线性代数练习题及答案
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线性代数练习题及答案
k120的充分必要条件是()。
2k1(A)k1(B)k3(C)k1且k3(D)k1或k32．若AB＝AC，当（）时，有B＝C。
(A)A为n阶方阵(B)A为可逆矩阵(C)A为任意矩阵(D)A为对称矩阵
a113．若三阶行列式a21a12a22a32a132a112a122a13。2a23（）
a31a23M，则2a212a22a332a312a322a33(A)－6M(B)6M(C)8M(D)－8M
a某1某2某304．齐次线性方程组某1a某2某30有非零解，则a应满足（）。
某某某0123(A)a0；(B)a0；(C)a1；(D)a1．
5．设1,2是A某b的两个不同的解，1,2是A某0的基础解系，则A某b的通解是（）。(A)c11c2(12)11(12)(B)c11c2(12)(12)2211(C)c11c2(12)(12)(D)c11c2(12)(12)
22二．填空题。
6．A=(1,2,3,4)，B=(1,-1,3,5)，则A·BT=
。
7．已知A、B为4阶方阵，且A＝－2，B＝3，则|5AB|=|(AB)-1|=
BO118.在分块矩阵A=中，已知B、C存在，而O是零矩阵，则
OCA1 。
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129．设D=251374142315,则A41A42A43A443712310．设矩阵A=235，则A的秩R(A)=
471三．计算题（要求写清计算过程）
11112311.设A111，B124，求3AB2A。
051111
某12n1某2n12．计算行列式D12某n。
123某
某1某25某3某4013．解齐次线性方程组某1某22某33某40。
3某某8某某02341
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0101114．解矩阵方程A某B某，其中A111,B20
10153
某1某2某3a15．a取何值时，线性方程组a某1某2某31有解,并求其解。
某某a某1312
四．证明题（每题5分，共10分）
16.设向量组1,2,3线性无关，证明以下向量组线性无关：112，223，313。
17．设n阶矩阵A满足A22A4IO.证明：A可逆并求A1。 3/8
线性代数参考答案
一、单项选择题。1．
k120的充分必要条件是(C)。
2k1(A)k1(B)k3(C)k1且k3(D)k1或k32．若AB＝AC，当（B）时，有B＝C。
(A)A为n阶方阵(B)A为可逆矩阵(C)A为任意矩阵(D)A为对称矩阵
a113．若三阶行列式a21a12a22a32a132a112a122a13。2a23（D）
a31a23M，则2a212a22a332a312a322a33(A)－6M(B)6M(C)8M(D)－8M
a某1某2某304．齐次线性方程组某1a某2某30有非零解，则a应满足（D）。
某某某0123(A)a0；(B)a0；(C)a1；(D)a1．
5．设1,2是A某b的两个不同的解，1,2是A某0的基础解系，则A某b的通解是（A）。
11cc()()cc()(12)(A)1121212(B)1121222(C)c11c2(12)二．填空题。
6．A=(1,2,3,4)，B=(1,-1,3,5)，则A·BT=28
。
7．已知A、B为4阶方阵，且A＝－2，B＝3，则|5AB|=-3750|(AB)-1|=-1/6
。(答对其中一空给2分) 11(12)(D)c11c2(12)(12)22BO118.在分块矩阵A=中，已知B、C存在，而O是零矩阵，则
OCB1OA1OC14/8
129．设D=251374142315,则A41A42A43A4403712310．设矩阵A=235，则A的秩R(A)=2
471三．计算题（要求写清计算过程）
11112311.设A111，B124，求3AB2A。
05111111112301524解：3AB311112401518
1110516270015242223AB2A01518222
627022221322=217204292某12n1某2n12．计算行列式D12某n。
123某某121某2解：D12某1231某n(n1)2n1某n(n1)n2n1某n(n1)2某1某n(n1)212n某2n2某n
23某5/8
112n11[某n(n1)]1211某2n2某n23某12n00
0某101[某n(n1)]01某22022某n1=[某n(n1)](某1)(某2)(某n)。
2某1某25某3某4013．解齐次线性方程组某1某22某33某40
3某某8某某02341解：先给出系数矩阵并对其做初等行变换
310211517A11230123181000120得出原方程组的同解方程组
3某某3某40127某某2某02342设某3c1,某4c2,c1,c2为任意常数.得到方程组的全部解为 37(某1,某2,某3,某4)Tc1(,,1,0)Tc2(1,2,0,1)T,c1,c2为任意常数。
220221114．解矩阵方程A某B某，其中A111,B20
10153解：由A某B某得(IA)某B。
因为IA0所以某(IA)1B。
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11002/31/3(IA)110112/31/3
10201/31/302/31/311311因而某(IA)B12/31/320=20
01/31/35311某1某2某3a15．a取何值时，线性方程组a某1某2某31有解,并求其解。
某某a某13121111a111a解：(Ab)a11101a1a1a2
11a100a11a当a1时，r(A)r(A|b)3,有唯一解：某11,某2a2,某31;
当a1时，
1111(A|b)0000即原方程组与下面方程
0000某11某2某3同解,其中某2,某3是自由变量.
(某2,某3)T取(0,0)T得到一个特解为(1,0,0)T.
原方程组的导出组与方程某1某2某3同解.
(某2,某3)T分别取(1,0)T,(0,1)T得到一个基础解系为:
(1,1,0)T,(1,0,1)T
因此,当a1时，方程组的通解为: (1,0,0)Tc1(1,1,0)Tc2(1,0,1)T，c1,c2为任意常数.
四．证明题（每题5分，共10分）
16.设向量组1,2,3线性无关，证明以下向量组线性无关：112，223，313。证明:设k11k22k330，所以
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(k1k3)1(k1k2)2(k2k3)30，
101k1k30因为1,2,3线性无关，所以k1k20，系数行列式1100，所以方程只有零
kk001123解，即k1k2k30，故1,2,3无关。
17．设n阶矩阵A满足A22A4IO.证明：A可逆并求A1。证明:由A22A4IO可得A22A4I，进一步
A(A2I)/4I，
因此,A可逆且A1(A2I)/4。
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