根轨迹超前校正

控制系统校正的根轨迹方法用根轨迹法进行校正的基础，是通过在系统开环传递函数中增加零点和极点以改变根轨迹的形状，从而使系统根轨迹在S 平面上通过希望的闭环极点。

根轨迹法校正的特征是基于闭环系统具有一对主导闭环极点，当然，零点和附加的极点会影响响应特性。

应用根轨迹进行校正，实质上是通过采用校正装置改变根轨迹的，从而将一对主导闭环极点配置到期望的位置上。

在开环传递函数中增加极点，可以使根轨迹向右方移动，从而降低系统的相对稳定性，增大系统调节时间。

等同于积分控制，相当于给系统增加了位于原点的极点，因此降低了系统的稳定性。

在开环传递函数中增加零点，可以使根轨迹向左方移动，从而提高系统的相对稳定性，减小系统调节时间。

等同于微分控制，相当于给系统前向通道中增加了零点，因此增加了系统的超调量，并且加快了瞬态响应。

根轨迹超前校正计算步骤如下。

(1)作原系统根轨迹图；(2)根据动态性能指标，确定主导极点i s 在S 平面上的正确位置； 如果主导极点位于原系统根轨迹的左边，可确定采用微分校正，使原系统根轨迹左移，过主导极点。

(3)在新的主导极点上，由幅角条件计算所需补偿的相角差φ； 计算公式为：is s=︒±=(s)][G arg -180o ϕ (1)此相角差φ表明原根轨迹不过主导极点。

为了使得根轨迹能够通过该点，必须校正装置，使补偿后的系统满足幅角条件。

(4)根据相角差φ，确定微分校正装置的零极点位置； 微分校正装置的传递函数为：11++=sTp sTz KcGc (2)例题：已知系统开环传递函数： 试设计超前校正环节，使其校正后系统的静态速度误差系数Kv ≤4.6，闭环主导极点满足阻尼比ζ=0.2，自然振荡角频率ωn=12.0rad/s ，并绘制校正前后系统的单位阶跃响应曲线、单位脉冲响应曲线和根轨迹。

解： 由6.4)(*)(0*lim 0==→s Gc s G s Kv s 得kc=2计算串联超前校正环节的matlab 程序如下： 主函数: close; num=2.3;den=conv([1,0],conv([0.2,1],[0.15,1])); G=tf(num,den) %校正前系统开环传函 zata=0.2;wn=12.0; %要求参数 [num,den]=ord2(wn,zata); %追加系统动态特性 s=roots(den); s1=s(1);kc=2; %增益kc Gc=cqjz_root(G,s1,kc)GGc=G*Gc*kc %校正后系统开环传函 Gy_close=feedback(G,1) %校正前系统闭环传函 Gx_close=feedback(GGc,1) %校正后系统闭环传函 figure(1);step(Gx_close,'b',3.5); %校正后单位阶跃响应 hold onstep(Gy_close,'r',3.5); %校正前单位阶跃响应 grid;gtext('校正前的'); gtext('校正后的'); figure(2);0 2.3s(1+0.2s)(1+0.15s)G =impulse(Gx_close,'b',3.5); %校正后单位冲激响应 hold onimpulse(Gy_close,'r',3.5); %校正前单位冲激响应 grid;gtext('校正前的'); gtext('校正后的'); figure(3);rlocus(G,GGc); %根轨迹图 grid;gtext('校正前的'); gtext('校正后的');为使校正后系统的根轨迹能经过期望闭环主导极点，其闭环特征方程跟必须满足幅值和相角条件，即πθj j e e M Tp s Tz s Kcs G S Gc 111)(0)(0011=++=-，式中，M 0是校正前系统在1s 处的幅值，θ0是对应的相角。

跟轨迹超前校正课程设计一、课程目标知识目标：1. 学生能理解轨迹超前校正的基本概念，掌握其相关的理论知识。

2. 学生能运用数学和物理知识，分析并描述物体在直线和曲线运动中的轨迹特点。

3. 学生能掌握轨迹超前校正的计算方法和在实际问题中的应用。

技能目标：1. 学生通过实际操作，培养观察、分析和解决问题的能力。

2. 学生能运用所学的轨迹校正方法，解决实际运动控制中的问题。

3. 学生能运用数学工具，进行轨迹校正的计算和验证。

情感态度价值观目标：1. 学生培养对科学研究的兴趣，激发探索未知领域的热情。

2. 学生养成合作、讨论的学习习惯，增强团队协作意识。

3. 学生认识到理论知识在实际应用中的价值，提高理论联系实际的能力。

本课程针对学生的年级特点，结合课程性质和教学要求，将目标分解为具体的学习成果。

课程旨在帮助学生掌握轨迹超前校正的相关知识，提高解决实际问题的能力，并培养对科学研究的兴趣和团队协作意识。

在教学过程中，注重理论与实践相结合，以使学生能够学以致用，为后续学习打下坚实基础。

二、教学内容本章节教学内容主要包括以下几部分：1. 轨迹校正的基本概念与原理- 运动轨迹的定义与分类- 轨迹校正的物理意义和实际应用2. 轨迹校正的数学模型- 直线运动轨迹的数学描述- 曲线运动轨迹的数学描述- 轨迹校正的数学方法3. 轨迹校正的计算与实现- 校正参数的计算方法- 校正算法的设计与实现- 实际案例分析4. 轨迹校正的实验与验证- 实验原理与实验方法- 实验设备与实验步骤- 实验结果的分析与讨论教学内容根据课程目标，结合教材相关章节，进行科学、系统的组织。

教学大纲明确规定了各部分内容的安排和进度，确保学生能够逐步掌握轨迹校正的相关知识。

具体教学内容安排如下：第1周：轨迹校正的基本概念与原理第2周：直线运动轨迹的数学描述第3周：曲线运动轨迹的数学描述第4周：轨迹校正的数学方法第5周：校正参数的计算方法第6周：校正算法的设计与实现第7周：实际案例分析第8周：轨迹校正的实验与验证三、教学方法为了提高教学效果，激发学生的学习兴趣和主动性，本章节采用以下多样化的教学方法：1. 讲授法：教师通过生动的语言和形象的比喻，讲解轨迹校正的基本概念、原理和数学模型，使学生系统地掌握理论知识。

学号 10750128计算机控制技术课程设计设计说明书根轨迹超前校正设计起止日期：2013 年7 月15 日至2013 年7 月19 日学生姓名刘经雨班级10电气一班成绩指导教师(签字)控制与机械工程学院2013年7月10日天津城市建设学院课程设计任务书2012 —2013 学年第 2 学期控制与机械工程 学院 电气工程及其自动化 系 电气一班 班级 课程设计名称： 计算机控制技术课程设计 设计题目： 根轨迹超前校正设计完成期限：自 2013 年7 月 15 日至 2013 年 7 月 19 日共 1 周 设计依据、要求及主要内容：设单位反馈系统的开环传递函数为：)15)(5(1)(++=s s s s G要求系统满足最大超调量%30%≤σ，调整时间s t s 5.0≤，试设计超前校正装置。

基本要求：1、对原系统进行分析，确定期望极点在S 复平面的位置；2、求校正补偿器的传递函数；3、计算校正后系统的性能指标：超调量、峰值时间，调节时间，并绘制系统校正后的阶跃响应曲线。

指导教师（签字）： 教研室主任（签字）： 批准日期：2013年7月10日目录一设计原理 (1)1、何谓校正为何校正 (1)2、超前校正的原理 (1)3、超前校正在根轨迹中的应用方法。

(2)二设计方法步骤 (2)2.1画出未校正前的根轨迹 (2)2.2校正方法 (3)2.3校正计算： (4)三课程设计总结 (8)参考文献 (9)一 设计原理1、何谓校正 为何校正所谓校正，就是在系统中加入一些其参数可以根据需要而改变的机构或装置，是系统整个特性发生变化。

校正的目的是为了在调整发大器增益后仍然不能全面满足设计要求的性能指标的情况下，通过加入的校正装置，是系统性能全面满足设计要求。

2、 超前校正的原理无源超前网络的电路如图 1 所示。

图1无源超前网络电路图如果输入信号源的内阻为零，且输出端的负载阻抗无穷大，则超前网络的传递函数可写为()TsaTss aG c ++=11 （2—1）式中1221>+=R R R a ,C R R R R T 2121+=通常 a 为分度系数，T 叫时间常数，由式（2-1）可知，采用无源超前网络进行串联校正时，整个系统的开环增益要下降a 倍，因此需要提高放大器增益交易补偿。

2010 —2011学年第X学期《基于根轨迹的超前校正设计》题目：基于根轨迹的超前校正设计专业： XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX 班级： XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX 姓名： XXXXXXXXXXXXXXX 指导教师： XXXXXXXXXXXXX 成绩：电气工程系2010年12月8日已知单位负反馈系统对象的传递函数为：01=s(2)G s +（s ） 试使用根轨迹几何方法对系统进行超前串联校正设计，使之满足：（1）：阶跃响应的超调量%20%σ≤；（2）：阶跃响应的调节时间 1.2s t s ≤。

解：（1）确定希望极点在S 复平面上的位置根据题意，要求超调量%20%σ≤，用以下MATLAB 语句求ς。

sigma=0.2; zeta=((log(1/sigma))^2/((pi)^2+(log(1/sigma))^2))^(1/2)可以求得ς为：zeta =0.4559，即ς≥0.4599，取ς=0.5，由()5%s t =3n ςω=1可得n ω=6rad/s 。

然后根据根轨迹法则，给出以下MATLAB 语句求在S 平面上希望极点的位置。

>> zeta=0.5;wn=6;>> p=[1 2*zeta*wn wn*wn];>> roots(p )运行以上MATLAB 语句，可求得根为：ans =-3.0000 + 5.1962i-3.0000 - 5.1962i即希望极点的位置为s1=-3.0000 + 5.1962i 和s2=-3.0000 - 5.1962i(2)求校正补偿器的传递函数 c cs a G K s b+=+ （1） 设未系统的传递函数为： 0()c s a G s K s b+=+ （2） 则校正后系统的开环传递函数为：0()()K ope c s a G s G s s b+=+ （3） 根据关系式（2）和（3），给出了L167.m 计算校正器的传递函数。

东北大学秦皇岛分校自动化工程系自动控制系统课程设计根轨迹串联超前校正专业名称自动化01班级学号508015080101学生姓名指导教师设计时间2020111111..6.2.277~20~20111111..7.8目录摘要 (1)1.绪论 (3)1.1课题概述 (3)1.2根轨迹法超前校正简介 (3)1.3课题研究的目的和意义 (4)1.4本课题研究的主要内容 (4)2.系统校正 (5)2.1已知条件及要求 (5)2.2对系统进行分析 (5)2.2.1当串联一个零点时 (7)2.2.2串联一个具有零点性质的零极点对 (8)2.2.3串联一个具有两个零点，一个极点的控制器时 (9)2.2.4当串联具有零点性质的两个极点，一个零点的控制器时 (10)2.2.5串联更复杂的具有零点性质的控制器 (11)3.总结 (13)4.致谢 (13)5.参考文献 (14)摘要根轨迹法是一种直观的图解方法，它显示了当系统某一参数（通常为增益）从零变化到无穷大时，如何根据开环极点和零点的位置确定全部闭环极点位置。

从根轨迹图可以看出，只调整增益往往不能获得所希望的性能。

事实上，在某些情况下，对于所有的增益，系统可能都是不稳定的。

因此，必须改造系统的根轨迹，使其满足性能指标。

利用根轨迹法对系统进行超前校正的基本前提是：假设校正后的控制系统有一对闭环主导极点，这样系统的动态性能就可以近似地用这对主导极点所描述的二阶系统来表征。

因此在设计校正装置之前，必须先把系统时域性能的指标转化为一对希望的闭环主导极点。

通过校正装置的引入，使校正后的系统工作在这对希望的闭环主导极点处，而闭环系统的其它极点或靠近某一个闭环零点，或远离s平面的虚轴，使它们对校正后系统动态性能的影响最小。

是否采用超前校正可以按如下方法进行简单判断：若希望的闭环主导极点位于校正前系统根轨迹的左方时，宜用超前校正，即利用超前校正网络产生的相位超前角，使校正前系统的根轨迹向左倾斜，并通过希望的闭环主导极点。

控制系统校正的根轨迹方法用根轨迹法进展校正的根底，是通过在系统开环传递函数中增加零点和极点以改变根轨迹的形状，从而使系统根轨迹在S 平面上通过希望的闭环极点。

根轨迹法校正的特征是基于闭环系统具有一对主导闭环极点，当然，零点和附加的极点会影响响应特性。

应用根轨迹进展校正，实质上是通过采用校正装置改变根轨迹的，从而将一对主导闭环极点配置到期望的位置上。

在开环传递函数中增加极点，可以使根轨迹向右方移动，从而降低系统的相对稳定性，增大系统调节时间。

等同于积分控制，相当于给系统增加了位于原点的极点，因此降低了系统的稳定性。

在开环传递函数中增加零点，可以使根轨迹向左方移动，从而提高系统的相对稳定性，减小系统调节时间。

等同于微分控制，相当于给系统前向通道中增加了零点，因此增加了系统的超调量，并且加快了瞬态响应。

根轨迹超前校正计算步骤如下。

(1)作原系统根轨迹图；(2)根据动态性能指标，确定主导极点i s 在S 平面上的正确位置；如果主导极点位于原系统根轨迹的左边，可确定采用微分校正，使原系统根轨迹左移，过主导极点。

(3)在新的主导极点上，由幅角条件计算所需补偿的相角差φ； 计算公式为：is s=︒±=(s)][G arg -180o ϕ (1)此相角差φ说明原根轨迹不过主导极点。

为了使得根轨迹能够通过该点，必须校正装置，使补偿后的系统满足幅角条件。

(4)根据相角差φ，确定微分校正装置的零极点位置； 微分校正装置的传递函数为：11++=sTp sTz KcGc (2)例题：系统开环传递函数：试设计超前校正环节，使其校正后系统的静态速度误差系数Kv ≤4.6，闭环主导极点满足阻尼比ζ=0.2，自然振荡角频率ωn=12.0rad/s ，并绘制校正前后系统的单位阶跃响应曲线、单位脉冲响应曲线和根轨迹。

解：由6.4)(*)(0*lim 0==→s Gc s G s Kv s 得kc=2计算串联超前校正环节的matlab 程序如下： 主函数: close; num=2.3;den=conv([1,0],conv([0.2,1],[0.15,1]));G=tf(num,den) %校正前系统开环传函 zata=0.2;wn=12.0; %要求参数 [num,den]=ord2(wn,zata); %追加系统动态特性 s=roots(den); s1=s(1);kc=2; %增益kc Gc=cqjz_root(G,s1,kc)GGc=G*Gc*kc %校正后系统开环传函 Gy_close=feedback(G,1) %校正前系统闭环传函 Gx_close=feedback(GGc,1) %校正后系统闭环传函 figure(1);step(Gx_close,'b',3.5); %校正后单位阶跃响应 hold onstep(Gy_close,'r',3.5); %校正前单位阶跃响应 grid;gtext('校正前的'); gtext('校正后的'); figure(2);0 2.3s(1+0.2s)(1+0.15s)G =impulse(Gx_close,'b',3.5); %校正后单位冲激响应 hold onimpulse(Gy_close,'r',3.5); %校正前单位冲激响应 grid;gtext('校正前的'); gtext('校正后的'); figure(3);rlocus(G,GGc); %根轨迹图 grid;gtext('校正前的'); gtext('校正后的');为使校正后系统的根轨迹能经过期望闭环主导极点，其闭环特征方程跟必须满足幅值和相角条件，即πθj j e e M Tp s Tz s Kcs G S Gc 111)(0)(0011=++=-，式中，M 0是校正前系统在1s 处的幅值，θ0是对应的相角。