创新专题(四) 一元一次方程的定义及解

参考答案第1—2课时 一元一次方程的相关概念及解法（一）一元一次方程的定义【搭配课堂训练题】1. 【答案】 -22. 【答案】 C(二)方程的解【搭配课堂训练题】A.【答案】解：把x =-2代入方程2x +a -4=0，得到：-4+a -4=0解得a =8．故选DB.【答案】由题意得：x =m ，∴4x -3m =2可化为：4m -3m =2，可解得：m =2．故选A ．（三）解方程1. 【答案】D ．2. 【答案】D3. 【答案】解方程4x ＋2m =3x ＋1得m x 21-=，解方程3x ＋2m =6x ＋1得321m x -=，因为方程4x ＋2m =3x ＋1和方程3x ＋2m =6x ＋1的解相同，所以31221-=-m m 解得21=m 。

4. 【答案】解：原方程可变形为352123x x +-= (分式的基本性质) 去分母，得3（3x +5）=2(2x -1). (等式性质2)去括号，得9x +15=4x -2. （去括号法则或乘法分配律）(移项),得9x -4x =-15-2. (等式性质1)合并，得5x =-17. (合并同类项)（系数化为1）,得x =175-. （等式性质2） 5. 【答案】A6. 【答案】（1）根据新运算的规定可知，即是解方程9x -24=0．（2）先根据新运算的规定可知a *x =3ax ，即是解方程（3a -1）x =0，再根据解为所有数，得出3a -1=0，从而求出a 的值．解答：解：（1）由3*x -2*4=0得：9x -24=0，解得x = 38． （2）由a *x =x 得3ax =x ，∴（3a -1）x =0，∵解为所有数，∴3a -1=0，∴a =31 ． 7. 【答案】：23710x x --+3=21x +-解得x =1441，所以当x =1441时，代数式23710x x --的值比代数式12x +-的值小3. 【课后练习】1. 【答案】12. 【答案】13. 【答案】-134.（1）【答案】-2（2）【答案】56-5. 【答案】2或36. 【答案】27. 【答案】21,23,25；8.【答案】-79. 【答案】B第3——4课时 一元一次方程的应用日历中的数学2、【答案】D形积变化问题1. 【答案】2：12. 【答案】B3. 【答案】A数字问题1. 【答案】：设这个两位数的十位数字为x ，则个位数字为3x ,依题意列方程：X +3x =12 解得x =3,所以这个两位数是39。

一元一次方程的概念及解法【知识点】：1、一元一次方程的定义：只含有-- 未知数，并且未知数的次数都---- ，这样的- 方程叫一元一次方程。

2、方程的解：使方程左右两边-- 的未知数的值叫方程的解。

3、解方程：求---- 的过程叫做解方程。

4、等式的基本性质：(1) 、等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。

(2) 、等式的两边都乘以 (或除以) 同一个数(除数不能是零)，所得结果仍是等式。

5、解一元一次方程的基本步骤：(1)：去分母；( 2)：去括号；(3)：移项；( 4)：合并同类项；(5)：系数化成1。

【例题解析】例1、判断下列各式是不是一元一次方程，是的打“√” ，不是的打“ｘ”。

(1)x+3y=4()(2)x 2-2x=6()(3) -6x=0()(4)2m+n=0()1(5)2x-y=8()(6) 1+8=5y()y例2、下列变形中，正确的是()A、若ac=bc，那么a=b。

B、若 a b，那么a=bC、 a ＝ b ，那么a=b。

D、若a2=b cc2那么a=b【练习】：1、下列方程中是一元一次方程的是（）2 1 1A．2x 3y B．7x 5 6 x 1 C．x2x 1 1 D． 2 x2、下列运用等式的性质对等式进行的变形中，正确的是（）3、若x（n-2）+2n=0 是关于x 的方程一元一次方程，则n=，此时方程的解是x=___。

4、某数x 的43%比它的一半少7，则列出求x 的方程应是（）A：43%x 1B：43%（x 1） 7 C：43%x 1x D：1x 7 43%x2 2 2 2例3、给出下面四个方程及其变形：① 4x 8 0变形为x 2 0；② x 7 5 3x变形为4x 2 ；2③ x 3变形为2x 15；④4x 2变形为x 2；5其中变形正确的是（）A．①③④ B．①②④C．②③④D．①②③例4、解方程：（利用移项、合并同类项及系数化成 1 来解方程）（1）x＋2x＋4x=140 （2）3x＋20=4x-25【练习】：1、下列叙述正确的是。

一元一次方程的概念一元一次方程是数学中最基本也是最常见的方程类型之一。

它是用来描述一个未知数和已知系数之间的关系的数学等式。

本文将介绍一元一次方程的定义、特征，以及解一元一次方程的常见方法。

一、一元一次方程的定义一元一次方程是指只含有一个未知数和一次项的方程。

其一般形式可以表示为：ax + b = 0，其中a和b为已知常数，x为未知数。

在一元一次方程中，a不等于0，否则方程将退化为一个常数等式。

在一元一次方程中，未知数x的一次项系数a代表了未知数x的系数，常数b代表了方程中的常数项。

通过对方程中的未知数和已知数进行运算，我们可以求解这个方程并找到未知数的值。

二、一元一次方程的特征一元一次方程具有一些特征，我们可以通过这些特征来判断一个方程是否为一元一次方程。

首先，一元一次方程只涉及一个未知数。

方程中只含有一个变量，其他字母和数字都是已知的常数。

其次，一元一次方程中的未知数只出现在一次项中，并且该项的次数为1。

这意味着未知数只进行一次乘法运算，不存在平方、立方或更高次的情况。

此外，一元一次方程中的系数是已知的常数，不随未知数的变化而变化。

系数通常用字母表示，但它们的值是确定的，不会随求解过程的进行而改变。

三、解一元一次方程的常见方法解一元一次方程的目标是找到未知数x的值，使得方程等式成立。

根据方程的特征，我们可以采用以下常见的方法来解一元一次方程。

1. 合并同类项和移项法通过合并同类项和移项法，将方程转化为ax = -b的形式，然后通过两边同除以a，得到x = -b/a的解。

2. 两边相等原则根据方程两边相等的原则，可以通过运算操作将方程转化为x = -b/a的形式，从而找到未知数的解。

3. 代数运算法通过代数运算法，可以通过一系列等式的变换，将方程简化为形如x = -b/a的解。

4. 图解法对于一元一次方程，可以将方程转化为一条直线的图像。

通过画出这条直线，并与横轴的交点来确定方程的解。

以上是解一元一次方程的常见方法，通过这些方法，我们可以求解一元一次方程并得到其解。

一元一次方程七年级一、引言在数学学科中，一元一次方程是一种基本的代数式，学生在七年级开始接触并学习一元一次方程。

本文将介绍一元一次方程的基本概念、解法和实际应用，帮助学生深入理解这一概念。

二、基本概念一元一次方程是指含有未知数（通常用字母表示）的方程，且未知数的最高次数为一。

一元一次方程的一般形式为ax+b=c，其中a,b,c分别为已知数，x为未知数。

解一元一次方程即为求解未知数x的值，使得方程式成立。

三、解一元一次方程的方法1. 移项法移项法是解一元一次方程常用的方法之一，其步骤如下： 1. 将方程式中的项按照未知数的系数归并； 2. 通过变形，将未知数项移至一边，常数项移至另一边； 3. 对方程式两侧同时进行同样的操作，直至求得未知数的值。

2. 因式分解法对一些特定形式的一元一次方程，可以通过因式分解的方法解决，具体步骤如下： 1. 将方程式按照因式分解的形式展开； 2. 通过观察因式后的系数和常数项，求解未知数的值。

3. 系数法系数法是一种利用等式两侧的系数关系快速解方程的方法，适用于一些特殊的题目，一般不用于一般的一元一次方程。

四、实际应用一元一次方程在生活中有着广泛的应用，例如： - 买卖问题：通过一元一次方程可以解决各类价格问题； - 水果购买问题：通过一元一次方程可以求解各种水果的单价问题； - 计算问题：通过一元一次方程可以解决各种数学计算问题等等。

五、结论通过学习一元一次方程，可以帮助学生提高自己的数学技能，培养逻辑思维能力，同时也有助于他们在生活中解决各种实际问题。

希望学生能够认真学习和掌握一元一次方程这一基础概念，为今后更深入的数学学习打下坚实的基础。

以上是关于一元一次方程七年级的一些介绍，希望对学生们有所帮助。

解一元一次方程及答案一元一次方程是代数学中基础的内容之一，通过解一元一次方程可以找到方程的解。

在数学学习中，学生经常需要应用一元一次方程来解决实际问题。

下面将介绍一元一次方程的基本概念、解法和一些实际问题的解答。

一、一元一次方程的定义一元一次方程是指形如ax+b=0的代数方程，其中a与b是已知常数，x是未知数。

解一元一次方程即是要找到满足方程的x的值。

二、解一元一次方程的步骤解一元一次方程的基本步骤如下：1.将方程化为标准形式ax+b=0。

2.移项，将未知数的系数系数移到方程等号的另一侧。

3.化简方程，将常数项合并在一起。

4.求解未知数x。

下面通过一个具体的例子进行说明：假设要解方程2x−5=1：第一步，将方程化为标准形式：2x−5=1；第二步，移项得到：2x=1+5，即2x=6；第三步，化简方程：x=6/2，因此x=3。

三、实例分析例1：小明和小华的年龄之和是30岁，小华比小明大6岁。

求小明和小华各自的年龄。

设小明的年龄为x，小华的年龄为x+6。

根据题意，得到方程：x+(x+6)=30化简得到：2x+6=30移项可得：2x=24解得：x=12因此，小明的年龄为 12 岁，小华的年龄为 18 岁。

例2：某商品原价是120元，现在打八折出售，打折后的价格是多少？设打折后的价格为x，根据题意，得到方程：$$ 0.8 \\times 120 = x $$化简得到：x=96因此，打折后的价格是 96 元。

四、总结通过以上介绍，我们了解了一元一次方程的定义、解法以及实际问题的解答方法。

解一元一次方程是数学学习的基础，通过练习可以提高解题能力。

希望本文能帮助读者更好地掌握一元一次方程的知识。

专题04 一元一次方程的概念和解法复习（原卷版）第一部分典例剖析+变式训练知识点1:一元一次方程的概念(只含有一个未知数,并且所含未知数的项的最高次数是一次的整式方程.)1．（2022春•淅川县期中）下列方程中：①x﹣2=2x；②x＝6；③2−y4=y−15；④x2﹣4x＝3；⑤0.3x＝1；⑥x+2y＝0，其中一元一次方程的个数是（）A．3B．4C．5D．6变式训练1．（2022春•安溪县期中）若x m+1+1＝0是关于x的一元一次方程，则m的值为．2．（2022•定远县模拟）方程（7﹣a）x2+ax﹣8＝0是关于x的一元一次方程，那么a的值是（）A．0B．7C．8D．103．（2022春•仁寿县期中）已知（m﹣2）x|m|﹣1＝5是关于x的一元一次方程，则m的值为（）A．﹣2B．±2C．2D．0知识点2: 方程的解(能够使方程左右两边相等的未知数的值；只含有一个未知数的方程的解，也叫方程的根)典例2检验下列各数是不是方程4x﹣3＝2x+3的解：（1）x＝3；（2）x＝﹣3．变式训练1．（2021秋•兴庆区校级期末）如果关于x的方程a﹣x=x2+3a的解是x＝4，则a的值为（）A．﹣3B．3C．﹣5D．52．（2022春•奉贤区校级期末）如果关于x的方程（a+1）x＝a2+1无解，那么a的取值范围是（）A．a＝−1B．a＞−1C．a≠−1D．任意实数3．（2022春•丰泽区期末）若x＝3是关于x的方程ax﹣b＝5的解，则6a﹣2b﹣2的值为（）A．2B．8C．﹣3D．﹣84．（2021秋•肥西县月考）已知x＝3是关于x的方程2x﹣a＝4的解，则a的值是（）A．﹣2B．0C．2D．35．（2022秋•市南区期末）方程2x ﹣1＝3与方程1−3a−x3=0的解相同，则a 的值为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．536．（2021春•杨浦区期末）关于x 的一元一次方程ax ＝3，下列对于该方程的解的说法中，正确的是（ ） A ．该方程一定有实数解 B ．该方程一定没有实数解C ．该方程不一定有实数解D ．上述说法都不对知识点3:等式的性质：1.等式的两边都加上或减去同一个数或同一个整式，所得的结果仍是等式；2.等式两边都乘（或除以）同一个数（除数不为零），所得的结果仍是等式．）典例3用适当的数或整式填空，使所得的结果仍是等式，并说明根据等式的哪一条性质以及怎样变形的： （1）若5x ＝4x +7，则5x ﹣ ＝7； （2）若2a ＝1.5，则6a ＝ ； （3）若﹣3y ＝18，则y ＝ ； （4）若a +8＝b +8，则a ＝ ； （5）若﹣5x ＝5y ，则x ＝ ． 变式训练1．（2021秋•玄武区期末）下列等式的变形中，错误的是（ ） A ．如果a ＝2，那么a +2＝4 B ．如果a ＝﹣3，那么﹣2a ＝6C ．如果3a ＝5，那么a =35D ．如果a ＝﹣2，那么a 2＝42．（2021秋•罗源县期末）下列根据等式的性质正确变形的是（ ） A ．由x2=2，得x ＝1 B ．由3（x ﹣2）＝6，得x ﹣2＝2C ．由x ﹣2＝6，得x ﹣2+2＝6D ．由2x +3＝x ﹣1，得2x +x ＝﹣1﹣3知识点4: 解一元一次方程的一般步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1） 典例4（2022春•郸城县校级月考）解下列方程：（1）4x ﹣3（20﹣x ）＝3； （2）12(x −1)=2−15(x +2)；（3）x+24−2x−36=1； （4）0.3x−0.50.2−0.12−0.05x0.03=x ．变式训练1．（2021秋•南关区校级期末）解下列方程：（1）10x +9＝12x ﹣1； （2）12x ﹣3（x ﹣2）＝4；（3）5（x ﹣1）＝8x ﹣2（x +1）； （4）2x+13−5x−16=1．2．（2021秋•新民市期末）当x 取什么值时，代数式2x+32的值与1−x−13的值相等？知识点5: 一元一次方程解的情况讨论（对于方程b ax =，⑴若0≠a ，则方程只有惟一解abx =；⑴若0,0≠=b a ，则原方程无解；⑴若0,0==b a ，则原方程有无数个解．） 典例5 已知关于x 的方程x−23−mx2+3=113． （1）当m 取何值时，方程有解？ （2）当m 取何整数时，方程的解是整数？（3）在（2）的条件下，a ，b 在数轴上对应的点位于原点两侧，且到原点的距离相等，求（a +b +m ）2013． 变式训练1．（2022秋•石景山区期末）设m 为整数，且关于x 的一元一次方程（m ﹣5）x +m ﹣3＝0． （1）当m ＝2时，求方程的解； （2）若该方程有整数解，求m 的值．第二部分 一元一次方程的概念和解法复习配套作业1．（2022•美兰区校级二模）代数式﹣2a +1与a ﹣2的值相等，则a 等于（ ） A ．0B ．1C ．2D ．32．（2021秋•滕州市期末）如果关于x 的方程6n +4x ＝7x ﹣3m 的解是x ＝1，则m 和n 满足的关系式是（ ） A ．m +2n ＝﹣1B ．m +2n ＝1C ．m ﹣2n ＝1D ．3m +6n ＝113．（2021秋•开县期末）关于x 的方程2x +m ＝1的解是方程3x ﹣2＝2x ﹣1的解的3倍，则m 的值是（ ） A ．﹣5B ．﹣17C ．1D ．34．（2022春•唐河县月考）若﹣5x 2y m﹣3与x n ﹣1y 是同类项，则方程nx ﹣m ＝5的解是（ ）A ．x ＝4B ．x ＝3C ．x ＝2D ．x ＝15．（2021秋•朝阳区校级期中）写出一个满足“未知数的系数是﹣2，方程的解为3”的一元一次方程： ． 6．（2021秋•阜新县校级期末）当x ＝ 时，单项式5a 2x +1b 2与8a x +3b 2是同类项．7．（2021秋•银川校级期末）已知：x ＝4是关于x 的一元一次方程3a ﹣x =x2+3的解，则a ＝ ． 8．（2021秋•兴庆区校级期末）若12a +1与2a−73互为相反数，则a 的值为 ．8．（2021秋•罗源县期末）已知2x m ﹣2+3＝0是关于x 的一元一次方程，则m ＝ ．9．（2021秋•巩义市期末）关于x 的一元一次方程2x +m ＝6，其中m 是正整数．若方程有正整数解，则m 的值为 ．10．（2021秋•西宁期末）已知x ＝1是关于x 的方程ax +3x ＝2的解，则a ＝ ． 11．（2022春•朝阳区期中）若x ＝4是关于x 的方程2x ﹣3a ＝2的解，则a ＝ ． 12．（2022秋•宣州区校级月考）关于x 的方程x−43=−1的解是x ＝ ．13．（2022•南京模拟）若关于x 的方程ax +2x ＝1的解为1，则a ＝ ． 14．（2022•南京模拟）已知关于x 的一元一次方程12020x +3＝2x +b 的解为x ＝19，那么关于y 的一元一次方程12020（2y +1）+3＝2（2y +1）+b 的解y ＝ ．15．（2022春•沙坪坝区期末）若2x n ﹣1＝3是关于x 的一元一次方程，则n ＝ ． 16．（2021秋•河西区期末）已知关于x 的方程a （a ﹣2）x ﹣4（a ﹣2）＝0． 当此方程有唯一的解时，a 的取值范围是 ． 当此方程无解时，a 的取值范围是 ． 当次方程有无数多解时，a 的取值范围是 ．17．（2021秋•溧阳市期末）解下列方程：（1）2x ﹣5＝x +4； （2）32x =7+13x ；（3）5（2x ﹣1）＝2（1+2x ）+x ﹣2； （4）x −x+26=x2−1．18．（2021春•奉贤区期中）解关于x 的方程：ax ﹣x ＝﹣2（x +2）．19．（2021秋•海城区校级月考）已知y ＝1是方程2−13（m ﹣y ）＝2y 的解，求关于x 的方程m （x ﹣3）﹣2＝m （2x +5）的解．20．（2022春•封丘县月考）已知代数式x4与代数式2−x 3．（1）当x 为何值时，这两个代数式的值相等？ （2）当x 为何值时，代数式x4的值比代数式2−x 3的值大2？（3）是否存在x ，使得这两个代数式的值互为相反数？若存在，请求出x 的值；若不存在，请说明理由，21．（2020秋•白云区月考）当m 取什么整数时，关于x 的方程12mx −53=12（x −43）的解是整数？22．（2021秋•鹿邑县期末）在有理数范围内定义运算“※”，其规则为a ※b =a−b2． （1）求2021※2022的值；（2）求方程x ※3＝2的解．。

一元一次方程的定义及解法文件编码（GHTU-UITID-GGBKT-POIU-WUUI-8968）一元一次方程的定义及解法方程定义：只含有一个未知数，并且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数是1，这样的方程叫做一元一次方程，通常形式是ax+b=0(a，b为常数，且a≠0）。

方程简介一元一次方程(linearequationinone）通过化简，只含有一个未知数,且含有未知数的最高次项的次数是一的等式，叫一元一次方程。

通常形式是ax+b=0(a，b为常数，且a ≠0）。

一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式。

一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0。

我们将ax+b=0（其中x是未知数，a、b是已知数，并且a≠0）叫一元一次方程的标准形式。

这里a是未知数的系数，b 是常数，x的次数必须是1。

即一元一次方程必须同时满足4个条件：（1）它是等式；（2）分母中不含有未知数；（3）未知数最高次项为1；(4)含未知数的项的系数不为0。

“方程”一词来源于我国古算术书《九章算术》。

在这本着作中，已经会列一元一次方程。

法国数学家笛卡尔把未知数和常数通过代数运算所组成的方程称为代数方程。

在19世纪以前，方程一直是代数的核心内容。

详细内容合并同类项1.依据：乘法分配律2.把未知数相同且其次数也相同的相合并成一项；常数计算后合并成一项3.合并时次数不变，只是系数相加减。

移项1.含有未知数的项变号后都移到方程左边，把不含未知数的项移到右边。

2.依据：等式的性质3.把方程一边某项移到另一边时，一定要变号。

性质性质等式的性质一：等式两边同时加一个数或减去同一个数或同一个整式，等式仍然成立。

等式的性质二:等式两边同时扩大或缩小相同的倍数（0除外），等式仍然成立。

等式的性质三：等式两边同时乘方（或开方），等式仍然成立。

解方程都是依据等式的这三个性质等式的性质一:等式两边同时加一个数或减同一个数，等式仍然成立解法步骤使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。

一、方程的有关概念
1.方程：含有未知数的等式就叫做方程.
2.一元一次方程：只含有一个未知数(元)x，未知数x的指数都是1(次)，这样的方程叫做一元一次方程.例如：1700+50x=1800，2（x+1.5x）=5等都是一元一次方程.
3．方程的解：使方程中等号左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解.
注：⑴方程的解和解方程是不同的概念，方程的解实质上是求得的结果，它是一个数值(或几个数值)，而解方程的含义是指求出方程的解或判断方程无解的过程.⑵方程的解的检验方法，首先把未知数的值分别代入方程的左、右两边计算它们的值，其次比较两边的值是否相等从而得出结论.
二、等式的性质
等式的性质(1)：等式两边都加上(或减去)同个数(或式子)，结果仍相等.用式子形式表示为：如果a=b，那么a±c=b±c
(2)等式的性质(2)：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，用式子形式表示为：如果a=b，那么ac=bc；如果a=b(c≠0)，那么ac=bc
三、移项法则：把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项．
四、去括号法则
1.括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同．
2.括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号改变．
五、解方程的一般步骤
1、去分母(方程两边同乘各分母的最小公倍数)
2、去括号(按去括号法则和分配律)
3、移项(把含有未知数的项移到方程一边，其他项都移到方程的另一边，移项要变号)
4、合并(把方程化成ax=b(a≠0)形式)
5.系数化为1(在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解x=ba).
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自学资料方程式的由来十六世纪,随著各种数学符号的相继出现,特别是法国数学家韦达创立了较系统的表示未知量和已知量的符号以后,"含有未知数的等式" 这一专门概念出现了,当时拉丁语称它为"aequatio",英文为"equation".十七世纪前后,欧洲代数首次传进中国,当时译"equation"为"相等式.由於那时我国古代文化的势力还较强,西方近代科学文化未能及时在我国广泛传播和产生较的影响,因此"代数学"连同"相等式"等这些学科或概念都只是在极少数人中学习和研究.十九世纪中叶,近代西方数学再次传入我国.1859年,李善兰和英国传教士伟烈亚力,将英国数学家德.摩尔根的译出.李.伟两人很注重数学名词的正确翻译,他们借用或创设了近四百个数学的汉译名词,许多至今一直沿用.其中,"equation"的译名就是借用了我国古代的"方程"一词.这样,"方程"一词首次意为"含有未知数的等式.一、一元一次方程的定义【知识探索】1．只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程（linear equation in one unknown）。

【错题精练】例1．如图所示，正方形的边长为a，试用字母a表示阴影部分的面积．【解答】根据阴影部分的面积等于扇形的面积减去半圆的面积可以求解．【答案】例2．已知方程2mx m﹣1+1=0是关于x的一元一次方程，求m的值及方程的解．第1页共20页自学七招之日计划护体神功：每日计划安排好，自学规划效率高非学科培训【答案】例3．已知方程2kx2+2kx+3k=4x2+x+1是关于x的一元一次方程，求k值，并求出这个方程的根．【答案】【举一反三】1．下列叙述中，正确的是（）A. 方程是含有未知数的式子B. 方程是等式C. 只有含有字母x，y的等式才叫方程D. 带等号和字母的式子叫方程【答案】B2．已知方程(3m−4)x2−(5−3m)x−4m=−2m是关于x的一元一次方程，求m和x的值．第2页共20页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训【答案】3．已知（a2﹣1）x2﹣（a+1）x+8=0是关于x的一元一次方程．求代数式199（a+x）（x﹣2a）+3a+4的值．【答案】解：∵（a2﹣1）x2﹣（a+1）x+8=0是关于x的一元一次方程，∴a2﹣1=0，a+1≠0．解得：a=1．将a=1代入得：199（a+x）（x﹣2a）+3a+4=199（1+x）（x﹣2）+3+4=199x2﹣199x﹣391．4．（|k|﹣1）x2+（k﹣1）x+3=0是关于x的一元一次方程，求k的值．【答案】二、方程的解【知识探索】1．如果未知数所取的某个值能使方程左右两边的值相等，那么这个未知数的值叫做方程的解（solution of equation）．【错题精练】例1．若x=2是关于x的方程2x+3m﹣1=0的解，则m的值等于__________第3页共20页自学七招之提前完卷飞刀：考场控时莫紧张，跳跃答卷心不慌非学科培训【答案】－１例2．当x=__________ 时，代数式与x﹣3的值互为相反数．【答案】例3．若关于x的方程2k−3x=4与x−2=0的解相同，则k的值为（）A. ﹣10；B. 10；C. ﹣5；D. 5．【答案】D【举一反三】1．已知关于x的方程3a﹣x=+3的解为2，则代数式a2﹣2a+1的值是__________ ．【答案】12．若代数式x+2的值为1，则x等于（）A. 1B. -1C. 3D. -3【答案】B3．当k为何值时，关于x的方程（k﹣5）x﹣7=x﹣1的解是﹣2？【答案】解：把x=﹣2代入方程得：﹣2（k﹣5）﹣7=﹣2﹣1，去括号得：﹣2k+10﹣7=﹣3，第4页共20页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训移项合并得：﹣2k=﹣6，解得：k=3．三、等式的基本性质【知识探索】1．（1）等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等．如果，那么．（2）等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等．如果，那么；如果（），那么．【错题精练】例1．下列方程中变形正确的是（）①3x+6=0变形为x+2=0；②2x+8=5﹣3x变形为x=3；③=4去分母的3x+2x=24；④（x+2）﹣2（x﹣1）=0去括号得x+2﹣2x﹣2=0．A. ①③B. ①②③C. ①④D. ①③④【答案】A例2．下列变形符合等式基本性质的是()A. 如果2x－y＝7，那么y＝7－2xB. 如果ak＝bk，那么a＝bC. 如果－2x＝5，那么x＝5＋2D. 如果a＝1，那么a＝－3【解答】A中，∵2x－y＝7，∴y＝2x－7，故A错误；B中，若k＝0时，不符合等式性质，故B错误；C中，∵－2x＝5，∴x＝－2.5，变形方法是等式两边都除以－2，而不是都加上2，故C错误；D中，等式两边都乘－3，符合等式性质，故D正确；综上所述，选D.【答案】D第5页共20页自学七招之提前完卷飞刀：考场控时莫紧张，跳跃答卷心不慌非学科培训【举一反三】1．是否可以由方程10x+3=5x﹣7经过变形得到方程4x=﹣8？若能，请说明是怎样变形的，依据是什么？若不能，请说明理由．【解答】【答案】略2．将等式2a=2b的两边都减去a+b变形为a﹣b=b﹣a，两边再都除以a﹣b变形为1=﹣1，最后结果明显是错误的，请说明错在哪里？【解答】解：由2a=2b，可知a=b，∴a﹣b=0．两边再都除以a﹣b时，不满足等式的性质．故错在方程两边都除以a﹣b．【答案】解：由2a=2b，可知a=b，∴a﹣b=0．两边再都除以a﹣b时，不满足等式的性质．故错在方程两边都除以a﹣b．3．用等式的性质解下列方程：（1）x﹣7=2；（2）3=x+5．【解答】解：（1）等式的两边都加7，得x=9；（2）等式的两边都减5，得﹣2=x，即x=﹣2．【答案】略4．下列方程的变形，正确的是（）第6页共20页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训B. 由5x=4x+8，得5x﹣4x=8C.D. 由7x+6=5x，得7x﹣5x=6第7页共20页自学七招之提前完卷飞刀：考场控时莫紧张，跳跃答卷心不慌非学科培训第8页共20页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训第9页 共20页 自学七招之提前完卷飞刀：考场控时莫紧张，跳跃答卷心不慌 非学科培训（3）12{x −13[x −14(x −23)]−32}=x +34．【解答】（1）解：移项合并得：2x =2，解得：x =1．（2）解：去分母得：20y +16+3y −3=24−5y +5，移项合并得：28y =16．解得：y =47．（3）解：去括号得：12x −16x +124(x −23)−34=x +34，去分母得：12x −4x +x −23−18=24x +18，即：36x −12x +3x −2−54=72x +54．移项合并得：−27x =66．解得：x =−229．【答案】（1）x =1；（2）y =47；（3）x =−229．例6．已知关于x 的方程a （2x ﹣1）=3x ﹣2无解，则a 的值是__________ ．【解答】解：原式可化为：（2a ﹣3）x+2﹣a=0，∵方程无解，∴可得：2a ﹣3=0，2﹣a≠0，故a 的值为．故填．【答案】例7．已知是方程的解，则m=__________ ．【解答】【答案】【举一反三】1．已知x=2是方程ax﹣1=x+3的一个解，那么a=__________ ．【解答】解：把x=2代入方程ax﹣1=x+3，得：2a﹣1=2+3，解得：a=3．故填3．【答案】32．如果x=2是方程x+a=﹣1的根，那么a的值是__________ ．【解答】解：把x=2代入x+a=﹣1中：得：×2+a=﹣1，解得：a=﹣2．故填：﹣2．【答案】-23．已知x=1是方程ax﹣6=5的一个解，则a=__________ ．【解答】解：将x=1代入方程得：a﹣6=5，解得：a=11．故答案为：11．第10页共20页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训例1．已知关于x的方程x−m2=x+2m与方程x+32=x−1的解相等，求m的值．【解答】解：第一个方程的解为x=−5m，第二个方程的解为x=5，∴−5m=5，即m=−1．【答案】－1．【举一反三】1．关于x的方程2x+5a=3的解与方程2x+2=0的解相同，则a的值是（）A. 1； B. 4； C. 15； D. ﹣1．【答案】A2．已知方程6x﹣9=10x﹣45与方程3a﹣1=3（x+a）﹣2a的解相同．（1）求这个相同的解；（2）求a的值；（3）若[m]表示不大于m的最大整数，求[a﹣2]的值．【答案】解：（1）原方程6x﹣9=10x﹣45移项得6x﹣10x=﹣45+9，合并同类项得到﹣4x=﹣36，解得：x=9；（2）将x=9代入第二个方程得：3a﹣1=3（9+a）﹣2a，解得：a=14；（3）[a﹣2]=[×14﹣2]=[]=2．3．已知方程=与方程=+1的解相同，求m的值．【答案】六、特殊解问题【错题精练】例1．小王在解关于x的方程3a−2x=15时，误将−2x看作2x，得方程的解x=3．（1）求a的值；（2）求此方程正确的解；（3）若当y=a时，代数式my3+ny+1的值为5，求当y=−a时，代数式my3+ny+1的值．【解答】（1）解：把x=3代入3a−2x=15得3a+6=15，计算得出：a=3；（2）解：把a=3代入方程得：9−2x=15，计算得出：x=−3；（3）解：把y=a=3代入my3+ny+1得27m+3n+1=5，则27m+3n=4．当=−3时，my3+ny+1=−27m−3n+1=−(27m+3n)+1=−4+1=−3．【答案】（1）3；（2）－3；（3）－3．例2．已知方程|x+|3x+a||=2恰有4个不同的解，求参数a的取值范围．【答案】【举一反三】1．已知关于x的方程2|x|﹣k=kx﹣3的解为负数，则k的取值范围是__________【答案】七、含参问题【错题精练】例1．七年级一班的马虎同学在解关于x的方程3a−x=13时，误将−x看成+x，得方程的解x=−2，则原方程正确的解为（）C. −12；D. 12．【答案】B例2．已知关于x 的方程与方程的解互为相反数，求m 的值．【答案】例3．若a ，b 为定值，关于x 的一元一次方程无论k 为何值时，它的解总是1，求a ，b 的值．【答案】【举一反三】1．若x=−2是关于x的方程2x+m=3的解，则关于x的方程3(1−2x)=m−1的解为（）；A. ﹣1；B. −12C. 1； D. 1．2【答案】B2．已知关于x的方程3x+a=x﹣7的根是正数，求实数a的取值范围．【答案】3．方程2﹣3（x+1）=0的解与关于x的方程的解互为倒数，求k的值．【答案】1．已知x=2是关于x的方程3−mx=x+m的解，m的值为．【答案】132．下列变形过程中，正确的是（）A. 由2x=3，得x=23；B. 由x−13−1=1−x2，得2(x−1)−1=3(1−x)；C. 由x−1=2，得x=2−1；D. 由−3(x+1)=2，得−3x−3=2．【答案】D3．根据等式的性质，下列变形正确的是（）2x3【解答】（1）解：去括号，得2x+6=5x−15．移项，得2x−5x=6−15．合并同类项，得−3x=−21．系数化为1，得x=7．（2）解：去分母，得5(2x−1)=3(4−3x)−15x．去括号，得10x−5=12−9x−15x．移项，合并同类项，得34x=17．系数化为1，得x=1．2【答案】见解答．7．已知方程3（x﹣1）=4x﹣5与关于x的方程﹣=x﹣1有相同的解，求a的值．【答案】8．若关于x的方程||x﹣2|﹣1|=a有三个整数解，则a的值是（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B9．适合关系式|3x﹣4|+|3x+2|=6的整数x的值有（）个．A. 0B. 1C. 2D. 大于2的自然数【答案】C10．已知关于x的方程k（x+1）=k﹣2（x﹣2）中，求当k取什么整数值时，方程的解是整数【解答】解：去括号，得kx+k=k﹣2x+4，移项，得kx+2x=k﹣k+4，合并同类项，得（k+2）x=4．方程的解是整数，则k+2=±1或±2或±4．则k=﹣3或﹣1或﹣4或0或﹣6或2．【答案】k=﹣3或﹣1或﹣4或0或﹣6或2．● 代数式。

一元一次方程的分式方程概述说明以及解释1. 引言1.1 概述一元一次方程是数学中常见的基础概念，它描述了未知数与已知数之间的线性关系。

而当一元一次方程中存在分式时，我们就称之为一元一次方程的分式方程。

本文将对一元一次分式方程进行全面的概述、说明和解释。

1.2 一元一次方程的基本概念在数学中，一元一次方程是指一个未知数的最高指数为1、系数为实常数或者有理数的代数方程。

这种类型的方程可以通过等式左右两边进行运算变换来求得未知数的值。

例如，形如ax + b = c 的表达式即为一元一次方程。

1.3 分式方程的含义与特点分式（也叫有理式）通常表示为两个整式（多项式）相除得到的商。

当一个分式成为一个等式，并且其中至少有一个未知数时，我们将其称之为分式方程。

在分式方程中，未知量可能出现在分子或者分母中，并且会带来许多特殊情况和解法。

2. 一元一次方程的分式方程2.1 什么是一元一次方程的分式方程一元一次方程是指只有一个未知数，并且未知数的最高次幂为1的方程。

而分式方程则是在方程中含有分式（即带有分子和分母）的形式。

因此，一元一次方程的分式方程就是在一个未知数上出现了带有分子和分母的表达式。

2.2 分式方程的解法步骤解决一元一次分式方程可以遵循以下步骤：步骤1：将所有含有未知数的项移至等号左边，将常数项移到等号右边，以便将所有项集中到一个侧。

步骤2：利用乘法逆元素原理消去分母。

将整个等式两边都乘以除了含有未知数所在项之外的那个不含未知数的因子，从而消除掉等号两侧中带有分母的表达式。

步骤3：合并同类项并简化表达式。

整理等号两边得到一个简化后的方程。

步骤4：通过移项、合并同类项或者代入已知值，求解未知数。

步骤5：将求得的未知数代入原分式方程中，验证所得解是否符合原方程，同时检查是否存在约束条件。

2.3 解答实例和应用为了更好地理解和掌握一元一次分式方程的解法步骤，以下是一个实际问题的例子：例题：某商店原价200元的商品打8折出售后价格为160元，请问该商品的折扣率是多少？解答过程：步骤1：设折扣率为x，则根据折扣计算公式可得200 * (1 - x) = 160。

一元一次方程的解法及应用拓展一、一元一次方程的概念1.1 定义：含有一个未知数，未知数的最高次数为1，且两边都为整式的等式称为一元一次方程。

1.2 形式：ax + b = 0（a, b为常数，a≠0）二、一元一次方程的解法2.1 公式法：将方程ax + b = 0两边同时除以a，得到x = -b/a。

2.2 移项法：将方程中的常数项移到等式的一边，未知数项移到等式的另一边。

2.3 因式分解法：将方程进行因式分解，使其成为两个一次因式的乘积等于0的形式，然后根据零因子定律求解。

三、一元一次方程的应用3.1 实际问题：将实际问题转化为一元一次方程，求解未知数。

3.2 线性方程组：由多个一元一次方程组成的方程组，可用代入法、消元法等方法求解。

3.3 函数图像：一元一次方程的图像为直线，可通过解析式分析直线与坐标轴的交点、斜率等性质。

四、一元一次方程的拓展4.1 比例方程：含有一元一次方程的等比例关系，可通过交叉相乘、解一元一次方程求解。

4.2 分式方程：含有一元一次方程的分式，可通过去分母、解一元一次方程求解。

4.3 绝对值方程：含有一元一次方程的绝对值，可分为两种情况讨论，求解未知数。

五、一元一次方程的练习题5.1 选择题：判断下列方程是否为一元一次方程，并选择正确的解法。

5.2 填空题：根据题目给出的条件，填空求解一元一次方程。

5.3 解答题：解答实际问题，将问题转化为一元一次方程，求解未知数。

六、一元一次方程的考试重点6.1 掌握一元一次方程的定义、形式及解法。

6.2 能够将实际问题转化为一元一次方程，求解未知数。

6.3 熟练运用一元一次方程解决线性方程组、函数图像等问题。

6.4 理解一元一次方程的拓展知识，如比例方程、分式方程、绝对值方程等。

七、一元一次方程的学习建议7.1 多做练习题：通过大量的练习题，熟练掌握一元一次方程的解法及应用。

7.2 深入理解实际问题：学会将实际问题转化为一元一次方程，提高解决问题的能力。

一元一次方程的概念及解法考试要求：例题精讲：板块一等式与方程的概念☞等式的概念：用等号“＝”来表示相等关系的式子，叫做等式．在等式中，等号左、右两边的式子，分别叫做这个等式的左边、右边．等式可以是数字算式，可以是公式、方程，也可以是用式子表示的运算律、运算法则．☞等式有如下几种类型(仅做了解)．恒等式：无论用什么数值代替等式中的字母，等式总能成立．如：数字算式123+=．条件等式：只能用某些数值代替等式中的字母，等式才能成立．方程56x=x+=需要1才成立．矛盾等式：无论用什么数值代替等式中的字母，等式都不能成立．如125+=，+=-．x x11等式由代数式构成，但不是代数式．代数式没有等号．【例1】下列各式中，哪些是等式⑴31x+<⑷53x+=⑸()x-⑵523-=⑶212-=-⑹x y z xz yz+=1x y【解析】等式的概念【答案】⑵⑷⑸⑹☞方程和它的解方程：含有未知数的等式叫方程，如21x+=，它有两层含义：①方程必须是等式；②等式中必须含有未知数方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值；只含有一个未知数的方程的解，也叫方程的根。

☞关于方程中的未知数和已知数：已知数：一般是具体的数值，如50x+=中(x的系数是1，是已知数．但可以不说)．5和0是已知数，如果方程中的已知数需要用字母表示的话，习惯上有a、b、c、m、n 等表示．未知数：是指要求的数，未知数通常用x 、y 、z 等字母表示．如：关于x 、y 的方程2ax by c -=中，a 、2b -、c 是已知数，x 、y 是未知数． 【例2】 下列各式中哪些是方程⑴7887⨯=⨯ ⑵2345x x ++ ⑶312y y -= ⑷60x =⑸31x > ⑹111x =+ ⑺26x y -= ⑻2430y y -+=【解析】方程的概念 【答案】⑶⑷⑹⑺⑻【巩固】判断下列各式是不是方程，如果是，指出已知数和未知数；如果不是，说明理由⑴373x x -=-+ ⑵223y -= ⑶2351x x -+ ⑷112--=- ⑸42x x -=- ⑹152x y -= 【解析】判断一个式子是不是方程，一要看是否为等式，二要看是否含未知数． 【答案】⑴是方程；⑵是方程；⑶不是方程；⑷不是方程；⑸是方程；⑹是方程【例3】 检验下列各数是不是方程315x x -=+的解⑴3x =； ⑵1x =-【解析】方程的解（注意严格要求学生的书写格式，不能直接将数值代入方程，如3(1)15(1)⨯--=+-，这样写不对的原因在于未检验之前，并不知道1x =-是否是方程的解）【答案】⑴把3x =分别代入原方程的左边和右边，得左边3318=⨯-=，右边538=+= ∴左边=右边∴3x =是方程315x x -=+的解⑵把1x =-分别代入原方程的左边和右边，得 左边3(1)14=⨯--=-，右边514=-= ∵左边≠右边∴1x =-不是方程315x x -=+的解【巩固】检验下列各数是不是方程213x y x y ++=--的解⑴23x y =⎧⎨=-⎩ ⑵10x y =⎧⎨=⎩⑶02x y =⎧⎨=-⎩【解析】方程的解【答案】⑴把23x y =⎧⎨=-⎩分别代入原方程的左边和右边，得左边22(3)12=⨯+-+=，右边2(3)32=---= ∴左边=右边 ∴23x y =⎧⎨=-⎩是方程213x y x y ++=--的解⑵把10x y =⎧⎨=⎩分别代入原方程的左边和右边，得左边21013=⨯++=，右边1032=--=- ∵左边≠右边∴10x y =⎧⎨=⎩不是方程213x y x y ++=--的解⑶把02x y =⎧⎨=-⎩分别代入原方程的左边和右边，得左边20(2)11=⨯+-+=-，右边0(2)31=---=- ∴左边=右边 ∴02x y =⎧⎨=-⎩是方程213x y x y ++=--的解【例4】 若2-为关于x 的一元一次方程，713mx +=的解，则m 的值是 【解析】将2x =-代入原方程中，即可求解 【答案】3m =-【巩固】关于x 的方程320x a +=的根是2，则a 等于 【解析】略 【答案】3-板块二 等式的性质☞等式的性质：等式性质1：等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式．若a b =，则a m b m ±=±；等式性质2：等式两边都乘以(或除以)同一个数(除数不能是0)或同一个整式，所得结果仍是等式．若a b =，则am bm =，a bm m=(0)m ≠☞注意：⑴在对等式变形过程中，等式两边必须同时进行．即：同时加或同时减，同时乘以或同时除以，不能漏掉某一边⑵等式变形过程中，两边同加或同减，同乘或同除以的数或整式必须相同． ⑶在等式变形中，以下两个性质也经常用到： 对称性，即：如果a b =，那么b a =．传递性，即：如果a b =，b c =，那么a c =．又称为等量代换 易错点：等号左右互换的时候忘记变符号 【例5】 根据等式的性质填空：(1)4a b =-，则______a b =+； (2)359x -=，则39x =+ ；(3)683x y =+，则x =_________； (4)122x y =+，则x =__________．【解析】(1)4a b =+，在等式两端同时加上b ；(2)395x =+，在等式两端同时加上5；(3)836y +，在等式的两端同时乘以16；(4)24y +，在等式的两端同时乘以2．【答案】(1)4a b =+ (2)395x =+ (3)836y + ；(4)24y +【巩固】下列变形中，不正确的是( )A ．若25x x =，则5x =B ．若77,x -=则1x =-C ．若10.2x x -=，则1012x x -= D ．若x ya a=，则ax ay = 【解析】根据等式的性质二，除数不能为0 【答案】A【巩固】用适当数或等式填空，使所得结果仍是等式，并说明根据的是哪一条等式性质及怎样变形的．⑴如果23x =+，那么x =____________；根据 ⑵如果6x y -=，那么6x =+_________；根据⑶如果324x y -=，那么34x y -=______；根据⑷如果34x =，那么x =_____________；根据【解析】略【答案】⑴1-，等式的性质1；⑵y ，等式的性质1；⑶8，等式的性质2；⑷43，等式的性质2板块三 一元一次方程的概念☞一元一次方程的概念：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，系数不等于0的方程叫做一元一次方程，这里的“元”是指未知数，“次”是指含未知数的项的最高次数．☞一元一次方程的形式：最简形式：方程ax b =(0a ≠，a ，b 为已知数)叫一元一次方程的最简形式．标准形式：方程0ax b +=(其中0a ≠，a ，b 是已知数)叫一元一次方程的标准形式．☞注意：⑴任何一元一次方程都可以转化为最简形式或标准形式，所以判断一个方程是不是一元一次方程，可以通过变形（必须为恒等变换）为最简形式或标准形式来验证．如方程22216x x x ++=-是一元一次方程．如果不变形，直接判断就出会现错误． ⑵方程ax b =与方程()0ax b a =≠是不同的，方程ax b =的解需要分类讨论完成 【例6】 下列各式中：⑴3x +；⑵2534+=+；⑶44x x +=+；⑷12x=；⑸213x x ++=；⑹44x x -=-；⑺23x =；⑻2(2)3x x x x +=++．哪些是一元一次方程？【解析】方程、等式的概念【答案】(6)、(8)是一元一次方程．其他均不是【巩固】下列方程是一元一次方程的是( )．A ．2237x x x +=+B ．3435322x x -+=+ C ． 22(2)3y y y y +=-- D ．3813x y -=【解析】略 【答案】B【巩固】在初中数学中，我们学习了各种各样的方程．以下给出了6个方程，请你把属于一元方程的序号填入圆圈⑴中，属于一次方程的序号填入圆圈⑵中，既属于一元方程又属于一次方程的序号填入两个圆圈的公共部分．①359x +=：②2440x x ++=；③235x y +=：④20x y +=；⑤8x y z -+=：⑥1xy =-．【解析】一元一次方程的定义 【答案】如图【例7】 若131m x -=是一元一次方程，那么m = 【解析】一元一次方程的定义 【答案】2m =【巩固】若关于x 的方程1(2)50k k x k --+=是一元一次方程，则k =【解析】1120k k ⎧-=⎪⎨-≠⎪⎩【答案】2k =-【巩固】若关于x 的方程2223x x ax a x a -=-+是一元一次方程，则a = ，方程的解是【解析】一元一次方程的定义 【答案】原方程化为一般形式得222(1)(3)0a x a x a a ---++=，则10a -=，∴1a =，1x =-【巩固】已知关于x 的方程(21)50nm x --=是一元一次方程，则m 、n 需要满足的条件为 【解析】一元一次方程的定义【答案】210m -≠且1n =，即12m ≠且1n =±板块四 一元一次方程的解法☞解一元一次方程的一般步骤：1．去分母：在方程的两边都乘以各分母的 最小公倍数 ．温馨提示：不要漏乘不含分母的项，分子是个整体，含有多项式时应加上括号． 2．去括号：一般地，先去 小括号，再去 中括号，最后去 大括号． 温馨提示：不要漏乘括号里的项，不要弄错符号．3．移项：把含有 未知数 的项都移到方程的一边， 不含未知数的项 移到方程的另一边． 温馨提示：⑴移项要变号；⑵不要丢项． 4．合并同类项：把方程化成ax b =的形式． 温馨提示：字母和其指数不变．5．系数化为1：在方程的两边都除以未知数的系数a (0a ≠ )，得到方程的解 bx a=．温馨提示：不要把分子、分母搞颠倒． 【例10】 下列等式中变形正确的是（ ）（2）（1）⑤③①②（2）（1）A.若31422x x -+=，则3144x x -=-B. 若31422x x -+=，则3182x x -+= C. 若31422x x -+=，则3180x -+= D. 若31422x x -+=，则3184x x -+=【解析】考查去分母解方程第一步骤，学生很容易出现漏乘等问题造成失分 【答案】D【例11】 122233x x x -+-=-【解析】按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1的步骤解答【答案】35x =-．【巩固】解方程：⑴6(1)5(2)2(23)x x x ---=+ ⑵12225y y y -+-=-【解析】略【答案】⑴23x =；⑵117y =【巩固】解方程：(1)3(3)52(25)x x -=--；(2)()()()243563221x x x --=--+；(3)135(3)3(2)36524x x ---= 【解析】略 【答案】(1)107x =-；(2)38x =；(3)12x =．☞先变形、再解方程本类型题：需要先利用等式的基本性质，将小数化为整数，然后再进行解方程计算【例12】 解方程：7110.2510.0240.0180.012x x x --+=-． 解：原方程可化为7110.251432x x x --+=-去分母，得 ．根据等式的性质( ) 去括号，得 ．移项，得 ．根据等式的性质( ) 合并同类项，得 ．系数化为1，得 ．根据等式的性质( )【解析】注意解方程的基本步骤与等式的性质【答案】去分母，得3(71)4(10.2)6(51)x x x -=--+．根据等式的性质1去括号，得21340.8306x x x -=---．移项，得210.830346x x x ++=+-．根据等式的性质1合并同类项，得51.81x =．系数化为1，得5259x =．根据等式的性质2【例13】0.130.4120 0.20.5x x+--=【解析】略【答案】原方程可变形为3041020 25x x+--=去分母得5(30)2(410)200x x+--=去括号得5150820200x x+-+=移项、合并得330x-=∴10x=-【巩固】解下列方程：⑴2 1.21 0.70.3x x--=；⑵0.40.90.10.50.030.020.50.20.03x x x+-+-=；⑶1(0.170.2)1 0.70.03xx--=⑷0.10.020.10.10.3 0.0020.05x x-+-=⑸422 30%50%x x-+-=⑹1(4)33519 0.50.125xxx+++=+⑺0.20.450.0150.010.5 2.50.250.015x xx++-=-⑻0.10.90.21 0.030.7x x--=【解析】解这类方程通常先应用分数的基本性质，将系数化为整数⑴原方程可化为201210173x x--=，而后解得2126x=；⑵原方程可化为49532 523 x x x+-+-=去分母6(49)15(5)10(32)x x x+--=+解得9x=；⑶原方程可化为101720173xx--=，解得1417x=．⑷原方程可化为1002010100.325x x-+-=，则4812.3x=，解得41160x=．⑸原方程可化为10401020235x x-+-=，解得13110x=．⑹解得7x=-．⑺解得9x=．⑻解得48127619x==．【答案】略☞逐层去括号含有多重括号时，去括号的顺序可以从内向外，也可以从外向内。

一元一次方程的解法一、方程的概念与组成1.方程的定义：含有未知数的等式称为方程。

2.方程的组成：a.未知数：用字母表示的数，如x、y等。

b.常数：已知的数，如2、3、4等。

c.运算符号：加、减、乘、除等。

二、一元一次方程的定义与特点1.定义：含有一个未知数，并且未知数的最高次数为1的方程称为一元一次方程。

a.方程中只有一个未知数。

b.未知数的最高次数为1。

c.方程的两边都是整式。

2.移项：将方程中的未知数移到等式的一边，常数移到等式的另一边。

3.合并同类项：将方程中同类项合并，化简等式。

4.系数化为1：将方程中的未知数系数化为1，得到未知数的值。

四、解题步骤1.识别方程：判断方程是否为一元一次方程。

2.移项：将未知数移到等式的一边，常数移到等式的另一边。

3.合并同类项：化简等式，使未知数系数化为1。

4.求解：根据合并同类项后的等式，求得未知数的值。

5.检验：将求得的未知数值代入原方程，验证等式是否成立。

五、常见解题方法1.加减法解法：适用于方程两边都有未知数的情况。

2.乘除法解法：适用于方程中有未知数的乘除运算。

3.换元法：适用于方程中未知数的系数较大或较复杂时，通过设定新未知数简化方程。

六、解题注意事项1.保持等号对齐：在移项、合并同类项过程中，要注意保持等号对齐，避免出错。

2.符号变化：移项时，要注意符号的变化，负数移到等式另一边要变正，正数移到等式另一边要变负。

3.检验：求得未知数值后，要进行检验，确保解是正确的。

七、方程的应用1.实际问题：将实际问题转化为方程，通过求解方程得到问题的答案。

2.数学运算：在一元一次方程的基础上，进行加减乘除等运算，解决更复杂的数学问题。

通过以上知识点的学习，学生可以掌握一元一次方程的基本概念、解法步骤和应用方法，为后续数学学习打下基础。

习题及方法：1.习题：2x - 5 = 3a.移项：将常数移到等式右边，未知数移到等式左边。

2x = 3 + 5b.合并同类项：将等式右边的常数相加。

《一元一次方程及其解法》知识清单一、一元一次方程的定义一元一次方程是指只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 1 的整式方程。

一般形式为：＄ax ＋ b ＝ 0$（其中$a$，＄b$为常数，且$a ＼neq 0$）。

例如：＄2x ＋ 3 ＝ 7$，＄05x 1 ＝ 2$等都是一元一次方程。

需要注意的是，方程必须是等式，并且等式两边都是整式。

二、一元一次方程的解使一元一次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元一次方程的解。

例如，对于方程$2x ＋ 3 ＝ 7$，当$x ＝ 2$时，方程左边$＝ 2×2 ＋3 ＝ 7$，方程右边$＝ 7$，因为左边等于右边，所以$x ＝ 2$是方程$2x ＋ 3 ＝ 7$的解。

三、一元一次方程的解法解一元一次方程的一般步骤如下：1、去分母如果方程中有分母，要根据等式的性质，在方程两边同时乘以各分母的最小公倍数，去掉分母。

例如，方程$＼frac{x}｛2} ＋＼frac{x}｛3} ＝ 1$，分母 2 和 3 的最小公倍数是 6，方程两边同时乘以 6，得到：＄6×＼frac{x}｛2} ＋ 6×＼frac{x}｛3} ＝ 6×1$＄3x ＋ 2x ＝ 6$2、去括号如果方程中有括号，要先去括号。

去括号时，要遵循乘法分配律，用括号外的数乘以括号内的每一项。

例如，方程$2(x ＋ 3) ＝ 5x 1$，去括号得到：＄2x ＋ 6 ＝ 5x 1$3、移项把含有未知数的项移到方程的一边，常数项移到方程的另一边。

移项时要注意变号。

例如，方程$3x ＋ 5 ＝ 7x 9$，移项得到：＄3x 7x ＝－9 5$＄－4x ＝－14$4、合并同类项将方程中的同类项进行合并，化简方程。

例如，上面得到的$－4x ＝－14$，合并同类项得到：＄－4x ＝－14$5、系数化为 1在方程两边同时除以未知数的系数，得到方程的解。

例如，＄－4x ＝－14$，两边同时除以$－4$得到：＄x ＝＼frac{7}｛2}＄四、实际问题中的一元一次方程一元一次方程在实际生活中有广泛的应用，例如行程问题、工程问题、销售问题等。

一元一次方程的定义、解法一、学习目标1、知道一元一次方程的定义；2、掌握解一元一次方程的步骤；3、熟练、准确解一元一次方程。

二、练习展示【知识点1】含有未知数的等式叫方程。

【例1.1】下列各式中，是方程的是（ ） A.35-m 0 B.5+3=8 C. 38-x D. b a =+926 【变式】下列各式中，方程有（ ）①2+1=1+2；②4－x=1；③y2-1=-3y+1；④x -2.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【知识点2】一元一次方程的定义：只含有一个未知数，未知数的次数都是1，而且等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程注意：一元一次方程的条件有（1）等号两边都是整式 （2）是方程（3）化简后只含有一个未知数而且未知数的系数不是0 （4）未知数的次数都是1（化简后）【例2.1】关于x 的方程(2-a)x |a -1|-21=3是一元一次方程，求a 的值.【例2.2】1、 根据下面实际问题中的数量关系，设未知数列出方程：用一根长为50cm 的铁丝围成一个正方形，正方形的边长为多少？2、根据下面实际问题中的数量关系，设未知数列出方程：某校女生人数占全体学生数的44%，比男生少90人，这个学校有多少学生？【变式】若()051=+-mxm 是关于x 的一元一次方程.（1）求m 的值； （2）请写出这个方程；（3）判断1=x 、5.2=x 、3=x 是否是方程的解。

【知识点3】等式的性质：（1）等式两边同时加（或者减）去同一个数字（或者式子），结果仍相等。

（2）等式两边同时乘以同一个数，或者除以同一个不为零的数，结果仍相等。

【例3.1】1、如果21x =0.5,那么x =_____,这是根据_____. 2、如果－5x +6=1－6x ,那么x =____,根据_____. 3、如果x －3=2,那么x =_____,根据_____ 4、如果4x =－12y ,则x =_____,根据_____.【变式】利用等式的性质解下列方程并检验：（1）69=-x ； （2）102.0=-x ；【知识点4】解方程1、方程的解：使方程中等号左右两边相等的未知数的值叫做方程的解；2、解方程：解方程就是求出是方程中等号左右两边相等的未知数的值；3、解方程的步骤： （1）去分母； （2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项——化成)0(≠=a b ax 的形式；（5）系数化作1——两边同除以未知数的系数，得到方程的解a b x =。