11反证法专题

反证法证明题例1. 已知A ∠，B ∠，C ∠为ABC ∆内角.求证：A ∠，B ∠，C ∠中至少有一个不小于60o.证明：假设ABC ∆的三个内角A ∠，B ∠，C ∠都小于60o， 即A ∠<60o ，B ∠<60o ，C ∠<60o， 所以O180A B C ∠+∠+∠<， 与三角形内角和等于180o矛盾， 所以假设不成立，所求证结论成立.例2. 已知0a ≠，证明x 的方程ax b =有且只有一个根. 证明：由于0a ≠，因此方程ax b =至少有一个根b x a=. 假设方程ax b =至少存在两个根，不妨设两根分别为12,x x 且12x x ≠， 则12,ax b ax b ==， 所以12ax ax =， 所以12()0a x x -=.因为12x x ≠，所以120x x -≠， 所以0a =，与已知0a ≠矛盾， 所以假设不成立，所求证结论成立.例3. 已知332,a b +=求证2a b +≤. 证明：假设2a b +>，则有2a b >-，所以33(2)a b >-即3238126a b b b >-+-，所以323281266(1)2a b b b b >-+-=-+. 因为26(1)22b -+≥所以332a b +>，与已知332a b +=矛盾. 所以假设不成立，所求证结论成立.例4. 设{}n a 是公比为的等比数列，n S 为它的前n 项和.求证：{}n S 不是等比数列.证明：假设是{}n S 等比数列，则2213S S S =⋅，即222111(1)(1)a q a a q q +=⋅++.因为等比数列10a ≠，所以22(1)1q q q +=++即0q =，与等比数列0q ≠矛盾， 所以假设不成立，所求证结论成立.例5. 证明2是无理数.证明：假设2是有理数，则存在互为质数的整数m ，n 使得2m n=. 所以2m n =即222m n =，所以2m 为偶数，所以m 为偶数. 所以设*2()m k k N =∈， 从而有2242k n =即222n k =. 所以2n 也为偶数，所以n 为偶数. 与m ，n 互为质数矛盾.所以假设不成立，所求证2是无理数成立.例6. 已知直线,a b 和平面，如果,a b αα⊄⊂，且//a b ，求证//a α。

2014年中考真题——反证法综合训练1．反证法的概念：不直接从题设推出结论,而是从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明命题成立，这样的证明方法叫做反证法。

2．反证法的基本思路：首先假设所要证明的结论不成立，然后再在这个假定条件下进行一系列的正确逻辑推理，直至得出一个矛盾的结论来，并据此否定原先的假设，从而确认所要证明的结论成立。

这里所说的矛盾是指与题目中所给的已知条件矛盾，或是与数学中已知定理、公理和定义相矛盾，还可以是与日常生活中的事实相矛盾,甚至还可以是从两个不同角度进行推理所得出的结论之间相互矛盾(即自相矛盾).3．反证法的一般步骤：(1)假设命题的结论不成立;(2)从这个假设出发,经过推理论证得出矛盾；(3)由矛盾判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确简而言之就是“反设－归谬－结论”三步曲。

2014年中考真题——反证法综合训练一．选择题(共10小题)1．（2014•金华模拟）要证明命题“若a＞b,则a2＞b2”是假命题，下列a，b的值不能作为反例的是（）A．a=1，b=﹣2 B．a=0，b=﹣1 C．a=﹣1，b=﹣2 D．a=2，b=﹣12．（2013•温州模拟）选择用反证法证明“已知：在△ABC中，∠C=90°．求证：∠A,∠B中至少有一个角不大于45°．”时，应先假设（)A．∠A＞45°，∠B＞45°B．∠A≥45°，∠B≥45°C．∠A＜45°，∠B＜45°D．∠A≤45°，∠B≤45°3．（2013•北仑区二模）用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应先假设（）A．有一个锐角小于45°B．每一个锐角都小于45°C．有一个锐角大于45°D．每一个锐角都大于45°4．(2012•温州)下列选项中,可以用来证明命题“若a2＞1,则a＞1”是假命题的反例是（）A．a=﹣2 B．a=﹣1 C．a=1 D．a=25．（2012•金东区一模）以下可以用来证明命题“任何偶数都是4的倍数”是假命题的反例为（)A．3B．4C．8D．66．反证法证明“三角形中至少有一个角不小于60°”先应假设这个三角形中（）A．有一个内角小于60°B．每个内角都小于60°C．有一个内角大于60°D．每个内角都大于60°7．用反证法证明“在同一平面内,若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设（）A．a不垂直于c B．a,b都不垂直于c C．a⊥b D．a与b相交8．用反证法证明“三角形的三个外角中至少有两个钝角”时,假设正确的是（)A．假设三个外角都是锐角B．假设至少有一个钝角C．假设三个外角都是钝角D．假设三个外角中只有一个钝角9．用反证法证明“若a⊥c,b⊥c，则a∥b”，第一步应假设（)A．a∥b B．a与b垂直C．a与b不一定平行D．a与b相交10．用反证法证明：a,b至少有一个为0，应该假设(）A．a，b没有一个为0 B．a，b只有一个为0 C．a，b至多一个为0 D．a，b两个都为0二．填空题（共5小题）11．（2014•南安市二模）用反证法证明一个三角形中不能有两个角是直角的第一步是假设这个三角形中_________．12．（2010•北仑区模拟）用反证法证明“如果同位角不相等，那么这两条直线不平行"的第一步应假设_________．13．用反证法证明“若｜a｜≠|b|,则a≠b．”时,应假设_________．14．写出命题“若a2=b2，则a=b”是假命题的反例是_________．15．为了说明命题“等腰三角形腰上的高小于腰”是假命题，可以找的反例是_________．三．解答题（共10小题）16．（2010•鞍山）用反证法证明：等腰三角形的底角是锐角．17．(2006•新疆）试用举反例的方法说明下列命题是假命题．举例:如果ab＜0,那么a+b＜0反例:设a=4，b=﹣3，ab=4×（﹣3）=﹣12＜0,而a+b=4+(﹣3）=1＞0所以,这个命题是假命题．（1)如果a+b＞0，那么ab＞0;反例：（2）如果a是无理数，b是无理数，那么a+b是无理数．反例：（3)两个三角形中，两边及其中一边的对角对应相等，则这两个三角形全等．反例：（画出图形，并加以说明）18．已知：在△ABC中，AB=AC．求证：∠B，∠C不可能等于90°．19．如图，在△ABC中,AB＞AC,AD是内角平分线,AM是BC边上的中线，求证:点M不与点D重合．20．判断下列命题的真假,并给出证明（若是真命题给出证明，若是假命题举出反例）：(1）若，则a=3;（2）如图，已知BE⊥AD，CF⊥AD,垂足分别为点E，F,且BE=CF．则AD是△ABC的中线．21．用反证法证明“三角形三个内角中，至少有一个内角小于或等于60°”．已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的内角．求证：∠A,∠B，∠C中至少有一个内角小于或等于60°．证明:假设求证的结论不成立，那么_________∴∠A+∠B+∠C＞_________这与三角形_________相矛盾．∴假设不成立∴_________．22．如图,在△ABC中,AB=AC，P是△ABC内的一点，且∠APB＞∠APC，求证:PB＜PC(反证法）23．证明题：如图所示,在△ABC中,AB=AC,∠APB≠∠APC，求证：PB≠PC．24．如图所示，在△ABC中，AB＞AC，AD是内角平分线,AM是BC边上的中线，求证：点M不在线段CD上．25．用反证法证明下列问题：如图,在△ABC中，点D、E分别在AC、AB上,BD、CE相交于点O．求证：BD和CE不可能互相平分．2014年中考真题-—反证法综合训练参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．(2014•金华模拟）要证明命题“若a＞b，则a2＞b2”是假命题，下列a，b的值不能作为反例的是（）A．a=1，b=﹣2 B．a=0,b=﹣1 C．a=﹣1,b=﹣2 D．a=2，b=﹣1分析：根据要证明一个结论不成立,可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题，分别代入数据算出即可．解答:解:∵a=1,b=﹣2时，a=0，b=﹣1时，a=﹣1，b=﹣2时，a＞b，则a2＜b2，∴说明A，B，C都能证明“若a＞b，则a2＞b2"是假命题,故A,B,C不符合题意，只有a=2，b=﹣1时，“若a＞b,则a2＞b2”是真命题，故此时a,b的值不能作为反例．故选：D．2．（2013•温州模拟）选择用反证法证明“已知:在△ABC中,∠C=90°．求证：∠A，∠B中至少有一个角不大于45°．”时,应先假设（)A．∠A＞45°，∠B＞45°B．∠A≥45°，∠B≥45°C．∠A＜45°，∠B＜45°D．∠A≤45°，∠B≤45°分析：用反证法证明命题的真假，应先按符合题设的条件,假设题设成立,再判断得出的结论是否成立即可．解答:解:用反证法证明命题“∠A，∠B中至少有一个角不大于45°”时，应先假设∠A＞45°,∠B＞45°．故选：A．3．(2013•北仑区二模）用反证法证明命题“在直角三角形中,至少有一个锐角不大于45°”时,应先假设（）A．有一个锐角小于45°B．每一个锐角都小于45°C．有一个锐角大于45°D．每一个锐角都大于45°分析：用反证法证明命题的真假,应先按符合题设的条件，假设题设成立，再判断得出的结论是否成立即可．解答：解：用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时,应先假设每一个锐角都大于45°．故选D．4．（2012•温州）下列选项中，可以用来证明命题“若a2＞1,则a＞1"是假命题的反例是（）A．a=﹣2 B．a=﹣1 C．a=1 D．a=2分析：根据要证明一个结论不成立,可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题．解答:解：用来证明命题“若a2＞1，则a＞1"是假命题的反例可以是:a=﹣2，∵(﹣2）2＞1，但是a=﹣2＜1,∴A正确；故选：A．5．（2012•金东区一模)以下可以用来证明命题“任何偶数都是4的倍数”是假命题的反例为（）A．3B．4C．8D．6分析:反例就是符合已知条件但不满足结论的例子．可据此判断出正确的选项．解答：解:A、3不是偶数，不符合条件,故错误；B、4是偶数,且能被4整除，故错误;C、8是偶数,且是4的2倍,故错误；D、6是偶数，但是不能被4整除，故正确．故选D．6．反证法证明“三角形中至少有一个角不小于60°”先应假设这个三角形中(）A．有一个内角小于60°B．每个内角都小于60°C．有一个内角大于60°D．每个内角都大于60°分析：此题要运用反证法，由题意先假设三角形的三个角都小于60°成立．然后推出不成立．得出选项．解答：解：设三角形的三个角分别为：a，b，c．假设，a＜60°,b＜60°,c＜60°,则a+b+c＜60°+60°+60°,即，a+b+c＜180°与三角形内角和定理a+b+c=180°矛盾．所以假设不成立,即三角形中至少有一个角不小于60°．故选B．7．用反证法证明“在同一平面内,若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设(）A．a不垂直于c B．a，b都不垂直于c C．a⊥b D．a与b相交分析：用反证法解题时，要假设结论不成立，即假设a与b不平行，即a与b相交．解答:解：∵原命题“在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”，用反证法时应假设结论不成立,即假设“a与b相交”．故选D．8．用反证法证明“三角形的三个外角中至少有两个钝角"时，假设正确的是（）A．假设三个外角都是锐角B．假设至少有一个钝角C．假设三个外角都是钝角D．假设三个外角中只有一个钝角分析:“至少有两个”的反面为“至多有一个",据此直接写出逆命题即可．解答:解：∵至少有两个”的反面为“至多有一个”，而反证法的假设即原命题的逆命题正确;∴应假设:三角形三个外角中至多有一个钝角，也可以假设：假设三个外角中只有一个钝角．故选：D．9．用反证法证明“若a⊥c，b⊥c,则a∥b"，第一步应假设(）A．a∥b B．a与b垂直C．a与b不一定平行D．a与b相交分析：根据反证法的步骤，直接得出即可．解答：解：∵用反证法证明“若a⊥c，b⊥c,则a∥b",∴第一步应假设：若a⊥c，b⊥c,则a、b相交．故选：D．10．用反证法证明：a,b至少有一个为0,应该假设（）A．a，b没有一个为0 B．a，b只有一个为0 C．a，b至多一个为0 D．a,b两个都为0分析：根据命题:“a、b至少有一个为0”的反面是：“a、b没有一个为0”，可得假设内容．解答：解:由于命题：“a、b至少有一个为0”的反面是：“a、b没有一个为0”,故用反证法证明：“a、b至少有一个为0”，应假设“a、b没有一个为0”，故选A．二．填空题(共5小题）11．（2014•南安市二模）用反证法证明一个三角形中不能有两个角是直角的第一步是假设这个三角形中有两个角是直角．分析:熟记反证法的步骤，直接填空即可．12．(2010•北仑区模拟）用反证法证明“如果同位角不相等，那么这两条直线不平行”的第一步应假设两直线平行．分析：本题需先根据已知条件和反证法的特点进行证明，即可求出答案．解答:证明：已知平面中有两条直线，被第三条直线所截；假设同位角不相等，则两条直线平行，同位角不相等,则有两条直线与第三直线互相相交，即为三角形．因假设与结论不相同．故假设不成立，即如果同位角不相等．那么这两条直线不平行．故答案为：两直线平行．13．用反证法证明“若|a|≠｜b｜，则a≠b．"时，应假设a=b．分析：反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断．解答：解:a,b的等价关系有a=b,a≠b两种情况，因而a≠b的反面是a=b．因此用反证法证明“a≠b”时，应先假设a=b．故答案为a=b．14．写出命题“若a2=b2,则a=b"是假命题的反例是22=(﹣2）2，但是2≠﹣2等．分析：根据命题是“若a2=b2，则a=b"，举出a，b互为相反数反例即可．解答：解：∵命题是“若a2=b2，则a=b"∴假命题的反例是：∵22=（﹣2）2，但是2≠﹣2．故此命题是假命题．故答案为：22=（﹣2)2，但是2≠﹣2等．15．为了说明命题“等腰三角形腰上的高小于腰”是假命题，可以找的反例是等腰直角三角形．分析:等腰三角形腰上的高大于腰是不可能的,只能从等腰三角形腰上的高等于腰进行思考．解答：解:因为等腰直角三角形的腰上的高等于腰，则可以找出该命题的反例,即为等腰直角三角形．三．解答题（共10小题)16．（2010•鞍山）用反证法证明：等腰三角形的底角是锐角．分析:根据反证法的步骤进行证明．解答:证明：用反证法．假设等腰三角形的底角不是锐角,则大于或等于90°．根据等腰三角形的两个底角相等,则两个底角的和大于或等于180°．则该三角形的三个内角的和一定大于180°,这与三角形的内角和定理相矛盾,故假设不成立．所以等腰三角形的底角是锐角．17．(2006•新疆)试用举反例的方法说明下列命题是假命题．举例：如果ab＜0，那么a+b＜0反例：设a=4，b=﹣3，ab=4×(﹣3）=﹣12＜0,而a+b=4+（﹣3）=1＞0所以，这个命题是假命题．（1）如果a+b＞0，那么ab＞0；反例：(2）如果a是无理数，b是无理数，那么a+b是无理数．反例：（3）两个三角形中,两边及其中一边的对角对应相等，则这两个三角形全等．反例：（画出图形，并加以说明）分析：（1)此题是一道开放题，可举的例子多，但只举一例就可．如果a+b＞0，那么ab＞0;所举的反例就是，a、b一个为正数,一个为负数,且正数的绝对值大于负数．(3）此题主要是利用全等三角形的判定来证明，在这里注意,没有边边角定理．解答:解：（1)取a=2，b=﹣1,则a+b=1＞0,但ab=﹣2＜0．所以此命题是假命题．（2）取a=1+，b=1﹣，a、b均为无理数．但a+b=2是有理数，所以此命题是假命题．（3）如图所示，在△ABC与△ABD中，AB=AB，AD=AC,∠ABD=∠ABC，但△ABC与△ABD显然不全等．所以此命题是假命题．18．已知:在△ABC中，AB=AC．求证：∠B,∠C不可能等于90°．分析：首先假设∠B，∠C都等于90°，进而利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出即可．解答：证明：假设∠B,∠C都等于90°,∵AB=AC,∴∠B=∠C,又∵∠B=∠C=90°，∴∠B+∠C=180°，∴∠A+∠B+∠C＞180°，与三角形内角和定理相矛盾，∴假设不成立，即∠B,∠C不可能等于90°．19．如图，在△ABC中，AB＞AC，AD是内角平分线，AM是BC边上的中线，求证：点M不与点D重合．分析：直接证明比较困难，可采用反证法进行求解．先假设M在线段CD上，延长AM到N，使AM=MN，通过构建的全等三角形△AMC和△NMB，可得出∠MAC=∠N,AC=BN；然后通过M点的位置，求出∠N和∠BAM的大小关系,进而求出AB＜AC的结论，则假设与已知不符,故得出原结论正确．解答：解:假设点M与点D重合．延长AM到N,使AM=MN，连接BN；在△AMC和△NMB中，，∴△AMC≌△NMB(SAS)；∴∠MAC=∠MNB，BN=AC;根据M在线段CD上，则∠BAM＞∠MAC，∴∠MNB＜∠BAM，∴BN＞AB，即AC＞AB;与AB＞AC相矛盾．因而M与点D重合是错误的．所以点M与点D不重合．20．判断下列命题的真假,并给出证明（若是真命题给出证明,若是假命题举出反例）：（1)若，则a=3；（2）如图，已知BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为点E，F,且BE=CF．则AD是△ABC的中线．分析:(1)利用a=﹣3时，，但a≠3,得出命题错误；(2）利用已知得出△BED≌△CFD，进而求出BD=CD，得出AD是△ABC的中线．解答:（1）解:是假命题，当a=﹣3时，，但a≠3，所以命题（1）是假命题;（2）是真命题，证明:∵BE⊥AD，CF⊥AD,∴∠DFC=∠DEB=90°，在△BED和△CFD中,，∴△BED≌△CFD(AAS)∴BD=CD，∴AD是△ABC的中线，∴所以命题(2）是真命题．21．用反证法证明“三角形三个内角中,至少有一个内角小于或等于60°”．已知:∠A，∠B,∠C是△ABC的内角．求证:∠A,∠B，∠C中至少有一个内角小于或等于60°．证明：假设求证的结论不成立，那么三角形中所有角都大于60°∴∠A+∠B+∠C＞180°这与三角形的三内角和为180°相矛盾．∴假设不成立∴三角形三内角中至少有一个内角小于或等于60度．分析:根据反证法证明方法,先假设结论不成立，然后得到与定理矛盾，从而证得原结论成立．解答：证明:假设求证的结论不成立，那么三角形中所有角都大于60°，∴∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形的三内角和为180°相矛盾．∴假设不成立,∴三角形三内角中至少有一个内角小于或等于60度．故答案为：三角形中所有角都大于60°；180°；的三内角和为180°；三角形三内角中至少有一个内角小于或等于60度．22．如图，在△ABC中，AB=AC，P是△ABC内的一点，且∠APB＞∠APC，求证:PB＜PC(反证法)分析：运用反证法进行求解:(1）假设结论PB＜PC不成立，即PB≥PC成立．（2）从假设出发推出与已知相矛盾．(3）得到假设不成立,则结论成立．解答:证明：①假设PB=PC．∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．∵PB=PC，∴∠PBC=∠PCB．∴∠ABC﹣∠PBC=∠ACB﹣∠PCB，∴∠ABP=∠ACP,在△ABP和△ACP中∴△ABP≌△ACP，∴∠APB=∠APC．这与题目中给定的∠APB＞∠APC矛盾，∴PB=PC是不可能的．②假设PB＞PC，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．∵PB＞PC，∴∠PCB＞∠PBC．∴∠ABC﹣∠PBC＞∠ACB﹣∠PCB，∴∠ABP＞∠ACP,又∠APB＞∠APC，∴∠ABP+∠APB＞∠ACP+∠APC，∴180°﹣∠ABP﹣∠APB＜180°﹣∠ACP﹣∠APC，∴∠BAP＜∠CAP,结合AB=AC、AP=AP，得:PB＜PC．这与假设的PB＞PC矛盾，∴PB＞PC是不可能的．综上所述，得：PB＜PC．23．证明题：如图所示,在△ABC中，AB=AC,∠APB≠∠APC，求证：PB≠PC．分析:运用反证法进行求解：(1）假设结论PB≠PC不成立,PB=PC成立．(2）从假设出发推出与已知相矛盾．（3）得到假设不成立，则结论成立．解答：证明：假设PB≠PC不成立,则PB=PC，∠PBC=∠PCB；又∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB；∴∠ABP=∠ACP；∴△ABP≌△ACP,∴∠APB=∠APC；与∠APB≠∠APC相矛盾．因而PB=PC不成立,则PB≠PC．24．如图所示，在△ABC中，AB＞AC，AD是内角平分线,AM是BC边上的中线,求证:点M不在线段CD上．分析：直接证明比较困难，可采用反证法进行求解．先假设M在线段CD上,延长AM到N,使AM=MN,通过构建的全等三角形△AMC和△NMB,可得出∠MAC=∠N，AC=BN;然后通过M点的位置，求出∠N和∠BAM 的大小关系,进而求出AB＜AC的结论，则假设与已知不符，故得出原结论正确．解答：解：假设点M不在线段CD上不成立,则点M在线段CD上．延长AM到N,使AM=MN，连接BN;在△AMC和△NMB中，BM=CM，∠AMC=∠BMN，AM=MN，∴△AMC≌△NMB（SAS）；∴∠MAC=∠MNB，BN=AC；根据M在线段CD上，则∠BAM＞∠MAC，∴∠MNB＜∠BAM，∴BN＞AB,即AC＞AB；与AB＞AC相矛盾．因而M在线段CD上是错误的．所以点M不在线段CD上．25．用反证法证明下列问题：如图，在△ABC中，点D、E分别在AC、AB上,BD、CE相交于点O．求证：BD和CE不可能互相平分．分析：利用反证法证明的第一步假设BD和CE互相平分，进而利用平行四边形的判定与性质得出BE∥CD,进而得出与已知出现矛盾，从而得出原命题正确．解答:证明:连接DE，假设BD和CE互相平分，∴四边形EBCD是平行四边形，∴BE∥CD,∵在△ABC中，点D、E分别在AC、AB上，∴AB不可能平行于AC，与已知出现矛盾,故假设不成立原命题正确，即BD和CE不可能互相平分．11。

小学数学反证法经典例题
张明和李强是同一个班上的同学，放学后两人走在大街上路过一家餐馆，发现这家餐馆没有几个客人，张明说：“这家餐馆做的饭不好吃”，李强问：“为什么？”，张明回答：“假设这家餐馆做的饭好吃，那么生意一定很好。

也就是客人很多，但现在这家餐馆的客人稀少，所以假设不成立，也即这家餐馆做的饭不好吃是正确的”。

从数学上看，上面就是应用了反证法。

用反证法证明命题实际上是这样的一个思维过程：假定“结论不成立”，结论一不成立就会出毛病，这个毛病是与已知条件相矛盾，与定理或公理相矛盾的方式暴露出来的。

这个毛病是怎样造成的呢？推理没有错误，已知条件没有错误，定理或公理没有错误，唯一有错误的就是假设“结论不成立”错误。

“结论成立”与“结论不成立”必然有一个正确。

既然“结论不成立”错误，那么结论成立一定是正确的。