点B为圆心,大于AB的长为半径作弧,两弧相交于C、D两点,作直线CD交AB于点E,在直线CD上任取一点F,连接FA,FB．若FA=5,则FB= ．4.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,以A为圆心,任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N,再分别以M、N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧交于点P,连结AP并延长交BC于点D,则下列说法中正确的是 ;①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABC=1：3．三、解答题5.12分图1是某公交公司1路车从起点站A站途经B站和C站,最终到达终点站D站的格点站路线图．8×8的格点图是由边长为1的小正方形组成1求1路车从A站到D站所走的路程精确到；2在图2、图3和图4的网格中各画出一种从A站到D站的路线图．要求：①与图1路线不同、路程相同；②途中必须经过两个格点站；③所画路线图不重复6.7分图1、图2是两张形状和大小完全相同的方格纸,方格纸中每个小正方形的边长均为1,线段AC 的两个端点均在小正方形的顶点上．1如图1,点P在小正方形的顶点上,在图1中作出点P关于直线AC的对称点Q,连接AQ、QC、CP、PA,并直接写出四边形AQCP的周长；2在图2中画出一个以线段AC为对角线、面积为6的矩形ABCD,且点B和点D均在小正方形的顶点上．7.如图,已知△ABC,∠BAC=90°,请用尺规过点A作一条直线,使其将△ABC分成两个相似的三角形保留作图痕迹,不写作法8.如图,已知BD是矩形ABCD的对角线．1用直尺和圆规作线段BD的垂直平分线,分别交AD、BC于E、F保留作图痕迹,不写作法和证明．2连结BE,DF,问四边形BEDF是什么四边形请说明理由．9.如图,方格中,每个小正方形的边长都是单位1,△ABC在平面直角坐标系中的位置如图．1画出将△ABC向右平移2个单位得到△A1B1C1；2画出将△ABC绕点O顺时针方向旋转90°得到的△A2B2C2；3求△A1B1C1与△A2B2C2重合部分的面积．知识归纳答案一尺规作图1．定义只用没有刻度的直尺和圆规作图叫做尺规作图．2．步骤①根据给出的条件和求作的图形,写出已知和求作部分；②分析作图的方法和过程；③用直尺和圆规进行作图；④写出作法步骤,即作法．二五种基本作图1．作一条线段等于已知线段；2．作一个角等于已知角；3．作已知角的平分线；4．过一点作已知直线的垂线；5．作已知线段的垂直平分线．三基本作图的应用1．利用基本作图作三角形1已知三边作三角形；2已知两边及其夹角作三角形；3已知两角及其夹边作三角形；4已知底边及底边上的高作等腰三角形；5已知一直角边和斜边作直角三角形．2．与圆有关的尺规作图1过不在同一直线上的三点作圆即三角形的外接圆．2作三角形的内切圆．基础检测答案1．如图,在平面直角坐标系中,以O 为圆心,适当长为半径画弧,交x 轴于点M ,交y 轴于点N ,再分别以点M 、N 为圆心,大于MN 的长为半径画弧,两弧在第二象限交于点P ．若点P 的坐标为2a ,b +1,则a 与b 的数量关系为A ．a =bB ．2a +b =﹣1C ．2a ﹣b =1D ．2a +b =1解析作图—基本作图；坐标与图形性质；角平分线的性质．根据作图过程可得P 在第二象限角平分线上,有角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得|2a |=|b +1|,再根据P 点所在象限可得横纵坐标的和为0,进而得到a 与b 的数量关系．解答解：根据作图方法可得点P 在第二象限角平分线上,则P 点横纵坐标的和为0,故2a +b +1=0,整理得：2a +b =﹣1,故选：B ．点评此题主要考查了每个象限内点的坐标特点,以及角平分线的性质,关键是掌握各象限角平分线上的点的坐标特点|横坐标|=|纵坐标|．2.如图,已知△ABC ,以点B 为圆心,AC 长为半径画弧；以点C 为圆心,AB 长为半径画弧,两弧交于点D ,且点A ,点D 在BC 异侧,连结AD ,量一量线段AD 的长,约为A ．2.5cmB ．3.0cmC ．3.5cmD ．4.0cm答案B解析首先根据题意画出图形,由“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”,可A B C知四边形ABCD是平行四边形,再根据平行四边形的性质对角线相等,得出AD＝BC．最后利用刻度尺进行测量即可．方法指导此题主要考查了复杂作图以及平行四边形的判定和性质,关键是正确理解题意,画出图形．3.如图,已知△ABC,∠BAC=90°,请用尺规过点A作一条直线,使其将△ABC分成两个相似的三角形保留作图痕迹,不写作法考点作图—相似变换．分析过点A作AD⊥BC于D,利用等角的余角相等可得到∠BAD=∠C,则可判断△ABD与△CAD相似．解答解：如图,AD为所作．4. 8分如图,在边长为1的正方形网格中,△ABC的顶点均在格点上,点A、B的坐标分别是A4,3、B4,1,把△ABC绕点C逆时针旋转90°后得到△A1B1C．1画出△A1B1C,直接写出点A1、B1的坐标；2求在旋转过程中,△ABC所扫过的面积．考点作图-旋转变换；扇形面积的计算．分析1根据旋转中心方向及角度找出点A、B的对应点A1、B1的位置,然后顺次连接即可,根据A、B的坐标建立坐标系,据此写出点A1、B1的坐标；2利用勾股定理求出AC的长,根据△ABC扫过的面积等于扇形CAA1的面积与△ABC的面积和,然后列式进行计算即可．解答解：1所求作△A1B1C如图所示：由A4,3、B4,1可建立如图所示坐标系,则点A1的坐标为﹣1,4,点B1的坐标为1,4；2∵AC===,∠ACA1=90°∴在旋转过程中,△ABC所扫过的面积为：S扇形CAA1+S△ABC=+×3×2=+3．5．8分如图,在边长为1个单位长度的小正方形组成的12×12网格中,给出了四边形ABCD的两条边AB与BC,且四边形ABCD是一个轴对称图形,其对称轴为直线AC．1试在图中标出点D,并画出该四边形的另两条边；2将四边形ABCD向下平移5个单位,画出平移后得到的四边形A′B′C′D′．考点作图-平移变换．分析1画出点B关于直线AC的对称点D即可解决问题．2将四边形ABCD各个点向下平移5个单位即可得到四边形A′B′C′D′．解答解：1点D以及四边形ABCD另两条边如图所示．2得到的四边形A′B′C′D′如图所示．6．2016.山东省青岛市,4分已知：线段a及∠ACB．求作：⊙O,使⊙O在∠ACB的内部,CO=a,且⊙O与∠ACB的两边分别相切．考点作图—复杂作图．分析首先作出∠ACB的平分线CD,再截取CO=a得出圆心O,作OE⊥CA,由角平分线的性质和切线的判定作出圆即可．解答解：①作∠ACB的平分线CD,②在CD上截取CO=a,③作OE⊥CA于E,以O我圆心,OE长为半径作圆；如图所示：⊙O即为所求．7．如图,OA=2,以点A为圆心,1为半径画⊙A与OA的延长线交于点C,过点A画OA的垂线,垂线与⊙A 的一个交点为B,连接BC1线段BC的长等于；2请在图中按下列要求逐一操作,并回答问题：①以点 A 为圆心,以线段BC 的长为半径画弧,与射线BA交于点D,使线段OD的长等于②连OD,在OD上画出点P,使OP得长等于,请写出画法,并说明理由．考点作图—复杂作图．分析1由圆的半径为1,可得出AB=AC=1,结合勾股定理即可得出结论；2①结合勾股定理求出AD的长度,从而找出点D的位置,根据画图的步骤,完成图形即可；②根据线段的三等分点的画法,结合OA=2AC,即可得出结论．解答解：1在Rt△BAC中,AB=AC=1,∠BAC=90°,∴BC==．故答案为：．2①在Rt△OAD中,OA=2,OD=,∠OAD=90°,∴AD===BC．∴以点A为圆心,以线段BC的长为半径画弧,与射线BA交于点D,使线段OD的长等于．依此画出图形,如图1所示．故答案为：A；BC．②∵OD=,OP=,OC=OA+AC=3,OA=2,∴．故作法如下：连接CD,过点A作AP∥CD交OD于点P,P点即是所要找的点．依此画出图形,如图2所示．达标检测答案一、选择题1．如图,在△ABC中,∠B=55°,∠C=30°,分别以点A和点C为圆心,大于AC的长为半径画弧,两弧相交于点M,N,作直线MN,交BC于点D,连接AD,则∠BAD的度数为A．65° B．60° C．55° D．45°考点线段垂直平分线的性质．分析根据线段垂直平分线的性质得到AD=DC,根据等腰三角形的性质得到∠C=∠DAC,求得∠DAC=30°,根据三角形的内角和得到∠BAC=95°,即可得到结论．解答解：由题意可得：MN是AC的垂直平分线,则AD=DC,故∠C=∠DAC,∵∠C=30°,∴∠DAC=30°,∵∠B=55°,∴∠BAC=95°,∴∠BAD=∠BAC﹣∠CAD=65°,故选A．点评此题主要考查了线段垂直平分线的性质,三角形的内角和,正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．2.如图,已知钝角△ABC,依下列步骤尺规作图,并保留作图痕迹.步骤1：以C为圆心,CA为半径画弧错误!；步骤2：以B为圆心,BA为半径画弧错误!,将弧错误!于点D；步骤3：连接AD,交BC延长线于点H.下列叙述正确的是第10题图A．BH垂直分分线段AD B．AC平分∠BAD=BC·AH D．AB=ADC．S△ABC答案：A解析：AD相当于一个弦,BH、CH⊥AD；B、D两项不一定；C项面积应除以2;知识点：尺规作图二、填空题3.如图,已知线段AB,分别以点A和点B为圆心,大于AB的长为半径作弧,两弧相交于C、D两点,作直线CD交AB于点E,在直线CD上任取一点F,连接FA,FB．若FA=5,则FB= 5 ．考点作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．分析根据线段垂直平分线的作法可知直线CD是线段AB的垂直平分线,利用线段垂直平分线性质即可解决问题．解答解：由题意直线CD是线段AB的垂直平分线,∵点F在直线CD上,∴FA=FB,∵FA=5,∴FB=5．故答案为5．4.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,以A为圆心,任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N,再分别以M、N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧交于点P,连结AP并延长交BC于点D,则下列说法中正确的是 ;①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABC=1：3．解析①根据作图的过程可以判定AD是∠BAC的角平分线；②利用角平分线的定义可以推知∠CAD=30°,则由直角三角形的性质来求∠ADC的度数；③利用等角对等边可以证得△ADB的等腰三角形,由等腰三角形的“三合一”的性质可以证明点D在AB的中垂线上；④利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来求两个三角形的面积之比．解答解：①根据作图的过程可知,AD是∠BAC的平分线．故①正确；②如图,∵在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,∴∠CAB=60°．又∵AD是∠BAC的平分线,∴∠1=∠2=∠CAB=30°,∴∠3=90°﹣∠2=60°,即∠ADC=60°．故②正确；③∵∠1=∠B=30°,∴AD=BD,∴点D在AB的中垂线上．故③正确；④∵如图,在直角△ACD中,∠2=30°,∴CD=AD,∴BC=CD+BD=AD+AD=AD,S△DAC=ACCD=ACAD．∴S△ABC=ACBC=ACAD=ACAD,∴S△DAC：S△ABC=ACAD： ACAD=1：3．故④正确．综上所述,正确的结论是：①②③④．点评本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及作图﹣基本作图．解题时,需要熟悉等腰三角形的判定与性质．三、解答题5.12分图1是某公交公司1路车从起点站A站途经B站和C站,最终到达终点站D站的格点站路线图．8×8的格点图是由边长为1的小正方形组成1求1路车从A站到D站所走的路程精确到；2在图2、图3和图4的网格中各画出一种从A站到D站的路线图．要求：①与图1路线不同、路程相同；②途中必须经过两个格点站；③所画路线图不重复考点作图—应用与设计作图；勾股定理的应用．分析1先根据网格求得AB、BC、CD三条线段的长,再相加求得所走的路程的近似值；2根据轴对称、平移或中心对称等图形的变换进行作图即可．解答解：1根据图1可得：,,CD=3∴A站到B站的路程=≈；2从A站到D站的路线图如下：6.7分图1、图2是两张形状和大小完全相同的方格纸,方格纸中每个小正方形的边长均为1,线段AC 的两个端点均在小正方形的顶点上．1如图1,点P在小正方形的顶点上,在图1中作出点P关于直线AC的对称点Q,连接AQ、QC、CP、PA,并直接写出四边形AQCP的周长；2在图2中画出一个以线段AC为对角线、面积为6的矩形ABCD,且点B和点D均在小正方形的顶点上．考点作图-轴对称变换．分析1直接利用网格结合勾股定理得出符合题意的答案；2直接利用网格结合矩形的性质以及勾股定理得出答案．解答解：1如图1所示：四边形AQCP即为所求,它的周长为：4×=4；2如图2所示：四边形ABCD即为所求．7.如图,已知△ABC,∠BAC=90°,请用尺规过点A作一条直线,使其将△ABC分成两个相似的三角形保留作图痕迹,不写作法考点作图—相似变换．分析过点A作AD⊥BC于D,利用等角的余角相等可得到∠BAD=∠C,则可判断△ABD与△CAD相似．解答解：如图,AD为所作．8.如图,已知BD是矩形ABCD的对角线．1用直尺和圆规作线段BD的垂直平分线,分别交AD、BC于E、F保留作图痕迹,不写作法和证明．2连结BE,DF,问四边形BEDF是什么四边形请说明理由．考点矩形的性质；作图—基本作图．分析1分别以B、D为圆心,比BD的一半长为半径画弧,交于两点,确定出垂直平分线即可；2连接BE,DF,四边形BEDF为菱形,理由为：由EF垂直平分BD,得到BE=DE,∠DEF=∠BEF,再由AD与BC平行,得到一对内错角相等,等量代换及等角对等边得到BE=BF,再由BF=DF,等量代换得到四条边相等,即可得证．解答解：1如图所示,EF为所求直线；2四边形BEDF为菱形,理由为：证明：∵EF垂直平分BD,∴BE=DE,∠DEF=∠BEF,∵AD∥BC,∴∠DEF=∠BFE,∴∠BEF=∠BFE,∴BE=BF,∵BF=DF,∴BE=ED=DF=BF,∴四边形BEDF为菱形．9．如图,方格中,每个小正方形的边长都是单位1,△ABC在平面直角坐标系中的位置如图．1画出将△ABC向右平移2个单位得到△A1B1C1；2画出将△ABC绕点O顺时针方向旋转90°得到的△A2B2C2；3求△A1B1C1与△A2B2C2重合部分的面积．考点作图-旋转变换；作图-平移变换．分析1将△ABC向右平移2个单位即可得到△A1B1C1．2将△ABC绕点O顺时针方向旋转90°即可得到的△A2B2C2．3B2C2与A1B1相交于点E,B2A2与A1B1相交于点F,如图,求出直线A1B1,B2C2,A2B2,列出方程组求出点E、F 坐标即可解决问题．解答解：1如图,△A1B1C1为所作；2如图,△A2B2C2为所作；3B2C2与A1B1相交于点E,B2A2与A1B1相交于点F,如图,∵B20,1,C22,3,B11,0,A12,5,A25,0,∴直线A1B1为y=5x﹣5,直线B2C2为y=x+1,直线A2B2为y=﹣x+1,由解得,∴点E,,由解得,∴点F,．∴S△BEF=1509676．∴△A1B1C1与△A2B2C2重合部分的面积为．。

初三数学专题复习尺规作图【基础训练】1．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，以B为圆心，BC的长为半径圆弧，交AC于点D，连接BD，则∠ABD＝．2．如图，在▱ABCD中，CD＝8，BC＝10，按以下步骤作图：①以点C为圆心，适当长度为半径作弧，分别交BC，CD于M，N两点；②分别以点M，N为圆心，以大于MN的长为半径画弧，两弧在▱ABCD的内部交于点P；③连接CP并延长交AD于点E，交BA的延长线于点F，则AF的长为．3．如图，△ABC中，AB＝5，AC＝4，以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB、AC于D 和E，再分别以点D、E为圆心，大于二分之一DE为半径作弧，两弧交于点F，连接AF并延长交BC于点G，GH⊥AC于H，GH＝2，则△ABG的面积为．4．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，点A的坐标为（0，），分别以A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧交于点E，F，直线EF恰好经过点D，则点D的坐标为．5．已知⊙O1，⊙O2，⊙O3是等圆，△ABP内接于⊙O1，点C，E分别在⊙O2，⊙O3上．如图，①以C为圆心，AP长为半径作弧交⊙O2于点D，连接CD；②以E为圆心，BP长为半径作弧交⊙O3于点F，连接EF；下面有四个结论：①CD+EF＝AB ②③∠CO2D+∠EO3F＝∠AO1B④∠CDO2+∠EFO3＝∠P 所有正确结论的序号是．6．下面是小明设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．已知：如图1，直线BC及直线BC外一点P．求作：直线PE，使得PE∥BC．作法：如图2．①在直线BC上取一点A，连接P A；②作∠P AC的平分线AD；③以点P为圆心，P A长为半径画弧，交射线AD于点E；④作直线PE．所以直线PE就是所求作的直线．根据小明设计的尺规作图过程．（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：∵AD平分∠P AC，∴∠P AD＝∠CAD．∵P A＝PE，∴∠P AD＝，∴∠PEA＝，∴PE∥BC．（）（填推理依据）．【典型例题】例1．已知：如图，四边形ABCD是平行四边形．（1）用直尺和圆规在BC、AD上分别求作点E，F使AECF为菱形（不要求写作法，保留作图痕迹）；（2）求证：AECF为菱形．例2．如图，∠MAN＝90°，B，C分别为射线AM，AN上的两个动点，将线段AC绕点A逆时针旋转30°到AD，连接BD交AC于点E．（1）当∠ACB＝30°时，依题意补全图形，并直接写出的值；（2）写出一个∠ACB的度数，使得，并证明．例3．已知，如图，△ABC中，∠C＝90°，E为BC边中点．（1）尺规作图：以AC为直径，作⊙O，交AB于点D（保留作图痕迹，不需写作法）．（2）连结DE，求证：DE为⊙O的切线；（3）若AC＝5，DE＝，求BD的长．【巩固练习】1．如图，已知∠MON及其边上一点A．以点A为圆心，AO长为半径画弧，分别交OM，ON于点B和C．再以点C为圆心，AC长为半径画弧，恰好经过点B．错误的结论是（）A．S△AOC＝S△ABC B．∠OCB＝90°C．∠MON＝30°D．OC＝2BC2．已知直线l及直线l外一点P．如图，（1）在直线l上取一点A，连接PA；（2）作PA的垂直平分线MN，分别交直线l，PA于点B，O；（3）以O为圆心，OB长为半径画弧，交直线MN于另一点Q；（4）作直线PQ．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）A．△OPQ≌△OAB B．PQ∥AB C．AP＝BQ D．若PQ＝PA，则∠APQ＝60°3．数学课上，老师提出如下问题：△ABC是⊙O的内接三角形，OD⊥BC于点D．请借助直尺，画出△ABC中∠BAC的平分线．晓龙同学的画图步骤如下：（1）延长OD交于点M；（2）连接AM交BC于点N．所以线段AN为所求△ABC中∠BAC的平分线．请回答：晓龙同学画图的依据是．4．已知锐角∠AOB，如图，（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作，交射线OB于点D，连接CD；（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交于点M，N；（3）连接OM，MN，ON．根据以上作图过程及所作图形，若∠AOB＝20°，则∠OMN＝．5．如图，在菱形ABCD中，按以下步骤作图：①分别以点A和B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点E、F；②作直线EF交BC于点G，连接AG；若AG⊥BC，CG＝3，则AD的长为．6．如图是一块直角三角形木板，其中∠C＝90°，AC＝1.5m，面积为1.5m2．一位木匠想把它加工成一个面积最大且无拼接的正方形桌面，∠C是这个正方形的一个内角．（1）请你用尺规为这位木匠在图中作出符合要求的正方形；（2）求加工出的这个正方形的边长．7．请仅用无刻度的直尺在下列图1和图2中按要求画菱形．（1）图1是矩形ABCD，E，F分别是AB和AD的中点，以EF为边画一个菱形；（2）图2是正方形ABCD，E是对角线BD上任意一点（BE＞DE），以AE为边画一个菱形．8．如图，AB为半圆O的直径，C为半圆上一点，AC＜BC．（1）请用直尺（不含刻度）与圆规在BC上作一点D，使得直线OD平分ABC的周长；（不要求写作法，但要保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，若AB＝10，OD＝，求△ABC的面积．9．如图，B是⊙O的半径OA上的一点（不与端点重合），过点B作OA的垂线交⊙O于点C，D，连接OD．E是⊙O上一点，，过点C作⊙O的切线l，连接OE并延长交直线l于点F．（1）①依题意补全图形；②求证：∠OFC＝∠ODC；（2）连接FB，若B是OA的中点，⊙O的半径是4，求FB的长．10．已知⊙O及⊙O外一点P．（1）方法证明：如何用直尺和圆规过点P作⊙O的一条切线呢？小明设计了如图①所示的方法：①连接OP，以OP为直径作⊙O′；②⊙O′与⊙O相交于点A，作直线P A．则直线P A即为所作的过点P的⊙O的一条切线．请证明小明作图方法的正确性．（2）方法迁移：如图②，已知线段l，过点P作一条直线与⊙O相交，且该直线被⊙O所截得的弦长等于l．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）。

中考一轮复习：尺规作图专项练习题1．请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．已知：∠α，直线l及l上两点A，B．求作：Rt△ABC，使点C在直线l的上方，且∠ABC＝90°，∠BAC＝∠α．2．如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点．（1）请用尺规作图法，在△ABC内，求作∠ADE，使∠ADE＝∠B，DE交AC于E；（不要求写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，若＝2，求的值．3．已知：AC是▱ABCD的对角线．（1）用直尺和圆规作出线段AC的垂直平分线，与AD相交于点E，连接CE．（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的条件下，若AB＝3，BC＝5，求△DCE的周长．4．如图，已知等腰△ABC顶角∠A＝36°．（1）在AC上作一点D，使AD＝BD（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明，最后用黑色墨水笔加墨）；（2）求证：△BCD是等腰三角形．5．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上．（1）尺规作图：作∠BAC的平分线，与⊙O交于点D；连接OD，交BC于点E（不写作法，只保留作图痕迹，且用黑色墨水笔将作图痕迹加黑）；（2）探究OE与AC的位置及数量关系，并证明你的结论．6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝3．（1）尺规作图：不写作法，保留作图痕迹．①作∠ACB的平分线，交斜边AB于点D；②过点D作BC的垂线，垂足为点E．（2）在（1）作出的图形中，求DE的长．7．在5×3的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上．（1）在图1中画出线段BD，使BD∥AC，其中D是格点；（2）在图2中画出线段BE，使BE⊥AC，其中E是格点．8．【阅读理解】用10cm×20cm的矩形瓷砖，可拼得一些长度不同但宽度均为20cm的图案．已知长度为10cm、20cm、30cm的所有图案如下：【尝试操作】如图，将小方格的边长看作10cm，请在方格纸中画出长度为40cm的所有图案．【归纳发现】观察以上结果，探究图案个数与图案长度之间的关系，将下表补充完整．图案的长度10cm20cm30cm40cm50cm60cm 所有不同图案的个数1239．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高．请用尺规作图法，求作△ABC的外接圆．（保留作图痕迹，不写作法）10．已知：∠AOB．求作：∠A′O′B′，使得∠A′O′B′＝∠AOB．作法：①以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；②画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；③以点C′为圆心，CD长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点D′；④过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB．根据上面的作法，完成以下问题：（1）使用直尺和圆规，作出∠A′O′B′（请保留作图痕迹）．（2）完成下面证明∠A′O′B′＝∠AOB的过程（注：括号里填写推理的依据）．证明：由作法可知O′C′＝OC，O′D′＝OD，D′C′＝，∴△C′O′D′≌△COD（）∴∠A′O′B′＝∠AOB．（）11．如图，点M和点N在∠AOB内部．（1）请你作出点P，使点P到点M和点N的距离相等，且到∠AOB两边的距离也相等（保留作图痕迹，不写作法）；（2）请说明作图理由．12．按要求解答下列各题：（1）如图①，求作一点P，使点P到∠ABC的两边的距离相等，且在△ABC的边AC 上．（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）；（2）如图②，B、C表示两个港口，港口C在港口B的正东方向上．海上有一小岛A在港口B的北偏东60°方向上，且在港口C的北偏西45°方向上．测得AB＝40海里，求小岛A与港口C之间的距离．（结果可保留根号）13．尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法）：如图，已知△ABC，请根据“SAS”基本事实作出△DEF，使△DEF≌△ABC．14．如图，⊙O的直径AB＝10，弦AC＝8，连接BC．（1）尺规作图：作弦CD，使CD＝BC（点D不与B重合），连接AD；（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）所作的图中，求四边形ABCD的周长．15．如图，四边形ABCD是矩形．（1）用尺规作线段AC的垂直平分线，交AB于点E，交CD于点F（不写作法，保留作图痕迹）；（2）若BC＝4，∠BAC＝30°，求BE的长．16．已知：在△ABC中，AB＝AC．（1）求作：△ABC的外接圆．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）若△ABC的外接圆的圆心O到BC边的距离为4，BC＝6，则S⊙O＝．17．如图，AD是△ABC的角平分线．（1）作线段AD的垂直平分线EF，分别交AB、AC于点E、F；（用直尺和圆规作图，标明字母，保留作图痕迹，不写作法．）（2）连接DE、DF，四边形AEDF是形．（直接写出答案）18．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝8．（1）用直尺和圆规作AB的垂直平分线；（保留作图痕迹，不要求写作法）（2）若（1）中所作的垂直平分线交BC于点D，求BD的长．19．尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法）．如图，已知∠α和线段a，求作△ABC，使∠A＝∠α，∠C＝90°，AB＝a．20．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E为AB的中点，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）．（1）在图1中，画出△ABD的BD边上的中线；（2）在图2中，若BA＝BD，画出△ABD的AD边上的高．21．已知：如图，∠ABC，射线BC上一点D．求作：等腰△PBD，使线段BD为等腰△PBD的底边，点P在∠ABC内部，且点P到∠ABC两边的距离相等．22．图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C、D、E、F均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法．（1）在图①中以线段AB为边画一个△ABM，使其面积为6．（2）在图②中以线段CD为边画一个△CDN，使其面积为6．（3）在图③中以线段EF为边画一个四边形EFGH，使其面积为9，且∠EFG＝90°．23．图①，图②均为4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．在图①中已画出线段AB，在图②中已画出线段CD，其中A、B、C、D均为格点，按下列要求画图：（1）在图①中，以AB为对角线画一个菱形AEBF，且E，F为格点；（2）在图②中，以CD为对角线画一个对边不相等的四边形CGDH，且G，H为格点，∠CGD＝∠CHD＝90°．24．在6×6的方格纸中，点A，B，C都在格点上，按要求画图：（1）在图1中找一个格点D，使以点A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形．（2）在图2中仅用无刻度的直尺，把线段AB三等分（保留画图痕迹，不写画法）．25．如图，在7×5的方格纸ABCD中，请按要求画图，且所画格点三角形与格点四边形的顶点均不与点A，B，C，D重合．（1）在图1中画一个格点△EFG，使点E，F，G分别落在边AB，BC，CD上，且∠EFG ＝90°．（2）在图2中画一个格点四边形MNPQ，使点M，N，P，Q分别落在边AB，BC，CD，DA上，且MP＝NQ．中考一轮复习：尺规作图专项练习题参考答案与试题解析1．请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．已知：∠α，直线l及l上两点A，B．求作：Rt△ABC，使点C在直线l的上方，且∠ABC＝90°，∠BAC＝∠α．【分析】先作∠DAB＝α，再过B点作BE⊥AB，则AD与BE的交点为C点．【解答】解：如图，△ABC为所作．2．如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点．（1）请用尺规作图法，在△ABC内，求作∠ADE，使∠ADE＝∠B，DE交AC于E；（不要求写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，若＝2，求的值．【分析】（1）利用基本作图（作一个角等于已知角）作出∠ADE＝∠B；（2）先利用作法得到∠ADE＝∠B，则可判断DE∥BC，然后根据平行线分线段成比例定理求解．【解答】解：（1）如图，∠ADE为所作；（2）∵∠ADE＝∠B∴DE∥BC，∴＝＝2．3．已知：AC是▱ABCD的对角线．（1）用直尺和圆规作出线段AC的垂直平分线，与AD相交于点E，连接CE．（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的条件下，若AB＝3，BC＝5，求△DCE的周长．【分析】（1）利用基本作图作AC的垂直平分线得到E点；（2）利用平行四边形的性质得到AD＝BC＝5，CD＝AB＝3，再根据线段垂直平分线上的性质得到EA＝EC，然后利用等线段代换计算△DCE的周长．【解答】解：（1）如图，CE为所作；（2）∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD＝BC＝5，CD＝AB＝3，∵点E在线段AC的垂直平分线上，∴EA＝EC，∴△DCE的周长＝CE+DE+CD＝EA+DE+CD＝AD+CD＝5+3＝8．4．如图，已知等腰△ABC顶角∠A＝36°．（1）在AC上作一点D，使AD＝BD（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明，最后用黑色墨水笔加墨）；（2）求证：△BCD是等腰三角形．【分析】（1）作AB的垂直平分线交AC于D；（2）利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠ABC＝∠C＝72°，再利用DA＝DB得到∠ABD＝∠A＝36°，所以∠BDC＝72°，从而可判断△BCD是等腰三角形．【解答】（1）解：如图，点D为所作；（2）证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣36°）＝72°，∵DA＝DB，∴∠ABD＝∠A＝36°，∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝36°+36°＝72°，∴∠BDC＝∠C，∴△BCD是等腰三角形．5．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上．（1）尺规作图：作∠BAC的平分线，与⊙O交于点D；连接OD，交BC于点E（不写作法，只保留作图痕迹，且用黑色墨水笔将作图痕迹加黑）；（2）探究OE与AC的位置及数量关系，并证明你的结论．【分析】（1）利用基本作图作AD平分∠BAC，然后连接OD得到点E；（2）由AD平分∠BAC得到∠BAD＝∠BAC，由圆周角定理得到∠BAD＝∠BOD，则∠BOD＝∠BAC，再证明OE为△ABC的中位线，从而得到OE∥AC，OE＝AC．【解答】解：（1）如图所示；（2）OE∥AC，OE＝AC．理由如下：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠BAC，∵∠BAD＝∠BOD，∴∠BOD＝∠BAC，∴OE∥AC，∵OA＝OB，∴OE为△ABC的中位线，∴OE∥AC，OE＝AC．6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝3．（1）尺规作图：不写作法，保留作图痕迹．①作∠ACB的平分线，交斜边AB于点D；②过点D作BC的垂线，垂足为点E．（2）在（1）作出的图形中，求DE的长．【分析】（1）利用基本作图，先画出CD平分∠ACB，然后作DE⊥BC于E；（2）利用CD平分∠ACB得到∠BCD＝45°，再判断△CDE为等腰直角三角形，所以DE＝CE，然后证明△BDE∽△BAC，从而利用相似比计算出DE．【解答】解：（1）如图，DE为所作；（2）∵CD平分∠ACB，∴∠BCD＝∠ACB＝45°，∵DE⊥BC，∴△CDE为等腰直角三角形，∴DE＝CE，∵DE∥AC，∴△BDE∽△BAC，∴＝，即＝，∴DE＝．7．在5×3的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上．（1）在图1中画出线段BD，使BD∥AC，其中D是格点；（2）在图2中画出线段BE，使BE⊥AC，其中E是格点．【分析】（1）将线段AC沿着AB方向平移2个单位，即可得到线段BD；（2）利用2×3的长方形的对角线，即可得到线段BE⊥AC．【解答】解：（1）如图所示，线段BD即为所求；（2）如图所示，线段BE即为所求．8．【阅读理解】用10cm×20cm的矩形瓷砖，可拼得一些长度不同但宽度均为20cm的图案．已知长度为10cm、20cm、30cm的所有图案如下：【尝试操作】如图，将小方格的边长看作10cm，请在方格纸中画出长度为40cm的所有图案．【归纳发现】观察以上结果，探究图案个数与图案长度之间的关系，将下表补充完整．图案的长度10cm20cm30cm40cm50cm60cm 所有不同图案的个数1235813【分析】根据已知条件作图可知40cm时，所有图案个数5个；猜想得到结论；【解答】解：如图根据作图可知40cm时，所有图案个数5个50cm时，所有图案个数8个；60cm时，所有图案个数13个；故答案为5，8，13；9．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高．请用尺规作图法，求作△ABC的外接圆．（保留作图痕迹，不写作法）【分析】作线段AB的垂直平分线，交AD于点O，以O为圆心，OB为半径作⊙O，⊙O 即为所求．【解答】解：如图所示：⊙O即为所求．10．已知：∠AOB．求作：∠A′O′B′，使得∠A′O′B′＝∠AOB．作法：①以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；②画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；③以点C′为圆心，CD长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点D′；④过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB．根据上面的作法，完成以下问题：（1）使用直尺和圆规，作出∠A′O′B′（请保留作图痕迹）．（2）完成下面证明∠A′O′B′＝∠AOB的过程（注：括号里填写推理的依据）．证明：由作法可知O′C′＝OC，O′D′＝OD，D′C′＝DC，∴△C′O′D′≌△COD（SSS）∴∠A′O′B′＝∠AOB．（全等三角形的对应角相等）【分析】（1）根据题意作出图形即可；（2）根据全等三角形的判定和性质即可得到结论．【解答】解：（1）如图所示，∠A′O′B′即为所求；（2）证明：由作法可知O′C′＝OC，O′D′＝OD，D′C′＝DC，∴△C′O′D′≌△COD（SSS）∴∠A′O′B′＝∠AOB．（全等三角形的对应角相等）故答案为：DC，SSS，全等三角形的对应角相等．11．如图，点M和点N在∠AOB内部．（1）请你作出点P，使点P到点M和点N的距离相等，且到∠AOB两边的距离也相等（保留作图痕迹，不写作法）；（2）请说明作图理由．【分析】（1）根据角平分线的作法、线段垂直平分线的作法作图；（2）根据角平分线的性质、线段垂直平分线的性质解答．【解答】解：（1）如图，点P到点M和点N的距离相等，且到∠AOB两边的距离也相等；（2）理由：角的平分线上的点到角的两边的距离相等、垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．12．按要求解答下列各题：（1）如图①，求作一点P，使点P到∠ABC的两边的距离相等，且在△ABC的边AC 上．（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）；（2）如图②，B、C表示两个港口，港口C在港口B的正东方向上．海上有一小岛A在港口B的北偏东60°方向上，且在港口C的北偏西45°方向上．测得AB＝40海里，求小岛A与港口C之间的距离．（结果可保留根号）【分析】（1）利用尺规作∠BAC的角平分线交AC于点P，点P即为所求．（2）作AD⊥BC于D．解直角三角形求出AD，再利用等腰直角三角形的性质即可解决问题．【解答】解：（1）如图，点P即为所求．（2）作AD⊥BC于D．在Rt△ABD中，∵AB＝40海里，∠ABD＝30°，∴AD＝AB＝20（海里），∵∠ACD＝45°，∴AC＝AD＝20（海里）．答：小岛A与港口C之间的距离为20海里．13．尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法）：如图，已知△ABC，请根据“SAS”基本事实作出△DEF，使△DEF≌△ABC．【分析】先作一个∠D＝∠A，然后在∠D的两边分别截取ED＝BA，DF＝AC，连接EF 即可得到△DEF；【解答】解：如图，△DEF即为所求．14．如图，⊙O的直径AB＝10，弦AC＝8，连接BC．（1）尺规作图：作弦CD，使CD＝BC（点D不与B重合），连接AD；（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）所作的图中，求四边形ABCD的周长．【分析】（1）以C为圆心，CB为半径画弧，交⊙O于D，线段CD即为所求．（2）连接BD，OC交于点E，设OE＝x，构建方程求出x即可解决问题．【解答】解：（1）如图，线段CD即为所求．（2）连接BD，OC交于点E，设OE＝x．∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴BC＝＝＝6，∵BC＝CD，∴＝，∴OC⊥BD于E．∴BE＝DE，∵BE2＝BC2﹣EC2＝OB2﹣OE2，∴62﹣（5﹣x）2＝52﹣x2，解得x＝，∵BE＝DE，BO＝OA，∴AD＝2OE＝，∴四边形ABCD的周长＝6+6+10+＝．15．如图，四边形ABCD是矩形．（1）用尺规作线段AC的垂直平分线，交AB于点E，交CD于点F（不写作法，保留作图痕迹）；（2）若BC＝4，∠BAC＝30°，求BE的长．【分析】（1）根据线段的垂直平分线的作图解答即可；（2）利用含30°的直角三角形的性质解答即可．【解答】解：（1）如图所示：（2）∵四边形ABCD是矩形，EF是线段AC的垂直平分线，∴AE＝EC，∠CAB＝∠ACE＝30°，∴∠ACB＝60°，∴∠ECB＝30°，∵BC＝4，∴BE＝．16．已知：在△ABC中，AB＝AC．（1）求作：△ABC的外接圆．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）若△ABC的外接圆的圆心O到BC边的距离为4，BC＝6，则S⊙O＝25π．【分析】（1）作线段AB，BC的垂直平分线，两线交于点O，以O为圆心，OB为半径作⊙O，⊙O即为所求．（2）在Rt△OBE中，利用勾股定理求出OB即可解决问题．【解答】解：（1）如图⊙O即为所求．（2）设线段BC的垂直平分线交BC于点E．由题意OE＝4，BE＝EC＝3，在Rt△OBE中，OB＝＝5，∴S圆O＝π•52＝25π．故答案为25π．17．如图，AD是△ABC的角平分线．（1）作线段AD的垂直平分线EF，分别交AB、AC于点E、F；（用直尺和圆规作图，标明字母，保留作图痕迹，不写作法．）（2）连接DE、DF，四边形AEDF是菱形．（直接写出答案）【分析】（1）利用尺规作线段AD的垂直平分线即可．（2）根据四边相等的四边形是菱形即可证明．【解答】解：（1）如图，直线EF即为所求．（2）∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∵∠AOE＝∠AOF＝90°，AO＝AO，∴△AOE≌△AOF（ASA），∴AE＝AF，∵EF垂直平分线段AD，∴EA＝ED，F A＝FD，∴EA＝ED＝DF＝AF，∴四边形AEDF是菱形．故答案为菱．18．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝8．（1）用直尺和圆规作AB的垂直平分线；（保留作图痕迹，不要求写作法）（2）若（1）中所作的垂直平分线交BC于点D，求BD的长．【分析】（1）分别以A，B为圆心，大于AB为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线MN即可．（2）设AD＝BD＝x，在Rt△ACD中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．【解答】解：（1）如图直线MN即为所求．（2）∵MN垂直平分线段AB，∴DA＝DB，设DA＝DB＝x，在Rt△ACD中，∵AD2＝AC2+CD2，∴x2＝42+（8﹣x）2，解得x＝5，∴BD＝5．19．尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法）．如图，已知∠α和线段a，求作△ABC，使∠A＝∠α，∠C＝90°，AB＝a．【分析】根据作一个角等于已知角，线段截取以及垂线的尺规作法即可求出答案．【解答】解：如图所示，△ABC为所求作20．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E为AB的中点，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）．（1）在图1中，画出△ABD的BD边上的中线；（2）在图2中，若BA＝BD，画出△ABD的AD边上的高．【分析】（1）连接EC，利用平行四边形的判定和性质解答即可；（2）连接EC，ED，F A，利用三角形重心的性质解答即可．【解答】解：（1）如图1所示，AF即为所求：（2）如图2所示，BH即为所求．21．已知：如图，∠ABC，射线BC上一点D．求作：等腰△PBD，使线段BD为等腰△PBD的底边，点P在∠ABC内部，且点P到∠ABC两边的距离相等．【分析】根据角平分线的性质、线段的垂直平分线的性质即可解决问题．【解答】解：∵点P到∠ABC两边的距离相等，∴点P在∠ABC的平分线上；∵线段BD为等腰△PBD的底边，∴PB＝PD，∴点P在线段BD的垂直平分线上，∴点P是∠ABC的平分线与线段BD的垂直平分线的交点，如图所示：22．图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C、D、E、F均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法．（1）在图①中以线段AB为边画一个△ABM，使其面积为6．（2）在图②中以线段CD为边画一个△CDN，使其面积为6．（3）在图③中以线段EF为边画一个四边形EFGH，使其面积为9，且∠EFG＝90°．【分析】（1）直接利用三角形的面积的计算方法得出符合题意的图形；（2）直接利用三角形面积求法得出答案；（3）根据矩形函数三角形的面积的求法进而得出答案．【解答】解：（1）如图①所示，△ABM即为所求；（2）如图②所示，△CDN即为所求；（3）如图③所示，四边形EFGH即为所求；23．图①，图②均为4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．在图①中已画出线段AB，在图②中已画出线段CD，其中A、B、C、D均为格点，按下列要求画图：（1）在图①中，以AB为对角线画一个菱形AEBF，且E，F为格点；（2）在图②中，以CD为对角线画一个对边不相等的四边形CGDH，且G，H为格点，∠CGD＝∠CHD＝90°．【分析】（1）根据菱形的定义画出图形即可（答案不唯一）．（2）利用数形结合的思想解决问题即可．【解答】解：（1）如图，菱形AEBF即为所求．（2）如图，四边形CGDH即为所求．24．在6×6的方格纸中，点A，B，C都在格点上，按要求画图：（1）在图1中找一个格点D，使以点A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形．（2）在图2中仅用无刻度的直尺，把线段AB三等分（保留画图痕迹，不写画法）．【分析】（1）由勾股定理得：CD＝AB＝CD'＝，BD＝AC＝BD''＝，AD'＝BC＝AD''＝；画出图形即可；（2）根据平行线分线段成比例定理画出图形即可．【解答】解：（1）由勾股定理得：CD＝AB＝CD'＝，BD＝AC＝BD''＝，AD'＝BC＝AD''＝；画出图形如图1所示；（2）如图2所示．25．如图，在7×5的方格纸ABCD中，请按要求画图，且所画格点三角形与格点四边形的顶点均不与点A，B，C，D重合．（1）在图1中画一个格点△EFG，使点E，F，G分别落在边AB，BC，CD上，且∠EFG ＝90°．（2）在图2中画一个格点四边形MNPQ，使点M，N，P，Q分别落在边AB，BC，CD，DA上，且MP＝NQ．【分析】（1）利用数形结合的思想构造全等三角形或等腰直角三角形解决问题即可．（2）如图3中，构造矩形即可解决问题．如图4中，构造MP＝NQ＝5即可．【解答】解：（1）满足条件的△EFG，如图1，2所示．（2）满足条件的四边形MNPQ如图所示．。

专题：尺规作图问题1.尺规作图的定义：只用不带刻度的直尺和圆规通过有限次操作，完成画图的一种作图方法．尺规作图可以要求写作图步骤，也可以要求不一定要写作图步骤，但必须保留作图痕迹。

2.尺规作图的五种基本情况：（1）作一条线段等于已知线段；（2）作一个角等于已知角；（3）作已知线段的垂直平分线；（4）作已知角的角平分线；（5）过一点作已知直线的垂线。

3.对尺规作图题解法：写出已知，求作，作法（不要求写出证明过程）并能给出合情推理。

4.中考要求：（1）能完成以下基本作图：作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角，作角的平分线，作线段的垂直平分线.（2）能利用基本作图作三角形：已知三边作三角形；已知两边及其夹角作三角形；已知两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高作等腰三角形.（3）能过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆.（4）了解尺规作图的步骤，对于尺规作图题，会写已知、求作和作法（不要求证明）.【例题1】如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠CAD的度数是（）A．20°B．30°C．45°D．60°【答案】B【解析】根据内角和定理求得∠BAC＝60°，由中垂线性质知DA＝DB，即∠DAB＝∠B＝30°，从而得出答案．在△ABC中，∵∠B＝30°，∠C＝90°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝60°，由作图可知MN为AB的中垂线，∴DA＝DB，∴∠DAB＝∠B＝30°，∴∠CAD＝∠BAC﹣∠DAB＝30°。

【例题2】如图，BD是菱形ABCD的对角线，∠CBD＝75°，（1）请用尺规作图法，作AB的垂直平分线EF，垂足为E，交AD于F；（不要求写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）条件下，连接BF，求∠DBF的度数．【答案】见解析。

2020年全国中考数学试题分类（14）——图形的相似一．黄金分割（共1小题） 1．（2020•泸州）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G 将一线段MN 分为两线段MG ，GN ，使得其中较长的一段MG 是全长MN 与较短的一段GN 的比例中项，即满足MM MM=MM MM=√5−12，后人把√5−12这个数称为“黄金分割”数，把点G 称为线段MN 的“黄金分割”点．如图，在△ABC 中，已知AB ＝AC ＝3，BC ＝4，若D ，E 是边BC 的两个“黄金分割”点，则△ADE 的面积为（ ）A ．10﹣4√5B ．3√5−5C ．5−2√52D ．20﹣8√5 二．平行线分线段成比例（共4小题）2．（2020•营口）如图，在△ABC 中，DE ∥AB ，且MM MM=32，则MM MM的值为（ ）A ．35B ．23C ．45D ．323．（2020•成都）如图，直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC 和DF 被l 1，l 2，l 3所截，AB ＝5，BC ＝6，EF ＝4，则DE的长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．1034．（2020•宜宾）在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D 是AB 的中点，BE 平分∠ABC 交AC 于点E ，连结CD 交BE 于点O ．若AC ＝8，BC ＝6，则OE 的长是 ．5．（2020•无锡）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝4，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，且DB ＝2AD ，AE ＝3EC ，连接BE ，CD ，相交于点O ，则△ABO 面积最大值为 ．三．相似三角形的判定（共3小题）6．（2020•昆明）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．如图，△ABC是格点三角形，在图中的6×6正方形网格中作出格点三角形△ADE（不含△ABC），使得△ADE∽△ABC（同一位置的格点三角形△ADE只算一个），这样的格点三角形一共有（）A．4个B．5个C．6个D．7个7．（2020•攀枝花）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD的中点，DE、AF交于点G，AF的中点为H，连接BG、DH．给出下列结论：①AF⊥DE；②DG=85；③HD∥BG；④△ABG∽△DHF．其中正确的结论有．（请填上所有正确结论的序号）8．（2020•南京）如图，在△ABC和△A'B'C'中，D、D'分别是AB、A'B'上一点，MMMM=M′M′M′M′．（1）当MMM′M′=MMM′M′=MMM′M′时，求证△ABC∽△A'B'C'．证明的途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格．（2）当MMM′M′=MM M′M′=MMM′M′时，判断△ABC 与△A 'B 'C ′是否相似，并说明理由．四．相似三角形的判定与性质（共29小题） 9．（2020•贵港）如图，在△ABC 中，点D 在AB 边上，若BC ＝3，BD ＝2，且∠BCD ＝∠A ，则线段AD 的长为（ ）A ．2B ．52C ．3D ．9210．（2020•海南）如图，在▱ABCD 中，AB ＝10，AD ＝15，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于点F ，BG ⊥AE 于点G ，若BG ＝8，则△CEF 的周长为（ ）A ．16B ．17C ．24D ．25 11．（2020•牡丹江）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝10，点E 在BC 边上，DF ⊥AE ，垂足为F ．若DF ＝6，则线段EF 的长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 12．（2020•遂宁）如图，在正方形ABCD 中，点E 是边BC 的中点，连接AE 、DE ，分别交BD 、AC 于点P 、Q ，过点P 作PF ⊥AE 交CB 的延长线于F ，下列结论： ①∠AED +∠EAC +∠EDB ＝90°， ②AP ＝FP ， ③AE =√102AO ，④若四边形OPEQ 的面积为4，则该正方形ABCD 的面积为36， ⑤CE •EF ＝EQ •DE ．其中正确的结论有（ ）A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个13．（2020•遵义）如图，△ABO的顶点A在函数y=MM（x＞0）的图象上，∠ABO＝90°，过AO边的三等分点M、N分别作x轴的平行线交AB于点P、Q．若四边形MNQP的面积为3，则k的值为（）A．9 B．12 C．15 D．1814．（2020•眉山）如图，正方形ABCD中，点F是BC边上一点，连接AF，以AF为对角线作正方形AEFG，边FG与正方形ABCD的对角线AC相交于点H，连接DG．以下四个结论：①∠EAB＝∠GAD；②△AFC∽△AGD；③2AE2＝AH•AC；④DG⊥AC．其中正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个15．（2020•海南）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，点E、F在AD边上，BF和CE交于点G，若EF=12AD，则图中阴影部分的面积为（）A．25 B．30 C．35 D．4016．（2020•益阳）如图，在矩形ABCD中，E是DC上的一点，△ABE是等边三角形，AC交BE于点F，则下列结论不成立的是（）A ．∠DAE ＝30°B ．∠BAC ＝45° C ．MM MM=12D ．MM MM=√3217．（2020•云南）如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E 是CD 的中点．则△DEO 与△BCD 的面积的比等于（ ）A ．12B ．14C ．16D ．1818．（2020•潍坊）如图，点E 是▱ABCD 的边AD 上的一点，且MM MM=12，连接BE 并延长交CD 的延长线于点F ，若DE ＝3，DF ＝4，则▱ABCD 的周长为（ ）A ．21B ．28C ．34D ．42 19．（2020•哈尔滨）如图，在△ABC 中，点D 在BC 边上，连接AD ，点E 在AC 边上，过点E 作EF ∥BC ，交AD 于点F ，过点E 作EG ∥AB ，交BC 于点G ，则下列式子一定正确的是（ ）A ．MM MM=MM MMB ．MM MM=MM MMC ．MM MM=MM MMD ．MM MM=MM MM20．（2020•柳州）如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝6，BC ＝10，点E 在CD 上，将△BCE 沿BE 折叠，点C 恰好落在边AD 上的点F 处，点G 在AF 上，将△ABG 沿BG 折叠，点A 恰好落在线段BF 上的H 处，有下列结论：①∠EBG ＝45°；②2S △BFG ＝5S △FGH ；③△DEF ∽△ABG ；④4CE ＝5ED ．其中正确的是 ．（填写所有正确结论的序号）21．（2020•锦州）如图，在△ABC 中，D 是AB 中点，DE ∥BC ，若△ADE 的周长为6，则△ABC 的周长为 ．22．（2020•鞍山）如图，在菱形ABCD 中，∠ADC ＝60°，点E ，F 分别在AD ，CD 上，且AE ＝DF ，AF 与CE 相交于点G ，BG 与AC 相交于点H ．下列结论：①△ACF ≌△CDE ；②CG 2＝GH •BG ；③若DF ＝2CF ，则CE＝7GF；④S四边形ABCG=√34BG2．其中正确的结论有．（只填序号即可）23．（2020•东营）如图，P为平行四边形ABCD边BC上一点，E、F分别为P A、PD上的点，且P A＝3PE，PD＝3PF，△PEF、△PDC、△P AB的面积分别记为S、S1、S2．若S＝2，则S1+S2＝．24．（2020•随州）如图，已知矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点M，N分别在边AD，BC上，沿着MN折叠矩形ABCD，使点A，B分别落在E，F处，且点F在线段CD上（不与两端点重合），过点M作MH⊥BC于点H，连接BF，给出下列判断：①△MHN∽△BCF；②折痕MN的长度的取值范围为3＜MN＜15 4；③当四边形CDMH为正方形时，N为HC的中点；④若DF=13DC，则折叠后重叠部分的面积为5512．其中正确的是．（写出所有正确判断的序号）25．（2020•牡丹江）如图，在Rt△ABC中，CA＝CB，M是AB的中点，点D在BM上，AE⊥CD，BF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EM．则下列结论中：①BF＝CE；②∠AEM＝∠DEM；③AE﹣CE=√2ME；④DE2+DF2＝2DM2；⑤若AE平分∠BAC，则EF：BF=√2：1；⑥CF•DM＝BM•DE，正确的有．（只填序号）26．（2020•黑龙江）如图，直线AM 的解析式为y ＝x +1与x 轴交于点M ，与y 轴交于点A ，以OA 为边作正方形ABCO ，点B 坐标为（1，1）．过点B 作EO 1⊥MA 交MA 于点E ，交x 轴于点O 1，过点O 1作x 轴的垂线交MA 于点A 1，以O 1A 1为边作正方形O 1A 1B 1C 1，点B 1的坐标为（5，3）．过点B 1作E 1O 2⊥MA 交MA 于E 1，交x 轴于点O 2，过点O 2作x 轴的垂线交MA 于点A 2．以O 2A 2为边作正方形O 2A 2B 2C 2．…．则点B 2020的坐标 ．27．（2020•长沙）如图，点P 在以MN 为直径的半圆上运动（点P 不与M ，N 重合），PQ ⊥MN ，NE 平分∠MNP ，交PM 于点E ，交PQ 于点F ． （1）MM MM+MM MM= ．（2）若PN 2＝PM •MN ，则MM MM= ．28．（2020•临沂）如图，在△ABC 中，D 、E 为边AB 的三等分点，EF ∥DG ∥AC ，H 为AF 与DG 的交点．若AC ＝6，则DH ＝ ．29．（2020•咸宁）如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，点E 是边BC 上一动点（不与点B ，C 重合），∠AEF ＝90°，且EF 交正方形外角的平分线CF 于点F ，交CD 于点G ，连接AF ，有下列结论： ①△ABE ∽△ECG ； ②AE ＝EF ；③∠DAF ＝∠CFE ；④△CEF 的面积的最大值为1． 其中正确结论的序号是 ．（把正确结论的序号都填上）30．（2020•泸州）如图，在矩形ABCD中，E，F分别为边AB，AD的中点，BF与EC、ED分别交于点M，N．已知AB＝4，BC＝6，则MN的长为．31．（2020•黑龙江）如图，直线AM的解析式为y＝x+1与x轴交于点M，与y轴交于点A，以OA为边作正方形ABCO，点B坐标为（1，1）．过B点作直线EO1⊥MA交MA于点E，交x轴于点O1，过点O1作x 轴的垂线交MA于点A1．以O1A1为边作正方形O1A1B1C1，点B1的坐标为（5，3）．过点B1作直线E1O2⊥MA交MA于E1，交x轴于点O2，过点O2作x轴的垂线交MA于点A2．以O2A2为边作正方形O2A2B2C2，…，则点B2020的坐标．32．（2020•兰州）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝2，点E在AB的延长线上，且AE＝AC，EF⊥AC于点F，连接BF并延长交CD于点G，则DG＝．33．（2020•西宁）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，交BC于点E，延长AE至点F，使EF＝AE，连接FB，FC和DE．（1）求证：四边形ABFC是菱形；（2）若CD＝1，BE＝2，求⊙O的半径．34．（2020•朝阳）如图，以AB为直径的⊙O经过△ABC的顶点C，过点O作OD∥BC交⊙O于点D，交AC于点F，连接BD交AC于点G，连接CD，在OD的延长线上取一点E，连接CE，使∠DEC＝∠BDC．（1）求证：EC 是⊙O 的切线；（2）若⊙O 的半径是3，DG •DB ＝9，求CE 的长．35．（2020•黄冈）已知：如图，AB 是⊙O 的直径，点E 为⊙O 上一点，点D 是MM̂上一点，连接AE 并延长至点C ，使∠CBE ＝∠BDE ，BD 与AE 交于点F ． （1）求证：BC 是⊙O 的切线；（2）若BD 平分∠ABE ，求证：AD 2＝DF •DB ．36．（2020•杭州）如图，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别在AB ，BC ，AC 边上，DE ∥AC ，EF ∥AB ． （1）求证：△BDE ∽△EFC ． （2）设MM MM=12，①若BC ＝12，求线段BE 的长；②若△EFC 的面积是20，求△ABC 的面积．37．（2020•杭州）如图，在正方形ABCD 中，点E 在BC 边上，连接AE ，∠DAE 的平分线AG 与CD 边交于点G ，与BC 的延长线交于点F ．设MM MM=λ（λ＞0）．（1）若AB ＝2，λ＝1，求线段CF 的长． （2）连接EG ，若EG ⊥AF ， ①求证：点G 为CD 边的中点． ②求λ的值．五．相似三角形的应用（共4小题） 38．（2020•玉林）一个三角形木架三边长分别是75cm ，100cm ，120cm ，现要再做一个与其相似的三角形木架，而只有长为60cm 和120cm 的两根木条．要求以其中一根为一边，从另一根截下两段作为另两边（允许有余料），则不同的截法有（）A．一种B．两种C．三种D．四种39．（2020•山西）泰勒斯是古希腊时期的思想家，科学家，哲学家，他最早提出了命题的证明．泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度，金字塔的影长，推算出金字塔的高度，这种测量原理，就是我们所学的（）A．图形的平移B．图形的旋转C．图形的轴对称D．图形的相似40．（2020•绍兴）如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为2：5，且三角板的一边长为8cm．则投影三角板的对应边长为（）A．20cm B．10cm C．8cm D．3.2cm41．（2020•温州）如图，在河对岸有一矩形场地ABCD，为了估测场地大小，在笔直的河岸l上依次取点E，F，N，使AE⊥l，BF⊥l，点N，A，B在同一直线上．在F点观测A点后，沿FN方向走到M点，观测C 点发现∠1＝∠2．测得EF＝15米，FM＝2米，MN＝8米，∠ANE＝45°，则场地的边AB为米，BC为米．六．作图-相似变换（共1小题）42．（2020•济宁）如图，在△ABC中，AB＝AC，点P在BC上．（1）求作：△PCD，使点D在AC上，且△PCD∽△ABP；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）的条件下，若∠APC＝2∠ABC．求证：PD∥AB．七．位似变换（共4小题）43．（2020•重庆）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．已知OA：OD＝1：2，则△ABC与△DEF的面积比为（）A ．1：2B ．1：3C ．1：4D ．1：544．（2020•重庆）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别是A （1，2），B （1，1），C （3，1），以原点为位似中心，在原点的同侧画△DEF ，使△DEF 与△ABC 成位似图形，且相似比为2：1，则线段DF 的长度为（ ）A ．√5B ．2C ．4D ．2√545．（2020•兰州）如图，四边形ABCD 与四边形A ′B ′C ′D ′位似，位似中心为点O ，OC ＝6，CC ′＝4，AB ＝3，则A ′B ′＝ ．46．（2020•盘锦）如图，△AOB 三个顶点的坐标分别为A （5，0），O （0，0），B （3，6），以点O 为位似中心，相似比为23，将△AOB 缩小，则点B 的对应点B '的坐标是 ． 八．作图-位似变换（共2小题）47．（2020•朝阳）如图所示的平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点坐标分别为A （﹣3，2），B （﹣1，3），C （﹣1，1），请按如下要求画图：（1）以坐标原点O 为旋转中心，将△ABC 顺时针旋转90°，得到△A 1B 1C 1，请画出△A 1B 1C 1；（2）以坐标原点O 为位似中心，在x 轴下方，画出△ABC 的位似图形△A 2B 2C 2，使它与△ABC 的位似比为2：1．48．（2020•宁夏）在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点的坐标分别是A （1，3），B （4，1），C （1，1）．（1）画出△ABC 关于x 轴成轴对称的△A 1B 1C 1；（2）画出△ABC 以点O 为位似中心，位似比为1：2的△A 2B 2C 2．九．相似形综合题（共2小题）49．（2020•荆州）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝20，点E 是BC 边上的一点，将△ABE 沿着AE 折叠，点B 刚好落在CD 边上点G 处；点F 在DG 上，将△ADF 沿着AF 折叠，点D 刚好落在AG 上点H 处，此时S △GFH ：S △AFH ＝2：3，（1）求证：△EGC ∽△GFH ；（2）求AD 的长；（3）求tan ∠GFH 的值．50．（2020•福建）如图，△ADE 由△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转90°得到，且点B 的对应点D 恰好落在BC 的延长线上，AD ，EC 相交于点P ．（1）求∠BDE 的度数；（2）F 是EC 延长线上的点，且∠CDF ＝∠DAC ．①判断DF 和PF 的数量关系，并证明；②求证：MM MM =MM MM ．2020年全国中考数学试题分类（14）——图形的相似参考答案与试题解析一．黄金分割（共1小题）1．【解答】解：作AH ⊥BC 于H ，如图，∵AB ＝AC ，∴BH ＝CH =12BC ＝2，在Rt △ABH 中，AH =√32−22=√5，∵D ，E 是边BC 的两个“黄金分割”点，∴BE =√5−12BC ＝2（√5−1）＝2√5−2，∴HE ＝BE ﹣BH ＝2√5−2﹣2＝2√5−4，∴DE ＝2HE ＝4√5−8∴S △ADE =12×（4√5−8）×√5=10﹣4√5．故选：A ．二．平行线分线段成比例（共4小题）2．【解答】解：∵DE ∥AB ，∴MM MM =MM MM =32， ∴MM MM 的值为35，故选：A ．3．【解答】解：∵直线l 1∥l 2∥l 3，∴MM MM=MM MM ， ∵AB ＝5，BC ＝6，EF ＝4， ∴56=MM 4，∴DE =103， 故选：D ．4．【解答】解：在Rt △ACB 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，由勾股定理得：AB ＝10， 过A 作AF ∥BC ，交BE 延长线于F ，∵AF ∥BC ，∴∠F ＝∠CBE ，∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE ＝∠CBE ，∴∠F ＝∠ABE ，∴AB ＝AF ＝10，∵AF ∥BC ，∴△AEF ∽△CEB ，∴MM MM =MM MM ， ∴106=MM 8−MM，解得：AE ＝5，CE ＝8﹣5＝3，在Rt △ECB 中，由勾股定理得：BE =√62+32=3√5，过D 作DM ∥AC ，交BC 于M ，交BE 于N ，∵D 为AB 的中点，DM ∥AC ，∴M 为BC 的中点，N 为BE 的中点，∴DN =12AE =12×5=2.5，BN ＝NE =12BE =3√52，∵DM ∥AC ，∴△DNO ∽△CEO ，∴MM MM =MM MM ， ∴2.53=3√52−MM MM ， 解得：OE =9√511， 故答案为：9√511．5．【解答】解：如图，过点D 作DF ∥AE ， 则MM MM =MM MM =23， ∵MM MM =13，∴DF ＝2EC ，∴DO ＝2OC ，∴DO =23DC ，∴S △ADO =23S △ADC ，S △BDO =23S △BDC ，∴S △ABO =23S △ABC ， ∵∠ACB ＝90°，∴C 在以AB 为直径的圆上，设圆心为G ，当CG ⊥AB 时，△ABC 的面积最大为：12×4×2＝4，此时△ABO 的面积最大为：23×4=83．故答案为：83．三．相似三角形的判定（共3小题）6．【解答】解：如图，所以使得△ADE ∽△ABC 的格点三角形一共有6个．故选：C ．7．【解答】解：∵四边形ABCD 为正方形，∴∠ADC ＝∠BCD ＝90°，AD ＝CD ，∵E 和F 分别为BC 和CD 中点，∴DF ＝EC ＝2，∴△ADF ≌△DCE （SAS ），∴∠AFD ＝∠DEC ，∠F AD ＝∠EDC ，∵∠EDC +∠DEC ＝90°，∴∠EDC +∠AFD ＝90°，∴∠DGF ＝90°，即DE ⊥AF ，故①正确；∵AD ＝4，DF =12CD ＝2，∴AF =√42+22=2√5，∴DG ＝AD ×DF ÷AF =4√55，故②错误；∵H 为AF 中点，∴HD ＝HF =12AF =√5， ∴∠HDF ＝∠HFD ，∵AB ∥DC ，∴∠HDF ＝∠HFD ＝∠BAG ，∵AG =√MM 2−MM 2=8√55，AB ＝4， ∴MM MM =MM MM =4√55=MM MM ，∴△ABG ～△DHF ，故④正确；∴∠ABG ＝∠DHF ，而AB ≠AG ，则∠ABG 和∠AGB 不相等，故∠AGB ≠∠DHF ，故HD 与BG 不平行，故③错误；故答案为：①④．8．【解答】（1）证明：∵MM MM =M′M′M′M′， ∴MM M′M′=MM M′M′， ∵MM M′M′=MM M′M′=MM M′M′， ∴MM M′M′=MM M′M′=MM M′M′， ∴△ADC ∽△A ′D ′C '， ∴∠A ＝∠A ′， ∵MM M′M′=MM M′M′，∴△ABC ∽△A ′B ′C ′． 故答案为：MM M′M′=MM M′M′=MM M′M′，∠A ＝∠A ′．（2）如图，过点D ，D ′分别作DE ∥BC ，D ′E ′∥B ′C ′，DE 交AC 于E ，D ′E ′交A ′C ′于E ′．∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴MM MM =MM MM =MM MM ， 同理，M′M′M′M′=M′M′M′M′=M′M′M′M′， ∵MM MM =M′M′M′M′， ∴MM MM =M′M′M′M′，∴MM M′M′=MM M′M′， 同理，MM MM =M′M′M′M′， ∴MM −MM MM =M′M′−M′M′M′M′，即MM MM =M′M′M′M′， ∴MM M′M′=MM M′M′， ∵MM M′M′=MM M′M′=MM M′M′， ∴MM M′M′=MM M′M′=MM M′M′，∴△DCE ∽△D ′C ′E ′，∴∠CED ＝∠C ′E ′D ′，∴∠CED +∠ACB ＝180°，同理，∠C ′E ′D ′+∠A ′C ′B ′＝180°，∴∠ACB ＝∠A ′C ′B ′，∵MM M′M′=MM M′M′， ∴△ABC ∽△A ′B ′C ′．四．相似三角形的判定与性质（共29小题）9．【解答】解：∵∠BCD ＝∠A ，∠B ＝∠B ，∴△BCD ∽△BAC ，∴MM MM=MM MM ， ∵BC ＝3，BD ＝2， ∴3MM =23， ∴BA =92， ∴AD ＝BA ﹣BD =92−2=52．故选：B ．10．【解答】解：∵在▱ABCD 中，CD ＝AB ＝10，BC ＝AD ＝15，∠BAD 的平分线交BC 于点E ， ∴AB ∥DC ，∠BAF ＝∠DAF ，∴∠BAF ＝∠F ，∴∠DAF ＝∠F ，∴DF ＝AD ＝15，同理BE ＝AB ＝10，∴CF ＝DF ﹣CD ＝15﹣10＝5；∴在△ABG 中，BG ⊥AE ，AB ＝10，BG ＝8，在Rt △ABG 中，AG =√MM 2−MM 2=√102−82=6，∴AE ＝2AG ＝12，∴△ABE 的周长等于10+10+12＝32，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CF ，∴△CEF ∽△BEA ，相似比为5：10＝1：2，∴△CEF 的周长为16．故选：A ．11．【解答】解：∵四边形ABCD 为矩形，∴AB ＝CD ＝3，BC ＝AD ＝10，AD ∥BC ，∴∠AEB ＝∠DAF ，∴△AFD ∽△EBA ，∴MM MM =MM MM =MM MM ，∵DF ＝6，∴AF =√MM 2−MM 2=√102−62=8，∴8MM =10MM =63，∴EF ＝AF ﹣AE ＝8﹣5＝3．故选：B ．12．【解答】解：如图，连接OE ．∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ，OA ＝OC ＝OB ＝OD ，∴∠BOC ＝90°，∵BE ＝EC ，∴∠EOB ＝∠EOC ＝45°，∵∠EOB ＝∠EDB +∠OED ，∠EOC ＝∠EAC +∠AEO ，∴∠AED +∠EAC +∠EDO ＝∠EAC +∠AEO +∠OED +∠EDB ＝90°，故①正确， 连接AF ．∵PF ⊥AE ，∴∠APF ＝∠ABF ＝90°，∴A ，P ，B ，F 四点共圆，∴∠AFP ＝∠ABP ＝45°，∴∠P AF ＝∠PF A ＝45°，∴P A ＝PF ，故②正确，设BE ＝EC ＝a ，则AE =√5a ，OA ＝OC ＝OB ＝OD =√2a ，∴MM MM =√5M √2M =√102，即AE =√102AO ，故③正确， 根据对称性可知，△OPE ≌△OQE ，∴S △OEQ =12S 四边形OPEQ ＝2，∵OB ＝OD ，BE ＝EC ，∴CD ＝2OE ，OE ∥CD ，∴MMMM =MMMM =12，△OEQ ∽△CDQ ， ∴S △ODQ ＝4，S △CDQ ＝8，∴S △CDO ＝12，∴S 正方形ABCD ＝48，故④错误，∵∠EPF ＝∠DCE ＝90°，∠PEF ＝∠DEC ，∴△EPF ∽△ECD ，∴MMMM =MMMM ，∵EQ ＝PE ，∴CE •EF ＝EQ •DE ，故⑤正确，故选：B ．13．【解答】解：∵NQ ∥MP ∥OB ，∴△ANQ ∽△AMP ∽△AOB ，∵M 、N 是OA 的三等分点，∴MM MM =12，MM MM =13， ∴M △MMMM △MMM =14，∵四边形MNQP 的面积为3， ∴M △MMM3+M △MMM=14， ∴S △ANQ ＝1， ∵1M △MMM =（MM MM ）2=19，∴S △AOB ＝9，∴k ＝2S △AOB ＝18，故选：D ．14．【解答】解：∵四边形ABCD ，四边形AEFG 都是正方形，∴∠EAG ＝∠BAD ＝90°，∠F AG ＝∠AFG ＝∠DAC ＝∠ACB ＝45°，AF =√2AG ，AC =√2AD ， ∴∠EAG ﹣∠BAG ＝∠BAD ﹣∠BAG ，∴∠EAB ＝∠DAG ，故①正确；∵AF =√2AG ，AC =√2AD ，∴MM MM =√2=MM MM ， ∵∠F AG ＝∠CAD ＝45°，∴∠F AC ＝∠DAG ，∴△F AC ∽△DAG ，故②正确，∴∠ADG ＝∠ACB ＝45°，延长DG 交AC 于N ，∵∠CAD ＝45°，∠ADG ＝45°，∴∠AND ＝90°，∴DG ⊥AC ，故④正确，∵∠F AC ＝∠F AH ，∠AFG ＝∠ACF ＝45°，∴△AFH ∽△ACF ，∴MM MM =MM MM ，∴AF 2＝AH •AC ，∴2AE 2＝AH •AC ，故③正确，故选：D ．15．【解答】解：过点G 作GN ⊥AD 于N ，延长NG 交BC 于M ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ，AD ∥BC ，∵EF =12AD ， ∴EF =12BC ，∵AD ∥BC ，NG ⊥AD ，∴△EFG ∽△CBG ，GM ⊥BC ，∴GN ：GM ＝EF ：BC ＝1：2，又∵MN ＝AB ＝6，∴GN ＝2，GM ＝4，∴S △BCG =12×10×4＝20，∴S △EFG =12×5×2＝5，S 矩形ABCD ＝6×10＝60，∴S 阴影＝60﹣20﹣5＝35．故选：C ．16．【解答】解：∵四边形ABCD 是矩形，△ABE 是等边三角形，∴AB ＝AE ＝BE ，∠EAB ＝∠EBA ＝60°，AD ＝BC ，∠DAB ＝∠CBA ＝90°，AB ∥CD ，AB ＝CD ， ∴∠DAE ＝∠CBE ＝30°，故选项A 不合题意，∴cos ∠DAE =√32=MM MM =MM MM ，故选项D 不合题意，在△ADE 和△BCE 中，{MM =MM MMMM =MMMM MM =MM ，∴△ADE ≌△BCE （SAS ），∴DE ＝CE =12CD =12AB ，∵AB ∥CD ，∴△ABF ∽△CEF ，∴MM MM =MM MM =12，故选项C 不合题意， 故选：B ．17．【解答】解：∵平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，∴点O 为线段BD 的中点．又∵点E 是CD 的中点，∴线段OE 为△DBC 的中位线，∴OE ∥BC ，OE =12BC ， ∴△DOE ∽△DBC ，∴M △MMMM △MMM =（MM MM ）2=14． 故选：B ．18．【解答】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CF ，AB ＝CD ，∴△ABE ∽△DFE ，∴MM MM =MM MM =12，∵DE ＝3，DF ＝4，∴AE ＝6，AB ＝8，∴AD ＝AE +DE ＝6+3＝9，∴平行四边形ABCD 的周长为：（8+9）×2＝34．故选：C ．19．【解答】解：∵EF ∥BC ，∴MM MM=MM MM ， ∵EG ∥AB ， ∴MM MM =MM MM ， ∴MM MM =MM MM ，故选：C ．20．【解答】解：①由折叠的性质可知：∠CBE ＝∠FBE ，∠ABG ＝∠FBG ， ∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC ＝90°，∴∠EBG ＝∠GBH +∠EBF =12∠CBF +12∠ABF =12∠ABC ＝45°． 故①正确；②由折叠的性质可知：BF ＝BC ＝10，BH ＝AB ＝6，∴HF ＝BF ﹣BH ＝4，∴M △MMMM △MMM =MM MM =104=52， ∴2S △BFG ＝5S △FGH ；故②正确；③∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A ＝∠D ＝90°，在Rt △ABF 中，AF =√MM 2−MM 2=8，设GF ＝x ，即HG ＝AG ＝8﹣x ，在Rt △HGF 中，HG 2+HF 2＝GF 2，即（8﹣x ）2+42＝x 2，解得x ＝5，∴AG ＝3，∴FD ＝2；同理可得ED =83，∴MM MM =63=2， MM MM =832=43， ∴MM MM ≠MM MM ， ∴△ABG 与△DEF 不相似，故③错误；④∵CD ＝AB ＝6，ED =83，∴CE ＝CD ﹣ED =103，∴MM MM =54，∴4CE ＝5ED ．故④正确．综上所述，正确的结论的序号为①②④．21．【解答】解：∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∵D 是AB 的中点，∴MM MM =12， ∴△MMM 的周长△MMM 的周长=12 ∵△ADE 的周长为6，∴△ABC 的周长为12，故答案为：12．22．【解答】解：∵ABCD 为菱形，∴AD ＝CD ，∵AE ＝DF ，∴DE ＝CF ，∵∠ADC ＝60°，∴△ACD 为等边三角形，∴∠D ＝∠ACD ＝60°，AC ＝CD ，∴△ACF ≌△CDE （SAS ），故①正确；过点F 作FP ∥AD ，交CE 于P 点．∵DF ＝2CF ，∴FP ：DE ＝CF ：CD ＝1：3，∵DE ＝CF ，AD ＝CD ，∴AE ＝2DE ，∴FP ：AE ＝1：6＝FG ：AG ，∴AG ＝6FG ，∴CE ＝AF ＝7GF ，故③正确；过点B 作BM ⊥AG 于M ，BN ⊥GC 于N ，∵∠AGE ＝∠ACG +∠CAF ＝∠ACG +∠GCF ＝60°＝∠ABC ， 即∠AGC +∠ABC ＝180°，∴点A 、B 、C 、G 四点共圆，∴∠AGB ＝∠ACB ＝60°，∠CGB ＝∠CAB ＝60°，∴∠AGB ＝∠CGB ＝60°，∴BM ＝BN ，又AB ＝BC ，∴△ABM ≌△CBN （HL ），∴S 四边形ABCG ＝S 四边形BMGN ，∵∠BGM ＝60°，∴GM =12BG ，BM =√32BG ，∴S 四边形BMGN ＝2S △BMG ＝2×12×12MM ×√32MM =√34BG 2，故④正确； ∵∠CGB ＝∠ACB ＝60°，∠CBG ＝∠HBC ，∴△BCH ∽△BGC ，∴MM MM =MM MM =MM MM ，则BG •BH ＝BC 2，则BG •（BG ﹣GH ）＝BC 2，则BG 2﹣BG •GH ＝BC 2，则GH •BG ＝BG 2﹣BC 2，当∠BCG ＝90°时，BG 2﹣BC 2＝CG 2，此时GH •BG ＝CG 2， 而题中∠BCG 未必等于90°，故②不成立，故正确的结论有①③④，故答案为：①③④．23．【解答】解：∵P A ＝3PE ，PD ＝3PF ，∴MM MM =MM MM =13， ∴EF ∥AD ，∴△PEF ∽△P AD ，∴M △MMMM △MMM =（13）2， ∵S △PEF ＝2，∴S △P AD ＝18，∵四边形ABCD是平行四边形， ∴S △P AD =12S 平行四边形ABCD ，∴S 1+S 2＝S △P AD ＝18，故答案为18．24．【解答】解：①如图1，由折叠可知BF ⊥MN ，∴∠BOM ＝90°，∵MH ⊥BC ，∴∠BHP ＝90°＝∠BOM ，∵∠BPH ＝∠OPM ，∴∠CBF ＝∠NMH ，∵∠MHN ＝∠C ＝90°，∴△MHN ∽△BCF ，故①正确；②当F 与C 重合时，MN ＝3，此时MN 最小，当F 与D 重合时，如图2，此时MN 最大，由勾股定理得：BD ＝5，∵OB ＝OD =52，∵tan ∠DBC =MM MM =MM MM ，即MM 52=34， ∴ON =158， ∵AD ∥BC ，∴∠MDO ＝∠OBN ，在△MOD 和△NOB 中，∵{∠MMM =∠MMMMM =MM MMMM =MMMM，∴△DOM ≌△BON （ASA ），∴OM ＝ON ，∴MN ＝2ON =154，∵点F 在线段CD 上（不与两端点重合），∴折痕MN 的长度的取值范围为3＜MN ＜154； 故②正确；③如图3，连接BM ，FM ，当四边形CDMH 为正方形时，MH ＝CH ＝CD ＝DM ＝3，∵AD ＝BC ＝4，∴AM ＝BH ＝1，由勾股定理得：BM =√32+12=√10，∴FM =√10，∴DF =√MM 2−MM 2=√(√10)2−32=1，∴CF ＝3﹣1＝2，设HN ＝x ，则BN ＝FN ＝x +1，在Rt △CNF 中，CN 2+CF 2＝FN 2，∴（3﹣x ）2+22＝（x +1）2，解得：x =32，∴HN =32，∵CH ＝3，∴CN ＝HN =32，∴N 为HC 的中点；故③正确；④如图4，连接FM ，∵DF =13DC ，CD ＝3，∴DF ＝1，CF ＝2， ∴BF =√22+42=2√5，∴OF =√5，设FN ＝a ，则BN ＝a ，CN ＝4﹣a ，由勾股定理得：FN 2＝CN 2+CF 2，∴a 2＝（4﹣a ）2+22，∴a =52，∴BN ＝FN =52，CN =32，∵∠NFE ＝∠CFN +∠DFQ ＝90°，∠CFN +∠CNF ＝90°，∴∠DFQ ＝∠CNF ，∵∠D ＝∠C ＝90°，∴△QDF ∽△FCN ，∴MM MM =MM MM ，即MM 2=132，∴QD =43，∵tan ∠HMN ＝tan ∠CBF =MM MM =MM MM ，∴MM 3=24，∴HN =32，∴MN =√32+(32)2=3√52，∵CH ＝MD ＝HN +CN =32+32=3，∴MQ ＝3−43=53，∴折叠后重叠部分的面积为：S△MNF+S△MQF=12⋅MM⋅MM+12⋅MM⋅MM=12×3√52×√5+12×53×1=5512；法二：折叠后重叠部分的面积为：S△MNF+S△MQF＝S正方形CDMH﹣S△QDF﹣S△NFC﹣S△MNH＝3×3−12×43×1−12×32×2−12×32×3=5512；故④正确；所以本题正确的结论有：①②③④；故答案为：①②③④．25．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∴∠BCF+∠ACE＝90°，∵∠BCF+∠CBF＝90°，∴∠ACE＝∠CBF，又∵∠BFD＝90°＝∠AEC，AC＝BC，∴△BCF≌△CAE（AAS），∴BF＝CE，故①正确；由全等可得：AE＝CF，BF＝CE，∴AE﹣CE＝CF﹣CE＝EF，连接FM，CM，∵点M是AB中点，∴CM=12AB＝BM＝AM，CM⊥AB，在△BDF和△CDM中，∠BFD＝∠CMD，∠BDF＝∠CDM，∴∠DBF＝∠DCM，又BM＝CM，BF＝CE，∴△BFM≌△CEM（SAS），∴FM＝EM，∠BMF＝∠CME，∵∠BMC＝90°，∴∠EMF＝90°，即△EMF为等腰直角三角形，∴EF=√2EM＝AE﹣CE，故③正确，∠MEF＝∠MFE＝45°，∵∠AEC＝90°，∴∠MEF＝∠AEM＝45°，故②正确，设AE与CM交于点N，连接DN，∵∠DMF＝∠NME，FM＝EM，∠DFM＝∠DEM＝∠AEM＝45°，∴△DFM≌△NEM（ASA），∴DF＝EN，DM＝MN，∴△DMN为等腰直角三角形，∴DN=√2DM，而∠DEA＝90°，∴DE2+DF2＝DN2＝2DM2，故④正确；∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠CAB＝45°，∵AE平分∠BAC，∴∠DAE＝∠CAE＝22.5°，∠ADE＝67.5°，∵∠DEM＝45°，∴∠EMD＝67.5°，即DE＝EM，∵AE＝AE，∠AED＝∠AEC，∠DAE＝∠CAE，∴△ADE≌△ACE（ASA），∴DE＝CE，∵△MEF 为等腰直角三角形，∴EF =√2EM ，∴MM MM=MM MM =MM MM =√2MM MM =√2，故⑤正确； ∵∠CDM ＝∠ADE ，∠CMD ＝∠AED ＝90°， ∴△CDM ∽△ADE ， ∴MM MM=MM MM =MM MM ， ∵BM ＝CM ，AE ＝CF ， ∴MM MM =MM MM ，∴CF •DM ＝BM •DE ，故⑥正确；故答案为：①②③④⑤⑥．26．【解答】解：∵点B 坐标为（1，1），∴OA ＝AB ＝BC ＝CO ＝CO 1＝1，∵A 1（2，3），∴A 1O 1＝A 1B 1＝B 1C 1＝C 1O 2＝3，∴B 1（5，3），∴A 2（8，9），∴A 2O 2＝A 2B 2＝B 2C 2＝C 2O 3＝9，∴B 2（17，9），同理可得B 3（53，27），B 4（161，81），…由上可知，B n （2×3n ﹣1，3n ），∴当n ＝2020时，B n （2×32020﹣1，32020）．故答案为：（2×32020﹣1，32020）．27．【解答】解：（1）∵MN 为⊙O 的直径，∴∠MPN ＝90°，∵PQ ⊥MN ，∴∠PQN ＝∠MPN ＝90°，∵NE 平分∠PNM ，∴∠MNE ＝∠PNE ，∴△PEN ∽△QFN ，∴MM MM =MM MM ，即MM MM =MM MM ①，∵∠PNQ +∠NPQ ＝∠PNQ +∠PMQ ＝90°，∴∠NPQ ＝∠PMQ ，∵∠PQN ＝∠PQM ＝90°，∴△NPQ ∽△PMQ ，∴MM MM =MM MM ②， ∴①×②得MM MM =MM MM ， ∵QF ＝PQ ﹣PF ， ∴MM MM =MM MM =1−MM MM ， ∴MM MM +MM MM =1，故答案为：1；（2）∵∠PNQ ＝∠MNP ，∠NQP ＝∠NPM ，∴△NPQ ∽△NMP ，∴MM MM =MM MM ，∴PN 2＝QN •MN ，∵PN 2＝PM •MN ，∴PM ＝QN ，∴MM MM =MM MM ， ∵cos ∠M =MM MM =MM MM ， ∴MM MM =MM MM ， ∴MM MM=MM MM +MM ， ∴NQ 2＝MQ 2+MQ •NQ ，即1=MM 2MM 2+MM MM ， 设MM MM=M ，则x 2+x ﹣1＝0， 解得，x =√5−12，或x =−√5+12＜0（舍去）， ∴MM MM =√5−12， 故答案为：√5−12．28．【解答】解：∵D 、E 为边AB 的三等分点，EF ∥DG ∥AC ， ∴BE ＝DE ＝AD ，BF ＝GF ＝CG ，AH ＝HF ，∴AB ＝3BE ，DH 是△AEF 的中位线，∴DH =12EF ，∵EF ∥AC ， ∴△BEF ∽△BAC ， ∴MM MM =MM MM ，即MM 6=MM 3MM ，解得：EF ＝2， ∴DH =12EF =12×2＝1，故答案为：1．29．【解答】解：①∵四边形ABCD 是正方形，∴∠B ＝∠ECG ＝90°，∵∠AEF ＝90°，∴∠AEB +∠CEG ＝∠AEB +∠BAE ，∴∠BAE ＝∠CEG ，∴△ABE ∽△ECG ，故①正确；②在BA 上截取BM ＝BE ，如图1，∵四边形ABCD 为正方形，∴∠B ＝90°，BA ＝BC ，∴△BEM 为等腰直角三角形，∴∠BME ＝45°，∴∠AME ＝135°，∵BA ﹣BM ＝BC ﹣BE ，∴AM ＝CE ，∵CF 为正方形外角平分线，∴∠DCF ＝45°，∴∠ECF ＝135°，∵∠AEF ＝90°，∴∠AEB +∠FEC ＝90°，而∠AEB +∠BAE ＝90°，∴∠BAE ＝∠FEC ，在△AME 和△ECF 中{∠MMM =∠MMM MM =MM MMMM =MMMM，∴△AME ≌△ECF （ASA ），∴AE ＝EF ，故②正确；③∵AE ＝EF ，∠AEF ＝90°，∴∠EAF ＝45°，∴∠BAE +∠DAF ＝45°，∵∠BAE +∠CFE ＝∠CEF +∠CFE ＝45°， ∴∠DAF ＝∠CFE ，故③正确；④设BE ＝x ，则BM ＝x ，AM ＝AB ﹣BM ＝2﹣x ， S △ECF ＝S △AME =12•x •（2﹣x ）=−12（x ﹣1）2+12， 当x ＝1时，S △ECF 有最大值12，故④错误．故答案为：①②③． 30．【解答】解：延长CE 、DA 交于Q ，如图1， ∵四边形ABCD 是矩形，BC ＝6，∴∠BAD ＝90°，AD ＝BC ＝6，AD ∥BC ， ∵F 为AD 中点，∴AF ＝DF ＝3，在Rt △BAF 中，由勾股定理得：BF =√MM 2+MM 2=√42+32=5，∵AD ∥BC ，∴∠Q ＝∠ECB ，∵E 为AB 的中点，AB ＝4，∴AE ＝BE ＝2，在△QAE 和△CBE 中{∠MMM =∠MMM MM =MMMMMM =MM∴△QAE ≌△CBE （AAS ），∴AQ ＝BC ＝6，即QF ＝6+3＝9，∵AD ∥BC ，∴△QMF ∽△CMB ，∴MM MM =MM MM =96， ∵BF ＝5，∴BM ＝2，FM ＝3，延长BF 和CD ，交于W ，如图2，同理AB ＝DW ＝4，CW ＝8，BF ＝FW ＝5，∵AB ∥CD ，∴△BNE ∽△WND ，∴MM MM =MM MM ， ∴MM 5−MM +5=24， 解得：BN =103， ∴MN ＝BN ﹣BM =103−2=43， 故答案为：43．31．【解答】解：∵点B 坐标为（1，1），∴OA ＝AB ＝BC ＝CO ＝CO 1＝1，∵A 1（2，3），∴A 1O 1＝A 1B 1＝B 1C 1＝C 1O 2＝3，∴B 1（5，3），∴A 2（8，9），∴A 2O 2＝A 2B 2＝B 2C 2＝C 2O 3＝9，∴B 2（17，9），同理可得B 3（53，27），B 4（161，81），…由上可知，M M (2×3M −1，3M )，∴当n ＝2020时，M M (2×32020−1，32020)．故答案为：（2×32020﹣1，32020）．32．【解答】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ＝CD ＝AD ＝2，∠BDC ＝∠EAF ＝45°，AC ⊥BD ，BD ＝AC ＝2√2，∵AE ＝AC ＝2√2，∠EF A ＝∠CBA ，∠EAF ＝∠BAC ＝45°，∴△AEF ≌△ACB （AAS ），∴∠E ＝∠ACB ＝45°，EF ＝BC ＝2，AF ＝AB ＝2，∴∠E ＝∠BDG ，∵EF ⊥AC ，AC ⊥BD ，∴EF ∥BD ，∴∠EFB ＝∠DBG ，∴△EBF ∽△DGB ，∴MM MM =MM MM ， ∴2√2−2MM =2√2， ∴DG ＝4﹣2√2，故答案为：4﹣2√2，33．【解答】（1）证明：∵AB 为⊙O 的直径，∴∠AEB ＝90°（直径所对的圆周角是直角），∴AF ⊥BC ．∵在△ABC 中 AB ＝AC ∴CE ＝BE （等腰三角形三线合一），∵AE ＝EF ．∴四边形ABFC 是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）．又∵AF ⊥BC ，∴▱ABFC 是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）．（2）解：∵圆内接四边形ABED ，∴∠ADE +∠ABC ＝180°（圆内接四边形的对角互补）．∵∠ADE +∠CDE ＝180°，∴∠ABC ＝∠CDE ．∵∠ACB ＝∠ECD （公共角）．∴△ECD ∽△ACB （两角分别对应相等的两个三角形相似）．∴MM MM =MMMM （相似三角形的对应边成比例）．∵四边形ABFC 是菱形，∴MM =MM =12MM =2．∴CE ＝2BC ＝4．∴2MM =14． ∴AC ＝8．∴AB ＝AC ＝8．∴⊙O 的半径为4．34．【解答】解：（1）证明：如图，连接OC ，∵AB 是直径，∴∠ACB ＝90°，∵OD ∥BC ，∴∠CFE ＝∠ACB ＝90°，∴∠DEC +∠FCE ＝90°，∵∠DEC ＝∠BDC ，∠BDC ＝∠A ，∴∠DEC ＝∠A ，∵OA ＝OC ，∴∠OCA ＝∠A ，∴∠OCA ＝∠DEC ，∵∠DEC +∠FCE ＝90°，∴∠OCA +∠FCE ＝90°，即∠OCE ＝90°，∴OC ⊥CE ，又∵OC 是⊙O 的半径，∴CE 是⊙O 切线．（2）由（1）得∠CFE ＝90°，∴OF ⊥AC ，∵OA ＝OC ，∴∠COF ＝∠AOF ，∴MM̂=MM ̂， ∴∠ACD ＝∠DBC ，又∵∠BDC ＝∠BDC ，∴△DCG ∽△DBC ，∴MM MM =MM MM ，∴DC 2＝DG •DB ＝9，∴DC ＝3，∵OC ＝OD ＝3，∴△OCD 是等边三角形，∴∠DOC ＝60°，在Rt △OCE 中MMM60°=MM MM， ∴√3=MM 3， ∴MM =3√3．35．【解答】证明：（1）∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AEB ＝90°，∴∠EAB +∠EBA ＝90°，∵∠CBE ＝∠BDE ，∠BDE ＝∠EAB ，∴∠EAB ＝∠CBE ，∴∠EBA +∠CBE ＝90°，即∠ABC ＝90°，∴CB ⊥AB ，∵AB 是⊙O 的直径，∴BC 是⊙O 的切线；（2）证明：∵BD 平分∠ABE ，∴∠ABD ＝∠DBE ，∵∠DAF ＝∠DBE ，∴∠DAF ＝∠ABD ，∵∠ADB ＝∠ADF ，∴△ADF ∽△BDA ，∴MM MM =MM MM ，∴AD 2＝DF •DB ．36．【解答】（1）证明：∵DE ∥AC ，∴∠DEB ＝∠FCE ，∵EF ∥AB ，∴∠DBE ＝∠FEC ，∴△BDE ∽△EFC ；（2）解：①∵EF ∥AB ，∴MM MM =MM MM =12， ∵EC ＝BC ﹣BE ＝12﹣BE ， ∴MM12−MM=12， 解得：BE ＝4； ②∵MM MM =12， ∴MM MM =23，∵EF ∥AB ，∴△EFC ∽△BAC ，∴M △MMMM △MMM =（MM MM ）2＝（23）2=49， ∴S △ABC =94S △EFC =94×20＝45． 37．【解答】解：（1）∵在正方形ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠DAG ＝∠F ，又∵AG 平分∠DAE ，∴∠DAG ＝∠EAG ，∴∠EAG ＝∠F ，∴EA ＝EF ，∵AB ＝2，∠B ＝90°，点E 为BC 的中点，∴BE ＝EC ＝1，∴AE =√MM 2+MM 2=√5，∴EF =√5，∴CF ＝EF ﹣EC =√5−1；（2）①证明：∵EA ＝EF ，EG ⊥AF ，∴AG ＝FG ，在△ADG 和△FCG 中{∠M =∠MMM MMMM =MMMM MM =MM，∴△ADG ≌△FCG （AAS ），∴DG ＝CG ，即点G 为CD 的中点；②设CD ＝2a ，则CG ＝a ，由①知，CF ＝DA ＝2a ，∵EG ⊥AF ，∠GCF ＝90°，∴∠EGC +∠CGF ＝90°，∠F +∠CGF ＝90°，∠ECG ＝∠GCF ＝90°，∴∠EGC ＝∠F ，∴△EGC ∽△GFC ，∴MM MM=MM MM ， ∵GC ＝a ，FC ＝2a ， ∴MM MM =12， ∴MM MM =12， ∴EC =12a ，BE ＝BC ﹣EC ＝2a −12a =32a ，∴λ=MM MM =12M 32M=13．五．相似三角形的应用（共4小题）38．【解答】解：长120cm 的木条与三角形木架的最长边相等，要满足两边之和大于第三边，则长120cm 的木条不能作为一边，设从120cm 的木条上截下两段长分别为xcm ，ycm （x +y ≤120），由于长60cm 的木条不能与75cm 的一边对应，否则x +y ＞120cm ，当长60cm 的木条与100cm 的一边对应，则M 75=M 120=60100， 解得：x ＝45，y ＝72； 当长60cm 的木条与120cm 的一边对应，则M 75=M 100=60120，解得：x ＝37.5，y ＝50．∴有两种不同的截法：把120cm 的木条截成45cm 、72cm 两段或把120cm 的木条截成37.5cm 、50cm 两段．故选：B ．39．【解答】解：泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度，金字塔的影长，推算出金字塔的高度，这种测量原理，就是我们所学的图形的相似，故选：D ．40．【解答】解：设投影三角尺的对应边长为xcm ，∵三角尺与投影三角尺相似，∴8：x ＝2：5，解得x ＝20．故选：A ．41．【解答】解：∵AE ⊥l ，BF ⊥l ，∵∠ANE ＝45°，∴△ANE 和△BNF 是等腰直角三角形，∴AE ＝EN ，BF ＝FN ，∴EF ＝15米，FM ＝2米，MN ＝8米，∴AE ＝EN ＝15+2+8＝25（米），BF ＝FN ＝2+8＝10（米），∴AN ＝25√2（米），BN ＝10√2（米），∴AB ＝AN ﹣BN ＝15√2（米）；过C 作CH ⊥l 于H ，过B 作PQ ∥l 交AE 于P ，交CH 于Q ，∴AE ∥CH ，∴四边形PEHQ 和四边形PEFB 是矩形，∴PE ＝BF ＝QH ＝10，PB ＝EF ＝15，BQ ＝FH ，∵∠1＝∠2，∠AEF ＝∠CHM ＝90°，∴△AEF ∽△CHM ，∴MM MM =MM MM =2515=53， ∴设MH ＝3x ，CH ＝5x ，∵CQ ＝5x ﹣10，BQ ＝FH ＝3x +2，∵∠APB ＝∠ABC ＝∠CQB ＝90°，∴∠ABP +∠P AB ＝∠ABP +∠CBQ ＝90°，∴∠P AB ＝∠CBQ ，∴△APB ∽△BQC ，∴MM MM =MM MM ，∴153M +2=155M −10，∴x ＝6，∴BQ ＝CQ ＝20，∴BC ＝20√2（米），方法二：∵∠ANE ＝45°，∴∠ABP ＝45°，∴∠CBQ ＝45°，∴CQ ＝BQ ，∵CQ ＝5x ﹣10，BQ ＝FH ＝3x +2，∴5x ﹣10＝3x +2，∴x ＝6，∴BQ ＝CQ ＝20，∴BC ＝20√2（米），故答案为：15√2，20√2．六．作图-相似变换（共1小题）42．【解答】解：（1）如图：作出∠APD＝∠ABP，即可得到△PCD∽△ABP；（2）证明：如图，∵∠APC＝2∠ABC，∠APD＝∠ABC，∴∠DPC＝∠ABC∴PD∥AB．七．位似变换（共4小题）43．【解答】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，OA：OD＝1：2，∴△ABC与△DEF的位似比是1：2．∴△ABC与△DEF的相似比为1：2，∴△ABC与△DEF的面积比为1：4，故选：C．44．【解答】解：∵以原点为位似中心，在原点的同侧画△DEF，使△DEF与△ABC成位似图形，且相似比为2：1，而A（1，2），C（3，1），∴D（2，4），F（6，2），∴DF=√(2−6)2+(4−2)2=2√5．故选：D．45．【解答】解：∵四边形ABCD与四边形A′B′C′D′位似，其位似中心为点O，OC＝6，CC′＝4，∴MMMM′=610=35，∴MMM′M′=35，∵AB＝3，∴A′B′＝5．故答案为：5．46．【解答】解：如图，∵△OAB∽△OA′B′，相似比为3：2，B（3.6），∴B′（2，4），根据对称性可知，△OA″B″在第三象限时，B″（﹣2，﹣4），∴满足条件的点B′的坐标为（2，4）或（﹣2，﹣4）．故答案为（2，4）或（﹣2，﹣4）．八．作图-位似变换（共2小题）47．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．（2）如图，△A2B2C2即为所求．48．【解答】解：（1）由题意知：△ABC的三个顶点的坐标分别是A（1，3），B（4，1），C（1，1），则△ABC关于x轴成轴对称的△A1B1C1的坐标为A1（1，﹣3），B1（4，﹣1），C1（1，﹣1），连接A1C1，A1B1，B1C1得到△A1B1C1．如图所示△A1B1C1为所求；（2）由题意知：位似中心是原点，则分两种情况：第一种，△A2B2C2和△ABC在同一侧则A2（2，6），B2（8，2），C2（2，2），连接各点，得△A2B2C2．第二种，△A2B2C2在△ABC的对侧A2（﹣2，﹣6），B2（﹣8，﹣2），C2（﹣2，﹣2），连接各点，得△A2B2C2．因为在网格中作图，图中网格是有范围的，只能在网格中作图，所以位似放大只能画一个．综上所述：如图所示△A2B2C2为所求．九．相似形综合题（共2小题）49．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝∠C＝90°，由折叠对称知：∠AGE＝∠B＝90°，∠AHF＝∠D＝90°，∴∠GHF＝∠C＝90°，∠EGC+∠HGF＝90°，∠GFH+∠HGF＝90°，∴∠EGC＝∠GFH，∴△EGC∽△GFH．（2）解：∵S△GFH：S△AFH＝2：3，且△GFH和△AFH等高，∴GH：AH＝2：3，∵将△ABE沿着AE折叠，点B刚好落在CD边上点G处，∴AG＝AB＝GH+AH＝20，∴GH＝8，AH＝12，∴AD＝AH＝12．（3）解：在Rt△ADG中，DG=√MM2−MM2=√202−122=16，由折叠的对称性可设DF＝FH＝x，则GF＝16﹣x，∵GH2+HF2＝GF2，∴82+x2＝（16﹣x）2，解得：x＝6，∴HF＝6，在Rt△GFH中，tan∠GFH=MMMM=86=43．50．【解答】解：（1）∵△ADE由△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，△ABC≌△ADE，在Rt△ABD中，∠B＝∠ADB＝45°，∴∠ADE＝∠B＝45°，∴∠BDE＝∠ADB+∠ADE＝90°．（2）①DF＝PF．证明：由旋转的性质可知，AC＝AE，∠CAE＝90°，在Rt△ACE中，∠ACE＝∠AEC＝45°，∵∠CDF＝∠CAD，∠ACE＝∠ADB＝45°，∴∠ADB+∠CDF＝∠ACE+∠CAD，即∠FPD＝∠FDP，∴DF＝PF．②证明：过点P作PH∥ED交DF于点H，。

专题14.1平行四边形精选考点专项突破卷（一）考试范围：平行四边形；考试时间：90分钟；总分：120分一、单选题（每小题3分，共30分)1．（2019·湖南中考真题）已知一个多边形的内角和是1080°，则这个多边形是（）A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形2．（2019·湖北中考真题）如图，在△ABC中，点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，已知∠ADE=65°，则∠CFE的度数为（）A．60°B．65°C．70°D．75°3．（2016·辽宁中考真题）如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，若AB＝6，EF＝2，则BC的长为（）A．8 B．10 C．12 D．144．（2019·黑龙江中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，平行四边形OABC的顶点A在反比例函数1yx=上，顶点B在反比例函数5yx=上，点C在x轴的正半轴上，则平行四边形OABC的面积是（）A．32B．52C．4D．65．（2019·海南中考真题）如图，在ABCD Y 中，将ADC ∆沿AC 折叠后，点D 恰好落在DC 的延长线上的点E 处．若=60B ︒∠，=3AB ，则ADE ∆的周长为（ ）A ．12B ．15C ．18D ．216．（2019·山东中考真题）如图，E 是ABCD Y 边AD 延长线上一点，连接BE ，CE ，BD ，BE 交CD 于点F ．添加以下条件，不能判定四边形BCED 为平行四边形的是（ ）A ．ABD DCE ∠=∠B ．DF CF =C ．AEB BCD ∠=∠ D ．AEC CBD ∠=∠7．（2019·广东中考真题）如图，平行四边形ABCD 中，AB=2，AD=4，对角线AC ，BD 相交于点O ，且E ，F ，G ，H 分别是AO ，BO ，CO ，DO 的中点，则下列说法正确的是（ ）A ．EH=HGB ．四边形EFGH 是平行四边形C ．AC⊥BD D ．ABO ∆的面积是EFO ∆的面积的2倍8．（2019·广西中考真题）如图，在ABC ∆中，,D E 分别是,AB BC 的中点，点F 在DE 延长线上，添加一个条件使四边形ADFC 为平行四边形，则这个条件是（ ）A ．B F ∠=∠ B ．B BCF ∠=∠C ．AC CF =D ．AD CF =9．（2016·浙江中考真题）小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是（ ）A ．①，②B ．①，④C ．③，④D ．②，③10．（2017·山东中考模拟）如图，在矩形ABCD 中，P 、R 分别是BC 和DC 上的点，E 、F 分别是AP 和RP 的中点，当点P 在BC 上从点B 向点C 移动，而点R 不动时，下列结论正确的是（ ）A ．线段EF 的长逐渐增长B ．线段EF 的长逐渐减小C ．线段EF 的长始终不变D ．线段EF 的长与点P 的位置有关二、填空题（每小题4分，共28分) 11．（2018·湖北中考真题）如图，已知▱ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，且AC=8，BD=10，AB=5，则△OCD 的周长为_____．12．（2019·四川中考真题）如图，▱ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，点E 是AB 的中点，BEO ∆的周长是8，则BCD ∆的周长为_____．13．（2015·江苏中考真题）如图，▱ABCD 中，E 为AD 的中点，BE ，CD 的延长线相交于点F ，若△DEF 的面积为1，则▱ABCD 的面积等于 ．14．（2013·江苏中考真题）如图，在Y ABCD 中，AB=6cm ，AD=9cm ，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于点F ，BG⊥AE，垂足为G ，BG=，则EF ＋CF 的长为 cm 。

2020数学中考尺规作图专项训练（原创) 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．如图，已知△ABC，请用圆规和直尺作出△ABC的一条中位线EF（不写作法，保留作图痕迹）．2．如图，已知△ABC中，∠ABC=90°．（1）尺规作图：按下列要求完成作图（保留作图痕迹，请标明字母）①作线段AC的垂直平分线l，交AC于点O；②连接BO并延长，在BO的延长线上截取OD，使得OD=OB；③连接DA、DC．（2）判断四边形ABCD的形状，并说明理由．3．为进一步打造“宜居重庆”，某区拟在新竣工的矩形广场的内部修建一个音乐喷泉，要求音乐喷泉M到广场的两个入口A、B的距离相等，且到广场管理处C的距离等于A和B之间距离的一半，A、B、C的位置如图所示．请在答题卷的原图上利用尺规作图作出音乐喷泉M的位置．（要求：不写已知、求作、作法和结论，保留作图痕迹，必须用铅笔作图）4．如图，已知在正方形ABCD中，M是BC边上一定点，连接AM，请用尺规作图法，在AM上求作一点P，使得△DP A∽△ABM（不写做法保留作图痕迹）5．如图，已知△ABC，请用尺规过点A作一条直线，使其将△ABC分成面积相等的两部分，（保留作图痕迹，不写作法）△的角平分线．6．如图，AD是ABC（1）作线段AD的垂直平分线EF，分别交AB、AC于点E、F；（用直尺和圆规作图，标明字母，保留作图痕迹，不写作法．）（2）连接DE、DF，四边形AEDF是________形．（直接写出答案）7．已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，现按如下步骤作图：①分别以A，C为圆心，a为半径（a＞AC）作弧，两弧分别交于M，N两点；②过M，N两点作直线MN交AB于点D，交AC于点E；③将△ADE绕点E顺时针旋转180°，设点D的像为点F（1）请在图中直线标出点F并连接CF；（2）求证：四边形BCFD是平行四边形；（3）当∠B为多少度时，四边形BCFD是菱形．8．如图，已知△ABC，∠C=90°，AC<BC，D为BC上一点，且到A，B两点的距离相等．（1）用直尺和圆规，作出点D 的位置（不写作法，保留作图痕迹）；（2）连结AD ，若∠B=37°，求∠CAD 的度数．9．如图，ABC ∆中，AB AC =，小聪同学利用直尺和圆规完成了如下操作： ①作BAC ∠的平分线AM 交BC 于点D ；②作边AB 的垂直平分线EF ，EF 与AM 相交于点P ；③连接PB ，PC .请你观察图形解答下列问题：（1）线段PA ，PB ，PC 之间的数量关系是________；（2）若70ABC ∠=，求BPC ∠的度数.10．如图，在△ABC 中，∠C=60°，∠A=40°．（1）用尺规作图作AB 的垂直平分线，交AC 于点D ，交AB 于点E （保留作图痕迹，不要求写作法和证明）；（2）求证：BD 平分∠CBA ．11．两个城镇A ，B 与一条公路CD ，一条河流CE 的位置如图所示，某人要修建一避暑山庄，要求该山庄到A ，B 的距离必须相等，到CD 和CE 的距离也必须相等，且在∠DCE 的内部，请画出该山庄的位置P ．（不要求写作法，保留作图痕迹．）12．如图，在△ABC中，点P是AC上一点，连接BP，求作一点M，使得点M到AB 和AC两边的距离相等，并且到点B和点P的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹）13．已知△ABC中，∠A＝25°，∠B＝40°．（1）求作：⊙O，使⊙O经过A、C两点，且圆心落在AB边上；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．）（2）求证：BC是（1）中所作⊙O的切线．14．已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC．点E为CD边上一点，AE与BE分别为∠DAB和∠CBA的平分线．（1）请你添加一个适当的条件，使得四边形ABCD是平行四边形，并证明你的结论；（2）作线段AB的垂直平分线交AB于点O，并以AB为直径作⊙O（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（3）在（2）的条件下，⊙O交边AD于点F，连接BF，交AE于点G，若AE=4，sin∠AGF= 4，求⊙O的半径．515．按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹.（1）如图1，A为圆E上一点，请用直尺（不带刻度）和圆规作出圆内接正方形；（2）我们知道，三角形具有性质，三边的垂直平分线相交于同一点，三条角平分线相交于一点，三条中线相交于一点，事实上，三角形还具有性质：三条高交于同一点，请运用上述性质，只用直尺（不带刻度）作图：①如图2，在□ABCD中，E为CD的中点，作BC的中点F;②图3，在由小正方形组成的网格中，的顶点都在小正方形的顶点上，作△ABC 的高AH16．已知△ABC 中，∠A=90°．（1）请在图1中作出BC 边上的中线（保留作图痕迹，不写作法）；（2）如图2，设BC 边上的中线为AD ，求证：BC=2AD ．17．如图，△ABC 是等腰三角形，AB=AC ，请你用尺规作图将△ABC 分成两个全等的三角形，并说明这两个三角形全等的理由．（保留作图痕迹，不写作法）18．如图，在Rt ABC 中，C 90∠=，AC 3=，BC 4=，D 、E 分别是斜边AB 、直角边BC 上的点，把ABC 沿着直线DE 折叠．()1如图1，当折叠后点B 和点A 重合时，用直尺和圆规作出直线DE ；(不写作法和证明，保留作图痕迹)()2如图2，当折叠后点B 落在AC 边上点P 处，且四边形PEBD 是菱形时，求折痕DE 的长．19．如图，在Rt ABC ∆中，0090,30,B A AC ∠=∠==（1）利用尺规作线段AC 的垂直平分线DE ，垂足为E ，交AB 于点D ；（保留作图痕迹，不写作法）（2）若ADE ∆的周长为a ，先化简()()211T a a a =+--，再求T 的值．20． 尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：已知线段和，点在上（如图所示）.（1）在边上作点，使； （2）作的平分线； （3）过点作的垂线.参考答案1．作图见解析【解析】【分析】作线段AB的垂直平分线得到AB的中点E，作AC的垂直平分线得到线段AC的中点F．线段EF即为所求．【详解】如图，△ABC的一条中位线EF如图所示，方法：作线段AB的垂直平分线得到AB的中点E，作AC的垂直平分线得到线段AC的中点F．线段EF即为所求．2．（1）作图见解析；（2）四边形ABCD是矩形，理由见解析．【解析】【分析】（1）①利用线段垂直平分线的作法得出即可；②利用射线的作法得出D点位置；③连接DA、DC即可求解；（2）利用直角三角形斜边与其边上中线的关系进而得出AO=CO=BO=DO，进而得出答案．【详解】解：（1）①如图所示：②如图所示：③如图所示：（2）四边形ABCD是矩形，理由：∵Rt△ABC中，∠ABC=90°，BO是AC边上的中线，∴BO=12AC，∵BO=DO，AO=CO，∴AO=CO=BO=DO，∴四边形ABCD是矩形．【点睛】本题考查作图—基本作图；矩形的判定．3．解：作AB的垂直平分线，以点C为圆心，以AB的一半为半径画弧交AB的垂直平分线于点M即可．【解析】【分析】【详解】易得M在AB的垂直平分线上，且到C的距离等于AB的一半．4．作图见解析.【解析】【分析】根据尺规作图的方法过点D作AM的垂线即可得【详解】如图所示，点P即为所求作的点.【点睛】本题考查了尺规作图——作垂线，熟练掌握作图的方法是解题的关键.5．见下图．【解析】试题分析：作BC边上的中线，即可把△ABC分成面积相等的两部分．试题解析：如图，直线AD即为所求：考点：作图—复杂作图．6．（1）见解析；（2）菱形.【解析】【分析】（1）线段的垂直平分线过线段的中点，且垂直于该线段.△的角平分线，且EF是AD的垂直平分线，可知四边形AEDF满（2）根据AD是ABC足菱形的条件.【详解】（1）如图，直线EF即为所求作的垂直平分线．△的角平分线，且EF是AD的垂直平分线，可知四边形AEDF的（2）根据AD是ABC对角线互相垂直，因此为菱形.【点睛】本题考查垂直平分线的概念和作法，以及菱形的判定定理.7．（1）见解析；（2）见解析；（3）60°【解析】【分析】（1）根据题意作出图形即可；（2）首先根据作图得到MN是AC的垂直平分线，然后得到DE等于BC的一半，从而得到DE=EF，即DF=BC，然后利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进行判定即可；（3）得到BD=CB后利用邻边相等的平行四边形是菱形进行判定即可【详解】解：（1）如图所示：（2）∵根据作图可知：MN垂直平分线段AC∴D、E为线段AB和AC的中点，∴DE是△ABC的中位线∴DE=BC，∵将△ADE绕点E顺时针旋转180°，点D的像为点F∴EF=ED，∴DF=BC，∵DE∥BC∴四边形BCFD是平行四边形；（3）当∠B=60°时，四边形BCFD是菱形∵∠B=60°∴BC=AB，∵DB=AB∴DB=CB∵四边形BCFD是平行四边形∴四边形BCFD是菱形．考点：菱形的判定；平行四边形的判定；作图-旋转变换8．（1）点D的位置如图所示（D为AB中垂线与BC的交点）．（2）16°．【解析】【分析】（1）根据到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，作出AB的中垂线．（2）要求∠CAD的度数，只需求出∠CAD，而由（1）可知：∠CAD=2∠B【详解】解：（1）点D的位置如图所示（D为AB中垂线与BC的交点）．（2）∵在Rt△ABC中，∠B=37°，∴∠CAB=53°．又∵AD=BD，∴∠BAD=∠B=37°．∴∠CAD=53°—37°=16°．考点：尺规作图，直角三角形两锐角互余、垂直平分线的性质．==；（2）80°.9．（1）PA PB PC【解析】分析：（1）根据线段的垂直平分线的性质可得：PA=PB=PC；（2）根据等腰三角形的性质得：∠ABC=∠ACB=70°，由三角形的内角和得：∠BAC=180°-2×70°=40°，由角平分线定义得：∠BAD=∠CAD=20°，最后利用三角形外角的性质可得结论．详解：（1）如图，PA=PB=PC，理由是：∵AB=AC，AM平分∠BAC，∴AD是BC的垂直平分线，∴PB=PC，∵EP是AB的垂直平分线，∴PA=PB，∴PA=PB=PC；故答案为PA=PB=PC；（2）∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=70°，∴∠BAC=180°-2×70°=40°，∵AM平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD=20°，∵PA=PB=PC，∴∠ABP=∠BAP=∠ACP=20°，∴∠BPC=∠ABP+∠BAC+∠ACP=20°+40°+20°=80°．点睛：本题考查了角平分线和线段垂直平分线的基本作图、等腰三角形的三线合一的性质、三角形的外角性质、线段的垂直平分线的性质，熟练掌握线段的垂直平分线的性质是关键．10．（1）作图见试题解析；（2）证明见试题解析．【解析】试题分析：（1）分别以A、B两点为圆心，以大于12AB长度为半径画弧，在AB两边分别相交于两点，然后过这两点作直线即为AB的垂直平分线；（2）根据线段垂直平分线的性质和三角形的内角和证明即可．试题解析：（1）如图1所示：（2）连接BD，如图2所示：∵∠C=60°，∠A=40°，∴∠CBA=80°，∵DE是AB的垂直平分线，∴∠A=∠DBA=40°，∴∠DBA=12∠CBA，∴BD平分∠CBA．考点：1．作图—基本作图；2．线段垂直平分线的性质．11．作图见解析．【解析】【分析】根据角平分线的性质可知：到CD和CE的距离相等的点在∠DCE的角平分线上，所以第一步作：∠ECD的平分线CF；根据中垂线的性质可得：到A、B的距离相等的点在AB的垂直平分线上，所以第二步作线段AB的垂直平分线MN，其交点就是P点.【详解】作法：①作∠ECD的平分线CF，②作线段AB的中垂线MN，③MN与CF交于点P，则P就是山庄的位置．12．见解析.【解析】【分析】根据角平分线的作法、线段垂直平分线的作法作图即可．【详解】解：如图，点M即为所求，作法：如解图，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB、AC于D、E两点，再分别以D、E为圆心，以大于12DE长为半径画弧，两弧交于点F，连接AF；以B、P为圆心，以大于12BP长为半径画弧，两弧分别交于G、H，连接GH，则GH的延长线与AF的延长线的交点即为所求的点M.【点睛】本题考查的是复杂作图、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，掌握基本尺规作图的一般步骤是解题的关键．13．(1)作图见解析；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）作出线段AC的垂直平分线进而得出AC垂直平分线与线段AB的交点O，进而以AO为半径做圆即可.（2）连接CO，由圆周角定理和三角形内角和定理，利用已知得出∠OCB=90°，进而求出即可．试题解析：解：（1）作图如答图1：（2）证明：如答图2，连接OC，∵OA=OC，∠A=25°，∴∠BOC=50°.又∵∠B=40，∴∠BOC+∠B=90°.∴∠OCB=90°.∴OC⊥BC.∴BC是⊙O的切线．考点：1.作图（复杂作图）；2. 线段垂直平分线的性质；3.圆周角定理；4.三角形内角和定理；5.切线的判定．14．（1）当AD=BC时，四边形ABCD是平行四边形，理由见解析；（2）作出相应的图形见解析；（3）圆O的半径为2.5．【解析】分析：（1）添加条件AD=BC，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形验证即可；（2）作出相应的图形，如图所示；（3）由平行四边形的对边平行得到AD与BC平行，可得同旁内角互补，再由AE与BE为角平分线，可得出AE与BE垂直，利用直径所对的圆周角为直角，得到AF与FB垂直，可得出两锐角互余，根据角平分线性质及等量代换得到∠AGF=∠AEB，根据sin∠AGF的值，确定出sin∠AEB的值，求出AB的长，即可确定出圆的半径．详解：（1）当AD=BC时，四边形ABCD是平行四边形，理由为：证明：∵AD∥BC，AD=BC，∴四边形ABCD为平行四边形；故答案为：AD=BC；（2）作出相应的图形，如图所示；（3）∵AD∥BC，∴∠DAB+∠CBA=180°，∵AE与BE分别为∠DAB与∠CBA的平分线，∴∠EAB+∠EBA=90°，∴∠AEB=90°，∵AB为圆O的直径，点F在圆O上，∴∠AFB=90°，∴∠FAG+∠FGA=90°，∵AE平分∠DAB，∴∠FAG=∠EAB，∴∠AGF=∠ABE，∴sin∠ABE=sin∠AGF=45AEAB ，∵AE=4，∴AB=5，则圆O的半径为2.5．点睛：此题属于圆综合题，涉及的知识有：圆周角定理，平行四边形的判定与性质，角平分线性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌握各自的性质及定理是解本题的关键．15．（1）见解析；（2）①见解析；②见解析.【解析】【分析】(1)作直径AC，分别以A、C为圆心，以大于AC的一半长为半径画弧，在AC的两侧分别交于点M、N，作直线MN交圆于点B，D，四边形ABCD即为所求；(2)①连接AC、BD交于点O，则O为BD的中点，连接BE交CO于点G，连接DG并延长交BC于点F，则F即为所求；②如图，利用网格特点连接BM，则可得直线BM⊥AC，连接CN，则可得直线CN⊥AB，两线交于点E，连接AE并延长交BC于点H，则AH即为所求.【详解】(1)如图所示，四边形ABCD即为所求；(2)①如图所示，点F即为所求；②如图所示，AH即为所求.【点睛】本题考查了尺规作图，无刻度直尺作图，熟练掌握尺规作图的方法以及无刻度直尺作图的方法是解题的关键.16．（1）作图见解析；（2）证明见解析.【解析】分析：（1）如图1，作BC的垂直平分线得到BC的中点D，从而得到BC边上的中线AD；（2）延长AD到E，使ED=AD，连接EB、EC，如图2，通过证明四边形ABEC为矩形得到AE=BC，从而得到BC=2AD．详（1）解：如图1，AD为所作；（2）证明：延长AD到E，使ED=AD，连接EB、EC，如图2，∵CD=BD，AD=ED，∴四边形ABEC为平行四边形，∵∠CAB=90°，∴四边形ABEC为矩形，∴AE=BC，∴BC=2AD．点睛：本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了矩形的判定与性质．17．作图见解析.【解析】试题分析：作出底边BC 的垂直平分线，交BC 于点D ，利用三线合一得到D 为BC 的中点，可得出三角形ADB 与三角形ADC 全等．试题解析：解：作出BC 的垂直平分线，交BC 于点D ，∵AB=AC ，∴AD 平分∠BAC ，即∠BAD=∠CAD ，在△ABD 和△ACD 中，{AB =AC ∠BAD =∠CAD AD =AD，∴△ABD ≌△ACD （SAS ）．考点：作图—应用与设计作图；全等三角形的判定；等腰三角形的性质18．()1画图见解析；()2DE =【解析】【分析】 ()1由折叠后点B 和点A 重合，可知DE 垂直平分AB ，作线段AB 的垂直平分线即可得出结论；()2连接BP ，由菱形的性质可得出PE BE =，设CE x =，则BE PE 4x ==-，由PE //AB 可得出PCE ∽ACB ，根据相似三角形的性质可求出x 的值，进而可得出CE 、BE 、PE 的值，在Rt PCE 和Rt PCB 中，利用勾股定理可求出PC 、BP 的值，由菱形的面积公式可得出1BE PC DE BP 2⋅=⋅，代入各值即可求出折痕DE 的长． 【详解】 ()1作直线AB 的垂直平分线DE ，如图1所示；()2在Rt ABC 中，C 90∠=，AC 3=，BC 4=，AB 5∴==，连接BP ，如图2所示，四边形PEBD 是菱形，PE BE ∴=，设CE x =，则BE PE 4x ==-，PE //AB ，PCE ∴∽ACB ，CE PE CB AB ∴=，即x 4x 45-=， 16x 9∴=， 16CE 9∴=，20BE PE 9==， 在Rt PCE 中，20PE 9=，16CE 9=，4PC 3∴==， 在Rt PCB 中，4PC 3=，BC 4=，BP ∴==又PEBD 1S BE PC DE BP 2=⋅=⋅菱形，1204293∴=⨯，DE ∴= 【点睛】本题考查了垂直平分线的画法、轴对称的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、菱形的性质以及菱形的面积，解题的关键是：(1)牢记线段垂直平分线的画法；(2)利用菱形的面积公式求出DE 的值．19．（1）作图见解析；（2）10.【解析】【详解】试题分析：（1）尺规作图——作线段的垂直平分线；（2）化简求值，利用三角函数求其余两边的长度.试题解析：（1）如图所示：（2）2(1)(1)31T a a a a =+--=+，∵1122AE AC ==⨯=，∴2cos cos30AE AE AD A ====︒ ,∴1sin sin 30=212DE AD A AD ==︒⨯= ，∴123a =+=，3110T a ∴=+=.20．作图见解析.【解析】本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

专题14 尺规作图问题1．已知：如图，△ABC为锐角三角形，AB＝AC，CD∥AB．求作：线段BP，使得点P在直线CD上，且∠ABP=12∠BAC．作法：①以点A为圆心，AC长为半径画圆，交直线CD于C，P两点；②连接BP．线段BP就是所求作的线段．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：∵CD∥AB，∴∠ABP＝．∵AB＝AC，∴点B在⊙A上．又∵点C，P都在⊙A上，∴∠BPC=12∠BAC（）（填推理的依据）．∴∠ABP=12∠BAC．【答案】见解析。

【分析】（1）根据作法即可补全图形；（2）根据等腰三角形的性质和同弧所对圆周角等于圆心角的一半即可完成下面的证明．【解析】（1）如图，即为补全的图形；（2）证明：∵CD∥AB，∴∠ABP＝∠BPC．∵AB＝AC，∴点B在⊙A上．又∵点C，P都在⊙A上，∴∠BPC=12∠BAC（同弧所对的圆周角等于圆心角的一半），∴∠ABP=12∠BAC．故答案为：∠BPC，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半．2．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，且BD＝BA．（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：①作∠ABC的角平分线交AD于点E；②作线段DC的垂直平分线交DC于点F．（2）连接EF，直接写出线段EF和AC的数量关系及位置关系．【答案】见解析。

【分析】（1）根据尺规作基本图形的方法：①作∠ABC的角平分线交AD于点E即可；②作线段DC的垂直平分线交DC于点F即可．（2）连接EF，根据等腰三角形的性质和三角形中位线定理，即可写出线段EF和AC的数量关系及位置关系．【解析】（1）如图，①BE即为所求；②如图，线段DC的垂直平分线交DC于点F．（2）∵BD ＝BA ，BE 平分∠ABD ，∴点E 是AD 的中点，∵点F 是CD 的中点，∴EF 是△ADC 的中位线，∴线段EF 和AC 的数量关系为：EF =12AC ，位置关系为：EF ∥AC ．3.如图，已知△ABC ，AC ＞AB ，∠C ＝45°．请用尺规作图法，在AC 边上求作一点P ，使∠PBC ＝45°．（保留作图痕迹．不写作法）【答案】见解析。