2013年中考数学解题方法及提分突破训练：反证法专题

中考数学十大解题思路之反证法一、选择题1否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是（）A.有一个解B.有两个解 C .至少有三个解D .至少有两个解［答案］C［解析］在逻辑中“至多有n个”的否定是“至少有n+ 1个”,所以“至多有两个解”的否定为“至少有三个解”故应选C.2•否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时的正确反设为（）A. a、b、c都是奇数 B . a、b、c或都是奇数或至少有两个偶数C. a、b、c都是偶数 D . a、b、c中至少有两个偶数［答案］B［解析］a, b, c三个数的奇、偶性有以下几种情况：①全是奇数；②有两个奇数，一个偶数；③有一个奇数，两个偶数；④三个偶数.因为要否定②，所以假设应为“全是奇数或至少有两个偶数”.故应选B.3.用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反设正确的是（）A.假设三内角都不大于60° B .假设三内角都大于60 °C.假设三内角至多有一个大于60° D .假设三内角至多有两个大于60°［答案］B［解析］“至少有一个不大于”的否定是“都大于60°”.故应选B.4.用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax2+ bx+ c = 0（a工0）有有理根，那么a, b, c中至少有一个是偶数”下列假设正确的是（)时，A.假设a, b, c都是偶数 B .假设a、b, c都不是偶数C.假设a, b, c至多有一个偶数 D .假设a, b, c至多有两个偶数［答案］B9.用反证法证明命题在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45 °”时，应先假设（)［解析］"至少有一个”反设词应为"没有一个”，也就是说本题应假设为a, b, c都不是偶数.5.命题“△ ABC中，若/ A>/ B,则a>b”的结论的否定应该是（）A. a<b B . a< b C . a = b D . a> b［答案］B［解析］“a>b”的否定应为“ a = b或a<b”，即a< b.故应选B.6.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖”,乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖了”，四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是（）A.甲B.乙C.丙D. 丁［答案］C［解析］因为只有一人获奖，所以丙、丁只有一个说对了，同时甲、乙中只有一人说对了，假设乙说的对，这样丙就错了，丁就对了，也就是甲也对了，与甲错矛盾，所以乙说错了，从而知甲、丙对，所以丙为获奖歌手.故应选C.7.用反证法证明命题三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中（）A.有一个内角大于60°B. 有一个内角小于60°C. 每一个内角都大于60°D.每一个内角都小于60°［答案］C［解析］用反证法证明三角形中必有一个内角小于或等于60° ”时，应先假设三角形中每一个内角都不小于或等于60 ° ,即都大于60° .8.用反证法证明命题’一个三角形中不能有两个角是直角”，应先假设这个三角形中（）A.有两个角是直角B. 有两个角是钝角C. 有两个角是锐角D. 一个角是钝角，一个角是直角［答案］A［解析］用反证法证明’一个三角形中不能有两个角是直角”，应先设这个三角形中有两个角是直角.A.有一个锐角小于45°B.每一个锐角都小于45°C.有一个锐角大于45°D.每一个锐角都大于45°［答案］D［解析］用反证法证明命题在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°时，应先假设每一个锐角都大于45。

中考数学十大解题思路之反证法一、选择题1．否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是( )A．有一个解B．有两个解 C．至少有三个解 D．至少有两个解[答案] C[解析]在逻辑中“至多有n个”的否定是“至少有n＋1个”，所以“至多有两个解”的否定为“至少有三个解”故应选C.2．否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时的正确反设为( )A．a、b、c都是奇数 B．a、b、c或都是奇数或至少有两个偶数C．a、b、c都是偶数 D．a、b、c中至少有两个偶数[答案] B[解析] a，b，c三个数的奇、偶性有以下几种情况：①全是奇数；②有两个奇数，一个偶数；③有一个奇数，两个偶数；④三个偶数．因为要否定②，所以假设应为“全是奇数或至少有两个偶数”．故应选B.3．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反设正确的是( )A．假设三内角都不大于60° B．假设三内角都大于60°C．假设三内角至多有一个大于60° D．假设三内角至多有两个大于60°[答案] B[解析]“至少有一个不大于”的否定是“都大于60°”．故应选B.4.用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是( )A．假设a，b，c都是偶数 B．假设a、b，c都不是偶数C．假设a，b，c至多有一个偶数 D．假设a，b，c至多有两个偶数[答案] B[解析] “至少有一个”反设词应为“没有一个”，也就是说本题应假设为a，b，c都不是偶数．5．命题“△ABC中，若∠A>∠B，则a>b”的结论的否定应该是( )A．a<b B．a≤b C．a＝b D．a≥b[答案] B[解析]“a>b”的否定应为“a＝b或a<b”，即a≤b.故应选B.6.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖”，乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖了”，四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是( ) A．甲B．乙C．丙D．丁[答案] C[解析]因为只有一人获奖，所以丙、丁只有一个说对了，同时甲、乙中只有一人说对了，假设乙说的对，这样丙就错了，丁就对了，也就是甲也对了，与甲错矛盾，所以乙说错了，从而知甲、丙对，所以丙为获奖歌手．故应选C.7.用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中（）A.有一个内角大于60°B.有一个内角小于60°C.每一个内角都大于60°D.每一个内角都小于60°[答案] C[解析] 用反证法证明“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，应先假设三角形中每一个内角都不小于或等于60°，即都大于60°．8.用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”，应先假设这个三角形中（）A.有两个角是直角B.有两个角是钝角C.有两个角是锐角D.一个角是钝角，一个角是直角[答案] A[解析] 用反证法证明“一个三角形中不能有两个角是直角”，应先设这个三角形中有两个角是直角．9.用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应先假设（）A.有一个锐角小于45°B.每一个锐角都小于45°C.有一个锐角大于45°D.每一个锐角都大于45°[答案] D[解析] 用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应先假设每一个锐角都大于45°．10.在证明“在△ABC中至少有两个锐角”时，第一步应假设这个三角形中（）A.没有锐角B.都是直角C.最多有一个锐角D.有三个锐角[答案] C[解析] 用反证法证明同一三角形中至少有两个锐角时，应先假设同一三角形中最多有一个锐角．11.用反证法证明：“一个三角形中至多有一个钝角”时，应假设（）A.一个三角形中至少有两个钝角B.一个三角形中至多有一个钝角C. 一个三角形中至少有一个钝角D.一个三角形中没有钝角[答案] A[解析] 从结论的反面出发进行假设，证明“一个三角形中至多有一个钝角”，应假设：一个三角形中至少有两个钝角．12.用反证法证明：在四边形中，至少有一个角不小于90°，应先假设（）A.四边形中有一个内角小于90°B.四边形中每一个内角都小于90°C.四边形中有一个内角大于90°D.四边形中每一个内角都大于90°[答案] B[解析] 用反证法证明：在四边形中，至少有一个角不小于90°，应先假设：四边形中的每个角都小于90°．13.用反证法证明“一个三角形中至少有两个锐角”时，下列假设正确的是（）A.假设一个三角形中只有一个锐角B.假设一个三角形中至多有两个锐角C.假设一个三角形中没有一个锐角D.假设一个三角形中至少有两个钝角[答案] D[解析] 用反证法应先假设“一个三角形中最多有一个锐角”或者假设一个三角形中至少有两个钝角．14.用反证法证明命题“三角形中最多有一个角是直角或钝角”时，下列假设正确的是（）A.三角形中最少有一个角是直角或钝角B. 三角形中没有一个角是直角或钝角C.三个角全是直角或钝角D.三角形中有两个（或三个）角是直角或钝角[答案]D[解析] 假设正确的是：假设三角形中有两个（或三个）角是直角或钝角．二，填空题1.命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是________．[答案]没有一个是三角形或四边形或五边形[解析]“至少有一个”的否定是“没有一个”．2．用反证法证明命题“a，b是自然数N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”，那么反设的内容是________________．[答案]a，b都不能被5整除[解析]“至少有一个”的否定是“都不能”．3．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，则∠A＝∠B＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°.正确顺序的序号排列为____________．[答案]③①②[解析] 由反证法证明的步骤知，先反证即③，再推出矛盾即①，最后作出判断，肯定结论即②，即顺序应为③①②.4.若a∥b，b∥c，证明a∥c．用反证法证明的第一步是假设a与c不平行5.“对角线不互相平分的四边形不是平行四边形”，这个命题用反证法证明应假设对角线不互相平分的四边形是平行四边形6.用反证法证明“三角形中最多有一个是直角或钝角”时应假设三角形中至少有两个是直角或钝角7.用反证法证明“四边形的四个内角不能都是锐角”时，应首先假设四边形的四个内角都是锐角．8.用反证法证明：“多边形的内角中锐角的个数最多有三个”的第一步应该是：假设多边形的内角中锐角的个数最少是4个．9.用反证法证明命题“三角形中最多有一个是直角”时，可以假设为三角形中最少有两个角是直角．10.用反证法证明“在△ABC中，至少有一个内角小于或等于60°”时，第一步是假设△ABC中，每一个内角都大于60°．11.用反证法证明命题“一个三角形的三个内角中，至多有一个钝角”的第一步应假设一个三角形的三个内角中，至少有两个钝角．12.“反证法”证明命题“等腰三角形的底角是锐角”时，是先假设等腰三角形的两底都是直角或钝角．三、解答题1．已知：a＋b＋c>0，ab＋bc＋ca>0，abc>0.求证：a>0，b>0，c>0.证明:用反证法：假设a，b，c不都是正数，由abc>0可知，这三个数中必有两个为负数，一个为正数，不妨设a<0，b<0，c>0，则由a＋b＋c>0，可得c>－(a＋b)，又a＋b<0，∴c(a＋b)<－(a＋b)(a＋b)ab＋c(a＋b)<－(a＋b)(a＋b)＋ab即ab＋bc＋ca<－a2－ab－b2∵a2>0，ab>0，b2>0，∴－a2－ab－b2＝－(a2＋ab＋b2)<0，即ab＋bc＋ca<0，这与已知ab＋bc＋ca>0矛盾，所以假设不成立．因此a>0，b>0，c>0成立．2．用反证法证明：等腰三角形两底角必为锐角．证明：①设等腰三角形底角∠B，∠C都是直角，则∠B+∠C=180°，而∠A+∠B+∠C=180°+∠A＞180°，这与三角形内角和等于180°矛盾．②设等腰三角形的底角∠B，∠C都是钝角，则∠B+∠C＞180°，而∠A+∠B+∠C=180°，这与三角形内角和等于180°矛盾．综上所述，假设①，②错误，所以∠B，∠C只能为锐角．故等腰三角形两底角必为锐角3.用反证法证明：一条线段只有一个中点．证明：假设线段AB有两个中点M、N，不妨设M在N的左边，则AM＜AN，又AM=AB=AN=AB，这与AM＜AN矛盾，所以一条线段只有一个交点4.用反证法证明：“在一个三角形中，外角最多有一个锐角”．证明: 假设三角形中的外角有两个角是锐角．根据三角形的外角与相邻的内角互补，知：与这两个角相邻的两个内角一定是钝角，大于90°，则这两个角的度数和一定大于180度，与三角形的内角和定理相矛盾．因而假设错误．故在一个三角形中，外角最多有一个锐角．。

【2013年中考攻略】专题8：几何最值问题解法探讨在平面几何的动态问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的周长或面积、角的度数以及它们的和与差）的最大值或最小值问题，称为最值问题。

解决平面几何最值问题的常用的方法有：（1）应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值；（2）应用垂线段最短的性质求最值；（3）应用轴对称的性质求最值；（4）应用二次函数求最值；（5）应用其它知识求最值。

下面通过近年全国各地中考的实例探讨其解法。

一、应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值：典型例题：例1. （2012山东济南3分）如图，∠MON=90°，矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在边OM ，ON 上，当B 在边ON 上运动时，A 随之在边OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D 到点O 的最大距离为【 】A 1+BC ．55 D ．52【答案】A 。

【考点】矩形的性质，直角三角形斜边上的中线性质，三角形三边关系，勾股定理。

【分析】如图，取AB 的中点E ，连接OE 、DE 、OD ，∵OD≤OE+DE，∴当O 、D 、E 三点共线时，点D 到点O 的距离最大， 此时，∵AB=2，BC=1，∴OE=AE=12AB=1。

DE====，∴OD 1。

故选A 。

例2.（2012湖北鄂州3分）在锐角三角形ABC 中，BC=24，∠ABC=45°，BD 平分∠ABC，M 、N 分别是BD 、BC 上的动点，则CM+MN 的最小值是 ▲ 。

【答案】4。

【考点】最短路线问题，全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，垂直线段的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。

【分析】如图，在BA 上截取BE=BN ，连接EM 。

∵∠ABC 的平分线交AC 于点D ，∴∠EBM=∠NBM。

在△AME 与△AMN 中，∵BE=BN ，∠EBM=∠NBM，BM=BM ， ∴△BME≌△BMN（SAS ）。

解题方法及提分突破训练：因式分解法专题中学代数式的问题，可以概括为四大类：计算，求值，化简，论证．解代数式问题的关键是通过代数运算，把代数作恒等变形．代数式恒等变形的重要手段之一是因式分解．它贯穿、渗透在各种代数式问题之中．因式分解是在学习有理数和整式四则运算的基础上进行的．它为以后学习分式运算、解方程和方程组及代数式和三角函数式的恒等变形提供必要的基础．所以因式分解是中学代数教材的一个重要内容．它具有广泛的基础知识的功能．由于进行因式分解时要灵活综合运用学过的有关数学基础知识，并且因式分解的途径多，技巧性强，逆向思维对中学生来讲具有一定的深广度，所以因式分解又是发展学生智能、培养能力、深化学生逆向思维的良好载体．正因为因式分解具有良好的培养能力和思维的功能，所以因式分解又是中学代数教材的一个难点．一 真题链接1. （2011浙江杭州，12，4）当7x =-时，代数式(2x+5)(x+1)-(x-3)(x+1)的值为 ．2. （2011山东威海，16，3分）分解因式：2168()()x y x y --+-= . 3. （2011广东广州市，19，10分）分解因式8(x2－2y2)－x(7x ＋y)＋xy ．4. (2011 浙江湖州，18，6)8因式分解：39a a -5．（2012年山东泰安模拟）因式分解：93x x -= _________________；如果2x a =，3ya =，则23x ya+=______________．6．（2012年北京市顺义区一诊考试）分解因式：3225105x x y xy -+= 二 名词释义因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。

因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。

因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。

解题方法及提分突破训练：待定系数专题一．真题链接1．（2012•玉林）一次函数y=mx+|m-1|的图象过点（0，2），且y 随x 的增大而增大，则m=（ ）A ．-1B ．3C ．1D ．-1或3 2．（2012•南昌）已知一次函数y=kx+b （k ≠0）经过（2，-1）、（-3，4）两点，则它的图象不经过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．（2011•泰安）若二次函数y=ax2+bx+c 的x 与y 的部分对应值如下表：则当x=1时，y 的值为（ ） A ．5 B ．-3 C ．-13 D ．-27 4.把分式21172x x x-+-化为部分分式． 5.分解因式：2x 2－xy －y 2+13x+8y －7 6．（2011•嘉兴）如图，已知二次函数y=x2+bx+c 的图象经过点（-1，0），（1，-2），当y 随x 的增大而增大时，x 的取值范围是 ．二．名词释义概念：在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。

它是中学数学中常用的方法之一。

经验：待定系数法作为最常用的解题方法，可以运用于因式分解、确定方程系数、解决应用问题等各种场合。

其指导作用贯穿于初中、高中甚至于大学的许多课程之中，认真学好并掌握待定系数法，必将大有裨益。

详解：1.待定系数法在分解因式时的运用待定系数法是初中数学的一个重要方法。

用待定系数法分解因式，就是先按已知条件把原式假设成若干个因式的连乘积，这些因式中的系数可先用字母表示，它们的值是待定的，由于这些因式的连乘积与原式恒等，然后根据恒等原理，建立待定系数的方程组，最后解方程组即可求出待定系数的值。

在初中竞赛中经常出现。

例如：分解因式x －x －5x －6x －4分析：已知这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。

解题方法及提分突破训练：几何变换法专题在几何题或代数几何综合题的解证过程中，经常会使用几何变换的观点来解决问题。

从图形的特点出发，利用几何变换，可将图形的全部或一部分移动到一个新的位置，构成一个新的关系，从而使问题获得解决。

这种几何变换不改变被移动部分图形的形状和大小，而只是它的位置发生了变化，这种移动有利于找出图形之间的关系，从而使解题更为简捷。

移动图形一般有三种方法：（1）平移法。

（2）旋转法：利用旋转变换。

（3）对称：可利用中心对称和轴对称。

一真题链接1．（2012中考）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，沿AD折叠，使点B落在斜边AC上，若AB=3，BC=4，则BD= ．2．（2012泰安）将抛物线23y x=向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（）A．23(2)3y x=++B．23(2)3y x=-+C．23(2)3y x=+-D．23(2)3y x=--3．（2012绍兴）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，将△ABE沿AE折叠，使点B落在AC上的点B′处，又将△CEF沿EF折叠，使点C落在EB′与AD的交点C′处．则BC：AB的值为。

4．（2012张家界）如图，在方格纸中，以格点连线为边的三角形叫格点三角形，请按要求完成下列操作：先将格点△ABC向右平移4个单位得到△A1B1C1，再将△A1B1C1绕点C1点旋转180°得到△A2B2C2．考点：作图-旋转变换；作图-平移变换。

．二名词释义在数学问题的研究中，常常运用变换法，把复杂性问题转化为简单性的问题而得到解决。

所谓变换是一个集合的任一元素到同一集合的元素的一个一一映射。

中学数学中所涉及的变换主要是初等变换。

有一些看来很难甚至于无法下手的习题，可以借助几何变换法，化繁为简，化难为易。

另一方面，也可将变换的观点渗透到中学数学教学中。

将图形从相等静止条件下的研究和运动中的研究结合起来，有利于对图形本质的认识。

初中数学反证法在初中数学的学习中，我们会接触到各种各样的解题方法，其中反证法是一种独特而富有魅力的方法。

它就像是数学世界中的“逆向思维魔法”，常常能帮助我们在看似无解的困境中找到出路。

反证法，顾名思义，就是先假设命题的结论不成立，然后通过一系列的推理，得出与已知条件、定理、公理等相互矛盾的结果，从而证明原命题的结论是正确的。

这种方法听起来似乎有点绕，但其实只要我们深入理解，就能发现它的巧妙之处。

为了更好地理解反证法，让我们来看一个简单的例子。

假设要证明“在一个三角形中，最多只能有一个直角”。

我们先假设在一个三角形中可以有两个或三个直角。

如果有两个直角，那么三角形的内角和就会超过 180 度，这与三角形内角和是 180 度这个定理相矛盾。

同样，如果有三个直角，内角和更是远远超过 180 度，这显然是不可能的。

所以，我们的假设是错误的，从而得出在一个三角形中最多只能有一个直角的结论。

再比如，证明“根号 2 是无理数”。

如果假设根号 2 是有理数，那么它可以表示为一个既约分数 p/q（p、q 为整数，且互质），即根号 2 ＝p/q，两边平方得到 2 ＝ p^2/q^2，即 p^2 ＝ 2q^2。

由此可知 p^2 是偶数，因为只有偶数的平方才是偶数，所以 p 也是偶数。

不妨设 p ＝ 2m，代入上式得到 4m^2 ＝ 2q^2，即 2m^2 ＝ q^2，这又说明 q 也是偶数。

但是 p、q 都是偶数，这与 p、q 互质矛盾。

所以，假设不成立，根号 2 是无理数。

反证法的应用范围非常广泛。

在几何证明中，当直接证明某个结论比较困难时，反证法常常能发挥意想不到的作用。

比如在证明“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”时，就可以使用反证法。

假设过直线外一点有两条直线与已知直线平行，然后通过一系列的推理，会得出与平行公理相矛盾的结论，从而证明原命题的正确性。

在代数中，反证法也有很多用武之地。

例如，证明方程 x^5 ＋ x 1＝0 只有一个正实数根。

初中几何反证法专题学习要求停了解反证法的意义，懂得什么是反证法。

® 理解反证法的基本思路，并掌握反证法的一般证题步骤。

知识讲解证法就是一种间接证法，它不是直接去证明命题的结论成立，而是去证明命题结论的反面不能成立。

从而推岀命题的结论必然成立，它给我们提供了一种可供选择的新的证题途径，掌握这种方法，对于提升推理论证的水平、探索新知识的水平都是非常必要的。

下而我们对反证法作一个简单介绍。

1.反证法的概念：不直接从题设推出结论，而是从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明命题成立，这样的证明方法叫做反证法。

2.反证法的基本思路：首先假设所要证明的结论不成立，然后再在这个假左条件下实行一系列的准确逻辑推理，直至得出一个矛盾的结论来，并据此否左原先的假设，从而确认所要证明的结论成立。

这里所说的矛盾是指与题目中所给的已知条件矛盾，或是与数学中已知立理、公理和定义相矛盾，还能够是与日常生活中的事实相矛盾，甚至还能够是从两个不同角度实行推理所得岀的结论之间相互矛盾(即自相矛盾)。

3.反证法的一般步骤：(1)假设命题的结论不成立：(2)从这个假设岀发，经过推理论证得出矛盾：(3)由矛盾判定假设不准确，从而肯左命题的结论准确。

简来说之就是“反设-归谬一结论"三步曲。

相平分。

证明：假设AB与CD互相平分于点M、则由已知条件AB. CD均非OO直径, 可判泄M不是圆心0,连结OA、OB. 0NLVOA=OB, M 是AB 中点.・.OM丄AB (等腰三角形底边上的中线垂直于底边)同理可得：OM丄CD,从而过点M有两条直线AB、CD都垂直于OM这与已知的泄理相矛盾。

故AB与CD不能互相平分。

例2.已知：在四边形ABCD中，M、N分别是AB、DC的中点，丄且MN= 2 (AD+BC)o求证：AD〃BC(2)证明：假设AD*BC,连结ABD,并设P是BD的中点，再连结NIP、PN。

在AABD中VBM=MA, BP=PD丄1_AMP= 2 AD,同理可证PN^ 2BC1_从而MP+PN= 2 (AD+BC)①这时，BD的中点不在MN上若不然，则由MN〃AD, MN〃BC,得AD〃BC与假设AD*BC矛盾, 于是M、P、N 三点不共线。

反证法在初中数学解题中的运用分析反证法是一种常见的数学证明方法，也是初中数学中常用的解题思路之一。

反证法是指假设所证明的命题不成立，通过利用这个假设导出矛盾，从而证明所证明的命题一定成立的证明方法。

在初中数学中，反证法的应用涉及到数形结合、代数运算、不等式运算等多个方面。

一、数形结合题目的解法在初中数学中，数形结合是常见的一类问题。

例如，有一条线段，两个端点为A、B，还有一个点C在该线段上，问是否存在另一条线段使得它同时与AC、BC垂直。

这类问题解法中，经常需要通过反证法进行证明。

在这样的问题中，我们可以先假设不存在这样的线段，假设AC和BC的斜率分别为k1、k2，那么这个假设就是AC和BC垂直的充分必要条件是k1 k2=-1，即两者斜率的乘积为-1。

然后我们假设存在一条直线（假设为DE）同时与AC、BC垂直，并且交于CD处，然后尝试用类似于等式代数的方式进行求解。

我们可以通过计算数学关系，连接D、E两点并画一条直线，得到一个与原始假设相矛盾的情形，说明我们的假设不成立。

因此，这个问题得到的结论是，存在这样的线段使得它同时与AC、BC垂直。

在初中代数中，反证法也被广泛应用。

例如，在解一元二次方程时，如果方程的判别式b²-4ac小于零，则无实数解。

假设方程有解，则可以列出方程写出其解的公式。

通过展开平方和完全平方公式，我们可以得到解的通用公式：x=[-b±√( b²-4ac)]/2a。

那么现在我们假设方程有解，那么一定有b²-4ac≥0。

因此，这个假设与方程无实数解的判定条件不符，从而得出结论，该二次方程无实数解。

另外，在解一元二次方程的过程中，还存在一类问题，需要通过反证法进行证明。

例如，已知一元二次方程ax²+bx+c=0中a、b、c都是整数，若存在有理数解，则一定存在正整数解。

这个问题假设了方程存在有理数解，那么对于该方程可以写出rational根定理：若p/q(Fraction形式薪 %tatio)是方程ax²+bx+c=0的有理数解，其中p、q没有公共因数（最大公约数为1），则p是c的因数，q是a的因数。

反证法在初中数学解题中的运用分析反证法是数学中一种重要的证明方法，它通常在解决数学问题时发挥着重要的作用。

在初中数学中，我们经常会遇到一些需要用到反证法才能解决的问题，比如证明某个命题的真假，或者推导出一些结论。

在本文中，我们将对反证法在初中数学解题中的运用进行分析，并举例说明其具体运用。

让我们简单了解一下什么是反证法。

反证法是一种证明方法，它采用反证的思路来证明一个命题的真假。

通常，当我们试图证明一个命题时，如果直接使用证明方法无法得出结论，我们可以尝试采用反证法。

反证法的基本思路是，假设命题的否定是成立的，然后通过推导出矛盾的结论，从而得出命题的原命题是成立的结论。

让我们来看一个简单的例子，证明根号2是无理数。

要证明根号2是无理数，首先我们可以假设根号2是有理数，即可以表示为两个整数的比值，即根号2 = m/n，其中m和n 是整数，并且它们没有公因数。

然后我们对等式根号2 = m/n 进行平方，可以得到 2 =m^2/n^2。

接着我们可以得到 m^2 = 2n^2。

这时我们可以观察到m^2是2的倍数，那么m一定也是2的倍数，即m=2k。

代入m=2k，我们可以得到 (2k)^2 = 2n^2，简化后得到 4k^2 = 2n^2，再简化得到 2k^2 = n^2。

这说明n^2也是2的倍数，那么n也一定是2的倍数。

所以m和n同时都是2的倍数，这与我们假设的m和n互质相矛盾。

所以我们可以得出结论，假设根号2是有理数，会导致矛盾，所以根号2是无理数。

在这个例子中，我们使用了反证法来证明根号2是无理数。

我们假设根号2是有理数，然后通过四则运算推导出矛盾的结论，从而得出结论，根号2是无理数。

另外一个例子，我们来看一个关于方程的例子，证明方程 x^2 + 5x + 6 = 0 的根不是有理数。

要证明方程的根不是有理数，我们可以采用反证法。

首先我们假设方程有有理数根，即可以表示为p/q，其中p和q是整数，并且它们没有公因数。