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在根轨迹校正法中，当系统的动态性能不足时，通常选择什么形式的串联校正网络？网络参数取值与校正效果之间有什么关系？工程应用时应该注意什么问题？
（1）可以采用的校正装置的形式为
单零点校正：)()(c c c z s k s G +=，零点c z -在s 平面的负实轴上；
零极点校正：)()()
()(c c c c c c z p p s z s K s G >++=，零极点均在负实轴上，零点比极点靠近原
点（即：超前校正）。
（2）零点越靠近原点、极点越远离原点校正作用越强。
（3）在工程应用时，应考虑校正装置的可实施性，零极点分布最好在左半平面的中部，因为零点太靠近原点，微分作用太强，可能使执行机构进入饱和状态而达不到预期的效果。
在根轨迹校正法中，当系统的静态性能不足时，通常选择什么形式的串联校正网络？网络参数取值与校正效果之间有什么关系？工程应用时应该注意什么问题？ （1）校正装置的形式为)()
()()(c c c c c c p z p s z s K s G >++=，即滞后校正装置。
零极点均在负实轴上，零极点非常靠近虚轴，且与受控对象的其他零极点相比可以构成一对偶极子。
由于增加一对偶极子基本不改变系统的动态性能，但可以增大系统的开环增益，从而达到减小系统静态误差的目的。
（2）零极点之比c c p z 的取值越大，系统开环增益增加幅度越大，因为校正后的开环增益是校正前开环增益的c c p z 倍。
（3）在工程实施时，考虑到系统的稳定性，极点不能太靠近原点。
根軌跡法根軌跡法概述在時域分析中已經看到，控制系統的性能取決於系統的閉環傳遞函數，因此，可以根據系統閉環傳遞函數的零、極點研究控制系統性能。
但對於高階系統，採用解析法求取系統的閉環特征方程根（閉環極點）通常是比較困難的，且當系統某一參數（如開環增益）發生變化時，又需要重新計算，這就給系統分析帶來很大的不便。
1948年，伊万思根据反馈系统中开、死循环传递函数间的内在联系，提出了求解死循环特征方程根的比较简易的图解方法，这种方法称为根轨迹法。
因为根轨迹法直观形象，所以在控制工程中获得了广泛应用。
根轨迹法的基本概念根轨迹是当开环系统某一参数（如根轨迹增益）从零变化到无穷时，闭环特征方程的根在S平面上移动的轨迹。
根轨迹增益K * 是首1形式开环传递函数对应的系数。
在介绍图解法之前，先用直接求根的方法来说明根轨迹的含义。
控制系统如上图所示。
其开环传递函数为:根轨迹增益。
闭环传递函数为:闭环特征方程为:特征根为：当系统参数K * （或K）从零变化到无穷大时，闭环极点的变化情况见下表：利用计算结果在S平面上描点并用平滑曲线将其连接，便得到K * （或K）从零变化到无穷大时闭环极点在S平面上移动的轨迹，即根轨迹，如下图所示。
图中，根轨迹用粗实线表示，箭头表示K * （或K）增大时两条根轨迹移动的方向。
根轨迹与系统性能依据根轨迹图（见系统根轨迹图），就能分析系统性能随参数（如K * ）变化的规律。
1．稳定性开环增益从零变到无穷大时，如系统根轨迹图所示的根轨迹全部落在左半s平面，因此，当K>0时，如图控制系统根所示系统是稳定的；如果系统根轨迹越过虚轴进入右半s平面，则在相应K值下系统是不稳定的；根轨迹与虚轴交点处的K值，就是临界开环增益。
2．稳态性能由系统根轨迹图可见，开环系统在坐标原点有一个极点，系统属于Ⅰ型系统，因而根轨迹上的K值就等于静态误差系数K v。
当r(t)=1(t)时,e ss = 0；当r(t)=t时,3．动态性能由系统根轨迹图可见，当0 <K< 0.5时，闭环特征根为实根，系统呈现过阻尼状态，阶跃响应为单调上升过程；当K=0.5时，闭环特征根为二重实根，系统呈现临界阻尼状态，阶跃响应仍为单调过程，但响应速度较0 <K< 0.5时为快；当K>0.5时，闭环特征根为一对共轭复根，系统呈现欠阻尼状态，阶跃响应为振荡衰减过程，且随K增加，阻尼比减小，超调量增大，但t s基本不变。
控制系统分析与设计王福利答案6.1学习要点1控制系统校正的概念，常用的校正方法、方式;2各种校正方法、方式的特点和适用性；3各种校正方法、方式的一般步骤。
6.2思考与习题祥解题6.1校正有哪些方法？各有何特点？答：控制系统校正有根轨迹方法和频率特性方法。
根轨迹法是一种直观的图解方法，它显示了当系统某一参数（通常为开环放大系数）从零变化到无穷大时，如何根据开环零极点的位置确定全部闭环极点的位置。
因此，根轨迹校正方法是根据系统给定的动态性能指标确定主导极点位置，通过适当配置开环零极点，改变根轨迹走向与分布，使其通过期望的主导极点，从而满足系统性能要求。
频率特性是系统或元件对不同频率正弦输入信号的响应特性。
频域特性简明地表示出了系统各参数对动态特性的影响以及系统对噪声和参数变化的敏感程度。
因此，频率特性校正方法是根据系统性能要求，通过适当增加校正环节改变频率特性形状，使其具有合适的高频、中频、低频特性和稳定裕量，以得到满意的闭环品质。
由于波德图能比较直观的表示改变放大系数和其他参数对频率特性的影响，所以，在用频率法进行校正时，常常采用波德图方法。
系统校正要求通常是由使用单位和被控对象的设计单位以性能指标的形式提出。
性能指标主要有时域和频域两种提法。
针对时域性能指标，通常用根轨迹法比较方便；针对频域性能指标，用频率法更为直接。
根轨迹法是一种直接的方法，常以超调量3% 和调节时间匚作为指标来校正系统。
频域法是一种间接的方法，常以相位裕量和速度误差系数作为指标来校正系统。
题6. 2校正有哪些方式？各有何特点？答：校正有串联校正方式和反馈校正方式。
校正装置串联在系统前向通道中的连接方式称为串联校正。
校正装置接在系统的局部反馈通道中的连接方式称为反馈校正。
题6. 3串联超前、串联滞后与串联滞后_超前校正各有何适应条件？答：C1)串联超前校正通常是在满足稳态精度的条件下，用来提高系统动态性能的一种校正方法。
从波德图来看，为满足控制系统的稳态精度要求，往往需要增加系统的开环增益，这样就增大了幅值穿越频率，相应地减小了相位裕量，易导致系统不稳定。
三阶系统的分析与校正引言：在控制系统中，三阶系统是一种常见且重要的系统。
它具有更高的阶数，因此对于控制系统的性能和稳定性有着更高的要求。
因此，对于三阶系统的分析和校正具有一定的复杂性。
本文将围绕三阶系统的分析和校正展开讨论，并介绍常见的校正方法。
一、三阶系统的基本特点和模型表示三阶系统是一个具有三个自由度的系统，可以用如下的传递函数表示：G(s)=K/(s^3+a*s^2+b*s+c)其中，K为传递函数的增益，a、b、c分别为系统的阻尼、震荡频率和系统自然频率。
二、三阶系统的稳定性分析稳定性是控制系统设计和校正的基本要求。
对于三阶系统的稳定性分析可以采用Bode图和Nyquist图等方法。
1. Bode图分析通过绘制传递函数的幅频响应和相频响应曲线，可以得到系统的幅度余弦曲线和相位余弦曲线。
根据Bode图的特点，可以确定系统的稳定性。
2. Nyquist图分析Nyquist图是对传递函数的极坐标表示。
通过绘制传递函数的Nyquist图，可以分析系统的稳定性。
以上两种方法都可以用来评估系统的稳定性。
如果系统的Bode图和Nyquist图图像均在单位圆内，则系统是稳定的。
三、三阶系统的校正方法校正是为了使控制系统具有所需的性能指标，通过调整系统中的参数和控制器等手段实现。
1.PID控制器的设计PID控制器是最常用的控制器之一，具有简单、稳定、易于实现等特点。
PID控制器由比例控制、积分控制和微分控制三部分组成。
通过调整PID控制器中的三个参数，可以实现对三阶系统的控制。
2.根轨迹法根轨迹法是一种经典的校正方法，通过分析系统的根轨迹来设计合适的校正器。
根轨迹是描述系统根位置随参数变化而变化的曲线。
通过调整参数，可以使根轨迹满足设计要求，进而实现对系统的校正。
3.频率响应方法频率响应方法基于传递函数的幅频响应和相频响应特性进行校正。
根据系统的特性，通过调整增益和相位等参数，可以实现对系统的校正。
以上是常见的三阶系统的校正方法，可以根据实际需求选择合适的方法进行校正。
控制系统校正的根轨迹方法用根轨迹法进行校正的基础，是通过在系统开环传递函数中增加零点和极点以改变根轨迹的形状，从而使系统根轨迹在S 平面上通过希望的闭环极点。
根轨迹法校正的特征是基于闭环系统具有一对主导闭环极点，当然，零点和附加的极点会影响响应特性。
应用根轨迹进行校正，实质上是通过采用校正装置改变根轨迹的，从而将一对主导闭环极点配置到期望的位置上。
在开环传递函数中增加极点，可以使根轨迹向右方移动，从而降低系统的相对稳定性，增大系统调节时间。
等同于积分控制，相当于给系统增加了位于原点的极点，因此降低了系统的稳定性。
在开环传递函数中增加零点，可以使根轨迹向左方移动，从而提高系统的相对稳定性，减小系统调节时间。
等同于微分控制，相当于给系统前向通道中增加了零点，因此增加了系统的超调量，并且加快了瞬态响应。
根轨迹超前校正计算步骤如下。
(1)作原系统根轨迹图；(2)根据动态性能指标，确定主导极点i s 在S 平面上的正确位置； 如果主导极点位于原系统根轨迹的左边，可确定采用微分校正，使原系统根轨迹左移，过主导极点。
(3)在新的主导极点上，由幅角条件计算所需补偿的相角差φ； 计算公式为：is s=︒±=(s)][G arg -180o ϕ (1)此相角差φ表明原根轨迹不过主导极点。
为了使得根轨迹能够通过该点，必须校正装置，使补偿后的系统满足幅角条件。
(4)根据相角差φ，确定微分校正装置的零极点位置； 微分校正装置的传递函数为：11++=sTp sTz KcGc (2)例题：已知系统开环传递函数： 试设计超前校正环节，使其校正后系统的静态速度误差系数Kv ≤4.6，闭环主导极点满足阻尼比ζ=0.2，自然振荡角频率ωn=12.0rad/s ，并绘制校正前后系统的单位阶跃响应曲线、单位脉冲响应曲线和根轨迹。
解： 由6.4)(*)(0*lim 0==→s Gc s G s Kv s 得kc=2计算串联超前校正环节的matlab 程序如下： 主函数: close; num=2.3;den=conv([1,0],conv([0.2,1],[0.15,1])); G=tf(num,den) %校正前系统开环传函 zata=0.2;wn=12.0; %要求参数 [num,den]=ord2(wn,zata); %追加系统动态特性 s=roots(den); s1=s(1);kc=2; %增益kc Gc=cqjz_root(G,s1,kc)GGc=G*Gc*kc %校正后系统开环传函 Gy_close=feedback(G,1) %校正前系统闭环传函 Gx_close=feedback(GGc,1) %校正后系统闭环传函 figure(1);step(Gx_close,'b',3.5); %校正后单位阶跃响应 hold onstep(Gy_close,'r',3.5); %校正前单位阶跃响应 grid;gtext('校正前的'); gtext('校正后的'); figure(2);0 2.3s(1+0.2s)(1+0.15s)G =impulse(Gx_close,'b',3.5); %校正后单位冲激响应 hold onimpulse(Gy_close,'r',3.5); %校正前单位冲激响应 grid;gtext('校正前的'); gtext('校正后的'); figure(3);rlocus(G,GGc); %根轨迹图 grid;gtext('校正前的'); gtext('校正后的');为使校正后系统的根轨迹能经过期望闭环主导极点，其闭环特征方程跟必须满足幅值和相角条件，即πθj j e e M Tp s Tz s Kcs G S Gc 111)(0)(0011=++=-，式中，M 0是校正前系统在1s 处的幅值，θ0是对应的相角。
令111θj e M s -=，代入得)1(1111101+=+---P j j c j z j T eM eM K e T e M θθπθ解得0sin )sin(sin 101001θθθθM M K M K T c C Z --=；0sin )sin(sin 11010θθθθM M K T c p ++-=从而计算串联超前环节参数子函数为: function Gc=cqjz_root(G,s1,kc) numG=G.num{1};, DenG=G.den{1}; ngv=polyval(numG,s1); dgv=polyval(denGs1); g=ngv/dgv;theta_0=angle(g); %相角θ0 theta_1=angle(s1); %相角θ1 M1=abs(g); %幅值M1 M0=abs(s1); %幅值M0Tz=(sin(theta_1)-kc*M0*sin(theta_0-theta_1))/(kc*M0*M1*sin(theta_0)); Tp=-(kc*M0*sin(theta_1)+ sin(theta_0-theta_1))/(M1*sin(theta_0);Gc=tf([Tz,1],[Tp,1]);运行结果：校正前系统开环传递函数：Transfer function:2.3-----------------------0.03 s^3 + 0.35 s^2 + s超前校正传递函数：Transfer function:1.016 s + 1------------0.0404 s + 1校正后系统开环传递函数：Transfer function:4.672 s + 4.6-------------------------------------------0.001212 s^4 + 0.04414 s^3 + 0.3904 s^2 + s校正前系统闭环传递函数：Transfer function:2.3-----------------------------0.03 s^3 + 0.35 s^2 + s + 2.3校正后系统闭环传递函数：Transfer function:4.672 s + 4.6------------------------------------------------------- 0.001212 s^4 + 0.04414 s^3 + 0.3904 s^2 + 5.672 s + 4.6 得到以下图形：图1-系统校正前后的单位冲激响应图-4-22468Impulse ResponseTime (sec)A m p l i t u d e图2-系统校正前后的单位阶跃响应图3-系统校正前后的根轨迹曲线00.51 1.52 2.53 3.50.20.40.60.811.21.4Step ResponseTime (sec)A m p l i t u d e-70-60-50-40-30-20-101020-50-40-30-20-1001020304050Root LocusReal AxisI m a g i n a r y A x i s根据系统校正前后的单位阶跃响应可以得到校正前超调量σ1=17.3%，校正后超调量 σ2=31.7%，如图4图4-超调量根据系统校正前后的单位阶跃响应可以得到校正前调节时间=2.92s ，校正后调节时间 =2.3s ，如图5图5-调节时间Step ResponseTime (sec)A m p l i t u d e00.51 1.52 2.53 3.50.20.40.60.811.21.4校正前的校正后的System: Gx_close P eak amplitude: 1.32Overshoot (%): 31.7At time (sec): 0.301System: Gy_close P eak amplitude: 1.17Overshoot (%): 17.3At time (sec): 1.33Step ResponseTime (sec)A m p l i t u d e校正前的校正后的System: Gx_close Settling Time (sec): 2.3System: Gy_closeSettling Time (sec): 2.92根据系统校正前后的单位阶跃响应可以得到校正前上升时间=0.58s ，校正后上升时间 =0.123s ，如图6图6-上升时间由上可知，虽然系统的超调量增大了，但系统的上升时间和调节时间都缩短了，系统的性能有所提高。
由系统的根轨迹可以得到校正后的根轨迹左移，从而提高了系统的相对稳定性，缩短了系统的调节时间。
图7-校正前结构图Step ResponseTime (sec)A m p l i t u d e00.51 1.52 2.53 3.50.20.40.60.811.21.4校正前的校正后的System: Gx_close Rise Time (sec): 0.123System: Gy_close Rise Time (sec): 0.582.30.03s +0.35s +s32T rans fer FcnStepScope图8-校正后结构图系统单位阶跃响应对比图9-系统校正前后单位阶跃响应1.016s+10.0404s+1Transfer Fcn12.30.03s +0.35s +s32Transfer FcnStepScope。
