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Ex1:数一数图中的凸多面体的面数F、顶点数V 和棱数E,然后用归纳推理得出它们之间的关系.
多面体
三棱锥 四棱锥 三棱柱 五棱锥
面数(F) 顶点数(V) 棱数(E)
4 4 6 8 9
5
5
5
6
立方体
正八面体 五棱柱
截角正方体
尖顶塔
多面体
三棱锥 四棱锥 三棱柱 五棱锥
面数(F) 顶点数(V) 棱数(E)
f ( n ) f ( n 1) n 1 累加得: f ( n ) f ( 2 ) 2 3 4 ( n 1)
Ex6已知数列{an}的前n项和Sn , a 1 Sn 来自 Sn2 3,
且
2 a n ( n 2 ). 计算S1 , S2 , S3 , S4 ,
五棱柱 截角正方体 尖顶塔
7 7
9
15 15
16
Ex2有三根针和套在一根针上的若干金属片.按下列
规则:把金属片从一根针上全部移到另一根针上. (1)每次只能移动一个金属片; (2)较大的金属片不能放在较小的金属片上面. 试推测:把n个金属片从1号针移到3号针,最少需要移 动多少次?
2
1
3
当n=1时, f (1) 1
苏教高中数学选修2-2
归纳推理和类比推理
2012年8月24日星期W
哥德巴赫猜想(Goldbach Conjecture)
世界近代三大数学难题之一.哥德巴赫是德国一位中学教 师，也是一位著名的数学家，生于1690年，1725年当选 为俄国彼得堡科学院院士. 1742年，哥德巴赫在教学中发 现，每个不小于6的偶数都是两个素数（只能被和它本身 整除的数）之和.如6＝3＋3，12＝5＋7等等。 公元1742年6月7日哥德巴赫(Goldbach)写信给当时的大 数学家欧拉(Euler)，提出了以下的猜想:
哥德巴赫猜想(Goldbach Conjecture)
在陈景润之前，关于偶数可表示为s个质数的乘积与t个质数的乘积之和(简 称“s + t ”问题)之进展情况如下: 1920年，挪威的布朗(Brun)证明了 “9 + 9 ”。 1924年，德国的拉特马赫(Rademacher)证明了“7 + 7 ”。 1932年，英国的埃斯特曼(Estermann)证明了 “6 + 6 ”。 1937年，意大利的蕾西(Ricei)先后证明了“5 + 7 ”, “4 + 9 ”, “3 + 15 ”和“2 + 366 ”。 1938年，苏联的布赫夕太勃(Byxwrao)证明了“5 + 5 ”。 1940年，苏联的布赫夕太勃(Byxwrao)证明了 “4 + 4 ”。 1948年，匈牙利的瑞尼(Renyi)证明了“1 + c ”，其中c是一很大的自然数。 1956年，中国的王元证明了 “3 + 4 ”。 1957年，中国的王元先后证明了 “3 + 3 ”和 “2 + 3 ”。 1962年，中国的潘承洞和苏联的巴尔巴恩(BapoaH)证明了 “1 + 5 ”， 中国 的王元证明了“1 + 4 ”。 1965年，苏联的布赫夕太勃(Byxwrao)和小维诺格拉多夫(BHHopappB)，及 意大利的朋比利(Bombieri)证明了“1 + 3 ”。 1966年，中国的陈景润证明了 “1 + 2 ”。 最终会由谁攻克 “1 + 1 ”这个难题呢？现在还没法预测.
2
1
3
当n=1时, 当n=2时,
f (1) 1 f (2) 3
2
1
3
当n=1时,
当n=2时,
f (1) 1 f (2) 3 f (3) 7
当n=3时,
2
1
3
当n=1时, f (1) 1 当n=2时, f ( 2 ) 3 当n=3时, f ( 3 ) 3 1 3 f (2) 1 f (2)
(a) 任何一个>=6的偶数都可以表示成两个奇质数之和; (b) 任何一个>=9的奇数都可以表示成三个奇质数之和.
这就是著名的哥德巴赫猜想.欧拉在6月30日给他的回信中说,他 相信这个猜想是正确的,但他不能证明.叙述如此简单的问题,连 欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明,这个猜想便引起了许多 数学家的注意.从提出这个猜想至今,许多数学家都不断努力想攻 克它,但都没有成功.当然曾经有人作了些具体的验证工作,例如: 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5 = 3 + 7, 12 = 5 + 7,14 = 7 + 7 = 3 + 11,16 = 5 + 11, 18 = 5 + 13,…等等.有人对33×108以内且大过6之 偶数一一进行验算,哥德巴赫猜想(a)都成立,但严格的数学证明尚 待数学家的努力. 从此,这道著名的数学难题引起世界上成千上万数学家的注意 . 200年过去了,没有人证明它.哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上 一颗可望不可及的“明珠”.到20世纪20年代,才有人开始向它靠 近.1920年,挪威数学家布爵用一种古老的筛选法证明,得出了一 个结论：每一个比较大的偶数都可以表示为（9+9）.这种缩小 包围圈的办法很管用，科学家们于是从（9+9）开始，逐步减少 每个数里所含质数因子的个数，直到最后使每个数里都是一个 质数为止，这样就证明了“哥德巴赫”.
并猜想Sn的表达式.
计算得: S 1 猜想:
2 3 , S2 3 4 , S3 4 5 , S4 5 6
Sn
n1 n2
4 5 4 5 6 8
5
6 6 8
6
6 8 6
9
10 12 12
立方体
正八面体 五棱柱 截角正方体 尖顶塔
猜想 F+V-E=2
多面体
三棱锥
四棱锥 三棱柱 五棱锥 立方体 4 5 5 6 4 5 6 6
欧拉公式
6 8 9 10
面数(F) 顶点数(V) 棱数(E)
6
8
8
6 10 10 9
12
12
正八面体
则数列{an+1}是首项为2公比为2的等比数列，
即
an 1 2
n
n
an 2 1
Ex4(2004春季上海)根据图中5个图形及相应点的个数的
变化规律,试猜测第n个图形中有_______________个点. n n1
2
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
Ex5(2005年广东)设平面内有n条直线(n≥3),其中有且仅有
两条直线互相平行,任意三条直线不过同一点.若用f(n)表示
这n条直线交点的个数,则f(4)=
1
5
,
当n>4时,f(n)= 2
( n 2 )( n 1)
____.(用n表示)
f (3) f (2) 2 f (4 ) f ( 3 ) 3 f (5 ) f (4 ) 4
哥德巴赫猜想(Goldbach Conjecture)
目前最佳的结果是中国数学家陈景润於1966年证明的 ，称为陈氏定理(Chen，s Theorem) :“任何充分大的偶 数都是一个质数与一个自然数之和，而后者仅仅是两 个质数的乘积” 通常都简称这个结果为大偶数可表示 为 “1 + 2 ”的形式。
f (4) 1 5 f (3) 1 f (3)
n
f (n) 2 1
n 1 1, f (n) 2 f ( n 1) 1, n 2
Ex3.已知数列{an}满足a1=1，an+1 =2an+1 ，
求通项公式an .
分析：利用构造法
由an+1 +1=2（an+1）
2
1
3
当n=1时, 当n=2时, 当n=3时, 当n=4时,
f (1) 1 f (2) 3 f (3) 7 f (2) 1 f (2)
f (4) f (3)
1 f ( 3 ) 15
2
1
3
当n=1时, 当n=2时, 当n=3时, 当n=4时, 归纳:
f (1) 1 f (2) 3 f (3) 7 f (2) 1 f (2)
