(8份试卷合集)2019-2020学年湖南省怀化市数学高一第一学期期末学业水平测试模拟试题

湖南省怀化市高一上学期期末数学试题一、单选题1．设集合{}|2A x x =<，则( )A ．2A ∈B ．0A ∉C AD A【答案】D【解析】根据集合的定义判断． 【详解】集合A 是由小于2的实数组成，0A ，2不小于2，不属于A ． 故选：D. 【点睛】本题考查集合的定义，考查元素与集合的关系，属于基础题．2．直线310x ++=的斜率是( )A ．3B C ．D ．3-【答案】C【解析】把方程化为斜截式，可得斜率． 【详解】由题意直线的斜截式方程为y =- 故选：C. 【点睛】本题考查求直线的斜率，基本方法化直线方程为斜截式方程．3．已知两条直线1:l 210x ay +-=，2:40l x y -=，且12l l //，则满足条件a 的值为（ ） A ．12-B ．12C ．-2D ．2【答案】C【解析】根据两条直线l 1：x+2ay ﹣1=0，l 2：x ﹣4y=0，且l 1∥l 2，可得140121a a -=≠- 求得 a=﹣2，故选C ．4．已知1a >，函数x y a =与log ay x =的图象只可能是( )A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】根据函数的单调性选择． 【详解】因为1a >，∴函数xy a =与log ay x =都是增函数，只有A 符合．故选：A. 【点睛】本题考查指数函数和对数函数的图象与性质，掌握指数函数和对数函数的性质是解题关键．5．将三个数0.37，70.3，ln 0.3从小到大排列得( ) A ．0.37ln 0.370.3<< B ．70.3ln 0.30.37<< C ．70.30.3ln 0.37<< D ．0.377ln 0.30.3<<【答案】B【解析】分别与中间值0和1比较． 【详解】由指数函数性质得700.31<<，0.371>，ln0.30<，∴70.3ln 0.30.37<<． 故选：B. 【点睛】本题考查幂与对数的大小比较，解题时不同类型的数一般借助于中间值如0，1等比较． 6．函数()44xf x x e =--（e 为自然对数的底）的零点所在的区间为( )A ．() 1,2B ．() 0,1C ．(1,0)-D ．(2,1)-- 【答案】B【解析】分析：先判断函数的单调性，然后结合选项，利用零点的存在定理，即可求解. 详解：由题意，函数()44xf x x e =--为单调递减函数，又因为()030,(1)0f f e =>=-<，由函数的零点判断可知，函数()f x 的零点在区间(0,1)，故选B.点睛：本题主要考查了函数的零点的判定定理及应用，其中熟记函数的零点的存在定理是解答本题的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.7．已知正四棱柱(即底面是正方形的直棱柱)的底面边长为3cm ，侧面的对角线长是，则这个正四棱柱的表面积为( )A ．290cmB ．2C ．272cmD ．254cm【答案】A【解析】求出侧棱长，再求出侧面积和两个底面积，即可得表面积． 【详解】6=．所以表面积为：224362390()S cm =⨯⨯+⨯=． 故选：A. 【点睛】本题考查棱柱的表面积，解题关键是求出侧棱长． 8．已知α，β是两个不同的平面，给出下列四个条件： ①存在一条直线a ，使得a α⊥，a β⊥；②存在两条平行直线a ，b ，使得//a α，//a β，//b α，b β//； ③存在两条异面直线a ，b ，使得a α⊂，b β⊂，//a β，//b α； ④存在一个平面γ，使得γα⊥，γβ⊥． 其中可以推出//αβ的条件个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】当α，β不平行时，不存在直线a 与α，β都垂直，a α∴⊥，a P βαβ⊥⇒，故()1正确；存在两条平行直线a ，b ，a αP ，b βP ，a βP ，b αP ，则α，β相交或平行，所以()2不正确；存在两条异面直线a ，b ，a α⊂，b β⊂，a βP ，b αP ，由面面平行的判定定理得αβP ，故()3正确；存在一个平面γ，使得γα⊥，γβ⊥，则α，β相交或平行，所以()4不正确； 故选B9．直线3y kx =+与圆()()22234x y -+-=相交于M N 、两点，若23MN ≥，则k 的取值范围是（ ）A ．2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．3,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．3,3⎡⎤-⎣⎦D ．33,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】由题意得，2211kd k =≤+，则33k -≤≤，故选D ．点睛：本题考查直线和圆的位置关系．由垂径定理可知，23MN ≥，则圆心到直线的距离2211k d k=≤+，解得答案．在直线和圆的位置关系的题型中，要灵活应用其几何性质来辅助解题．10．已知四面体ABCD 中，E ，F 分别是AD ，BC 的中点，若6AB =，8CD =，5EF =，则AB 与CD 所成角的度数为( )A ．30°B ．45︒C ．60︒D ．90︒【答案】D【解析】取BD 中点M ，连接,ME MF ，可得异面直线所成的角（或其补角），然后在三角形中求解． 【详解】如图，取BD 中点M ，连接,ME MF ，∵E ，F 分别是AD ，BC 的中点，∴//,//EM AB FM CD ，∴异面直线AB 与CD 所成角是EMF ∠（或其补角）． ∵6AB =，8CD =，∴3,4EM FM ==，又5EF =，∴222EM FM EF +=，∴90EMF ∠=︒， ∴异面直线AB 与CD 所成角90°． 故选：D.【点睛】本题考查求异面直线所成的角，解题关键是利用定义作出这个角，注意必要的证明，然后在三角形中求解． 11．若关于x 的方程12log 1mx m=-在区间(0,1)上有解，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(,1)(2,)-∞⋃+∞D ．(,0)(1,)-∞⋃+∞【答案】A【解析】由题意可得：函数12log y x =在区间()01，上的值域为()0+∞，01mm ∴>- 01m m ∴<- ∴实数m 的取值范围是()01，故选A点睛：本小题考查的是学生对函数最值的应用的知识点的掌握．本题在解答时应该先将函数12log y x =在区间()01，上的值域求出，即可得到关于m 的不等关系，从而即可解得实数m 的取值范围．12．对实数a 和b ，定义运算“⊗”：,1,1a a b a b b a b -≤⎧⊗=⎨->⎩，设函数2()(2)(1)f x x x =-⊗-x ∈R ，若函数()y f x c =-的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是（ ）A ．(][)1,12,-⋃+∞B ．(](]2,11,2--UC ．(](,2)1,2-∞-⋃D ．[]2,1-- 【答案】B【解析】根据新定义的运算法则，列出函数f （x ）=（x 2-2）⊗（x-1），的解析式，函数y=f （x ）-c 的图象与x 轴恰有两个公共点转化为y=f （x ），y=c 图象的交点问题，结合图象求得实数c 的取值范围 【详解】由,1,1a a b a b b a b -≤⎧⊗=⎨->⎩，得 ()()()221f x x x =-⊗-=2212112x x x x x ⎧--≤≤⎨--⎩，，＜或＞已知函数()y f x c =-的图象与x 轴恰有两个公共点，故y=f （x ），y=c 图象的有两个交点， 如图：∴c 的取值范围是 （-2，-1]∪（1，2]，故选B 【点睛】本题综合考查了分段函数，二次函数的图象特征、及函数与方程的综合运用；考查了已知函数零点，求参数,常见方法有：直接法，分离参数法，数形结合法.二、填空题13．已知幂函数()y f x =的图像过点⎛ ⎝⎭，则()4f =___________. 【答案】12【解析】利用待定系数法求出幂函数的解析式，再代入求值即可; 【详解】解：设幂函数()f x x α=，Q 幂函数()y f x =的图象过点⎛ ⎝⎭，∴2α=，解得12α=-， 12()f x x-∴=， ()121442f -∴==， 故答案为：12． 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式以及函数值的计算，属于基础题. 14．()70log 2lg 25lg 479.8+++-的值是______. 【答案】5【解析】由对数运算法则和幂的定义计算． 【详解】()70log 2lg 25lg 479.8+++-lg(254)21lg1003235=⨯++=+=+=．故答案为：5. 【点睛】本题考查对数运算法则和幂的定义，属于基础题．15．若函数()2log 1a y x =+在[)0,+∞上单调递增，则实数a 的取值范围为______.【答案】(1,)+∞【解析】由对数型复合函数的单调性进行求解． 【详解】函数定义域是R ．易知函数21u x =+在[0,)+∞上递增，而2(log 1)a y x =+在[)0,+∞上单调递增，因此log a y u =是增函数，∴1a >． 故答案为：(1,)+∞． 【点睛】本题考查对数型复合函数的单调性，掌握对数函数单调性是解题关键．16．矩形ABCD 中，43AB BC ==，，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B ACD --，则四面体ABCD 的外接球的体积为________.【答案】π．【解析】试题分析：因为球心到球面各点的距离相等，即可知道外接球的半径，就可以求出其体积了．由题意知，球心到四个顶点的距离相等，所以球心在对角线AC 上，且其半径为AC 长度的一半，矩形对角线AC=5，则345125==326V ππ⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭球.【考点】球的体积和表面积.三、解答题17．设全集为R ，{}|37A x x =≤<，{}|210B x x =<<. (1)求A B I ； (2)求()R A B ⋃ð.【答案】（1）{|37}x x ≤<；（2）{|2x x ≤或10}x ≥． 【解析】（1）由交集的定义计算； （2）由并集和补集定义计算． 【详解】（1）由题意{|37}A B x x =≤<I ；（2）由题意{|210}A B x x ⋃=<<， ∴(){|2R A B x x ⋃=≤ð或10}x ≥． 【点睛】本题考查集合的交、并、补运算，掌握集合的交并补运算法则是解题关键． 18．己知直线l 的方程为210x y -+=．（1）求过点()3,2A ，且与直线l 垂直的直线1l 方程； （2）求与直线l 平行，且到点()3,0P 的距离为5的直线2l 的方程【答案】（1）（2）或【解析】试题分析：()1直接利用直线垂直的充要条件求出直线的方程；()2设所求直线方程为20x y c -+=，由于点()3,0P 5()226521c +=+-1c =-或11c =-，即可得出答案；解析：（1）∵直线l 的斜率为2，∴所求直线斜率为12-， 又∵过点()3,2A ，∴所求直线方程为()1232y x -=--， 即270x y +-=．（2）依题意设所求直线方程为20x y c -+=， ∵点P ()3,05()226521c+=+-1c =-或11c =-，所以，所求直线方程为210x y --=或2110x y --=．19．若()()1xxf x a k a -=+-(0a >且1a ≠是定义在R 上的奇函数.(1)求k 的值； (2)若()312f =，证明()f x 在()0,∞+上为增函数. 【答案】（1）0k =；（2）见解析．【解析】（1）由(0)0f =求出k ，然后再验证满足题意；（2）先求出a ，再由单调性定义证明． 【详解】（1）∵()f x 是奇函数，∴(0)1(1)0f k =+-=，0k =，0k =时，()x x f x a a -=-是奇函数，∴0k =．（2）13(1)2f a a =-=，解得2a =（12a =-舍去）． ∴1()2222xxx x f x -=-=-， 设120x x <<， 则1212121212111()()22(22)(1)222xx x x x x x x f x f x +-=--+=-+， ∵12x x <，∴1222x x <，即12220x x -<，而1220x x +>， ∴12())0(f x f x -<，即12()()f x f x <． 所以()f x 在(0,)+∞上是增函数． 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，掌握奇偶性与单调性的定义是解题关键，要注意(0)0f =是函数()f x 为奇函数的必要条件（前提是(0)f 存在）．20．如图，三棱柱111ABC A B C -，1A A ⊥ 底面ABC ，且 ABC ∆为正三角形，D 为AC 中点．（1）求证：直线1//AB 平面1 BC D （2）求证：平面1BC D ⊥平面11 ACC A ；【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】分析：（Ⅰ）连结1 B C 交1 BC 于 O ，连结 O D ，则O 为1 B C 中点，得1//OD AB ，利用线面平行的判定定理，即可证得1//AB 平面1 BC D ； （Ⅱ）由1A A ⊥底面ABC ，得1A A BD ⊥，结合线面垂直的判定，得 BD ⊥平面11 ACC A ，进而证得平面1BC D ⊥平面11 ACC A .详解：（1）连结1B C 交1BC 于O ，连结OD ，在1B AC ∆中，D 为AC 中点，O 为1B C 中点，所以1//OD AB ，又OD ⊂平面1BC D ，∴直线1//AB 平面1BC D . （2）∵1A A ⊥底面ABC ，∴1A A BD ⊥. 又BD AC ⊥，∴BD ⊥平面11ACC A又BD ⊂平面1BC D ，∴平面1BC D ⊥平面11ACC A .点睛：本题考查线面位置关系的判定与证明，熟练掌握空间中线面位置关系的定义、判定、几何特征是解答的关键，其中垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直．21．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 经过()()()322,0,322,0,0,1P Q R +-三点． （1）求圆C 的方程；（2）若圆C 与直线0x y a -+=交于,A B 两点，且OA OB ⊥，求a 的值． 【答案】⑴⑵【解析】试题分析：（1）利用圆的几何性质布列方程组得到圆的方程；（2）设出点A ，B 的坐标，联立直线与圆的方程，消去y ，确定关于x 的一元二次方程，已知的垂直关系，确定x 1x 2+y 1y 2=0，利用韦达定理求得a ． 试题解析：⑴因为圆C 的圆心在线段PQ 的直平分线上， 所以可设圆C 的圆心为()3,t ，则有解得 1.t =则圆C 的半径为所以圆C 的方程为⑵设()()1122,,,Ax y B x y ，其坐标满足方程组：消去y ，得到方程由根与系数的关系可得，21212214,.2a a x x a x x -++=-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅①由OA OB ⊥于可得,12120.x x y y += 又所以()2121220.x x ax x a +++=⋅⋅⋅⋅⋅⋅②由①，②得，满足故22．已知二次函数()f x 满足:()()22f x f x +=-，()f x 的最小值为1，且在y 轴上的截距为4.(1)求此二次函数()f x 的解析式；(2)若存在区间[](),0a b a >，使得函数()f x 的定义域和值域都是区间[],a b ，则称区间[],a b 为函数()f x 的“不变区间”.试求函数()f x 的不变区间； (3)若对于任意的[]10,3x ∈，总存在[]210,100x ∈，使得()1222lg 1lg mf x x x <+-，求m 的取值范围.【答案】（1）23()(2)14f x x =-+；（2）[1,4]；（3）[2,)+∞． 【解析】（1）由()()22f x f x +=-，得对称轴是2x =，结合最小值可用顶点法设出函数式，再由截距求出解析式；（2）根据二次函数的单调性确定函数的最大值和最小值，然后求解． （3）求出()f x 在[0,3]的最大值4，对函数()2lg 1lg mg x x x=+- 换元lg t x =，得()21m g x y t t ==+-，[1,2]t ∈，由421mt t≤+-用分离参数法转化．【详解】（1）∵()()22f x f x +=-，∴对称轴是2x =，又函数最小值是1，可设2()(2)1f x a x =-+（0a >），∴(0)414f a =+=，34a =． ∴23()(2)14f x x =-+． （2）若2a b ≤≤，则min ()1f x a ==，7(1)24f =<，∴3b ≥且23()(2)14f b b b =-+=，解得4b =．∴1,4a b ==，不变区间是[1,4]；若02a b <<≤，则()f x 在[,]a b 上是减函数，∴223()(2)14433()(2)14f a a b a b f b b a⎧=-+=⎪⎪∴==⎨⎪=-+=⎪⎩或4，因为02a b <<≤，所以舍去； 若2a b ≤<，则()f x 在[,]a b 上是增函数，∴223()(2)143()(2)14f a a a f b b b⎧=-+=⎪⎪⎨⎪=-+=⎪⎩，∴,a b 是方程()f x x =的两根， 由()f x x =得23(2)14x x -+=，124,43x x ==，不合题意． 综上1,4a b ==； （3）23()(2)14f x x =-+，[0,3]x ∈时，max ()(0)4f x f ==， 设2lg 1lg my x x=+-，令lg t x =，当[10,100]x ∈时，[1,2]t ∈． 21my t t=+-， 由题意存在[1,2]t ∈，使421mt t ≤+-成立，即225m t t ≥-+， [1,2]t ∈时，22525252()48t t t -+=--+的最小值是222522-⨯+⨯=，所以[2,)m ∈+∞． 【点睛】本题考查求二次函数解析式，考查二次函数的创新问题，考查不等式恒成立和能成立问题．二次函数的解析式有三种形式：2()(),f x a x m h =-+12()()(),f x a x x x x =--2()f x ax bx c =++，解题时要根据具体的条件设相应的解析式．二次函数的值域问题要讨论对称轴与区间的关系，以确定函数的单调性，得最值．难点是不等式问题，对于任意的1[0,3]x ∈，说明不等式恒成立，而存在[10,100]x ∈，说明不等式“能”成立．一定要注意是转化为求函数的最大值还是最小值．。

2019-2020学年湖南省高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）已知集合{|13}A x x =-<<，{|10}B x x =-<，则()(R A B =⋂ð ) A ．{|13}x x <„B ．{|11}x x -<„C ．{|12}x x <„D ．{|13}x x 剟2．（4分）函数()(1)f x lg x =+的定义域是( ) A ．[1-，2] B ．(1-，2]C ．(1，2]D ．(1,2)3．（4分）已知a =，b =c =，则( ) A ．b c a <<B ．a b c <<C ．a c b <<D ．c a b <<4．（4分）函数5()()42x f x =-的零点所在的区间是( )A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(3,4)D ．(0,1)5．（4分）已知l ，m 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且//l α，m β⊥，则下列命题中为真命题的是( ) A ．若//αβ，则//l β B ．若αβ⊥，则l m ⊥ C ．若l m ⊥，则//l βD ．若//αβ，则m α⊥6．（4分）若直线20x y ++被圆224x y +=截得的弦长为(m = )AB ．5C ．10D ．257．（4分）已知圆柱的底面圆的面积为9π，高为2，它的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为( ) A ．16πB ．20πC ．40πD ．403π8．（4分）函数2(31),1()3,1a log x x f x ax x a x +>⎧=⎨-++⎩„在R 上单调递增，则a 的取值范围是( )A ．3(1,)2B ．3[2C ．D ．3(1,]29．（4分）已知(2,0)A -，(2,0)B ，点P 是圆22:(3)(1C x y -+-=上的动点，则22||||AP BP +的最小值为( ) A ．9B ．14C ．18D ．2610．（4分）设1x ，2x ，3x 分别是方程3log 3x x +=，3log (2)x x +=-，4x e lnx =+的实根，则( ) A ．123x x x <+B ．213x x x <<C ．231x x x <<D ．321x x x <<二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 11．（4分）若直线220x y -+=与3(5)10x a y +-+=平行，则a 的值为 ． 12．（4分）已知点(3,1)A ，(1,3)B -，则以线段AB 为直径的圆的标准方程为 ． 13．（4分）若幂函数222()(22)mmf x m m x -=+-在(0,)+∞上为减函数，则m = ．14．（4分）已知圆221:(2)(1)10C x y -+-=与圆222:66C x y x y ++-=，则两圆的公共弦所在的直线方程为 ．15．（4分）如图，在ABC ∆中，AB BC ⊥，D ，E 分别为AB ，AC 边上的中点，且4AB =，2BC =．现将ADE ∆沿DE 折起，使得A 到达1A 的位置，且160A DB ∠=︒，则1A C = ．三、解答题：本大题共5小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（6分）已知直线l 的方程为43120x y ++=，1l 与l 垂直且过点(2,3)--． （1）求直线1l 的方程；（2）若直线2l 经过1l 与l 的交点，且垂直于x 轴，求直线2l 的方程． 17．（8分）（1）求值0.5021()(3)16π-+-；（2）求值21log 5400222lg lg +-+．18．（8分）已知圆C 的圆心在x 轴正半轴上，且圆C 与y 轴相切，点(2,4)P 在圆C 上． （1）求圆C 的方程；（2）若直线:(1)40l m x y m ++++=与圆C 交于A ，B 两点，且||8AB =，求m 的值． 19．（8分）如图，在三棱锥P ABC -中，AB BC ⊥，3AB =，4BC =，AC AP =，PA ⊥平面ABC ，过A 作AD PB ⊥于D ，过D 作DE PC ⊥于E ，连接AE ． （1）证明：AE PC ⊥． （2）求三棱锥P ADE -的体积．20．（10分）已知函数22()3x xe ef x -+=，其中e 为自然对数的底数．（1）证明：()f x 在(0,)+∞上单调递增； （2）函数25()3g x x =-，如果总存在1[x a ∈-，](0)a a >，对任意2x R ∈，12()()f x g x …都成立，求实数a 的取值范围．。

湖南省怀化市2019-2020学年高一上学期数学期末考试试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）满足条件{2，3}⊆M⊆{1，2，3，4 }的集合M的个数是（）A . 2B . 3C . 4D . 52. （2分） (2018·山东模拟) 已知集合，，则（）A .B .C .D .3. （2分） (2019高一上·北京月考) 集合的元素个数是（）A . 2B . 4C . 6D . 84. （2分）方程x2﹣1=0的解集可表示为（）A . {x=1或x=﹣1}B . {x2﹣1=0}C . 1，﹣1D . {1，﹣1}5. （2分）以下共有6组集合：①A={（﹣5，3）}，B={﹣5，3}；②M={1，﹣3}，N={3，﹣1}；③M=∅，N={0}；④M={π}，N={3.1415}；⑤M={x|x是小数}，N={x|x是实数}；⑥M={x|x2﹣3x+2=0}，N={y|y2﹣3y+2=0}．其中表示相等的集合有（）A . 2组B . 3组C . 4组D . 5组6. （2分）如果集合S={x|x=3n+1，n∈N}，T={x|x=3k﹣2，k∈Z}，则（）A . S⊊TB . T⊆SC . S=TD . S≠T7. （2分）若{1，2}={x|x2+bx+c=0}，则（）A . b=﹣3，c=2B . b=3，c=﹣2C . b=﹣2，c=3D . b=2，c=﹣38. （2分）若集合A＝｛x｜mx2＋2x＋m＝0，m∈R｝中有且只有一个元素，则m的取值集合是（）A . ｛1｝B . ｛｝C . ｛0，1｝D . ｛，0，1｝9. （2分）已知集合S={a,b,c}中的三个元素可构成ABC的三条边长，那么ABC一定不是（）A . 锐角三角形B . 直角三角形C . 钝角三角形D . 等腰三角形10. （2分）x∈R，下列四个集合中是空集的是（）A . {x|x2﹣3x+2=0}B . {x|x2＜x}C . {x|x2﹣2x+3=0}D . {x|sinx+cosx= }11. （2分）对于集合A、B，定义A+B={x+y|x∈A，y∈B}，下列命题：①A+B=B+A；②（A+B）+C=A+（B+C）；③若A+A=B+B，则A=B；④若A+C=B+C，则A=B．其中正确的命题是（）A . ①B . ①②C . ②③D . ①④12. （2分）(2020·乌鲁木齐模拟) 已知函数在上单调递增，则的最大值为（）A . 1B . 2C . 4D . 6二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）含有三个实数的集合既可表示成，又可表示成{a2 ， a+b，0}，则a2017+b2016=________．14. （1分）①附中高一年级聪明的学生；②直角坐标系中横、纵坐标相等的点；③不小于3的正整数；④的近似值；考察以上能组成一个集合的是________15. （1分）已知集合A={x|x2﹣4x+k=0}中只有一个元素，则实数k的值为________．16. （1分）已知数列A：a1 ， a2 ，…an（n＞2），记集合TA={x|x=ai+aj ，1≤i＜j≤n}，则当数列A：2，4，6，8，10时，集合TA的元素个数是________．三、解答题 (共6题；共65分)17. （15分）用列举法表示下列集合：（1） {x|x+y=7，x∈N+，y∈N+}；（2） {（x，y）|x+y=7，x∈N+，y∈N+}；（3） {y|y=x2﹣1，﹣2＜x＜3，x∈Z}．18. （10分） (2017高三下·深圳模拟) 已知，记关于的不等式的解集为．（1）若，求实数的取值范围；（2）若，求实数的取值范围．19. （5分） (2018高二下·乌兰月考) 用反证法证明：对任意的x∈R，关于关于x的方程x2﹣5x+m=0与2x2+x+6﹣m=0至少有一个方程有实根．20. （10分）设集合B={x∈Z| ∈N}．（1）试判断元素1，﹣1与集合B的关系；（2）用列举法表示集合B．21. （10分）(2018·朝阳模拟) 已知数列的前项和为，且成等差数列，.（1）求数列的通项公式；（2）若数列中去掉数列的项后余下的项按原顺序组成数列，求的值.22. （15分） (2017高一上·西城期中) 已知：集合，其中．，称为的第个坐标分量．若，且满足如下两条性质：① 中元素个数不少于个．② ，，，存在，使得，，的第个坐标分量都是．则称为的一个好子集．（1）若为的一个好子集，且，，写出，．（2）若为的一个好子集，求证：中元素个数不超过．（3）若为的一个好子集且中恰好有个元素，求证：一定存在唯一一个，使得中所有元素的第个坐标分量都是．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共65分) 17-1、17-2、17-3、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、22-3、。

湖南省2019-2020学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1. 已知集合A ={x|−2<x <2}，B ={x|(x −1)(3−x)>0}，则A ∩(∁R B)=( )A. (−2,3)B. (−2,1)C. (−2,1]D. (1,2)2. 函数f(x)=√x −3+log 3x 的定义域是( )A. (0,3)B. [0,+∞)C. [3,+∞)D. (−∞,3] 3. 已知a =√3，b =12516，c =log 47，则下列关系正确的是( )A. b <a <cB. a <b <cC. b <c <aD. c <a <b4. 函数f(x)=x +3x 的零点所在的区间为( )A. (−2,−1)B. (−1,0)C. (0,1)D. (1,2)5. 设m ，n ，l 为空间不重合的直线，α，β，γ是空间不重合的平面，则下列说法准确的个数是( )①m//l ，n//l ，则m//n ；②m ⊥l ，n ⊥l ，则m//n ；③若m//l ，m//α，则l//α； ④若l//m ，l ⊂α，m ⊂β，则α//β；⑤若m ⊂α，m//β，l ⊂β，l//α，则α//β⑥α//γ，β//γ，则α//β．A. 0B. 1C. 2D. 36. 直线x +y =1被圆x 2+y 2=4截得的弦长为( )．A. √14B. 2√14C. 2√7D. √77. 已知圆锥的高为5，底面圆的半径为√5，它的顶点和底面的圆周都在同一个球的球面上，则该球的表面积为( )A. 4πB. 36πC. 48πD. 24π8. 已知函数f(x)={x −1,x ≤1lnx,x >1，则满足f(1−t)<f(1+t)的t 的取值范围是( ) A. (−∞,0) B. (−1,0) C. (0,+∞) D. (0,1)9. 已知A(1,0)，B(−1,0)，点P 为圆x 2+y 2=1上的动点，则|PA|+|PB|的最大值是( )A. 2B. 2√2C. 4D. 4√210. 方程log 2x =7−x 的实根x 0∈(n,n +1)，则整数n =( )．A. 2B. 3C. 4D. 5二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）11. 若直线l 1:2x +(m +1)y +4=0与直线l 2:mx +3y −2=0平行，则m 的值为____.12. 已知点A(−2,3)，B(6,−1)，则以线段AB 为直径的圆的标准方程是______．13.若幂函数f(x)=(m2−4m+4)·x m2−6m+8在(0,+∞)上为增函数，则m的值为________．14.已知两圆C1：x2+y2=10，C2：x2+y2−2x+2y−14=0，则经过两圆交点的公共弦所在的直线方程为________．15.已知PA垂直于△ABC所在的平面，AB=AC=5，BC=6，PA=8，则P到BC的距离为______三、解答题（本大题共5小题，共40.0分）16.设A、B为x轴上两点，点P的横坐标为2，直线PA的方程：x−y+1=0．(1)若|PA|=|PB|，求直线PB的方程．(2)若直线l:(m2−2)x+my+1=0与直线PA垂直，求m的值．17.化简求值：(1)(279)12−(2√3−π)0+0.25−32;(2)2lg5+23lg8+lg5⋅lg20+(lg2)2．18.已知点P(2,0)及圆C：x2+y2−6x+4y=0，若过点P的直线l与圆C交于M，N两点，且|MN|=4√2，求直线l的方程．19.如图，四棱锥P−ABCD的底面ABCD是矩形，侧面PAD是等腰直角三角形，∠APD=90°，平面PAD⊥平面ABCD．(1)求证：PA⊥PC．(2)若AD=4，AB=8，求三棱锥P−ABD的体积．(3)在(2)的条件下，求四棱锥P−ABCD的外接球的表面积．20.定义在[−4,4]上的奇函数f(x)，已知当x∈[−4,0]时，f(x)=14x +a3x(a∈R)．(1)求f(x)在[0,4]上的解析式．(2)若x∈[−2,−1]时，不等式f(x)≤m2x −13x−1恒成立，求实数m的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：可求出集合B ，然后进行补集、交集的运算即可．考查描述法、区间的定义，以及交集和补集的运算．B ={x|1<x <3}；∴∁R B ={x|x ≤1，或x ≥3}；∴A ∩(∁R B)=(−2,1]．故选：C ．2.答案：C解析：解：由{x −3≥0x >0，解得x ≥3． ∴函数f(x)=√x −3+log 3x 的定义域是[3,+∞)．故选：C ．由根式内部的代数式大于等于0，对数式的真数大于0联立不等式组得答案．本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．3.答案：D解析：本题考查对数值的大小比较，考查有理指数幂的运算性质及对数的运算法则，是基础题．利用有理指数幂的运算性质及对数的运算法则分别比较b ，c 与√3的大小得答案．解：∵b =12516=√5>√3，c =log 47=12log 27<32<√3，∴c <a <b ，故选：D ．4.答案：B解析：解：由函数的解析式可得f(−1)=−1+13=−23<0，f(0)=0+1=1>0，∴f(−1)f(0)<0，根据函数零点的判定定理可得函数f(x)=x+3x的零点所在的区间为(−1,0)，故选：B．由函数的解析式可得f(−1)f(0)<0，根据函数零点的判定定理可得函数f(x)=x+3x的零点所在的区间．本题主要考查求函数的值，函数零点的判定定理，属于基础题．5.答案：C解析：解：①若m//l，n//l，则m//n，根据公理4：平行于同一直线的两只线平行，所以①正确；②由m⊥l，n⊥l，在同一个平面可得m//n，在空间不成立，故错误；③若m//l，m//α则l//α或l⊂α，故错误；④若α∩β=a且m//a//l，此时α//β不成立．故错误；⑤若α∩β=a且m//a//l，此时α//β不成立．故错误；⑥α//γ，β//γ，利用平面与平面平行的性质与判定，可得α//β，正确．故选：C．要判断线线、线面、面面的位置关系，要根据线面平行(垂直)、面面平行(垂直)的判定和性质，八个定理来判断．此题考查学生对空间中点、线、面的位置关系的理解与掌握．重点考查学生的空间想象能力．6.答案：A解析：本题考查圆的弦长计算，求出圆心到直线的距离，运用勾股定理即可求解．解：d=√2=√22，则弦长为2(√22)=√14，故选A．7.答案：B解析：本题考查的知识点是球的体积和表面积，根据已知，求出球的半径，是解答的关键．设球的半径为R ，根据圆锥的几何特征，可得R 2=(R −ℎ)2+r 2，解出半径，可得答案．解：设球的半径为R ，∵圆锥的高ℎ=5，底面圆的半径r =√5，∴R 2=(R −ℎ)2+r 2，即R 2=(R −5)2+5，解得：R =3，故该球的表面积S =4πR 2=36π．故选B ．8.答案：C解析：本题考查分段函数的单调性和运用：解不等式，考查转化思想和运算能力，属于基础题．由分段函数f(x)，结合对数函数和一次函数的单调性，可判断f(x)在R 上递增，即可得到1−t <1+t ，求得t 的范围．解：函数f(x)={x −1,x ≤1lnx,x >1， 可得x >1时，f(x)=lnx 递增；x ≤1时，f(x)=x −1递增，且x =1处f(1)=0，可得f(x)在R 上为增函数，由f(1−t)<f(1+t)，即1−t <1+t ，解得t >0，即t 的范围是(0,+∞)．故选：C ．9.答案：B解析：本题考查点和圆位置关系的应用，考查三角函数的性质，是中档题．分两种情况讨论：①当点P 与点A 或点B 重合时，易得|PA|+|PB|=2；②当点P 与点A 和点B 都不重合时，设∠PAB =θ，得到|PA|+|PB|=2cosθ+2sinθ，结合两角和的正弦函数公式，辅助角公式和三角函数的性质可得|PA|+|PB|的最大值．解：∵点P为圆x2+y2=1上的一个动点，且点A(1,0)，B(−1,0)为此圆上两个定点，①当点P与点A或点B重合时，易得|PA|+|PB|=2；②当点P与点A和点B都不重合时，设∠PAB=θ，，则，所以当，即时，(|PA|+|PB|)max=2√2．综上|PA|+|PB|的最大值是2√2，故选B．10.答案：C解析：【分析】本题主要考查了函数的零点的定义，判断函数的零点所在的区间的方法，属于基础题．设函数f(x)=log2x+x−7，则f(x)是(0,+∞)上的增函数，x0是f(x)的零点，由f(4)f(5)<0，可得x0∈(4,5)，从而可求出n的值．解：由于x0是方程log2x=7−x的根，设f(x)=log2x+x−7，显然f(x)是(0,+∞)上的增函数，x0是连续f(x)的零点．∵f(4)=log24+4−7=−1<0，f(5)=log25+5−7=log25−2>0，故x0∈(4,5)，则n=4.故选C．11.答案：2或−3解析：本题考查了两直线平行，属于基础题．根据两直线平行，斜率相等即可求出m的值．解：∵直线l1:2x+(m+1)y+4=0与直线l2:mx+3y−2=0平行，∴m+1≠0，两条直线的方程可以化为：l1：y=−2m+1x+−4m+1，l2：y=−m3x+23，∴2m+1=m3，且−4m+1≠23，解得m=2或m=−3．故答案为2或−3．12.答案：(x−2)2+(y−1)2=20解析：本题考查了求圆的标准方程应用问题，是基础题．求出线段的中点和线段的长，得出圆心与半径，写出圆的标准方程．解：点A(−2,3)，B(6,−1)，则线段AB的中点为(2,1)，|AB|=√(6+2)2+(−1−3)2=4√5，∴r=2√5，∴以线段AB为直径的圆的标准方程是(x−2)2+(y−1)2=20．故答案为(x−2)2+(y−1)2=20．13.答案：1解析：本题考查了幂函数的定义与性质，由函数f(x)为幂函数可知m2−4m+4=1，解出m的值，再根据函数在(0,+∞)上为增函数判断出满足条件的m值．解：函数f(x)为幂函数，所以m2−4m+4=1，解得m=1或m=3，又因为f(x)=(m2−4m+4)·x m2−6m+8在(0,+∞)上为增函数，所以m2−6m+8>0，解得m>4或m<2，综上可知m=1，故答案为1．14.答案：x−y+2=0解析：联立两圆的方程，消去x与y的平方项，即可得到经过两圆交点的公共弦所在直线的方程．解：将两圆C1：x2+y2=10，C2：x2+y2−2x+2y−14=0方程相减，得x−y+2=0，就是两圆的公共弦所在的直线方程．故答案为x−y+2=0．15.答案：4√5解析：本题考查点到直线的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题．取BC中点O，连结AO，PO，推导出PO⊥BC，由此能求出P到BC的距离．解：取BC中点O，连结AO，PO，∵PA垂直于△ABC所在的平面，BC在平面ABC内，∴PA⊥BC，∵AB=AC=5，BC=6，PA=8，∴AO⊥BC，又AO、PA为平面PAO内两条相交直线，∴BC⊥平面PAO，又PO在平面PAO内，∴PO⊥BC，AO=√AB2−BO2=√25−9=4，∴P到BC的距离为PO=√PA2+AO2=√64+16=4√5．故答案为：4√5．16.答案：解：(1)根据|PA|=|PB|得到点P一定在线段AB的垂直平分线上，根据y=x+1求出点A的坐标为(−1,0)，由P的横坐标是2代入y=x+1求得纵坐标为3，则P(2,3)，过P做x轴的垂线交x轴于Q，则Q(2,0)，又因为Q为A与B的中点，所以得到B(5,0)，(x−5)化简后为x+y−5=0；所以直线PB的方程为：y−0=3−02−5(2)由题意得，(m2−2)×1−m=0，解得m=2或m=−1．解析：此题是一道基础题，要求学生会根据题中的条件利用数形结合的数学思想解决实际问题．考查学生会根据两点坐标写出直线的一般式方程．(1)把P 点的横坐标代入x −y +1=0求出纵坐标得到P 的坐标，然后根据|PA|=|PB|得到P 在线段AB 的垂直平分线上，则过P 作PQ ⊥x 轴即为AB 的中垂线，根据中点坐标公式求出点B 的坐标，然后根据P 和B 的坐标写出直线方程即可．(2)由题意得，直接运用两直线的关系化简即可求解．17.答案：解：(1)(279)12−(2√3−π)0+0.25−32 =53−1+8 =263；(2)2lg5+23lg8+lg5⋅lg20+(lg2)2 =2lg5+lg4+(1−lg2)(1+lg2)+(lg2)2=2+1−(lg2)2+(lg2)2=3．解析：(1)利用指数与指数幂的运算性质计算即可；(2)利用对数的运算性质计算即可．18.答案：解：由圆C：x2+y2−6x+4y=0，即(x−3)2+(y+2)2=13，故圆心C(3,−2)，半径r=√13，因为|MN|=4√2，设圆心到直线的距离为d，由|MN|=4√2=2√r2−d2，得d=√5．①当l的斜率k存在时，设直线方程为y−0=k(x−2)．又圆C的圆心为(3,−2)，半径r=√13，由|3k+2−2k|√1+k2=√5，解得k=12．所以直线方程为y=12(x−2)，即x−2y−2=0．②当l的斜率不存在时，l的方程为x=2，经验证x=2不满足条件．综上所述，直线l的方程为：x−2y−2=0解析：求出圆的标准方程，利用直线和圆相交的弦长公式求出圆心到直线的距离即可求出直线方程．本题主要考查直线方程的求解，根据直线和圆相交的弦长公式是解决本题的关键．19.答案：证明：(1)∵平面PAD平面ABCD，底面ABCD是矩形，∴CD⊥平面PAD．∵PA⊂平面PAD，∴CD⊥PA．∵∠APD=90°，∴PA⊥PD．∵PD∩CD=D，∴PA⊥平面PCD．∵PC⊂平面PCD，∴PA⊥PC；(2)过点P作PF⊥AD于F，∵侧面PAD是等腰直角三角形，平面PAD⊥平面ABCD．平面PAD∩平面ABCD=AD，∴DF ⊥面ABD ，PF =2．∴三棱锥P −ABD 的体积：V P−ABD =13×12×4×8×1=323；(3)根据题意，O 为球心，球的半径OD =12√42+82=2√5，∴四棱锥P −ABCD 的外接球的表面积为S =4π⋅OD 2=80π．解析：(1)推导出CD ⊥平面PAD ，CD ⊥PA.由∠APD =90°，得PA ⊥PD.从而PA ⊥平面PCD.由此能证明PA ⊥PC ；(2)过点P 作PF ⊥AD 于F ，则DF ⊥面ABD ，PF =2.由此能求出三棱锥P −ABD 的体积；(3)O 为球心，球的半径OD =12√42+82=2√5，由此能求出四棱锥P −ABCD 的外接球的表面积． 本题考查线线垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查四棱锥的外接球的表面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题． 20.答案：解：(1)f(x)是定义在[−4,4]上的奇函数，∴f(0)=1+a =0，∴a =−1，∵f(x)=14x −13x ，设x ∈[0,4]，∴−x ∈[−4,0]，∴f(x)=−f(−x)=−[14−x −13−x ]=3x −4x ，∴x ∈[0,4]时，f(x)=3x −4x ,(2)∵x ∈[−2,−1]，f(x)≤m 2x −13x−1，即14−13≤m 2−13，即14x +23x ≤m 2x ，x ∈[−2,−1]时恒成立，∵2x >0，∴(12)x +2⋅(23)x ≤m ，∵g(x)=(12)x +2⋅(23)x 在R 上单调递减，∴x ∈[−2,−1]时，g(x)=(12)x +2⋅(23)x 的最大值为：g(−2)=(12)−2+2⋅(23)−2=172， ∴m ≥172．解析：本题考查函数的奇偶性及其应用，不等式恒成立的问题，考查学生解决问题的能力，属于中档题．(1)根据奇函数的性质即可求出a ，设x ∈[0,4]，−x ∈[−4,0]，易求f(−x)，根据奇函数性质可得f(x)与f(−x)的关系；(2)分离参数，构造函数，求出函数的最值问题得以解决．。

湖南省怀化市2019年数学高一上学期期末学业水平测试试题一、选择题1．已知过原点的直线l 与圆C ：22650x y x +-+=相交于不同的两点A B ，，且线段AB 的中点坐标为D ，则弦长为（ ）A.2B.3C.4D.52．函数()f x 满足：()y f x 1=+①为偶函数：②在[)1,∞+上为增函数.若2x 1>-，且12x x 2+<-，则()1f x -与()2f x -的大小关系是( ) A ．()()12f x f x ->- B ．()()12f x f x -< C ．()()12f x f x -≤-D ．不能确定3．已知函数()ln f x x =()f x 的定义域为（ ） A.(0,1)B.(1,2]C.(0,4]D.(0,2]4．已知奇函数()y f x =的图像关于点(,0)2π对称，当[0,)2x π∈时，()1cos f x x =-，则当5(,3]2x ππ∈时，()f x 的解析式为（ ） A.()1sin f x x =-- B.()1sin f x x =- C.()1cos f x x =-- D.()1cos f x x =- 5．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n ，x 的值分别为3，2，则输出v 的值为A ．9B ．18C ．20D ．356．已知：如图，集合U 为全集，则图中阴影部分表示的集合是A.(∁U ())A B C ⋂⋂B.(∁U ())B C A ⋂⋂C.(A ⋂∁U ())B C ⋃D.(∁U ())A B C ⋃⋂7．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a=2，C= A.π12B.π6C.π4D.π38．定义在R 上的偶函数()f x 满足(1)()f x f x +=-，且当x ∈[1,0]-时1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则2(log 8)f 等于( ) A.3B.18C.2-D.29．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）A ．18+．54+．90 D ．8110．，为两个不同的平面，，为两条不同的直线，下列命题中正确的是（ ） ①若，，则； ②若，，则； ③若，，，则④若，，，则.A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④11．设，则a ，b ，c 之间的关系是（ ）A ．B ．C ．D ．12．若函数满足,且x ∈[-1，1]时， f （x ） =l —x 2，函数则函数h （x ）=f （x ）一g （x ）在区间[-5,5]内的与x 轴交点的个数为： A ．5 B ．7 C ．8 D ．10 二、填空题13．如图，有三座城市,,A B C ．其中B 在A 的正东方向，且与A 相距120km ；C 在A 的北偏东30°方向，且与A 相距60km ．一架飞机从城市C 出发，沿北偏东75°航向飞行．当飞机飞行到城市B 的北偏东45°的D 点处时，飞机出现故障，必须在城市A ，B ，C 中选择一个最近城市降落，则该飞机必须再飞行_______ km ，才能降落．14．函数的定义域是 .15．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2A B =，则cos A =_______. （仅用边,a b 表示）16．已知函数()sin 03y x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，若将该函数的图像向左平移()0m m >个单位后，所得图像关于原点对称，则m 的最小值为________.三、解答题17．如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ,,,,AB AD AB DC E F ⊥分别为,PC DC 的中点,222PA DC AB AD ====.(1)证明:平面PAD 平面EBF (2)求三棱锥P BED -的体积.18．在平面几何中，通常将完全覆盖某平面图形且直径最小的圆，称为该平面图形的最小覆盖圆.最小覆盖圆满足以下性质：①线段AB 的最小覆盖圆就是以AB 为直径的圆；②锐角ABC ∆的最小覆盖圆就是其外接圆.已知曲线W ：2416x y +=，(0,)A t ，(4,0)B ，(0,2)C ，(4,0)D -为曲线W 上不同的四点. （Ⅰ）求实数t 的值及ABC ∆的最小覆盖圆的方程； （Ⅱ）求四边形ABCD 的最小覆盖圆的方程； （Ⅲ）求曲线W 的最小覆盖圆的方程.19．()1已知角α的终边经过点()1,2M -，求()5sin cos 22cos ππααπα⎛⎫⎛⎫+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+的值；()2已知tan 2α=，求sin 4cos 5sin 2cos αααα-+的值．20．如图，在四边形OBCD 中，2CD BO =，2OA AD =，90D ∠=︒，且1BO AD ==.（Ⅰ）用,OA OB 表示CB ；（Ⅱ）点P 在线段AB 上，且3AB AP =，求cos PCB ∠的值. 21．已知函数π()2sin(2)3f x x =+.（Ⅰ）求()f x 的最小正周期T ； （Ⅱ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅲ）在给定的坐标系中作出函数ππ()([,])66f x x T ∈--+的简图，并直接写出函数()f x 在区间π2[,π]63上的取值范围. 22．已知圆C 过点()1,1P ，且与圆()()()222:220M x y r r +++=>关于直线：20x y ++=对称．（1）求圆C 的标准方程；（2）设Q 为圆C 上的一个动点，求PQ MQ ⋅的最小值． 【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除 一、选择题13．14．[]3,1-15．2212a b-16．3π 三、解答题17．（1）见证明；（2）13P BDE V -=18．（Ⅰ）2t =-，22340x y x +--=；（Ⅱ）2216x y +=；（Ⅲ）22654x y +=.19．（12）16-20．（Ⅰ）CB 32OA OB =--（Ⅱ）cos 5PCB ∠=21．（Ⅰ）πT =（Ⅱ）函数()f x 的单调递增区间是：5ππ[π,π]1212k k -++， k Z ∈ （Ⅲ）略22．（1）222x y +=；（2）4-.。

湖南省怀化市2019-2020学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={0,1,2}，则()A. 0∈AB. 1∉AC. 2=AD. 3∈A2.直线2x−4y+7=0的斜率是()A. 2B. −2C. 12D. −123.已知直线l1:x+2ay−1=0,l2:(a+1)x−ay=0，若l1//l2，则实数的值为()A. −32B. 0 C. −32或0 D. 24.在同一直角坐标系中，函数f(x)=log a x(a>0且a≠1)与函数g(x)=a x(a>0且a≠1)的图象可能是()A. ①②B. ②③C. ①④D. ①③5.三个数0.70.6，50.8，log0.65的大小顺序是()A. 50.8<0.70.6<log0.65B. 50.8<log0.65<0.70.6C. log0.65<50.8<0.70.6D. log0.65<0.70.6<50.86.函数f(x)=e x+x−2的零点所在的一个区间为()A. (−2,−1)B. (−1,0)C. (0,1)D. (1,2)7.已知表面积为24π的球体，其内接正四棱柱(底面是正方形，侧棱垂直于底面)的高为4，则这个正四棱柱的侧面积为()A. 32B. 36C. 48D. 648.已知不重合的平面α、β和不重合的直线a、b，下列说法正确的是()A. 若a//α，b//β，则a//bB. 若a⊂α，b⊂β，且a//b，则α//βC. 若a⊥α，b⊥β，且a//b，则α//βD. 若α⊥β，a⊂α，b⊂β，则a⊥b9. 设直线y =x −√2与圆O ：x 2+y 2=a 2相交于A ，B 两点，且|AB|=2√3，则圆O 的面积为( )A. πB. 2πC. 4πD. 8π10. 如图，正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是DD 1、BD 的中点，则直线AD 1与EF 所成的角余弦值是( )A. 12B. √32 C. √63 D. √6211. 函数y =6x−1在区间[3,4]上的值域是( )A. [1,2]B. [3,4]C. [2,3]D. [1,6]12. 已知定义在R 上的函数f(x)满足：f(x)={x 2+2, x ∈[0,1)2−x 2, x ∈[−1,0)且f(x +2)=f(x)，g(x)=2x+5x+2，则方程f(x)=g(x)在区间[−5,1]上的所有实根之和是( )A. −5B. −6C. −7D. −8二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知幂函数f(x)的图象过点(2,16)，则f(√3)= ______ ． 14. log 216−log 24= ________．15. 函数f(x)=log 122x +alog 12x + 1在(14,2)上为增函数，则a 的取值范围为______． 16. 矩形ABCD 的长为2，宽为1，将它沿对角线AC 翻折，使二面角B −AC −D 的大小为π3，则四面体ABCD 外接球表面积为______ ． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 已知全集U =R ，A ={x|y =√1x−2+√5−x}，B ={y|y =x 2+4}，求：(1)A ∩B ，A ∪B(2)A ∩∁U B ，(∁U A)∪(∁U B)18.已知直线l1的方程为3x+4y−12=0，(1)若直线l2与l1平行，且过点(−1,3)，求直线l2的方程；(2)若直线l2与l1垂直，且l2与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线l2的方程．19.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=a x−1.其中a>0且a≠1．(1)求f(2)+f(−2)的值；(2)求f(x)的解析式．20.如图，已知正三棱柱ABC−A1B1C1中，D是BC的中点．(1)求证：平面AB1D⊥平面B1BCC1；(2)求证：A1C//平面AB1D.21.在平面直角坐标系xOy中，曲线y=x2−6x+1与坐标轴的交点都在圆C上．(Ⅰ)求圆C的方程；(Ⅱ)若圆C与直线x−y+a=0交于A，B两点，且OA⊥OB,求a的值．)x22.已知函数f(x)=log a(x+1)过点(2,1)，函数g(x)=(1a(1)求函数f(x)，g(x)的解析式；(2)若x∈[1,2)，求函数f(x)，g(x)的值域．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：本题考查了元素与集合的关系，由集合A={0,1,2}，故可得答案．解：因为A={0,1,2}，故可得0∈A是正确的，故选A．2.答案：C解析：解：直线2x−4y+7=0的斜率k=−2−4=12，故选：C．利用斜率计算公式即可得出．本题考查了由一般式求斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.答案：C解析：解：∵直线l1：x+2ay−1=0，l2：(a+1)x−ay=0，l1//l2，∴−a=2a(a+1)，∴a=−32或0，故选：C．利用两条直线平行的条件，即可得出结论．本题考查两条直线平行的条件，考查学生的计算能力，比较基础．4.答案：D解析：本题考查指对数函数的图象，当底大于1时，图象单调递增，当0<a<1时，图象单调递减．解：当a>1时，利用指数函数与对数函数的单调性可得：①符合；当0<a<1时，同理可得为③，故选D．5.答案：D解析：本题考查了指数函数和对数函数的性质，属于一般题．由指数函数和对数函数的性质判断得到0.70.6，50.8，log0.65的取值范围，即可得答案，解：因为0<0.70.6<0.70=1，50.8>50=1，，故可得log0.65<0.70.6<50.8，故选D．6.答案：C解析：f(−2)=e−2−2−2<0，f(−1)=e−1−1−2<0，f(0)=e0+0−2<0，f(1)=e+1−2>0，所以函数的零点所在区间为(0,1)．7.答案：A解析：解：设表面积为24π的球体的半径为R，则4πR2=24π，解得R=√6，∵其内接正四棱柱(底面是正方形，侧棱垂直于底面)的高为4，设这个正四棱柱的底面边长为a，∴√a2+a2+42=2√6，解得a=2，∴这个正四棱柱的侧面积S=4×2×4=32．故选：A．先由球的表面积求出球的半径，由此能求出其内接正四棱柱的底面边长，从而能求出这个正四棱柱的侧面积．本题考查正四棱柱的侧面积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意球的性质的合理运用．8.答案：C解析：本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力是中档题．在A中，a与b相交、平行或异面；在B中，α与β相交或平行；在C中，由面面平行的性质定理得α//β；在D中，a与b相交、平行或异面．解：在A中，若a//α，b//β，则a与b相交、平行或异面，故A错误；在B中，若a⊂α，b⊂β，且a//b，则α与β相交或平行，故B错误；在C中，若a⊥α，b⊥β，且a//b，则由面面平行的判定定理得α//β，故C正确；在D中，若α⊥β，a⊂α，b⊂β，则a与b相交、平行或异面，故D错误．故选：C．9.答案：C解析：解：根据题意，圆O：x2+y2=a2的圆心为(0,0)，半径r=|a|，=1，圆心到直线y=x−√2的距离d=√2|√1+1)2=4，又由弦长|AB|=2√3，则有a2=1+(2√32则圆O的面积S=πa2=4π；故选：C．根据题意，求出圆O的圆心与半径，求出圆心O到直线的距离，由直线与圆的位置关系可得a2=1+ )2=4，结合圆的面积公式计算可得答案．(2√32本题考查直线与圆的位置关系，涉及弦长的计算，属于基础题．10.答案：C解析：本题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点E，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在三角形中求出此角即可．解：如图，取AD的中点G，连接EG，GF，∠GEF为直线AD1与EF所成的角，设正方体棱长为2，则EG =√2，GF =1，EF =√3， 易知△GEF 是直角三角形， cos∠GEF =√63． 故选：C ．11.答案：C解析：解：∵函数y =6x−1在区间[3,4]上为减函数， ∴64−1≤y ≤63−1，即2≤y ≤3， 函数的值域为[2,3]． 故选C ．根据函数y =6x−1在区间[3,4]上为减函数求解．本题考查了函数的值域及其求法，利用函数的单调性求值域是常用方法．12.答案：C解析：解：∵f(x)={x 2+2, x ∈[0,1)2−x 2, x ∈[−1,0)，且f(x +2)=f(x)，∴f(x −2)−2={x 2, x −2∈[0,1) −x 2, x −2∈[−1,0)；又g(x)=2x+5x+2，∴g(x)=2+1x+2， ∴g(x −2)−2=1x ， 当x ≠2k −1，k ∈Z 时，上述两个函数都是关于(−2,2)对称；由图象可得：方程f(x)=g(x)在区间[−5,1]上的实根有3个，x1=−3，x2满足−5<x2<−4，x3满足0<x3<1，x2+x3=−4；∴方程f(x)=g(x)在区间[−5,1]上的所有实根之和为−7．故答案为；C．将方程根的问题转化为函数图象的交点问题，由图象读出即可．本题考查函数的零点与方程根的关系以及数形结合的思想，数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质．13.答案：9解析：解：设幂函数f(x)=xα，其图象过点(2,16)，∴2α=16，解得α=4，∴f(x)=x4，∴f(√3)=(√3)4=9．故答案为：9．设出幂函数f(x)的解析式，利用待定系数法求出f(x)，再计算f(√3)的值．本题考查了求幂函数的解析式与应用问题，是基础题目．14.答案：2解析：解：原式=log2164=log24=2．故答案为：2．进行对数的运算即可．考查对数的定义，对数的运算性质．15.答案：(−∞,−1]解析：解：令t=log12x，在(14,2)上，t∈(−1,2)，∵函数f(x)=log122x+alog12x + 1=在(14,2)上为增函数，则g(t)=t2+at+1在(−1,2)上单调递增，∴−a2≤−1，解得a≤−2，故答案为：(−∞,−2]．利用复合函数的单调性，二次函数的性质，求得a的取值范围．本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，属于中档题．16.答案：5π解析：解：由题意，矩形对角线的交点到4个顶点的距离相等，可得球心到四个顶点的距离相等，则球心为对角线AC的中点，且其半径为AC长度的一半√4+12=√52，则S球=4π×(√52)2=5π．故答案为：5π．先确定球心的位置，然后求出球的半径，再解出外接球的表面积．本题考查球的内接多面体，球的表面积，外接球的半径与折叠二面角的大小没有关系，是解题的关键．17.答案：解：全集U=R，A={x|y=√1x−2+√5−x}={x|{1x−2≥05−x≥0}={x|2<x≤5}=(2,5]B={y|y=x2+4}={y|y≥4}=[4,+∞) (1)A∩B=[4,5]，；A∪B=(2,+∞)；(2)∁U B=(−∞,4)，∴A∩∁U B=(2,4)，∁U A=(−∞,2]∪(5，+∞)，∴(∁U A)∪(∁U B)=(−∞,4)∪(5,+∞)．解析：本题考查了交集、并集与补集的定义和应用问题，是基础题目，化简集合A、B，再根据交集、并集与补集的定义进行计算即可．18.答案：解：(1)由于直线l2与l1平行，可设l2的方程为3x+4y+m=0，将x=−1，y=3代入，得−3+12+m=0，即得m=−9，∴直线l2的方程为3x+4y−9=0；(2)由直线l2与l1垂直，可设l2的方程为4x−3y+n=0，令y=0，得x=−n4，令x=0，得y=n3，故三角形面积S=12·|−n4|·|n3|=4，∴得n2=96，即n=±4√6，∴直线l2的方程是4x−3y+4√6=0或4x−3y−4√6=0．解析：本题考查两直线平行与垂直的位置关系及待定系数法求直线方程．(1)与直线Ax+By+C=0平行的直线可设为Ax+By+m=0，，将已知的点坐标代入即可求m，即可求解；(2)与直线Ax+By+C=0平行的直线可设为Bx−Ay+n=0，求出横截距与纵截距，即可利用直角三角形的面积求出n，即可求解．19.答案：解：(1)因f(x)是奇函数，所以有f(−2)=−f(2)，所以f(2)+f(−2)=0．(2)当x<0时，−x>0∴f(−x)=a−x−1由f(x)是奇函数有，f(−x)=−f(x)，∴−f(x)=a−x−1∴f(x)=1−a−x∴f(x)={a x−1,x≥01−a−x,x<0解析：(1)由奇函数的定义可知f(−2)=−f(2)，可求(2)要求函数解析式，只要求出x<0时的函数f(x)根据题意设x<0，则−x>0，结合f(−x)=−f(x)，及x≥0时，f(x)=a x−1，可求本题主要考查了奇函数的性质在求解函数解析式中的应用，解题的关键是定义的灵活应用20.答案：证明：(1)因为B1B⊥平面ABC，AD⊂平面ABC，所以AD⊥B1B(2分)因为D为正△ABC中BC的中点，所以AD⊥BD(2分)又B1B∩BC=B，所以AD⊥平面B1BCC1(4分)又AD⊂平面AB1D，故平面AB1D⊥平面B1BCC1(6分)(2)连接A1B，交AB1于E，连DE(7分)因为点E为矩形A1ABB1对角线的交点，所以E为AB1的中点(8分)又D为BC的中点，所以DE为△A1BC的中位线，所以DE//A1C(10分)又DE⊂平面AB1D，所以A1C//平面AB1D(12分)解析：(1)由正三棱柱的几何特征可得AD⊥B1B，由等边三角形三线合一，可得AD⊥BD，结合线面垂直及面面垂直的判定定理，可依次证得AD⊥平面B1BCC1及平面AB1D⊥平面B1BCC1；(2)连接A1B，交AB1于E，连DE，由三角形中位线定理可得DE//A1C，进而根据线面平行的判定定理可得A1C//平面AB1D.本题以正三棱柱为载体考查了平面与平面垂直的判定及直线与平面平行的判定，熟练掌握正三棱柱的几何特征，是解答的核心．21.答案：解：(Ⅰ)曲线y =x 2−6x +1与坐标轴的交点为(0,1)，(3±2√2,0).故可设圆心坐标为(3,t)，则有32+(t −1)2=(2√2)2+t 2，解得t =1，则圆的半径为√32+(1−1)2=3.所以圆的方程为(x −3)2+(y −1)2=9.(Ⅱ)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，其坐标满足方程组{x −y +a =0(x −3)2+(y −1)2=9， 消去y 得到方程2x 2+(2a −8)x +a 2−2a +1=0，由已知可得判别式Δ=56−16a −4a 2>0，∴x 1+x 2=4−a ，x 1x 2=a 2−2a+12，①由OA ⊥OB 可得x 1x 2+y 1y 2=0.又y 1=x 1+a,y 2=x 2+a ，所以2x 1x 2+a(x 1+x 2)+a 2=0 ②由①②可得a =−1，满足Δ>0，故a =−1．解析：本题考查圆的方程及直线与圆的关系，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力，属中档题．(Ⅰ)由抛物线与坐标轴的三个交点，利用圆的几何性质确定圆心和半径，求出圆C 的方程； (Ⅱ)把直线方程与圆的方程联立，由根与系数的关系得到坐标之间的关系，由OA ⊥OB ，得到x 1x 2+y 1y 2=0，从而求解．22.答案：解：(1)f(2)=log a 3=1，a =3，f(x)=log 3(x +1)，g(x)=(13)x ；(2)∵f(x)=log 3(x +1)在定义域上是增函数，∴x ∈[1,2)时，f(x)的值域是[log 32,1)，∵g(x)=(13)x 在定义域上是减函数，∴x∈[1,2)时，g(x)的值域是(19,1 3 ].解析：(1)由题意得f(x)=log a3=1，从而求a，再求函数f(x)，g(x)的解析式；(2)由函数的单调性求函数的值域．本题考查了函数的解析式与值域的求法，属于中档题．。

2019-2020学年高三第一学期期末（文科）数学试卷一、选择题1．已知集合A＝{x|（x+1）（x﹣2）≥0}，B＝{x|1＜x＜3}，则A∩B＝（）A．（﹣1，3）B．（2，3）C．（1，2）D．[2，3）2．已知复数z满足（1﹣i）z＝i（i为虚数单位），则z的虚部为（）A．﹣B．C．﹣i D．i3．某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为900、900、1200人，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高三年级抽取的学生人数为（）A．15 B．20 C．25 D．304．过点（﹣1，3）且平行于直线x﹣2y+3＝0的直线方程为（）A．x﹣2y+7＝0 B．2x+y﹣1＝0 C．x﹣2y﹣5＝0 D．2x+y﹣5＝0 5．我国古代数学名著《孙子算经》中有鸡兔同笼问题：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”据此绘制如图所示的程序框图，其中鸡x只，兔y只，则输出x，y的分别是（）A．12，23 B．23，12 C．13，22 D．22，136．已知f（x）＝sin x，在区间任取一个实数x0，则使得f（x0）≥的概率为（）A．B．C．D．7．如图是2018年第一季度五省GDP情况图，则下列陈述中不正确的是（）A．2018年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江省B．与2017年同期相比，各省2018年第一季度的GDP总量实现了增长C．2017年同期河南省的GDP总量不超过4000亿元D．2018年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个8．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，满足f（x+2）＝﹣f（x），且时，f（x）＝log2（﹣3x+1），则f（﹣2019）＝（）A．4 B．2 C．﹣2 D．log259．已知命题p：∃x∈R，使sin x＝；命题q：∀x∈R，都有x2+x+1＞0，给出下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧（￢q）”是假命题；③命题“（￢p）∨q”是真命题；④命题“（￢p）∨（￢q）”是假命题．其中正确的是（）A．②④B．②③C．③④D．①②③10．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若，且A、B、C三点共线（该直线不过原点O），则S200＝（）A．100 B．101 C．200 D．20111．若向量，，函数，则f（x）的图象的一条对称轴方程是（）A．B．C．D．12．对于函数f（x）＝ax2+bx2+cx+d（a≠0），定义：设f'（x）是f（x）的导数，f''（x）是函数f'（x）的导数，若方程f''（x）有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y ＝f（x）的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是对称中心．设函数g（x）＝，则g（）+g（）+…+g（）的值为（）A．2017 B．2018 C．2019 D．2020二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝3x+2y的最大值为．14．函数y＝log a（x+3）﹣1（a≠1，a＞0）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1＝0上，其中m＞0，n＞0，则+的最小值为．15．《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖儒，在如图所示的鳖儒ABCD 中，AB⊥平面BCD，且AB＝BD＝CD＝1，则此鳖儒的外接球的表面积为．16．如图，已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）上有一点A，它关于原点的对称点为B，点F为是双曲线的右焦点，且满足AF⊥BF，设∠ABF＝α，α∈[，]，则该双曲线离心率e的取值范围为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知等比数列{a n}是递减数列，a1a4＝．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n＝﹣（n+1）log2a n，求数列的前n项和T n．18．已知△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，若（2a﹣c）cos B﹣b cos C＝0．（1）求角B的大小；（2）若，求△ABC的面积S．19．如图四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB＝2，E为PD 中点．（1）求证：PB∥平面EAC；（2）求三棱锥C﹣ABE的体积．20．近年来，共享单车已经悄然进入了广大市民的日常生活，并慢慢改变了人们的出行方式．为了更好地服务民众，某共享单车公司在其官方APP中设置了用户评价反馈系统，以了解用户对车辆状况和优惠活动的评价，现从评价系统中选出300条较为详细的评价信息进行统计，车辆状况和优惠活动评价的2×2列联表如下：对优惠活动好评对优惠活动不满意合计对车辆状况好评150 50 200对车辆状况不满意60 40 100 合计210 90 300 （1）能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为优惠活动好评与车辆状况好评之间有关系？（2）为了回馈用户，公司通过APP向用户随机派送骑行券，用户可以将骑行券用于骑行付费，也可以通过APP转赠给好友某用户共获得了5张骑行券，其中只有2张是一元券现该用户从这张骑行券中随机选取2张转赠给好友，求选取的2张中至少有1张是一元券的概率．附：下面的临界值表仅供参考：P（K2≥0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k0）k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 （参考公式：，其中n＝a+b+c+d）21．已知椭圆的右焦点为F，上顶点为M，直线FM 的斜率为，且原点到直线FM 的距离为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若不经过点F的直线l：y＝kx+m（k＜0，m＞0）与椭圆C交于A，B两点，且与圆x2+y2＝1相切．试探究△ABF的周长是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由．22．设函数f（x）＝a（﹣x+lnx）（a为常数）．（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程：（2）若函数g（x）＝f（x）+在（0，1）内存在唯一极值点x＝x0，求实数a的取值范围，并判断x＝x0是f（x）在（0，1）内的极大值点还是极小值点．参考答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A＝{x|（x+1）（x﹣2）≥0}，B＝{x|1＜x＜3}，则A∩B＝（）A．（﹣1，3）B．（2，3）C．（1，2）D．[2，3）【分析】可以求出集合A，然后进行交集的运算即可．解：A＝{x|x≤﹣1或x≥2}，B＝{x|1＜x＜3}，∴A∩B＝[2，3）．故选：D．2．已知复数z满足（1﹣i）z＝i（i为虚数单位），则z的虚部为（）A．﹣B．C．﹣i D．i【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：由（1﹣i）z＝i，得z＝，∴z的虚部为．故选：B．3．某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为900、900、1200人，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高三年级抽取的学生人数为（）A．15 B．20 C．25 D．30【分析】根据分层抽样的定义即可得到结论．解：三个年级的学生人数比例为3：3：4，按分层抽样方法，在高三年级应该抽取人数为人，故选：B．4．过点（﹣1，3）且平行于直线x﹣2y+3＝0的直线方程为（）A．x﹣2y+7＝0 B．2x+y﹣1＝0 C．x﹣2y﹣5＝0 D．2x+y﹣5＝0【分析】由题意可先设所求的直线方程为x﹣2y+c＝0再由直线过点（﹣1，3），代入可求c的值，进而可求直线的方程解：由题意可设所求的直线方程为x﹣2y+c＝0∵过点（﹣1，3）代入可得﹣1﹣6+c＝0 则c＝7∴x﹣2y+7＝0故选：A．5．我国古代数学名著《孙子算经》中有鸡兔同笼问题：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”据此绘制如图所示的程序框图，其中鸡x只，兔y只，则输出x，y的分别是（）A．12，23 B．23，12 C．13，22 D．22，13【分析】分析程序的运行过程知该程序运行后是解方程组，求出方程组的解即可．解：模拟程序的运行过程知，该程序运行后是解方程组，解得；所以鸡23只，兔12只．故选：B．6．已知f（x）＝sin x，在区间任取一个实数x0，则使得f（x0）≥的概率为（）A．B．C．D．【分析】在区间任取一个实数x0，使得，即sin x0，解得x0范围．利用几何概率计算公式即可得出．解：在区间任取一个实数x0，使得，即sin x0，解得≤x0≤．∴在区间任取一个实数x0，使得概率＝＝．故选：C．7．如图是2018年第一季度五省GDP情况图，则下列陈述中不正确的是（）A．2018年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江省B．与2017年同期相比，各省2018年第一季度的GDP总量实现了增长C．2017年同期河南省的GDP总量不超过4000亿元D．2018年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个【分析】由图可知2017年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省有江苏和河南，即可得解．解：由2017年第一季度五省GDP情况图，知：在A中，2018年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江省，故A正确．在B中，与去年同期相比，2018年第一季度五个省的GDP总量均实现了增长，故B正确；在C中，去年同期河南省的GDP总量不超过4000亿元，故C正确；在D中，2017年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省有江苏和河南，共2个，故D错误；故选：D．8．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，满足f（x+2）＝﹣f（x），且时，f（x）＝log2（﹣3x+1），则f（﹣2019）＝（）A．4 B．2 C．﹣2 D．log25【分析】推导出f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），利用时，f（x）＝log2（﹣3x+1），f（﹣2019）＝﹣f（2019）＝﹣f（﹣1），能求出结果．解：函数f（x）是定义在R上的奇函数，满足f（x+2）＝﹣f（x），∴f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），时，f（x）＝log2（﹣3x+1），∴f（﹣2019）＝﹣f（2019）＝﹣f（﹣1）＝﹣log24＝﹣2．故选：C．9．已知命题p：∃x∈R，使sin x＝；命题q：∀x∈R，都有x2+x+1＞0，给出下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧（￢q）”是假命题；③命题“（￢p）∨q”是真命题；④命题“（￢p）∨（￢q）”是假命题．其中正确的是（）A．②④B．②③C．③④D．①②③【分析】先判断命题p，q的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可．解：∵|sin x|≤1，∴：∃x∈R，使sin x＝错误，即命题p是假命题，∵判别式△＝1﹣4＝﹣3＜0，∴∀x∈R，都有x2+x+1＞0恒成立，即命题q是真命题，则①命题“p∧q”是假命题；故①错误，②命题“p∧（￢q）”是假命题；故②正确，③命题“（￢p）∨q”是真命题；故③正确，④命题“（￢p）∨（￢q）”是真命题．故④错误，故选：B．10．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若，且A、B、C三点共线（该直线不过原点O），则S200＝（）A．100 B．101 C．200 D．201【分析】本题根据共线定理可得a2+a199＝1．再根据等差中项的性质及等差数列的求和公式可得结果．解：由题意，A、B、C三点共线，故a2+a199＝1．∴S200＝＝100•（a2+a199）＝100．故选：A．11．若向量，，函数，则f（x）的图象的一条对称轴方程是（）A．B．C．D．【分析】由三角函数中的恒等变换应用可得函数解析式为f（x）＝sin（x+）﹣；再代入正弦函数的对称轴方程即可求解．解：（Ⅰ）∵＝sin cos+cos2＝sin x+cos x﹣＝sin（x+）﹣；令x+＝kπ+⇒x＝kπ+，k∈Z，当k＝0时⇒x＝；∴f（x）的图象的一条对称轴方程是x＝．故选：B．12．对于函数f（x）＝ax2+bx2+cx+d（a≠0），定义：设f'（x）是f（x）的导数，f''（x）是函数f'（x）的导数，若方程f''（x）有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y ＝f（x）的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是对称中心．设函数g（x）＝，则g（）+g（）+…+g（）的值为（）A．2017 B．2018 C．2019 D．2020【分析】由题意对已知函数求两次导数可得图象关于点（，1）对称，即g（x）+g（1﹣x）＝2，即可得到结论．解：与题意可得，g′（x）＝x2﹣x+3，g′′（x）＝2x﹣1，令g′′（x）＝2x﹣1＝0可得，而g（）＝1，故函数g（x）关于（）对称，即g（1﹣x）+g（x）＝2，则g（）+g（）+…+g（）＝2×＝2019．故选：C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝3x+2y的最大值为8 ．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．解：由z＝3x+2y得y＝﹣x+，作出变量x，y满足约束条件，对应的平面区域如图（阴影部分）：由解得A（1，），平移直线y＝﹣x+由图象可知当直线y＝﹣x+经过点A时，直线y＝﹣x+的截距最大，此时z也最大，将A（1，）代入目标函数z＝3x+2y，得z＝8．故答案为：8．14．函数y＝log a（x+3）﹣1（a≠1，a＞0）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1＝0上，其中m＞0，n＞0，则+的最小值为8 ．【分析】根据对数函数的性质先求出A的坐标，代入直线方程可得m、n的关系，再利用1的代换结合均值不等式求解即可．解：∵x＝﹣2时，y＝log a1﹣1＝﹣1，∴函数y＝log a（x+3）﹣1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点（﹣2，﹣1）即A（﹣2，﹣1），∵点A在直线mx+ny+1＝0上，∴﹣2m﹣n+1＝0，即2m+n＝1，∵m＞0，n＞0，∴+＝（+）（2m+n）＝2+++2≥4+2•＝8，当且仅当m＝，n＝时取等号．故答案为：815．《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖儒，在如图所示的鳖儒ABCD 中，AB⊥平面BCD，且AB＝BD＝CD＝1，则此鳖儒的外接球的表面积为3π．【分析】三棱锥放在长方体中高级外接球的直径等于长方体的对角线求出外接球的半径，进而求出体积．解：由题意知，BD⊥CD，将该三棱锥放在长方体中，由题意知长方体的长宽高都是1，既是棱长为1的正方体，则外接球的直径等于正方体的对角线，设外接球的半径为R，则2R＝，所以外接球的表面积S＝4πR2＝3π，故答案为：3π16．如图，已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）上有一点A，它关于原点的对称点为B，点F为是双曲线的右焦点，且满足AF⊥BF，设∠ABF＝α，α∈[，]，则该双曲线离心率e的取值范围为[，+1] ．【分析】如图所示，设双曲线的左焦点为F′，连接AF′，BF′．则四边形AFBF′为矩形．因此|AB＝|FF′|＝2c．而|AF′|﹣|AF|＝2a．|AF|＝2c sinα，|BF′|＝2c cosα．可得e＝＝，求出即可．解：如图所示，设双曲线的左焦点为F′，连接AF′，BF′．则四边形AFBF′为矩形．因此|AB＝|FF′|＝2c．|AF′|﹣|AF|＝2a．|AF|＝2c sinα，|BF|＝2c cosα．∴2c cosα﹣2c sinα＝2a．∴e＝＝，∵α∈[，]，∴α+∈[，]，∴e∈[，+1]．故答案为：[，+1]．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知等比数列{a n}是递减数列，a1a4＝．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n＝﹣（n+1）log2a n，求数列的前n项和T n．【分析】（1）运用等比数列的性质和通项公式，求得公比和首项，可得所求通项公式；（2）由对数的运算性质求得b n，＝＝﹣，运用数列的裂项相消求和，计算可得所求和．解：（1）等比数列{a n}是递减数列，设公比为q，a1a4＝，可得a2a3＝，解得a2＝，a3＝，满足a2＞a3，解得a1＝q＝，则a n＝（）n；（2）b n＝﹣（n+1）log2a n＝﹣（n+1）•（﹣n）＝n（n+1），＝＝﹣，可得前n项和T n＝1﹣+﹣+…+﹣＝1﹣＝．18．已知△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，若（2a﹣c）cos B﹣b cos C＝0．（1）求角B的大小；（2）若，求△ABC的面积S．【分析】（1）由正弦定理把已知等式边化角，再由A+B+C＝π，利用两角和的正弦函数公式得cos B＝，结合B的范围可求B的值．（2）由已知利用余弦定理可求ac的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．解：（1）∵（2a﹣c）cos B﹣b cos C＝0，∴（2sin A﹣sin C）cos B﹣sin B cos C＝0，∴2sin A cos B﹣sin（B+C）＝0，∵A+B+C＝π，∴sin（B+C）＝sin（π﹣A）＝sin A，∴2sin A cos B﹣sin A＝0，∵sin A＞0，∴cos B＝，∵B∈（0，π），∴B＝；（2）∵B＝，，∴由余弦定理b2＝a2+c2﹣2ac cos B，可得4＝a2+c2﹣ac＝（a+c）2﹣3ac＝12﹣3ac，可得ac＝，∴△ABC的面积S＝ac sin B＝×＝．19．如图四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB＝2，E为PD 中点．（1）求证：PB∥平面EAC；（2）求三棱锥C﹣ABE的体积．【分析】（1）连结AC、BD，交于点O，连结OE，推导出OE∥PB，由此能证明PB∥平面EAC．（2）三棱锥C﹣ABE的体积为V C﹣ABE＝V E﹣ABC，由此能求出结果．解：（1）求证：连结AC、BD，交于点O，连结OE，∵底面ABCD是正方形，∴O是BD中点，∵E为PD中点，∴OE∥PB，∵PB⊄平面EAC，OE⊂平面EAC，∴PB∥平面EAC．（2）解：∵四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB＝2，E为PD中点．∴E到平面ABC的距离d ＝＝1，∴三棱锥C﹣ABE的体积为：V C﹣ABE＝V E﹣ABC ＝＝＝．20．近年来，共享单车已经悄然进入了广大市民的日常生活，并慢慢改变了人们的出行方式．为了更好地服务民众，某共享单车公司在其官方APP中设置了用户评价反馈系统，以了解用户对车辆状况和优惠活动的评价，现从评价系统中选出300条较为详细的评价信息进行统计，车辆状况和优惠活动评价的2×2列联表如下：对优惠活动好评对优惠活动不满意合计对车辆状况好评150 50 200对车辆状况不满意60 40 100 合计210 90 300 （1）能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为优惠活动好评与车辆状况好评之间有关系？（2）为了回馈用户，公司通过APP向用户随机派送骑行券，用户可以将骑行券用于骑行付费，也可以通过APP转赠给好友某用户共获得了5张骑行券，其中只有2张是一元券现该用户从这张骑行券中随机选取2张转赠给好友，求选取的2张中至少有1张是一元券的概率．附：下面的临界值表仅供参考：P（K2≥0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k0）k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 （参考公式：，其中n＝a+b+c+d）【分析】（1）由列联表中数据计算K2，对照临界值得出结论；（2）利用列举法求出基本事件数，再计算所求的概率值．（1）由列联表中数据，计算K2＝＝≈7.143＜10.828，解：所以不能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为优惠活动好评与车辆状况好评之间有关系；（2）设这5张骑行券分别为a、b、c、D、E，其中D、E是一元券；现从中随机选取2张，基本事件为：ab、ac、aD、aE、bc、bD、bE、cD、cE、DE共10种不同取法，选取的2张中至少有1张是一元券的事件为aD、aE、bD、bE、cD、cE、DE共7种，故所求的概率为P＝．21．已知椭圆的右焦点为F，上顶点为M，直线FM的斜率为，且原点到直线FM的距离为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若不经过点F的直线l：y＝kx+m（k＜0，m＞0）与椭圆C交于A，B两点，且与圆x2+y2＝1相切．试探究△ABF的周长是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由．【分析】（1）可设F（c，0），M（0，b），由直线的斜率公式和点到直线的距离公式，解方程可得b，c，进而得到a，可得椭圆方程；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．（x1＞0，x2＞0），运用勾股定理和点满足椭圆方程，求得|AQ|＝x1，同理可得|BQ|＝x2，再由焦半径公式，即可得到周长为定值．解：（1）可设F（c，0），M（0，b），可得﹣＝﹣，直线FM的方程为bx+cy＝bc，即有＝，解得b＝1，c＝，a＝，则椭圆方程为+y2＝1；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．（x1＞0，x2＞0），连接OA，OQ，在△OAQ中，|AQ|2＝x12+y12﹣1＝x12+1﹣﹣1＝x12，即|AQ|＝x1，同理可得|BQ|＝x2，∴|AB|＝|AQ|+|BQ|＝（x1+x2），∴|AB|+|AF|+|BF|＝（x1+x2）+﹣x1+﹣x2＝2，∴△ABF的周长是定值2．22．设函数f（x）＝a（﹣x+lnx）（a为常数）．（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程：（2）若函数g（x）＝f（x）+在（0，1）内存在唯一极值点x＝x0，求实数a的取值范围，并判断x＝x0是f（x）在（0，1）内的极大值点还是极小值点．【分析】（1）a＝1时，f（x）＝﹣x+lnx．f′（x）＝﹣1+，可得f′（1）．f（1）＝﹣1．利用点斜式即可得出曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程．（2）函数g（x）＝f（x）+＝a（﹣x+lnx）+．g′（x）＝（x﹣1）．根据函数g（x）在（0，1）内存在唯一极值点x＝x0，可得e x﹣ax＝0，在（0，1）内有唯一解．化为：a＝＝h（x），利用导数研究函数的单调性极值即可得出．解：（1）a＝1时，f（x）＝﹣x+lnx．f′（x）＝﹣1+，f′（1）＝0．f（1）＝﹣1．∴曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程：y﹣（﹣1）＝0，即y+1＝0．（2）函数g（x）＝f（x）+＝a（﹣x+lnx）+．g′（x）＝a（﹣1+）+＝（x﹣1）．∵函数g（x）在（0，1）内存在唯一极值点x＝x0，∴e x﹣ax＝0，在（0，1）内有唯一解．化为：a＝＝h（x），h′（x）＝＜0，可得函数h（x）在（0，1）内单调递减．∴a＞h（1）＝e．可得：存在x0∈（0，1），使得x∈（0，x0）时，g′（x）＜0；x∈（x0，1）时，g′（x）＞0．∴x0是f（x）在（0，1）内的是极小值点．。

2020-2021学年湖南省怀化市高一上期末考试数学试卷一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1．已知集合A＝{x|x2﹣4x+3＞0}，B＝{x|m＜x≤m+4}，若A∪B＝R，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．[﹣1，+∞）C．[﹣1，2）D．[﹣1，1）2．已知命题p：∀x∈R，ax2+ax+1＞0，命题q：函数y＝﹣（a+1）x是减函数，则命题p成立是q成立的（）A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件3．函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在（﹣∞，0）上为减函数，则以下关系正确的是（）A．f（π）＜f（1）＜f（﹣3）B．f（1）＜f（﹣3）＜f（π）C．f（1）＜f（π）＜f（﹣3）D．f（﹣3）＜f（1）＜f（π）4．已知，则（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b5．函数y＝f（x）为定义在R上的偶函数，且对任意x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2）都有，则下列关系正确的是（）A．f（﹣3）＞f（﹣2）＞f（1）B．f（﹣3）＜f（﹣2）＜f（1）C．f（﹣2）＜f（1）＜f（﹣3）D．f（﹣2）＞f（1）＞f（﹣3）6．已知函数f（x）＝sin（ωx）（ω＞0）在区间（]上单调递增，在区间[，）上单调递减，则ω＝（）A．6k﹣，k∈N B．6k+，k∈N C．D．37．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，f（x）＝1﹣2|x+2|，若关于x的方程f2（x）﹣|a+1|f（x）+a2＝0恰好有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则[1﹣f（x1）][1﹣f（x2）][1﹣f（x3）][1﹣f（x4）]的取值范围是（）A．B．C．D．8．网络上盛极一时的数学恒等式“1.0130≈1.4，1.01365≈37.8，1.01730≈1427.6”形象地向我们展示了通过努力每天进步1%，就会在一个月、一年以及两年后产生巨大差异．虽然这是一种理想化的算法，但它也让我们直观地感受到了“小小的改变和时间累积的力量”．小明是一位极其勤奋努力的同学，假设他每天进步2.01%，那么30天后小明的学习成果约为原来的（）倍A．1.69B．1.748C．1.96D．2.8二．多选题（共4小题，每小题5分，共20分）9．若a，b∈R*，则下列不等式中正确的是（）A．≥B．（）2＞C．+≥2D．（a+b）（）≥410．定义一种运算．设f（x）＝min{4+2x﹣x2，|x﹣t|}（t为常数），且x∈[﹣3，3]，则使函数f（x）最大值为4的t值可以是（）A．﹣2B．6C．4D．﹣411．已知函数f（x）＝2sin（x﹣）cos（x﹣），则（）A．f（x）的最小正周期为2πB．函数f（x）的图象关于（，0）对称C．x＝﹣是函数f（x）图象的一条对称轴D．将函数g（x）＝cos2x﹣sin2x的图象向右平移个单位后得到函数f（x）的图象12．已知符号函数sgn（x）＝，下列说法正确的是（）A．函数y＝sgn（x）是奇函数B．对任意的x≥0，sgn（x）＝1C．对任意的x∈R，x•sgn（x）＝|x|D．y＝2x•sgn（﹣x）的值域为（﹣∞，1）三．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．二次函数f（x）＝x2﹣2x+2在区间[0，3]上的最大值为．14．若函数f（x）满足2f（x）﹣f（）＝2x﹣1（x≠0），则f（）＝．15．设函数f（x）＝2cos2x+2sin x cos x+m，当x∈[0，]时，f（x）的值域为[，]，则实数m的值是．16．已知a＝log26，b＝log515，c＝2﹣π，则a，b，c的大小关系为（用“＜”连接）．四．解答题（共6小题，第17题10分，18-22每小题12分，共70分）17．设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，（a＞0）；命题q：实数x满足（x﹣3）（2﹣x）≥0．（1）若a＝1，p，q均为真命题，求x的取值范围；（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．18．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝﹣x2+2x．（1）求函数f（x）在R上的解析式；（2）若f（x）在[﹣2，b）上有最大值，求实数b的取值范围．19．某地为了加快推进垃圾分类工作，新建了一个垃圾处理厂，每月最少要处理300吨垃圾，最多要处理600吨垃圾，月处理成本f（x）（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为．（1）写出自变量x的取值范围；（2）为使每吨平均处理成本最低（如处理400吨垃圾时每吨垃圾平均处理成本为），该厂每月处理量垃圾应为多少吨？20．已知函数f（x）＝cos（﹣）sin（+）+cos2．（Ⅰ）若x，求f（x）的递增区间和值域；（Ⅱ）若f（x0）＝，求sin（x0）．21．已知函数f（x）＝．（1）若f（a）＝1，求a的值；（2）若关于x的方程f2（x）+mf（x）+2m+1＝0恰有5个实数根，求m的取值范围．22．已知函数f（x）＝2sin x cos x﹣2sin2x+1．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求f（x）的最小正周期；（Ⅲ）求f（x）在区间上的最小值．2020-2021学年湖南省怀化市高一上期末考试数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1．已知集合A＝{x|x2﹣4x+3＞0}，B＝{x|m＜x≤m+4}，若A∪B＝R，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．[﹣1，+∞）C．[﹣1，2）D．[﹣1，1）解：∵A＝{x|x2﹣4x+3＞0}＝{x|x＞3或x＜1}，B＝{x|m＜x≤m+4}，若A∪B＝R，∴，解得：﹣1≤m＜1，故选：D．2．已知命题p：∀x∈R，ax2+ax+1＞0，命题q：函数y＝﹣（a+1）x是减函数，则命题p成立是q成立的（）A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解：命题p：∀x∈R，ax2+ax+1＞0，若命题p为真命题，则a＝0或，解得0≤a＜4，命题q：函数y＝﹣（a+1）x是减函数，若命题q为真命题，则﹣（a+1）＜0，解得a ＞﹣1，由0≤a＜4能推出a＞﹣1，反之不成立，故命题p成立是q成立的充分不必要条件，故选：A．3．函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在（﹣∞，0）上为减函数，则以下关系正确的是（）A．f（π）＜f（1）＜f（﹣3）B．f（1）＜f（﹣3）＜f（π）C．f（1）＜f（π）＜f（﹣3）D．f（﹣3）＜f（1）＜f（π）解：依题意，f（x）是定义在R上的偶函数，所以f（﹣3）＝f（3），f（x）在（﹣∞，0）为减函数，故f（x）在（0，+∞）为增函数，所以f（1）＜f（﹣3）＜f（π）．故选：B．4．已知，则（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．c＜b＜a D．c＜a ＜b解：∵，，∴b＞a＞1，∵，∴0＜c＜1，∴c＜a＜b，故选：D．5．函数y＝f（x）为定义在R上的偶函数，且对任意x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2）都有，则下列关系正确的是（）A．f（﹣3）＞f（﹣2）＞f（1）B．f（﹣3）＜f（﹣2）＜f（1）C．f（﹣2）＜f（1）＜f（﹣3）D．f（﹣2）＞f（1）＞f（﹣3）解：因为函数y＝f（x）为定义在R上的偶函数，所以（﹣3）＝f（3），f（﹣2）＝f（2），又因为对任意x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2）都有，所以函数f（x）在[0，+∞）上单调递减，所以f（3）＜f（2）＜f（1），即f（﹣3）＜f（﹣2）＜f（1）．故选：B．6．已知函数f（x）＝sin（ωx）（ω＞0）在区间（]上单调递增，在区间[，）上单调递减，则ω＝（）A．6k﹣，k∈N B．6k+，k∈N C．D．3解：函数f（x）＝sin（ωx）（ω＞0）在区间（]上单调递增，在区间[，）上单调递减，∴ω•＝2kπ+，且•≥+，•≥﹣，即ω＝6k+，k∈Z，且ω≤，∴ω＝．故选：C．7．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，f（x）＝1﹣2|x+2|，若关于x的方程f2（x）﹣|a+1|f（x）+a2＝0恰好有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则[1﹣f（x1）][1﹣f（x2）][1﹣f（x3）][1﹣f（x4）]的取值范围是（）A．B．C．D．解：令t＝f（x），则t2﹣|a+1|t+a2＝0，①若关于x的方程f2（x）﹣|a+1|f（x）+a2＝0有四个不同的根，则方程t2﹣|a+1|t+a2＝0有两个根，设为t1，t2，所以△＝|a+1|2﹣4a2＝﹣3a2+2a+1＞0，解得﹣＜a＜1，所以a+1＞0，且t1+t2＝a2≥0，所以方程①仅在t∈[0，+∞）上有解，当x＜﹣2时，f（x）＝1﹣2﹣（x+2）＝1﹣（）x+2，当﹣2＜x＜0时，f（x）＝1﹣2x+2，根据对称性，得其图象如下：所以当t＝0时，f（x）有3个解，当0＜t＜2时，f（x）＝t有2个解，当t≥3时，f（x）＝t有一个解，（1）若a＝0时，则t2﹣t＝0，解得t1＝0，t2＝1，则f（x）＝0有3个解，f（x）＝1有2个解，所以f（x）＝t共5个解，不合题意（舍去），（2）若a≠0时，则t1t2＝a2＞0，t1+t2＝|a+1|＞0，所以t＞0，要使f（x）＝t1和f（x）＝t2共4个解，则t1，t2∈（0，3），即方程t2﹣（a+1）t+a2＝0，两个根t1，t2∈（0，3），则有△＞0，0＜＜3，且32﹣（a+1）×3+a2＞0，解得﹣＜a＜1，且a≠0，不妨设f（x1）＝f（x2）＝t1，f（x1）f（x2）＝t2，则[1﹣f（x1）][1﹣f（x2）][1﹣f（x3）][1﹣f（x4）]＝（1﹣t1）2（1﹣t2）2＝[（1﹣t1）（1﹣t2）]2＝[1﹣（t1+t2）+t1t2]2，＝[1﹣（a+1）+a2]2＝（a2﹣a）2，a∈（﹣，1），令h（a）＝（a2﹣a）2，a∈（﹣，1），h′（a）＝4a3﹣6a2+2a＝2a（2a﹣1）（2a+1），所以当x∈（﹣，0）时，h′（a）＜0，h（a）单调递减，当x∈（0，）时，h′（a）＞0，h（a）单调递增，当x∈（，1）时，h′（a）＜0，h（a）单调递减，所以h（﹣）＝，h（0）＝0，h（）＝，h（1）＝0，所以h（a）∈（0，），故选：A．8．网络上盛极一时的数学恒等式“1.0130≈1.4，1.01365≈37.8，1.01730≈1427.6”形象地向我们展示了通过努力每天进步1%，就会在一个月、一年以及两年后产生巨大差异．虽然这是一种理想化的算法，但它也让我们直观地感受到了“小小的改变和时间累积的力量”．小明是一位极其勤奋努力的同学，假设他每天进步2.01%，那么30天后小明的学习成果约为原来的（）倍A．1.69B．1.748C．1.96D．2.8解：小明每天进步2.01%，即0.0201，则30天后为1.020130＝（1.012）30＝（1.0130）2≈（1.4）2＝1.96．∴30天后小明的学习成果约为原来的1.96倍．故选：C．二．多选题（共4小题，每小题5分，共20分）9．若a，b∈R*，则下列不等式中正确的是（）A．≥B．（）2＞C．+≥2D．（a+b）（）≥4解：由基本不等式可知，当且仅当a＝b时等号成立，选项A 成立；取a＝2，b＝4，则，此时，选项B错误；由基本不等式可知：，当且仅当a＝b时等号成立，选项C成立；，当且仅当a＝b时等号成立，选项D成立；故选：ACD．10．定义一种运算．设f（x）＝min{4+2x﹣x2，|x﹣t|}（t为常数），且x∈[﹣3，3]，则使函数f（x）最大值为4的t值可以是（）A．﹣2B．6C．4D．﹣4解：y＝4+2x﹣x2在x∈[﹣3，3]上的最大值为4，所以由4+2x﹣x2＝4，解得x＝2或x＝0，所以要使函数f（x）最大值为4，则根据定义可知，当t＜1时，即x＝2时，|2﹣t|＝4，此时解得t＝﹣2，当t＞1时，即x＝0时，|0﹣t|＝4，此时解得t＝4，故t＝﹣2或4，故选：AC．11．已知函数f（x）＝2sin（x﹣）cos（x﹣），则（）A．f（x）的最小正周期为2πB．函数f（x）的图象关于（，0）对称C．x＝﹣是函数f（x）图象的一条对称轴D．将函数g（x）＝cos2x﹣sin2x的图象向右平移个单位后得到函数f（x）的图象解：由函数f（x）＝2sin（x﹣）cos（x﹣）＝sin（2x﹣），可得周期T＝，故A错误；令x＝，可得f（）＝sin（2×﹣）＝0，∴函数f（x）的图象关于（，0）对称，故B正确；令2x﹣＝，k∈Z，可得x＝，当k＝﹣2时，可得x＝﹣，∴x＝﹣是函数f（x）图象的一条对称轴，故C正确；由函数g（x）＝cos2x﹣sin2x＝cos2x＝sin（2x+）的图象向右平移个单位，得到y＝sin[2（x）+]＝sin（2x﹣），即得到函数f（x）的图象，故D正确；故选：BCD．12．已知符号函数sgn（x）＝，下列说法正确的是（）A．函数y＝sgn（x）是奇函数B．对任意的x≥0，sgn（x）＝1C．对任意的x∈R，x•sgn（x）＝|x|D．y＝2x•sgn（﹣x）的值域为（﹣∞，1）解：sgn（x）＝的图象如图所示，图象关于原点对称，为奇函数，A正确；当x＝0时，x＝0，sgn（x）＝0，当x＞0时，x＞0，sgn（x）＝1，B错误；因为x•sgn（x）＝＝|x|，C正确；因为y＝2x sgn（﹣x）＝其值域为[0，1）∪（﹣∞，﹣1]，D不正确．故选：AC．三．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．二次函数f（x）＝x2﹣2x+2在区间[0，3]上的最大值为5．解：函数的对称轴想x＝1，故f（x）在[0，1）递减，在（1，3]递增，故f（x）max＝f（3）＝5，故答案为：5．14．若函数f（x）满足2f（x）﹣f（）＝2x﹣1（x≠0），则f（）＝1．解：根据题意，函数f（x）满足2f（x）﹣f（）＝2x﹣1（x≠0），令x＝2可得：2f（2）﹣f（）＝3，①令x＝可得：2f（）﹣f（2）＝0，②联立①②可得：f（）＝1，故答案为：1．15．设函数f（x）＝2cos2x+2sin x cos x+m，当x∈[0，]时，f（x）的值域为[，]，则实数m的值是．解：函数f（x）＝2cos2x+2sin x cos x+m＝2×+sin2x+m＝2sin（2x+）+1+m，当x∈[0，]时，2x+∈[，]，∴sin（2x+）∈[﹣，1]，2sin（2x+）∈[﹣1，2]，f（x）∈[m，3+m]．∵已知f（x）的值域为[，]，则实数m＝，故答案为：．16．已知a＝log26，b＝log515，c＝2﹣π，则a，b，c的大小关系为c＜b＜a（用“＜”连接）．解：∵log26＞log24＝2，1＝log55＜log515＜log525＝2，2﹣π＜20＝1，∴c＜b＜a．故答案为：c＜b＜a．四．解答题（共6小题，第17题10分，18-22每小题12分，共70分）17．设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，（a＞0）；命题q：实数x满足（x﹣3）（2﹣x）≥0．（1）若a＝1，p，q均为真命题，求x的取值范围；（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．解：由题意得，当p为真命题时，a＜x＜3a；当q为真命题时，2≤x≤3，（1）若a＝1，p，q均为真命题，则，得2≤x＜3，故x的取值范围为[2，3）；（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，则q是p的充分不必要条件，则，解得1＜a＜2，故实数a的取值范围是（1，2）．18．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝﹣x2+2x．（1）求函数f（x）在R上的解析式；（2）若f（x）在[﹣2，b）上有最大值，求实数b的取值范围．解：（1）根据题意，f（x）是定义在R上的奇函数，则f（0）＝0，若x＜0，则﹣x＞0，则f（﹣x）＝﹣（﹣x）2+2（﹣x）＝﹣x2﹣2x，又由f（x）为奇函数，则f（x）＝﹣f（﹣x）＝x2+2x，综合可得：f（x）＝，（2）根据题意，由（1）的结论，f（x）＝，其草图如图：若f（x）在[﹣2，b）上有最大值，即函数图象在区间[﹣2，b）上有最高点，必有﹣2＜b≤0或b＞1，故b的取值范围为：（﹣2，0]∪（1，+∞）．19．某地为了加快推进垃圾分类工作，新建了一个垃圾处理厂，每月最少要处理300吨垃圾，最多要处理600吨垃圾，月处理成本f（x）（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为．（1）写出自变量x的取值范围；（2）为使每吨平均处理成本最低（如处理400吨垃圾时每吨垃圾平均处理成本为），该厂每月处理量垃圾应为多少吨？解：（1）由题意可得，300≤x≤600；（2）∵，∴每吨平均处理成本w＝，当且仅当，即x＝400吨时，上式等号成立．∴该厂每月处理垃圾应为400吨．20．已知函数f（x）＝cos（﹣）sin（+）+cos2．（Ⅰ）若x，求f（x）的递增区间和值域；（Ⅱ）若f（x0）＝，求sin（x0）．解：（Ⅰ）f（x）＝cos（﹣）sin（+）+cos2＝sin cos+cos2＝sin+×＝sin（+）+，令2kπ﹣≤+≤2kπ+，k∈Z，解得3kπ﹣≤x≤3kπ+，k∈Z，又x②，当k＝0时，由①可得x∈[﹣，]，与②取交集可得x∈[﹣，]，所以f（x）的递增区间为[﹣，]，若x，则+∈[0，π]，所以sin（+）∈[0，1]，可得f（x）＝sin（+）+∈[，1+]．即f（x）的值域为[，1+]．（Ⅱ）若f（x0）＝sin（+）+＝，可得sin（+）＝，cos（+）＝±，所以sin（x0）＝sin[（+）﹣]＝sin（+）cos﹣cos（+）sin＝（±×）＝．21．已知函数f（x）＝．（1）若f（a）＝1，求a的值；（2）若关于x的方程f2（x）+mf（x）+2m+1＝0恰有5个实数根，求m的取值范围．解：（1）若a＜0，则f（a）＝lg（﹣a）＝1，解得a＝﹣10；若a≥0，则f（a）＝|e a﹣2|＝1，解得a＝0或ln3．故a的值为0或﹣10或ln3．（2）由题可知，当x＜0时，f（x）单调递减，且f（x）∈R；当0≤x＜ln2时，f（x）单调递减，且f（x）∈（0，1]；当x≥ln2时，f（x）单调递增，且f（x）∈[0，+∞）．关于x的方程f2（x）+mf（x）+2m+1＝0恰有5个实数根，如图，等价于关于t的方程t2+mt+2m+1＝0有2个不相等的实数根t1，t2，不妨设t1＞t2，则，．令h（t）＝t2+mt+2m+1，若t1＞1，0＜t2＜1，则，即，不等式无解；若t1＞1，t2＝1，则，即，不等式无解；若t2＝0，0＜t1≤1，则，即，解得．故m的取值范围是．22．已知函数f（x）＝2sin x cos x﹣2sin2x+1．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求f（x）的最小正周期；（Ⅲ）求f（x）在区间上的最小值．解：（Ⅰ）f（x）＝2sin x cos x﹣2sin2x+1＝sin2x+cos2x＝；所以f（）＝sin（+）＝×＝1；（或直接求）（II）所以f（x）的最小正周期为；（III）由，得，所以；当2x+＝﹣，即x＝﹣时，f（x）取得最小值为．。

2019-2020学年湖南省怀化市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共 12个小题，每小题 5分，共60分•在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的•C . 6共线（该直线不过原点 O ），则S 200 （ ）五头，下有九十四足，问雉兔各几何？ ”据此绘制如图所示的程序框图，其中鸡1.（5分）已知集合 {x|(x 1)(x 2)-0} , B {x|1 x 3}，则 A |2. A . ( 1,3)B . (2,3)C . (1,2) [2 , 3)（5分）已知复数 z 满足（1 i ）z i （i 为虚数单位），则z 的虚部为（ C . !i2 1.i23. （5分）将（3 x ）n 的展开式按照x 的升幕排列，若倒数第三项的系数是90,则n 的值是（4.uuu uun （5分）已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，若OB a ?OA uura 19g OC ，且A 、 B 、C 三点A . 100B . 101C . 200D . 2015. （ 5分）我国古代数学名著《孙子算经》中有鸡兔同笼问题: “今有雉兔同上有三x 只，兔yx ,只，则输出x , y 的分别是（ ）7. （ 5分）如图是2018年第一季度五省 GDP 情况图，则下列陈述中不正确的是 （）C . 13, 22D . 22, 13A . 12, 23B . 23, 126.(D .26A . 2018年第一季度GDP 增速由高到低排位第 5的是浙江省B .与2017年同期相比，各省 2018年第一季度的GDP 总量实现了增长C . 2017年同期河南省的 GDP 总量不超过4000亿元D . 2018年第一季度GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有8 . (5分)已知函数f (x)是定义在R 上的奇函数，满足f(x 2)mgn ，贝U f (x)的图象的□总重十与去年同期相比増长率f(x) log 2( 3x 1)，则 f ( 2019)(log 2 59. ( 5 分)已知命题 p : x R ，使sinx 命题q: x R ,2都有xx 1 0，给出下列结论: ①命题 ”是真命题; ②命题 q) ”是假命题;③命题 p) 是真命题;④命题 p) 是假命题.其中正确的是( A .②④ B .②③C .③④D .①②③f(x)，且 x (10 . ( 5分)若向量一条对称轴方程是11 . (5分)对于函数f(x) ax3bx2cx d(a 0)，定义：设f (x)是f (x)的导数，f (x)第3页(共21页)26是函数f （x ）的导数，若方程f （x ）有实数解X o ，则称点（X o , f （X o ））为函数y f （x ）的“拐点” •经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且2x y 2・・0x 2y，则目标函数z 3x 2y 的最大值为x 1, 014 . ( 5 分)函数 y log a (x 3) 1(a1 , a 0）的图象恒过定点A ,若点A 在直线1 mx ny 10 上，其中 m 0 , n 0,则一m15. （5分）《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖儒，在如图所示的鳖儒ABCD 中，AB 平面BCD ，且AB BD CD 1，则此鳖儒的外接球的表面积为 ________________________________________________________________16. （5分）已知f （x ） x xlnx ，若k Z ，且k （x 2） f （x ）对任意x 2恒成立，则k 的最 大值是 ____ .三、解答题（本大题共 6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .）1 3 17. （10分）已知等比数列｛a .｝是递减数列，af 4 — , a2 a3 3 .32 8（1）求数列｛a n ｝的通项公式；1（2） 若b n（n 2）log 2 a n ，求数列 一的前n 项和T n .b n18 （ 12分）已知 ABC 中，内角A , B , C 所对边分别为 a ,b ,c ，若（2a c ）cos B bcosC 0 . 第4页（共21页）g(x) 1x3 2x2 3x 15，则g( 1 2 一)g(——)2020 2020 gC 2019）的值为（ ） 2020 A . 20172018 C . 2019 D . 2020 2 2 12（5分）已知椭圆詁y 1(a b 0）上一点A 关于原点的对称点为 B , F 为其右焦点, 若 AF BF ，设 ABF ，且 ［巨6］，则该椭圆离心率 e 的取值范围为（ ） ［刍） A • ［3 T 2 二、填空题（每题 5分，满分20分,C .［昇 将答案填在答题纸上）D .［躬］ “拐点”就是对称中心•设函数 13 （ 5分）设变量x , y 满足约束条件 -的最小值为 n(1)求角B的大小；(2 )若b 2，求a c的取值范围.19. ( 12分)如图四棱锥P ABCD中，底面ABCD是正方形，PA 平面ABCD，且PA AB 2，E 为PD 中点.(1)求证：PB//平面EAC ;(2)求二面角 A BE C的正弦值.20. (12分)近年来，共享单车已经悄然进入了广大市民的日常生活，并慢慢改变了人们的出行方式.为了更好地服务民众，某共享单车公司在其官方APP中设置了用户评价反馈系统，以了解用户对车辆状况和优惠活动的评价，现从评价系统中选出300条较为详细的评价信息进行统计，车辆状况和优惠活动评价的2 2列联表如下：对优惠活动好评对优惠活动不满意合计对车辆状况好评15050200对车辆状况不满意6040100合计21090300(1)能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为优惠活动好评与车辆状况好评之间有关系？(2)为了回馈用户，公司通过APP向用户随机派送每张的面额为0元，1元，2元的三种骑行券，用户每次使用APP扫码用车后，都可获得一张骑行券，用户骑行一次获得1元券，获得2元券的概率分别是丄,2,且各次获取骑行券的结果相互独立. 若某用户一天使用了两2 5次该公司的共享单车，记该用户当天获得的骑行券面额之和为X，求随机变量X的分布列和数学期望.附：下边的临界值表仅供参考:(参考公式：K2 (a b)咒膚c)(b d)，其中°a b °d)2 2X y21. (12分)已知椭圆C：p 牙1(a b 0)的右焦点为F ,上顶点为M，直线FM的斜a b率为2，且原点到直线FM的距离为一6•2 3(1)求椭圆C的标准方程；(2)若不经过点F的直线l:y kx m(k 0,m 0)与椭圆C交于A , B两点，且与圆x2 y2 1相切•试探究ABF的周长是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由.Xe22. (12 分)设函数f (x) a(x lnx)(a 为常数).x(1 )当a 1时，求曲线y f(x)在x 1处的切线方程；(2)若函数f(x)在(0,1)内存在唯一极值点x x。

2019-2020学年湖南省怀化市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合{|(1)(2)0}A x x x =+-…，{|13}B x x =<<，则(A B =I ) A ．(1,3)-B ．(2,3)C ．(1,2)D ．[2，3)2．（5分）已知复数z 满足(1)(i z i i -=为虚数单位），则z 的虚部为( ) A ．12-B ．12 C ．12i -D ．12i3．（5分）将(3)n x +的展开式按照x 的升幂排列，若倒数第三项的系数是90，则n 的值是() A ．4B ．5C ．6D ．74．（5分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2199OB a OA a OC =+u u u r u u u r u u u r ，且A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点)O ，则200(S = ) A ．100B ．101C ．200D ．2015．（5分）我国古代数学名著《孙子算经》中有鸡兔同笼问题：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”据此绘制如图所示的程序框图，其中鸡x 只，兔y 只，则输出x ，y 的分别是( )A ．12，23B ．23，12C ．13，22D ．22，136．（5分）函数2cos()()x f x x π=的图象大致是( ) A ．B ．C ．D ．7．（5分）如图是2018年第一季度五省GDP 情况图，则下列陈述中不正确的是( )A ．2018年第一季度GDP 增速由高到低排位第5的是浙江省B ．与2017年同期相比，各省2018年第一季度的GDP 总量实现了增长C ．2017年同期河南省的GDP 总量不超过4000亿元D ．2018年第一季度GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个8．（5分）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，满足(2)()f x f x +=-，且3(,0)2x ∈-时，2()log (31)f x x =-+，则(2019)(f -= )A ．4B ．2C ．2-D ．2log 59．（5分）已知命题:p x R ∃∈，使5sin x =；命题:q x R ∀∈，都有210x x ++>，给出下列结论：①命题“p q ∧”是真命题； ②命题“()p q ∧⌝”是假命题； ③命题“()p q ⌝∨”是真命题； ④命题“()()p q ⌝∨⌝”是假命题． 其中正确的是( ) A ．②④B ．②③C ．③④D ．①②③10．（5分）若向量(sin 3)2x m =r ，2(cos ,)22x x n cos =r，函数()f x m n =r r g ，则()f x 的图象的一条对称轴方程是( ) A ．3x π=B ．6x π=C ．3x π=-D ．2x π=11．（5分）对于函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠，定义：设()f x '是()f x 的导数，()f x ''是函数()f x '的导数，若方程()f x ''有实数解0x ，则称点0(x ，0())f x 为函数()y f x =的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是对称中心．设函数32115()33212g x x x x =-+-，则122019()()()202020202020g g g ++⋯+的值为( )A ．2017B ．2018C ．2019D ．202012．（5分）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上一点A 关于原点的对称点为B ，F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且[,]126ππα∈，则该椭圆离心率e 的取值范围为( )A ．6[31,]- B ．2[,1)2C ．23[,]2 D ．36[,] 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）设变量x ，y 满足约束条件22024010x y x y x +-⎧⎪-+⎨⎪-⎩……„，则目标函数32z x y =+的最大值为 ． 14．（5分）函数log (3)1(1a y x a =+-≠，0)a >的图象恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中0m >，0n >，则12m n+的最小值为 ． 15．（5分）《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖儒，在如图所示的鳖儒ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，且1AB BD CD ===，则此鳖儒的外接球的表面积为 ．16．（5分）已知()f x x xlnx =+，若k Z ∈，且(2)()k x f x -<对任意2x >恒成立，则k 的最大值是 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（10分）已知等比数列{}n a 是递减数列，14132a a =，2338a a +=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2(2)log n n b n a =-+，求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．18．（12分）已知ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，若(2)cos cos 0a c B b C --=．（1）求角B的大小；（2）若2b=，求a c+的取值范围．19．（12分）如图四棱锥P ABCD-中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且2PA AB==，E为PD中点．（1）求证：//PB平面EAC；（2）求二面角A BE C--的正弦值．20．（12分）近年来，共享单车已经悄然进入了广大市民的日常生活，并慢慢改变了人们的出行方式．为了更好地服务民众，某共享单车公司在其官方APP中设置了用户评价反馈系统，以了解用户对车辆状况和优惠活动的评价，现从评价系统中选出300条较为详细的评价信息进行统计，车辆状况和优惠活动评价的22⨯列联表如下：对优惠活动好评对优惠活动不满意合计对车辆状况好评15050200对车辆状况不满意6040100合计21090300（1）能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为优惠活动好评与车辆状况好评之间有关系？（2）为了回馈用户，公司通过APP向用户随机派送每张的面额为0元，1元，2元的三种骑行券，用户每次使用APP扫码用车后，都可获得一张骑行券，用户骑行一次获得1元券，获得2元券的概率分别是12,25，且各次获取骑行券的结果相互独立．若某用户一天使用了两次该公司的共享单车，记该用户当天获得的骑行券面额之和为X，求随机变量X的分布列和数学期望．附：下边的临界值表仅供参考：（参考公式：2()()()()K a b c d a c b d =++++，其中)n a b c d =+++21．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点为F ，上顶点为M ，直线FM 的斜率为2，且原点到直线FM（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若不经过点F 的直线:(0,0)l y kx m k m =+<>与椭圆C 交于A ，B 两点，且与圆221x y +=相切．试探究ABF ∆的周长是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由．22．（12分）设函数()()(xe f x a x lnx a x =--为常数）．（1）当1a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（2）若函数()f x 在(0,1)内存在唯一极值点0x x =，求实数a 的取值范围，并判断0x x =是()f x 在(0,1)内的极大值点还是极小值点．2019-2020学年湖南省怀化市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合{|(1)(2)0}A x x x =+-…，{|13}B x x =<<，则(A B =I ) A ．(1,3)-B ．(2,3)C ．(1,2)D ．[2，3)【解答】解：{|1A x x =-„或2}x …，{|13}B x x =<<， [2A B ∴=I ，3)．故选：D ．2．（5分）已知复数z 满足(1)(i z i i -=为虚数单位），则z 的虚部为( ) A ．12-B ．12 C ．12i -D ．12i【解答】解：由(1)i z i -=，得(1)111(1)(1)22i i i z i i i i +===-+--+， z ∴的虚部为12． 故选：B ．3．（5分）将(3)n x +的展开式按照x 的升幂排列，若倒数第三项的系数是90，则n 的值是() A ．4B ．5C ．6D ．7【解答】解：(3)n x +的展开式按照x 的升幂排列，倒数第三项为2223n n nC x --， 依题意，22390n n C -=，即2(1)102n n n C -==， 解得：5n =， 故选：B ．4．（5分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2199OB a OA a OC =+u u u r u u u r u u u r ，且A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点)O ，则200(S = ) A ．100B ．101C ．200D ．201【解答】解：由题意，A 、B 、C 三点共线，故21991a a +=．12002002199200()100()1002a a S a a +∴==+=g g ．故选：A ．5．（5分）我国古代数学名著《孙子算经》中有鸡兔同笼问题：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”据此绘制如图所示的程序框图，其中鸡x 只，兔y 只，则输出x ，y 的分别是( )A ．12，23B ．23，12C ．13，22D ．22，13【解答】解：模拟程序的运行过程知， 该程序运行后是解方程组359424y x x y =-⎧⎨=+⎩，解得2312x y =⎧⎨=⎩；所以鸡23只，兔12只． 故选：B ．6．（5分）函数2cos()()x f x x π=的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：定义域为(-∞，0)(0⋃，)+∞，2cos()()x f x x π=，22cos()cos()()()()x x f x f x x x ππ--===-， ()()f x f x ∴-=，()f x 为偶函数，． ∴其图象关于y 轴对称，可排除C ，D ；又当0x →时，cos()1x π→，20x →，()f x ∴→+∞．故可排除B ； 而A 均满足以上分析． 故选：A ．7．（5分）如图是2018年第一季度五省GDP 情况图，则下列陈述中不正确的是( )A ．2018年第一季度GDP 增速由高到低排位第5的是浙江省B ．与2017年同期相比，各省2018年第一季度的GDP 总量实现了增长C ．2017年同期河南省的GDP 总量不超过4000亿元D ．2018年第一季度GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个 【解答】解：由2017年第一季度五省GDP 情况图，知：在A 中，2018年第一季度GDP 增速由高到低排位第5的是浙江省，故A 正确．在B 中，与去年同期相比，2018年第一季度五个省的GDP 总量均实现了增长，故B 正确； 在C 中，去年同期河南省的GDP 总量不超过4000亿元，故C 正确；在D 中，2017年第一季度GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的省有江苏和河南，共2个，故D 错误； 故选：D ．8．（5分）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，满足(2)()f x f x +=-，且3(,0)2x ∈-时，2()log (31)f x x =-+，则(2019)(f -= )A ．4B ．2C ．2-D ．2log 5【解答】解：函数()f x 是定义在R 上的奇函数，满足(2)()f x f x +=-，(4)(2)()f x f x f x ∴+=-+=， 3(,0)2x ∈-时，2()log (31)f x x =-+，2(2019)(2019)(1)log 42f f f ∴-=-=--=-=-．故选：C ．9．（5分）已知命题:p x R ∃∈，使sin x =；命题:q x R ∀∈，都有210x x ++>，给出下列结论：①命题“p q ∧”是真命题； ②命题“()p q ∧⌝”是假命题； ③命题“()p q ⌝∨”是真命题； ④命题“()()p q ⌝∨⌝”是假命题． 其中正确的是( ) A ．②④B ．②③C ．③④D ．①②③【解答】解：|sin |1x Q …，:x R ∴∃∈，使sin x 错误，即命题p 是假命题， Q 判别式△1430=-=-<，x R ∴∀∈，都有210x x ++>恒成立，即命题q 是真命题，则①命题“p q ∧”是假命题；故①错误， ②命题“()p q ∧⌝”是假命题；故②正确， ③命题“()p q ⌝∨”是真命题；故③正确， ④命题“()()p q ⌝∨⌝”是真命题．故④错误， 故选：B ．10．（5分）若向量(sin 2x m =r ，2(cos ,)22x x n cos =r，函数()f x m n =r r g ，则()f x 的图象的一条对称轴方程是( ) A ．3x π=B ．6x π=C ．3x π=- D ．2x π=【解答】解：（Ⅰ）Q21()sin cos sin sin()22223x x x f x m n x x x π====+-r rg ；令326x k x k πππππ+=+⇒=+，k Z ∈，当0k =时6x π⇒=；()f x ∴的图象的一条对称轴方程是6x π=．故选：B ．11．（5分）对于函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠，定义：设()f x '是()f x 的导数，()f x ''是函数()f x '的导数，若方程()f x ''有实数解0x ，则称点0(x ，0())f x 为函数()y f x =的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是对称中心．设函数32115()33212g x x x x =-+-，则122019()()()202020202020g g g ++⋯+的值为( )A ．2017B ．2018C ．2019D ．2020【解答】解：与题意可得，2()3g x x x '=-+，()21g x x ''=-， 令()210g x x ''=-=可得，而1()12g =，故函数()g x 关于1(,1)2对称，即(1)()2g x g x -+=，则1220192019()()()220192020202020202g g g ++⋯+=⨯=． 故选：C ．12．（5分）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上一点A 关于原点的对称点为B ，F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且[,]126ππα∈，则该椭圆离心率e 的取值范围为( )A． B． C． D． 【解答】解：如图所示，设椭圆的左焦点为F '，连接AF '，BF '． 则四边形AFBF '为矩形． 因此|||2AB FF c ='=．||||2AF BF a +=．||2sin AF c α=，||2cos BF c α=． 2sin 2cos 2c c a αα∴+=．∴11sin cos )4e πααα==++，Q [,]126ππα∈，∴5()[,]4312πππα+∈，∴sin()[424πα+∈，∴)4πα+∈．e ∴∈．故选：A ．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）设变量x ，y 满足约束条件22024010x y x y x +-⎧⎪-+⎨⎪-⎩……„，则目标函数32z x y =+的最大值为 8 ． 【解答】解：由32z x y =+得322zy x =-+，作出变量x ，y 满足约束条件22024010x y x y x +-⎧⎪-+⎨⎪-⎩……„，对应的平面区域如图（阴影部分）：由1240x x y =⎧⎨-+=⎩解得5(1,)2A ， 平移直线322z y x =-+由图象可知当直线322z y x =-+经过点A 时，直线322zy x =-+的截距最大，此时z 也最大，将5(1,)2A 代入目标函数32z x y =+，得8z =． 故答案为：8．14．（5分）函数log (3)1(1a y x a =+-≠，0)a >的图象恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中0m >，0n >，则12m n+的最小值为 8 ． 【解答】解：2x =-Q 时，log 111a y =-=-，∴函数log (3)1(0a y x a =+->，1)a ≠的图象恒过定点(2,1)--即(2,1)A --，Q 点A 在直线10mx ny ++=上，210m n ∴--+=，即21m n +=， 0m >Q ，0n >，∴121244()(2)22428n m n m m n m n m n m n m n+=++=++++=g g …， 当且仅当14m =，12n =时取等号．故答案为：815．（5分）《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖儒，在如图所示的鳖儒ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，且1AB BD CD ===，则此鳖儒的外接球的表面积为 3π ．【解答】解：由题意知，BD CD ⊥，将该三棱锥放在长方体中，由题意知长方体的长宽高都是1，既是棱长为1的正方体，则外接球的直径等于正方体的对角线，设外接球的半径为R ，则23R =所以外接球的表面积243S R ππ==， 故答案为：3π16．（5分）已知()f x x xlnx =+，若k Z ∈，且(2)()k x f x -<对任意2x >恒成立，则k 的最大值是 4 ． 【解答】解：2x >Q ，(2)()k x f x ∴-<可化为()22f x x xlnxk x x +<=--； 令()2x xlnxF x x +=-， 则221(1)(2)()24()(2)(2)lnx x x x xlnx x lnx x F x x x ++--+--'==--g ；令()24g x x lnx =--，则2()10g x x'=->， 故()g x 在(2,)+∞上是增函数，且g （8）82842(28)0ln ln =--=-<，g （9）92945290ln ln =--=->； 故存在0(8,9)x ∈，使0()0g x =，即0024lnx x =-； 故()2x xlnxF x x +=-在0(2,)x 上是减函数，在0(x ，)+∞上是增函数； 故00000042()()22min x x x x F x F x x -+===-； 故02x k <； 故k 的最大值是4； 故答案为：4．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（10分）已知等比数列{}n a 是递减数列，14132a a =，2338a a +=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2(2)log n n b n a =-+，求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．【解答】解：（1）Q 数列{}n a 是等比数列且14132a a =， ∴23132a a =，又2338a a +=，且数列{}n a 是递减数列，解得：214a =，318a =， 12q ∴=，112a =． ∴1()2n n a =；（2）221(2)log (2)()(2)2n n n b n a n log n n =-+=-+=+．∴11111()(2)22n b n n n n ==-++， 则数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和1111111111(1)232435112n T n n n n =-+-+-+⋯+-+--++11111311(1)()22122212n n n n =+--=--++++． 18．（12分）已知ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，若(2)cos cos 0a c B b C --=． （1）求角B 的大小；（2）若2b =，求a c +的取值范围．【解答】解：（1）(2)cos cos 0a c B b C --=Q ，(2sin sin )cos sin cos 0A C B B C ∴--=， 2sin cos sin()0A B B C ∴-+=， A B C π++=Q ，sin()sin()sin B C A A π∴+=-=， 2sin cos sin 0A B A ∴-=， sin 0A >Q ，1cos 2B ∴=， (0,)B π∈Q ， 3B π∴=；（2）由3B π=，2b =，可得：2222()3b a c ac a c ac =+-=+-， 又222231()3()()()44a c ac a c a c a c +-+-+=+…，22()416a c b ∴+=„，即4a c +„，又2a c b +>=，ABC ∴∆的周长的范围为(2，4]．19．（12分）如图四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，且2PA AB ==，E 为PD 中点．（1）求证：//PB 平面EAC ； （2）求二面角A BE C --的正弦值．【解答】解：（1）证明：连接BD 交AC 于O ， Q 底面ABCD 为正方形，O ∴为BD 的中点，E Q 为PD 的中点，//OE PB ∴，EO Q 在平面EAC 内，PB 不在平面EAC 内， //PB ∴平面EAC ；（2）Q 底面ABCD 为正方形， BC AB ∴⊥，又BC PB ⊥，AB PB B =I ， BC ∴⊥平面PAB ， BC PA ∴⊥，同理CD PD ⊥，BC CD C =I ，PA ∴⊥平面ABCD ，故建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设正方形ABCD 的边长为2， 则(0A ，0，0)，(2C ，2，0)，(0E ，1，1)，(2B ，0，0)，设平面ABE 的一个法向量为(,,)m x y z =r，又(0,1,1)AE =u u u r ，(2,0,0)AB =u u u r ， 则020m AE y z m AB x ⎧=+=⎪⎨==⎪⎩u u u r r g u u u r r g ，可取(0,1,1)m =-r ， 同理可得平面BCE 的一个法向量为(1,0,2)n =r， ∴10cos ,||||m n m n m n <>==r r g r rr r ，∴二面角A BE C --的正弦值为15．20．（12分）近年来，共享单车已经悄然进入了广大市民的日常生活，并慢慢改变了人们的出行方式．为了更好地服务民众，某共享单车公司在其官方APP 中设置了用户评价反馈系统，以了解用户对车辆状况和优惠活动的评价，现从评价系统中选出300条较为详细的评价信息进行统计，车辆状况和优惠活动评价的22⨯列联表如下：对优惠活动好评对优惠活动不满意合计 对车辆状况好评 150 50 200 对车辆状况不满意6040100（1）能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为优惠活动好评与车辆状况好评之间有关系？（2）为了回馈用户，公司通过APP 向用户随机派送每张的面额为0元，1元，2元的三种骑行券，用户每次使用APP 扫码用车后，都可获得一张骑行券，用户骑行一次获得1元券，获得2元券的概率分别是12,25，且各次获取骑行券的结果相互独立．若某用户一天使用了两次该公司的共享单车，记该用户当天获得的骑行券面额之和为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．附：下边的临界值表仅供参考：（参考公式：2()()()()K a b c d a c b d =++++，其中)n a b c d =+++【解答】解：（1）222()300(150406050)7.142910.828()()()()21090200100n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈<++++⨯⨯⨯，∴不在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为优惠活动好评与车辆状况好评之间有关系．（2）公司通过APP 向用户随机派送每张的面额为0元，1元，2元的三种骑行券， 用户每次使用APP 扫码用车后，都可获得一张骑行券，用户骑行一次获得1元券，获得2元券的概率分别是12,25，且各次获取骑行券的结果相互独立．某用户一天使用了两次该公司的共享单车，记该用户当天获得的骑行券面额之和为X ， 则X 的可能取值为0，1，2，3，4， 用户骑行一次获得0元券的概率12112510p =--=， 211(0)()10100P X ===， 11111(1)10221010P X ==⨯+⨯=， 12211133(2)10551022100P X ==⨯+⨯+⨯=， 12212(3)25525P X ==⨯+⨯=，224(4)5525P X ==⨯=， ∴随机变量X 的分布列为：数学期望113324()01234 2.610010100525E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 21．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点为F ，上顶点为M ，直线FM 的斜率为2，且原点到直线FM（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若不经过点F 的直线:(0,0)l y kx m k m =+<>与椭圆C 交于A ，B 两点，且与圆221x y +=相切．试探究ABF ∆的周长是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由．【解答】解：（1）可设(,0)F c ，(0,)M b ，可得2b c -=，直线FM 的方程为bx cy bc +=，=，解得1b =，c =a = 则椭圆方程为2213x y +=；（2）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ． 1(0x >，20)x >，连接OA ，OQ ，在OAQ ∆中，222222111112||11133x AQ x y x x =+-=+--=，即1||AQ =，同理可得2||BQ =，12||||||)AB AQ BQ x x ∴=++，1212||||||)AB AF BF x x x ∴++++=，ABF ∴∆的周长是定值第21页（共21页）22．（12分）设函数()()(xe f x a x lnx a x =--为常数）． （1）当1a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（2）若函数()f x 在(0,1)内存在唯一极值点0x x =，求实数a 的取值范围，并判断0x x =是()f x 在(0,1)内的极大值点还是极小值点．【解答】解：（1）当1a =时，()xe f x x lnx x=-+， 2(1)1()1x e x f x x x-'=-+Q ， f ∴'（1）0=，f （1）1e =-，故()y f x =在1x =处的切线方程1y e =-，（2）2(1)11()()x xe x x ef x a a a x x x x--'=-+⨯=-Q ， 又(0,1)x ∈Q ， ∴10x x-<， 由题意可得，0xe a x-=在(0,1)上有一个零点，设为0x ， 令()x e g x a x =-，(0,1)x ∈，则2(1)()x e x g x x -'=， 可得，01x <<时，()0g x '<，()g x 单调递减，且0x →时，()g x →+∞， 若存在0x ，使得0()0g x =，则根据零点判定定理可知g （1）0e a =-<， 即a e >，此时当0(0,)x x ∈时，()0g x >，()0f x '<，()f x 单调递减，当0(x x ∈，1)时，()0g x <，()0f x '>，()f x 单调递增，故0x x =为函数的极小值．。