2021-2022学年山西省太原市高二(下)期中数学试卷(解析版)

2021-2022学年山西省太原市高二（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其字母标号填入下表相应位置）

1．在统计中，研究两个分类变量是否存在关联性时，常用的图表有（ ）

A．散点图和残差图

B．残差图和列联表

C．散点图和等高堆积条形图

D．等高堆积条形图和列联表

2．若，则m＝（ ）

A．2 B．4

C．2或4 D．以上答案都不对

3．从5件不同的礼物中选出2件，分别送给甲、乙两人，每人一件礼物，则不同的送法种数为（ ）

A．10 B．20 C．25 D．32

4．下列关于χ2独立性检验的说法正确的是（ ）

A．用χ2独立性检验推断的结论可靠，不会犯错误

B．用χ2独立性检验推断的结论可靠，但会犯随机性错误

C．χ2独立性检验的方法适用普查数据

D．对于不同的小概率值α，用χ2独立性检验推断的结论相同

5．如图四幅散点图所对应的样本相关系数的大小关系为（ ）

A．r2＜r4＜r3＜r1 B．r4＜r2＜r3＜r1

C．r2＜r4＜r1＜r3 D．r4＜r2＜r1＜r3

6．现有壹圆、伍圆、拾圆、贰拾圆和伍拾圆的人民币各1张，用它们可以组成的不同币值的种数为（ ）

A．31 B．32 C．63 D．64 7．以下说法错误的是（ ）

A．用样本相关系数r来刻画成对样本数据的相关程度时，若|r|越大，则成对样本数据的线性相关程度越强

B．经验回归方程一定经过点（，）

C．用残差平方和来刻画模型的拟合效果时，若残差平方和越小，则相应模型的拟合效果越好

D．用决定系数R2来刻画模型的拟合效果时，若R2越小，则相应模型的拟合效果越好

8．已知随机变量X的期望E（X）＝0，方差D（X）＝1，随机变量Y＝2X﹣1，则下列结论正确的是（ ）

A．E（Y）＝﹣1，D（Y）＝3 B．E（Y）＝1，D（Y）＝3

C．E（Y）＝﹣1，D（Y）＝4 D．E（Y）＝1，D（Y）＝4

9．1515除以8的余数为（ ）

A．﹣1 B．1 C．6 D．7

10．某校高二年级某次数学学业质量检测考试成绩X～N（80，25），规定成绩大于或等于85分为A等级，已知该年级有考生500名，则这次考试成绩为A等级的考生数约为（ ）

（附：P（μ﹣σ≤X≤μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ≤X≤μ+2σ）＝0.9545，P（μ﹣3σ≤X≤μ+3σ）＝0.9973）

A．11 B．79 C．91 D．159

11．有编号为1，2，3，4，5的5支竹签，从中任取3支，设X表示这3支竹签的最小编号，则D（X）＝（ ）

A．4.5 B．2.5 C．1.5 D．0.45

12．某校高二年级一班星期一上午有4节课，现从语文、数学、英语、物理、历史和体育这6门学科中任选4门排在上午的课表中，若前2节只能排语文、数学和英语，数学课不能排在第4节，体育只能排在第4节，则不同的排法种数为（ ）

A．18 B．48 C．50 D．54

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案写在题中横线上）

13．已知随机变量X～B（10，0.3），则E（X）＝ ．

14．已知女儿身高y（单位：cm）关于父亲身高x（单位：cm）的经验回归方程为，当父亲身高每增加1cm，则女儿身高平均增加 ． 15．长期吸烟可能引发患肺癌．据调查，某地市民大约有0.03%的人患肺癌，该地大约有0.1%的市民吸烟时间超过20年，这些人患肺癌率约为10%．现从吸烟时间不超过20年的市民中随机抽取1名市民，则他患肺癌的概率为 ． 16．甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外三人中的任何一人，则经过6次传球后，球在甲手中的概率为 ．

三、解答题（本大题共3小题，共48分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（1）求（2x2+）6的展开式的常数项；

（2）求的展开式中的x的系数．

18．已知甲袋中装有4个白球，6个黑球，乙袋中装有4个白球，5个黑球．先从甲袋中随机取出1个球放入乙袋，再从乙袋中随机取出1个球．

（1）在从甲袋取出白球的条件下，求从乙袋取出白球的概率；

（2）求从乙袋取出白球的概率．

19．为了研究一种新药治疗某种疾病是否有效，进行了临床试验．采用有放回简单随机抽样的方法得到如下的数据：抽到服用新药的患者55名，其中45名治愈，10名未冶愈；抽到服用安慰剂（没有任何疗效）的患者45名，其中25名治愈，20名未治愈．

（1）根据上述信息完成服用新药和治疗该种疾病的样本数据的2×2列联表；

疗法 疗效 合计

治愈 未治愈

服用新药

服用安慰剂

合计

（2）依据α＝0.01的独立性检验，能否认为新药对治疗该种疾病有效？并解释得到的结论．

附：．

α 0.10 0.01 0.001

xα 2.706 6.635 10.828

说明：请同学们在（A）、（B）两个小题中任选一题作答．（A） 20．有一个摸球中奖游戏，在一个袋子中装有除颜色外完全相同的10个小球，其中有6个红球和4个白球，从中随机摸出5个球，至少有4个红球则中奖．

（1）若有放回地每次摸出1个球，连续摸5次，求中奖的概率；

（2）现有两种摸球方案，方案一：按（1）的方式摸球；方案二：无放回地一次摸出5个球．

若小明要进行摸球游戏，请问他应该选择哪种方案？

（B）

21．有一个摸球中奖游戏，在一个袋子中装有除颜色外完全相同的10个小球，其中有6个红球和4个白球，从中随机摸出5个球，至少有3个红球则中奖．

（1）若有放回地每次摸出1个球，连续摸5次，求中奖的概率；

（2）现有两种摸球方案．

方案一：按（1）的方式摸球；

方案二：无放回地一次摸出5个球．

若小明要进行摸球游戏，请问他应该选择哪种方案？

（本小题满分10分）说明：请同学们在（A）、（B）两个小题中任选一题作答．（A）

22．某高科技公司对其产品研发年投资额x（单位：百万元）与其年销售量y（单位：千件）的数据进行统计，整理后得到如下统计表1和散点图．

表1：

x 1 2 3 4 5

y 0.5 1 1.5 3 5.5

（1）求年销售量y关于年投资额x的线性经验回归方程；

（2）该公司科研团队通过进一步分析散点图的特征后，计划用y＝ekx+a作为年销售量y关于年投资额x的非线性经验回归方程，请根据表2的数据，求出此方程；

表2：

x 1 2 3 4 5

z＝lny ﹣0.7 0 0.4 1.1 1.7

（3）根据e0.59≈1.8，e﹣1.27≈0.3及表3的数据，请用残差平方Q＝（yi﹣）2比较（1）和（2）中经验回归方程的拟合效果哪个更好？ 表3：

n 2 3 4 5

1.8n的近似值 3.2 5.8 10.5 18.9 参考公式：＝＝，＝﹣．

参考答案

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其字母标号填入下表相应位置）

1．在统计中，研究两个分类变量是否存在关联性时，常用的图表有（ ）

A．散点图和残差图

B．残差图和列联表

C．散点图和等高堆积条形图

D．等高堆积条形图和列联表

【分析】据题意，依次分析选项的图、表，结合其统计意义，即可得答案．

解：∵散点图体现的是变量间相关性的强弱，残差图体现预报变量与实际值之间的差距，∴ABC错误，

∵等高条形图能直观地反映两个分类变量是否有关系，对于列联表，计算k2的值即可，∴D正确，

故选：D．

2．若，则m＝（ ）

A．2 B．4

C．2或4 D．以上答案都不对

【分析】利用组合数的性质求解即可． 解：因为＝，

所以2＝m或2+m＝6，

解得m＝2或m＝4．

故选：C．

3．从5件不同的礼物中选出2件，分别送给甲、乙两人，每人一件礼物，则不同的送法种数为（ ）

A．10 B．20 C．25 D．32

【分析】从5件不同的礼物中选出2件，分给甲乙即可．

解：从5件不同的礼物中选出2件，分别送给甲、乙两人，每人一件礼物，则不同的送法种数为＝20，

故选：B．

4．下列关于χ2独立性检验的说法正确的是（ ）

A．用χ2独立性检验推断的结论可靠，不会犯错误

B．用χ2独立性检验推断的结论可靠，但会犯随机性错误

C．χ2独立性检验的方法适用普查数据

D．对于不同的小概率值α，用χ2独立性检验推断的结论相同

【分析】根据独立性检验的知识可进行判断．

解：χ2值的大小用于判断两个变量之间相关关系的强弱，而根据χ2的值下结论是有置信度的，置信度＜1，因此利用χ2判断结论可靠，但可能有随机性错误，故A错误，B正确；

χ2的值的大小用于判断两个离散且只有两个分类所属的变量，例如性别变量男性和女性，喜好或不喜好．所以χ2不适合用于普查数据，如果普查数据是连续或者有两个以上的分类属性，则无法用χ2判断，C错误；

对于不同的小概率值α，χ2需要根据不同的可信度取值来下结论，不同的可信度取值会有不同的结论．D错误；

故选：B．

5．如图四幅散点图所对应的样本相关系数的大小关系为（ ）

A．r2＜r4＜r3＜r1 B．r4＜r2＜r3＜r1

C．r2＜r4＜r1＜r3 D．r4＜r2＜r1＜r3

【分析】由图知，第①③图正相关，第②④图负相关，且第①图比第③图更集中，第②图比第④图更集中，从而判断大小．

解：由图知，

第①③图正相关，第②④图负相关，

且第①图比第③图更集中， 第②图比第④图更集中，

故r1＞r3＞0，r2＜r4＜0，

故r2＜r4＜r3＜r1，

故选：A．

6．现有壹圆、伍圆、拾圆、贰拾圆和伍拾圆的人民币各1张，用它们可以组成的不同币值的种数为（ ）

A．31 B．32 C．63 D．64

【分析】依据题意可将人民币分成选取1张，选取2张，选取3张，选取4张，选取5张进行分类计算．

解：选取1张人民币共有＝5种不同的情况，

选取2张人民币共有＝10种不同的情况，

选取3张人民币共有＝10种不同的情况，

选取4张人民币共有＝5种不同的情况，

选取5张人民币共有＝1种不同的情况，

故共有5+10+10+5+1＝31种不同的币值．

故选：A．

7．以下说法错误的是（ ）

A．用样本相关系数r来刻画成对样本数据的相关程度时，若|r|越大，则成对样本数据的线性相关程度越强

B．经验回归方程一定经过点（，）

C．用残差平方和来刻画模型的拟合效果时，若残差平方和越小，则相应模型的拟合效果越好

D．用决定系数R2来刻画模型的拟合效果时，若R2越小，则相应模型的拟合效果越好

【分析】根据相关系数的大小与线性相关强弱的关系可判断 A；根据回归直线过样本中心点可判断 B；根据残差平方和的意义和相关指数的意义可判断C，D．

解：对于A：由相关系数的意义知，其绝对值越接近于1，变量间的相关程度越强，故A正确：