(寒假总动员)2020年高二数学寒假作业 专题16 合情推理与演绎推理(背)

专题16 合情推理与演绎推理学一学------根底知识结论〔1〕推理的概念根据一个或者几个事实(或者假设)得出一个判断，这种思维方式叫做推理．从构造上说，推理一般由两局部组成，一局部是的事实(或者假设)叫做前提，一局部是由推出的判断，叫做结论．温馨提醒：〔1〕任何推理都是由前提和结论两局部组成，前提是推理所根据的命题，它告诉我们的知识是什么，推理的前提可以是一个，也可以是几个．结论是根据前提推得的命题，它告诉我们推出的知识是什么．〔2〕推理也可以看做是用连结词将前提和结论逻辑的连结，常用的连结词有：“因为……，所以……〞“根据……，可知……〞“假如……，那么……〞等．〔2〕推理的分类：〔1〕合情推理；〔2〕演绎推理〔1〕合情推理的概念根据已有的事实和正确的结论〔包括定义、公理、定理等〕、实验和理论的结果、个人的经历和直觉等，经过观察、分析、比拟、联想、归纳、类比等推测出某些结果的推理过程．其中归纳推理和类比推理是最常见的合情推理.〔2〕归纳推理的概念由某类事物的局部对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理〔简称归纳〕.归纳推理是由特殊到一般的推理；〔3〕归纳推理的特点〔1〕归纳推理是由局部到整体、由个别到一般的推理；〔2〕归纳推理的前提是局部的、个别的事实，因此归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联络不是必然的，而是或者然的，所以“前提真而结论假〞的情况有可能发生的〔如教科书所述的“费马猜测〞〕；〔3〕人们在进展归纳推理的时候，总是先搜集一定的事实材料，有了个别性的、特殊性的事实作为前提，然后才能进展归纳推理，因此归纳推理要在观察和实验的根底上进展；〔4〕归纳推理可以发现新事实、获得新结论，是做出科学发现的重要手段．温馨提醒：归纳推理的结论可真可假;归纳推理一般都是从观察、实验、分析特殊情况开场，提出有规律性的猜测；一般地，归纳的个别情况越多，就越具有代表性，推广的一般性命题就越可靠.由于归纳推理的前提是局部的、个别的事实，因此归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联络不是必然的，而是或者然的，所以归纳推理所得的结论不一定是正确的.〔4〕类比推理的概念类比推理〔以下简称类比〕是在两类不同的事物之间进展比照，找出假设干一样或者相似点之后，推测在其他方面也可以存在一样或者相似之处的一种推理形式．类比推理是由特殊到特殊的推理．〔5〕类比推理的几个特点〔1〕类比是从人们已经掌握了的事物的属性之中，推测正在研究中的事物的属性，它以旧有认识作根底，类比出新的结果；〔2〕类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性；〔3〕类比的结果是猜测性的，不一定可靠，但它却具有发现的功能．〔6〕合情推理的推理过程温馨提醒：由合情推理的过程可以看出，合情推理的结论往往超越了前提所包含的范围，带有猜测的成分，因此推理所得的结论未必正确，但是，合情推理具有猜测和发现结论、探究和提供证明的思路和方向的作用．〔1〕演绎推理的概念从一般性的原理出发，按照严格的逻辑法那么，推出某个特殊情况下的结论的推理，叫做演绎推理.演绎推理是由一般到特殊的推理．〔2〕一般形式：“三段论〞是演绎推理的一般形式，常用的一种格式：①大前提——的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的结论.温馨提醒：①假如一个推理规那么能用符号表示为“假如a⇒b，b⇒c，那么a⇒c〞，那么这种推理规那么叫做三段论推理．②三段论推理包含了三个命题，第一个命题称为大前提，它提供了一个一般性的原理；第二个命题称为小前提，它指出了一个特殊对象，两者结合起来，提醒了一般原理与特殊对象的内在联络，从而得到第三个命题——结论．温馨提醒：演绎推理的结论一定正确;演绎推理是一个必然性的推理，因此只要大前提、小前提及推理形式正确，那么结论一定是正确的，它是完全可靠的推理。

高二数学合情推理与演绎推理试题答案及解析1.从1＝12 2＋3＋4＝32 3＋4＋5＋6＋7＝52中，可得到一般规律为________．【答案】【解析】第一个式子左边一个数，从1开始；第二个式子左边三个数，从2开始；第三个式子左边5个数，从3开始，第个式子左边有个数，从，右边为中间数的平方；因此一般规律为．【考点】归纳推理的应用．2.有一段“三段论”推理是这样的：“对于可导函数f（x），如果f′（x0）=0，那么x=x是函数f（x）的极值点；因为函数f（x）=x3在x=0处的导数值f′（0）=0，所以x=0是函数f（x）=x3的极值点．”以上推理中（1）大前提错误;（2）小前提错误;（3）推理形式正确;（4）结论正确你认为正确的序号为．【答案】(1)(3).【解析】该“三段论”的推理形式符合“S是P，M是S，M是P”的推理形式，所以推理形式是正确的；对于可导函数f（x），如果f′（x0）=0，且在的两侧，的符号相反，那么x=x是函数f（x）的极值点，所以题中所给的大前提是错误的；而小前提是正确的，结论是错误的.【考点】演绎推理.3.在平面中，△ABC的角C的内角平分线CE分△ABC面积所成的比.将这个结论类比到空间：在三棱锥A－BCD中，平面DEC平分二面角A－CD－B且与AB交于E，则类比的结论为＝________．【答案】.【解析】在平面中△ABC的角C的内角平分线CE分△ABC面积所成的比，将这个结论类比到空间：在三棱锥A-BCD中，平面DEC平分二面角A-CD-B且与AB交于E，则类比的结论为根据面积类比体积，长度类比面积可得：.【考点】类比推理.4.给出下列等式：；；，由以上等式推出一个一般结论：对于= ．【答案】1-．【解析】由已知中的等式：；；，我们可以推断：对于=1-．【考点】归纳推理．5.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过、、三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过城市；乙说：我没去过城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为________.【答案】A【解析】∵丙说：三人同去过同一个城市，甲说没去过B城市，乙说：我没去过C城市∴三人同去过同一个城市应为Ａ，∴乙至少去过Ａ，若乙再去城市B，甲去过的城市至多两个，不可能比乙多，∴可判断乙去过的城市为Ａ.【考点】推理证明6.观察各式：，则依次类推可得；【答案】123【解析】此题为推断题，观察可发现每一个结果（第三个起）为前面两个结果之和.类此计算可得：123.【考点】观察推断能力.7.已知点是函数的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段AB总是位于A、B两点之间函数图象的上方，因此有结论成立．运用类比思想方法可知，若点是函数的图象上任意不同两点，则类似地有_________________成立．【答案】【解析】由于函数的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段AB总是位于A、B两点之间函数图象的上方，因此有结论成立;而函数的图象上任意不同两点的线段总是位于A、B两点之间函数图象的下方,类比可知应有：成立．【考点】类比推理．8.观察下列等式:,…,根据上述规律,第五个等式为______________．【答案】【解析】由规律得：第四个等式为；第五个等式为．【考点】归纳推理．9.如图(1)有面积关系：＝，则图(2)有体积关系：＝________.【答案】【解析】过点p作直线平面PAC，平面PAC,;因为，所以由（1）类比得===【考点】类比法.10.下面使用的类比推理中恰当的是（）A．“若，则”类比得出“若，则”B．“”类比得出“”C．“”类比得出“”D．“”类比得出“”【答案】C【解析】A：等式的基本性质要求同时除以的是不为0的数或式，∴A错误；B：，由乘法分配律不能类比到乘法结合律，∴B错误；C：这是等式的基本性质的类比，∴C正确；D：不能由幂的乘方类比到和的乘方也有类似性质，∴D错误.【考点】类比推理.11.蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以表示第幅图的蜂巢总数.则=_____，=___________．【答案】37【解析】,,,可得第4幅图，第n幅图.【考点】类比推理.12.用演绎法证明函数是增函数时的小前提是A．增函数的定义B．函数满足增函数的定义C．若，则D．若，则【答案】B【解析】∵证明y=x3是增函数时，依据的原理就是增函数的定义，∴用演绎法证明y=x3是增函数时的大前提是：增函数的定义，小前提是函数f（x）=x3满足增函数的定义．故选B．【考点】演绎推理的基本方法．13.如图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，所表示的数是A．2B．4C．6D．8【答案】C【解析】通过图形可以看出，中间的每一个数都等于其肩上的两个数之和，所以a=3+3=6,故答案为C.【考点】归纳推理.14.设定义在R上的函数满足，，则＝．【答案】3【解析】把代入得，进一步知所以.【考点】推理与证明.15. 36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为，所以36的所有正约数之和为参照上述方法，可求得200的所有正约数之和为 .【答案】 465【解析】由题意得：，所以200的所有正约数之和为.【考点】类比推理.16.观察下列各式：，，，，，，则（）A．B．C．D．【答案】B.【解析】观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，，其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，所求值为数列中的第八项．继续写出此数列为1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，，第十项为47，即．【考点】归纳推理．17.观察下列各式：，，，，，，则（）A．28B．C．D．【答案】B【解析】观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，，其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，所求值为数列中的第八项．继续写出此数列为1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，，第十项为47，即．【考点】归纳推理．18.演绎推理“因为对数函数是增函数，而函数是对数函数，所以是增函数”所得结论错误的原因是（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．大前提和小前提都错误【答案】A【解析】大前提错误，对数函数当时，为增函数，当时，为减函数．【考点】演绎推理，对数函数的性质．19.已知数列2,5,11,20，x,47，合情推出x的值为()A．29B．31C．32D．33【答案】C【解析】观察可知，可得，即.【考点】合情推理,数列的定义.20.若函数，则对于，【答案】【解析】当时，，则当时，故【考点】归纳推理21.观察下列等式：＋＝；＋＋＋＝；＋＋＋＋＋＝；则当且时，＋＋＋＋＋＋＝________(最后结果用表示)．【答案】【解析】观察可知：＋＋＋=（＋）＋（＋）=（＋）＋（＋），有项，＋＋＋＋＋＝（＋）＋（＋）＋（＋）＝（＋）＋（＋）＋（＋），有项，因此＋＋＋＋＋＋共有项，利用倒序求和：＋＋＋＋＋+【考点】归纳猜想22.记为有限集合的某项指标，已知，，，，运用归纳推理，可猜想出的合理结论是：若，（结果用含的式子表示）.【答案】【解析】法一（相邻项的变化关系式）：因为，，进而得到根据数列中的累加法可得到，所以；法二（每一项与集合元素的个数的联系）：，所以可猜想.【考点】1.合情推理中的归纳推理；2.累加法.23.下列推理是归纳推理的是( )．A．A，B为定点，动点P满足|PA|＋|PB|＝2a>|AB|，得P的轨迹为椭圆B．由a1＝1，a n＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和S n的表达式C．由圆x2＋y2＝r2的面积πr2，猜出椭圆＝1的面积S＝πab D．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇【答案】B【解析】从S1，S2，S3猜想出数列的前n项和Sn，是从特殊到一般的推理，所以B是归纳推理24.观察下列不等式：1>，1＋＋>1,1＋＋＋…＋，1＋＋＋…＋>2,1＋＋＋…＋>，…，由此猜测第n个不等式为________(n∈N＋)．【答案】1＋＋＋…＋>【解析】3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1，可猜测：1＋＋＋…＋>25.如图，在三棱锥S－ABC中，SA⊥SB，SB⊥SC，SA⊥SC，且SA、SB、SC和底面ABC，所成的角分别为α1、α2、α3，三侧面SBC，SAC，SAB的面积分别为S1，S2，S3，类比三角形中的正弦定理，给出空间情形的一个猜想．【答案】猜想成立【解析】在△DEF中(如图)，由正弦定理得.于是，类比三角形中的正弦定理，在四面体S－ABC中，我们猜想成立．26.下列平面图形中与空间的平行六面体作为类比对象较合适的是()A．三角形B．梯形C．平行四边形D．矩形【答案】C【解析】根据题意，由于平面图形中与空间的平行六面体作为类比对象，那么最适合的为平行四边形的运用，故可知答案为C.【考点】类比推理点评：主要是考查了类比推理的运用，属于基础题。

高二数学合情推理与演绎推理知识精讲 苏教版一. 本周教学内容： 合情推理与演绎推理二. 重点、难点：教学重点：能用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用．掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单推理．教学难点：了解合情推理和演绎推理的联系和区别．三. 基础知识与基本方法 1、知识结构⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩归纳推理合情推理推理类比推理演绎推理－－三段论2、合情推理与演绎推理的区别:①归纳是由特殊到一般的推理; ②类比是由特殊到特殊的推理;类比是根据两种事物某些属性的相似，推断出它们其他属性也可能相似的一种推理方法．类比可分为概念类比、结构类比、解法类比和性质类比．通过类比发现新的数学知识和新的解题方法，通过类比可进一步培养学生的发散思维能力和创造思维能力，通过类比可深刻揭示知识的内涵和外延．③演绎推理是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理，是由一般到特殊的推理． 3、各种推理的思维模式归纳推理的思维过程为：实验、观察→概括、推广→猜测一般结论． 类比推理的思维过程为：观察、比较→联想、类推→猜测新的结论．演绎推理的思维过程为：大前提：M 是P ，小前提：S 是M ，结论：S 是P ．例 1. 等和数列的定义：一个数列从第二项起，每一项与它的前一项之和为同一个常数的数列．这个数列叫等和数列．这个常数叫等和数列的公和．若已知等和数列首项为2，公和为5，求该等和数列的通项公式与前n 项之和．解：⎩⎨⎧=为偶数）（为奇数）（n 3n 2a n ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=为偶数）（为奇数）（n n 25n 21n 25S n 变式：类比等比数列可以得到等积数列：若已知首项为2，公积为6，请写出该等积数列的通项公式与前n 项和公式． 说明：通过概念类比．可发现新知识，揭示新规律，从而培养学生的学习能力．例 2. ①若已知()2xf x =+2求(5)(4)(3)(0)(5)(6)f f f f f f -+-+-+++++的值．分析：等差数列求和方法为“倒序相加”法，由此结构特征，我们可求如下一些类型的和．只要利用f （n ）＋f （1－n ）＝22，就可以求得答案为32 ②已知22()1x f x x =+，则111(1)(2)(3)(4)()()()234f f f f f f f ++++++＝______ （答：72） ③已知22()(0,1)xxa f x a a a a=>≠+，则 1232004()()()()2005200520052005f f f f ++++＝____________ （答：1002）④若x ∈R 、n ∈N*，定义：55),1()2)(1(--+++=M n x x x x M n x 例如 ＝（－5）（－4） （－3）（－2）（－1）＝－120，则函数199)(-=x xM x f 的奇偶性为（A ）A. 是偶函数而不是奇函数B. 是奇函数而不是偶函数C. 既是奇函数又是偶函数D. 既不是奇函数又不是偶函数说明：类比相同或相似的结构，考查学生的发散思维能力，理性思维能力以及合情推理能力．例3. 已知x>0，y>0，x ＋2y ＝1，求11x y+的最小值． 解：11x y +＝（11x y+）（x ＋2y ）＝3＋2322y xx y +≥+类比上述解题方法，求解下列问题：①已知a ，b 为正常数，且a ＋b ＝10，x ，y 为正数，且a bx y+＝1，又x ＋y 的最小值为18，求a ，b 的值.分析：x ＋y ＝（x ＋y ）×（a b x y+）＝a ＋b ＋2ay bxa b ab x y +≥++18，故108162a b a ab b +==⎧⎧⇒⎨⎨==⎩⎩ ②已知a ，b 为正数，且a ≠b ，x ，y ∈R ＋，求证：222()a b a b x y x y++≥+，并指出等号成立的条件．③利用②的结论求函数f （x ）＝291((0,))122x x x +∈-的最小值，并指出等号成立的条件．说明：通过解法类比，考查学生知识的迁移能力和灵活应用知识的能力．例4. （2003上海春季）已知椭圆具有的性质：若M ，N 是椭圆C 1:22221x y a b+=（a>b>0）上关于原点对称的两点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率k PM ，k PN 都存在时，那么k PM ·k PN 是与点P 位置无关的定值，试对双曲线C 2:22221x y a b-=写出具有类似性质，并加以证明．分析：k PM ·k PN ＝121222221212222121y y y y y y b x x x x x x a--+•==-+-. 说明：性质类比主要是学科内部的类比，如圆锥曲线间的性质类比等，有利于考查学生类比探究的能力．例5. （2002春季京皖）已知点的序列A n （x n ，0）， （n ∈N ＋）其中x 1＝0，x 2＝a （a>0），A 3是线段A 1A 2的中点，A 4是线段A 2A 3的中点，…，A n 是线段A n －2A n －1的中点，…（1）写出x n 与x n －1，x n －2之间的关系式；（2）设a n ＝x n －1－x n －2，计算a 1，a 2，a 3，由此推测得{a n }的通项公式，并加以证明；答：（1） x n ＝12（x n －1＋x n －2） （2）a 1＝x 2－x 1＝a －0＝a ， a 2＝x 3－x 2＝12222x x ax +-=-. a 3＝x 4－x 3＝4a.由此推测得a n ＝11()2n a n N -+⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭.验证如下：11121111()122n n n n n n n n nn n x x x a x x a x x x x ++++++++--===---．∴{a n }是以－12为公比的等比数列． ∴a n ＝a 1（－12）n －1＝（－12）n －1a （n ∈N ＋）.例6. （1）设a ，b 是两个实数，求证：若|a|<1，|b|<1，则1a bab++<1．（2）对于三个实数a ，b ，c ，是否存在与（1）类似的结论？答：（1）证明略 （2）存在1111a bc a b c abc ab a b ab bc ca c ab ++++++=+++++•+<1．例7. 空间n 个平面最多把空间分成多少个部分? 解：“最多”需任意两个平面不平行，任意三个平面不交于一直线．平面之于空间低一维，恰似直线之于平面低一维．所以我们可以类比直线分平面的个数使问题获解．当直线分平面时，第k 条直线与前k –1条直线有k –1个交点，这k –1个交点把直线分成k 段，每一段把原所在平面分成2部分．记k 条直线分平面的个数为P （k ）＝P （k –1）＋k类比上述直线分平面的关系可知，第k 个平面与前k –1个平面有k –1条直线，这k –1条直线把平面分为P （k –1）个平面，每一平面把原所在空间分为2部分．记k 个平面分空间的个数为W （k ）＝W （k –1）＋P （k –1） 由2，4，7，11，16……可得 P （n ）＝P （n –1）＋n＝P （n –2）＋（n –1）＋n ＝……＝P （1）＋2＋3＋……＋（n –1）＋n＝222n n ++P （1）＋P （2）＋……＋P （n – 1）＝32101212n n +-＝3566n n +-W （n ）＝W （n –1）＋P （n –1）＝W （n –2）＋P （n –2）＋P （n –1） ＝……＝W （1）＋P （1）＋……＋P （n –1）＝3566n n ++另解：由P （n ）＝222n n ++ 类比之，猜想W （n ）＝323an bn cn d+++（a ，b ，c ，d 为待定系数）．当n ＝1，2，3，4时，求出a ，b ，c ，d 的值，即a ＝1/2，b ＝0，c ＝5/2，d ＝3，所以猜测W （n ）＝3566n n ++，这用数学归纳法证之即可使原问题获解．一、选择题1. 数列2,5,11,20,,47,x …中的x 等于（ ） A. 28 B . 32C. 33D. 272. 已知正六边形ABCDEF ，在下列表达式①EC CD BC ++；②DC BC +2； ③ED FE +；④FA ED -2中，与AC 等价的有（ ） A. 1个 B. 2个C. 3个D. 4个3. 如果821a ,a ,a 为各项都大于零的等差数列，公差0≠d ，则（ ） A. 5481a a a a >B. 5481a a a a <C. 5481a a a a +>+D. 5481a a a a =4. 设c b a ,,三数成等比数列，而y x ,分别为b a ,和c b ,的等差中项，则=+ycx a （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 不确定5. 计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0~9和字母A~F 共16个计数符号，这些符号与十进制的数字的对应关系如下表：十六进制 0 1 2 3 4 5 6 7 十进制 0 1 2 3 4 5 6 7 十六进制 8 9 A B C D E F 十进制89101112131415例如，用十六进制表示,则（ ） A. 6E B. 72 C. 5F D. 806. 若O 是平面上一定点，,,A B C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足[)(),0,AB AC OP OA ABACλλ=++∈+∞，则P 的轨迹一定通过△ABC 的（ ）A. 外心B. 重心C. 内心D. 垂心二、填空题7. 从222576543,3432,11=++++=++=中得出的一般性结论是_____________．8. 若等差数列{}n a 的前n 项和公式为2(1)3n S pn p n p =++++，则p ＝_______，首项1a ＝_______；公差d ＝_______．9. 在数列{}n a 中，)()1(1,2,1*221N n a a a a n n n ∈-+=-==+，则.__________10=S10. )(131211)(+∈+⋅⋅⋅+++=N n nn f ，经计算的,25)8(f ,2)4(f ,23)2(f >>=,3)16(f >27)32(f >，推测当2≥n 时，有__________________________.三、解答题11. 设)(),0)(2sin()(x f x x f <<-+=ϕπϕ图像的一条对称轴是8π=x .（1）求ϕ的值；（2）求)(x f y =的增区间；（3）证明直线025=+-c y x 与函数)(x f y =的图象不相切． 12. 211...122...2()nnn -是正整数13. 在ABC ∆中，猜想sin sin sin T A B C =++的最大值，并证明之．[参考答案]1、B2、D3、B4、B5、A6、C7、2*1...212...32(21),n n n n n n n N ++++-+++-=-∈ 8、－3，－5，－6 9、35 10、2(2)2nn f +>11、解：（1）由对称轴是8π=x ，得sin()1,,4424k k ππππϕϕπϕπ+=±+=+=+，而0πϕ-<<，所以34ϕπ=-（2）33()sin(2),2224242f x x k x k ππππππ=--≤-≤+ 588k x k ππππ+≤≤+，增区间为5[,],()88k k k Z ππππ++∈（3）'33()sin(2),()2cos(2)244f x x f x x ππ=-=-≤，即曲线的切线的斜率不大于212211...122...211...11011...122...2nnnnnn-=⨯+-11...11011...111...1(101)n n nnn=⨯-=⨯-11...1911...1311...133...3nnnn=⨯⨯=⨯=13、证明：sin sin sin sin2sincos 2sin()cos()3222626A B A B C C A B C πππ+-+++=++-2sin 2sin()4sin()cos()226412412A B C A B C A B C πππ++++-≤++=+-4sin()4124sin()4sin 4123A B C ππππ++≤+=+=当且仅当cos 12cos()126cos()1412A B C A B C ππ-⎧=⎪⎪⎪-=⎨⎪+-⎪-=⎪⎩时等号成立，即33A B C A B C ππ⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩所以当且仅当3A B C π===时，sin3T π+的最大值为4sin3π所以max 333sin 32T π==。

高二数学合情推理与演绎推理试题答案及解析1.由下列事实：（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2（a﹣b）（a2+ab+b2）=a3﹣b3，（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）=a4﹣b4，（a﹣b）（a4+a3b+a2b2+ab3+b4）=a5﹣b5，可得到合理的猜想是．【答案】.【解析】由所给等式可以发现：等式左边由两个因式相乘；第一个因式相同，是；第二个因式是和的形式，每一项为的形式，且按降次排列，按升次排列，且；等式右边为差的形式，次数比左边第二个因式的第一项次数大1，；因此，我们可得到合理的猜想是.【考点】归纳推理.2.在Rt△ABC中，若∠C=90°，AC=b，BC=a，斜边AB上的高为h，则有结论h2=，运用类比方法，若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为a，b，c，且三棱锥的直角顶点到底面的高为h，则有结论：．【答案】h2=【解析】如图，设PA、PB、PC为三棱锥的三条两两互相垂直的侧棱，三棱锥P-ABC的高为PD=h，连接AD交BC于E，∵PA、PB、PC两两互相垂直，∴PA⊥平面PBC，PE⊂平面PBC，∴PA⊥PE，PA⊥BC，∴AE⊥BC，PE⊥BC,=【考点】类比推理．3.把命题“若是正实数，则有”推广到一般情形，推广后的命题为____________.【答案】若都是正数，则有【解析】可通过类比，归纳得一般结论，证明如下：【考点】推理与证明.4.有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则此直线平行于平面内的所有直线；已知直线平面，直线平面，直线平面，则直线直线”结论显然是错误的，这是因为（）A．大前提错误B．推理形式错误C．小前提错误D．非以上错误【答案】A【解析】三段论推理形式为大前提、小前提和结论，只有大前提、小前提都正确，且推理的形式也正确，结论才正确，此处结论错误的原因是“直线平行于平面，则此直线平行于平面内的所有直线”这句话不正确，它恰是推理的大前提，故选择A.【考点】三段论推理.5.设点C在线段AB上（端点除外），若C分AB的比，则得分点C的坐标公式，对于函数上任意两点，，线段AB必在弧AB上方．由图象中的点C在点C′正上方，有不等式成立．对于函数的图象上任意两点，，类比上述不等式可以得到的不等式是_________ ．【答案】.【解析】根据函数的图像可知，函数上任意两点A（a，a2），B（b，b2），线段AB必在弧AB上方，设C分AB的比，则得分点C的坐标公式由图像中点C在点C′上方可得成立.据此我们从图像可以看出：函数的图像是向下凹的，类比对数函数可知，对数函数的图像是向上凸的，分析函数的图像，类比上述不等式，可以得到的不等式是.【考点】类比推理．6.观察下列各式：则______;【答案】123【解析】此题为推断题，观察可发现每一个结果（第三个起）为前面两个结果之和.类此计算可得：123.【考点】观察推断能力.7.已知点是函数的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段AB总是位于A、B两点之间函数图象的上方，因此有结论成立．运用类比思想方法可知，若点是函数的图象上任意不同两点，则类似地有_________________成立．【答案】【解析】由于函数的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段AB总是位于A、B两点之间函数图象的上方，因此有结论成立;而函数的图象上任意不同两点的线段总是位于A、B两点之间函数图象的下方,类比可知应有：成立．【考点】类比推理．8.给出命题：若是正常数，且，，则(当且仅当时等号成立)．根据上面命题，可以得到函数（）的最小值及取最小值时的值分别为（）A．，B．，C．25，D．，【答案】D【解析】本题先从给出的命题中进行学习，获取一些基本的信息，进而利用这一信息进行作答．依题意可得，当且仅当即时等号成立，故选D．【考点】创新学习题．9.①由“若a，b，c∈R，则(ab)c＝a(bc)”类比“若a、b、c为三个向量，则(a·b)c＝a(b·c)”；②在数列{an }中，a1＝0，an＋1＝2a n＋2，猜想a n＝2n－2；③在平面内“三角形的两边之和大于第三边”类比在空间中“四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积”；上述三个推理中，正确的个数为()A．0B．1C．2D．3【答案】【解析】①显然错误,向量没有结合律;②根据,可构造出,即,可得,该数列是公比为2,首项是的等比数列,所以其通项公式为,可得,正确;③四面体就是三棱锥,可看作是底面三角形中任取一点,将其向上提而形成的几何体,显然三个侧面的面积之和大于底面面积.正确.【考点】向量运算定律;利用递推公式构造等比数列求通项公式;空间几何的猜想.类比推理.10.把正整数按右图所示的规律排序，则从2013到2015的箭头方向依次为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】把上图中的数分为4个数列分别是：（1）1,5,9 (2)2,6,10 ;(3)3,7,11 ;(4)4,8,12 它们都是以4为公差的等差数列，4个数列的通项公式分别为，，，，只要确定2014在哪个位置就可以了，只有解得，其余的解得不是整数，所以2014在第二个数列的位置，观察数的结构得本题选A。

高二数学合情推理与演绎推理知识精讲一. 本周教学内容： 合情推理与演绎推理二. 重点、难点：教学重点：能用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用．掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单推理．教学难点：了解合情推理和演绎推理的联系和区别．三. 基础知识与基本方法 1、知识结构⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩归纳推理合情推理推理类比推理演绎推理－－三段论2、合情推理与演绎推理的区别:①归纳是由特殊到一般的推理; ②类比是由特殊到特殊的推理;类比是根据两种事物某些属性的相似，推断出它们其他属性也可能相似的一种推理方法．类比可分为概念类比、结构类比、解法类比和性质类比．通过类比发现新的数学知识和新的解题方法，通过类比可进一步培养学生的发散思维能力和创造思维能力，通过类比可深刻揭示知识的内涵和外延．③演绎推理是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理，是由一般到特殊的推理． 3、各种推理的思维模式归纳推理的思维过程为：实验、观察→概括、推广→猜测一般结论． 类比推理的思维过程为：观察、比较→联想、类推→猜测新的结论．演绎推理的思维过程为：大前提：M 是P ，小前提：S 是M ，结论：S 是P ．例 1. 等和数列的定义：一个数列从第二项起，每一项与它的前一项之和为同一个常数的数列．这个数列叫等和数列．这个常数叫等和数列的公和．若已知等和数列首项为2，公和为5，求该等和数列的通项公式与前n 项之和．解：⎩⎨⎧=为偶数）（为奇数）（n 3n 2a n ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=为偶数）（为奇数）（n n 25n 21n 25S n变式：类比等比数列可以得到等积数列：若已知首项为2，公积为6，请写出该等积数列的通项公式与前n 项和公式． 说明：通过概念类比．可发现新知识，揭示新规律，从而培养学生的学习能力．例 2.①若已知()f x =求(5)(4)(3)(0)(5)(6)f f f f f f -+-+-+++++的值．分析：等差数列求和方法为“倒序相加”法，由此结构特征，我们可求如下一些类型的和．只要利用f （n ）＋f （1－n ②已知22()1x f x x =+，则111(1)(2)(3)(4)()()()234f f f f f f f ++++++＝______ （答：72） ③已知22()(0,1)xx a f x a a a a =>≠+，则 1232004()()()()2005200520052005f f f f ++++＝____________ （答：1002）④若x ∈R 、n ∈N*，定义：55),1()2)(1(--+++=M n x x x x M n x 例如 ＝（－5）（－4） （－3）（－2）（－1）＝－120，则函数199)(-=x xM x f 的奇偶性为 （A ）A. 是偶函数而不是奇函数B. 是奇函数而不是偶函数C. 既是奇函数又是偶函数D. 既不是奇函数又不是偶函数说明：类比相同或相似的结构，考查学生的发散思维能力，理性思维能力以及合情推理能力．例3. 已知x>0，y>0，x ＋2y ＝1，求11x y+的最小值．解：11x y +＝（11x y+）（x ＋2y ）＝3＋23y x x y +≥+类比上述解题方法，求解下列问题：①已知a ，b 为正常数，且a ＋b ＝10，x ，y 为正数，且a bx y+＝1，又x ＋y 的最小值为18，求a ，b 的值.分析：x ＋y ＝（x ＋y ）×（a b x y+）＝a ＋b ＋ay bxa b x y +≥++18，故108162a b a ab b +==⎧⎧⇒⎨⎨==⎩⎩ ②已知a ，b 为正数，且a ≠b ，x ，y ∈R ＋，求证：222()a b a b x y x y++≥+，并指出等号成立的条件．③利用②的结论求函数f （x ）＝291((0,))122x x x +∈-的最小值，并指出等号成立的条件．说明：通过解法类比，考查学生知识的迁移能力和灵活应用知识的能力．例4. （2003上海春季）已知椭圆具有的性质：若M ，N 是椭圆C 1:22221x y a b+=（a>b>0）上关于原点对称的两点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率k PM ，k PN 都存在时，那么k PM ·k PN 是与点P 位置无关的定值，试对双曲线C 2:22221x y a b-=写出具有类似性质，并加以证明．分析：k PM ·k PN ＝121222221212222121y y y y y y b x x x x x x a --+•==-+-. 说明：性质类比主要是学科内部的类比，如圆锥曲线间的性质类比等，有利于考查学生类比探究的能力．例5. （2002春季京皖）已知点的序列A n （x n ，0）， （n ∈N ＋）其中x 1＝0，x 2＝a （a>0），A 3是线段A 1A 2的中点，A 4是线段A 2A 3的中点，…，A n 是线段A n －2A n －1的中点，…（1）写出x n 与x n －1，x n －2之间的关系式；（2）设a n ＝x n －1－x n －2，计算a 1，a 2，a 3，由此推测得{a n }的通项公式，并加以证明；答：（1） x n ＝12（x n －1＋x n －2） （2）a 1＝x 2－x 1＝a －0＝a ， a 2＝x 3－x 2＝12222x x ax +-=-. a 3＝x 4－x 3＝4a.由此推测得a n ＝11()2n a n N -+⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭.验证如下：11121111()122n n n n n n n n nn n x x x a x x a x x x x ++++++++--===---．∴{a n }是以－12为公比的等比数列． ∴a n ＝a 1（－12）n －1＝（－12）n －1a （n ∈N ＋）.例6. （1）设a ，b 是两个实数，求证：若|a|<1，|b|<1，则1a bab++<1．（2）对于三个实数a ，b ，c ，是否存在与（1）类似的结论？答：（1）证明略 （2）存在1111a bc a b c abc ab a b ab bc ca c ab ++++++=+++++•+<1．例7. 空间n 个平面最多把空间分成多少个部分? 解：“最多”需任意两个平面不平行，任意三个平面不交于一直线．平面之于空间低一维，恰似直线之于平面低一维．所以我们可以类比直线分平面的个数使问题获解．当直线分平面时，第k 条直线与前k –1条直线有k –1个交点，这k –1个交点把直线分成k 段，每一段把原所在平面分成2部分．记k 条直线分平面的个数为P （k ）＝P （k –1）＋k类比上述直线分平面的关系可知，第k 个平面与前k –1个平面有k –1条直线，这k –1条直线把平面分为P （k –1）个平面，每一平面把原所在空间分为2部分．记k 个平面分空间的个数为W （k ）＝W （k –1）＋P （k –1） 由2，4，7，11，16……可得 P （n ）＝P （n –1）＋n＝P （n –2）＋（n –1）＋n ＝……＝P （1）＋2＋3＋……＋（n –1）＋n＝222n n ++P （1）＋P （2）＋……＋P （n – 1）＝32101212n n +-＝3566n n +-W （n ）＝W （n –1）＋P （n –1）＝W （n –2）＋P （n –2）＋P （n –1） ＝……＝W （1）＋P （1）＋……＋P （n –1）＝3566n n ++另解：由P （n ）＝222n n ++ 类比之，猜想W （n ）＝323an bn cn d+++（a ，b ，c ，d 为待定系数）．当n ＝1，2，3，4时，求出a ，b ，c ，d 的值，即a ＝1/2，b ＝0，c ＝5/2，d ＝3，所以猜测W （n ）＝3566n n ++，这用数学归纳法证之即可使原问题获解．一、选择题1. 数列2,5,11,20,,47,x …中的x 等于（ ） A. 28 B . 32C. 33D. 272. 已知正六边形ABCDEF ，在下列表达式①EC CD BC ++；②DC BC +2； ③ED FE +；④FA ED -2中，与AC 等价的有（ ） A. 1个 B. 2个C. 3个D. 4个3. 如果821a ,a ,a 为各项都大于零的等差数列，公差0≠d ，则（ ） A. 5481a a a a >B. 5481a a a a <C. 5481a a a a +>+D. 5481a a a a =4. 设c b a ,,三数成等比数列，而y x ,分别为b a ,和c b ,的等差中项，则=+ycx a （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 不确定5. 计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0~9和字母A~F 共16个计数符号，这些符号与十进制的数字的对应关系如下表：例如，用十六进制表示,则（ ） A. 6E B. 72 C. 5F D. 806. 若O 是平面上一定点，,,A B C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足[)(),0,AB AC OP OA ABACλλ=++∈+∞，则P 的轨迹一定通过△ABC 的（ ）A. 外心B. 重心C. 内心D. 垂心二、填空题7. 从222576543,3432,11=++++=++=中得出的一般性结论是_____________．8. 若等差数列{}n a 的前n 项和公式为2(1)3n S pn p n p =++++，则p ＝_______，首项1a ＝_______；公差d ＝_______．9. 在数列{}n a 中，)()1(1,2,1*221N n a a a a n n n ∈-+=-==+，则.__________10=S10. )(131211)(+∈+⋅⋅⋅+++=N n n n f ，经计算的,25)8(f ,2)4(f ,23)2(f >>=,3)16(f > 27)32(f >，推测当2≥n 时，有__________________________.三、解答题11. 设)(),0)(2sin()(x f x x f <<-+=ϕπϕ图像的一条对称轴是8π=x .（1）求ϕ的值；（2）求)(x f y =的增区间；（3）证明直线025=+-c y x 与函数)(x f y =的图象不相切．12. )n 是正整数13. 在ABC ∆中，猜想sin sin sin T A B C =++的最大值，并证明之．[参考答案]1、B2、D3、B4、B5、A6、C7、2*1...212...32(21),n n n n n n n N ++++-+++-=-∈ 8、－3，－5，－6 9、35 10、2(2)2nn f +>11、解：（1）由对称轴是8π=x ，得sin()1,,4424k k ππππϕϕπϕπ+=±+=+=+，而0πϕ-<<，所以34ϕπ=-（2）33()sin(2),2224242f x x k x k ππππππ=--≤-≤+ 588k x k ππππ+≤≤+，增区间为5[,],()88k k k Z ππππ++∈ （3）'33()sin(2),()2cos(2)244f x x f x x ππ=-=-≤，即曲线的切线的斜率不大于212===311...133...3nn==⨯=13、证明：sin sin sin sin2sincos 2sin()cos()3222626A B A B C C A B C πππ+-+++=++-2sin 2sin()4sin()cos()226412412A B C A B C A B C πππ++++-≤++=+-4sin()4124sin()4sin 4123A B C ππππ++≤+=+=当且仅当cos 12cos()126cos()1412A B C A B C ππ-⎧=⎪⎪⎪-=⎨⎪+-⎪-=⎪⎩时等号成立，即33A B C A B C ππ⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩所以当且仅当3A B C π===时，sin3T π+的最大值为4sin3ππ==所以max 3sin3T。

专题16 合情推理与演绎推理创作人：历恰面日期：2020年1月1日【练一练】一．选择题1．以下函数中，不满足f〔2x〕=2f〔x〕的是〔〕A. f〔x〕=|x|B. f 〔x〕=x-|x|C. f〔x〕=x+1D. f〔x〕=-x2．{b n}为等比数列，b5＝2，那么b1·b2·b3·b4·b5·b6·b7·b8·b9＝29.假设{a n}为等差数列，a5＝2，那么{a n}的类似结论为( )A．a1·a2·a3·…·a9＝29B．a1＋a2＋a3＋…＋a9＝29C．a1·a2·a3·…·a9＝2×9D．a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×93. 将n2〔n≥3〕个正整数1，2，3，…，n2填入n×n方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做n阶幻方．记f〔n〕为n阶幻方对角线的和，如右表就是一个3阶幻方，可知f〔3〕=15，那么f〔n〕=〔〕8 1 63 5 74 9 2A. B. C. D. n〔n2+1〕【答案】A【解析】试题分析：对于3阶幻方，一共由1到32，即1到9这9个连续自然数构成，且每一行都相等，由等差数列得前n项和公式可得，这9个数字之和为=45，再除以3，即可得出f〔3〕=15．f〔n〕==一般的n阶幻方数字之和为S=1+2+…+n2=，4. 观察以下各等式：55=3125，56=15625，57=78125，…，那么52021的末四位数字是〔〕A. 3125B. 5625C. 8125D. 06255. 将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，便可以得到如下的“0﹣1三角〞．在“0﹣1三角〞中，从第1行起，设第n〔n∈N*〕次出现全行为1时，1的个数为a n，那么a3等于〔〕二、填空题6.P(x 0，y 0)是抛物线y 2＝2px(p>0)上的一点，过P 点的切线方程的斜率可通过如下方式求得： 在y 2＝2px 两边同时求导，得：2yy ′＝2p ，那么y ′＝py，所以过P 的切线的斜率：0p k y ＝.试用上述方法求出双曲线22y x 12－＝在P (22)，处的切线方程为_________.7. 用三段论的形式写出“矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以，正方形的对角线相等．〞 的演绎推理过程__________________________________.三．解答题8. 双曲线x 24－y 29＝1，F 1，F 2分别是双曲线的两个焦点，点M 在双曲线上．(1)假设∠F 1MF 2＝90°，求△F 1MF 2的面积；(2)假设∠F 1MF 2＝120°，△F 1MF 2的面积是多少？假设∠F 1MF 2＝60°，△F 1MF 2的面积又是多少？(3)观察上述运算结果，你能看出随∠F 1MF 2的变化，△F 1MF 2的面积将怎样变化吗(不要求证明)?创 作人：历恰面 日 期： 2020年1月1日。

江苏省淮安中学高二数学《合情推理和演绎推理》学案教学目标：了解合情推理和演绎推理的含义，能利用归纳和类比等方法进行简单的推理，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单的推理.教学重点：利用归纳和类比等方法进行简单的推理，掌握演绎推理的基本模式.教学难点：利用归纳和类比等方法进行简单的推理，掌握演绎推理的基本模式.教学过程：一、课前检测1、演绎推理：．①定义特点：演绎推理是由一般到特殊的推理；②学习要点：演绎推理是数学中证明的基本推理形式；推理模式：“三段论”：ⅰ大前提：；ⅱ小前提：；ⅲ结论：．集合简述：ⅰ大前提：x M∈且x具有性质P；ⅱ小前提：y S⊆；∈且S Mⅲ结论：y也具有性质P；2、合情推理：与统称为合情推理．①归纳推理：．②类比推理：．定义特点：归纳推理是由特殊到一般、由具体到抽象的推理；而类比推理是由特殊到特殊的推理；两者都能由已知推测、猜想未知，从而推出结论．但是结论的可靠性有待证明．③推理过程：从具体问题出发→→归纳类比→．二、例题讲解例1：对任意正整数n，猜想n2与2n的大小例2：已知“等边三角形内任意一点P到三边的距离之和相等，且等于三角形的高.”类比这一现象，在正四面体中你能得出什么结论？证明你的结论.例3：设1021,,x x x Λ都是正数，证明：10211210322221x x x x x x x x x ΛΛ++≥+++.例4：设{}n a 是正数组成的数列，其前n 项和为n S ，并且对于正整数n ，n a 与2的等差中项等于n S 与2的等比中项.写出数列的前3项，由此猜想数列{}n a 的通项公式，并给出证明.三.课堂小结:作业班级 姓名 学号 等第1.对于函数)(x f ，若.15)4(,8)3(,3)2(,0)1(====f f f f 运用归纳推理的方法可猜测=)(n f2.观察下列不等式：,5353,3232+-≤+-+≤-,3232-+-≤--归纳出一般结论为3.当),0(,,+∞∈c b a 时，由,3,23abc c b a ab b a ≥++≥+运用归纳推理可猜测出一般结论为 4.数列{}n a 中，,32,18,8,24321====a a a a 运用归纳推理可猜测出n a = 5.,54361132231,432611221,3216111⨯⨯⨯=⨯+⨯+⨯⨯⨯⨯=⨯+⨯⨯⨯⨯=⨯观察以上几个等式，运用归纳推理可猜测出一般结论为6.将等式和不等式进行类比：（1）由等式的性质：若,b a =则),(*∈=N n b a n n 可猜测不等式的性质为（2）由等式的性质：若,d c b a =则db c a d b c a --=++可猜测不等式的性质为 （3）判断以上猜测（1） （2） （对或错）7.已知等差数列{}n a 的公差为d ,前n 项和为n S ，有如下的性质：（1）若*∈=+N n m p n m ,,2，则p n m a a a 2=+ （2）n n n n n S S S S S 232,,--构成等差数列. 类比上述性质，在等比数列{}n b 中，写出相类似的性质（1） （2）8. 将以下两推断恢复成完全的三段论（1）因为ABC ∆三边的长依次为3，4，5，，所以ABC ∆是直角三角形；（2）函数25y x =+的图像是一条直线.9. 已知：2)44tan 1)(1tan 1(00=++，2)43tan 1)(2tan 1(00=++， Λ2)42tan 1)(3tan 1(00=++，根据以上等式，你能得出什么一般性的结论，并加以证明.10. 用三段论证明函数2()2f x x x =-+在(,1]-∞上是增函数.11. 设AB 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 中与坐标轴均不平行的弦，其所在直线的斜率为,1k 弦AB 的中点为M ，O 为坐标原点，直线OM 的斜率为2k ，则有2221ab k k -=，将双曲线和椭圆进行类比，写出相应的结论，并判断其是否正确，若正确，给出证明.。

高二数学合情推理与演绎推理试题答案及解析1.当x∈R＋时，可得到不等式x＋≥2，x＋≥3，由此可推广为x＋≥n＋1，其中P等于 ( )A、 B、Ｃ、 D、【答案】A【解析】∵x∈R+时可得到不等式x+≥2，x+≥3，∴在p位置出现的数恰好是分母的指数的指数次方，∴p=n n，故选A【考点】本题考查了归纳推理点评：解题的关键是理解归纳推理的规律--从所给的特例中总结出规律来，以之解决问题，归纳推理是一个很重要的思维方式，熟练应用归纳推理猜想，可以大大提高发现新问题的效率，解题时善用归纳推理，可以为一题多解指明探究的方向2.用演绎法证明函数是增函数时的小前提是 ( )A．增函数的定义B．函数满足增函数的定义C．若，则D．若，则【答案】B【解析】解：因为用演绎法证明函数是增函数，可以根据函数满足增函数的定义，得到结论。

3.根据给出的数塔猜测123456×9＋7=( )1×9＋2=1112×9＋3=111123×9＋4=11111234×9＋5=1111112345×9＋6=111111……A．1111113B．1111112C．1111111D．1111110【答案】C【解析】解：根据已知的条件1×9＋2=1112×9＋3=111123×9＋4=11111234×9＋5=1111112345×9＋6=111111，观察归纳猜想可知123456×9＋7=1111111 ，选C4.在平面几何中,有射影定理：“在中,, 点在边上的射影为,有.”类比平面几何定理，研究三棱锥的侧面面积与射影面积、底面面积的关系，可以得出的正确结论是：“在三棱锥中,平面,点在底面上的射影为,则有.”【答案】【解析】根据类比的规则，三角形类比三棱锥，边类比成面.所以.5.类比圆的性质“与圆心距离相等的两弦相等，距圆心较近的弦较长”，可得球的性质_【答案】“与球心距离相等的两截面圆面积相等，距球心较近的截面圆面积较大。

合情推理与演绎推理1．已知x ＞0，由不等式x ＋1x≥2x ·1x ＝2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥33x 2·x 2·4x 2＝3，…，我们可以得出推广结论：x ＋axn ≥n ＋1(n ∈N *)，则a ＝________.2．设n 为正整数，f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n ，计算得f (2)＝32，f (4)＞2，f (8)＞52，f (16)＞3，观察上述结果，可推测一般的结论为________ ．3．如果函数f (x )在区间D 上是“凸函数”，则对于区间D 内任意的x 1，x 2，…，x n ，有f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )n ≤f⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋…＋x n n 成立．已知函数y ＝sin x 在区间[0，π]上是“凸函数”，则在△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值是________ ． 4．圆x 2＋y 2＝r 2在点(x 0，y 0)处的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2，类似地，可以求得椭圆x 28＋y 22＝1 在(2,1)处的切线方程为_______ _． 5．现有一个关于平面图形的命题：如图所示，同一个平面内有两个边长都是a 的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为a 24.类比到空间，有两个棱长均为a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为________ ．6．观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ，由归纳推理可得：若定义在R 上的 函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )＝________ . 7．如图，这是一个正六边形的序列：则第n 个图形的边数为________ ．8．数列{a n }中，已知a 1＝1，当n ≥2时，a n －a n －1＝2n －1，依次计算a 2，a 3，a 4后， 猜想a n 的表达式是________ ．9．观察下列不等式：1＞12，1＋12＋13＞1，1＋12＋13＋…＋17＞32，1＋12＋13＋…＋115＞2，1＋12＋13＋…＋131＞52，…，由此猜测第n 个不等式为________ (n ∈N *)．10．在数列{a n }中，a 1＝13且S n ＝n (2n －1)a n ，通过计算a 2，a 3，a 4，猜想a n 的表达式是________．11．设f (x )＝13x ＋3，先分别求f (0)＋f (1)，f (－1)＋f (2)，f (－2)＋f (3)，然后归纳出一个一般结论，并给出证明．12．已知函数f (x )＝ln x －ax 2＋(2－a )x . (1)讨论f (x )的单调性；(2)设a >0，证明：当0<x <1a时，f ⎝⎛⎭⎫1a ＋x >f ⎝⎛⎭⎫1a －x ； (3)若函数y ＝f (x )的图象与x 轴交于A ，B 两点，线段AB 中点的横坐标为x 0，证明：f ′(x 0)<0.1．如图，这是一个正六边形的序列：则第n 个图形的边数为________． 答案：5n ＋14．数列{a n }中，已知a 1＝1，当n ≥2时，a n －a n －1＝2n －1，依次计算a 2，a 3，a 4后，猜想a n 的表达式是________．解析计算出a 1＝1，a 2＝4，a 3＝9，a 4＝16.可猜a n ＝n 2. 答案n 28．观察下列不等式：1＞12，1＋12＋13＞1，1＋12＋13＋…＋17＞32，1＋12＋13＋…＋115＞2，1＋12＋13＋…＋131＞52，…，由此猜测第n 个不等式为________(n ∈N *)． 解析3＝22－1，7＝23－1，15＝24－1， 可猜测：1＋12＋13＋…＋12n －1＞n2.答案1＋12＋13＋…＋12n －1＞n29．在数列{a n }中，a 1＝13且S n ＝n (2n －1)a n ，通过计算a 2，a 3，a 4，猜想a n 的表达式是________．解析 当n ＝2时，a 1＋a 2＝6a 2，即a 2＝15a 1＝115； 当n ＝3时，a 1＋a 2＋a 3＝15a 3， 即a 3＝114(a 1＋a 2)＝135；当n ＝4时，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝28a 4， 即a 4＝127(a 1＋a 2＋a 3)＝163.∴a 1＝13＝11×3，a 2＝115＝13×5，a 3＝135＝15×7，a 4＝17×9，故猜想a n ＝1(2n －1)(2n ＋1).答案 a n ＝1(2n －1)(2n ＋1)11．已知函数f (x )＝ln x －ax 2＋(2－a )x . (1)讨论f (x )的单调性；(2)设a >0，证明：当0<x <1a 时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋x >f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －x ；(3)若函数y ＝f (x )的图象与x 轴交于A ，B 两点，线段AB 中点的横坐标为x 0，证明：f ′(x 0)<0.(1)解 f (x )的定义域为(0，＋∞)． f ′(x )＝1x －2ax ＋(2－a )＝－(2x ＋1)(ax －1)x.①若a ≤0，则f ′(x )>0，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增． ②若a >0，则由f ′(x )＝0得x ＝1a ，且当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )>0；当x >1a 时，f ′(x )<0. ∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减． (2)证明 设函数g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋x －f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －x ，则g (x )＝ln(1＋ax )－ln(1－ax )－2ax ， g ′(x )＝a 1＋ax ＋a 1－ax －2a ＝2a 3x 21－a 2x 2.当0<x <1a 时，g ′(x )>0， 而g (0)＝0，∴g (x )>0， 故当0<x <1a 时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋x >f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －x .(3)证明 由(1)可得，当a ≤0时，函数y ＝f (x )的图象与x 轴至多有一个交点．∴a >0，从而f (x )的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a >0.不妨设A (x 1,0)，B (x 2,0)，0<x 1<x 2，则0<x 1<1a <x 2. 由(2)得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －x 1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1a －x 1>f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a －⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －x 1＝f (x 1)＝0. 从而x 2>2a －x 1，于是x 0＝x 1＋x 22>1a . 由(1)知f ′(x 0)<0.1．已知x ＞0，由不等式x ＋1x ≥2x ·1x ＝2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥33x 2·x 2·4x 2＝3，…，我们可以得出推广结论：x ＋ax n ≥n ＋1(n ∈N *)，则a ＝________.解析再续写一个不等式：x ＋33x 3＝x 3＋x 3＋x 3＋33x 3≥44x 3·x 3·x 3·33x 3＝4， 由此可得a ＝n n . 答案n n2．设n 为正整数，f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n ，计算得f (2)＝32，f (4)＞2，f (8)＞52，f (16)＞3，观察上述结果，可推测一般的结论为________．解析由前四个式子可得，第n 个不等式的左边应当为f (2n)，右边应当为n ＋22，即可得一般的结论为f (2n)≥n ＋22.答案f (2n )≥n ＋224．如果函数f (x )在区间D 上是“凸函数”，则对于区间D 内任意的x 1，x 2，…，x n ，有f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )n ≤f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2＋…＋x n n 成立．已知函数y ＝sin x 在区间[0，π]上是“凸函数”，则在△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值是________．解析 由凸函数定义，知sin A ＋sin B ＋sin C ≤ 3sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋B ＋C 3＝32 3. 答案 32 36．圆x 2＋y 2＝r 2在点(x 0，y 0)处的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2，类似地，可以求得椭圆x 28＋y 22＝1在(2,1)处的切线方程为________．解析 由类比结构可知，相应的切线方程为：x 0x 8＋y 0y2＝1， 代入点坐标，所求切线方程为：x 4＋y2＝1. 答案 x 4＋y2＝17．现有一个关于平面图形的命题：如图所示，同一个平面内有两个边长都是a 的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为a 24.类比到空间，有两个棱长均为a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为________．解析在已知的平面图形中，中心O 到两边的距离相等(如右图)，即OM ＝ON .四边形OP AR 是圆内接四边形，Rt △OPN ≌Rt △ORM ，因此S 四边形OP AR ＝S 正方形OMAN ＝14a 2.同样地，类比到空间，如图．两个棱长均为a 的正方体重叠部分的体积为18a 3. 答案a 38 12．设f (x )＝13x ＋3，先分别求f (0)＋f (1)，f (－1)＋f (2)，f (－2)＋f (3)，然后归纳出一个一般结论，并给出证明．解f(0)＋f(1)＝130＋3＋13＋3＝11＋3＋13＋3＝3－12＋3－36＝33.同理f(－1)＋f(2)＝3 3.f(－2)＋f(3)＝3 3.由此猜想：当x1＋x2＝1时，f(x1)＋f(x2)＝3 3.证明：设x1＋x2＝1，则f(x1)＋f(x2)＝13x1＋3＋13x2＋3＝(3x1＋3)＋(3x2＋3) (3x1＋3)(3x2＋3)＝3x1＋3x2＋233x1＋x2＋3(3x1＋3x2)＋3＝3x1＋3x2＋233(3x1＋3x2)＋2×3＝3x1＋3x2＋233(3x1＋3x2＋23)＝33.故猜想成立．。