高中数学第一章三角函数1.2任意的三角函数1.2.2同角三角函数的基本关系优化练习
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1 专题课件
第1课时 三角函数的诱导公式一～四
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．若sin α＝45，且α是第二象限角，则tan α的值等于( )
A．－43 B.34
C．±34 D．±43
解析：因为α是第二象限角，sin α＝45，
所以cos α＝－1－sin2 α＝－35，
所以tan α＝sin αcos α＝－43.
答案：A
2．已知sin α－2cos α3sin α＋5cos α＝－5，那么tan α的值为( )
A．－2 B．2
C.2316 D．－2316
解析：由sin α－2cos α3sin α＋5cos α＝－5，分子分母同除以cos α得：tan α－23tan
α＋5＝－5，解得tan
α＝－2316.
答案：D
3．化简：1－2sin 10°·cos 10°＝( )
A．cos 10°－sin 10°
B．sin 10°－cos 10°
C．sin 10°＋cos 10°
D．不确定
解析：原式＝sin2 10°－2sin 10°·cos 10°＋cos2 10°
＝sin 10°－cos 10°2
＝|sin 10°－cos 10°|＝cos 10°－sin 10°
答案：A 2 4．已知sin α＝55，则sin4α－cos4α的值为( )
A．－15 B．－35
C.15 D.35
解析：sin4 α－cos4 α＝(sin2 α＋cos2 α)(sin2 α－cos2 α)
＝sin2 α－cos2 α＝2sin2 α－1＝2×552－1＝－35.
答案：B
5．已知sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，则sin
θcos θ的值是(
)
A.34 B．±310
C.310 D．－310
解析：由题意得sin θ＋cos θ＝2(sin θ－cos θ)，
∴(sin θ＋cos θ)2＝4(sin θ－cos θ)2，解得sin θcos θ＝310.
答案：C
6．化简(1＋tan2 α)·cos2 α＝________.
解析：原式＝1＋sin2 αcos2 α·cos2 α＝cos2 α＋sin2 α＝1.
答案：1
7．已知sin α·tan α＝1，则cos α＝________.
解析：sin2α＋cos2α＝1，由sin αtan α＝1，得sin2α＝cos α，令cos α＝x，x>0，则1－x2＝x，解得x＝－1＋52.
答案：－1＋52
8．若非零实数m，n满足tan α－sin α＝m，tan α＋sin α＝n，则cos α等于________．
解析：已知两等式联立，得 tan α－sin α＝m，tan α＋sin α＝n，解得tan α＝m＋n2，sin α＝n－m2，则cos α＝sin αtan α＝n－mn＋m.
答案：n－mm＋n 3 9．求证：tan α·sin αtan α－sin α＝tan α＋sin αtan α·sin α.
证明：左边＝sin2 αsin α－sin α·cos α＝sin α1－cos α，
右边＝sin α＋sin α·cos αsin2α＝1＋cos αsin α.
∵sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)，
∴sin α1－cos α＝1＋cos αsin α，
即左边＝右边，∴原式成立．
10．已知在△ABC中，sin A＋c os A＝15.
(1)求sin A·cos A的值；
(2)判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形；
(3)求tan A的值．
解析：(1)由sin A＋cos A＝15，
两边平方，得1＋2sin A·cos A＝125，
所以sin A·cos A＝－1225.
(2)由(1)得sin A·cos A＝－1225<0.
又0 所以A为钝角．所以△ABC是钝角三角形． (3)因为sin A·cos A＝－1225， 所以(sin A－cos A)2＝1－2sin A·cos A＝1＋2425＝4925， 又sin A>0，cos A<0， 所以sin A－cos A>0， 所以sin A－cos A＝75. 又sin A＋cos A＝15， 所以sin A＝45，cos A＝－35. 4 所以tan A＝sin Acos A＝45－35＝－43. [B组 能力提升] 1．已知α是三角形的一个内角，且sin α＋cos α＝23，那么这个三角形的形状为( ) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 解析：(sin α＋cos α)2＝49 ∴2sin αcos α＝－59＜0 又∵α∈(0，π)，sin α＞0. ∴cos α＜0 ∴α为钝角． 答案：B 2．已知sin α－cos α＝2，则tan α＝( ) A．－1 B．－22 C.22 D．1 解析：将等式sin α－cos α＝2两边平方，得到2sin αcos α＝－1，整理得1＋2sin αcos α＝0，即sin2 α＋cos2α＋2sin αcos α＝0，所以(sin α＋cos α)2＝0，所以sin α＋cos α＝0， 由sin α－cos α＝2和sin α＋cos α＝0， 解得sin α＝22，cos α＝－22，故tan α＝sin αcos α＝－1. 答案：A 3．已知sin α，cos α是方程3x2－2x＋a＝0的两根，则实数a的值为________． 解析：由Δ≥0知，a≤13. 又 sin α＋cos α＝23 ①sin α·cos α＝a3 ② 5 由①式两边平方得：sin αcos α＝－518， 所以a3＝－518，所以a＝－56. 答案：－56 4．在△ABC中，2sin A＝3cos A，则角A＝________. 解析：由题意知cos A>0，即A为锐角． 将2sin A＝3cos A两边平方得2sin2A＝3cos A. ∴2cos2A＋3cos A－2＝0，解得cos A＝12或cos A＝－2(舍去)，A＝π3. 答案：π3 5．已知sin α＋cos α＝13，α∈(0，π)，求tan α的值． 解析：∵sin α＋cos α＝13，① 将其两边同时平方， 得1＋2sin αcos α＝19， ∴2sin αcos α＝－89. ∵α∈(0，π)，∴cos α<0 ∵(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝179， ∴sin α－cos α＝173.② 由①②得sin α＝1＋176，cos α＝1－176. ∴tan α＝sin αcos α＝－9＋178. 6．已知关于x的方程2x2－(3＋1)x＋2m＝0的两根为sin θ和cos θ(θ∈(0，π))，求： (1)m的值； (2)sin θ1－cot θ＋cos θ1－tan θ的值(其中cot θ＝1tan θ)； (3)方程的两根及此时θ的值． 6 解析：(1)由根与系数的关系可知， sin θ＋cos θ＝3＋12，① sin θ·cos θ＝m.② 将①式平方得1＋2sin θ·cos θ＝2＋32， 所以sin θ·cos θ＝34， 代入②得m＝34. (2)sin θ1－cot θ＋cos θ1－tan θ＝sin2 θsin θ－cos θ＋cos2 θcos θ－sin θ＝sin2 θ－cos2 θsin θ－cos θ＝sin θ＋cos θ＝3＋12. (3)因为已求得m＝34，所以原方程化为2x2－(3＋1)x＋32＝0，解得x1＝32，x2＝12. 所以 sin θ＝32，cos θ＝12或 sin θ＝12，cos θ＝32. 又因为θ∈(0，π)， 所以θ＝π3或π6.
