高考数学一轮复习第一章第二节命题及其关系充分条件与必要条件课后作业理74(1)

课时作业(二) 命题及其关系、充分条件与必要条件一、选择题1．(2020·菏泽模拟)有以下命题：①“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题； ②“面积相等的三角形全等”的否命题；③“若m ≤1，则x 2－2x ＋m ＝0有实数解”的逆否命题； ④“若A ∩B ＝B ，则A ⊆B ”的逆否命题． 其中真命题为( ) A ．①② B ．②③ C ．④ D ．①②③答案：D解析：④中原命题为假命题，应为若A ∩B ＝B ，则B ⊆A ，故其逆否命题为假命题，故应选D.2．(2020·北京东城区4月)若集合A ＝{x |x 2－5x ＋4<0}，B ＝{x ||x －a |<1}，则“a ∈(2,3)”是“B ⊆A ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：A解析：由题意知，A ＝{x |1<x <4}，B ＝{x |－1＋a <x <1＋a }，若B ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ≤4，－1＋a ≥1，解得2≤a ≤3，所以必要性不成立．反之，若2<a <3，则必有B ⊆A 成立，所以充分性成立，故应选A.3．(2020·浙江)已知i 是虚数单位，a ，b ∈R ，则“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案：A解析：当a ＝b ＝1时，(a ＋b i)2＝(1＋i)2＝2i ，反之，若(a ＋b i)2＝2i ，则有a ＝b ＝－1或a ＝b ＝1，故应选A.4．(2020·青岛质检)设p ：f (x )＝x 3＋2x 2＋mx ＋1在(－∞，＋∞)内单调递增，q ：m ≥43，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：C解析：f (x )＝x 3＋2x 2＋mx ＋1在(－∞，＋∞)内单调递增，可得f ′(x )＝3x 2＋4x ＋m ≥0对任意x ∈R 恒成立，即m ≥[－(3x 2＋4x )]max ，而－(3x 2＋4x )＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋232＋43≤43，因此m ≥43；由m ≥43，可推出f ′(x )＝3x 2＋4x ＋m ≥0，所以p 是q 的充要条件．故应选C.5．设集合A ，B 是全集U 的两个子集，则A B 是(∁U A )∪B ＝U 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案：A解析：如图所示，A B ⇒(∁U A )∪B ＝U ，但(∁U A )∪B ＝U ⇒/AB ，如A ＝B ，所以A B 是(∁U A )∪B ＝U 的充分不必要条件．故应选A.6．(2020·淄博模拟)“a ＞b 且c ＞d ”是“ac ＞bd ”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案：D解析：因为a ＞b 且c ＞d ⇒/ac >bd ，ac >bd ⇒/a >b 且c >d ，所以“a >b 且c >d ”是“ac >bd ”成立的既不充分也不必要条件，故应选D.7．已知f (x )＝x 2－2x ＋3，g (x )＝kx －1，则“|k |≤2”是“f (x )≥g (x )在R 上恒成立”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案：A解析：“f (x )≥g (x )在R 上恒成立”，则x 2－2x ＋3≥kx －1，恒成立，即x 2－(2＋k )x ＋4≥0恒成立，由Δ＝(2＋k )2－16≤0，得－6≤k ≤2.显然|k |≤2，即－2≤k ≤2是上述k 的取值范围的真子集．故应选A.8．设{a n }是等比数列，则“a 1<a 2<a 3”是“数列{a n }是递增数列”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案：C解析：易知若数列{a n }为递增数列，则有a 1<a 2<a 3， 反之若等比数列{a n }满足a 1<a 2<a 3，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1<a 1q ，a 1q <a 1q2⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1<0，0<q <1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1>0，q >1，此时满足条件的等比数列{a n }均为递增数列，故为充分必要条件．故应选C.9．(2020·桂林模拟)已知集合A ＝{x |x >5}，集合B ＝{x |x >a }，若命题“x ∈A ”是命题“x ∈B ”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，5)B ．(－∞，5]C ．(5，＋∞)D ．[5，＋∞)答案：A解析：由题意可知，A B ，又A ＝{x |x >5}，B ＝{x |x >a }，如图所示，由图可知，a <5.故应选A.10．“对任意的正整数n ，不等式n lg a <(n ＋1)lg a a(a >0)都成立”的一个充分不必要条件是( )A ．0<a <1B ．0<a <12C ．0<a <2D ．0<a <12或a >1答案：B解析：根据题意可先确定命题的充要条件，不等式等价于[n －(n ＋1)a ]lg a <0. 当a >1时，只需n －(n ＋1)a <0，此时不等式恒成立； 当0<a <1时，需n －(n ＋1)a >0，整理，得a <nn ＋1，要使不等式恒成立，只需0<a <12即可．综上，不等式成立的充要条件为0<a <12或a >1，故其一个充分不必要条件是上述a 的取值范围的一个真子集，只有B 选项符合条件．故应选B. 二、填空题11．命题“若m >0，则关于x 的方程x 2＋x －m ＝0有实数根”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________．答案：2解析：由Δ＝1＋4m ≥0，解得m ≥－14，故原命题及其逆否命题是真命题．逆命题“若关于x 的方程x 2＋x －m ＝0有实数根，则m >0”是假命题，从而否命题也是假命题，故共有2个真命题．12．下列命题： ①若ac 2>bc 2，则a >b ；②若sin α＝sin β，则α＝β；③“实数a ＝0”是“直线x －2ay ＝1和直线2x －2ay ＝1平行”的充要条件； ④若f (x )＝log 2x ，则f (|x |)是偶函数． 其中正确命题的序号是________． 答案：①③④解析：对于①，ac 2>bc 2，c 2>0，∴a >b 正确；对于②，sin 30°＝sin 150°⇒/30°＝150°，所以②错误；对于③，l 1∥l 2⇔A 1B 2＝A 2B 1，即－2a ＝－4a ⇒a ＝0且A 1C 2≠A 2C 1，所以③正确；④显然正确．13．已知α：x ≥a ，β：|x －1|<1.若α是β的必要不充分条件，则实数a 的取值范围为________．答案：(－∞，0]解析：α：x ≥a ，可看作集合A ＝{x |x ≥a }． ∵β：|x －1|<1，∴0<x <2， ∴β可看作集合B ＝{x |0<x <2}． 又∵α是β的必要不充分条件， ∴BA ，∴a ≤0.14．设n ∈N *，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数根的充要条件是n ＝________. 答案：3或4解析：∵x 2－4x ＋n ＝0有整数根且n ∈N *， ∴x ＝4±16－4n 2＝2±4－n ，∴4－n 为某个整数的平方且4－n ≥0， ∴n ＝3或n ＝4.∴当n ＝3时，x 2－4x ＋3＝0，解得x ＝1或x ＝3； 当n ＝4时，x 2－4x ＋4＝0，解得x ＝2. ∴n ＝3或n ＝4.15．已知p ：|x －3|≤2，q ：(x －m ＋1)(x －m －1)≤0，若¬p 是¬q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围为________．答案：[2,4]解析：由题意，p ：－2≤x －3≤2， ∴1≤x ≤5. ∴¬p ：x <1或x >5. 易得q ：m －1≤x ≤m ＋1， ∴¬q ：x <m －1或x >m ＋1. 又∵¬p 是¬q 的充分不必要条件，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1≥1，m ＋1≤5，∴2≤m ≤4.。

第二节命题及其关系、充分条件与必要条件【考纲下载】1．理解命题的概念．2．了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．3．理解必要条件、充分条件与充要条件的含义．1．命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件与必要条件(1)若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)若p⇔q，则p与q互为充要条件．(3)若p⇒/ q，且q⇒/ p，则p是q的既不充分也不必要条件．1．在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题这4个命题中，其真命题的个数能否为1或3?提示：由于原命题与逆否命题是等价命题，逆命题与否命题是等价命题，所以真命题的个数可能为0,2,4，不可能为1或3.2．一个命题的否命题与这个命题的否定是同一个命题吗？提示：不是，一个命题的否命题是既否定该命题的条件，又否定该命题的结论，而这个命题的否定仅是否定它的结论．3．“p 是q 的充分不必要条件”与“p 的一个充分不必要条件是q ”两者的说法相同吗？提示：两者说法不相同．“p 的一个充分不必要条件是q ”等价于“q 是p 的充分不必要条件”，显然这与“p 是q 的充分不必要条件”是截然不同的．1．(2013·安徽高考)“(2x －1)x ＝0”是“x ＝0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：选B (2x －1)x ＝0⇒x ＝12或x ＝0；x ＝0⇒(2x －1)·x ＝0.2．命题“若x 2＞y 2，则x ＞y ”的逆否命题是( ) A ．“若x ＜y ，则x 2＜y 2” B ．“若x ＞y ，则x 2＞y 2” C ．“若x ≤y ，则x 2≤y 2” D ．“若x ≥y ，则x 2≥y 2”解析：选C 根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若x 2＞y 2，则x ＞y ”的逆否命题是“若x ≤y ，则x 2≤y 2”．3．(教材习题改编)命题“如果b 2－4ac ＞0，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个不相等的实根”的否命题、逆命题和逆否命题中，真命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选D 原命题为真，则它的逆否命题为真，逆命题为“若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个不相等的实根，则b 2－4ac ＞0”，为真命题，则它的否命题也为真．4．命题“若f (x )是奇函数，则f (－x )是奇函数”的否命题是 ( ) A ．若f (x )是偶函数，则f (－x )是偶函数 B ．若f (x )不是奇函数，则f (－x )不是奇函数 C ．若f (－x )是奇函数，则f (x )是奇函数 D ．若f (－x )不是奇函数，则f (x )不是奇函数解析：选B 原命题的否命题是既否定题设又否定结论，故“若f (x )是奇函数，则f (－x )是奇函数”的否命题是B 选项．5．下面四个条件中，使a ＞b 成立的充分而不必要的条件是 ( ) A ．a ＞b ＋1 B ．a ＞b －1 C ．a 2＞b 2D ．a 3＞b 3解析：选A 由a ＞b ＋1，且b ＋1＞b ，得a ＞b ；反之不成立.方法博览(一)三法破解充要条件问题1．定义法定义法就是将充要条件的判断转化为两个命题——“若p ，则q ”与“若q ，则p ”的判断，根据两个命题是否正确，来确定p 与q 之间的充要关系．[典例1] 设0＜x ＜π2，则“x sin 2x ＜1”是“x sin x ＜1”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件[解题指导] 由0＜x ＜π2可知0＜sin x ＜1，分别判断命题“若x sin 2x ＜1，则x sin x＜1”与“若x sin x ＜1，则x sin 2x <1”的真假即可．[解析] 因为0<x <π2，所以0<sin x <1，不等式x sin x <1两边同乘sin x ，可得x sin 2x <sin x ，所以有x sin 2x <sin x <1.即x sinx <1⇒x sin 2x <1；不等式x sin 2x <1两边同除以sin x ，可得x sin x <1sin x ，而由0<sin x <1，知1sin x >1，故x sin x <1不一定成立，即x sin 2x <1⇒/ x sin x <1.综上，可知“x sin 2x <1”是“x sin x <1”的必要不充分条件． [答案] C[点评] 判断p 、q 之间的关系，只需判断两个命题A ：“若p ，则q ”和B ：“若q ，则p ”的真假．(1)若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件； (2)若q ⇒p ，则p 是q 的必要条件； (3)若p ⇒q 且q ⇒p ，则p 是q 的充要条件； (4)若p ⇒q 且q ⇒/ p ，则p 是q 的充分不必要条件； (5)若p ⇒/ q 且q ⇒p ，则p 是q 的必要不充分条件； (6)若p ⇒/ q 且q ⇒/ p ，则p 是q 的既不充分也不必要条件． 2．集合法集合法就是利用满足两个条件的参数取值所构成的集合之间的关系来判断充要关系的方法．主要解决两个相似的条件难以进行区分或判断的问题．[典例2] 若A ：log 2a <1，B ：x 的二次方程x 2＋(a ＋1)x ＋a －2＝0的一个根大于零，另一根小于零，则A 是B 的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件[解题指导] 分别求出使A 、B 成立的参数a 的取值所构成的集合M 和N ，然后通过集合M 与N 之间的关系来判断．[解析] 由log 2a <1，解得0<a <2，所以满足条件A 的参数a 的取值集合为M ＝{a |0<a <2}；而方程x 2＋(a ＋1)x ＋a －2＝0的一根大于零，另一根小于零的充要条件是f (0)<0，即a －2<0，解得a <2，即满足条件B 的参数a 的取值集合为N ＝{a |a <2}，显然M N ，所以A 是B 的充分不必要条件．[答案] B[点评] 利用集合间的关系判断充要条件的方法等价转化法就是在判断含有逻辑联结词“否”的有关条件之间的充要关系时，根据原命题与其逆否命题的等价性转化为形式较为简单的两个条件之间的关系进行判断．[典例3] 已知条件p ：4x －1≤－1，条件q ：x 2－x <a 2－a ，且非q 的一个充分不必要条件是非p ，则a 的取值范围是________．[解题指导] “非q 的一个充分不必要条件是非p ”等价于“p 是q 的一个必要不充分条件”．[解析] 由4x －1≤－1，得－3≤x <1. 由x 2－x <a 2－a ，得(x －a )[x ＋(a －1)]<0， 当a >1－a ，即a >12时，不等式的解为1－a <x <a ；当a ＝1－a ，即a ＝12时，不等式的解为∅；当a <1－a ，即a <12时，不等式的解为a <x <1－a .由非q 的一个充分不必要条件是非p ，可知非p 是非q 的充分不必要条件，即p 为q 的一个必要不充分条件，即条件q 对应的x 取值集合是条件p 对应的x 取值集合的真子集．当a >12时，由{x |1－a <x <a } {x |－3≤x <1}，得⎩⎪⎨⎪⎧－3≤1－a ，1≥a ，解得12<a ≤1；当a ＝12时，因为空集是任意一个非空集合的真子集，所以满足条件；当a <12时，由{x |a <x <1－a } {x |－3≤x <1}，得⎩⎪⎨⎪⎧－3≤a ，1≥1－a ，解得0≤a <12.综上，a 的取值范围是[0,1]． [答案] [0,1][点评] 条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断真假.。

其次节命题及其关系、充分条件与必要条件1.命题p:“若x2<1,则x<1”的逆命题为q,则p与q的真假性为( )A.p真q真B.p真q假C.p假q真D.p假q假答案 D q:若x<1,则x2<1.由x2<1,解得-1<x<1,∴p假,当x<1时,x2<1不肯定成立,∴q假.故选D.2.“x<0”是“ln(x+1)<0”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 B ln(x+1)<0⇔0<x+1<1⇔-1<x<0⇒x<0;而x<0⇒/-1<x<0.故选B.3.“a=1”是“直线ax+y+1=0与直线(a+2)x-3y-2=0垂直”的( )A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件答案 B 直线ax+y+1=0与直线(a+2)x-3y-2=0垂直,所以a(a+2)+1×(-3)=0,解得a=1或a=-3,故“a=1”是“直线ax+y+1=0与直线(a+2)x-3y-2=0垂直”的充分不必要条件.4.(2024辽宁沈阳质检)命题“若x2+3x-4=0,则x=4”的逆否命题及其真假性为( )A.“若x=4,则x2+3x-4=0”,真命题B.“若x≠4,则x2+3x-4≠0”,真命题C.“若x≠4,则x2+3x-4≠0”,假命题D.“若x=4,则x2+3x-4=0”,假命题答案 C 依据逆否命题的定义可以解除A、D,因为x2+3x-4=0,所以x=-4或1,故原命题为假命题,即逆否命题为假命题.5.(2024江西南昌摸底调研)已知m,n为两个非零向量,则“m·n<0”是“m与n的夹角为钝角”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件<θ<π,则cosθ<0,则m·n<0成立;当θ=π答案 B 设m,n的夹角为θ,若m,n的夹角为钝角,则π2时,m·n=-|m|·|n|<0成立,但m,n的夹角不为钝角.故“m·n<0”是“m与n的夹角为钝角”的必要不充分条件,故选B.6.下列有关命题的说法正确的是( )A.命题“若xy=0,则x=0”的否命题为“若xy=0,则x ≠0”B.命题“若cosx=cosy,则x=y ”的逆否命题为真命题C.命题“a,b 都是有理数”的否定是“a,b 都不是有理数”D.“若x+y=0,则x,y 互为相反数”的逆命题为真命题答案 D A 中,命题的否命题为“若xy ≠0,则x ≠0”,选项A 不正确;B 中,命题“若cosx=cosy,则x=y ”为假命题,因此其逆否命题为假命题;对于C,命题“a,b 都是有理数”的否定是“a,b 不都是有理数”,所以C 错误;D 中命题为真命题.故选D.7.已知命题α:假如x<3,那么x<5;命题β:假如x ≥3,那么x ≥5;命题γ:假如x ≥5,那么x ≥3.关于这三个命题之间的关系,下列说法正确的是( )①命题α是命题β的否命题,且命题γ是命题β的逆命题;②命题α是命题β的逆命题,且命题γ是命题β的否命题;③命题β是命题α的否命题,且命题γ是命题α的逆否命题.A.①③B.②C.②③D.①②③答案 A 本题考查命题的四种形式,逆命题是把原命题中的条件和结论互换,否命题是把原命题的条件和结论都加以否定,逆否命题是把原命题中的条件与结论先都否定然后互换,故①正确,②错误,③正确.8.已知等差数列{a n }的公差为d,前n 项和为S n ,则“d>0”是“S 4+S 6>2S 5”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 C 解法一:S 4+S 6>2S 5等价于(S 6-S 5)+(S 4-S 5)>0,等价于a 6-a 5>0,等价于d>0.故选C.解法二:∵S n =na 1+12n(n-1)d,∴S 4+S 6-2S 5=4a 1+6d+6a 1+15d-2(5a 1+10d)=d,则S 4+S 6>2S 5等价于d>0.故选C. 9.设a,b ∈R,则“a>b ”是“a|a|>b|b|”的 条件.答案 充要解析 设f(x)=x|x|,则f(x)={x 2,x ≥0,-x 2,x <0,所以f(x)是R 上的增函数,所以“a>b ”是“a|a|>b|b|”的充要条件.10.原命题“设a 、b 、c ∈R,若a>b,则ac 2>bc 2”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为 .答案 2解析 由题意可知原命题是假命题,所以其逆否命题是假命题;逆命题为“设a 、b 、c ∈R,若ac 2>bc 2,则a>b ”,该命题是真命题,所以否命题也是真命题.故真命题有2个11.已知p(x):x2+2x-m>0,若p(1)是假命题,p(2)是真命题,则实数m的取值范围是.答案[3,8)解析因为p(1)是假命题,所以1+2-m≤0,解得m≥3,又p(2)是真命题,所以4+4-m>0,解得m<8.故实数m 的取值范围是[3,8).12.(2024安徽合肥模拟)已知条件p:x∈A,且A={x|a-1<x<a+1},条件q:x∈B,且B={x|y=√x2-3x+2}.若p是q的充分条件,则实数a的取值范围是.答案{a|a≤0或a≥3}解析易得B={x|x≤1或x≥2},且A={x|a-1<x<a+1},因为p是q的充分条件,所以A⊆B,所以a+1≤1或a-1≥2,所以a≤0或a≥3.所以实数a的取值范围是{a|a≤0或a≥3}.13.写出命题“已知a,b∈R,若关于x的不等式x2+ax+b≤0有非空解集,则a2≥4b”的逆命题、否命题、逆否命题,并推断它们的真假.解析(1)逆命题:已知a,b∈R,若a2≥4b,则关于x的不等式x2+ax+b≤0有非空解集,为真命题.(2)否命题:已知a,b∈R,若关于x的不等式x2+ax+b≤0无实数解,则a2<4b,为真命题.(3)逆否命题:已知a,b∈R,若a2<4b,则关于x的不等式x2+ax+b≤0无实数解,为真命题.。

课时提升练(二)命题及其关系、充分条件与必要条件一、选择题1．(2023·东北四市联考)以下命题中真命题是( )A．“a>b”是“a2>b2”的充分条件B．“a>b”是“a2>b2”的必要条件C．“a>b”是“ac2>bc2”的必要条件D．“a>b”是“|a|>|b|”的充要条件【解析】C中，当c2＝0时，由a>b ac2>bc2；反过来，由ac2>bc2⇒a>b，故“a>b”是“ac2>bc2”的必要条件．【答案】 C2．命题“假设a，b，c成等比数列，那么b2＝ac”的逆否命题是( )A．“假设a，b，c成等比数列，那么b2≠ac”B．“假设a，b，c不成等比数列，那么b2≠ac”C．“假设b2＝ac，那么a，b，c成等比数列”D．“假设b2≠ac，那么a，b，c不成等比数列”【解析】根据原命题与其逆否命题的关系知，命题“假设a，b，c成等比数列，那么b2＝ac”的逆否命题为“假设b2≠ac，那么a，b，c不成等比数列”．【答案】 D3.(2023·长沙模拟)设A，B为两个互不相同的集合，命题p：x∈A∩B，命题q：x∈A 或x∈B，那么┑q是┑p的( )A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件【解析】由题意p⇒q，故┑q⇒┑p；而q p，故┑p┑q，所以┑q是┑p的充分不必要条件．【答案】 B4．有以下四个命题：①“假设x＋y＝0，那么x，y互为相反数”的逆否命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“假设q≤1，那么x2＋2x＋q＝0有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题．其中的真命题为( )A．①②B．②③C．①③D．③④【解析】“假设x＋y＝0，那么x，y互为相反数”为真命题，那么逆否命题也为真；“全等三角形的面积相等”的否命题为“不全等三角形的面积不相等”，该否命题为假命题；假设q≤1⇒4－4q≥0，即Δ＝4－4q≥0，那么x2＋2x＋q＝0有实根，所以原命题为真命题，故其逆否命题也为真；“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题为“三个内角相等的三角形是不等边三角形”，该逆命题为假命题．应选C.【答案】 C5．(2023·重庆模拟)假设p是q的必要条件，s是q的充分条件，那么以下推理一定正确的选项是( )A．┑p⇔┑s B．p⇔sC．┑p⇒┑s D．┑s⇒┑p【解析】由题意得q⇒p，且s⇒q，故s⇒p，所以┑p⇒┑s.【答案】 C6．(2023·深圳高级中学高三月考)命题：①假设“p且q”为假命题，那么p，q均为假命题；②命题“假设x≥2且y≥3，那么x＋y≥5”的否命题为“假设x<2且y<3，那么x＋y<5”；③在△ABC中，“A>45°”是“sin A>22”的充要条件；④命题“∃x0∈R，使得e x0≤0”是真命题．其中正确命题的个数是( )A．3 B．2C．1 D．0【解析】假设“p且q”为假命题，那么p，q至少有一个为假命题，①错；②中命题的否命题为：“假设x<2或y<3，那么x＋y<5”，②错；③中当A＝150°时，sin A<22，③错；由指数函数的性质，可知∀x∈R，e x>0，故④错．【答案】 D7．(2023·天津高考)设a，b∈R，那么“a>b”是“a|a|>b|b|”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【解析】当b＜0时，显然有a＞b⇔a|a|＞b|b|；当b＝0时，显然有a＞b⇔a|a|＞b|b|；当b＞0时，a＞b有|a|＞|b|，所以a＞b⇔a|a|＞b|b|.综上可知a＞b⇔a|a|＞b|b|，应选C.【答案】 C8．(2023·甘肃诊断)以下选项中，p是q的必要不充分条件的是( ) A．p：x＝1，q：x2＝xB．p：A∩B＝A，q：∁U B⊆∁U AC．p：x>a2＋b2，q：x>2abD．p：a＋c>b＋d，q：a>b且c>d【解析】A中，x＝1⇒x2＝x，x2＝x⇒x＝0或x＝1 x＝1，故p是q的充分不必要条件；B中，由A∩B＝A得A⊆B，所以∁U B⊆∁U A.反之，假设∁U B⊆∁U A，那么A⊆B，那么A∩B ＝A，故p是q的充要条件；C中，因为a2＋b2≥2ab，由x>a2＋b2得x>2ab.反之不成立，如a＝0，b＝2，x＝1，那么有x>2ab，但x＝1<4＝a2＋b2，故p是q的充分不必要条件；D中，取a＝－1，b＝1，c＝0，d＝－3，满足a＋c>b＋d，但a<b，c>d.反之，由同向不等式可加性得a>b，c>d⇒a＋c>b＋d，故p是q的必要不充分条件．综上所述，应选D.【答案】 D9．(2023·福建高考)直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，那么“k ＝1”是“△OAB 的面积为12”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件【解析】 将直线l 的方程化为一般式得kx －y ＋1＝0，所以圆O ：x 2＋y 2＝1的圆心到该直线的距离d ＝1k 2＋1.又弦长为21－1k 2＋1＝2|k |k 2＋1，所以S △OAB ＝12·1k 2＋1·2|k |k 2＋1＝|k |k 2＋1＝12，解得k ＝±1.因此可知“k ＝1”是“△OAB 的面积为12”的充分而不必要条件，应选A.【答案】 A10．已知集合A ＝{x |x ＞5}，集合B ＝{x |x ＞a }，假设命题“x ∈A ”是命题“x ∈B ”的充分不必要条件，那么实数a 的取值范围是( )A ．a ＜5B ．a ≤5C ．a ＞5D ．a ≥5【解析】 由题意可知A B ，又A ＝{x |x ＞5}，B ＝{x |x ＞a }，如下图，由图可知a ＜5.【答案】 A11．(2023·上海高考)钱大姐常说“廉价没好货”，她这句话的意思是：“不廉价”是“好货”的( )A ．充分条件B ．必要条件C ．充分必要条件D ．既非充分也非必要条件【解析】 根据等价命题，廉价⇒没好货，等价于，好货⇒不廉价，应选B. 【答案】 B12．(2023·湖北高考)设U 为全集，A ，B 是集合，那么“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B ＝∅”的( )A ．充分而不必要的条件B ．必要而不充分的条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件【解析】 假设存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ，那么可以推出A ∩B ＝∅；假设A ∩B ＝∅，由Venn 图(如图)可知，存在A ＝C ，同时满足A ⊆C ，B ⊆∁U C .故“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B ＝∅”的充要条件． 【答案】 C 二、填空题13．已知集合A ＝{1，a }，B ＝{1,2,3}，那么“a ＝3”是“A ⊆B ”的________条件． 【解析】 a ＝3⇒A ⊆B ，A ⊆B ⇒a ＝2或3，因此“a ＝3”是“A ⊆B ”的充分不必要条件． 【答案】 充分不必要14．在命题p 的四种形式(原命题、逆命题、否命题、逆否命题)中，真命题的个数记为f (p )，已知命题p ：“假设两条直线l 1：a 1x ＋b 1y ＋c 1＝0，l 2：a 2x ＋b 2y ＋c 2＝0平行，那么a 1b 2－a 2b 1＝0”．那么f (p )＝________.【解析】 命题p 为真命题，其逆否命题也为真命题；命题p 的逆命题为假命题，其否命题也为假命题．【答案】 215．假设命题“ax 2－2ax －3>0不成立”是真命题，那么实数a 的取值范围是________． 【解析】 由题意得，ax 2－2ax －3≤0，当a ＝0时，有－3≤0，成立；当a ≠0时，需满足⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝4a 2＋12a ≤0，即－3≤a <0，综上知－3≤a ≤0.【答案】 [－3,0]16．已知命题p ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0，x －10≤0，命题q ：1－m ≤x ≤1＋m ，m ＞0，假设q 是p 的必要而不充分条件，那么m 的取值范围为________．【解析】 命题p ：－2≤x ≤10，由q 是p 的必要不充分条件知， {x |－2≤x ≤10}{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m ＞0}，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＞01－m ≤－21＋m ＞10或⎩⎪⎨⎪⎧m ＞01－m ＜－21＋m ≥10，∴m ≥9，即m 的取值范围是[9，＋∞)． 【答案】 [9，＋∞)。

第二节命题及其关系、充分条件与必要条件本节主要包括2个知识点:1。

命题及其关系;2。

充分条件与必要条件。

突破点（一）命题及其关系基础联通抓主干知识的“源”与“流”1．命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及相互关系3．四种命题的真假关系(1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；（2）两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性没有关系。

考点贯通抓高考命题的“形”与“神”命题的真假判断[例1] 下列命题中为真命题的是（ )A ．若1x＝错误!,则x ＝y B ．若x 2＝1，则x ＝1C ．若x ＝y ，则x ＝错误!D ．若x <y ，则x 2<y 2[解析] 取x ＝－1，排除B ；取x ＝y ＝－1，排除C;取x ＝－2，y ＝－1，排除D.［答案] A［方法技巧] 判断命题真假的思路方法（1)判断一个命题的真假时，首先要弄清命题的结构,即它的条件和结论分别是什么，把它写成“若p ，则q ”的形式，然后联系其他相关的知识,经过逻辑推理或列举反例来判定．（2）一个命题要么真，要么假，二者必居其一．当一个命题改写成“若p ，则q ”的形式之后，判断这个命题真假的方法：①若由“p ”经过逻辑推理，得出“q ”，则可判定“若p ,则q ”是真命题；②判定“若p，则q”是假命题，只需举一反例即可．四种命题的关系将条件与结论互换即得逆命题,将条件与结论同时否定即得否命题，将条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．[例2] (1)命题“若a>b，则a－1〉b－1"的否命题是（）A．若a〉b，则a－1≤b－1B．若a>b,则a－1〈b－1C．若a≤b，则a－1≤b－1D．若a<b，则a－1<b－1(2）给出命题：若函数y＝f(x）是幂函数,则函数y＝f（x）的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中，真命题的个数是( ）A．3 B．2 C．1 D．0［解析］(1)根据否命题的定义可知，命题“若a〉b，则a－1〉b－1”的否命题应为“若a≤b，则a－1≤b－1"．(2)原命题是真命题，故它的逆否命题是真命题；它的逆命题为“若函数y＝f（x)的图象不过第四象限，则函数y＝f(x）是幂函数”，显然逆命题为假命题，故原命题的否命题也为假命题．因此在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中真命题只有1个．［答案］（1)C (2)C[方法技巧］1．写一个命题的其他三种命题时的注意事项（1）对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写为“若p,则q”形式．（2)若命题有大前提，需保留大前提．2．判断四种命题真假的方法(1)利用简单命题判断真假的方法逐一判断．（2)利用四种命题间的等价关系：当一个命题不易直接判断真假时，可转化为判断其等价命题的真假．1．[考点一]下列命题中为真命题的是( )A．mx2＋2x－1＝0是一元二次方程B．抛物线y＝ax2＋2x－1与x轴至少有一个交点C．互相包含的两个集合相等D．空集是任何集合的真子集解析：选C A中，当m＝0时，是一元一次方程，故是假命题；B中，当Δ＝4＋4a<0，即a〈－1时，抛物线与x轴无交点，故是假命题;C是真命题；D中，空集不是本身的真子集，故是假命题．2．［考点二］命题“若x2＋y2＝0，x，y∈R，则x＝y＝0"的逆否命题是（）A．若x≠y≠0，x，y∈R，则x2＋y2＝0B．若x＝y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0C．若x≠0且y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0D．若x≠0或y≠0,x，y∈R，则x2＋y2≠0解析：选D 将原命题的条件和结论否定,并互换位置即可．由x＝y＝0知x＝0且y＝0,其否定是x≠0或y≠0.故原命题的逆否命题是“若x≠0或y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0"．3．［考点二]命题“若△ABC有一个内角为错误!，则△ABC的三个内角成等差数列”的逆命题( ）A．与原命题同为假命题B．与原命题的否命题同为假命题C．与原命题的逆否命题同为假命题D．与原命题同为真命题解析:选D 原命题显然为真命题，原命题的逆命题为“若△ABC的三个内角成等差数列，则△ABC有一个内角为错误!”，它是真命题．故选D.4．[考点二］有下列四个命题：①“若xy＝1，则x,y互为倒数”的逆命题;②“面积相等的三角形全等”的否命题；③“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解"的逆否命题；④“若A∩B＝B，则A⊆B"的逆否命题．其中为真命题的是________(填写所有真命题的序号）．解析：①“若xy＝1,则x，y互为倒数”的逆命题是“若x，y 互为倒数,则xy＝1”，显然是真命题；②“面积相等的三角形全等"的否命题是“若两个三角形面积不相等，则这两个三角形不全等”，显然是真命题；③若x2－2x＋m＝0有实数解，则Δ＝4－4m≥0，解得m≤1，所以“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解"是真命题，故其逆否命题是真命题；④若A∩B＝B，则B⊆A，故原命题是假命题，所以其逆否命题是假命题．故真命题为①②③.答案：①②③突破点(二) 充分条件与必要条件1．充分条件与必要条件的概念2.Bp是q的必要条件B⊆Ap是q的充分不必要条件A Bp是q的必要不充分条件B Ap是q的充要条件A＝B考点贯通抓高考命题的“形"与“神”充分条件与必要条件的判断［例1] (1)p x y满足x＞1且y ＞1，q:实数x，y满足x＋y＞2，则p是q的（)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件（2）（2016·天津高考)设x＞0，y∈R，则“x＞y”是“x＞|y｜"的( ）A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件［解析］(1)∵错误!∴x＋y＞2,即p⇒q.而当x＝0，y＝3时，有x＋y＝3＞2，但不满足x＞1且y＞1，即q⇒/ p．故p是q的充分不必要条件．(2）当x＝1，y＝－2时，x＞y,但x＞｜y|不成立；若x＞|y|，因为｜y|≥y，所以x＞y。

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第二节命题及其关系、充分条件与必要条件A组基础题组1。

命题“若a>b,则a—1>b—1"的否命题是（)A.若a〉b,则a-1≤b—1B。

若a>b,则a-1〈b-1C。

若a≤b，则a-1≤b—1D.若a〈b,则a-1<b-12.命题p：“若x2<1，则x〈1"的逆命题为q,则p与q的真假性为( ）A。

p真q真 B.p真q假C。

p假q真 D.p假q假3。

（2014北京，5,5分）设a，b是实数，则“a>b”是“a2>b2”的( ）A。

充分而不必要条件B.必要而不充分条件C。

充分必要条件D。

既不充分也不必要条件4.(2017北京平谷零模,4）已知a,b是两条不同的直线,α是平面，且b⊂α,那么“a∥α”是“a∥b”的( )A。

充分不必要条件B。

必要不充分条件C。

充要条件D。

既不充分也不必要条件5。

已知α，β为第一象限的角，则“α>β”是“sin α>sin β”的（)A。

充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D。

既不充分也不必要条件6。

第二讲命题及其关系、充分条件与必要条件知识梳理·双基自测知识点一命题及四种命题之间的关系1．命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①若两个命题互为逆否命题，则它们有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．知识点二充分条件与必要条件若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且qpp是q的必要不充分条件pq且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分又不必要条件pq且qp重要结论1．若A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则(1)若A⊆B，则p是q的充分条件；(2)若A⊇B，则p是q的必要条件；(3)若A＝B，则p是q的充要条件；(4)若A B，则p是q的充分不必要条件；(5)若A B，则p是q的必要不充分条件；(6)若A B且AB，则p是q的既不充分也不必要条件．2．充分条件与必要条件的两个特征：(1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，即“p⇒q”⇔“q⇐p”．(2)传递性：若p 是q 的充分(必要)条件，q 是r 的充分(必要)条件，则p 是r 的充分(必要)条件，即“p ⇒q 且q ⇒r ”⇒“p ⇒r ”(“p ⇐q 且q ⇐r ”⇒“p ⇐r ”)．注意：不能将“若p ，则q”与“p ⇒q ”混为一谈，只有“若p ，则q”为真命题时，才有“p ⇒q ”，即“p ⇒q ”⇔“若p ，则q”为真命题．双基自测题组一 走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)语句x 2－3x ＋2＝0是命题．( × )(2)命题“三角形的内角和是180°”的否命题是“三角形的内角和不是180°”．( × ) (3)已知集合A ，B ，则A∪B＝A∩B 的充要条件是A ＝B ．( √ ) (4)“α＝β”是“tan α＝tan β”的充分不必要条件．( × ) (5)“若p 不成立，则q 不成立”等价于“若q 成立，则p 成立”．( √ )[解析] (4)当α＝β＝π2时，tan α、tan β都无意义．因此不能推出tan α＝tan β，当tan α＝tan β时，α＝β＋k π，k∈Z，不一定α＝β，因此是既不充分也不必要条件．题组二 走进教材2．(选修2－1P 8T3改编)下列命题是真命题的是( A ) A ．矩形的对角线相等 B ．若a>b ，c>d ，则ac>bd C ．若整数a 是素数，则a 是奇数 D ．命题“若x 2>0，则x>1”的逆否命题3．(选修2－1P 10T4改编)x 2－3x ＋2≠0是x≠1的充分不必要条件． [解析] x ＝1是x 2－3x ＋2＝0的充分不必要条件． 题组三 走向高考4．(2020·天津，2，5分)设a∈R，则“a>1”是“a 2>a ”的( A ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 易知a>1⇒a 2>a ，而a 2>a ⇒a<0或a>1，所以“a>1”是“a 2>a ”的充分不必要条件． 5．(2015·山东，5分)设m∈R，命题“若m>0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是( D ) A ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m>0 B ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m≤0 C ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m>0 D ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m≤0 [解析] 由原命题和逆否命题的关系可知D 正确．6．(2018·北京，5分)能说明“若f(x)>f(0)对任意的x∈(0，2]都成立，则f(x)在[0，2]上是增函数”为假命题的一个函数是f(x)＝sin_x(答案不唯一)．[解析]这是一道开放性试题，答案不唯一，只要满足f(x)>f(0)对任意的x∈(0，2]都成立，且函数f(x)在[0，2]上不是增函数即可．如f(x)＝sin x，答案不唯一．考点突破·互动探究KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU考点一命题及其关系——自主练透例1 (1)(2021·新高考八省联考)关于x的方程x2＋ax＋b＝0，有下列四个命题：甲：x＝1是该方程的根；乙：x＝3是该方程的根；丙：该方程两根之和为2；丁：该方程两根异号．如果只有一个假命题，则该命题是( A )A．甲B．乙C．丙D．丁(2)(2021·长春模拟)已知命题α：如果x<3，那么x<5，命题β：如果x≥3，那么x≥5，则命题α是命题β的( A )A．否命题B．逆命题C．逆否命题D．否定形式(3)(多选题)下列命题为真命题的是( CD )A．“若a2<b2，则a<b”的否命题B．“全等三角形面积相等”的逆命题C．“若a>1，则ax2－2ax＋a＋3>0的解集为R”的逆否命题D．“若3x(x≠0)为有理数，则x为无理数”的逆否命题(4)命题“若a＋b＝0，则a，b中最多有一个大于零”的否定形式为若a＋b＝0，则a，b都大于零，否命题为若a＋b≠0，则a，b都大于零．[解析](1)若乙、丙、丁正确，显然x1＝－1，x2＝3，两根异号，x1＋x2＝2，故甲错，因此选A．(2)命题α：如果x<3，那么x<5，命题β：如果x≥3，那么x≥5，则命题α是命题β的否命题．(3)对于A ，否命题为“若a 2≥b 2，则a≥b”，为假命题；对于B ，逆命题为“面积相等的三角形是全等三角形”，是假命题；对于C ，当a>1时，Δ＝－12a<0，原命题正确，从而其逆否命题正确，故C 正确；对于D ，原命题正确，因此该命题的逆否命题也正确，D 正确．故选C 、D ．(4)否定形式：若a ＋b ＝0，则a ，b 都大于零．否命题：若a ＋b ≠0，则a ，b 都大于零． 名师点拨 MING SHI DIAN BO(1)由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，如果命题不是“若p ，则q”的形式，应先改写成“若p ，则q”的形式；如果命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提不变．(2)判断一个命题为真命题，要给出严格的推理证明；判断一个命题为假命题，只需举出反例． (3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．考点二 充分必要条件考向1 充分条件与必要条件的判断——师生共研 方法1：定义法判断例2 ( 2020·北京，9，4分)已知α，β∈R，则“存在k∈Z 使得α＝k π＋(－1)kβ”是“sinα＝sin β”的( C )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] (1)充分性：已知存在k∈Z 使得α＝k π＋(－1)kβ，(ⅰ)若k 为奇数，则k ＝2n ＋1，n∈Z，此时α＝(2n ＋1)π－β，n∈Z，sin α＝sin(2n π＋π－β)＝sin(π－β)＝sin β；(ⅱ)若k 为偶数，则k ＝2n ，n∈Z，此时α＝2n π＋β，n∈Z，sin α＝sin(2n π＋β)＝sin β. 由(ⅰ)(ⅱ)知，充分性成立．(2)必要性：若sin α＝sin β成立，则角α与β的终边重合或角α与β的终边关于y 轴对称，即α＝β＋2m π或α＋β＝2m π＋π，m∈Z，即存在k∈Z 使得α＝k π＋(－1)kβ，必要性也成立，故选C ． 方法2：集合法判断例3 (2020·天津一中高三月考)设x∈R，则“|x－1|<4”是“x －52－x >0”的( B )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 解绝对值不等式可得－4<x －1<4，即－3<x<5， 将分式不等式变形可得x －5x －2<0，解得2<x<5，因为(2，5)(－3，5)，所以“|x－1|<4”是“x －52－x >0”的必要而不充分条件．方法3 等价转化法判断例4 (1)给定两个条件p ，q ，若¬ p 是q 的必要不充分条件，则p 是¬q 的( A ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)“已知命题p ：cos α≠12，命题q ：α≠π3”，则命题p 是命题q 的( A )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] (1)因为¬ p 是q 的必要不充分条件，则q ⇒¬ p ，但¬pq ，其逆否命题为p ⇒¬q ，但¬qp ，所以p 是¬q 的充分不必要条件．(2) ¬p ：cos α＝12，¬q ：α＝π3，显然¬q ⇒¬p ，¬p ¬q ，∴¬q 是¬p 的充分不必要条件，从而p 是q 的充分不必要条件，故选A ．另解：若cos α≠12，则α≠2kπ±π3(k∈Z)，则α也必然不等于π3，故p ⇒q ；若α≠π3，但α＝－π3时，依然有cos α＝12，故q p.所以p 是q 的充分不必要条件．故选A ． 名师点拨 MING SHI DIAN BO有关充要条件的判断常用的方法(1)根据定义判断：①弄清条件p 和结论q 分别是什么；②尝试p ⇒q ，q ⇒p.若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件；若q ⇒p ，则p 是q 的必要条件；若p ⇒q ，qp ，则p 是q 的充分不必要条件；若pq ，q ⇒p ，则p 是q 的必要不充分条件；若p ⇒q ，q ⇒p ，则p 是q 的充要条件．(2)利用集合判断 记法 A ＝{x|p(x)}，B ＝{x|q(x)} 关系 ABBAA ＝BAB 且BA结论p 是q 的充分不必要条件p 是q 的必要不充分条件p 是q 的充要条件p 是q 的既不充分也不必要条件断¬q 是¬p 的什么条件．〔变式训练1〕(1)指出下列各组中，p 是q 的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)．①非空集合A ，B 中，p ：x∈(A∪B)，q ：x∈B；②已知x ，y∈R，p ：(x －1)2＋(y －2)2＝0，q ：(x －1)(y －2)＝0； ③在△ABC 中，p ：A ＝B ，q ：sin A ＝sin B ； ④对于实数x ，y ，p ：x ＋y≠8，q ：x≠2或y≠6.(2)(2020·天津部分区期末)设x∈R，则“x 2－2x<0”是“|x－1|<2”的( A ) A ．充分不必要条件 B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件[解析] (1)①显然x∈(A∪B)不一定有x∈B，但x∈B 一定有x∈(A∪B)，所以p 是q 的必要不充分条件．②条件p ：x ＝1且y ＝2，条件q ：x ＝1或y ＝2，所以p ⇒q 但qp ，故p 是q 的充分不必要条件． ③在△ABC 中，A ＝B ⇒sin A ＝sin B ；反之，若sin A ＝sin B ，因为A 与B 不可能互补(三角形三个内角之和为180°)，所以只有A ＝B ，故p 是q 的充要条件．④易知¬p ：x ＋y ＝8，¬q ：x ＝2且y ＝6，显然¬q ⇒¬p ，但¬p ¬q ，所以¬q 是¬p 的充分不必要条件，根据原命题和逆否命题的等价性知，p 是q 的充分不必要条件．(2)解不等式x 2－2x<0得0<x<2，解不等式|x －1|<2得－1<x<3，所以“x 2－2x<0”是“|x－1|<2”的充分不必要条件．故选A ．考向2 充要条件的应用——多维探究 角度1 充要条件的探究例 5 (多选题)下列函数中，满足“x 1＋x 2＝0”是“f(x 1)＋f(x 2)＝0”的充要条件的是( BC )A ．f(x)＝tan xB ．f(x)＝3x －3－xC ．f(x)＝x 3D ．f(x)＝log 3|x|[解析] 因为f(x)＝tan x 是奇函数，所以x 1＋x 2＝0⇒f(x 1)＋f(x 2)＝0，但f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＝0时，π4＋3π4≠0，不符合要求，所以A 不符合题意；因为f(x)＝3x －3－x 和f(x)＝x 3均为单调递增的奇函数，所以满足“x 1＋x 2＝0”是“f(x 1)＋f(x 2)＝0”的充要条件，符合题意；对于选项D ，由f(x)＝log 3|x|的图象易知不符合题意，故选BC ．注：满足条件的函数是奇函数且单调． 角度2 利用充要条件求参数的值或取值范围例6 已知P ＝{x|x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x|1－m ≤x ≤1＋m}．若x ∈P 是x∈S 的必要条件，则m 的取值范围是[0，3]．[解析] 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x≤10， 所以P ＝{x|－2≤x≤10}，由x∈P 是x∈S 的必要条件，知S ⊆P.则⎩⎪⎨⎪⎧1－m≤1＋m ，1－m≥－2，1＋m≤10，所以0≤m≤3. 所以当0≤m≤3时，x∈P 是x∈S 的必要条件，即所求m 的取值范围是[0，3]．[引申1]若本例将条件“若x∈P 是x∈S 的必要条件”改为“若x∈P 是x∈S 的必要不充分条件”，则m 的取值范围是[0，3]．[解析] 解法一：由(1)若x∈P 是x∈S 的必要条件，则0≤m ≤3，当m ＝0时，S ＝{1}，不充分；当m ＝3时，S ＝{x|－2≤x≤4}也不充分，故m 的取值范围为[0，3]．解法二：若x∈P 是x∈S 的必要且充分条件，则P ＝S ，即⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＝－2，1＋m ＝10⇒m 无解，∴m 的取值范围是[0，3]．[引申2]若本例将条件“若x∈P 是x∈S 的必要条件”变为“若非P 是非S 的必要不充分条件”，其他条件不变，则m 的取值范围是[9，＋∞)．[解析] 由(1)知P ＝{x|－2≤x≤10)， ∵非P 是非S 的必要不充分条件， ∴S 是P 的必要不充分条件，∴P ⇒S 且SP. ∴[－2，10] [1－m ，1＋m]．∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m≤－2，1＋m>10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m<－2，1＋m≥10. ∴m ≥9，即m 的取值范围是[9，＋∞)． 名师点拨 MING SHI DIAN BO充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)一定要注意端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．(3)注意区别以下两种不同说法：①p 是q 的充分不必要条件，是指p ⇒q 但qp ；②p 的充分不必要条件是q ，是指q ⇒p 但pq.(4)注意下列条件的等价转化：①p 是q 的什么条件等价于¬q 是¬p 的什么条件，②p 是¬q 的什么条件等价于q 是¬ p 的什么条件．〔变式训练2〕(1)(角度1)(多选题)(2020·江西赣州十四县市高三上期中改编)角A ，B 是△ABC 的两个内角．下列四个条件下，“A>B”的充要条件是( ABD )A ．sin A>sinB B ．cos A<cos BC ．tan A>tan BD ．cos 2A<cos 2B(2)(角度2)(2021·山东省实验中学高三诊断)已知p ：x≥k，q ：(x ＋1)(2－x)<0.如果p 是q 的充分不必要条件，那么实数k 的取值范围是( B )A ．[2，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．[1，＋∞)D ．(－∞，－1][解析] (1)当A>B 时，根据“大边对大角”可知，a>b ，由于a sin A ＝bsin B ，所以sin A>sin B ，则A 是“A>B”的充要条件；由于0<B<A<π，余弦函数y ＝cos x 在区间(0，π)内单调递减，所以cos A<cosB ，则B 是“A>B”的充要条件；当A>B 时，若A 为钝角，B 为锐角，则tan A<0<tan B ，则C 不是“A>B”的充要条件；当cos 2A<cos 2B ，即1－sin 2A<1－sin 2B ，所以sin 2A>sin 2B ，所以D 是“A>B”的充要条件；故选A 、B 、D ．(2)由q ：(x ＋1)(2－x)<0，可知q ：x<－1或x>2.因为p 是q 的充分不必要条件，所以x≥k ⇒x<－1或x>2，即[k ，＋∞)是(－∞，－1)∪(2，＋∞)的真子集，故k>2.故选B ．名师讲坛·素养提升MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG抽象命题间充要条件的判定例7 已知p 是r 的充分不必要条件，q 是r 的充分条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，现有下列命题：①r 是q 的充要条件；②p 是q 的充分不必要条件；③r 是q 的必要不充分条件；④¬p 是¬s 的必要不充分条件；⑤r 是s 的充分不必要条件，则正确命题的序号是( B )A ．①④⑤B ．①②④C ．②③⑤D ．②④⑤[分析] 本题涉及命题较多，关系复杂，因此采用“图解法”．[解析] 由题意得p，显然q ⇒r 且r ⇒s ⇒q ，即q ⇔r ，①正确；p ⇒r ⇒s ⇒q 且qp ，②正确；r⇔q ，③错误；由p ⇒s 知¬ s ⇒¬ p ，但sp ，∴¬ p ¬ s ，④正确；r ⇔s ，⑤错误．故选B ．名师点拨 MING SHI DIAN BO命题较多、关系复杂时，画出各命题间关系图求解，简洁直观，一目了然． 〔变式训练3〕若p 是r 的必要不充分条件，q 是r 的充分条件，则p 是q 的必要不充分条件． [解析] 由题意可知q ⇒rp ，∴p 是q 的必要不充分条件．。

命题及其关系、充分条件与必要条件[考试要求]1.理解命题的概念.2.了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.3.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义．1．命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系．(2)四种命题的真假关系．①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．提醒：在四种形式的命题中，真命题的个数只能是0,2,4.3．充分条件、必要条件与充要条件的概念p⇒q p是q的充分条件，q是p的必要条件p⇒q，且q p p是q的充分不必要条件p q，且q⇒p p是q的必要不充分条件p⇔q p是q的充要条件p q，且q p p是q的既不充分也不必要条件提醒：A是B的充分不必要条件是指：A⇒B且B A，A的充分不必要条件是B是指：B⇒A且A B，弄清它们区别的关键是分清谁是条件，谁是结论．[常用结论]1．等价转化法判断充分条件、必要条件p是q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件．其他情况依次类推．2．充分、必要条件与集合的子集之间的关系设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}．(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)若A B，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件．(3)若A＝B，则p是q的充要条件．一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“x2＋2x－3<0”是命题．()(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则q”．()(3)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．()(4)“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”．()[答案](1)×(2)×(3)√(4)√二、教材习题衍生1．下列命题是真命题的是()A．矩形的对角线相等B ．若a ＞b ，c ＞d ，则ac ＞bdC ．若整数a 是素数，则a 是奇数D ．命题“若x 2＞0, 则x ＞1”的逆否命题A [令a ＝c ＝0，b ＝d ＝－1，则ac ＜bd ，故B 错误；当a ＝2时，a 是素数但不是奇数，故C 错误；取x ＝－1，则x 2＞0，但x ＜1，故D 错误．]2．命题“若x 2＞y 2，则x ＞y ”的逆否命题是( )A ．“若x ＜y ，则x 2＜y 2”B ．“若x ＞y ，则x 2＞y 2”C ．“若x ≤y ，则x 2≤y 2”D ．“若x ≥y ，则x 2≥y 2”C [根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若x 2＞y 2，则x ＞y ”的逆否命题是“若x ≤y ，则x 2≤y 2”．故选C.]3．“(x －1)(x ＋2)＝0”是“x ＝1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件B [若x ＝1，则(x －1)(x ＋2)＝0显然成立，但反之不成立，即若(x －1)(x ＋2)＝0，则x 的值也可能为－2.故选B.]4．命题“若α＝π3，则sin α＝32”的逆命题为________命题，否命题为________命题．(填“真”或“假”)假 假 [若α＝π3，则sin α＝32的逆命题为“若sin α＝32，则α＝π3”是假命题；否命题为“若α≠π3，则sin α≠32”是假命题．]考点一 命题及其关系判断命题真假的两种方法1．命题“若x2＋y2＝0(x，y∈R)，则x＝y＝0”的逆否命题是()A．若x≠y≠0(x，y∈R)，则x2＋y2＝0B．若x＝y≠0(x，y∈R)，则x2＋y2≠0C．若x≠0且y≠0(x，y∈R)，则x2＋y2≠0D．若x≠0或y≠0(x，y∈R)，则x2＋y2≠0D[x2＋y2＝0的否定为x2＋y2≠0，x＝y＝0的否定为x≠0或y≠0，因此逆否命题为“若x≠0或y≠0(x，y∈R)，则x2＋y2≠0，”故选D.]2．给出命题：若a＞－3，则a＞6.在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是()A．3 B．2C．1 D．0B[原命题是假命题，则其逆否命题也是假命题．其逆命题“若a＞6，则a＞－3”是真命题，则其否命题为真命题，因此真命题的个数为2，故选B.]3．下列命题为假命题的是()A．命题“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题B．命题“若x＞y，则x＞|y|”的否命题C．命题“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题D．命题“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题D[对于A，逆命题“若x，y互为倒数，则xy＝1”为真命题．对于B，逆命题“若x＞|y|，则x＞y”为真命题，从而否命题也为真命题．对于C，由Δ＝4－4m≥0知，原命题正确，从而逆否命题正确．对于D，由A∩B＝B知，B⊆A，则原命题错误，从而逆否命题错误，故选D.] 点评：在判断一个命题的逆命题、否命题、逆否命题的真假时，只需判断原命题和它的逆命题的真假即可．考点二充分、必要条件的判定判断充分、必要条件的三种方法[典例1](1)设p：x<3，q：－1<x<3，则q是p成立的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件(2)(2019·浙江高考)若a＞0，b＞0，则“a＋b≤4”是“ab≤4”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件(3)(多选)对任意实数a，b，c，给出下列命题，其中是真命题的有()A．“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件B．“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件C．“a＜5”是“a＜3”的必要条件D．“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件(1)B(2)A(3)CD[(1)p：x<3，q：－1<x<3，可得q⇒p，而p推不出q.则q是p成立的充分不必要条件．故选B.(2)由a＞0，b＞0，若a＋b≤4，得4≥a＋b≥2ab，即ab≤4，充分性成立；当a ＝4，b ＝1时，满足ab ≤4，但a ＋b ＝5＞4，不满足a ＋b ≤4，必要性不成立．故“a ＋b ≤4”是“ab ≤4”的充分不必要条件，选A.(3)对于A ，当a ＝b 时，ac ＝bc 成立，当ac ＝bc ，c ＝0时，a ＝b 不一定成立，所以“a ＝b ”是“ac ＝bc ”的充分不必要条件，故A 不是真命题．对于B ，当a ＝－1，b ＝－2时，a ＞b ，a 2＜b 2，当a ＝－2，b ＝1时，a 2＞b 2，a ＜b ，所以“a ＞b ”是“a 2＞b 2”的既不充分也不必要条件，故B 不是真命题．对于C ，当a ＜3时，一定有a ＜5成立，当a ＜5时，a ＜3不一定成立，所以“a ＜5”是“a ＜3”的必要条件，C 是真命题．对于D ，易知“a ＋5是无理数”是“a 是无理数”的充要条件，故D 是真命题．故选CD.]点评：判断充要条件时，要双向推导，说明推不出时，可恰当取特殊值作反例．[跟进训练]1．已知a ，b 都是实数，那么“3a ＞3b ”是“a 3＞b 3”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件C [3a ＞3b ⇒a ＞b ⇒a 3＞b 3，反之a 3＞b 3⇒a ＞b ⇒3a ＞3b ，因此3a ＞3b 是a 3＞b 3的充要条件，故选C.]2．设x ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＜12”是“x 3＜1”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [由⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＜12得0＜x ＜1，由x 3＜1得x ＜1， 因为0＜x ＜1⇒x ＜1，但x ＜10＜x ＜1，所以“⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＜12”是“x 3＜1”的充分不必要条件，故选A.] 考点三 充分条件、必要条件的探求与应用1．充分、必要条件的探求方法(与范围有关)先求使结论成立的充要条件，然后根据“以小推大”的方法确定符合题意的条件．2．利用充要条件求参数的两个关注点(1)巧用转化求参数：把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)端点取值慎取舍：在求参数范围时，要注意边界或区间端点值的检验，从而确定取舍．充分条件、必要条件的探求[典例2－1] 不等式x (x －2)＜0成立的一个必要不充分条件是( )A ．x ∈(0,2)B ．x ∈[－1，＋∞)C ．x ∈(0,1)D ．x ∈(1,3) B [解不等式x (x －2)＜0得0＜x ＜2，因此x ∈(0,2)是不等式x (x －2)＜0成立的充要条件，则所求必要不充分条件应包含集合{x |0＜x ＜2}，故选B.]利用充分、必要条件求参数的取值范围[典例2－2] 已知P ＝{x |－2≤x ≤10}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则m 的取值范围为________．[0,3] [由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ⊆P .又S 为非空集合，则⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m≤1＋m ，1－m≥－2，1＋m≤10，∴0≤m ≤3.即所求m 的取值范围是[0,3]．][母题变迁]把本例中的“必要条件”改为“充分条件”，求m 的取值范围．[解] 由x ∈P 是x ∈S 的充分条件，知P ⊆S ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m≤1＋m ，1－m≤－2，1＋m≥10，解得m ≥9，即所求m 的取值范围是[9，＋∞)．[跟进训练]1．命题“∀x ∈[1,3]，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )A ．a ≥9B ．a ≤9C ．a ≥10D ．a ≤10C [由题意知，a ≥x 2对x ∈[1,3]恒成立，则a ≥9.因此a ≥10是命题“∀x ∈[1,3]，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件，故选C.]2．使a ＞0，b ＞0成立的一个必要不充分条件是( )A ．a ＋b ＞0B ．a －b ＞0C ．ab ＞1D ．a b ＞1A[a＞0，b＞0⇒a＋b＞0，但a＋b＞0a＞0，b＞0.因此a＋b＞0是a＞0，b＞0的一个必要不充分条件，故选A.]3．设p：1＜x＜2；q：(x－a)(x－1)≤0.若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．[2，＋∞)[由题意知{x|1＜x＜2}{x|(x－a)(x－1)≤0}，则a＞1，即{x|1＜x＜2}{x|1≤x≤a}，从而a≥2.]。