2017年天津市高考数学试卷理科【精选文档版】

绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证填写在答题考上，并在规定位置粘贴考试用条形码。

答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标。

2.本卷共8小题，每小题5分，共40分。

参考公式：ABAB相互独立，那么，，互斥，那么·如果事件·如果事件PABPAPBPABPAPB)．)=)=((()+( )． ) (∪(43??RV ShV. ·棱柱的体积公式 =·球的体积公式. 3R S表示球的半径．其中其中表示棱柱的底面面积，h表示棱柱的高．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.A?{1,2,6},B?{2,4},C?{x?R|?1?x?5}(AB)C?，则）设集合（15}?1?xR{{{2}1,2,4}1,2,4,6}{x?|?（D）（A）（BC））（2x?y?0,??x?2y?2?0,?z?x?y y,x的最大值为则目标函数2）设变量满足约束条件（?x?0,??y?3,?23（B）1（C）（D））A（3 32NN 的值为，则输出24的值为）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入3（．（A）0 （B）1（C）2（D）3ππ1?????|sin?|R?”的（4”是“）设，则“12122（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件22yx20)??0,b??1(aP(0,4)FF两点的直线平，和5）已知双曲线离心率为.若经过的左焦点为（22ab行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为22222222yyyxxxyx??1??1??1??1（A（ B））（D（C））44884884 0.8ab)(2b?g，，）已知奇函数在R上是增函数，.若，则，，（6(3)gf(x)c?g(x)?xf(x)5.1)?a?g(log2c的大小关系为（A）（B）（C）（D）acb?cb?ac?b?a?c?b?a?5????????.，其中若，且的最小（7）设函数，，，?)|)?f(x)?2sin(|x?f(x0?x?R f(?02)?)f(88正周期大于，则?2?11?????2???2????????，（（（A）C），（ B），D ），??????????2412324333122??x?3,x?x1,x?xa?(x)f 的取R在，若关于设（8）已知函数上恒成立，则的不等式R a?|a|?xf()??22x?,x?1.?x?值范围是474739393,2]?2[）D）（（）B（）A（C]2?3,]?[,[,2]?[16161616第Ⅱ卷．注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。

2017年天津市高考数学试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）设集合A={1，2，6}，B={2，4}，C={x∈R|﹣1≤x≤5}，则（A∪B）∩C=（）A．{2}B．{1，2，4}C．{1，2，4，5}D．{x∈R|﹣1≤x≤5}2．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+y的最大值为（）A．B．1 C．D．33．（5分）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为24，则输出N的值为（）A．0 B．1 C．2 D．34．（5分）设θ∈R，则“|θ﹣|＜”是“sinθ＜”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点为F，离心率为．若经过F和P（0，4）两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（）A．=1 B．=1 C．=1 D．=16．（5分）已知奇函数f（x）在R上是增函数，g（x）=xf（x）．若a=g（﹣log25.1），b=g（20.8），c=g（3），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a7．（5分）设函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，|φ|＜x．若f（）=2，f（）=0，且f（x）的最小正周期大于2π，则（）A．ω=，φ=B．ω=，φ=﹣C．ω=，φ=﹣D．ω=，φ=8．（5分）已知函数f（x）=，设a∈R，若关于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，则a的取值范围是（）A．[﹣，2]B．[﹣，]C．[﹣2，2] D．[﹣2，]二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）已知a∈R，i为虚数单位，若为实数，则a的值为．10．（5分）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为．11．（5分）在极坐标系中，直线4ρcos（θ﹣）+1=0与圆ρ=2sinθ的公共点的个数为．12．（5分）若a，b∈R，ab＞0，则的最小值为．13．（5分）在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若=2，=λ﹣（λ∈R），且=﹣4，则λ的值为．14．（5分）用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有个．（用数字作答）三.解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a＞b，a=5，c=6，sinB=．（Ⅰ）求b和sinA的值；（Ⅱ）求sin（2A+）的值．16．（13分）从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，．（Ⅰ）设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅱ）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．17．（13分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2．（Ⅰ）求证：MN∥平面BDE；（Ⅱ）求二面角C﹣EM﹣N的正弦值；（Ⅲ）已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为，求线段AH的长．18．（13分）已知{a n}为等差数列，前n项和为S n（n∈N+），{b n}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4﹣2a1，S11=11b4．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a2n b2n﹣1}的前n项和（n∈N+）．19．（14分）设椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，离心率为．已知A是抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，F到抛物线的准线l的距离为．（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II）设l上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B（B异于A），直线BQ与x轴相交于点D．若△APD的面积为，求直线AP的方程．20．（14分）设a∈Z，已知定义在R上的函数f（x）=2x4+3x3﹣3x2﹣6x+a在区间（1，2）内有一个零点x0，g（x）为f（x）的导函数．（Ⅰ）求g（x）的单调区间；（Ⅱ）设m∈[1，x0）∪（x0，2]，函数h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m），求证：h（m）h（x0）＜0；（Ⅲ）求证：存在大于0的常数A，使得对于任意的正整数p，q，且∈[1，x0）∪（x0，2]，满足|﹣x0|≥．2017年天津市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）（2017•天津）设集合A={1，2，6}，B={2，4}，C={x∈R|﹣1≤x≤5}，则（A∪B）∩C=（）A．{2}B．{1，2，4}C．{1，2，4，5}D．{x∈R|﹣1≤x≤5}【分析】由并集概念求得A∪B，再由交集概念得答案．【解答】解：∵A={1，2，6}，B={2，4}，∴A∪B={1，2，4，6}，又C={x∈R|﹣1≤x≤5}，∴（A∪B）∩C={1，2，4}．故选：B．2．（5分）（2017•天津）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+y的最大值为（）A．B．1 C．D．3【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解即可．【解答】解：变量x，y满足约束条件的可行域如图：目标函数z=x+y结果可行域的A点时，目标函数取得最大值，由可得A（0，3），目标函数z=x+y的最大值为：3．故选：D．3．（5分）（2017•天津）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为24，则输出N的值为（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】根据程序框图，进行模拟计算即可．【解答】解：第一次N=24，能被3整除，N=≤3不成立，第二次N=8，8不能被3整除，N=8﹣1=7，N=7≤3不成立，第三次N=7，不能被3整除，N=7﹣1=6，N==2≤3成立，输出N=2，故选：C4．（5分）（2017•天津）设θ∈R，则“|θ﹣|＜”是“sinθ＜”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】运用绝对值不等式的解法和正弦函数的图象和性质，化简两已知不等式，结合充分必要条件的定义，即可得到结论．【解答】解：|θ﹣|＜⇔﹣＜θ﹣＜⇔0＜θ＜，sinθ＜⇔﹣+2kπ＜θ＜+2kπ，k∈Z，则（0，）⊂[﹣+2kπ，+2kπ]，k∈Z，可得“|θ﹣|＜”是“sinθ＜”的充分不必要条件．故选：A．5．（5分）（2017•天津）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点为F，离心率为．若经过F和P（0，4）两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（）A．=1 B．=1 C．=1 D．=1【分析】由双曲线的离心率为，则双曲线为等轴双曲线，即渐近线方程为y=±x，根据直线的斜率公式，即可求得c的值，求得a和b的值，即可求得双曲线方程．【解答】解：设双曲线的左焦点F（﹣c，0），离心率e==，c=a，则双曲线为等轴双曲线，即a=b，双曲线的渐近线方程为y=±x=±x，则经过F和P（0，4）两点的直线的斜率k==，则=1，c=4，则a=b=2，∴双曲线的标准方程：；故选B．6．（5分）（2017•天津）已知奇函数f（x）在R上是增函数，g（x）=xf（x）．若a=g（﹣log25.1），b=g（20.8），c=g（3），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a【分析】由奇函数f（x）在R上是增函数，则g（x）=xf（x）偶函数，且在（0，+∞）单调递增，则a=g（﹣log25.1）=g（log25.1），则2＜﹣log25.1＜3，1＜20.8＜2，即可求得b＜a＜c【解答】解：奇函数f（x）在R上是增函数，当x＞0，f（x）＞f（0）=0，且f′（x）＞0，∴g（x）=xf（x），则g′（x）=f（x）+xf′（x）＞0，∴g（x）在（0，+∞）单调递增，且g（x）=xf（x）偶函数，∴a=g（﹣log25.1）=g（log25.1），则2＜﹣log25.1＜3，1＜20.8＜2，由g（x）在（0，+∞）单调递增，则g（20.8）＜g（log25.1）＜g（3），∴b＜a＜c，故选C．7．（5分）（2017•天津）设函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，|φ|＜x．若f（）=2，f（）=0，且f（x）的最小正周期大于2π，则（）A．ω=，φ=B．ω=，φ=﹣C．ω=，φ=﹣D．ω=，φ=【分析】由题意求得，再由周期公式求得ω，最后由若f（）=2求得φ值．【解答】解：由f（x）的最小正周期大于2π，得，又f（）=2，f（）=0，得，∴T=3π，则，即．∴f（x）=2sin（ωx+φ）=2sin（x+φ），由f（）=，得sin（φ+）=1．∴φ+=，k∈Z．取k=0，得φ=＜π．∴，φ=．故选：A．8．（5分）（2017•天津）已知函数f（x）=，设a∈R，若关于x 的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，则a的取值范围是（）A．[﹣，2]B．[﹣，]C．[﹣2，2] D．[﹣2，]【分析】讨论当x≤1时，运用绝对值不等式的解法和分离参数，可得﹣x2+x ﹣3≤a≤x2﹣x+3，再由二次函数的最值求法，可得a的范围；讨论当x＞1时，同样可得﹣（x+）≤a≤+，再由基本不等式可得最值，可得a的范围，求交集即可得到所求范围．【解答】解：当x≤1时，关于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，即为﹣x2+x﹣3≤+a≤x2﹣x+3，即有﹣x2+x﹣3≤a≤x2﹣x+3，由y=﹣x2+x﹣3的对称轴为x=＜1，可得x=处取得最大值﹣；由y=x2﹣x+3的对称轴为x=＜1，可得x=处取得最小值，则﹣≤a≤①当x＞1时，关于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，即为﹣（x+）≤+a≤x+，即有﹣（x+）≤a≤+，由y=﹣（x+）≤﹣2=﹣2（当且仅当x=＞1）取得最大值﹣2；由y=x+≥2=2（当且仅当x=2＞1）取得最小值2．则﹣2≤a≤2②由①②可得，﹣≤a≤2．故选：A．二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）（2017•天津）已知a∈R，i为虚数单位，若为实数，则a的值为﹣2．【分析】运用复数的除法法则，结合共轭复数，化简，再由复数为实数的条件：虚部为0，解方程即可得到所求值．【解答】解：a∈R，i为虚数单位，===﹣i由为实数，可得﹣=0，解得a=﹣2．故答案为：﹣2．10．（5分）（2017•天津）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为．【分析】根据正方体和球的关系，得到正方体的体对角线等于直径，结合球的体积公式进行计算即可．【解答】解：设正方体的棱长为a，∵这个正方体的表面积为18，∴6a2=18，则a2=3，即a=，∵一个正方体的所有顶点在一个球面上，∴正方体的体对角线等于球的直径，即a=2R，即R=，则球的体积V=π•（）3=；故答案为：．11．（5分）（2017•天津）在极坐标系中，直线4ρcos（θ﹣）+1=0与圆ρ=2sinθ的公共点的个数为2．【分析】把极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离d，与半径比较即可得出位置关系．【解答】解：直线4ρcos（θ﹣）+1=0展开为：4ρ+1=0，化为：2x+2y+1=0．圆ρ=2sinθ即ρ2=2ρsinθ，化为直角坐标方程：x2+y2=2y，配方为：x2+（y﹣1）2=1．∴圆心C（0，1）到直线的距离d==＜1=R．∴直线4ρcos（θ﹣）+1=0与圆ρ=2sinθ的公共点的个数为2．故答案为：2．12．（5分）（2017•天津）若a，b∈R，ab＞0，则的最小值为4．【分析】两次利用基本不等式，即可求出最小值，需要注意不等式等号成立的条件是什么．【解答】解：a，b∈R，ab＞0，∴≥==4ab+≥2=4，当且仅当，即，即a=，b=或a=﹣，b=﹣时取“=”；∴上式的最小值为4．故答案为：4．13．（5分）（2017•天津）在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若=2，=λ﹣（λ∈R），且=﹣4，则λ的值为．【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用、表示出，再根据平面向量的数量积列出方程求出λ的值．【解答】解：如图所示，△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2，=2，∴=+=+=+（﹣）=+，又=λ﹣（λ∈R），∴=（+）•（λ﹣）=（λ﹣）•﹣+λ=（λ﹣）×3×2×cos60°﹣×32+λ×22=﹣4，∴λ=1，解得λ=．故答案为：．14．（5分）（2017•天津）用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有1080个．（用数字作答）【分析】根据题意，要求四位数中至多有一个数字是偶数，分2种情况讨论：①、四位数中没有一个偶数数字，②、四位数中只有一个偶数数字，分别求出每种情况下四位数的数目，由分类计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：①、四位数中没有一个偶数数字，即在1、3、5、7、9种任选4个，组成一共四位数即可，有A54=120种情况，即有120个没有一个偶数数字四位数；②、四位数中只有一个偶数数字，在1、3、5、7、9种选出3个，在2、4、6、8中选出1个，有C53•C41=40种取法，将取出的4个数字全排列，有A44=24种顺序，则有40×24=960个只有一个偶数数字的四位数；则至多有一个数字是偶数的四位数有120+960=1080个；故答案为：1080．三.解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（13分）（2017•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a＞b，a=5，c=6，sinB=．（Ⅰ）求b和sinA的值；（Ⅱ）求sin（2A+）的值．【分析】（Ⅰ）由已知结合同角三角函数基本关系式求得cosB，再由余弦定理求得b，利用正弦定理求得sinA；（Ⅱ）由同角三角函数基本关系式求得cosA，再由倍角公式求得sin2A，cos2A，展开两角和的正弦得答案．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，∵a＞b，故由sinB=，可得cosB=．由已知及余弦定理，有=13，∴b=．由正弦定理，得sinA=．∴b=，sinA=；（Ⅱ）由（Ⅰ）及a＜c，得cosA=，∴sin2A=2sinAcosA=，cos2A=1﹣2sin2A=﹣．故sin（2A+）==．16．（13分）（2017•天津）从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，．（Ⅰ）设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅱ）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．【分析】（Ⅰ）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，求出对应的概率值，写出它的分布列，计算数学期望值；（Ⅱ）利用相互独立事件同时发生的概率公式计算所求事件的概率值．【解答】解：（Ⅰ）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3；则P（X=0）=（1﹣）×（1﹣）（1﹣）=，P（X=1）=×（1﹣）×（1﹣）+（1﹣）××（1﹣）+（1﹣）×（1﹣）×=，P（X=2）=（1﹣）××+×（1﹣）×+××（1﹣）=，P（X=3）=××=；所以，随机变量X的分布列为X0123P随机变量X的数学期望为E（X）=0×+1×+2×+3×=；（Ⅱ）设Y表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为P（Y+Z=1）=P（Y=0，Z=1）+P（Y=1，Z=0）=P（Y=0）•P（Z=1）+P（Y=1）•P（Z=0）=×+×=；所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为．17．（13分）（2017•天津）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2．（Ⅰ）求证：MN∥平面BDE；（Ⅱ）求二面角C﹣EM﹣N的正弦值；（Ⅲ）已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为，求线段AH的长．【分析】（Ⅰ）取AB中点F，连接MF、NF，由已知可证MF∥平面BDE，NF∥平面BDE．得到平面MFN∥平面BDE，则MN∥平面BDE；（Ⅱ）由PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．可以A为原点，分别以AB、AC、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．求出平面MEN与平面CME的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值得二面角C﹣EM﹣N的余弦值，进一步求得正弦值；（Ⅲ）设AH=t，则H（0，0，t），求出的坐标，结合直线NH与直线BE 所成角的余弦值为列式求得线段AH的长．【解答】（Ⅰ）证明：取AB中点F，连接MF、NF，∵M为AD中点，∴MF∥BD，∵BD⊂平面BDE，MF⊄平面BDE，∴MF∥平面BDE．∵N为BC中点，∴NF∥AC，又D、E分别为AP、PC的中点，∴DE∥AC，则NF∥DE．∵DE⊂平面BDE，NF⊄平面BDE，∴NF∥平面BDE．又MF∩NF=F．∴平面MFN∥平面BDE，则MN∥平面BDE；（Ⅱ）解：∵PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．∴以A为原点，分别以AB、AC、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．∵PA=AC=4，AB=2，∴A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），M（0，0，1），N（1，2，0），E（0，2，2），则，，设平面MEN的一个法向量为，由，得，取z=2，得．由图可得平面CME的一个法向量为．∴cos＜＞=．∴二面角C﹣EM﹣N的余弦值为，则正弦值为；（Ⅲ）解：设AH=t，则H（0，0，t），，．∵直线NH与直线BE所成角的余弦值为，∴|cos＜＞|=||=||=．解得：t=4．∴当H与P重合时直线NH与直线BE所成角的余弦值为，此时线段AH的长为4．18．（13分）（2017•天津）已知{a n}为等差数列，前n项和为S n（n∈N+），{b n}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4﹣2a1，S11=11b4．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a2n b2n﹣1}的前n项和（n∈N+）．【分析】（Ⅰ）设出公差与公比，利用已知条件求出公差与公比，然后求解{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）化简数列的通项公式，利用错位相减法求解数列的和即可．【解答】解：（I）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q．由已知b2+b3=12，得b1（q+q2）=12，而b1=2，所以q+q2﹣6=0．又因为q＞0，解得q=2．所以，b n=2n．由b3=a4﹣2a1，可得3d﹣a1=8①．由S11=11b4，可得a1+5d=16②，联立①②，解得a1=1，d=3，由此可得a n=3n﹣2．所以，数列{a n}的通项公式为a n=3n﹣2，数列{b n}的通项公式为b n=2n．（II）设数列{a2n b2n﹣1}的前n项和为T n，由a2n=6n﹣2，b2n﹣1=4n，有a2n b2n﹣1=（3n﹣1）4n，故T n=2×4+5×42+8×43+…+（3n﹣1）4n，4T n=2×42+5×43+8×44+…+（3n﹣1）4n+1，上述两式相减，得﹣3T n=2×4+3×42+3×43+…+3×4n﹣（3n﹣1）4n+1==﹣（3n﹣2）4n+1﹣8得T n=．所以，数列{a2n b2n﹣1}的前n项和为．19．（14分）（2017•天津）设椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，离心率为．已知A是抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，F到抛物线的准线l的距离为．（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II）设l上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B（B异于A），直线BQ与x轴相交于点D．若△APD的面积为，求直线AP的方程．【分析】（I）根据椭圆和抛物线的定义、性质列方程组求出a，b，p即可得出方程；（II）设AP方程为x=my+1，联立方程组得出B，P，Q三点坐标，从而得出直线BQ的方程，解出D点坐标，根据三角形的面积列方程解出m即可得出答案．【解答】（Ⅰ）解：设F的坐标为（﹣c，0）．依题意可得，解得a=1，c=，p=2，于是b2=a2﹣c2=．所以，椭圆的方程为x2+=1，抛物线的方程为y2=4x．（Ⅱ）解：直线l的方程为x=﹣1，设直线AP的方程为x=my+1（m≠0），联立方程组，解得点P（﹣1，﹣），故Q（﹣1，）．联立方程组，消去x，整理得（3m2+4）y2+6my=0，解得y=0，或y=﹣．∴B（，）．∴直线BQ的方程为（﹣）（x+1）﹣（）（y﹣）=0，令y=0，解得x=，故D（，0）．∴|AD|=1﹣=．又∵△APD的面积为，∴×=，整理得3m2﹣2|m|+2=0，解得|m|=，∴m=±．∴直线AP的方程为3x+y﹣3=0，或3x﹣y﹣3=0．20．（14分）（2017•天津）设a∈Z，已知定义在R上的函数f（x）=2x4+3x3﹣3x2﹣6x+a在区间（1，2）内有一个零点x0，g（x）为f（x）的导函数．（Ⅰ）求g（x）的单调区间；（Ⅱ）设m∈[1，x0）∪（x0，2]，函数h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m），求证：h（m）h（x0）＜0；（Ⅲ）求证：存在大于0的常数A，使得对于任意的正整数p，q，且∈[1，x0）∪（x0，2]，满足|﹣x0|≥．【分析】（Ⅰ）求出函数的导函数g（x）=f′（x）=8x3+9x2﹣6x﹣6，求出极值点，通过列表判断函数的单调性求出单调区间即可．（Ⅱ）由h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m），推出h（m）=g（m）（m﹣x0）﹣f （m），令函数H1（x）=g（x）（x﹣x0）﹣f（x），求出导函数H′1（x）利用（Ⅰ）知，推出h（m）h（x0）＜0．（Ⅲ）对于任意的正整数p，q，且，令m=，函数h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m）．由（Ⅱ）知，当m∈[1，x0）时，当m∈（x0，2]时，通过h（x）的零点．转化推出|﹣x0|=≥=．推出|2p4+3p3q﹣3p2q2﹣6pq3+aq4|≥1．然后推出结果．【解答】（Ⅰ）解：由f（x）=2x4+3x3﹣3x2﹣6x+a，可得g（x）=f′（x）=8x3+9x2﹣6x﹣6，进而可得g′（x）=24x2+18x﹣6．令g′（x）=0，解得x=﹣1，或x=．当x变化时，g′（x），g（x）的变化情况如下表：x（﹣∞，﹣1）（﹣1，）（，+∞）g′（x）+﹣+g（x）↗↘↗所以，g（x）的单调递增区间是（﹣∞，﹣1），（，+∞），单调递减区间是（﹣1，）．（Ⅱ）证明：由h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m），得h（m）=g（m）（m﹣x0）﹣f（m），h（x0）=g（x0）（m﹣x0）﹣f（m）．令函数H1（x）=g（x）（x﹣x0）﹣f（x），则H′1（x）=g′（x）（x﹣x0）．由（Ⅰ）知，当x∈[1，2]时，g′（x）＞0，故当x∈[1，x0）时，H′1（x）＜0，H1（x）单调递减；当x∈（x0，2]时，H′1（x）＞0，H1（x）单调递增．因此，当x∈[1，x0）∪（x0，2]时，H1（x）＞H1（x0）=﹣f（x0）=0，可得H1（m）＞0即h（m）＞0，令函数H2（x）=g（x0）（x﹣x0）﹣f（x），则H′2（x）=g′（x0）﹣g（x）．由（Ⅰ）知，g（x）在[1，2]上单调递增，故当x∈[1，x0）时，H′2（x）＞0，H2（x）单调递增；当x∈（x0，2]时，H′2（x）＜0，H2（x）单调递减．因此，当x∈[1，x0）∪（x0，2]时，H2（x）＞H2（x0）=0，可得得H2（m）＜0即h（x0）＜0，．所以，h（m）h（x0）＜0．（Ⅲ）对于任意的正整数p，q，且，令m=，函数h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m）．由（Ⅱ）知，当m∈[1，x0）时，h（x）在区间（m，x0）内有零点；当m∈（x0，2]时，h（x）在区间（x0，m）内有零点．所以h（x）在（1，2）内至少有一个零点，不妨设为x1，则h（x1）=g（x1）（﹣x0）﹣f（）=0．由（Ⅰ）知g（x）在[1，2]上单调递增，故0＜g（1）＜g（x1）＜g（2），于是|﹣x0|=≥=．因为当x∈[1，2]时，g（x）＞0，故f（x）在[1，2]上单调递增，所以f（x）在区间[1，2]上除x0外没有其他的零点，而≠x0，故f（）≠0．又因为p，q，a均为整数，所以|2p4+3p3q﹣3p2q2﹣6pq3+aq4|是正整数，从而|2p4+3p3q﹣3p2q2﹣6pq3+aq4|≥1．所以|﹣x0|≥．所以，只要取A=g（2），就有|﹣x0|≥．。

2017年天津市高考数学试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 .（5 分）设集合 A={1, 2，6}，B={2, 4}，C={x € R - 1< x < 5}，则（A U B ）n C =（ ）A . {2}B . {1，2，4}C . {1，2，4，5}D. {x € R| - 1<x < 5}为（ ） A .B . 1C . — D. 3 3 23. （5分）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入 N 的值为24,则输（5分）设变量x ，y 满足约束条件则目标函数 z=x+y 的最大值■JV JT4 . （5 分）设氏 R ,则 “ 9-— | <— ”是 “ sin<9”的 A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件=1 （a >0, b >0）的左焦点为F ,离心率为比丄 若经过F 和P （0, 4）两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，贝U 双曲线的方程为（ ）出N 的值为（25. （5分）已知双曲线兰臣=16. (5分)已知奇函数f (x )在R 上是增函数，g (x ) =x f (x ).若a=g (- log 25.1), b=g (20'8), c=g (3),则 a , b , c 的大小关系为( A . a v b v c B. c v b v a C. b v a v c D . b v c v a .填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分.十为实数,则a 的值为 .10. （5分）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积 为18 ,则这个球的体积为 ________ .11. （5分）在极坐标系中，直线4p co （ 9- 个数为13. (5 分)在厶 ABC 中,/ A=60° ° AB=3, € R ）,且厶-―二-4,贝U 入的值为14. （5 分）用数字 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有 三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算 步骤.15. （13分）在厶ABC 中，内角A , B, C 所对的边分别为a , b , c .已知a >b ,A .二4 4B . 4=18 82 X 2 yV7. (5 分)设函数 f (x ) =2sin (^x©), x € R ,其中 3> 0 , | © v x . 若 f ( 5JT~8~A . C . =0,且f （x ）的最小正周期大于2n£CD— 11兀123'(5 分) 已知函数f （x ）,设 a € R, 若关于x 的不等式f （x ）> Hy+a|在R 上恒成立，贝U 16 a 的取值范围是（）A .[-,2] B .[-47 16 39 16]C. [ - 2_ ； , 2]D. [-2 ；，-T9. （5分）已知a € R , i 为虚数单位，若）+仁0与圆p =2sin 的公共点的12. (5分)若 a , b € R , ab >0,则a^+4b 4+lab的最小值为AC=2若而=尿,75=就-忑（入8 , 9组成没有重复数字，且至多有 个.（用数字作答）=1 D .=2, fD .a=5, c=6, sinB 土.5 (I ) 求 b 和 si nA 的值； (U )求 sin (2A+—)的值.4(I )设X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X 的分布列和 数学期望;(U)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这 2辆车共遇到1个红灯的概率.17. (13分)如图，在三棱锥 P -ABC 中，PA!底面ABC, / BAC=90.点D , E , N 分别为棱PA PC, BC 的中点，M 是线段AD 的中点，PA=AC=4 AB=2. (I )求证：MN //平面BDE(II )求二面角C- EM - N 的正弦值；(m)已知点H 在棱PA 上,且直线NH 与直线BE 所成角的余弦值为二Q ,求线18. (13分)已知｛a n ｝为等差数列，前n 项和为S h (n € N +), ｛b n ｝是首项为2的 等比数列，且公比大于 0, b 2+b 3=12, b 3=a 4- 2a 1, Sn=11b 4. (I )求｛a n ｝和｛b n ｝的通项公式； (I )求数列｛a 2n b 2n -1｝的前n 项和(n € N +).16. (13分)从甲地到乙地要经过 3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立, 且在各路口遇到红灯的概率分别为 1 112, 3 4段AH 的长.2•已知A 是抛物线y 2=2px (p >0)的焦点，F 到抛物线的准线I 的距离为寺. (I) 求椭圆的方程和抛物线的方程；(II) 设I 上两点P , Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B ( B 异于A )，直线BQ 与x 轴相交于点。

2017年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题考上，并在规定位置粘贴考试用条形码.答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.2.本卷共8小题，每小题5分，共40分.参考公式：·如果事件 A ，B 互斥，那么P (A ∪B )=P (A )+P (B )．·如果事件 A ，B 相互独立，那么 P (AB )=P (A ) P (B )．·棱柱的体积公式V =Sh . 其中S 表示棱柱的底面面积，h 表示棱柱的高．·球的体积公式343V R =π.其中R 表示球的半径．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{1,2,6},{2,4},{|15}A B C x x ===∈-≤≤R ，则()A B C =U I （ ）A.{2}B.{1,2,4}C.{1,2,4,6}D.{|15}x x ∈-≤≤R2.设变量,x y 满足约束条件20,220,0,3,x y x y x y +≥⎧⎪+-≥⎪⎨≤⎪⎪≤⎩则目标函数z x y =+的最大值为（ ） A.23 B.1 C.32D.3 3.阅读下面的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为24，则输出N 的值为（ ）A.0B.1C.2D.34.设θ∈R ，则“ππ||1212θ-<”是“1sin 2θ<”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，离 心率为2.若经过F 和(0,4)P 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（ ）A.22144x y -=B.22188x y -=C.22148x y -=D.22184x y -=6.已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =.若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A.a b c <<B.c b a <<C.b a c <<D.b c a <<7.设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，||ϕ<π.若5()28f π=，()08f 11π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则（ ） A.23ω=,12ϕπ= B.23ω=,12ϕ11π=- C.13ω=,24ϕ11π=- D.13ω=,24ϕ7π= 8.已知函数23,1,()2, 1.x x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩设a ∈R ，若关于x 的不等式()||2x f x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是（ ） A.47[,2]16-B.4739[,]1616-C.[-D.39[]16- 第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2．本卷共12小题，共110分.二. 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.已知a ∈R ，i 为虚数单位，若i 2ia -+为实数，则a 的值为 . 10.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 .11.在极坐标系中，直线4cos()106ρθπ-+=与圆2sin ρθ=的公共点的个数为___________. 12.若,a b ∈R ，0ab >，则4441a b ab ++的最小值为___________. 13.在ABC △中，60A =︒∠，3AB =，2AC =.若2BD DC =u u u r u u u r ，()AE AC AB λλ∈=-R u u u r u u u r u u u r ，且4AD AE ⋅=-u u u r u u u r ，则λ的值为___________.14.用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有___________个.（用数字作答）三. 解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.（本小题满分13分）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知a b >，5,6a c ==，3sin 5B =. （Ⅰ）求b 和sin A 的值；。

2017年天津市高考数学试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）设集合A={1，2，6}，B={2，4}，C={x∈R|﹣1≤x≤5}，则（A∪B）∩C=（）A．{2} B．{1，2，4} C．{1，2，4，5} D．{x∈R|﹣1≤x≤5}2．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+y的最大值为（）A．B．1 C．D．33．（5分）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为24，则输出N的值为（）A．0 B．1 C．2 D．34．（5分）设θ∈R，则“|θ﹣|＜”是“sinθ＜”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点为F，离心率为．若经过F和P（0，4）两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（）A．=1 B．=1 C．=1 D．=16．（5分）已知奇函数f（x）在R上是增函数，g（x）=xf（x）．若a=g（﹣log25.1），b=g（20.8），c=g（3），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a7．（5分）设函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，|φ|＜x．若f （）=2，f（）=0，且f（x）的最小正周期大于2π，则（）A．ω=，φ=B．ω=，φ=﹣C．ω=，φ=﹣D．ω=，φ=8．（5分）已知函数f（x）=，设a∈R，若关于x的不等式f （x）≥|+a|在R上恒成立，则a的取值范围是（）A．[﹣，2] B．[﹣，] C．[﹣2，2] D．[﹣2，]二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）已知a∈R，i为虚数单位，若为实数，则a的值为．10．（5分）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为．11．（5分）在极坐标系中，直线4ρcos（θ﹣）+1=0与圆ρ=2sinθ的公共点的个数为．12．（5分）若a，b∈R，ab＞0，则的最小值为．13．（5分）在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若=2，=λ﹣（λ∈R），且=﹣4，则λ的值为．14．（5分）用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有个．（用数字作答）三.解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a＞b，a=5，c=6，sinB=．（Ⅰ）求b和sinA的值；（Ⅱ）求sin（2A+）的值．16．（13分）从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，．（Ⅰ）设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅱ）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．17．（13分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2．（Ⅰ）求证：MN∥平面BDE；（Ⅱ）求二面角C﹣EM﹣N的正弦值；（Ⅲ）已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为，求线段AH的长．18．（13分）已知{a n}为等差数列，前n项和为S n（n∈N+），{b n}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4﹣2a1，S11=11b4．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a2n b2n﹣1}的前n项和（n∈N+）．19．（14分）设椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，离心率为．已知A是抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，F到抛物线的准线l的距离为．（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II）设l上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B（B异于A），直线BQ与x轴相交于点D．若△APD的面积为，求直线AP的方程．20．（14分）设a∈Z，已知定义在R上的函数f（x）=2x4+3x3﹣3x2﹣6x+a在区间（1，2）内有一个零点x0，g（x）为f（x）的导函数．（Ⅰ）求g（x）的单调区间；（Ⅱ）设m∈[1，x0）∪（x0，2]，函数h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m），求证：h（m）h（x0）＜0；（Ⅲ）求证：存在大于0的常数A，使得对于任意的正整数p，q，且∈[1，x0）∪（x0，2]，满足|﹣x0|≥．2017年天津市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）设集合A={1，2，6}，B={2，4}，C={x∈R|﹣1≤x≤5}，则（A∪B）∩C=（）A．{2} B．{1，2，4} C．{1，2，4，5} D．{x∈R|﹣1≤x≤5}【分析】由并集概念求得A∪B，再由交集概念得答案．【解答】解：∵A={1，2，6}，B={2，4}，∴A∪B={1，2，4，6}，又C={x∈R|﹣1≤x≤5}，∴（A∪B）∩C={1，2，4}．故选：B．【点评】本题考查交、并、补集的混合运算，是基础题．2．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+y的最大值为（）A．B．1 C．D．3【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解即可．【解答】解：变量x，y满足约束条件的可行域如图：目标函数z=x+y结果可行域的A点时，目标函数取得最大值，由可得A（0，3），目标函数z=x+y的最大值为：3．故选：D．【点评】本题考查线性规划的简单应用，考查计算能力以及数形结合思想的应用．3．（5分）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为24，则输出N的值为（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】根据程序框图，进行模拟计算即可．【解答】解：第一次N=24，能被3整除，N=≤3不成立，第二次N=8，8不能被3整除，N=8﹣1=7，N=7≤3不成立，第三次N=7，不能被3整除，N=7﹣1=6，N==2≤3成立，输出N=2，故选：C【点评】本题主要考查程序框图的识别和应用，根据条件进行模拟计算是解决本题的关键．4．（5分）设θ∈R，则“|θ﹣|＜”是“sinθ＜”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】运用绝对值不等式的解法和正弦函数的图象和性质，化简两已知不等式，结合充分必要条件的定义，即可得到结论．【解答】解：|θ﹣|＜⇔﹣＜θ﹣＜⇔0＜θ＜，sinθ＜⇔﹣+2kπ＜θ＜+2kπ，k∈Z，则（0，）⊂[﹣+2kπ，+2kπ]，k∈Z，可得“|θ﹣|＜”是“sinθ＜”的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查充分必要条件的判断，同时考查正弦函数的图象和性质，运用定义法和正确解不等式是解题的关键，属于基础题．5．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点为F，离心率为．若经过F和P（0，4）两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（）A．=1 B．=1 C．=1 D．=1【分析】由双曲线的离心率为，则双曲线为等轴双曲线，即渐近线方程为y=±x，根据直线的斜率公式，即可求得c的值，求得a和b的值，即可求得双曲线方程．【解答】解：设双曲线的左焦点F（﹣c，0），离心率e==，c=a，则双曲线为等轴双曲线，即a=b，双曲线的渐近线方程为y=±x=±x，则经过F和P（0，4）两点的直线的斜率k==，则=1，c=4，则a=b=2，∴双曲线的标准方程：；故选B．【点评】本题考查双曲线的简单几何性质，等轴双曲线的应用，属于中档题．6．（5分）已知奇函数f（x）在R上是增函数，g（x）=xf（x）．若a=g（﹣log25.1），b=g（20.8），c=g（3），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a【分析】由奇函数f（x）在R上是增函数，则g（x）=xf（x）偶函数，且在（0，+∞）单调递增，则a=g（﹣log25.1）=g（log25.1），则2＜﹣log25.1＜3，1＜20.8＜2，即可求得b＜a＜c【解答】解：奇函数f（x）在R上是增函数，当x＞0，f（x）＞f（0）=0，且f′（x）＞0，∴g（x）=xf（x），则g′（x）=f（x）+xf′（x）＞0，∴g（x）在（0，+∞）单调递增，且g（x）=xf（x）偶函数，∴a=g（﹣log25.1）=g（log25.1），则2＜﹣log25.1＜3，1＜20.8＜2，由g（x）在（0，+∞）单调递增，则g（20.8）＜g（log25.1）＜g（3），∴b＜a＜c，故选C．【点评】本题考查函数奇偶性，考查函数单调性的应用，考查转化思想，属于基础题．7．（5分）设函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，|φ|＜x．若f （）=2，f（）=0，且f（x）的最小正周期大于2π，则（）A．ω=，φ=B．ω=，φ=﹣C．ω=，φ=﹣D．ω=，φ=【分析】由题意求得，再由周期公式求得ω，最后由若f（）=2求得φ值．【解答】解：由f（x）的最小正周期大于2π，得，又f（）=2，f（）=0，得，∴T=3π，则，即．∴f（x）=2sin（ωx+φ）=2sin（x+φ），由f（）=，得sin（φ+）=1．∴φ+=，k∈Z．取k=0，得φ=＜π．∴，φ=．故选：A．【点评】本题考查由三角函数的部分图象求解析式，考查y=Asin（ωx+φ）型函数的性质，是中档题．8．（5分）已知函数f（x）=，设a∈R，若关于x的不等式f （x）≥|+a|在R上恒成立，则a的取值范围是（）A．[﹣，2] B．[﹣，] C．[﹣2，2] D．[﹣2，]【分析】讨论当x≤1时，运用绝对值不等式的解法和分离参数，可得﹣x2+x﹣3≤a≤x2﹣x+3，再由二次函数的最值求法，可得a的范围；讨论当x＞1时，同样可得﹣（x+）≤a≤+，再由基本不等式可得最值，可得a的范围，求交集即可得到所求范围．【解答】解：当x≤1时，关于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，即为﹣x2+x﹣3≤+a≤x2﹣x+3，即有﹣x2+x﹣3≤a≤x2﹣x+3，由y=﹣x2+x﹣3的对称轴为x=＜1，可得x=处取得最大值﹣；由y=x2﹣x+3的对称轴为x=＜1，可得x=处取得最小值，则﹣≤a≤①当x＞1时，关于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，即为﹣（x+）≤+a≤x+，即有﹣（x+）≤a≤+，由y=﹣（x+）≤﹣2=﹣2（当且仅当x=＞1）取得最大值﹣2；由y=x+≥2=2（当且仅当x=2＞1）取得最小值2．则﹣2≤a≤2②由①②可得，﹣≤a≤2．故选：A．【点评】本题考查分段函数的运用，不等式恒成立问题的解法，注意运用分类讨论和分离参数法，以及转化思想的运用，分别求出二次函数和基本不等式求最值是解题的关键，属于中档题．二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）已知a∈R，i为虚数单位，若为实数，则a的值为﹣2 ．【分析】运用复数的除法法则，结合共轭复数，化简，再由复数为实数的条件：虚部为0，解方程即可得到所求值．【解答】解：a∈R，i为虚数单位，===﹣i由为实数，可得﹣=0，解得a=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查复数的乘除运算，注意运用共轭复数，同时考查复数为实数的条件：虚部为0，考查运算能力，属于基础题．10．（5分）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为．【分析】根据正方体和球的关系，得到正方体的体对角线等于直径，结合球的体积公式进行计算即可．【解答】解：设正方体的棱长为a，∵这个正方体的表面积为18，∴6a2=18，则a2=3，即a=，∵一个正方体的所有顶点在一个球面上，∴正方体的体对角线等于球的直径，即a=2R，即R=，则球的体积V=π•（）3=；故答案为：．【点评】本题主要考查空间正方体和球的关系，利用正方体的体对角线等于直径，结合球的体积公式是解决本题的关键．11．（5分）在极坐标系中，直线4ρcos（θ﹣）+1=0与圆ρ=2sinθ的公共点的个数为 2 ．【分析】把极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离d，与半径比较即可得出位置关系．【解答】解：直线4ρcos（θ﹣）+1=0展开为：4ρ+1=0，化为：2x+2y+1=0．圆ρ=2sinθ即ρ2=2ρsinθ，化为直角坐标方程：x2+y2=2y，配方为：x2+（y﹣1）2=1．∴圆心C（0，1）到直线的距离d==＜1=R．∴直线4ρcos（θ﹣）+1=0与圆ρ=2sinθ的公共点的个数为2．故答案为：2．【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．（5分）若a，b∈R，ab＞0，则的最小值为 4 ．【分析】两次利用基本不等式，即可求出最小值，需要注意不等式等号成立的条件是什么．【解答】解：a，b∈R，ab＞0，∴≥==4ab+≥2=4，当且仅当，即，即a=，b=或a=﹣，b=﹣时取“=”；∴上式的最小值为4．故答案为：4．【点评】本题考查了基本不等式的应用问题，是中档题．13．（5分）在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若=2，=λ﹣（λ∈R），且=﹣4，则λ的值为．【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用、表示出，再根据平面向量的数量积列出方程求出λ的值．【解答】解：如图所示，△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2，=2，∴=+=+=+（﹣）=+，又=λ﹣（λ∈R），∴=（+）•（λ﹣）=（λ﹣）•﹣+λ=（λ﹣）×3×2×cos60°﹣×32+λ×22=﹣4，∴λ=1，解得λ=．故答案为：．【点评】本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算问题，是中档题．14．（5分）用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有1080 个．（用数字作答）【分析】根据题意，要求四位数中至多有一个数字是偶数，分2种情况讨论：①、四位数中没有一个偶数数字，②、四位数中只有一个偶数数字，分别求出每种情况下四位数的数目，由分类计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：①、四位数中没有一个偶数数字，即在1、3、5、7、9种任选4个，组成一共四位数即可，有A54=120种情况，即有120个没有一个偶数数字四位数；②、四位数中只有一个偶数数字，在1、3、5、7、9种选出3个，在2、4、6、8中选出1个，有C53•C41=40种取法，将取出的4个数字全排列，有A44=24种顺序，则有40×24=960个只有一个偶数数字的四位数；则至多有一个数字是偶数的四位数有120+960=1080个；故答案为：1080．【点评】本题考查排列、组合的综合应用，注意要分类讨论．三.解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a＞b，a=5，c=6，sinB=．（Ⅰ）求b和sinA的值；（Ⅱ）求sin（2A+）的值．【分析】（Ⅰ）由已知结合同角三角函数基本关系式求得cosB，再由余弦定理求得b，利用正弦定理求得sinA；（Ⅱ）由同角三角函数基本关系式求得cosA，再由倍角公式求得sin2A，cos2A，展开两角和的正弦得答案．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，∵a＞b，故由sinB=，可得cosB=．由已知及余弦定理，有=13，∴b=．由正弦定理，得sinA=．∴b=，sinA=；（Ⅱ）由（Ⅰ）及a＜c，得cosA=，∴sin2A=2sinAcosA=，cos2A=1﹣2sin2A=﹣．故sin（2A+）==．【点评】本题考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，考查倍角公式的应用，是中档题．16．（13分）从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，．（Ⅰ）设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅱ）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．【分析】（Ⅰ）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，求出对应的概率值，写出它的分布列，计算数学期望值；（Ⅱ）利用相互独立事件同时发生的概率公式计算所求事件的概率值．【解答】解：（Ⅰ）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3；则P（X=0）=（1﹣）×（1﹣）（1﹣）=，P（X=1）=×（1﹣）×（1﹣）+（1﹣）××（1﹣）+（1﹣）×（1﹣）×=，P（X=2）=（1﹣）××+×（1﹣）×+××（1﹣）=，P（X=3）=××=；所以，随机变量X的分布列为X0123P随机变量X的数学期望为E（X）=0×+1×+2×+3×=；（Ⅱ）设Y表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为P（Y+Z=1）=P（Y=0，Z=1）+P（Y=1，Z=0）=P（Y=0）•P（Z=1）+P（Y=1）•P（Z=0）=×+×=；所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为．【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，是中档题．17．（13分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2．（Ⅰ）求证：MN∥平面BDE；（Ⅱ）求二面角C﹣EM﹣N的正弦值；（Ⅲ）已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为，求线段AH的长．【分析】（Ⅰ）取AB中点F，连接MF、NF，由已知可证MF∥平面BDE，NF∥平面BDE．得到平面MFN∥平面BDE，则MN∥平面BDE；（Ⅱ）由PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．可以A为原点，分别以AB、AC、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．求出平面MEN与平面CME的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值得二面角C﹣EM﹣N的余弦值，进一步求得正弦值；（Ⅲ）设AH=t，则H（0，0，t），求出的坐标，结合直线NH与直线BE所成角的余弦值为列式求得线段AH的长．【解答】（Ⅰ）证明：取AB中点F，连接MF、NF，∵M为AD中点，∴MF∥BD，∵BD⊂平面BDE，MF⊄平面BDE，∴MF∥平面BDE．∵N为BC中点，∴NF∥AC，又D、E分别为AP、PC的中点，∴DE∥AC，则NF∥DE．∵DE⊂平面BDE，NF⊄平面BDE，∴NF∥平面BDE．又MF∩NF=F．∴平面MFN∥平面BDE，则MN∥平面BDE；（Ⅱ）解：∵PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．∴以A为原点，分别以AB、AC、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．∵PA=AC=4，AB=2，∴A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），M（0，0，1），N（1，2，0），E（0，2，2），则，，设平面MEN的一个法向量为，由，得，取z=2，得．由图可得平面CME的一个法向量为．∴cos＜＞=．∴二面角C﹣EM﹣N的余弦值为，则正弦值为；（Ⅲ）解：设AH=t，则H（0，0，t），，．∵直线NH与直线BE所成角的余弦值为，∴|cos＜＞|=||=||=．解得：t=4．∴当H与P重合时直线NH与直线BE所成角的余弦值为，此时线段AH的长为4．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查了利用空间向量求解空间角，考查计算能力，是中档题．18．（13分）已知{a n}为等差数列，前n项和为S n（n∈N+），{b n}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4﹣2a1，S11=11b4．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a2n b2n﹣1}的前n项和（n∈N+）．【分析】（Ⅰ）设出公差与公比，利用已知条件求出公差与公比，然后求解{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）化简数列的通项公式，利用错位相减法求解数列的和即可．【解答】解：（I）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q．由已知b2+b3=12，得b1（q+q2）=12，而b1=2，所以q+q2﹣6=0．又因为q＞0，解得q=2．所以，b n=2n．由b3=a4﹣2a1，可得3d﹣a1=8①．由S11=11b4，可得a1+5d=16②，联立①②，解得a1=1，d=3，由此可得a n=3n﹣2．所以，数列{a n}的通项公式为a n=3n﹣2，数列{b n}的通项公式为b n=2n．（II）设数列{a2n b2n﹣1}的前n项和为T n，由a2n=6n﹣2，b2n﹣1=4n，有a2n b2n﹣1=（3n﹣1）4n，故T n=2×4+5×42+8×43+…+（3n﹣1）4n，4T n=2×42+5×43+8×44+…+（3n﹣1）4n+1，上述两式相减，得﹣3T n=2×4+3×42+3×43+…+3×4n﹣（3n﹣1）4n+1==﹣（3n﹣2）4n+1﹣8得T n=．所以，数列{a2n b2n﹣1}的前n项和为．【点评】本题考查等差数列以及等比数列的应用，数列求和的方法，考查计算能力．19．（14分）设椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，离心率为．已知A是抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，F到抛物线的准线l的距离为．（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II）设l上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B（B异于A），直线BQ与x轴相交于点D．若△APD的面积为，求直线AP的方程．【分析】（I）根据椭圆和抛物线的定义、性质列方程组求出a，b，p即可得出方程；（II）设AP方程为x=my+1，联立方程组得出B，P，Q三点坐标，从而得出直线BQ的方程，解出D点坐标，根据三角形的面积列方程解出m即可得出答案．【解答】（Ⅰ）解：设F的坐标为（﹣c，0）．依题意可得，解得a=1，c=，p=2，于是b2=a2﹣c2=．所以，椭圆的方程为x2+=1，抛物线的方程为y2=4x．（Ⅱ）解：直线l的方程为x=﹣1，设直线AP的方程为x=my+1（m≠0），联立方程组，解得点P（﹣1，﹣），故Q（﹣1，）．联立方程组，消去x，整理得（3m2+4）y2+6my=0，解得y=0，或y=﹣．∴B（，）．∴直线BQ的方程为（﹣）（x+1）﹣（）（y﹣）=0，令y=0，解得x=，故D（，0）．∴|AD|=1﹣=．又∵△APD的面积为，∴×=，整理得3m2﹣2|m|+2=0，解得|m|=，∴m=±．∴直线AP的方程为3x+y﹣3=0，或3x﹣y﹣3=0．【点评】本题考查了椭圆与抛物线的定义与性质，直线与椭圆的位置关系，属于中档题．20．（14分）设a∈Z，已知定义在R上的函数f（x）=2x4+3x3﹣3x2﹣6x+a在区间（1，2）内有一个零点x0，g（x）为f（x）的导函数．（Ⅰ）求g（x）的单调区间；（Ⅱ）设m∈[1，x0）∪（x0，2]，函数h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m），求证：h（m）h（x0）＜0；（Ⅲ）求证：存在大于0的常数A，使得对于任意的正整数p，q，且∈[1，x0）∪（x0，2]，满足|﹣x0|≥．【分析】（Ⅰ）求出函数的导函数g（x）=f′（x）=8x3+9x2﹣6x﹣6，求出极值点，通过列表判断函数的单调性求出单调区间即可．（Ⅱ）由h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m），推出h（m）=g（m）（m﹣x0）﹣f（m），令函数H1（x）=g（x）（x﹣x0）﹣f（x），求出导函数H′1（x）利用（Ⅰ）知，推出h（m）h（x0）＜0．（Ⅲ）对于任意的正整数p，q，且，令m=，函数h （x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m）．由（Ⅱ）知，当m∈[1，x0）时，当m∈（x0，2]时，通过h（x）的零点．转化推出|﹣x0|=≥=．推出|2p4+3p3q﹣3p2q2﹣6pq3+aq4|≥1．然后推出结果．【解答】（Ⅰ）解：由f（x）=2x4+3x3﹣3x2﹣6x+a，可得g（x）=f′（x）=8x3+9x2﹣6x﹣6，进而可得g′（x）=24x2+18x﹣6．令g′（x）=0，解得x=﹣1，或x=．当x变化时，g′（x），g（x）的变化情况如下表：x（﹣∞，﹣1）（﹣1，）（，+∞）g′（x）+﹣+g（x）↗↘↗所以，g（x）的单调递增区间是（﹣∞，﹣1），（，+∞），单调递减区间是（﹣1，）．（Ⅱ）证明：由h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m），得h（m）=g（m）（m ﹣x0）﹣f（m），h（x0）=g（x0）（m﹣x0）﹣f（m）．令函数H1（x）=g（x）（x﹣x0）﹣f（x），则H′1（x）=g′（x）（x﹣x0）．由（Ⅰ）知，当x∈[1，2]时，g′（x）＞0，故当x∈[1，x0）时，H′1（x）＜0，H1（x）单调递减；当x∈（x0，2]时，H′1（x）＞0，H1（x）单调递增．因此，当x∈[1，x0）∪（x0，2]时，H1（x）＞H1（x0）=﹣f（x0）=0，可得H1（m）＞0即h（m）＞0，令函数H2（x）=g（x0）（x﹣x0）﹣f（x），则H′2（x）=g′（x0）﹣g （x）．由（Ⅰ）知，g（x）在[1，2]上单调递增，故当x∈[1，x0）时，H′2（x）＞0，H2（x）单调递增；当x∈（x0，2]时，H′2（x）＜0，H2（x）单调递减．因此，当x∈[1，x0）∪（x0，2]时，H2（x）＞H2（x0）=0，可得得H2（m）＜0即h（x0）＜0，．所以，h（m）h（x0）＜0．（Ⅲ）对于任意的正整数p，q，且，令m=，函数h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m）．由（Ⅱ）知，当m∈[1，x0）时，h（x）在区间（m，x0）内有零点；当m∈（x0，2]时，h（x）在区间（x0，m）内有零点．所以h（x）在（1，2）内至少有一个零点，不妨设为x1，则h（x1）=g（x1）（﹣x0）﹣f（）=0．由（Ⅰ）知g（x）在[1，2]上单调递增，故0＜g（1）＜g（x1）＜g（2），于是|﹣x0|=≥=．因为当x∈[1，2]时，g（x）＞0，故f（x）在[1，2]上单调递增，所以f（x）在区间[1，2]上除x0外没有其他的零点，而≠x0，故f（）≠0．又因为p，q，a均为整数，所以|2p4+3p3q﹣3p2q2﹣6pq3+aq4|是正整数，从而|2p4+3p3q﹣3p2q2﹣6pq3+aq4|≥1．所以|﹣x0|≥．所以，只要取A=g（2），就有|﹣x0|≥．【点评】本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查分类讨论思想以及转化思想的应用，是难度比较大的题目．参与本试卷答题和审题的老师有：sxs123；qiss；maths；双曲线；铭灏2016；沂蒙松；742048；danbo7801（排名不分先后）菁优网2017年6月9日。

数学试卷 第1页（共20页） 数学试卷 第2页（共20页）绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数 学（理工类）本试卷分为Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷参考公式：·如果事件,A B 互斥，那么()()()P AB P A P B =+.·如果事件,A B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =.·棱柱的体积公式V Sh =.其中S 表示棱柱的底面面积，h 表示棱柱的高. ·球的体积公式343V R π=.其中R 表示球的半径. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}1,2,6A =，{}2,4B =，{}|15C x R x =∈-≤≤，则()A B C =A ．{}2B ．{124}，，C ．16}2{4，，， D ．{}1|5x R x ∈-≤≤2．设变量x ，y 满足约束条件20,220,0,3,x y x y x y +≥⎧⎪+-≥⎪⎨≤⎪⎪≤⎩则目标函数z x y =+的最大值为A ．23B ．1C ．32D ．33．阅读右边所示的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为24，则输出N 的 A ．0B ．1C ．2D ．34．设θ∈R ，则“ππ121||2θ-<”是“1sin 2θ<”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点为F.若经过F 和()0,4P 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为A ．22144y x -= B ．22188y x -= C ．22148y x -= D ．22184y x -=6．已知奇函数f x （）在R 上是增函数，g x xf x =（）（）．若25.1a g log =-（），0.82b g =（），3c g =（），则a ，b ，c 的大小关系为A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．b c a <<7．设函数2sin f x x ωϕ=+（）（），x ∈R ，其中0ω>，πϕ<．若5π28f ⎛⎫=⎪⎝⎭，11π08f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且f x （）的最小正周期大于2π，则 A ．2π,312ωϕ== B ．211π,312ωϕ==-C ．111π,324ωϕ==-D ．17π,324ωϕ==8．已知函数()23,1,2, 1.x x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩设a ∈R ，若关于x 的不等式()2f x a x ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共20页） 数学试卷 第4页（共20页）A ．47,216⎡⎤⎢⎥⎣⎦-B ．4739,1616-⎡⎤⎢⎥⎣⎦C．2-⎡⎤⎣⎦D．3916-⎡⎤⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．已知a ∈R ，i 为虚数单位，若i2ia -+为实数，则a 的值为 ． 10．已知一个正方形的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 ．11．在极坐标系中，直线π4cos 106ρθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭与圆2sin ρθ=的公共点的个数为 ．12．若a ，b ∈R ，0ab >，则4441a b ab++的最小值为 ．13．在ABC ∆中，60A ∠=︒，3AB =，2AC =．若2BD DC =，()AE AC AB R λλ=-∈，且4AD AE ⋅=-，则λ的值为 ．14．用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有 个．（用数字作答）三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知a b >，5a =，6c =，3sin 5B =． （1）求b 和sin A 的值； （2）求π24sin A +（）的值． 16．（本小题满分13分）从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为12，13，14． （1）设X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X 的分布列和数学期望；（2）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．17．（本小题满分13分）如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，90BAC ∠=︒．点D ，E ，N 分别为棱PA ，PC ，BC 的中点，M 是线段AD 的中点，4PA AC ==，2AB =．（1）求证：MN ∥平面BDE ； （2）求二面角C EM N --的正弦值；（3）已知点H 在棱PA 上，且直线NH 与直线BE 所成角的余弦值为21，求线段AH 的长．数学试卷 第5页（共20页） 数学试卷 第6页（共20页）18．（本小题满分13分）已知{}n a 为等差数列，前n 项和为*n S n ∈Ν（），{}n b 是首项为2的等比数列，且公比大于0，2312b b +=，3412b a a =-，11411S b =． （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）求数列{}221n n a b -的前n 项和*n ∈N （）．19．（本小题满分14分）设椭圆222210x y a ba b +=>>（）的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12．已知A 是抛物线()220y px p =>的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12．（1）求椭圆的方程和抛物线的方程；（2）设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B （B 异于点A ），直线BQ 与x 轴相交于点D ．若APD ∆AP 的方程．20．（本小题满分14分）设a Z ∈，已知定义在R 上的函数()4322336f x x x x x a =+--+在区间()12，内有一个零点0x ，()g x 为()f x 的导函数． （1）求()g x 的单调区间；（2）设0012[]m x x ∈，）（，，函数()()()()0h x g x m x f m =--，求证：()()00h m h x <；（3）求证：存在大于0的常数A ，使得对于任意的正整数p ，q ，且00[]12qx x p∈，）（，，满足041p x q Aq -≥．-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________________________ _____________数学试卷 第7页（共20页） 数学试卷 第8页（共20页）2017年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学答案解析1．【答案】B 【解析】{}(){}1,2,4,6,1,2,4AB A BC ==，选项B 符合．【提示】解题时应根据集合的运算法则，以及集合元素的三大特征，借助数轴或图示求解．【考点】集合的运算 2．【答案】D【解析】作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示，由z x y =+得y x z =-+，作出直线y x =-，平移使之经过可行域，观察可知，最优解在()03B，处取得，故max 033z =+=，选项D 符合．【提示】常常需画出约束条件所表示的可行域，画图时一定要注意边界是实线还是虚线，求解时要注意z 的几何意义。

2017年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）第I卷一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. （1）已知全集，集合，集合，则集合（A）（B）（C）（D）（2）设变量、满足约束条件，则目标函数的最大值为（A）（B）（C）（D）（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为（A）（B）（C）（D）（4）设，则“”是“”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件（5）如图，在圆中，、是弦的三等分点，弦、分别经过点、.若，，，则线段的长为（A）（B）（C）（D）（6）已知双曲线的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为（A）（B）（C）（D）（7）已知定义在上的函数（为实数）为偶函数，记，，，则、、的大小关系为（A）（B）（C）（D）（8）已知函数函数，其中，若函数恰有4个零点，则的取值范围是（A）（B）（C）（D）第II卷二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）.（9）是虚数单位，若复数是纯虚数，则实数的值为.（10）一个几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积为.（11）曲线与直线所围成的封闭图形的面积为.（12）在的展开式中，的系数为.（13）在中，内角、、所对的边分别为、、，已知的面积为，，则的值为.（14）在等腰梯形中,已知，，，，动点和分别在线段和上，且，，则的最小值为.三、解答题（本大题共6小题，共80分），解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.（本小题满分13分）已知函数，(I)求最小正周期；(II)求在区间上的最大值和最小值.16.（本小题满分13分）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员名，其中种子选手名；乙协会的运动员名，其中种子选手名.从这名运动员中随机选择人参加比赛.(I)设为事件“选出的人中恰有名种子选手，且这名种子选手来自同一个协会”求事件发生的概率；(II)设为选出的人中种子选手的人数，求随机变量的分布列和数学期望.17.（本小题满分13分）如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，，，且点和分别为和的中点.(I)求证：平面；(II)求二面角的正弦值；(III)设为棱上的点，若直线和平面所成角的正弦值为，求线段的长18.（本小题满分13分）已知数列满足（为实数，且），，，，且，，成等差数列.(I)求的值和的通项公式；(II)设（），求数列的前项和.19.（本小题满分14分）已知椭圆的左焦点为,离心率为，点在椭圆上且位于第一象限，直线被圆截得的线段的长为，.(I)求直线的斜率；(II)求椭圆的方程；(III)设动点在椭圆上，若直线的斜率大于，求直线（为原点）的斜率的取值范围.20.（本小题满分14分）已知函数（），其中，.(I)讨论的单调性；(II)设曲线与轴正半轴的交点为，曲线在点处的切线方程为,求证：对于任意的正实数，都有；(III)若关于的方程（为实数）有两个正实根、，求证：．2017年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）第I卷一、选择题（满分40分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 A C B A A D C D二、填空题（满分30分）9．10．11．12．13．14．三、解答题（满分80分）15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题意可知所以．（Ⅱ）因为，所以，，所以的最小值为，最大值为．16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设事件：“选出的人中恰有名种子选手，且这名种子选手来自同一个协会”．由题意可知，．（Ⅱ）由题意，的可能取值为，，，．由题意可知，，，，．所以的分布列为：所以．17．（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）在,且与交于点，由题意可知四棱柱中，所以，又因为为的中点，所以，,又因为为的中点，所以，．所以四边形是平行四边形．所以．平面因为平面，所以平面．（Ⅱ）以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，如图：则，，，，，,平面的法向量为,为，，，令得，．设平面的法向量为，、为，，，令得，．所以，因为二面角为锐角，所以二面角的正弦值为．（Ⅲ）设，，，．所以．平面的法向量为,由已知得，，解得，所以，线段的长为.18.（本小题满分13分）解：(I)依题意，，．因为，，成等差数列，所以，所以，或者（舍）当时，；当时，。

2017年天津市高考数学试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A={1.2.6}.B={2.4}.C={x∈R|﹣1≤x≤5}.则（A∪B）∩C=（）A．{2} B．{1.2.4} C．{1.2.4.5} D．{x∈R|﹣1≤x≤5}2．（5分）设变量x.y满足约束条件.则目标函数z=x+y的最大值为（）A．B．1 C．D．33．（5分）阅读右面的程序框图.运行相应的程序.若输入N的值为24.则输出N 的值为（）A．0 B．1 C．2 D．34．（5分）设θ∈R.则“|θ﹣|＜”是“sinθ＜”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0.b＞0）的左焦点为F.离心率为．若经过F和P（0.4）两点的直线平行于双曲线的一条渐近线.则双曲线的方程为（）A．=1 B．=1 C．=1 D．=15.1）.b=g 6．（5分）已知奇函数f（x）在R上是增函数.g（x）=xf（x）．若a=g（﹣log2（20.8）.c=g（3）.则a.b.c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a7．（5分）设函数f（x）=2sin（ωx+φ）.x∈R.其中ω＞0.|φ|＜x．若f（）=2.f（）=0.且f（x）的最小正周期大于2π.则（）A．ω=.φ=B．ω=.φ=﹣C．ω=.φ=﹣D．ω=.φ=8．（5分）已知函数f（x）=.设a∈R.若关于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立.则a的取值范围是（）A．[﹣.2] B．[﹣.] C．[﹣2.2] D．[﹣2.]二.填空题：本大题共6小题.每小题5分.共30分.9．（5分）已知a∈R.i为虚数单位.若为实数.则a的值为．10．（5分）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上.若这个正方体的表面积为18.则这个球的体积为．11．（5分）在极坐标系中.直线4ρcos（θ﹣）+1=0与圆ρ=2sinθ的公共点的个数为．12．（5分）若a.b∈R.ab＞0.则的最小值为．13．（5分）在△ABC中.∠A=60°.AB=3.AC=2．若=2.=λ﹣（λ∈R）.且=﹣4.则λ的值为．14．（5分）用数字1.2.3.4.5.6.7.8.9组成没有重复数字.且至多有一个数字是偶数的四位数.这样的四位数一共有个．（用数字作答）三.解答题：本大题共6小题.共80分．解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤．15．（13分）在△ABC中.内角 A.B.C所对的边分别为 a.b.c．已知a＞b.a=5.c=6.sinB=．（Ⅰ）求b和sinA的值；（Ⅱ）求sin（2A+）的值．16．（13分）从甲地到乙地要经过3个十字路口.设各路口信号灯工作相互独立.且在各路口遇到红灯的概率分别为..．（Ⅰ）设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数.求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅱ）若有2辆车独立地从甲地到乙地.求这2辆车共遇到1个红灯的概率．17．（13分）如图.在三棱锥P﹣ABC中.PA⊥底面ABC.∠BAC=90°．点D.E.N分别为棱PA.PC.BC的中点.M是线段AD的中点.PA=AC=4.AB=2．（Ⅰ）求证：MN∥平面BDE；（Ⅱ）求二面角C﹣EM﹣N的正弦值；（Ⅲ）已知点H在棱PA上.且直线NH与直线BE所成角的余弦值为.求线段AH的长．18．（13分）已知{an }为等差数列.前n项和为Sn（n∈N+）.{bn}是首项为2的等比数列.且公比大于0.b2+b3=12.b3=a4﹣2a1.S11=11b4．（Ⅰ）求{an }和{bn}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a2n b2n﹣1}的前n项和（n∈N+）．19．（14分）设椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F.右顶点为A.离心率为．已知A是抛物线y2=2px（p＞0）的焦点.F到抛物线的准线l的距离为．（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II）设l上两点P.Q关于x轴对称.直线AP与椭圆相交于点B（B异于A）.直线BQ与x轴相交于点D．若△APD的面积为.求直线AP的方程．20．（14分）设a∈Z.已知定义在R上的函数f（x）=2x4+3x3﹣3x2﹣6x+a在区间（1.2）内有一个零点x.g（x）为f（x）的导函数．（Ⅰ）求g（x）的单调区间；（Ⅱ）设m∈[1.x0）∪（x.2].函数h（x）=g（x）（m﹣x）﹣f（m）.求证：h（m）h（x）＜0；（Ⅲ）求证：存在大于0的常数A.使得对于任意的正整数p.q.且∈[1.x）∪（x0.2].满足|﹣x|≥．2017年天津市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A={1.2.6}.B={2.4}.C={x∈R|﹣1≤x≤5}.则（A∪B）∩C=（）A．{2} B．{1.2.4} C．{1.2.4.5} D．{x∈R|﹣1≤x≤5}【分析】由并集概念求得A∪B.再由交集概念得答案．【解答】解：∵A={1.2.6}.B={2.4}.∴A∪B={1.2.4.6}.又C={x∈R|﹣1≤x≤5}.∴（A∪B）∩C={1.2.4}．故选：B．【点评】本题考查交、并、补集的混合运算.是基础题．2．（5分）设变量x.y满足约束条件.则目标函数z=x+y的最大值为（）A．B．1 C．D．3【分析】画出约束条件的可行域.利用目标函数的最优解求解即可．【解答】解：变量x.y满足约束条件的可行域如图：目标函数z=x+y结果可行域的A点时.目标函数取得最大值.由可得A（0.3）.目标函数z=x+y的最大值为：3．故选：D．【点评】本题考查线性规划的简单应用.考查计算能力以及数形结合思想的应用．3．（5分）阅读右面的程序框图.运行相应的程序.若输入N的值为24.则输出N 的值为（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】根据程序框图.进行模拟计算即可．【解答】解：第一次N=24.能被3整除.N=≤3不成立.第二次N=8.8不能被3整除.N=8﹣1=7.N=7≤3不成立.第三次N=7.不能被3整除.N=7﹣1=6.N==2≤3成立.输出N=2.故选：C【点评】本题主要考查程序框图的识别和应用.根据条件进行模拟计算是解决本题的关键．4．（5分）设θ∈R.则“|θ﹣|＜”是“sinθ＜”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】运用绝对值不等式的解法和正弦函数的图象和性质.化简两已知不等式.结合充分必要条件的定义.即可得到结论．【解答】解：|θ﹣|＜⇔﹣＜θ﹣＜⇔0＜θ＜.sinθ＜⇔﹣+2kπ＜θ＜+2kπ.k∈Z.则（0.）⊂[﹣+2kπ.+2kπ].k∈Z.可得“|θ﹣|＜”是“sinθ＜”的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查充分必要条件的判断.同时考查正弦函数的图象和性质.运用定义法和正确解不等式是解题的关键.属于基础题．5．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0.b＞0）的左焦点为F.离心率为．若经过F和P（0.4）两点的直线平行于双曲线的一条渐近线.则双曲线的方程为（）A．=1 B．=1 C．=1 D．=1【分析】由双曲线的离心率为.则双曲线为等轴双曲线.即渐近线方程为y=±x.根据直线的斜率公式.即可求得c的值.求得a和b的值.即可求得双曲线方程．【解答】解：设双曲线的左焦点F（﹣c.0）.离心率e==.c= a.则双曲线为等轴双曲线.即a=b.双曲线的渐近线方程为y=±x=±x.则经过F和P（0.4）两点的直线的斜率k==.则=1.c=4.则a=b=2.∴双曲线的标准方程：；故选B．【点评】本题考查双曲线的简单几何性质.等轴双曲线的应用.属于中档题．6．（5分）已知奇函数f（x）在R上是增函数.g（x）=xf（x）．若a=g（﹣log25.1）.b=g （20.8）.c=g（3）.则a.b.c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a【分析】由奇函数f（x）在R上是增函数.则g（x）=xf（x）偶函数.且在（0.+∞）单调递增.则a=g（﹣log25.1）=g（log25.1）.则2＜﹣log25.1＜3.1＜20.8＜2.即可求得b＜a＜c【解答】解：奇函数f（x）在R上是增函数.当x＞0.f（x）＞f（0）=0.且f′（x）＞0.∴g（x）=xf（x）.则g′（x）=f（x）+xf′（x）＞0.∴g（x）在（0.+∞）单调递增.且g（x）=xf（x）偶函数.∴a=g（﹣log25.1）=g（log25.1）.则2＜﹣log25.1＜3.1＜20.8＜2.由g（x）在（0.+∞）单调递增.则g（20.8）＜g（log25.1）＜g（3）.∴b＜a＜c.故选C．【点评】本题考查函数奇偶性.考查函数单调性的应用.考查转化思想.属于基础题．7．（5分）设函数f（x）=2sin（ωx+φ）.x∈R.其中ω＞0.|φ|＜x．若f（）=2.f（）=0.且f（x）的最小正周期大于2π.则（）A．ω=.φ=B．ω=.φ=﹣C．ω=.φ=﹣D．ω=.φ=【分析】由题意求得.再由周期公式求得ω.最后由若f（）=2求得φ值．【解答】解：由f（x）的最小正周期大于2π.得.又f（）=2.f（）=0.得.∴T=3π.则.即．∴f（x）=2sin（ωx+φ）=2sin（x+φ）.由f（）=.得sin（φ+）=1．∴φ+=.k∈Z．取k=0.得φ=＜π．∴.φ=．故选：A．【点评】本题考查由三角函数的部分图象求解析式.考查y=Asin（ωx+φ）型函数的性质.是中档题．8．（5分）已知函数f（x）=.设a∈R.若关于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立.则a的取值范围是（）A．[﹣.2] B．[﹣.] C．[﹣2.2] D．[﹣2.]【分析】讨论当x≤1时.运用绝对值不等式的解法和分离参数.可得﹣x2+x﹣3≤a≤x2﹣x+3.再由二次函数的最值求法.可得a的范围；讨论当x＞1时.同样可得﹣（x+）≤a≤+.再由基本不等式可得最值.可得a的范围.求交集即可得到所求范围．【解答】解：当x≤1时.关于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立.即为﹣x2+x﹣3≤+a≤x2﹣x+3.即有﹣x2+x﹣3≤a≤x2﹣x+3.由y=﹣x2+x﹣3的对称轴为x=＜1.可得x=处取得最大值﹣；由y=x2﹣x+3的对称轴为x=＜1.可得x=处取得最小值.则﹣≤a≤①当x＞1时.关于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立.即为﹣（x+）≤+a≤x+.即有﹣（x+）≤a≤+.由y=﹣（x+）≤﹣2=﹣2（当且仅当x=＞1）取得最大值﹣2；由y=x+≥2=2（当且仅当x=2＞1）取得最小值2．则﹣2≤a≤2②由①②可得.﹣≤a≤2．故选：A．【点评】本题考查分段函数的运用.不等式恒成立问题的解法.注意运用分类讨论和分离参数法.以及转化思想的运用.分别求出二次函数和基本不等式求最值是解题的关键.属于中档题．二.填空题：本大题共6小题.每小题5分.共30分.9．（5分）已知a∈R.i为虚数单位.若为实数.则a的值为﹣2 ．【分析】运用复数的除法法则.结合共轭复数.化简.再由复数为实数的条件：虚部为0.解方程即可得到所求值．【解答】解：a∈R.i为虚数单位.===﹣i由为实数.可得﹣=0.解得a=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查复数的乘除运算.注意运用共轭复数.同时考查复数为实数的条件：虚部为0.考查运算能力.属于基础题．10．（5分）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上.若这个正方体的表面积为18.则这个球的体积为．【分析】根据正方体和球的关系.得到正方体的体对角线等于直径.结合球的体积公式进行计算即可．【解答】解：设正方体的棱长为a.∵这个正方体的表面积为18.∴6a2=18.则a2=3.即a=.∵一个正方体的所有顶点在一个球面上.∴正方体的体对角线等于球的直径.即a=2R.即R=.则球的体积V=π•（）3=；故答案为：．【点评】本题主要考查空间正方体和球的关系.利用正方体的体对角线等于直径.结合球的体积公式是解决本题的关键．11．（5分）在极坐标系中.直线4ρcos（θ﹣）+1=0与圆ρ=2sinθ的公共点的个数为 2 ．【分析】把极坐标方程化为直角坐标方程.求出圆心到直线的距离d.与半径比较即可得出位置关系．【解答】解：直线4ρcos（θ﹣）+1=0展开为：4ρ+1=0.化为：2x+2y+1=0．圆ρ=2sinθ即ρ2=2ρsinθ.化为直角坐标方程：x2+y2=2y.配方为：x2+（y﹣1）2=1．∴圆心C（0.1）到直线的距离d==＜1=R．∴直线4ρcos（θ﹣）+1=0与圆ρ=2sinθ的公共点的个数为2．故答案为：2．【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式.考查了推理能力与计算能力.属于中档题．12．（5分）若a.b∈R.ab＞0.则的最小值为 4 ．【分析】两次利用基本不等式.即可求出最小值.需要注意不等式等号成立的条件是什么．【解答】解：a.b∈R.ab＞0.∴≥==4ab+≥2=4.当且仅当.即.即a=.b=或a=﹣.b=﹣时取“=”；∴上式的最小值为4．故答案为：4．【点评】本题考查了基本不等式的应用问题.是中档题．13．（5分）在△ABC中.∠A=60°.AB=3.AC=2．若=2.=λ﹣（λ∈R）.且=﹣4.则λ的值为．【分析】根据题意画出图形.结合图形.利用、表示出.再根据平面向量的数量积列出方程求出λ的值．【解答】解：如图所示.△ABC中.∠A=60°.AB=3.AC=2.=2.∴=+=+=+（﹣）=+.又=λ﹣（λ∈R）.∴=（+）•（λ﹣）=（λ﹣）•﹣+λ=（λ﹣）×3×2×cos60°﹣×32+λ×22=﹣4.∴λ=1.解得λ=．故答案为：．【点评】本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算问题.是中档题．14．（5分）用数字1.2.3.4.5.6.7.8.9组成没有重复数字.且至多有一个数字是偶数的四位数.这样的四位数一共有1080 个．（用数字作答）【分析】根据题意.要求四位数中至多有一个数字是偶数.分2种情况讨论：①、四位数中没有一个偶数数字.②、四位数中只有一个偶数数字.分别求出每种情况下四位数的数目.由分类计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意.分2种情况讨论：①、四位数中没有一个偶数数字.即在1、3、5、7、9种任选4个.组成一共四位数即可.有A54=120种情况.即有120个没有一个偶数数字四位数；②、四位数中只有一个偶数数字.在1、3、5、7、9种选出3个.在2、4、6、8中选出1个.有C53•C41=40种取法.将取出的4个数字全排列.有A44=24种顺序.则有40×24=960个只有一个偶数数字的四位数；则至多有一个数字是偶数的四位数有120+960=1080个；故答案为：1080．【点评】本题考查排列、组合的综合应用.注意要分类讨论．三.解答题：本大题共6小题.共80分．解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤．15．（13分）在△ABC中.内角 A.B.C所对的边分别为 a.b.c．已知a＞b.a=5.c=6.sinB=．（Ⅰ）求b和sinA的值；（Ⅱ）求sin（2A+）的值．【分析】（Ⅰ）由已知结合同角三角函数基本关系式求得cosB.再由余弦定理求得b.利用正弦定理求得sinA；（Ⅱ）由同角三角函数基本关系式求得cosA.再由倍角公式求得sin2A.cos2A.展开两角和的正弦得答案．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中.∵a＞b.故由sinB=.可得cosB=．由已知及余弦定理.有=13.∴b=．由正弦定理.得sinA=．∴b=.sinA=；（Ⅱ）由（Ⅰ）及a＜c.得cosA=.∴sin2A=2sinAcosA=.cos2A=1﹣2sin2A=﹣．故sin（2A+）==．【点评】本题考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用.考查倍角公式的应用.是中档题．16．（13分）从甲地到乙地要经过3个十字路口.设各路口信号灯工作相互独立.且在各路口遇到红灯的概率分别为..．（Ⅰ）设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数.求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅱ）若有2辆车独立地从甲地到乙地.求这2辆车共遇到1个红灯的概率．【分析】（Ⅰ）随机变量X的所有可能取值为0.1.2.3.求出对应的概率值.写出它的分布列.计算数学期望值；（Ⅱ）利用相互独立事件同时发生的概率公式计算所求事件的概率值．【解答】解：（Ⅰ）随机变量X的所有可能取值为0.1.2.3；则P（X=0）=（1﹣）×（1﹣）（1﹣）=.P（X=1）=×（1﹣）×（1﹣）+（1﹣）××（1﹣）+（1﹣）×（1﹣）×=.P（X=2）=（1﹣）××+×（1﹣）×+××（1﹣）=.P（X=3）=××=；所以.随机变量X的分布列为随机变量X的数学期望为E（X）=0×+1×+2×+3×=；（Ⅱ）设Y表示第一辆车遇到红灯的个数.Z表示第二辆车遇到红灯的个数.则所求事件的概率为P（Y+Z=1）=P（Y=0.Z=1）+P（Y=1.Z=0）=P（Y=0）•P（Z=1）+P（Y=1）•P（Z=0）=×+×=；所以.这2辆车共遇到1个红灯的概率为．【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题.是中档题．17．（13分）如图.在三棱锥P﹣ABC中.PA⊥底面ABC.∠BAC=90°．点D.E.N分别为棱PA.PC.BC的中点.M是线段AD的中点.PA=AC=4.AB=2．（Ⅰ）求证：MN∥平面BDE；（Ⅱ）求二面角C﹣EM﹣N的正弦值；（Ⅲ）已知点H在棱PA上.且直线NH与直线BE所成角的余弦值为.求线段AH的长．（Ⅰ）取AB中点F.连接MF、NF.由已知可证MF∥平面BDE.NF∥平面BDE．得【分析】到平面MFN∥平面BDE.则MN∥平面BDE；（Ⅱ）由PA⊥底面ABC.∠BAC=90°．可以A为原点.分别以AB、AC、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．求出平面MEN与平面CME的一个法向量.由两法向量所成角的余弦值得二面角C﹣EM﹣N的余弦值.进一步求得正弦值；（Ⅲ）设AH=t.则H（0.0.t）.求出的坐标.结合直线NH与直线BE所成角的余弦值为列式求得线段AH的长．【解答】（Ⅰ）证明：取AB中点F.连接MF、NF.∵M为AD中点.∴MF∥BD.∵BD⊂平面BDE.MF⊄平面BDE.∴MF∥平面BDE．∵N为BC中点.∴NF∥AC.又D、E分别为AP、PC的中点.∴DE∥AC.则NF∥DE．∵DE⊂平面BDE.NF⊄平面BDE.∴NF∥平面BDE．又MF∩NF=F．∴平面MFN∥平面BDE.则MN∥平面BDE；（Ⅱ）解：∵PA⊥底面ABC.∠BAC=90°．∴以A为原点.分别以AB、AC、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．∵PA=AC=4.AB=2.∴A（0.0.0）.B（2.0.0）.C（0.4.0）.M（0.0.1）.N（1.2.0）.E（0.2.2）.则..设平面MEN的一个法向量为.由.得.取z=2.得．由图可得平面CME的一个法向量为．∴cos＜＞=．∴二面角C﹣EM﹣N的余弦值为.则正弦值为；（Ⅲ）解：设AH=t.则H（0.0.t）..．∵直线NH与直线BE所成角的余弦值为.∴|cos＜＞|=||=||=．解得：t=4．∴当H与P重合时直线NH与直线BE所成角的余弦值为.此时线段AH的长为4．【点评】本题考查直线与平面平行的判定.考查了利用空间向量求解空间角.考查计算能力.是中档题．18．（13分）已知{an }为等差数列.前n项和为Sn（n∈N+）.{bn}是首项为2的等比数列.且公比大于0.b2+b3=12.b3=a4﹣2a1.S11=11b4．（Ⅰ）求{an }和{bn}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a2n b2n﹣1}的前n项和（n∈N+）．【分析】（Ⅰ）设出公差与公比.利用已知条件求出公差与公比.然后求解{an}和{bn}的通项公式；（Ⅱ）化简数列的通项公式.利用错位相减法求解数列的和即可．【解答】解：（I）设等差数列{an }的公差为d.等比数列{bn}的公比为q．由已知b2+b3=12.得b1（q+q2）=12.而b1=2.所以q+q2﹣6=0．又因为q＞0.解得q=2．所以.bn=2n．由b3=a4﹣2a1.可得3d﹣a1=8①．由S11=11b4.可得a1+5d=16②.联立①②.解得a1=1.d=3.由此可得an=3n﹣2．所以.数列{an }的通项公式为an=3n﹣2.数列{bn}的通项公式为bn=2n．（II）设数列{a2n b2n﹣1}的前n项和为Tn.由a2n =6n﹣2.b2n﹣1=4n.有a2nb2n﹣1=（3n﹣1）4n.故Tn=2×4+5×42+8×43+…+（3n﹣1）4n.4Tn=2×42+5×43+8×44+…+（3n﹣1）4n+1.上述两式相减.得﹣3Tn=2×4+3×42+3×43+…+3×4n﹣（3n﹣1）4n+1 ==﹣（3n﹣2）4n+1﹣8得Tn=．所以.数列{a2n b2n﹣1}的前n项和为．【点评】本题考查等差数列以及等比数列的应用.数列求和的方法.考查计算能力．19．（14分）设椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F.右顶点为A.离心率为．已知A是抛物线y2=2px（p＞0）的焦点.F到抛物线的准线l的距离为．（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II）设l上两点P.Q关于x轴对称.直线AP与椭圆相交于点B（B异于A）.直线BQ与x轴相交于点D．若△APD的面积为.求直线AP的方程．【分析】（I）根据椭圆和抛物线的定义、性质列方程组求出a.b.p即可得出方程；（II）设AP方程为x=my+1.联立方程组得出B.P.Q三点坐标.从而得出直线BQ 的方程.解出D点坐标.根据三角形的面积列方程解出m即可得出答案．【解答】（Ⅰ）解：设F的坐标为（﹣c.0）．依题意可得.解得a=1.c=.p=2.于是b2=a2﹣c2=．所以.椭圆的方程为x2+=1.抛物线的方程为y2=4x．（Ⅱ）解：直线l的方程为x=﹣1.设直线AP的方程为x=my+1（m≠0）.联立方程组.解得点P（﹣1.﹣）.故Q（﹣1.）．联立方程组.消去x.整理得（3m2+4）y2+6my=0.解得y=0.或y=﹣．∴B（.）．∴直线BQ的方程为（﹣）（x+1）﹣（）（y﹣）=0.令y=0.解得x=.故D（.0）．∴|AD|=1﹣=．又∵△APD的面积为.∴×=.整理得3m2﹣2|m|+2=0.解得|m|=.∴m=±．∴直线AP的方程为3x+y﹣3=0.或3x﹣y﹣3=0．【点评】本题考查了椭圆与抛物线的定义与性质.直线与椭圆的位置关系.属于中档题．20．（14分）设a∈Z.已知定义在R上的函数f（x）=2x4+3x3﹣3x2﹣6x+a在区间（1.2）内有一个零点x.g（x）为f（x）的导函数．（Ⅰ）求g（x）的单调区间；（Ⅱ）设m∈[1.x0）∪（x.2].函数h（x）=g（x）（m﹣x）﹣f（m）.求证：h（m）h（x）＜0；（Ⅲ）求证：存在大于0的常数A.使得对于任意的正整数p.q.且∈[1.x）∪（x0.2].满足|﹣x|≥．【分析】（Ⅰ）求出函数的导函数g（x）=f′（x）=8x3+9x2﹣6x﹣6.求出极值点.通过列表判断函数的单调性求出单调区间即可．（Ⅱ）由h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m）.推出h（m）=g（m）（m﹣x）﹣f（m）.令函数H1（x）=g（x）（x﹣x）﹣f（x）.求出导函数H′1（x）利用（Ⅰ）知.推出h（m）h（x）＜0．（Ⅲ）对于任意的正整数p.q.且.令m=.函数h（x）=g（x）（m﹣x）﹣f（m）．由（Ⅱ）知.当m∈[1.x0）时.当m∈（x.2]时.通过h（x）的零点．转化推出|﹣x|=≥=．推出|2p4+3p3q﹣3p2q2﹣6pq3+aq4|≥1．然后推出结果．【解答】（Ⅰ）解：由f（x）=2x4+3x3﹣3x2﹣6x+a.可得g（x）=f′（x）=8x3+9x2﹣6x﹣6.进而可得g′（x）=24x2+18x﹣6．令g′（x）=0.解得x=﹣1.或x=．当x变化时.g′（x）.g（x）的变化情况如下表：.+所以.g（x）的单调递增区间是（﹣∞.﹣1）.（.+∞）.单调递减区间是（﹣1.）．（Ⅱ）证明：由h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m）.得h（m）=g（m）（m﹣x）﹣f（m）.h（x0）=g（x）（m﹣x）﹣f（m）．令函数H1（x）=g（x）（x﹣x）﹣f（x）.则H′1（x）=g′（x）（x﹣x）．由（Ⅰ）知.当x∈[1.2]时.g′（x）＞0.故当x∈[1.x0）时.H′1（x）＜0.H1（x）单调递减；当x∈（x0.2]时.H′1（x）＞0.H1（x）单调递增．因此.当x∈[1.x0）∪（x.2]时.H1（x）＞H1（x）=﹣f（x）=0.可得H1（m）＞0即h（m）＞0.令函数H2（x）=g（x）（x﹣x）﹣f（x）.则H′2（x）=g′（x）﹣g（x）．由（Ⅰ）知.g（x）在[1.2]上单调递增.故当x∈[1.x0）时.H′2（x）＞0.H2（x）单调递增；当x∈（x0.2]时.H′2（x）＜0.H2（x）单调递减．因此.当x∈[1.x）∪（x0.2]时.H2（x）＞H2（x）=0.可得得H2（m）＜0即h（x）＜0.．所以.h（m）h（x）＜0．（Ⅲ）对于任意的正整数p.q.且.令m=.函数h（x）=g（x）（m﹣x）﹣f（m）．由（Ⅱ）知.当m∈[1.x0）时.h（x）在区间（m.x）内有零点；当m∈（x0.2]时.h（x）在区间（x.m）内有零点．所以h（x）在（1.2）内至少有一个零点.不妨设为x1.则h（x1）=g（x1）（﹣x）﹣f（）=0．由（Ⅰ）知g（x）在[1.2]上单调递增.故0＜g（1）＜g（x1）＜g（2）.于是|﹣x|=≥=．因为当x∈[1.2]时.g（x）＞0.故f（x）在[1.2]上单调递增.所以f（x）在区间[1.2]上除x0外没有其他的零点.而≠x.故f（）≠0．又因为p.q.a均为整数.所以|2p4+3p3q﹣3p2q2﹣6pq3+aq4|是正整数.从而|2p4+3p3q﹣3p2q2﹣6pq3+aq4|≥1．所以|﹣x0|≥．所以.只要取A=g（2）.就有|﹣x|≥．【点评】本题考查函数的导数的综合应用.函数的单调性以及函数的最值的求法.考查分类讨论思想以及转化思想的应用.是难度比较大的题目．参与本试卷答题和审题的老师有：sxs123；qiss；maths；双曲线；铭灏2016；沂蒙松；742048；danbo7801（排名不分先后）菁优网2017年6月9日。

绝密★启用前本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题考上，并在规定位置粘贴考试用条形码。

答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2.本卷共8小题，每小题5分，共40分。

参考公式：·如果事件 A ，B 互斥，那么 ·如果事件 A ，B 相互独立，那么 P (A ∪B )=P (A )+P (B )． P (AB )=P (A ) P (B )． ·棱柱的体积公式V =Sh .·球的体积公式343V R =π. 其中S 表示棱柱的底面面积，其中R 表示球的半径．h 表示棱柱的高．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）设集合{1,2,6},{2,4},{|15}A B C x x ===∈-≤≤R ，则()A B C =（A ）{2} （B ）{1,2,4}（C ）{1,2,4,6}（D ）{|15}x x ∈-≤≤R 【答案】B 【解析】(){1246}[15]{124}AB C =-=，，，，，， ,选B.（2）设变量,x y 满足约束条件20,220,0,3,x y x y x y +≥⎧⎪+-≥⎪⎨≤⎪⎪≤⎩则目标函数z x y =+的最大值为（A ）23 （B ）1（C ）32（D ）3 【答案】D【解析】目标函数为四边形ABCD 及其内部，其中324(0,1),(0,3),(,3),(,)233A B C D --，所以直线z x y =+过点B 时取最大值3，选D.（3）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为24，则输出N 的值为（A ）0 （B ）1（C ）2（D ）3 【答案】C【解析】依次为8N = ,7,6,2N N N ===，输出2N = ，选C. （4）设θ∈R ，则“ππ||1212θ-<”是“1sin 2θ<”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件 【答案】A（5）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点为F ，离心率为.若经过F 和(0,4)P 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（A ）22144x y -= （B ）22188x y -=（C ）22148x y -=（D ）22184x y -=【答案】B【解析】由题意得224,14,188x y a b c a b c ==-⇒===-=- ，选B. （6）已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =.若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为（A ）a b c << （B ）c b a << （C ）b a c <<（D ）b c a <<【答案】C（7）设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，||ϕ<π.若5()28f π=，()08f 11π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则 （A ）23ω=，12ϕπ= （B ）23ω=，12ϕ11π=- （C ）13ω=，24ϕ11π=-（D ）13ω=，24ϕ7π=【答案】A【解析】由题意125282118k k ωππϕπωπϕπ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，其中12,k k Z ∈，所以2142(2)33k k ω=--，又22T ππω=>，所以01ω<<，所以23ω=，11212k ϕππ=+，由ϕπ<得12πϕ=，故选A ．（8）已知函数23,1,()2, 1.x x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩设a ∈R ，若关于x 的不等式()||2x f x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是 （A ）47[,2]16-（B ）4739[,]1616-（C）[- （D）39[]16-【答案】A所以2a -≤≤， 综上47216a -≤≤．故选A ． 第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。