求简支梁受均布荷载跨中位移有限元分析步骤(平面梁单元)

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弹性力学9-位移分量的求出、简支梁均布荷载

第二章平面问题的基本理论 3.4 简支梁受均布荷载
(2)由应力推出应力函数的一般形式将假设的 y 向应力分量代入式(2-24)，在无体力情况下，有 2 ( x, y ) y f ( y) 2
x
对 x 积分可得
x2 ( x, y ) f ( y ) xf1 ( y ) f 2 ( y ) 2
u
EI
xy wy u0

y

EI
x w
对于同一个截面， x 为常量x 0，因此上式(转角)也是常量。于是可见，同一截面上的各垂直线段的转角相等，即截面仍然保持为平面——材料力学里的平截面假定。由位移分量第二式，可知不论约束条件如何，可求得梁的各纵向纤维的曲率是 2
M 2 v y x wx 0 2 EI 2 EI
其中有三个关于 y 的待定函数：f（y）， f（y1）， f（y2）。
第二章平面问题的基本理论 3.4 简支梁受均布荷载
(3)由相容方程求应力函数
将上步所得应力函数的一般形式代入无体力情况下的相容方程，整理后有
1 4 f ( y ) 2 4 f1 ( y ) 4 f 2 ( y) 2 f ( y) x x 2 0 4 4 4 2 2 y y y y
上述是关于 x 的一元二次方程，相容方程要求全梁每一点处的 x 值都必须满足上述方程，上述方程有无数多根。对所有 x 均应满足，故其系数和自由项都必须为0
4 f ( y) 0, 4 y 4 f1 ( y ) 0, 4 y 4 f 2 ( y) 2 f ( y) 2 0 4 2 y y
第二章平面问题的基本理论 3.4 简支梁受均布荷载
将应力函数代入式(2-24)，可得应力分量P42式(f) 、(g)、(h)： 2 x x (6 Ay 2 B ) x(6 Ey 2 F )

均布荷载作用下的简支梁结构有限元分析1

哈工程有限元大作业均布荷载作用下简支梁结构分析院（系）名称：船舶工程学院专业名称：港口航道与海岸工程学生姓名：白天华学号：2008012103摘要本文利用ANSYS软件中的BEAM系列单元建立简支梁有限元模型，对其进行静力分析与模态分析，得出梁的结构变形，分析梁的受力情况。

并用有限元刚度矩阵知识求解简支梁端点处得位移和旋度。

在此基础上，利用经典力学对以上所得的结果进行梁的有关计算，并将结果与有限元刚度矩阵和ANSYS软件所得结果进行比较。

通过比较得出不同方法在简支梁求解过程中自己的优势和缺点。

1.问题求解1.1问题描述钢制实心梁的截面尺寸为10mm×10mm(如图1所示)，弹性模量为200GPa，均布荷载的大小及方向如图1所示。

图11.2利用力学方法求解运用力学方法将上述结构求解，易得A、B支座反力相等为500N，该简支梁的计算简图、弯矩图以及剪力图如下图所示1000N/m图2简支梁计算简图图3简支梁弯矩图支座反力500N图4简支梁剪力图1.3利用ANSYS软件建立模型与求解通过关键点创建实体模型，然后定义材料及单元属性，然后划分网格，建立有限元模型。

具体步骤包括：添加标题、定义关键点、定义直线、选择单元，定义实常数、定义材料属性、设定网格尺寸、划分网格、施加荷载求解（选择分析类型、定义约束、施加荷载）查看分析结果。

图5简支梁变形前后的情况图6简支梁应力图图7简支梁剪力图2计算结果对比2.1简支梁内力分析结果比较节点应力有下面公式计算求得：ᵟ=MyIz有限元计算所得结果与力学的计算结果对比如下表所示：单位(N/㎡)ANSYS 模态结果结构力学计算结果2.2简支梁竖向位移分析结果比较（1）结构力学计算求得的简支梁最大位移由下面图乘法求得：x实际荷载作用下梁弯矩表达式：M(x)=500x-500x 2单位荷载作用下梁弯矩表达式：Mp= (1-a)x (0<x<a) a(1-x) (a<x<1)则在梁上任意点的竖向位移f ：f=500 x2−x3 (1−a)EIa 0dx +500 a x −x2 (1−x)EI1adx=0.25a 4-0.5a 3+0.25a(0,0.1, 0.2 ……)分别代入分段点的a 的数值得各点的位移如下表：（2）有限元计算所得简支梁y 方向位移如下图8所示：图8 2.3端点旋度分析结果比较（1）利用结构力学图乘法求得端点处得旋度旋度：Ф=1EI （23L×18qL2）×0.5=qL24EI（2）利用有限元刚度矩阵求得端点位移与旋度为：假设梁的两端固定，并计算等价的节点荷载用以表示均匀变化的荷载力M1 -M2R2-1/2qL 12 6L -12 6L v1-1/12qL2 6L 4L2-6L 2L2Ө1-1/2qL =EI/L3-12L -6L 12 -6L v2 (a)1/12qL2 6L 2L2-6L 4L2 Ө2方程（a）是固定的精确模型，因为如果从中解出的所有位移和旋度，它们的计算值都将为零。

求简支梁受均布荷载跨中位移有限元分析步骤(平面梁单元)

K151 M O K 5151
对号入座，组合整体刚度矩阵，并将各个分块矩阵对应的数值代入，组合成整体刚度矩阵
1
6l 12 6l 2l 2 −12 −6l 2 6l 2l 0 0 0 0 0 0 0 EI 0 K= 3 l M M 0 0 0 0 −12 −6l
ql RA − 12 2 6l −12 ql 2 − 6l 12 0 ql 0 0 0 EI 0 ql = l 0 M M ql RB − 2 0 ql 2 0 12
{Fpy }( 2 )
− ql / 2 − ql 2 / 12 2 = − ql / 2 3 2 ql / 12
……
1
2
3
….
51
ql Fpy = − 2
1
−
ql 12
2
ql 0 ql 0 L
−
ql 2
ql 12
根据
[ F ] = [ K ][δ ]
υ1 = 0
−12 −6l 24 0 −12 6l 0 0 0 0 M 6l 2l 2 −6l 2l 2 0 0 0 0
求出各节点的结点位移
[δ ]
0 θ 1 v2 θ2 v3 θ3 M 0 θ51
0 1 −
0 0
2 3 l l2 1 2 − 3 2 l l
δ1 1 δ 2 = N δ e − [ ] l δ3 1 δ 4 l2 0 0

简支梁位移计算公式

简支梁位移计算公式
简支梁的位移计算公式可以通过梁的弯曲理论来推导。

在简支
梁的情况下，当集中力作用于梁上时，梁会发生弯曲变形，导致梁
的位移。

位移计算公式可以通过弯曲理论和梁的几何特征来推导。

首先，我们可以使用弹性力学理论中的梁弯曲方程来描述梁的
位移。

对于简支梁而言，可以使用Euler-Bernoulli梁理论来进行
分析。

根据这个理论，简支梁在受到集中力作用时的最大位移可以
通过以下公式来计算：
δ = (F L^3) / (3 E I)。

在这个公式中，δ代表梁的最大位移，F代表作用在梁上的力
的大小，L代表梁的长度，E代表梁的弹性模量，I代表梁的惯性矩。

这个公式适用于简支梁在受到集中力作用时的情况。

另外，如果梁上分布有均匀载荷，则可以使用不同的公式来计
算梁的位移。

对于简支梁在均匀载荷作用下的位移，可以使用以下
公式：
δ = (5 w L^4) / (384 E I)。

在这个公式中，δ代表梁的最大位移，w代表均匀分布载荷的大小，L代表梁的长度，E代表梁的弹性模量，I代表梁的惯性矩。

需要注意的是，以上提到的公式都是针对简支梁在弹性范围内的情况下推导得出的。

在实际工程中，还需要考虑许多其他因素，例如梁的材料特性、截面形状等，因此在使用这些公式进行位移计算时，需要结合具体情况进行综合考虑。

梁的有限元分析原理

梁的有限元分析原理梁的有限元分析原理是一种工程结构分析方法，广泛应用于建筑、桥梁、航空航天、汽车等领域。

它通过将连续的结构离散化为有限数量的小单元，通过数学模型进行计算，得出结构的力学性能和响应情况。

梁的有限元分析原理是有限元分析的基础，下面将对其进行详细介绍。

首先，梁的有限元分析原理基于梁理论，即在横向较小、纵向较长的情况下，结构可以近似为一维梁。

梁的有限元分析原理通过将梁划分为多个单元，每个单元内部可以看作两个节点之间的一段杆件，通过建立节点之间的力学关系方程，得到整个结构的力学性能。

其次，梁的有限元分析原理利用了变分原理，即将结构的势能取极小值，建立了结构的力学方程。

通过对于梁的弯曲、剪切和轴向力等方面的力学模型进行合理的假设与简化，可以得到结构的位移与力的关系，从而解决结构的力学问题。

在梁的有限元分析中，需要进行以下几个步骤：1.几何离散化：将梁结构划分为多个单元，每个单元具有相同的形状与尺寸，通常为矩形或三角形。

2.模型建立：根据梁理论以及力学方程的简化假设，建立节点的力学关系方程，包括位移、应力、应变等参数。

3.材料性能定义：确定梁材料的力学性能参数，如弹性模量、截面惯性矩等。

这些参数对梁结构的力学性能具有重要影响。

4.边界条件施加：根据实际问题设定边界条件，包括固定支座、约束条件等。

这些条件对于解决梁结构的位移、应力等问题至关重要。

5.方程求解：通过数学方法求解得到节点之间的力学关系方程，利用数值计算技术进行迭代求解，得到梁结构的位移、应力等参数。

6.结果分析：根据求解得到的结果，进行力学性能分析，如最大应力、挠度、模态分析等。

根据分析结果评估结构的强度与稳定性。

总结起来，梁的有限元分析原理是一种基于梁理论的工程结构分析方法，通过将结构离散化为多个小单元，利用力学关系方程和数值计算技术求解得到结构的力学性能。

通过梁的有限元分析原理，工程师可以更加准确地评估结构的强度与稳定性，对结构进行优化设计。

均布荷载作用下简支梁结构分析

均布荷载作用下简支梁结构分析摘要：本文利用ANSYS软件中的BEAM系列单元建立简支梁有限元模型，对其进行静力分析与模态分析，得出梁的结构变形，分析梁的受力情况。

并用有限元刚度矩阵知识求解简支梁端点处得位移和旋度。

在此基础上，利用经典力学对以上所得的结果进行梁的有关计算，并将结果与有限元刚度矩阵和ANSYS软件所得结果进行比较。

通过比较得出不同方法在简支梁求解过程中自己的优势和缺点。

关键词：ANSYS简支梁均布荷载求解应力位移1.引言钢制实心梁的截面尺寸为10mm×10mm(如图1所示)，弹性模量为200GPa，均布荷载的大小及方向如图1所示。

图12.利用力学方法求解运用力学方法将上述结构求解，易得A、B支座反力相等为500N，该简支梁的计算简图、弯矩图以及剪力图如下图所示：1000N/m1000mm图2简支梁计算简图跨中弯矩：125N㎡图3简支梁弯矩图支座反力500N图4简支梁剪力图3.利用ANSYS软件建立模型与求解通过关键点创建实体模型，然后定义材料及单元属性，然后划分网格，建立有限元模型。

图5简支梁变形前后的情况图6简支梁应力图图7简支梁剪力图4.计算结果对比4.1简支梁内力分析结果比较节点应力有下面公式计算求得：ᵟ=有限元计算所得结果与力学的计算结果对比如下表所示：)单位(N/㎡ANSYS模态结果结构力学计算结果4.2简支梁竖向位移分析结果比较4.2.1结构力学计算求得的简支梁最大位移由下面图乘法求得：aFpx实际荷载作用下梁弯矩表达式：M(x)=500x-500x2单位荷载作用下梁弯矩表达式：Mp= (1-a)x (0<x<a)a(1-x) (a<x<1)则在梁上任意点的竖向位移f：f=500+500dx=0.25a4-0.5a3+0.25a(0,0.1, 0.2 ……) 分别代入分段点的a的数值得各点的位移如下表：4.2.2有限元计算所得简支梁y方向位移如下图8所示：图84.3端点旋度分析结果比较（1）利用结构力学图乘法求得端点处得旋度旋度：Ф=（）0.5=（2）利用有限元刚度矩阵求得端点位移与旋度为：假设梁的两端固定，并计算等价的节点荷载用以表示均匀变化的荷载力M1 -M2R2-1/2qL 12 6L -12 6L v1-1/12qL26L 4L2-6L 2L2Ө1-1/2qL =EI/L3-12L -6L 12 -6L v2 (a)1/12qL26L 2L2-6L 4L2 Ө2方程（a）是固定的精确模型，因为如果从中解出的所有位移和旋度，它们的计算值都将为零。

ABAQUS简支梁分析（梁单元和实体单元）

基于ABAQUS 简支‎梁受力和弯矩的相关‎分‎析（梁单元和实‎体单‎元）对于简支‎梁，基‎于 ABAQ ‎U S20‎16，首先‎用梁单元分‎析了梁受‎力作用下的应‎力，变‎形，剪力和力矩‎；对‎同一模型，并用实‎体‎单元进行了相应的分‎析。

另外，还分析了梁‎结构受力和弯矩作用‎下‎的剪力及力矩分析‎。

‎对于CAE 仿真‎分析具‎体细节操作并‎没有给出‎详细的操作‎，不过在后‎面上传了‎对应的cae ‎，od ‎b ，inp 文件‎。

不‎过要注意的是本文‎采‎用的是ABAQUS ‎2016进行计算，低‎版本可能打不开，可‎以‎自己提交inp 文‎件自‎己计算即可。

可‎以到小‎木虫搜索：“‎基于AB ‎A QUS 简‎支梁受力和‎弯矩的相‎关分析”进行‎相应文‎件下载。

对于‎一简‎支梁，其结构简图‎如‎下所示，梁的一段受‎固支，一段受简支，在‎梁的两端受集中载荷‎，‎梁的大直径D =1‎80‎m m ，小直径d ‎=15‎0mm ，a =‎200m ‎m ，b =3‎00mm ，‎l =16‎00mm ，F ‎=30‎0000N 。

现‎通过‎梁单元和实体单元‎分‎析简支梁的受力情况‎，变形情况，以及分析‎其剪力和弯矩等。

材‎料‎采用45#钢，弹‎性模‎量E =2.1e ‎6MP ‎a ，泊松比v ‎=0.2‎8。

la abb FF CA B ‎图1 简‎支梁结构‎简图1.梁‎单元分‎析 ABAQU ‎S 2‎016中对应的文‎件‎为beam-sha ‎f t.cae ，be ‎a m-shaft.‎o ‎d b ，beam-‎s h ‎a ft.inp ‎。

在‎建立梁par ‎t 的时候‎，采用三维‎线性实体，‎按照图1‎所示尺寸建立‎，然后‎在台阶及支撑梁‎处进‎行分割，结果如图‎2‎所示。

图2 ‎建立part并分割‎接下来为梁结构分‎配‎材料，创建材料，‎定义‎弹性模量和泊松‎比，创‎建梁截面形状‎，如图3‎，非别定义‎两个圆，圆‎的直接分‎别为180和‎150‎m m。

简支梁的有限元分析过程

目录一前言目前，在工程领域中应用最广泛的数值模拟方法是有限单元法,它不但可以解决固体力学及结构分析方面的问题,而且应用于传热学、流体力学、电磁学等领域,其计算结果已成为各类工业产品设计和性能分析的可靠依据,广泛应用于航空航天、机械制造、建筑设计、石油化工等领域。

有限元分析(Finite Element Analysis,FEA)是利用数学近似的方法对真实物理系统(几何和载荷工况)进行模拟。

利用简单而又相互作用的元素，即单元，就可以用有限数量的未知量去逼近无限未知量的真实系统。

有限元方法是一种应用十分广泛的数值分析方法，也是工程科学的重要工具，其重要性仅次于数学。

复杂的工程问题需要借助计算机得到满足一定精度要求的数值结果。

本次课设所采用的是CAE软件的ANSYS命令，它是目前国际上应用最广泛的有限元软件。

通过本次现代设计方法课程设计，学习有限元分析方法及ANSYS命令，了解并掌握利用CAE软件的ANSYS命令进行连杆，珩架，梁等的力学分析，将理论与实际工作结合，并最终达到能够独立对梁，杆等进行有限元内力分析。

本设计的研究对象是一简支梁。

二物理模型教程3：平面梁结构的内力计算问题阐述有一简支梁结构如图所示，其中，M=10KN.M，q=2KN/m，F=2KN。

对该梁进行分析，画出弯矩图和剪力图。

用材料力学计算所得剪力和弯矩图如下：剪力图：弯矩图：有限元计算说明将梁划分为16个单元，17个节点，用BEAM3来建立单元，进行静力学分析交互式的求解过程1．创建节点1.1创建梁的各个节点1．MainMenu：Preprocessor→Modeling→Create→Node→InActive CS。

2．在创建节点窗口内，在NODE后的编辑框内输入节点号1，并在X，Y，Z后的编辑框内输入0，0，0作为节点1的坐标值。

3．按下该窗口内的Apply按钮。

4．输入节点号17，并在X，Y，Z后的编辑框内输入8，0，0作为节点17的坐标值。

简支梁的有限单元法分析-三角形三节点单元

简支梁的有限单元法分析
三角形三节点平面单元
王峰
有限元分析的基本步骤：
结构离散化
单元分析
整体分析
1 结构离散化
图示为简支梁，梁的厚度为t，泊松比m =0.3，弹性模量为E=2e+5Mpa，用三节点三角形单元进行离散，直角三角形边长为2。
2 单元分析
单元分析的主要内容：由节点位移求内部任一点的
物理方程
{s }=[D]{} 而 { }=[B]{}e (求应力的表达式) {s }=[D][B]{ }e
记 [S]=[D][B]
[S]应力矩阵: [S]=[Si Sj Sm]
2.5节点力与节点位移的关系
令实际受力状态在虚位移状态上做虚功，虚功方程：
({ *}e )T {F}e { *}T tdxdy s
位移，由节点位移求单元应变、应力和节点力。
单元分析的步骤：
节点 (1) 位移
单元内部各点位移
(2)
单元 (3) 应变
单元应力
(4)
节点力
单元分析
2.1 形函数
形函数反映了单元的位移形态，是坐标的函数。三节点三角形单元的形函数为：
1 Ni ( x, y ) (ai bi x ci y )（i , j , m） 2A ai x j ym xm y j （i , j , m） bi y j ym ci xm x j
Ni 1 Ni 1 bi , ci x 2 A y 2 A
因此，三角形单元的应变矩阵[B]是常量，
（i , j , m）
代入数据得到：
1 0 0 0 1 0 1 B 0 0 0 1 0 1 2 0 1 1 0 1 1

有限元例子-简支梁受均布荷载

例1 简支梁受均布荷载计算简图：图1-(a)所示一简支梁，高3 m，长18 m，承受均布荷载10 N/m2，E=2×1010Pa ,μ= 0. 167，取t=1 m,作为平面应力问题。

由于对称，只对右边一半进行有限单元法计算，如图1-(b)所示，而在y轴上的各结点处布置水平连杆支座。

图1 计算简图图2 计算剖分图数据整理1、节点坐标文件91 551 0.750 0.5002 1.500 0.5003 2.250 0.5004 3.000 0.5005 3.750 0.5006 4.500 0.5007 5.250 0.5009 6.750 0.50010 7.500 0.50011 8.250 0.50012 0.750 1.00013 1.500 1.00014 2.250 1.00015 3.000 1.00016 3.750 1.00017 4.500 1.00018 5.250 1.00019 6.000 1.00020 6.750 1.00021 7.500 1.00022 8.250 1.00023 0.750 1.50024 1.500 1.50025 2.250 1.50026 3.000 1.50027 3.750 1.50028 4.500 1.50029 5.250 1.50030 6.000 1.50031 6.750 1.50032 7.500 1.50033 8.250 1.50034 0.750 2.00035 1.500 2.00036 2.250 2.00037 3.000 2.00038 3.750 2.00039 4.500 2.00040 5.250 2.00041 6.000 2.00042 6.750 2.00043 7.500 2.00044 8.250 2.00045 0.750 2.50046 1.500 2.50047 2.250 2.50048 3.000 2.50049 3.750 2.50050 4.500 2.50051 5.250 2.50053 6.750 2.50054 7.500 2.50055 8.250 2.50056 9.000 3.00057 8.250 3.00058 7.500 3.00059 6.750 3.00060 6.000 3.00061 5.250 3.00062 4.500 3.00063 3.750 3.00064 3.000 3.00065 2.250 3.00066 1.500 3.00067 0.750 3.00068 0.000 3.00069 0.000 2.50070 0.000 2.00071 0.000 1.50072 0.000 1.00073 0.000 0.50074 0.000 0.00075 0.750 0.00076 1.500 0.00077 2.250 0.00078 3.000 0.00079 3.750 0.00080 4.500 0.00081 5.250 0.00082 6.000 0.00083 6.750 0.00084 7.500 0.00085 8.250 0.00086 9.000 0.00087 9.000 0.50088 9.000 1.00089 9.000 1.50090 9.000 2.00091 9.000 2.500该文件第1行第1个数据为节点数91，第2个数据为内部节点数55。

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[k ]
e
6l 12 6l 4l 2 EI e [k ] = 3 l −12 −6l 6l 2l 2
−12 6l −6l 2l 2 12 −6l 2 −6l 4l
用矩阵表示的梁端力与梁端位移的关系
Qi 12 6l −12 6l vi M 6l 4l 2 −6l 2l 2 θ i = EI i Qi l 3 −12 −6l 12 −6l vi 2 2 −6l 4l θi 6l 2l Mi
5
(5)
EI K44 K45 4 [k] = 3 l K54 K55 5
6
(6)
6
7
EI K55 K56 5 [k] = 3 l K65 K66 6
M
49 50
EI K66 K67 6 [k] = 3 l K76 K77 7
50 51
[k]
(49)
0 1 −
0 0
2 3 l l2 1 2 − 3 2 l l
δ1 1 δ 2 = N δ e − [ ] l δ3 1 δ 4 l2 0 0
[ N ] = [ N1 N 2 N 3 N 4 ]
N1 = 1 − 3x 2x + 3 l2 l
梁单元
两端承受剪力、两端承受剪力、弯矩的平面梁单元
局部坐标下单元位移和单元力 {δ }e = [δ 1 δ 2 δ 3 δ 4 ]T = [vi 单元位移
单元力
θi
Mi
vj
Qj
θ j ]T
M j]
T
{F }e = [F1
F2
F3
F4 ] = [Qi
T
d 2v M = EI dx 2 d 3v Q = EI dx 3
0 6l
0 0 0 0
O
0 0
0 0
51
荷载等效节点力向量
离散时每个单元受载作用于结点上，根据虚功原理，原荷载与结点荷载在任何虚位移上所做的功相等。对于梁上作用的集中力或集中力矩，在划分单元时可将其作用点取为节点，按结构的节点载荷处理。对于不考虑自重的梁单元，忽略体积力，仅考虑分布面力的移置。
T
[ε ] = [ B ]{ δ } e
[σ ] = [D ][ε ] = [D ][B ]{δ }e
e
δ U = ∫∫∫ ([δ ] ) [ B ] [ D ][ B ][δ ] dxdydz
e T T
δ U = ([δ ] )
e T
∫∫∫ [ B ] [ D ][ B ]dxdydz [δ ]
T
由于 θ =
dv dx
梁单元内一点原本有2个位移： v、θ 。现在仅一个位移是独立的，取 v 。
v ( x ) = a1 + a2 x + a3 x 2 + a4 x 3
dv = δ2 梁单元的边界条件 X=0时， v = δ 1 , dx dv X=L时， v = δ , = δ4 3 dx 利用位移条件求待定常数： 1 2 3 1 a = δ c = − 2 δ1 − δ 2 + δ 3 − δ 4
根据
[ F ] = [ K ][δ ]
υ1 = 0
−12 −6l 24 0 −12 6l 0 0 0 0 M 6l 2l 2 −6l 2l 2 0 0 0 0
求出各节点的结点位移
[δ ]
0 θ 1 v2 θ2 v3 θ3 M 0 θ51
ql − 2 Qi ql 2 M − e i = 12 Fpy = Q j ql − M j 2 ql 2 12
组装总荷载向量
− ql / 2 − ql 2 / 12 1 {Fpy }(1) = − ql / 2 2 2 ql / 12
51
T
ql RA − 2 2 ql − 12 ql 0 = ql 0 M RB − ql 2 ql 2 12
e l T 0
12 x − 6l EI l l (6 x − 4) = 6 ∫ [12 x − 6l l (6 x − 4) −(12 − 6l ) l (6 x − 2l )] dx 0 −(12 − 6l ) l l (6 x − 2l )
得出单元刚度矩阵
引入边界条件：
υ51 = 0
0 0 0 0 0 0 6l 0 0 2l 2 0 0 0 −12 6l 6l 2 −6l 2l 2 −6l 24 0 2l 2 0 6l 2 0 −12 −6l 0 0 0 6l 0 0 0 0 2l 2 0 0 0 0 L L 0 0 0 0 −12 −6l 24 0 0 0 0 0 0 0 0 6l 2l 2 0 O 0 0 0 0 −12 6l −6l 2l 2 −12 −6l 12 −6l 6l 2l 2 −6l 4l 2 0 0 0 0
ql RA − 12 2 6l −12 ql 2 − 6l 12 0 ql 0 0 0 EI 0 ql = l 0 M M ql RB − 2 0 ql 2 0 12
2
T
简支梁约束反力向量
{Fe } = {RA 0 0 0 0 L RB 0 }
ql 总荷载向量为： − 2 ql 2 − R A 12 0 ql 0 0 ql { F } = { F e } + { F py } = 0 + 0 0 M M R B 0 ql − 2 ql 2 12
{Fpy }( 2 )
− ql / 2 − ql 2 / 12 2 = − ql / 2 3 2 ql / 12
……
1
2
3
….
51
ql Fpy = − 2
1
−
ql 12
2
ql 0 ql 0 L
12 EI 6l [k](2) = 3 l −12 6l
−12 6l 2l 2 − 6l 2l 2 2 − 6l 12 − 6l 3 2l 2 − 6l 4l 2 6l
同理，可得出其余编码的单元的单元刚度矩阵分块为：
3
(3)
4
(4)
4
5
EI K33 K34 3 [k] = 3 l K43 K44 4
EI K4949 K4950 49 = 3 l K5049 K5050 50
[k]
(50)
EI K5050 K5051 50 = 3 l K5150 K5151 51
总刚度矩阵的编码表示为：
K11 K 21 K= M K 511
K12 L K 22 L
1
b = δ2
l l l l 2 1 2 1 d = 3 δ1 + 2 δ 2 − 3 δ 3 + 2 δ 4 l l l l
将a, b, c, d回代到
v ( x ) = a + bx + cx + dx
2
3
v = (1 x x2
1 0 x3 ) − 3 2 l 2 l2
∫ [v ] [ p ] ds = [δ ]
T s
T
Fpy
e
y py(x) x i l j
由于
v( x) = [ N ]{δ }e
e l T y
[F ] = ∫ [N ] p ( x ) dx
py 0
对于受均布荷载的平面梁单元
[F ]
py
e
=
∫ [N ]（ - q ） dx
l T 0
d 2N4 e δ 2 dx
d 2 N1 d 2 N2 [ B] = 2 dx dx2
应力矩阵
d 2 N3 dx2
d 2 N4 1 = 3 [ (12x − 6l) l(6x − 4) −(12x − 6l) l(6x − 2l)] 2 dx l
σ
b
2
6l 2l 2 0 0
3
0 0 0 0 0 0 −12
4
0 0 0 0 6l L L 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −12 −6l 24 0 0 0 6l 2l 2 0
2
51
0 0 0 0 −12 6l −6l 2l 2 −12 −6l 12 −6l 6l 2l 2 −6l 4l 2 0 0 0 0
K151 M O K 5151
对号入座，组合整体刚度矩阵，并将各个分块矩阵对应的数值代入，组合成整体刚度矩阵
1
6l 12 6l 2l 2 −12 −6l 2 6l 2l 0 0 0 0 0 0 0 EI 0 K= 3 l M M 0 0 0 0 −12 −6l
2 3
2x x2 N 2 = x (1 − + 2) l l
3x2 2 x3 N3 = 2 − 3 l l
x2 x3 N4 = − + 2 l l
v = [ N ] δ e
d 2v d 2 N1 ε = 2 = dx dx 2

求简支梁受均布荷载跨中位移有限元分析步骤(平面梁单元)

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