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•引言•一元二次方程的基本概念•一元二次方程的根与系数的关系•案例分析目•练习与巩固•总结与回顾录0102一元二次方程是数学学习中的重要内容，是初中数学的核心知识点之一。
掌握一元二次方程的解法有助于学生更好地理解其他高级的数学概念，提高数学成绩。
学习一元二次方程还有助于培养学生的逻辑思维和解决问题的能力，对于学生的长远发展具有重要意义。
学习一元二次方程的重要性示例公式法因式分解法图像法030201根的判别式根与系数的关系一元二次方程的根的性质根的判别式是二次方程解的公式，它基于方程的系数，可以判断方程是否有实数解、两个不同的实数解或相同的实数解。
根的判别式详细描述总结词根与系数的关系推导是一元二次方程求解的关键步骤。
详细描述通过配方、因式分解等数学方法，将一元二次方程转化为两个一次方程，再解这两个一次方程得到原方程的解。
同时，根据判别式的性质，可以判断出方程的解的情况。
详细描述案例一：实际问题中的一元二次方程求解总结词在实际问题中，一元二次方程通常出现在投资、增长率等经济问题的数学模型中。
详细描述例如，某公司预计未来三年的年利润为10%的增长率，假设第一年的利润为100万元，求第二、三年的利润。
此问题可以通过一元二次方程求解得到。
案例二：数学竞赛中的一元二次方程求解总结词详细描述在物理问题中，一元二次方程通常出现在与运动、力等相关的物理公式中。
详细描述例如，在自由落体运动中，物体下落的距离h与时间t的关系可以表示为h = -gt² + v0t + h0，其中g是重力加速度，v0是初速度，h0是初始高度。
我们可以使用一元二次方程来求解时间t。
总结词案例三：物理问题中的一元二次方程求解VS总结词：强化基础详细描述：设计一系列简单的一元二次方程题目，旨在帮助学生掌握解一元二次方程的基本方法，并熟悉根与系数的关系。
示例题目：$2x^{2} - 4x = 0$，$3x^{2} + 5x = 0$等。
12.4一元二次方程的根与系数的关系中考考点1．理解一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）。
2．会运用根与系数的关系，由已知的一元二次方程的一个根求出另一个根与未知系数。
3．会求一元二次方程两个根的倒数和与平方和。
考点讲解1．若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1,x2，则x1+x2=-，x1·x2=。
2．以x1,x2为根的一元二次方程是(x-x1)(x-x2)=0，展开代入两根和与两根积，仍得到方程ax2+bx+c=0(a≠0)。
3．对二次项系数为1的方程x2+px+q=0的两根为x1,x2时，那么x1+x2=-p，x1·x2=q。
反之，以x1,x2为根的一元二次方程是：(x-x1)(x-x2)=0，展开代入两根和与两根积，仍得到方程：x2+px+q=0。
4．一元二次方程的根与系数关系的应用主要有以下几方面：（1）已知一元二次方程的一个根，求另一个根，可用两根和或两根积的关系求另一个根。
（2）已知含有字母系数的一元二次方程的一个根，求另一个根及字母系数的值。
可用根与系数关系式，一个关系式求得另一个根，再用另一个关系式求得字母系数的值。
（3）已知一元二次方程，不解方程，可求与所给方程两根和、两根积的某些代数式的值。
如，方程2x2-3x+1=0的两根为x1,x2，不解方程，求x12+x22的值。
[∵x1+x2=，x1·x2=，∴x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=()2-2×=]（4）验根、求根、确定根的符号。
（5）已知两根，求作一元二次方程（注意最后结果要化为整系数方程）。
（6）已知两数和与积，求这两个数。
（7）解特殊的方程或方程组。
考题评析1．(北京市东城区)如果一元二次方程x2+3x-2=0的两个根为x1，x2，那么x1+x2与x1·x2的值分别为（）（A）3，2（B）-3，-2（C）3，-2（D）-3，2考点：一元二次方程的根与系数关系。
评析：由一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根x1,x2,满足x1+x2=，x1x2=可直接计算，答案为B。
2．(杭州市)若是方程的两个根，则的值为（）（A）–7（B）1（C）（D）答案：A考点：一元二次方程根与系数的关系评析思路：由韦达定理知，，先求出x1+x2，x1·x2的值，然后将代数式(x1+1)(x2+1)展开，最后将x1+x2，x1·x2的值代入即可。
3．（辽宁省）下列方程中，两根分别为的是（）（A）（B）（C）（D）答案：B考点：一元二次方程根与系数的关系评析思路：因给出了二根，所以好求二根和二根积，再根据x1+x2=-p x1·x2=q，即可确定正确答案为B。
4．（辽宁省）已知α，β是方程的两个实数根，则的值为。
考点：一元二次方程根与系数的关系评析思路：由根与系数的关系可知a+b=-2，a·b= -5。
而所求式中有a2+2a部分，因a是方程的根，所以有a2+2a-5=0，即a2+2a=5，再加a·b，原式值为0。
答案：05．（河南省）关于x的方程，是否存在负数k，使方程的两个实数根的倒数和等于4？若存在，求出满足条件的k的值；若不存在，说明理由。
答案：解：设方程的两个实数根是x1、x2.由根与系数关系，得x1+x2=5k+1，x1x2=k2-2.又∵，=4，∴=4. ∴4k2-5k-9=0.解这个方程，得k1=-1，k2=（不合题意，舍去）.当k=-1时，原方程的判别式△=b2-4ac=[-(5k+1)]2-4(k2-2)=(-4)2-4(1-2)=20>0.所以存在满足条件的负数k，k=-1.考点：一元二次方程根的判别式的应用，根与系数的应用。
评析：此题是存在型的试题，一般结论都是在存在成立的条件下，按照给出的条件进行讨论，因此题是关于两个实根的关系，所以在讨论时必注意△>0。
6．（福州市）以2，-3为两个根的一元二次方程是（）.（A）x2-x-6=0（B）x2+x-6=0（C）x2-x+6=0（D）x2+x+6=0答案：B考点：一元二次方程根与系数关系。
评析：利用一元二次方程x2+px+q=0的根x1,x2与系数关系：直接计算即得答案。
7．（广州市）已知2是关于x的方程x2+3mx-10=0的一个根，则m=.考点：一元二次方程的根与系数关系评析：根据方程解的概念，将未知数的值代入方程求出m，或利用根与系数的关系解方程组求出。
答案：18．（贵阳市）若x1,x2是方程x2-2x+m=0的两个根，且=2，则m=.考点：一元二次方程根与系数关系评析：由一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根x1、x2与系数的关系，得x1+x2=2x1x2=ｍ，求的值，代入已知的等式求出ｍ。
答案：19．（河北省）在Rt△ABC中，∠C=900，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，a、b是关于x的方程的两根，那么AB边上的中线长是（）（A）（B）（C）5（D）2考点：直角三角形三边关系勾股定理、根与系数的关系评析思路：因直角三角形两直角边a、b是方程的二根，∴有a+b=7①a·b=c+7②，由勾股定理知c2=a2+b2③，联立①②③组成方程组求得c=5，∴斜边上的中线为斜边的一半，故选B。
10．（北京市海淀区）已知：关于x的方程①的两个实数根的倒数和等于3，关于x的方程②有实数根且k为正整数，求代数式的值。
考点：根的判别式，根与系数的关系。
评析：先根据根与系数的关系求得a值，再将a代入到第二个方程。
因第二个方程只证有实根，所以k可以等于1,然后再根据Δ的范围再确定k值，分别代入所求代数式就可以了。
答案：0说明学生往往忽略k=1的这种情况：认为一元二次方程有实根，必是两个，这是不全面的，也有的不考虑Δ的范围。
11.（河北省）若x1、x2是一元二次方程3x2+x-1=0的两个根,则+的值是( )(A)-1(B)0(C)1(D)2考点：一元二次方程根与系数的关系评析：根据一元二次方程根与系数的关系，先求出x1+x2, x1·x2的值，然后将求的代数式变形为，最后将x1+x2=-，x1·x2=-代入即可，故选C。
12．（哈尔滨市）已知：△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的两个实数根，第三边BC的长为5.（1）k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形.（2）k为何值时，△ABC是等腰三角形，并求出△ABC的周长.考点：Rt△三边关系，等腰三角形底与腰的关系,一元二次方程根与系数关系评析：（1）已知一元二次方程的两根，首先想到不解方程，而是利用根与系数的关系达到目的，又根据Rt△三边的关系AB2+AC2=BC2可知，通过AB2+AC2=(AB+AC)2－2AB·AC可实现。
答案：k=2或k= -5注：如果利用根与系数关系不能求解，再利用解方程求根的方法。
（2）首先利用判断式判断AB与AC是否相等，再考虑其它情况，即AB=BC或AC=BC，当AB=BC或AC=BC时，BC=5是一元二次方程的一个根，故可求k的值，也就可求另一个根，三角形的周长可求。
答案：14或16.注：在求周长时，应判断是否能构成三角形。
13．（安徽）已知方程x2+(1-)x-=0的两根为x1、x2，求x+x的值。
考点：一元二次方程根与系数的关系评析：根据根与系数的关系，先求出x1+x2、x1·x2的值然后将x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2变为以上形式，再将x1+x2=-1，x1·x2=-代入即可。
解：由根与系数关系，x1+x2=-1+,x1x2=-,∴x+x=(x1+x2)2-2x1x2 =(-1)2+2=3-2+2=3.说明：如果先解出根x1、x2，再求出x+x的正确值可以。
14．（北京市东城区）已知关于x的方程x2-(k-1)x+k+1=0的两个实数根的平方和等于4，求实数k的值。
考点：一元二次方程根与系数的关系评析：先设方程二根为x1、x2，分别求出x1+x2，x1·x2的值，再根据两根的平方和是4，求出k值，但必须保证方程有两个实根，所以还必须保证△≥0才能确定k的值，此题一些考生忽略△≥0的隐含条件的。
解：设方程x2-(k-1)x+k+1=0的两个实数根是x1, x2，那么x1+x2=k-1, x1·x2=k+1.由x+x=4,得(x1+x2)2-2x1x2=4.即(k-1)2-2(k+1)=4k2-4k-5=0解这个方程，得k=5或k=-1.当k=5时, Δ=(5-1)2-4(5+1)<0,原方程无实数根，故x=5舍去.当k=-1时,Δ=(-1-1)2-4(-1+1)>0,因此，k=-1为所求。
真题实战1．（常州市）已知关于x的方程x2+mx－6=0的一个根是2，则另一个根是，m=。
答案：-3；12．（天门市）若方程的两根是x1、x2，则代数式的值是。
答案：63．已知x1、x2是方程x2－x－1=0的两个根，则的值是（）A、1B、－1C、±1D、0答案：B4．（石家庄市）设方程的两根为x1和x2，且，则m等于（）A．－8B．－4C．8D．4答案：C5．（潍坊市）下列方程中，两实数根的和等于2的方程是（）A．2x2－4x+3=0B．2x2－2x－3=0C．2x2+4x－3=0D．2x2－4x－3=0答案：D6．（山西省）若方程x2-2x-1=0的二根为x1，x2，则代数式的值是（）A．6B．4C．2D．-2答案：A7．(南昌市)已知方程2x2+kx－10=0的一个根是－2，求它的另一根及k的值。
解：设方程的另一根为x1，那么-2x1=-5，又，∴k=-1。
答：方程的另一根是，k的值是-1。
8．（苏州市）已知关于x的方程x2+(m－2)x+m－3=0。
（1）求证：无论m取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根；（2）若这个方程的两个实数根x1,x2满足2x1+x2=m+1,求m的值。
(1)证明:∵∴无论m取什么实数,这个方程总有两个不相等的实数根.(2)解∵x1,x2是这个方程的两个实数根,∴又2x1+x2=m+1,(3)(3)-(1),得x1=2m-1 (4)把(4)代入(1),得x2=3-3m (5)把(4)、(5)代入(2),得(2m-1)(3-3m)=.∴.∴9．（南通市）设x1、x2是关于x的方程x2－(k+2)+2k+1=0的两个实数根，且x12+x22=11.（1）求k的值；（2）利用根与系数的关系求一个一元二次方程，使它的一个根是原方程两个根的和，另一根是原方程两根差的平方。
解：（1）由题意得x1+x2=k+2，x1·x2=2k+1，又，∴，解得k=±3。
