人教版数学高二1-2.演绎推理

第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.1.1 合情推理A级基础巩固一、选择题1．下列推理是归纳推理的是()A．F1，F2为定点，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝2a>|F1F2|，得P 的轨迹为椭圆B．由a1＝1，a n＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n 项和S n的表达式C．由圆x2＋y2＝r2的面积πr2，猜想出椭圆x2a2＋y2b2＝1的面积S＝πabD．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇解析：由归纳推理的定义知，B项为归纳推理．答案：B2．根据给出的数塔猜测123 456×9＋7等于()1×9＋2＝1112×9＋3＝111123×9＋4＝1 1111 234×9＋5＝11 11112 345×9＋6＝111 111A．111 1110B．1 111 111C．1 111 112 D．1 111 113解析：由1×9＋2＝11；12×9＋3＝111；123×9＋4＝1 111；1 234×9＋5＝111 111；…归纳可得，等式右边各数位上的数字均为1，位数跟等式左边的第二个加数相同，所以123 456×9＋7＝1 111 111.答案：B3．观察图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为()解析：观察可发现规律：①每行、每列中，方、圆、三角三种形状均各出现一次，②每行、每列有两个阴影一个空白，应为黑色矩形．答案：A4．设n是自然数，则18(n2－1)[1－(－1)n]的值()A．一定是零B．不一定是偶数C．一定是偶数D．是整数但不一定是偶数解析：当n为偶数时，18(n2－1)[1－(－1)n]＝0为偶数；当n为奇数时(n＝2k＋1，k∈N)，18(n2－1)[1－(－1)n]＝18(4k2＋4k)·2＝k(k＋1)为偶数．所以18(n 2－1)[1－(－1)n ]的值一定为偶数． 答案：C5．在平面直角坐标系内，方程x a ＋y b＝1表示在x 轴，y 轴上的截距分别为a 和b 的直线，拓展到空间，在x 轴，y 轴，z 轴上的截距分别为a ，b ，c (abc ≠0)的平面方程为( )A.x a ＋y b ＋z c＝1 B.x ab ＋y bc ＋z ca ＝1 C.xy ab ＋yz bc ＋zx ca ＝1 D ．ax ＋by ＋cz ＝1解析：从方程x a ＋y b＝1的结构形式来看，空间直角坐标系中，平面方程的形式应该是x a ＋y b ＋z c＝1. 答案：A二、填空题6．已知a 1＝1，a n ＋1>a n ，且(a n ＋1－a n )2－2(a n ＋1＋a n )＋1＝0，计算a 2，a 3，猜想a n ＝________．解析：计算得a 2＝4，a 3＝9，所以猜想a n ＝n 2.答案：n 27．在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2.则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为________．解析：V 1V 2＝13S 1h 113S 2h 2＝S 1S 2·h 1h 2＝14×12＝18. 答案：1∶88．观察下列各式：①(x3)′＝3x2；②(sin x)′＝cos x；③(e x－e－x)′＝e x＋e－x；④(x cos x)′＝cos x－x sin x.根据其中函数f(x)及其导数f′(x)的奇偶性，运用归纳推理可得到的一个命题是__________________________________________．解析：对于①，f(x)＝x3为奇函数，f′(x)＝3x2为偶函数；对于②，g(x)＝sin x为奇函数，f′(x)＝cos x为偶函数；对于③，p(x)＝e x－e－x为奇函数，p′(x)＝e x＋e－x为偶函数；对于④，q(x)＝x cos x 为奇函数，q′(x)＝cos x－x sin x为偶函数．归纳推理得结论：奇函数的导函数是偶函数．答案：奇函数的导函数是偶函数三、解答题9．有以下三个不等式：(12＋42)(92＋52)≥(1×9＋4×5)2；(62＋82)(22＋122)≥(6×2＋8×12)2；(132＋52)(102＋72)≥(13×10＋5×7)2.请你观察这三个不等式，猜想出一个一般性结论，并证明你的结论．解：一般性结论为(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.证明：因为(a2＋b2)(c2＋d2)－(ac＋bd)2＝a2c2＋b2c2＋a2d2＋b2d2－(a2c2＋2abcd＋b2d2)＝b2c2＋a2d2－2abcd＝(bc－ad)2≥0，所以(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.10．如图所示，在△ABC中，射影定理可表示为a＝b·cos C＋c·cos B，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想．解：如右图所示，在四面体PABC中，设S1，S2，S3，S分别表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面积，α，β，γ依次表示平面PAB，平面PBC，平面PCA与底面ABC所成二面角的大小．猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为S＝S1·cos α＋S2·cos β＋S3·cos γ.B级能力提升1．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴的根数为() A．6n－2 B．8n－2C．6n＋2 D．8n＋2解析：从①②③可以看出，从图②开始每个图中的火柴棒都比前一个图中的火柴棒多6根，故火柴棒数成等差数列，第一个图中火柴棒为8根，故可归纳出第n个“金鱼”图需火柴棒的根数为6n＋2.答案：C2．等差数列{a n}中，a n>0，公差d>0，则有a4·a6>a3·a7，类比上述性质，在等比数列{b n}中，若b n>0，q>1，写出b5，b7，b4，b8的一个不等关系________．解析：将乘积与和对应，再注意下标的对应，有b4＋b8>b5＋b7.答案：b4＋b8>b5＋b73．观察下列等式： ①sin 210°＋cos 240°＋sin 10°cos 40°＝34； ②sin 26°＋cos 236°＋sin6°cos36°＝34. 由上面两题的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想．解：由①②知，两角相差30°，运算结果为34， 猜想：sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝34. 证明：左边＝1－cos 2α2＋1＋cos （2α＋60°）2＋sin αcos(α＋30°)＝1－cos 2α2＋cos 2αcos 60°－sin 2αsin 60°2＋ sin α⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos α－sin α2 ＝1－12cos 2α＋14cos 2α－34sin 2α＋34sin 2α－1－cos 2α4＝34＝右边 故sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝34. 2.1.2 演绎推理A 级 基础巩固一、选择题1．若大前提是“任何实数的平方都大于0”，小前提是“a∈R”，结论是“a2>0”，那么这个演绎推理()A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．没有错误解析：因为“任何实数的平方非负”，所以“任何实数的平方都大于0”是错误的，即大前提错误．答案：A2．在“△ABC中，E，F分别是边AB，AC的中点，则EF∥BC”的推理过程中，大前提是()A．三角形的中位线平行于第三边B．三角形的中位线等于第三边长的一半C．E，F为AB，AC的中点D．EF∥BC解析：大前提是“三角形的中位线平行于第三边”．答案：A3．下列四个推导过程符合演绎推理“三段论”形式且推理正确的是()A．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环小数B．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结论：π是无理数C．大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：π是无理数D．大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数解析：对于A，小前提与结论互换，错误；对于B，符合演绎推理过程且结论正确；对于C和D，均为大小前提及结论颠倒，不符合演绎推理“三段论”形式．答案：B4．下列四类函数中，具有性质“对任意的x>0，y>0，函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)·f(y)”的是()A．幂函数B．对数函数C．指数函数D．余弦函数解析：只有指数函数f(x)＝a x(a>0，a≠1)满足条件．答案：C5．有这样一段演绎推理：“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，这是因为() A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误解析：用小前提“S是M”，判断得到结论“S是P”时，大前提“M是P”必须是所有的M，而不是部分，因此此推理不符合演绎推理规则．答案：C二、填空题6．已知△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，求证a<b.证明：∵∠A＝30°，∠B＝60°，∴∠A<∠B，∴a<b，画线部分是演绎推理的________．解析：结合三段论的特征可知，该证明过程省略了大前提“在同一个三角形中大角对大边”，因此画线部分是演绎推理的小前提．答案：小前提7．在求函数y ＝log 2x －2的定义域时，第一步推理中大前提是当a 有意义时，a ≥0；小前提是log 2x －2有意义；结论是________．解析：要使函数有意义，则log 2x －2≥0，解得x ≥4，所以函数y ＝log 2x －2的定义域是[4，＋∞)．答案：函数y ＝log 2x －2的定义域是[4，＋∞)8．下面几种推理过程是演绎推理的是________(填序号)．①两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A 和∠B 是两条平行线的同旁内角，那么∠A ＋∠B ＝180°②由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质③某高校共有10个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班都超过50人④在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －1＋1a n －1(n ≥2)，由此归纳出{a n }的通项公式．解析：①为演绎推理，②为类比推理，③④为归纳推理．答案：①三、解答题9．设m 为实数，利用三段论求证方程x 2－2mx ＋m －1＝0有两个相异实根．证明：如果一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的判别式Δ＝b 2－4ac >0，那么方程有两相异实根．(大前提)一元二次方程x 2－2mx ＋m －1＝0的判别式Δ＝(2m )2－4(m －1)＝4m 2－4m ＋4＝(2m －1)2＋3>0，(小前提)所以方程x 2－2mx ＋m －1＝0有两相异实根．(结论)10．设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π<φ<0)，y ＝f (x )的图象的一条对称轴是直线x ＝π8. (1)求φ；(2)求函数f (x )的单调增区间．解：(1)∵x ＝π8是函数y ＝f (x )的图象的对称轴， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π8＋φ＝±1.∴π4＋φ＝k π＋π2，k ∈Z. ∵－π<φ<0，∴φ＝－3π4. (2)由(1)知φ＝－3π4，因此y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －3π4. 由题意，得2k π－π2≤2x －3π4≤2k π＋π2，k ∈Z ， ∴k π＋π8≤x ≤5π8＋k π，k ∈Z. 故函数f (x )的增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8，k ∈Z. B 级 能力提升1．某人进行了如下的“三段论”：如果f ′(x 0)＝0，则x ＝x 0是函数f (x )的极值点，因为函数f (x )＝x 3在x ＝0处的导数值f ′(0)＝0，所以x ＝0是函数f (x )＝x 3的极值点．你认为以上推理的( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．结论正确解析：若f ′(x 0)，则x ＝x 0不一定是函数f (x )的极值点，如f (x )＝x 3，f ′(0)＝0，但x ＝0不是极值点，故大前提错误．答案：A2．设a >0，f (x )＝e x a ＋a e x 是R 上的偶函数，则a 的值为________． 解析：因为f (x )是R 上的偶函数，所以f (－x )＝f (x )，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫e x －1e x ＝0对于一切x ∈R 恒成立，由此得a －1a ＝0，即a 2＝1.又a >0，所以a ＝1.答案：13．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝4a n －3n ＋1(n ∈N *)．(1)证明数列{a n －n }是等比数列；(2)求数列{a n }的前n 项和S n ；(3)证明不等式S n ＋1≤4S n 对任意n ∈N *皆成立．(1)证明：由已知a n ＋1＝4a n －3n ＋1，得a n ＋1－(n ＋1)＝4(a n －n )，n ∈N *，又a 1－1＝2－1＝1≠0，所以数列{a n －n }是首项为1，公比为4的等比数列．(2)解：由(1)得a n －n ＝4n －1，所以a n ＝4n －1＋n .所以S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝1＋4＋42＋…＋4n －1＋(1＋2＋3＋…＋n )＝4n －13＋n （n ＋1）2. (3)证明：对任意的n ∈N *，S n ＋1－4S n ＝4n ＋1－13＋（n ＋1）（n ＋2）2－4⎣⎢⎡⎦⎥⎤4n －13＋n （n ＋1）2＝－12(3n 2＋n －4)＝－12(3n ＋4)(n －1)≤0. 所以不等式S n ＋1≤4S n 对任意n ∈N *皆成立．2.2 直接证明与间接证明2.2.1 综合法和分析法第1课 时综合法A 级 基础巩固一、选择题1．在下列函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)”的是( )A ．f (x )＝1xB ．f (x )＝(x －1)2C ．f (x )＝e xD ．f (x )＝ln(x ＋1)解析：由题设知，f (x )在(0，＋∞)上是减函数，由f (x )＝1x，得f ′(x )＝－1x2<0，所以f (x )＝1x 在(0，＋∞)上是减函数． 答案：A2．已知函数f (x )＝lg 1－x 1＋x，若f (a )＝b ，则f (－a )等于( ) A ．bB ．－b C.1b D ．－1b解析：f (x )定义域为(－1，1)，f (－a )＝lg 1＋a 1－a ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 1＋a －1＝－lg 1－a 1＋a ＝－f (a )＝－b .答案：B3．命题“如果数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－3n ，那么数列{a n }一定是等差数列”是否成立( )A ．不成立B ．成立C ．不能断定D ．与n 取值有关解析：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4n －5又a 1＝S 1＝2×12－3×1＝－1适合上式．∴a n ＝4n －5(n ∈N *)，则a n －a n －1＝4(常数)故数列{a n }是等差数列．答案：B4．若a ，b ∈R ，则下面四个式子中恒成立的是( )A ．lg(1＋a 2)>0B ．a 2＋b 2≥2(a －b －1)C ．a 2＋3ab >2b 2 D.a b <a ＋1b ＋1解析：在B 中，因为a 2＋b 2－2(a －b －1)＝(a 2－2a ＋1)＋(b 2＋2b ＋1)＝(a －1)2＋(b ＋1)2≥0，所以a 2＋b 2≥2(a －b －1)恒成立．答案：B5．在△ABC 中，已知sin A cos A ＝sin B cos B ，则该三角形是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形解析：由sin A cos A ＝sin B cos B 得sin 2A ＝sin 2B ，所以2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即A ＝B 或A ＋B ＝π2.所以该三角形是等腰或直角三角形．答案：D二、填空题6．命题“函数f(x)＝x－x ln x在区间(0，1)上是增函数”的证明过程“对函数f(x)＝x－x ln x求导，得f′(x)＝－ln x，当x∈(0，1)时，f′(x)＝－ln x>0，故函数f(x)在区间(0，1)上是增函数”，应用了________的证明方法．解析：本命题的证明，利用题设条件和导数与函数单调性的关系，经推理论证得到了结论，所以应用的是综合法的证明方法．答案：综合法7．角A，B为△ABC内角，A>B是sin A>sin B的________条件(填“充分”“必要”“充要”或“即不充分又不必要”)．解析：在△ABC中，A>B⇔a>b由正弦定理asin A＝bsin B，从而sin A>sin B.因此A>B⇔a>b⇔sin A>sin B，为充要条件．答案：充要8．已知p＝a＋1a－2(a>2)，q＝2－a2＋4a－2(a>2)，则p，q的大小关系为________．解析：因为p＝a＋1a－2＝(a－2)＋1a－2＋2≥2（a－2）·1a－2＋2＝4，又－a2＋4a－2＝2－(a－2)2<2(a>2)，所以q＝2－a2＋4a－2<4≤p.答案：p>q三、解答题9．已知a>0，b>0，且a＋b＝1，求证：1a＋1b≥4.证明：因为a >0，b >0且a ＋b ＝1，所以1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋a b≥2＋2 b a ·a b ＝4. 当且仅当b a ＝a b，即a ＝b 时，取等号， 故1a ＋1b≥4. 10．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，若函数y ＝f (x ＋1)与y ＝f (x )的图象关于y 轴对称，求证：函数y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12为偶函数． 证明：∵函数y ＝f (x )与y ＝f (x ＋1)的图象关于y 轴对称．∴f (x ＋1)＝f (－x )则y ＝f (x )的图象关于x ＝12对称 ∴－b 2a ＝12，∴a ＝－b . 则f (x )＝ax 2－ax ＋c ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋c －a 4 ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝ax 2＋c －a 4为偶函数． B 级 能力提升1．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )单调递减，若x 1＋x 2>0，则f (x 1)＋f (x 2)的值( )A ．恒为负值B ．恒等于零C ．恒为正值D ．无法确定正负解析：由f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )单调递减，可知f (x )是R 上的单调递减函数，由x 1＋x 2>0，可知x 1>－x 2，f (x 1)<f (－x 2)＝－f (x 2)，则f (x 1)＋f (x 2)<0.答案：A2．已知sin x＝55，x∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，3π2，则tan⎝⎛⎭⎪⎫x－π4＝________．解析：∵sin x＝55，x∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，3π2，∴cos x＝－45，∴tan x＝－12，∴tan⎝⎛⎭⎪⎫x－π4＝tan x－11＋tan x＝－3.答案：－33．(2016·江苏卷)如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.求证：(1)直线DE∥平面A1C1F；(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.证明：(1)在直三棱柱ABC A1B1C1中，A1C1∥AC.在△ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点，所以DE∥AC，所以DE∥A1C1.因为DE⊄平面A1C1F，A1C1⊂平面A1C1F，所以直线DE∥平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABC A1B1C1中，A1A⊥平面A1B1C1，因为A1C1⊂平面A1B1C1，所以A1A⊥A1C1.又A1C1⊥A1B1，A1A⊂平面ABB1A1，A1B1⊂平面ABB1A1，A1A∩A1B1＝A1，所以A1C1⊥平面ABB1A1.又因为B1D⊂平面ABB1A1，所以A1C1⊥B1D.又B1D⊥A1F，A1C1⊂平面A1C1F，A1F⊂平面A1C1F，A1C1∩A1F＝A1，所以B1D⊥平面A1C1F.因为B1D⊂平面B1DE，所以平面B1DE⊥平面A1C1F.第2课时分析法A级基础巩固一、选择题1．关于综合法和分析法的说法错误的是()A．综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法B．综合法又叫顺推证法或由因导果法C．综合法和分析法都是因果分别互推的两头凑法D．分析法又叫逆推证法或执果索因法解析：由综合法和分析法的意义与特点，知C错误．答案：C2．分析法又叫执果索因法，若使用分析法证明：设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证：b2－ac<3a，则证明的依据应是() A．a－b>0B．a－c>0C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0解析：b2－ac<3a⇔b2－ac<3a2⇔(a＋c)2－ac<3a2⇔(a－c)·(2a ＋c)>0⇔(a－c)(a－b)>0.答案：C3．在不等边△ABC中，a为最大边，要想得到A为钝角的结论，对三边a，b，c应满足的条件，判断正确的是()A．a2<b2＋c2B．a2＝b2＋c2C．a2>b2＋c2D．a2≤b2＋c2解析：要想得到A为钝角，只需cos A<0，因为cos A＝b2＋c2－a22bc，所以只需b2＋c2－a2<0，即b2＋c2<a2.答案：C4．对于不重合的直线m，l和平面α，β，要证明α⊥β，需要具备的条件是()A．m⊥l，m∥α，l∥βB．m⊥l，α∩β＝m，l⊂αC．m∥l，m⊥α，l⊥βD．m∥l，l⊥β，m⊂α解析：对于选项A，与两相互垂直的直线平行的平面的位置关系不能确定；对于选项B，平面内的一条直线与另一个平面的交线垂直，这两个平面的位置关系不能确定；对于选项C，这两个平面有可能平行或重合；根据面面垂直的判定定理知选项D正确．答案：D5．设P＝2，Q＝7－3，R＝6－2，则P，Q，R的大小关系是()A．P>Q>R B．P>R>QC．Q>P>R D．Q>R>P解析：先比较Q与R的大小．Q－R＝7－3－(6－2)＝(7＋2)－(6＋3)．因为(7＋2)2－(6＋3)2＝7＋2＋214－(6＋3＋218)＝2(14－18)<0，所以Q<R.又P＝2>R＝2(3－1)，所以P>R>Q.答案：B二、填空题6．如果a a＋b b>a b＋b a，则实数a，b应满足的条件是________．解析：a a＋b b>a b＋b a⇔a a－a b>b a－b b⇔a(a－b)>b(a－b)⇔(a－b)(a－b)>0⇔(a＋b)(a－b)2>0，故只需a≠b且a，b都不小于零即可．答案：a≥0，b≥0且a≠b7．当x>0时，sin x与x的大小关系为________．解析：令f(x)＝x－sin x(x>0)，则f′(x)＝1－cos x≥0，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，因此f(x)>f(0)＝0，则x>sin x.答案：x>sin x8．如图，在直四棱柱A1B1C1D1­ABCD(侧棱与底面垂直)中，当底面四边形ABCD满足条件________时，有A1C⊥B1D1(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形)．解析：要证明A 1C ⊥B 1D 1只需证明B 1D 1⊥平面A 1C 1C因为CC 1⊥B 1D 1只要再有条件B 1D 1⊥A 1C 1，就可证明B 1D 1⊥平面A 1CC 1 从而得B 1D 1⊥A 1C 1.答案：B 1D 1⊥A 1C 1(答案不唯一)三、解答题9．已知a >1，求证：a ＋1＋a －1<2a .证明：因为a >1，要证a ＋1＋a －1<2a ，只需证(a ＋1＋a －1)2<(2a )2，只需证a ＋1＋a －1＋2（a ＋1）（a －1）<4a ， 只需证（a ＋1）（a －1）<a ，只需证a 2－1<a 2，即证－1<0.该不等式显然成立，故原不等式成立．10．求证：2cos(α－β)－sin （2α－β）sin α＝sin βsin α. 证明：欲证原等式2cos(α－β)－sin （2α－β）sin α＝sin βsin α成立． 只需证2cos(α－β)sin α－sin(2α－β)＝sin β，①因为①左边＝2cos(α－β)sin α－sin[(α－β)＋α]＝2cos(α－β)sin α－sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α ＝cos(α－β)sin α－sin(α－β)cos α＝sin β＝右边．所以①成立，所以原等式成立．B 级 能力提升1．设a ，b ，c ，d 为正实数，若a ＋d ＝b ＋c 且|a －d |<|b －c |，则有( )A ．ad ＝bcB ．ad <bcC ．ad >bcD ．ad ≤bc解析：∵|a －d |<|b －c |⇔(a －d )2<(b －c )2⇔a 2＋d 2－2ad <b 2＋c 2－2bc ①又a ＋d ＝b ＋c∴a 2＋d 2＋2ad ＝b 2＋c 2＋2bc ②由②－①，得4ad >4bc ，即ad >bc .答案：C2．设函数f (x )是定义在R 上的以3为周期的奇函数，若f (1)>1，f (2)＝3a －4a ＋1，则实数a 的取值范围是________． 解析：因为f (x )是周期为3的奇函数，且f (1)>1，所以f (2)＝f (－1)＝－f (1)，因此3a －4a ＋1<－1，则4a －3a ＋1<0， 解之得－1<a <34. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，34 3．设实数a ，b ，c 成等比数列，非零实数x ，y 分别为a 与b ，b 与c 的等差中项，证明：a x ＋c y＝2.证明：要证明ax＋cy＝2，只要证ay＋cx＝2xy，也就是证明2ay＋2cx＝4xy.由题设条件b2＝ac，2x＝a＋b，2y＝b＋c，所以2ay＋2cx＝a(b＋c)＋(a＋b)c＝ab＋2ac＋bc，4xy＝(a＋b)(b＋c)＝ab＋b2＋bc＋ac＝ab＋2ac＋bc，所以2ay＋2cx＝4xy成立，故ax＋cy＝2成立．2.2.2 反证法A级基础巩固一、选择题1．应用反证法推出矛盾的推导过程中，要把下列哪些作为条件使用()①结论的否定即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等；④原命题的结论．A．①②B．①②④C．①②③D．②③解析：由反证法的定义知，可把①②③作为条件使用，而④原命题的结论是不可以作为条件使用的．答案：C2．用反证法证明命题：“设a，b为实数，则方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是()A．方程x2＋ax＋b＝0没有实根B．方程x2＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x2＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x2＋ax＋b＝0恰好有两个实根解析：“方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”的反面是“方程x2＋ax＋b＝0没有实根．”答案：A3．用反证法证明命题“若直线AB、CD是异面直线，则直线AC、BD也是异面直线”的过程归纳为以下三个步骤：①则A、B、C、D四点共面，所以AB、CD共面，这与AB、CD是异面直线矛盾；②所以假设错误，即直线AC、BD也是异面直线；③假设直线AC、BD是共面直线．则正确的序号顺序为()A．①②③B．③①②C．①③②D．②③①解析：结合反证法的证明步骤可知，其正确步骤为③①②.答案：B4．否定结论“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的反设为()A．a，b，c都是奇数B．a，b，c都是偶数C．a，b，c中至少有两个偶数D．a，b，c都是奇数或至少有两个偶数解析：自然数a，b，c中奇数、偶数的可能情况有：全为奇数，恰有一个偶数，恰有两个偶数，全为偶数．除去结论即为反设，应选D.答案：D5．设实数a 、b 、c 满足a ＋b ＋c ＝1，则a ，b ，c 中至少有一个数不小于( )A ．0B.13C.12 D ．1解析：假设a ，b ，c 都小于13，则a ＋b ＋c <1，与a ＋b ＋c ＝1矛盾，选项B 正确．答案：B二、填空题6．已知平面α∩平面β＝直线a ，直线b ⊂α，直线c ⊂β，b ∩a ＝A ，c ∥a ，求证：b 与c 是异面直线，若利用反证法证明，则应假设________．解析：∵空间中两直线的位置关系有3种：异面、平行、相交， ∴应假设b 与c 平行或相交．答案：b 与c 平行或相交7．完成反证法证题的全过程．设a 1，a 2，…，a 7是1，2，…，7的一个排列，求证：乘积p ＝(a 1－1)(a 2－2)…(a 7－7)为偶数．证明：假设p 为奇数，则a 1－1，a 2－2，…，a 7－7均为奇数．因奇数个奇数之和为奇数，故有奇数＝________＝0.但0≠奇数，这一矛盾说明p 为偶数．解析：由假设p 为奇数可知(a 1－1)，(a 2－2)，…，(a 7－7)均为奇数，故(a 1－1)＋(a 2－2)＋…＋(a 7－7)＝(a 1＋a 2＋…a 7)－(1＋2＋…＋7)＝0为偶数．答案：(a 1－1)＋(a 2－2)＋…＋(a 7－7)8．已知数列{a n }，{b n }的通项公式分别为a n ＝an ＋2，b n ＝bn ＋1(a ，b 是常数，且a >b )，那么这两个数列中序号与数值均对应相同的项有________个．解析：假设存在序号和数值均相等的项，即存在n 使得a n ＝b n ，由题意a >b ，n ∈N *，则恒有an >bn ，从而an ＋2>bn ＋1恒成立，所以不存在n 使a n ＝b n .答案：0三、解答题9．设x ，y 都是正数，且x ＋y >2，试用反证法证明：1＋x y <2和1＋y x<2中至少有一个成立．证明：假设1＋x y <2和1＋y x <2都不成立，即1＋x y ≥2，1＋y x≥2. 又因为x ，y 都是正数，所以1＋x ≥2y ，1＋y ≥2x .两式相加，得2＋x ＋y ≥2x ＋2y ，则x ＋y ≤2，这与题设x ＋y >2矛盾，所以假设不成立．故1＋x y <2和1＋y x<2中至少有一个成立． 10．已知三个正数a ，b ，c ，若a 2，b 2，c 2成公比不为1的等比数列，求证：a ，b ，c 不成等差数列．证明：假设a ，b ，c 成等差数列，则有2b ＝a ＋c ，即4b 2＝a 2＋c 2＋2ac ，又a2，b2，c2成公比不为1的等比数列，且a，b，c为正数，所以b4＝a2c2且a，b，c互不相等，即b2＝ac，因此4ac＝a2＋c2＋2ac，所以(a－c)2＝0，从而a＝c＝b，这与a，b，c互不相等矛盾．故a，b，c不成等差数列．B级能力提升1．设a，b，c大于0，则3个数：a＋1b，b＋1c，c＋1a的值()A．都大于2 B．至少有一个不大于2 C．都小于2 D．至少有一个不小于2解析：假设a＋1b，b＋1c，c＋1a都小于2则a＋1b<2，b＋1c<2，c＋1a<2∴a＋1b＋b＋1c＋c＋1a<6，①又a，b，c大于0所以a＋1a≥2，b＋1b≥2，c＋1c≥2.∴a＋1b＋b＋1c＋c＋1a≥6.②故①与②式矛盾，假设不成立所以a＋1b，b＋1c，c＋1a至少有一个不小于2.答案：D2．对于定义在实数集R上的函数f(x)，如果存在实数x0，使f(x0)＝x0，那么x0叫作函数f(x)的一个好点．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋1不存在好点，那么a的取值范围是()A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12 C ．(－1，1) D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：假设函数f (x )存在好点，则x 2＋2ax ＋1＝x 有实数解，即x 2＋(2a －1)x ＋1＝0有实数解．所以Δ＝(2a －1)2－4≥0，解得a ≤－12或a ≥32. 所以f (x )不存在好点时，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32. 答案：A3．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0，c >0)的图象与x 轴有两个不同的交点，若f (c )＝0且0<x <c 时，恒有f (x )>0.(1)证明：1a是f (x )＝0的一个根； (2)试比较1a与c 的大小． (1)证明：因为f (x )的图象与x 轴有两个不同的交点，所以f (x )＝0有两个不等实根x 1，x 2.因为f (c )＝0，所以x 1＝c 是f (x )＝0的根，又x 1x 2＝c a， 所以x 2＝1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ≠c ， 所以1a是f (x )＝0的一个根． (2)解：假设1a<c ，又1a>0，且0<x <c 时，f (x )>0， 所以知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a >0，这与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝0矛盾， 因此1a≥c ， 又因为1a≠c ， 所以1a>c .。

第一章 独立性检验【趁热打铁】 1.【答案】C【解析】∵a ＋21＝73，∴a ＝52，又a ＋22＝b ，∴b ＝74. 2.【答案】③【解析】由题意知，成绩优秀的学生数是30，成绩非优秀的学生数是75，所以c ＝20，b ＝45，①、②错误.根据列联表中的数据，得到()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++2105(10302045) 6.6 3.84155503075⨯⨯-⨯≈>⨯⨯⨯， 因此有95%的把握认为“成绩与班级有关系”.4. 【答案】没有90%的把握认为“测评结果为优秀与性别有关”. 【解析】设从高一年级男生中抽出m 人，则45,m 25500500400m ==+， ∴25205,20182x y =-==-=而()24515510159 1.125 2.706301525208k ⨯⨯-⨯===<⨯⨯⨯，所以没有90%的把握认为“测评结果为优秀与性别有关”．5.【答案】（1）14m =；（2）有99.9%的的把握认为支持网络购物与年龄有关. 【解析】（1）由题意，得8009008002001003009m++++=， 所以14m =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）根据题意得22⨯列联表如下，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分所以()21400800300100200376.44410.8289005001000400k⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分所以有99.9%的把握认为是否支持网络购物与年龄有关．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分6.【答案】(1)有99.5%的把握认为喜欢“应用统计”课程与性别有关．(2)8 15.7.【答案】(1)抽到参加社团活动的学生的概率是1125；抽到不参加社团活动且学习积极性一般的学生的概率是25.(2)大约有99.9%的把握认为学生的学习积极性与参加社团活动情况有关系.【解析】(1)随机从该班抽查一名学生，抽到参加社团活动的学生的概率是2211 5025=；抽到不参加社团活动且学习积极性一般的学生的概率是202 505=.(2)因为()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++＝250(172058)11.68810.828 25252228⨯⨯-⨯≈>⨯⨯⨯，所以大约有99.9%的把握认为学生的学习积极性与参加社团活动情况有关系.8.【答案】(1)240名. (2)(3)能在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“性别”与“工作是否满意”有关.(2)由题意可得下列表格：(3)假设H 0：“性别”与“工作是否满意”无关， 根据表中数据，求得K 2的观测值()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++230(121134)8.571 6.63515151614⨯⨯-⨯≈>⨯⨯⨯，查表得P (K 2≥6.635)＝0.010.∴能在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“性别”与“工作是否满意”有关.9.【答案】(1)6；（2）815. 【解析】(1)设常喝碳酸饮料肥胖的学生有x 人，243015x +=，解得x ＝6.(2)()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++230(61824)8.5237.8791020822⨯⨯-⨯≈>⨯⨯⨯.因此有99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关．(3)设常喝碳酸饮料的肥胖男生为A ，B ，C ，D ，女生为E ，F ，任取两人的取法有AB ，AC ，AD ，AE ，AF ，BC ，BD ，BE ，BF ，CD ，CE ，CF ，DE ，DF ，EF ，共15种．其中一男一女的取法有AE ，AF ，BE ，BF ，CE ，CF ，DE ，DF ，共8种．故抽出一男一女的概率是P ＝815. 10.【答案】(1)应收集90位女生的样本数据.(2)该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75. (3)有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关” 【解析】(1) 45003009015000⨯＝，所以应收集90位女生的样本数据.每周平均体育运动时间与性别列联表()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++=2300(456016530) 4.762 3.8417522521090⨯⨯-⨯≈>⨯⨯⨯.所以，有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”第二章 回归分析【趁热打铁】 1.【答案】A【解析】依题意，画散点图知，两个变量负相关，所以0<b ，0>a .选A. 2.【答案】D【解析】由回归方程y ^＝b ^x ＋a ^知当b ^＞0时，y 与x 正相关，当b ^＜0时，y 与x 负相关，∴①④一定错误. 3.【答案】A【解析】由表格,得5x =,7y =,代入线性回归方程,得ˆ752b=+,解得ˆ1b =,故选A ．5.【答案】A .【解析】因为变量x 和y 满足关系0.11y x =-+，其中0.10-<，所以x 与y 成负相关；又因为变量y 与z 正相关，不妨设z ky b =+(0)k >，则将0.11y x =-+代入即可得到：(0.11)0.1()z k x b kx k b =-++=-++，所以0.10k -<，所以x 与z 负相关，综上可知，应选A .6.【答案】（Ⅰ）^y ＝－1.45x ＋18.7；（Ⅱ）以预测当x ＝3时,销售利润z 取得最大值． 【解析】（Ⅰ）由已知：x -＝6,y -＝10,5i ＝1∑x i y i ＝242,5i ＝1∑x 2i ＝220,^b ＝ni ＝1∑x i y i －nx -y-ni ＝1∑x 2i －nx-2＝－1.45,a ˆ＝y -－^bx-＝18.7；所以回归直线的方程为^y ＝－1.45x ＋18.7 （Ⅱ）z ＝－1.45x ＋18.7－(0.05x 2－1.75x ＋17.2) ＝－0.05x 2＋0.3x ＋1.5 ＝－0.05(x －3)2＋1.95,所以预测当x ＝3时,销售利润z 取得最大值．7.【答案】（1）53；（2）325-=∧x y ；（3）可靠.【解析】（1）设抽到不相邻两组数据为事件A ，因此从5组数据中选取2组数据共有10种情况，每种情况都是等可能出现的，其中抽到相邻两组数据的情况有4种，所以531041)(=-=A P ，故选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率是53.（2）由数据，求得972,27)263025(31,12)121311(31==++==++=y x y x ，4323,434121311,97726123013251122223121==++==⨯+⨯+⨯=∑∑==x x y x i i n i i i ，由公式求得3,2543243497297733231231-=-==--=--=∧∧==∧∑∑x b y a xxyx y x b i ii ii ， 所以y 关于x 的线性回归方程为325-=∧x y . （3）当10=x 时，22322,22325<-=-=∧x y ，同样地，当8=x 时，21617,173825<-=-⨯=∧y ， 所以该研究所得到的线性回归方程式可靠的.）（2因为25.46,4x ==y ，9424112=∑=-i i x ，945124112=-=-∑i i i y x 所以 83.6449425.464494534ˆ2412212411212≈⨯-⨯⨯-=-⋅-=∑∑=-=--i i i i i xx yx y xb.93.18483.625.46ˆaˆ=⨯-=-=x b y ， 即93.18ˆ,83.6ˆ==a b，5.17,5.6==a b . %5ˆ≈-b b b，%8ˆ≈-a a a ，均不超过%10，因此使用位置最接近的已有旧井)24,1(6；………………8分）（3易知原有的出油量不低于L 50的井中，653、、这3口井是优质井，42、这2口井为非优质井，由题意从这5口井中随机选取3口井的可能情况有：）），（，），（，（6,3,25,324.3,2，）），（，（6,4,25,42，）），（，（5,4,36,52，）），（），（，（6,5,46,5,36,43共10种，其中恰有2口是优质井的有6中，所以所求概率是53106==P .………………12分∴c y dw =-=563-68×6.8=100.6.∴y 关于w 的线性回归方程为100.668y w =+，∴y 关于x 的回归方程为100.6y =+……6分 （Ⅲ）(ⅰ)由（Ⅱ）知，当x =49时，年销售量y 的预报值100.6y =+，10.【答案】（Ⅰ）ˆ 1.2 3.6y t =+，（Ⅱ）10.8千亿元.【解析】 (1)列表计算如下这里111151365,3,7.2.55n n i i i i n t t y y n n=========邋 又2211l 555310,120537.212.nn nt iny i i i i t nt l t y nt y ===-=-?=-=-创=邋从而12ˆˆˆ1.2,7.2 1.23 3.610ny nt l b a y bt l ====-=-?. 故所求回归方程为ˆ 1.2 3.6yt =+. (2)将6t =代入回归方程可预测该地区2015年的人民币储蓄存款为ˆ 1.26 3.610.8().y=?=千亿元第三章 合情推理与演绎推理【趁热打铁】 1.【答案】C【解析】由题意，知所得新数列为1111,,,,222322n n n nn ⨯⨯⨯⨯，所以1223341n n a a a a a a a a -++++＝21111[]4122334(1)n n n++++⨯⨯⨯-⨯＝21111111[(1)()()()]4223341n n n -+-+-++--＝21(1)4n n -＝(1)4n n -，故选C ． 2.【答案】A【解析】“指数函数y ＝a x是增函数”是本推理的大前提，它是错误的，因为实数a 的取值范围没有确定，所以导致结论是错误的． 3.【答案】A【解析】()m x x x f +-=232是[]a 2,0上的“双中值函数”,()()220822f a f a a a-∴=-，()22262,6282f x x x x x a a '=-∴-=-在[]a 2,0上有两个根,令()226282g x x x a a =--+()()()2424820,00,20,a a g g a ∴∆=+->>>解得4181<<a ,故选A.6.【答案】mm 02047【解析】观察上图可知，法=实际标注100.2-⨯，故30号的童鞋对应的脚的长度为mm 020，当脚长为为mm 282，对应的法4.46102.0282=-⨯，应穿47码的鞋，故答案为mm 020，47.7.【答案】1111111 (234212)n n +++++++>-【解析】观察不等式左边最后一项的分母3,7,15，…，通项为121n +-，不等式右边为首项为1，公差为12的等差数列，故猜想第n 个不等式为1111111.....234212n n +++++++>-， 答案：1111111 (234212)n n +++++++>-10.【答案】猜想f(x)＋f(1－x)＝33. 【解析】f(0)＋f(1)＝130＋3＋131＋3＝11＋3＋13（1＋3）＝33（1＋3）＋13（1＋3）＝33， 同理可得f(－1)＋f(2)＝33，f(－2)＋f(3)＝33. 由此猜想f(x)＋f(1－x)＝33. 证明f(x)＋f(1－x)＝13x ＋3＋131－x ＋3＝13x ＋3＋3x 3＋3·3x ＝13x ＋3＋3x3（3＋3x） ＝3＋3x 3（3＋3x）＝33.第四章 直接证明与间接证明【趁热打铁】 1.【答案】D【解析】log log 1>=a a b a ，当1>a 时，1>>b a ，10,0∴->->a b a ，(1)()0∴-->a b a ；当01<<a 时，01∴<<<b a ，10,0∴-<-<a b a ，(1)()0∴-->a b a ．故选D ．3.【答案】A【解析】因为“方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”等价于“方程x 3＋ax ＋b ＝0的实根的个数大于或等于1”，所以要做的假设是“方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根”.4.【答案】B【解析】在B 中，∵a 2＋b 2－2(a －b －1)＝(a 2－2a ＋1)＋(b 2＋2b ＋1)＝(a －1)2＋(b ＋1)2≥0，∴a 2＋b 2≥2(a －b －1)恒成立.5.【答案】B 【解析】∵a＝m ＋1－m ＝1m ＋1＋m ， b ＝m －m －1＝1m ＋m －1. 而m ＋1＋m>m ＋m －1＞0(m ＞1)， ∴1m ＋1＋m <1m ＋m －1，即a<b.6.【答案】C【解析】由题意知b 2－ac ＜3a ⇐b 2－ac ＜3a 2⇐(a ＋c)2－ac ＜3a 2⇐a 2＋2ac ＋c 2－ac －3a 2＜0⇐－2a 2＋ac ＋c 2＜0⇐2a 2－ac －c 2＞0⇐(a －c)(2a ＋c)＞0⇐(a －c)(a －b)＞0.7.【答案】D【解析】反证法的实质是否定结论，对于①，其结论的反面是p ＋q ＞2，所以①不正确；对于②，其假设正确.8.【答案】 ①③④【解析】要使b a ＋a b ≥2，只需b a >0成立，即a ，b 不为0且同号即可，故①③④能使b a ＋a b≥2成立. 9.【答案】见解析.【解析】假设a 1，a 2，a 3，a 4均不大于25，即a 1≤25，a 2≤25，a 3≤25，a 4≤25，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4≤25＋25＋25＋25＝100，这与已知a 1＋a 2＋a 3＋a 4>100矛盾，故假设错误．所以a 1，a 2，a 3，a 4中至少有一个数大于25.10.【答案】(1)a n ＝2n －1＋2，S n ＝n(n ＋2)．(2)证明：见解析.第五章 复数【趁热打铁】1.【答案】D 【解析】因为243i i(43i)34i i i z --===--，故选D ． 2.【答案】C【解析】z=212(12)()2i i i i i i ++-==--，对应点为(2,-1)，故选C. 3.【答案】C【解析】由3z i i +=-得，32z i =-，所以32z i =+，故选C.4.【答案】D 【解析】43i ||55z z ==-，故选D ． 5.【答案】C【解析】由题意，22(1)122i i i i +=++=，故选C.6.【答案】A 【解析】12(12)(2)2422(2)(2)5i i i i i i i i i +++++-===--+，故选A. 10.【答案】i 2141+ 【解析】设),(R ∈+=b a bi a z ，则bi a -=，因为i z z +=+13，所以i bi a bi a +=-++1)(3，即i bi a +=+124，所以⎩⎨⎧==1214b a ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2141b a ， 所以i z 2141+=.第六章 框图【趁热打铁】1．【答案】B【解析】由结构图可知设总经理一个，副总经理两个，直接对总经理负责，下设有6个部门，其中副总经理A 管理生产部、安全部和质量部，副总经理B 管理销售部、财务部和保卫部，其中①、 ②处应分别填安全部,保卫部，选B.2.【答案】C【解析】程序运行如下3,21,201224,10n x v i v i ==→==≥→=⨯+==≥4219,0092018,10,v i v i →=⨯+==≥→=⨯+==-<结束循环，输出18v =，故选C.3．【答案】B【解析】由程序框图，,n S 值依次为：6, 2.59808n S ==；12,3n S ==；24, 3.10583n S ==，此时满足 3.10S ≥，输出24n =，故选B.4．【答案】D【解析】由程序框图可知，该程序框图所表示的算法功能为2345671log 3log 4log 5log 6log 7log 83S =⨯⨯⨯⨯⨯⨯=，故选D.5．【答案】C 【解析】2x =，执行程序，0y =，不满足||1y x -<，0;x =执行程序，1y =-，不满足||1y x -<，2;x =-执行程序，2y =-，满足||1y x -<，输出2;- 故选C ．7.【答案】C【解析】由已知，1,0k s ==，1,2s s k k =+==，3,4s k ==，7,8s k ==，15,16s k ==，31,32s k ==，符合条件输出，故选C.8.【答案】C【解析】0,2S n ==，判断是，1,42S n ==，判断是，113,6244S n =+==，判断是，11111,824612S n =++==，判断否，输出S ，故填6n ≤.10.【答案】1【解析】按程序运行的过程，运行一遍程序：3,1,0n i S ===，1S =，循环，2,1i S ==，循环，3,11i S ===，退出循环，输出1S =.。

§2.1.2演绎推理闫慧敏【教材分析】本节内容是数学选修1-2的第二章，“推理与证明”的第一节，是学习了合情推理之一后的内容，演绎推理是学生在学习和生活中经常使用的一种形式，特别的，数学证明主要通过演绎推理来进行。

学生对演绎推理并不陌生，这里学习演绎推理的目的，处理了解演绎推理在证明中的应用外就，主要是为了了解演绎推理的含义，基本方法及其与合情推理的区别与联系。

在现在高考中，本节内容主要以选择题或解答题的形式来考查。

一教学目标：（一）知识与技能：了解演绎推理的含义。

（二）过程与方法：能正确地运用演绎推理进行简单的推理。

（三）情感、态度与价值观：了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别。

二教学重点：正确地运用演绎推理进行简单的推理三教学难点：了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别。

演绎推理的应用。

【学情分析】本节课的教学对象是高二学生。

他们具有一定的特点与优势：学生的知识经验较为丰富具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力。

学生思维活波，积极性高，已初步形成对数学问题的合作探究能力。

另外，学生层次不齐，个体差异比较明显。

【教学过程】（一）导入新课：1、复习：合情推理归纳推理从特殊到一般类比推理从特殊到特殊2、从具体问题出发——观察、分析、比较、联想——归纳、类比——提出猜想问题情境：观察与思考①所有的金属都能导电，铀是金属，所以，铀能够导电；②一切奇数都不能被2整除，(2100+1)是奇数，所以(2100+1)不能被2整除；提出问题：上面的推理有什么特点？分析：如：所有的金属都能导电——一般原理铀是金属——特殊情况所以铀能够导电——对特殊情况的判断（二）问题提问式导入1学生阅读课本，要求学生认真阅读课本，然后进行4人小组交流，并思考下列问题。

（1）什么是演绎推理？学生齐读回答：演绎推理的定义是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理．(2)演绎推理的特点是什么?（一组3号回答）：演绎推理是由一般到特殊的推理；(3)演绎推理的一般模式是什么?（四组1号回答）：“三段论”，包括大前提---已知的一般原理；小前提---所研究的特殊情况；结论-----据一般原理，对特殊情况做出的判断．（五组5号补充）。

推理与证明推理合情推理归纳推理类比推理演绎推理三段论证明直接证明分析法综合法间接证明反证法归纳推理要涉及两个类型：数的归纳和形的归纳，其求解思路如下：(1)通过观察个别对象发现某些相同性质； (2)由相同性质猜想得出一般性结论．需特别注意一点，由归纳猜想得出的结论未必正确，常需要严格的推理证明．(2013·南昌高二检测)在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的是一个直角三角形，若将该直角三角形按图标出边长a ，b ，c ，则由勾股定理有：a 2＋b 2＝c 2.设想把正方形换成正方体，把截线换成如图2－1的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O －LMN ，如果用S 1，S 2，S 3表示三个侧面面积，S 4表示截面面积，那么你类比得到的结论是________．图2－1【思路点拨】 由三角形三边的平方关系，猜想四个面的关系也可能是平方关系，即S 21＋S 22＋S 23＝S 24，然后按照这个思路推证．【规范解答】 由图象可得S 1＝12OM ·ON ， S 2＝12OL ·ON ，S 3＝12OM ·OL ，S 4＝12ML ·NL ·sin ∠MLN ＝12ML ·NL ·1－cos 2∠MLN ＝12ML ·NL ·1－(ML 2＋NL 2－MN 22ML ·NL)2＝14·4ML 2·NL 2－(ML 2＋NL 2－MN 2)2.∵OM 2＋ON 2＝MN 2，OM 2＋OL 2＝ML 2，OL 2＋ON 2＝LN 2， ∴S 4＝12OM 2·ON 2＋OL 2·ON 2＋OM 2·OL 2，∴S 21＋S 22＋S 23＝S 24.【答案】 S 21＋S 22＋S 23＝S 24在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列，第1列 第2列 第3列 … 第1行 1 2 3 … 第2行 2 4 6 … 第3行 3 6 9 … ……………【解析】 由题中数表知：第n 行中的项分别为n,2n,3n ，…，组成一等差数列，所以第n 行第n ＋1列的数是：n 2＋n .【答案】 n 2＋n类比推理出另一类对象也具有这些特征的推理．显然其特征是由特殊到特殊的推理，常见的类比情形有：平面与空间类比，向量与数的类比，不等与相等类比，等差数列同等比数列的类比等等．需注意一点，由类比推理得出的结论也未必正确，也需要严格证明．已知：由图①有面积关系：S△PA′B′S△PAB＝PA′·PB′PA·PB.图2－2(1)试用类比的思想写出由图②所得的体积关系V P-A′B′C′V P-ABC＝______________________.(2)证明你的结论是正确的．【思路点拨】由面积关系，类比推测V P－A′B′C′V P－ABC＝PA′·PB′·PC′PA·PB·PC，然后由体积公式证明．【规范解答】(1)V P-A′B′C′V P-ABC＝PA′·PB′·PC′PA·PB·PC.(2)过A作AO⊥平面PBC于O，连接PO，则A′在平面PBC内的射影O′落在PO上，从而V P-A′B′C′V P-ABC＝V A′-PB′C′V A-PBC＝13S△PB′C′·A′O′13S△PBC·AO＝PB′·PC′·A′O′PB·PC·AO，∵A′O′AO＝PA′PA，∴V P-A′B′C′V P-ABC＝PA′·PB′·PC′PA·PB·PC.如图2－3(1)，在三角形ABC中，AB⊥AC，若AD⊥BC，则AB2＝BD·BC；若类比该命题，如图2－3(2)，三棱锥A－BCD中，AD⊥平面ABC，若A点在三角形BCD所在平面内的射影为M，则可以得到什么命题？命题是否为真命题并加以证明．(1)(2)图2－3【解】命题是：三棱锥A－BCD中，AD⊥平面ABC，若A点在三角形BCD 所在平面内的射影为M，则有S2△ABC＝S△BCM·S△BCD，是一个真命题．证明如下：在图(2)中，连接DM，并延长交BC于E，连接AE，则有DE⊥BC.因为AD⊥平面ABC，所以AD⊥AE.又AM⊥DE，所以AE2＝EM·ED.于是S2△ABC＝(12BC·AE)2＝(12BC·EM)·(12BC·ED)＝S△BCM·S△BCD.演绎推理均正确的前提下，得到的结论一定正确，演绎推理的内容一般是通过合情推理获取．演绎推理的形式一般为“三段论”的形式，即大前提、小前提和结论．图2－4如图2－4所示，D，E，F分别是BC，CA，AB上的点，∠BFD＝∠A，DE∥FA，求证：ED＝AF.【思路点拨】分别确定大前提、小前提，利用演绎推理的方法推出结论．【规范解答】同位角相等，两条直线平行，大前提∠BFD与∠A是同位角，且∠BFD＝∠A，小前提所以DF∥EA.结论两组对边分别平行的四边形是平行四边形，大前提DE∥FA，且DF∥EA，小前提所以四边形AFDE为平行四边形．结论平行四边形的对边相等，大前提ED和AF为平行四边形的一组对边，小前提所以ED＝AF.结论图2－5已知：在空间四边形ABCD中，点E，F分别是AB，AD的中点，如图2－5所示，求证：EF∥平面BCD.【证明】三角形的中位线平行于底边，大前提点E、F分别是AB、AD的中点，小前提所以EF∥BD.结论若平面外一条直线平行于平面内一条直线，则直线与此平面平行，大前提EF⊄平面BCD，BD⊂平面BCD，EF∥BD，小前提EF∥平面BCD.结论直接证明与间接证明1.方式是执果索因法，在解题时常用分析法来探寻思路，用综合法来书写求解过程．2．间接证明，常用的是反证法，其思维过程：否定结论⇒推理过程中引出矛盾⇒否定假设肯定结论，即否定——推理——否定(经过正确的推理导致逻辑矛盾，从而达到新的“否定”(即肯定原命题))．(2013·杭州高二检测)已知α∈(0，π)，试用多种方法求证：2sin2α≤sin α1－cos α.【思路点拨】本题可分别用分析法、综合法及反证法进行证明．【规范解答】法一(分析法)要证明2sin 2α≤sin α1－cos α成立，只要证明4sin αcos α≤sin α1－cos α.∵α∈(0，π)，∴sin α＞0，∴只要证明4cos α≤11－cos α.上式可变形为4≤11－cos α＋4(1－cos α)．∵α∈(0，π)，∴1－cos α＞0.∴11－cos α＋4(1－cos α)≥211－cos α·4(1－cos α)＝4，当且仅当11－cos α＝4(1－cos α)，即cos α＝12，即α＝π3时取等号．∴4≤11－cos α＋4(1－cos α)成立．∴不等式2sin 2α≤sin α1－cos α成立．法二(综合法)∵α∈(0，π)，∴1－cos α＞0. ∴11－cos α＋4(1－cos α)≥211－cos α·4(1－cos α)＝4.当且仅当11－cos α＝4(1－cos α)，即cos α＝12，即α＝π3时取等号．∴4cos α≤11－cos α.∵α∈(0，π)，∴sin α＞0.∴4sin αcos α≤sin α1－cos α.∴2sin 2α≤sin α1－cos α.法三(反证法)假设2sin 2α>sin α1－cos α，则4sin αcos α>sin α1－cos α.∵α∈(0，π)，∴sin α>0，∴4cos α(1－cos α)>1，即4cos2α－4cos α＋1<0(2cos α－1)2<0，不成立．故假设错误，原不等式成立．已知a ，b 为正数，求证a 2＋b 2≥22(a ＋b )．【证明】 法一 (综合法) a 2＋b 2＝a 22＋b 22＋12(a 2＋b 2) ≥a 22＋b 22＋ab ＝12(a ＋b )2＝22(a ＋b )．法二 (分析法) 要证a 2＋b 2≥22(a ＋b )， 只要证a 2＋b 2≥12(a ＋b )2(a >0，b >0)， 即证a 2＋b 2≥12(a 2＋b 2＋2ab )， 即证a 2＋b 2≥2ab ，∵a 2＋b 2≥2ab 成立，∴原结论成立． 法三 (反证法) 假设a 2＋b 2<22(a ＋b )，则a 2＋b 2<12(a ＋b )2⇒a 2＋b 2<12(a 2＋2ab ＋b 2) ⇒a 2＋b 2<2ab⇒(a －b )2<0，不成立． ∴假设不成立，故原结论正确.数形结合思想在合情推理中的应用作出猜想．如图2－6所示是树形图，第一层是一条与水平线垂直的线段，长度为1；第二层在第一层线段的前端作两条与该线段均成135°角的线段，长度为其一半；第三层按第二层的方法在每一条线段的前端生成两条线段；重复前面的作法作图至第n层．设树形图的第n层的最高点到水平线的距离为第n层树形图的高度．图2－6(1)求第三层及第四层树形图的高度H3、H4；(2)求第n层树形图的高度H n.【思路点拨】求出前4层的竖直高度，找出规律，进行猜想．【规范解答】(1)设题中树形图中新生出的各层高度所构成的数列为{a n}，则a1＝1，a2＝12×22，a3＝122，a4＝123×22，所以第三层树形图的高度为H3＝a1＋a2＋a3＝5＋24，第四层树形图的高度为H4＝a1＋a2＋a3＋a4＝20＋5216.(2)易知a n＋2a n＝14(n∈N*)，所以树形图中新生出的第n层高度a n＝⎩⎨⎧12n－1(n为奇数)，12n－1×22(n为偶数).所以当n为奇数时，第n层树形图的高度为H n＝43[1－(14)n＋12]＋23[1－(14)n－12]；当n为偶数时，第n层树形图的高度为H n＝43[1－(14)n2]＋23[1－(14)n2]．如图(1)所示，是一个水平摆放的小正方体木块，图(2)，图(3)均是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数是()图2－7A．25B．66C．91D．120【解析】小正方体木块叠放的规律是下一个图形比上一个图形多放4(n－1)＋1块，则有a1＝1，a2－a1＝5，a3－a2＝9，a4－a3＝13，…，a7－a6＝25，可得a7＝91.【答案】 C。

2．1.2演绎推理教学设计整体设计教材分析《演绎推理》是高中数学中的基本思维过程，是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式，是正确进行逻辑推理必不可少的基础知识，是高考热点．演绎推理具有证明结论、整理和构建知识体系的作用，是公理体系中的基本推理方法．本节内容相对比较抽象，教学中应紧密结合已学过的生活实例和数学实例，让学生了解演绎推理的含义，并在上一节学习的基础上，了解合情推理与演绎推理之间的联系与差异，同时纠正推理过程中可能犯的典型错误，增强学生的好奇心，激发出潜在的创造力，使学生能正确应用合情推理和演绎推理去进行一些简单的推理，证明一些数学结论．课时划分1课时．教学目标1．知识与技能目标了解演绎推理的含义，了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别，能正确地运用演绎推理，进行简单的推理．2．过程与方法目标了解和体会演绎推理在日常生活和学习中的应用，培养学生的逻辑推理能力，使学生学会观察，大胆猜想，敢于归纳、挖掘其中所包含的推理思路和思想；明确演绎推理的基本过程，提高学生的创新能力．3．情感、态度与价值观通过本节课的学习，体验推理源于实践，又应用于实践的思想，激发学生学习的兴趣，培养学生勇于探索、创新的个性品质．重点难点重点：正确地运用演绎推理进行简单的推理证明．难点：了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别．教学过程引入新课观察与思考：新学期开始了，班里换了新的老师，他们是林老师、王老师和吴老师，三位老师分别教语文、数学、英语．已知：每个老师只教一门课；林老师上课全用汉语；英语老师是一个学生的哥哥；吴老师是一位女教师，她比数学老师活泼．问：三位老师各上什么课？活动设计：让学生带着浓厚的兴趣，先独立思考，然后小组交流．引导分析：启发学生把自己的思考过程借助于下列表格展示出来，从而解决问题．注意与学生交流．学情预测：开始学生的回答可能不全面、不准确，但在其他学生的不断补充、纠正下，会趋于准确．活动结果：林老师——数学，王老师——英语，吴老师——语文．设计意图本着“兴趣是最好的老师”的原则，结合生活中具体的实例，激发学生学习的兴趣，让学生体会“数学来源于生活”，创造和谐积极的学习气氛，体会演绎推理的现实意义．探究新知判断下列推理是合情推理吗？分析推理过程，明确它们的推理形式．(1)所有的金属都能导电，铜是金属，所以，铜能够导电．(2)一切奇数都不能被2整除，(2100＋1)是奇数，所以，(2100＋1)不能被2整除．(3)三角函数都是周期函数，tanα是三角函数，所以，tanα是周期函数．活动设计：学生口答，教师板书．学情预测：学生积极思考片刻，有学生举手回答且回答准确．活动结果：以上推理不是合情推理，它们的推理形式如下：(1)所有的金属都能导电，第一段铜是金属，第二段所以，铜能够导电．第三段(2)一切奇数都不能被2整除，第一段(2100＋1)是奇数，第二段所以，(2100＋1)不能被2整除．第三段(3)三角函数都是周期函数，第一段tanα是三角函数，第二段所以，tanα是周期函数．第三段提出问题：对于上面的三个推理，它们的推理形式有什么特点？活动设计：学生独立思考，并自由发言．学情预测：通过观察和分析，学生有足够的能力来解决上面所提问题．活动结果：上面的例子都有三段，是以一般的判断为前提，得出一些个别的、具体的判断：(1)所有的金属都能导电，大前提铜是金属，小前提所以，铜能够导电．结论(2)一切奇数都不能被2整除，大前提(2100＋1)是奇数，小前提所以，(2100＋1)不能被2整除．结论(3)三角函数都是周期函数，大前提tanα是三角函数，小前提所以，tanα是周期函数．结论教师：演绎推理的定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理．1．演绎推理是由一般到特殊的推理；2．“三段论”是演绎推理的一般模式，包括(1)大前提——已知的一般原理；(2)小前提——所研究的特殊情况；(3)结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．设计意图通过对演绎推理概念的学习，体会以“三段论”模式来说明演绎推理的特点，从中概括出演绎推理的推理过程，对演绎推理是一般到特殊的推理有一个直观的认识，训练和培养学生的演绎推理能力．理解新知提出问题：在应用“三段论”进行推理的过程中，得到的推理结论一定正确吗？为什么？例如：(1)所有阔叶植物都是落叶的，葡萄树是阔叶植物，所以，葡萄树都是落叶的．(2)因为所有边长都相等的凸多边形是正多边形，而菱形是所有边长都相等的凸多边形，所以菱形是正多边形．(3)英雄难过美人关，我难过美人关，所以，我是英雄．活动设计：学生独立思考，先有学生自由发言，然后教师小结并形成新知．学情预测：学生们在积极思考，对(2)(3)两个小题的结论产生分歧，意见不统一．活动结果：(1)推理形式正确，前提正确，结论正确．(2)推理形式正确，大前提错误，结论错误．(3)推理形式错误(大、小前提没有连接起来)，结论错误．教师：通过上面的学习，学生们对演绎推理和“三段论”模式都有了更深的了解，其中特别注意：(1)三段论的基本格式M—P(M是P)(大前提)S—M(S是M)(小前提)S—P(S是P)(结论)(2)三段论推理的依据，用集合的观点来理解：若集合M的所有元素都具有性质P，S 是M的一个子集，那么S中所有元素也都具有性质P.(3)在演绎推理中，只有前提和推理形式都正确，结论才是正确的．设计意图通过所举的例子，教师可以了解学生对演绎推理和三段论模式的理解程度，明确概念的内涵和外延，加深理解，及时更正学生在认识推理中产生的错误和偏差．提出问题：合情推理与演绎推理有什么区别与联系？活动设计：学生独立思考，先由学生自由发言，然后教师小结并形成新知．活动结果：设计意图通过比较合情推理与演绎推理的区别与联系，有助于学生更清晰地理解和掌握这两种推理方法，并能灵活应用．运用新知例1如图，在锐角三角形ABC 中，AD ⊥BC ，BE ⊥AC ，D ，E 是垂足，求证：AB 的中点M 到D ，E 的距离相等．思路分析：根据三段论的推理过程进行证明．证明：(1)因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形，——大前提 在△ABC 中，AD ⊥BC ，即∠ADB ＝90°，——小前提 所以△ABD 是直角三角形．——结论(2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，——大前提 因为DM 是直角三角形ABD 斜边上的中线，——小前提 所以DM ＝12AB.——结论同理EM ＝12AB.所以DM ＝EM.点评：通过对上述问题的证明，挖掘其中包含的推理思路，使学生明确演绎推理的基本过程，突出演绎推理中的“大前提”“小前提”和“结论”．巩固练习由①正方形的对角线相等；②平行四边形的对角线相等；③正方形是平行四边形，根据“三段论”推理得出一个结论，则这个结论是( )A ．正方形的对角线相等B ．平行四边形的对角线相等C ．正方形是平行四边形D ．其他 答案：A例2证明函数f(x)＝－x 2＋2x 在(－∞，1)内是增函数．思路分析：证明本例所依据的大前提是：在某个区间(a ，b)内，如果f ′(x)>0，那么函数y ＝f(x)在这个区间内单调递增．小前提是f(x)＝－x 2＋2x 在(－∞，1)内有f ′(x)>0，这是证明本例的关键． 证明：f ′(x)＝－2x ＋2，因为当x ∈(－∞，1)时，有1－x>0， 所以f ′(x)＝－2x ＋2＝2(1－x)>0，于是，根据“三段论”，可知f(x)＝－x 2＋2x 在(－∞，1)内是增函数．点评：通过对上述问题的证明，挖掘其中包含的推理思路，使学生明确演绎推理的基本过程，并加深对演绎推理的认识．教师：许多学生能写出证明过程，但不一定非常清楚证明的逻辑规则，因此在表述证明过程时往往显得杂乱无章，通过这两个例子的教学，应当使这种状况得到改善．变练演编(1)已知a ，b ，m 均为正实数，且b<a ，求证：b a <b ＋ma ＋m.(2)已知△ABC 的三条边分别为a ，b ，c ，则1＋ <1＋.思路分析：(1)中根据演绎推理的证明过程进行证明；(2)中不必证明，答案不唯一． 证明：(1)不等式两边乘以同一个正数，不等式仍成立，——大前提 b<a ，m>0，——小前提 所以mb<ma.——结论不等式两边加上同一个数，不等式仍成立，——大前提 mb<ma ，ab ＝ab ，——小前提所以ab ＋mb<ab ＋ma ，即b(a ＋m)<a(b ＋m)．——结论 不等式两边除以同一个正数，不等式仍成立，——大前提 b(a ＋m)<a(b ＋m)，a(a ＋m)>0，——小前提所以，b (a ＋m )a (a ＋m )<a (b ＋m )a (a ＋m )，即b a <b ＋m a ＋m .——结论(2)c 1＋c <a ＋b 1＋a ＋b (答案不唯一，例如a1＋a <c ＋b 1＋c ＋b)． 点评：通过证明(1)中不等式成立，感知条件与结论的不唯一性，例如：已知a ，b ，m 均为正实数，若a<b ，求证：a b <a ＋mb ＋m.(2)中加强学生思维的灵活性、分析问题的深刻性．活动设计：学生讨论交流并回答问题，老师对不同的合理答案给予肯定，将所有发现的结论一一列举，并由学生予以评价．设计意图通过变练演编，使学生对演绎推理的认识不断加深，同时培养学生逻辑思维的严谨性． 达标检测1．下列表述正确的是( )①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．A ．①②③B ．②③④C ．②④⑤D ．①③⑤2．有这样一段演绎推理“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”，结论显然是错误的，是因为( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．非以上错误3．有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则平行于平面内的所有直线；已知直线平面α，直线平面α，直线b ∥平面α，则直线b ∥直线a ”，结论显然是错误的，这是因为( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．非以上错误 答案：1.D 2.C 3.A课堂小结1．知识收获：(1)演绎推理的定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理．演绎推理是由一般到特殊的推理．(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括大前提——已知的一般原理；小前提——所研究的特殊情况；结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．2．方法收获：利用演绎推理判断进行证明的方法与步骤：①找出大前提；②找出小前提；③根据“三段论”推出结论．3．思维收获：培养和训练学生严谨缜密的逻辑思维．布置作业课本本节练习1、2、3.补充练习基础练习1．把“函数y＝x2＋x＋1的图象是一条抛物线”恢复成三段论．2．下面说法正确的有()(1)演绎推理是由一般到特殊的推理；(2)演绎推理得到的结论一定是正确的；(3)演绎推理的一般模式是“三段论”形式；(4)演绎推理的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关．A．1个B．2个C．3个D．4个3．下列几种推理过程是演绎推理的是()A．5和22可以比较大小B．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质C．东升高中高二年级有15个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班都超过50人D．预测股票走势图4．已知△ABC，∠A＝30°，∠B＝60°，求证：a<b.证明：∵∠A＝30°，∠B＝60°，∴∠A<∠B，∴a<b，画线部分是演绎推理的()A．大前提B．小前提C．结论D．三段论5．用演绎推理法证明y＝x是增函数时的大前提是______．答案：1.解：二次函数的图象是一条抛物线(大前提)，函数y＝x2＋x＋1是二次函数(小前提)，所以，函数y＝x2＋x＋1的图象是一条抛物线(结论)．2．C 3.A 4.B 5.增函数的定义拓展练习6．S为△ABC所在平面外一点，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC.求证：AB⊥BC.证明：如图，作AE⊥SB于E.∵平面SAB⊥平面SBC，∴AE⊥平面SBC，∴AE⊥BC.又∵SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC.∵SA∩AE＝A，SA⊂平面SAB，AE⊂平面SAB，∴BC⊥平面SAB.∵AB⊂平面SAB，∴AB⊥BC.设计说明由于这节课概念性、理论性较强，一般的教学方式会使学生感到枯燥乏味，为此，激发学生的学习兴趣是上好本节课的关键．教学中始终要注意以学生为主，让学生在自我思考、相互交流中去总结概念“下定义”，去体会概念的本质属性．学生对于演绎推理和三段论的理解，需要经过一定时间的体会，先给出学生常见问题的解决步骤，结合以前所学的知识来解决问题，在教学中经常借助这些概念表达、阐述和分析问题．引导学生从日常生活中的推理问题出发，激发学生的学习兴趣，结合学生熟知的旧知识归纳新知识，同时在应用新知的过程中，将所学的知识条理化，使学生的认知结构更趋于合理．备课资料例1小王、小刘、小张参加了今年的高考，考完后在一起议论．小王说：“我肯定考上重点大学．”小刘说：“重点大学我是考不上了．”小张说：“要是不论重点不重点，我考上肯定没问题．”发榜结果表明，三人中考取重点大学、一般大学和没考上大学的各有一个，并且他们三个人的预言只有一个人是对的，另外两个人的预言都同事实恰好相反．可见() A．小王没考上，小刘考上一般大学，小张考上重点大学B．小王考上一般大学，小刘没考上，小张考上重点大学C．小王没考上，小刘考上重点大学，小张考上一般大学D．小王考上一般大学，小刘考上重点大学，小张没考上解析：根据推理知识得出结论．答案：C例2已知直线l、m，平面α、β，且l⊥α，m∥β，给出下列四个命题：(1)若α∥β，则l⊥m；(2)若l⊥m，则α∥β；(3)若α⊥β，则l∥m；(4)若l∥m，则α⊥β.其中正确命题的个数是()A．1 B．2C．3 D．4解析：根据演绎推理的定义，逐一判断结论的正误．由直线和平面、平面和平面平行和垂直的判定定理、性质定理，可知应选B.答案：B点评：以准确、完整地理解条件为基础，才能判断命题的正误．例3函数y＝f(x)在(0,2)上是增函数，函数y＝f(x＋2)是偶函数，则f(1)，f(2.5)，f(3.5)的大小关系是______．解析：根据函数的性质进行判断．∵函数y＝f(x)在(0,2)上是增函数，∴0＜x＋2＜2，即－2＜x＜0.∴函数y＝f(x＋2)在(－2,0)上是增函数．又∵函数y＝f(x＋2)是偶函数，∴函数y＝f(x＋2)在(0,2)上是减函数．由图象可得f(2.5)>f(1)>f(3.5)．故应填f(2.5)>f(1)>f(3.5)．答案：f(2.5)>f(1)>f(3.5)点评：根据函数的基本性质，结合三段论的推理模式可得．例4已知lg2＝m，计算lg0.8.分析：利用所学的推理知识解决问题．解：lga n＝nlga(a>0)，——大前提lg8＝lg23，——小前提lg8＝3lg2.——结论lg ab＝lga－lgb(a>0，b>0)，——大前提lg0.8＝lg 810，——小前提所以lg0.8＝lg8－1＝3lg2－1＝3m－1.——结论点评：找出三段论的大前提与小前提即可得到答案．设计者：李效三2018年5月22日星期二。

§2.1.2 演绎推理 一、复习思考复习1：归纳推理是由 到 的推理.类比推理是由 到 的推理. 复习2：合情推理的结论 .二、新课导学探究任务一：演绎推理的概念问题：观察下列例子有什么特点？（1）所有的金属都能够导电，铜是金属，所以 ；（2）太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，冥王星是太阳系的大行星，因此 ；（3）在一个标准大气压下，水的沸点是100C ︒，所以在一个标准大气压下把水加热到100C ︒时， ； （4）一切奇数都不能被2整除，2007是奇数，所以 ；（5）三角函数都是周期函数，sin α是三角函数，所以 ；（6）两条直线平行，同旁内角互补.如果A 与B 是两条平行直线的同旁内角，那么 .新知：演绎推理是从 出发，推出情况下的结论的推理.简言之，演绎推理是由到 的推理.大前提—— ；小前提—— ；结论—— .例1 在锐角三角形ABC 中，,AD BC BE AC ⊥⊥，D ，E 是垂足. 求证：AB 的中点M 到D ，E 的距离相等.新知：用集合知识说明“三段论”：大前提：小前提：结 论：例2证明函数2()2f x x x =-+在(],1-∞-上是增函数三、课外作业：1. 因为指数函数x y a =是增函数，1()2x y =是指数函数，则1()2x y =是增函数.这个结论是错误的，这是因为A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误2. 有这样一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误3. 有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线b ⊆/平面α，直线a ≠⊂平面α，直线b ∥平面α，则直线b ∥直线a ”的结论显然是错误的，这是因为 A.大前提错误 B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误4.归纳推理是由 到 的推理；类比推理是由 到 的推理；演绎推理是由 到 的推理.5.合情推理的结论 ；演绎推理的结论 .6. 用三段论证明：在梯形ABCD 中，AD//BC ，AB=DC ，则B C ∠=∠.7. 用三段论证明：3()()f x x x x R =+∈为奇函数.§2.2.1 综合法和分析法（1）一、学习目标：1. 结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；2. 会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程.3. 根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法.二、课前准备及探究：探究任务一：综合法的应用问题：已知,0a b >,求证:2222()()4a b c b c a abc +++≥.新知：一般地,利用 ,经过一系列的推理论证,最后导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫综合法.典型例题例1已知,,a b c R +∈，1a b c ++=，求证：1119a b c++≥变式：已知,,a b c R +∈，1a b c ++=，求证：111(1)(1)(1)8a b c ---≥.小结：用综合法证明不等式时要注意应用重要不等式和不等式性质,要注意公式应用的条件和等号成立的条件,这是一种由因索果的证明.例2 在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且A 、B 、C 成等差数列，a 、b 、c成等比数列. 求证：为△ABC 等边三角形.变式：设在四面体P ABC -中,90,,ABC PA PB PC ∠=︒==D 是AC 的中点.求证:PD 垂直于ABC ∆所在的平面.三、课后作业1. 已知22,,"1""1"x y R xy x y ∈≤+≤则是的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2. 如果821,,a a a ⋅⋅⋅为各项都大于零的等差数列，公差0≠d ，则（ ）A ．5481a a a a >B ．5481a a a a <C ．5481a a a a +>+D ．5481a a a a =3. 设23451111log 11log 11log 11log 11P =+++，则（ ） A ．01P << B ．12P <<C ．23P <<D ．34P <<4.若关于x 的不等式22133(2)(2)22x x k k k k --+<-+的解集为1(,)+∞，则k的范围是____ . 5. 已知b a ,是不相等的正数，x y ==，则,x y 的大小关系是_________. 6.已知a ，b ，c 是全不相等的正实数，求证:3b c a a c b a b c a b c+-+-+-++>7.在△ABC 中，证明：2222112cos 2cos ba b B a A -=-§2.2.1 综合法和分析法(二)一、新课导学问题：如何证明基本不等式(0,0)2a b a b +>>新知：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止. 反思：框图表示要点：逆推证法；执果索因二、典型例题例1求证变式：求证:小结：证明含有根式的不等式时,用综合法比较困难,所以我们常用分析法探索证明的途径.例2 在四面体S ABC -中,,SA ABC AB BC ⊥⊥面,过A 作SB 的垂线,垂足为E ,过E 作SC 的垂线,垂足为F ,求证AF SC ⊥.三、课外作业1. 要证明,其中最合理的是A.综合法B.分析法C.反证法D. 归纳法2.不等式①233x x +>;②2b a a b +≥,其中恒成立的是A.①B.②C.①②D.都不正确3.已知0y x >>,且1x y +=,那么 A.22x y x y xy +<<< B.22x y xy x y +<<< C.22x y x xy y +<<< D.22x y x xy y +<<< 4.若,,a b c R ∈,则222a b c ++ ab bc ac ++.5.将a 千克的白糖加水配制成b 千克的糖水(0)b a >>,则其浓度为 ;若再加入m 千克的白糖(0)m >,糖水更甜了,根据这一生活常识提炼出一个常见的不等式: .6.已知0a b >>,求证:22()()828a b a b a b a b-+-<<.7. 设,a b R +∈,且a b ≠,求证:3322a b a b ab +>+。

新课导入（1）所有的金属都能够导电，观察铀是金属，所以铀能导电.（2）太阳系的行星以椭圆形轨道绕太阳运行，天王星是太阳系的行星，因此天王星以椭圆形轨道绕太阳运行. （3）一切奇数都不能被2整除,因为(2100+1)是奇数,所以(2100+1)不能被2整除.（5）两条直线平行，同旁内角互补.如果∠A 和∠B 是两条平行直线的同旁内角， 那么∠A+∠B=180°.（4）三角函数都是周期函数,α因为tan 三角函数, α 所以是tan周期函数. 观察 这些说法有什么共同点？探究思考都是以某些一般地判断为前提，得出一些个别的、具体的判断.你觉得这些说法正确吗?如果认为正确，那么这样的推论又是什么呢？这些说法的共同点是：教学目标【知识与能力】1.了解演绎推理的含义.2.能运用“三段论”进行简单的推理.【过程与方法】通过已学过的数学实例和生活中的实例，从中挖掘、提炼出演绎推理的含义和推理方法，使学生更好的掌握这种思维方法.【情感态度与价值观】使学生掌握这种思维方法，并能在今后的学习中有意识的使用它，以培养言之有理、论证有据的习惯.教学重难点重点了解演绎推理的含义，能利用“三段论”进行简单地推理.难点用“三段论”进行简单的推理.知识要点若推理都是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理.简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理.现在可以知道，上面列举的例子都是演绎推理的例子且每个例子都有三段，称为“三段论”.所有的金属都能导电因为铜是金属,所以铜能够导电.大前提小前提结论（一般原理）（特殊情况）（所得结论）下面请同学们自己说出其余例子的“三段”. （2）太阳系的行星以椭圆形轨道绕太阳运行， 天王星是太阳系的行星，因此天王星以椭圆形轨道绕太阳运行；大前提 小前提 结论（3）一切奇数都不能被2整除, 因为(2100+1)是奇数, 大前提小前提所以(2100+1)不能被2整除.结论 （4）三角函数都是周期函数, α因为tan 三角函数, α所以是tan 周期函数. 大前提 小前提 结论（5）两条直线平行，同旁内角互补. 如果∠A 和∠B 是两条平行直线的同旁内角， 那么∠A+∠B=180°. 大前提 小前提 结论“三段论”是演绎推理的一般模式，那现在大家想想它的内容是什么？（1）大前提——已知的一般原理；（2）小前提——所研究的特殊情况；（3）结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断.“三段论”可以表示为大前提：M是P.小前提：S是M.结论： S是P.三段论推理的依据,用集合的观点来理解: 若集合M的所有元素都具有性质P,S 是M的一个子集,那么S中所有元素也都具有性质P.例题1 如图：在锐角三角形ABC 中,AD ⊥BC, BE ⊥AC,D,E 是垂足,求证AB 的中点M 到D,E 的距离相等.A DE C M B证明:(1)因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形, 在△ABC 中,AD ⊥BC,即∠ADB=900 大前提小前提所以△ABD 是直角三角形. 结论 同理△ABE 是直角三角形.(2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半, 大前提 M 是Rt △ABD 斜边AB 的中点,DM 是斜边上的中线， 小前提所以 DM= AB 12结论 同理 EM= AB 12所以 DM = EM.归纳由此可见，应用三段论解决问题时，首先应明确什么是大前提和小前提.但为了叙述简洁，如果大前提是显然的，则可以省略.自己试试看！如图：D,E,F 分别是BC,CA,AB 上的点,∠BFD= ∠A,DE ∥BA,求证：ED=AF. 练一练A B D C EF (1)同位角相等,两直线平行, ∠BFD 与∠A 是同位角,且∠BFD= ∠A ,证明：所以, DF ∥EA. 大前提小前提 结论(2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形, DE ∥BA 且DF ∥EA, 所以,四边形AFDE 是平行四边形. (3)平行四边形的对边相等,ED 和AF 为平行四边形的对边, 所以,ED=AF. 大前提 小前提 结论大前提 小前提 结论 AB D CE F例题2分析证明函数f(x)= -x2+2x 在(-∞,1）上是增函数.证明本例所依据的大前提是：在某个区间（a,b）内，如果 y= ，那么函数y=f（x）在这个区间内单调递增.f(x)证明：根据“三段论”得，函数f(x)=-x 2+2x 在（-∞,1）上是增函数.小前提是f(x)=-x 2+2x 的导数在区间(-∞,1）内满足 >0，这是证明本题的关键. 'f (x) =-2x+2.当x ∈(-∞，1)时，有1-x>0，所以=-2x+2=2（1-x ）>0.于是，f (x)'f (x)'还有其他的证明方法吗？ 证明函数f(x)=-x2+2x 在(-∞,1）上是增函数.提示根据增函数的定义进行证明.继续解答……任取x1,x2 ∈(-∞,1]且x1<x2 , f(x1)-f(x2)=(-x12+2x1)-(x22+2x2) =(x2-x1)(x1+x2-2)因为x1<x2所以 x2-x1>0因为x1,x2≤1所以x1+x2-2<0因此f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2)证明:满足对于任意x1,x2∈D,若x1<x2,有f(x1)<f(x2)成立的函数f(x),是区间D上的增函数.大前提小前提所以函数f(x)=-x2+2x在(-∞,1)上是增函数.结论在演绎推理中，应用三段论解决问题时，怎样才能保证结论是正确的呢？想一想注意演绎推理是由一般到特殊的推理，这也决定了演绎推理的结论不会超出前提所界定的范围，所以其前提和结论之间的联系是必然的.因此，在演绎推理中，只要前提和推理形式正确，结论就必然正确.例题3 因为指数函数y=a x 是增函数,而y=a x 是指数函数,所以是增函数. 结论大前提 小前提 （1）上面的推理形式正确吗？（2）推理的结论正确吗？为什么？解：上述推理的形式正确，但大前提是错误的（因为当0<a<1时，指数函数y=a x是减函数），所以所得的结论是错误的.记住反思通过本例的学习，使我们更深刻的理解了“在演绎推理中，只要前提和推理形式正确，结论就必然正确”.知识要点至此，我们学习了两种推理方式——合理推理与演绎推理.大家想想它们两者的区别与联系？自己总结归纳一下吧！区别：1.归纳是由部分到整体、个别到一般的推理；类比是由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理.2.从推理的结论来看,合情推理的结论不一定正确,有待证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确.联系：1.合情推理的结论需要演绎推理的验证，而演绎推理的内容一般是通过合情推理获得的.2. 从认识事物的过程中所发挥的作用的角度考虑，演绎推理与合情推理又是紧密联系，相辅相成的.课堂小结1.演绎推理的概念：若推理都是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理.简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理.2.“三段论”是演绎推理的一般模式，它的内容是：(1)大前提---已知的一般原理；(2)小前提---所研究的特殊情况；(3)结论-----据一般原理，对特殊情况做出的判断．3.在演绎推理中，只要前提和推理形式正确，结论就必然正确.4.合情推理和演绎推理的联系与区别：总的来说，从推理形式和推理所得结论的正确性上讲，二者有差异，从二者在认识事物的过程中所发挥的作用的角度考虑，它们又是紧密联系，相辅相成的.合情推理的结论需要演绎推理的验证，而演绎推理的内容一般是通过合情推理获得的.随堂练习1.指出下列推理中的错误,并分析产生错误的原因.(1)整数是自然数,大前提不正确.-3是整数,-3是自然数.(2)无理数是无限小数,(3) 凡金属都是导电的，水是导电的，所以，水是金属. 1(=0.333)3是无限小数, 是无理数.13大前提不正确,无理数是无限不循环小数. 小前提不正确,水不是金属.已知a,b,m均为正实数,b<a,求证: b b+m <.a a+m证:⎫⎬⎭b amb ma ab+mb ab+mam0<⇒<⇒<>⎫⎬⎭b(a+m)a(b+m)a(a+m)0b(a+m)a(b+m)a(a+m)a(a+m)b b+ma a+m⇒<>⇒<⇒<又2.习题答案 2.因为通项公式为 的数列{ }，若 其中p 是非零常数，则{ }是等比数列.‥‥‥‥大前提 又因为cq≠0,则q≠0,且 n a n+1n a =p a n+1n+1n n a cq ==q.a cq练习（第81页）1.答案课上已给出.n a n a ‥‥‥‥小前提3.由AD>BD ，得到∠ACD>∠BCD 的推理是错误的.因为这个推理的大前提是“在同一个三角形中，大边对大角”，小前提是“AD>BD ”，而AD 与BD 不在同一个三角形中. 所以通项公式为 的数列{ }是等比数列.‥‥‥‥结论n n a =cq cq 0（） n a。

第二章 推理与证明2.1.1 合情推理与演绎推理(1)归纳推理【要点梳理】1、从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为 任何推理包括 和 两个部分。

是推理所依据的命题，它告诉我们 是什么， 是根据前提推得的命题，它告诉我们 是什么。

2、从个别事实中推演车一般性的结论的推理通常称为 ，它的思维过程是3、归纳推理有如下特点（1）归纳推理的前提是几个已知的 现象，归纳所得的结论是尚属未知的 现象，该结论超越了前提所包含的范围。

（2）由归纳推理得到的结论具有 的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验，因此，它 作为数学证明的工具。

（填“能”或“不能”）（3）归纳推理是一种具有 的推理，通过归纳法得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题。

【指点迷津】1、运用归纳推理的一般步骤是什么？首先，通过观察特例发现某些相似性（特例的共性或一般规律）；然后，把这种相似性推广为一个明确表述的一般命题（猜想）；然后，对所得的一般性命题进行检验。

2、在数学上，检验的标准是什么？标准是是否能进行严格的证明。

3、归纳推理的一般模式是什么？S 1具有P ；S 2具有P ；……；S n 具有P （S 1、S 2、…、S n 是A 类事件的对象） 所以A 类事件具有P【典型例题】例1、设N n x f x f x f x f x f x f x x f n n ∈'='='==-),()(,),()(),()(,sin )(112010 ，则)()(2005=x fA 、x sinB 、x sin -C 、x cosD 、x cos - 【解析】：,cos )(sin )(1x x x f ='=)()()(sin )(cos )()(cos )(sin )(sin )cos ()(cos )sin ()(sin )(cos )(42615432x f x f x f x x x f x f x x x f xx x f xx x f x x x f n n ====-='==='=='-=-='-=-='=+故可猜测)(x f n 是以4为周期的函数，有x x f x f x f n n sin )(,cos )1()(2414-===++xf x f x x f n n sin )4()(cos )(4434==-=++故选C【点评】归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理，是人们在日常活动和科学学习研究中经常使用的一种推理方法，必须认真学习领会，在归纳推理的过程中，应注意所探求的事物或现象的本质属性和因果关系。

满足y=x 2,则log 2(22)x y +的最小值是78；④若a 、b ∈R ，则221a b ab a b +++>+。

其中正确的是（ ）。

(A) ①②③ (B) ①②④ (C) ②③④ (D) ①②③④解析 用综合法可得应选（B ） 例2 函数y ＝f （x ）在（0，2）上是增函数，函数y=f(x+2)是偶函数，则f(1),f(2.5),f(3.5)的大小关系是 .解析∵函数y ＝f （x ）在（0，2）上是增函数， ∴ 0＜x+2＜2即-2＜x ＜0∴函数y=f(x+2) 在（-2，0）上是增函数， 又∵函数y=f(x+2)是偶函数，∴函数y=f(x+2) 在（0，2）上是减函数 由图象可得f(2.5)>f(1)>f(3.5)故应填f(2.5)>f(1)>f(3.5)例3 已知a ，b ，c 是全不相等的正实数，求证3>-++-++-+ccb a b bc a a a c b解析∵ a ，b ，c 全不相等∴ a b 与b a ，a c 与c a ，b c 与c b 全不相等。

∴ 2，2，2b a c a c ba b a c b c+>+>+>三式相加得6b c c a a ba ab bc c+++++>∴ (1)(1)(1)3b c c a a ba ab bc c+-++-++->即 3b c a a c b a b c a b c+-+-+-++>练习一、选择题1．如果数列{}n a 是等差数列，则（ ）。

（A ）1845a a a a +<+ （B ） 1845a a a a +=+ （C ）1845a a a a +>+ （D ）1845a a a a =2．在△ABC 中若b=2asinB 则A 等于( )(A)06030或 (B)06045或 (C)0012060或 (D)0015030或 3．下面的四个不等式：①ca bc ab c b a ++≥++222；②()411≤-a a ；③2≥+abb a ；④()()()22222bd ac d c b a +≥+•+.其中不成立的有（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个二、填空题4． 已知 5,2==b a ，向量b a 与的 夹角为0120，则a b a ．)2(-=5. 如图，在直四棱柱A 1B 1C 1D 1—ABCD 中，当底面四边形ABCD 满足n，n证明：如图，连接BD ，∵在△ABC 中，BE=CE DF=CF ∴E F ∥BD又BD ⊂平面ABD ∴BD ∥平面ABD7．解：∵f(x-4)=f(2-x)，∴函数的图象关于x= -1对称 ∴12-=-ab即b =2a 由③知当x = 1时,y=0，即ab +c =0；由①得 f (1)≥1，由②得 f (1)≤1. ∴f (1)=1，即a +b +c =1，又ab +c =0 ∴a =41 b =21 c =41 ，∴f (x )=4121412++x x 假设存在t ∈R ，只要x ∈[1,m ]，就有f (x +t )≤x 取x =1时，有f (t +1)≤1⇒41(t +1)2+21(t +1)+41≤1⇒-4≤t ≤0 对固定的t ∈[-4,0]，取x =m ，有f (t +m )≤m ⇒41(t +m )2+21(t +m )+41≤m ⇒2m +2(t-1)m +(t 2+2t +1)≤0 ⇒t t 41---≤m ≤t t 41-+- ∴m ≤t t 41--≤)4(4)4(1-⋅-+--=9当t = -4时，对任意的x ∈[1,9]，恒有f(x-4)≤x ⇒41(2x -10x +9)=41(x-1)(x-9)≤0∴m 的最大值为9.解法二：∵f (x -4)=f (2-x )，∴函数的图象关于x =-1对称 ∴ 12-=-abb =2a 由③知当x=1时,y=0，即a b +c =0；由①得 f (1)≥1，由②得 f (1)≤1∴f (1)=1，即a +b +c =1，a b +c =0∴a =41 b =21 c =41∴f (x )=4121412++x x =41(x +1)2由f (x +t )=41(x +t +1)2≤x 在x ∈[1,m ]上恒成立 ∴4[f (x +t )-x ]=x 2+2(t -1)x +(t +1)2≤0当x ∈[1,m ]时，恒成立 令 x =1有t 2+4t ≤0⇒-4≤t ≤0令x =m 有t 2+2(m +1)t +(m -1)2≤0当t ∈[-4,0]时，恒有解令t = -4得，2m - 10m +9≤0⇒1≤m ≤9 即当t = -4时，任取x ∈[1,9]恒有f (x -4)-x =41(2x -10x +9)=41(x-1)(x-9)≤0 ∴ m max =92．2直接证明2．2．1 综合法一、选择题（1）由等差数列的性质：若m+n=p+q 则q p n m a a a a +=+可知应填（B ）。

高中数学选修1-2《推理与证明》第二章 推理与证明一、合情推理12→⎫⎬→⎭、归纳推理：个别一般（结论不一定正确）、类比推理：特殊特殊例1、推导等差数列通项公式。

解：33332123________.n ++++=例、求 解：二、演绎推理()()()()123⎧⎪→⎨⎪⎩大前提：M 是P 三段论小前提：S 是M 一般特殊结论正确结论：S 是P例：“自然数是整数，4是自然数，所以4是整数”。

233243123(1)n a a d a a da a d a a n d =+⎫⎪=+⎪⎪=+↓⎬⎪⎪=+-⎪⎭个别一般32332333233332221111293123=36=++11+2+3++(123)(1)4n n n n ⎫==⎪⎪+==⎪⎪++↓⎬⎪⎪⎪=++++=+⎪⎭特殊（123）一般三、直接证明1→→、综合法：条件结论2、分析法：结论条件()(),,,0,+=+,12,a b c d a b c d ab cd a b c d >>>-<->例：设且证明：若若()221,,,a b c d a b c d ab cd ab cd ab cd ⎫>⎪⎪>⎪⎪+>+⎬+=+>⎪⎪>⎪⎪>>⎭证明：只要证，即，分析法因为所以只要证，只要证因为成立.()22222,()()()4()4,a b c d a b c d a b ab c d cd a b c d ab cd ⎫-<--<-⎪+-<+-⎪⎬+=+>⎪⎪>⎭若，即，综合法因为所以，由（1四、间接证明反证法：假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立。

210.x m n x mn x m x n ++≠≠≠例、若-()，则且2==0x m x n x m x n x m x n x m n x mn x m x n ≠≠--++≠∴≠≠证：假设且不成立，则且，所以()()=0与-()矛盾,故假设不成立，且成立.22例、证明是无理数.2222222222=,=24,2,2q p q pp q q q q k k p k p k p p p q ∴=∴∴∴=∴=∴∴∴证明：假设是有理数，则（、互质的整数）,2是偶数，是偶数，可设（为整数）,2是偶数，也是偶数，与、互质矛盾，则假设不成立，是无理数.五、数学归纳法*00*0()=(,)1n an n N n k k n k N n k ∈≥∈=+步骤：①：（归纳奠基）证明当取第一个值时命题成立.②：（归纳递推）假设时命题成立,证明当时命题成立.例1、例2、。

2.1.2 演绎推理（罗毅）一、教学目标1．核心素养通过学习演绎推理，初步形成基本的数学抽象和逻辑推理能力．2．学习目标（1）结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单推理．（2）通过具体实例，了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.3．学习重点了解演绎推理的含义，能利用“三段论”进行简单的推理．4．学习难点用“三段论”进行简单的推理．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务任务1阅读教材P78－P81，思考：什么是演绎推理？合情推理与演绎推理的在逻辑上有什么区别？2．预习自测）1．下列几种推理过程是演绎推理的是（）A.5和可以比较大小B.由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质C.我校高中高二级有18个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班都超过50人D. 预测股票走势图解：A2．推理“①矩形是平行四边形；②三角形不是平行四边形；③三角形不是矩形”中的小前提是( )A．①B．②C．③D．①和②解：B3．有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；已知直线b⊆/平面α，直线a ≠⊂平面α，直线b ∥平面α，则直线b ∥直线a ”的结论显然是错误的，这是因为（ ）A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．非以上错误解： A（二）课堂设计1．知识回顾（1）归纳推理和类比推理的含义和特点．（2）合情推理的逻辑缺陷是什么．2．问题探究问题探究一 演绎推理的基本方法 ●活动一 回顾合情推理，认知逻辑特征1. 练习： ① 对于任意正整数n ，猜想（2n -1）与(n +1)2的大小关系？②在平面内，若,a c b c ⊥⊥，则//a b . 类比到空间，你会得到什么结论？（结论：在空间中，若,a c b c ⊥⊥，则//a b ；或在空间中，若,,//αγβγαβ⊥⊥则.2. 讨论：以上推理属于什么推理，结论正确吗？合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明，有什么能使结论正确的推理形式呢？ ●活动二 结合实例，体会演绎推理导入：①所有的金属都能够导电，铜是金属，所以 ；②太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，冥王星是太阳系的大行星，因此 ； ③奇数都不能被2整除，2007是奇数，所以 .讨论：上述例子的推理形式与我们学过的合情推理一样吗？在逻辑上有什么共同特点？ ●活动三 总结共性，形成方法提问：观察教材引例，它们都由几部分组成，各部分有什么特点？“三段论”是演绎推理的一般模式：第一段：大前提——已知的一般原理；第二段：小前提——所研究的特殊情况；。

庖丁巧解牛知识²巧学一、合情推理1.归纳推理由某类事件的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者是由个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).要点提示①归纳推理的前提是已知的几个特殊现象,归纳所得的结论是尚属于未知的一般现象,该结论超越了前提所包容的范围.②由归纳推理得到的结论具有猜测的性质,结论是否真实,还需经过逻辑证明和实践检验.因此,它不能作为数学证明的工具.③归纳推理是一种具有创造性的推理,通过归纳推理得到的猜想,可以作为进一步研究的起点,帮助人们发现问题和提出问题.知识拓展归纳推理的步骤:①通过观察个别情况发现某些相同的性质;②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题.深化升华①归纳推理的实质是由部分到整体、由个别到一般.②应用归纳推理获得的新结论,一般只能作为猜想,虽然猜想是否正确还有待严格的证明,但是这个猜想可以为我们的研究提供一种方向.2.类比推理由两类对象具有某些类似的特征和已知其中一类对象的某些特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比).方法点拨①类比推理实质是由特殊到特殊的推理.②运用类比推理常常要先寻找合适的类比对象,我们可以从不同角度出发确定类比对象,基本原则是根据当前的实际,选择适当的类比对象.知识拓展类比推理的一般步骤:①找出两类事物之间的相似性或一致性;②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题.3.合情推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、类比,然后提出猜想的推理,我们把它们统称为合情推理.深化升华①合情推理是指“合乎情理”的推理,得到一个新结论之前,合情推理常常能帮助我们猜想和发现结论;证明一个数学结论之前,合情推理常常能为我们提供证明的思想和方向.②一般来说,由合情推理所获得的结论,仅仅是一种猜想,未必可靠,例如费马猜想就被大数学家欧拉推翻了.③合情推理的过程概括为:二、演绎推理1.演绎推理从一般性原理出发,推出某个特殊情况下的结论,我们把这种推理称为演绎推理,演绎推理又称为逻辑推理.深化升华①演绎推理是由一般到特殊的推理.②数学中的证明主要是通过演绎推理来进行的.2.三段论推理(1)“三段论”是演绎推理的一般模式,包括:①大前提——已知的一般原理;②小前提——所研究的特殊情况;③结论——根据一般原理,对特殊情况作出的判断.(2)“三段论”可以表示为:大前提:M是P小前提:S是M结论:S是P.(3)公理化方法:尽可能少地选择原始概念和一组不加证明的原始命题(公理、公设),以此为出发点,应用演绎推理,推出尽可能多的结论的方法,称为公理法.公理化方法的精髓是:利用尽可能少的前提,推出尽可能多的结论.深化升华①利用集合知识说明“三段论”:若集合M的所有元素都有性质P,S是M的一个子集,那么S中所有元素也都具有性质P.②应用三段论解决问题时,首先应该明确什么是大前提和小前提,但为了叙述简洁,如果大前提是显然的,则可以省略.知识拓展假言推理①定义:如果一个推理规则能用符号表示为“如果p q,p真,则q真”,那么这种推理规则叫做假言推理.假言推理的本质是,通过验证结论的充分条件为真,判断结论为真.②假言推理的步骤:确定命题p能够推出命题q;判断命题p是否为真,如果p为真,则q为真.知识拓展关系推理①定义:如果一个推理规则可以用符号表示为“如果a≥b,b≥c,则a≥c”,那么这种推理规则叫做关系推理.②关系推理的步骤:确定原式a和式子b存在的关系a≥b;论证式子b和c存在关系b≥c,从而推出a≥c.知识拓展完全归纳推理把所有情况都考虑在内的演绎推理规则叫做完全归纳推理.例如,对所有的n(3≤n<+∞),证明n边形的内角和为(n-2)π就是完全归纳推理.3.合情推理与演绎推理合情推理与演绎推理是常见的两种推理方式.从推理形式上看,合情推理是由局部到整体、个别到一般的推理(归纳),或是由特殊到特殊的推理(类比);而演绎推理是由一般到特殊的推理.从推理所得的结论来看,合情推理的结论不一定正确,有待于进一步证明;演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的情况下,得到的结论一定正确.方法点拨在数学中,证明命题的正确性,都是用演绎推理,而合情推理不能用作证明. 问题²探究问题1 类比平面向量和空间向量,列出它们相似(相同)的性质.思路:从平面向量和空间向量的定义、运算法则、运算律、数量积、共线,共面以及向量基本定理等几个方面来进行类比.探究:(1)从定义的角度考虑:平面向量:平面内既有大小又有方向的向量;空间向量:空间内既有大小又有方向的向量. (2)从运算法则的角度考虑:两个平面向量相加的三角形法则和平行四边形法则在空间中仍成立.始点相同的三个不共面的向量之和,等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量,这是平面向量加法的平行四边形法则在空间的推广.(3)从运算律、数量积的角度考虑,平面向量和空间向量是相同的.运算律:①a+b=b+a(加法交换律);②(a+b)+c=a+(b+c)(加法结合律);③λ(a+b)=λa+λb(数乘分配律).数量积的性质:①a²e=|a|cos〈a,e〉(e是单位向量);②a⊥b a²b=0;③|a|2=a²a.数量积的运算律:①(λa)²b=λ(a²b);②a²b=b²a(交换律);③a²(b+c)=a²b+a²c(分配律).(4)从向量共线,共面的角度考虑:共线向量定理:向量b与a(a≠0)共线的充要条件是:有且只有一个实数λ,使得b=λa.共面向量定理:如果两个向量a、b不共线,则向量p与向量a、b共面的充要条件是存在实数对x,y,使p=x a+y b.(5)从向量基本定理的角度考虑:平面向量基本定理:如果e1,e2是同一平面内的两个不共线的向量,那么对于这一平面内任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使得a=λ1e1+λ2e2,其中e1,e2表示平面向量的一组基底. 空间向量基本定理:如果三个向量a、b、c不共面,那么对于空间任一向量p,存在一个唯一的有序实数组x,y,z,使p=x a+y b+z c,其中{a,b,c}叫做空间的一个基底,a、b、c都叫基向量. 问题2 将三角形与四面体进行类比,你能想出几种类比呢?思路:可以取三角形为类比源,由三角形的已知知识预测和发现关于四面体的某些新命题. 探究:第一,三角形的内角平分线交于一点,这一点是三角形的内切圆的圆心.于是得到类比猜想:四面体各个面所成二面角的平分面交于一点,该点为四面体内切球的球心.第二,三角形的三条中线交于一点,这一点是三角形的重心,并分各条中线成2∶1两部分.由此得到类比猜想:四面体的四条中线(顶点与相对面三角形重心的连线)交于一点,该点是四面体的重心,且分各中线成2∶1两部分.第三,直角三角形的三边之间有关系c2=a2+b2.由此猜想:三个侧面两两垂直的四面体的各面面积之间有关系D2=A2+B2+C2.问题3 从A地出发到河边饮完马再到B地去,在河边哪个地方饮马可使路途最短?如图2-1-1所示.图2-1-1思路:先作点A关于MN的对称点A′,连结BA′,交MN于P,则P点即为所求.探究:用演绎法证明如下:如图2-1-1所示,在MN上取一点P′(异于点P),则AP ′=P ′A ′,AP=PA ′,从而AP ′+P ′B=A ′P ′+P ′B>A ′P+PB=AP+PB. 由此可知:A 到B 经P 点距离最短. 典题²热题例1设平面内有n 条直线(n ≥3),其中有且仅有两条直线互相平行,任意三条直线不过同一点.若用f(n)表示这n 条直线交点的个数,则f(4)=___________;当n>4时,f(n)=___________. 思路解析:f(2)=0,f(4)-f(3)=3,f(5)-f(4)=4,…, f(n)-f(n-1)=n-1.累加得f(n)=f(2)+2+3+4+…+n-1=2)]1(2)[2(-+-n n =21(n+1)(n-2).答案:521(n+1)(n-2) 深化升华 本小题考查观察、分析、归纳推理、累加求通项等知识,是一个很灵活的题目. 例2在数列{a n }中,a 1=1,a n+1=nn a a +22(n ∈N *),猜想这个数列的通项公式.思路分析:根据已知条件和递推关系,先求出数列的前几项.然后总结归纳其中的规律,写出通项.解:{a n }中,a 1=1,a 2=322211=+a a ,a 3=,42212222==+a a a 4=522233=+a a ,…. ∴{a n }的通项公式为a n =12+n . 证明:∵a 1=1,a n+1=211221122+=+=+∴+n n n n n n a a a a a a ∴21111=-+n n a a . 即数列{n a 1}是以11a =1为首项,公差为21的等差数列.na 1=1+21(n-1)=21(n+1),a n =12+n .例3已知在△ABC 中,不等式π9111≥∠+∠+∠C B A ,在四边形ABCD 中,不等式π2161111≥∠+∠+∠+∠D C B A 成立, 在五边形ABCDE 中,不等式π32511111≥∠+∠+∠+∠+∠E D C B A ,猜想在n 边形A 1A 2…A n 中,有怎样的不等式成立? 思路分析:根据已知特殊的值: πππ3252169、、,…,总结归纳出一般性的规律:π)2(2-n n (n ≥3).s解:在n 边形A 1A 2…A n 中,π)2(1111121321-≥∠+∠++∠+∠+∠-n n A A A A A n n (n ≥3). 拓展延伸 平面内有n 条直线,其中任何两条都不平行,任何三条不过同一点,试归纳它们的交点的个数.解:n=2时,交点的个数f(2)=1. n=3时,交点的个数f(3)=3. n=4时,交点的个数f(4)=6. n=5时,交点的个数f(5)=10. 猜想归纳:f(n)=21n(n-1)(n ≥2). 深化升华 运用归纳推理可以去发现一些新的几何命题,再运用相关的方法证明它的真假,这是数学发明,创新的一条途径.例4已知在Rt △ABC 中,若∠C=90°,则cos 2A+cos 2B=1;在立体几何中,给出四面体性质的猜想.思路分析:考虑到平面中的图形是直角三角形,所以我们在空间选取有3个面两两垂直的直四面体P —A ′B ′C ′,且三个面分别与面A ′B ′C ′所成的二面角为α、β、γ.解:如图212所示,在Rt △ABC 中,cos 2A+cos 2B=(c b )2+2222)(cb ac a +==1. 于是把结论类比到四面体P —A ′B ′C ′中,我们猜想,三棱锥P-A ′B ′C ′中,若三个侧面PA ′B ′,PB ′C ′,PC ′A ′两两互相垂直,且分别与底面所成的角为α、β、γ,则cos 2α+cos 2β+cos 2γ=1.图2-1-2深化升华 类比推理应从具体问题出发,通过观察、分析、联想进行对比,归纳,提出猜想.拓展延伸 在Rt △ABC 中,若∠C=90°,AC=b,BC=a,则△ABC 的外接圆半径r=222b a +.把上面的结论推广到空间,写出相似的结论.解:我们同样取空间有三条侧棱两两垂直的四面体A —BCD,且AB=a,AC=b,AD=c,则此三棱锥外接球的半径R=2222c b a ++.例5设a 1,a 2,a 3,…,a n ,…均为自然数,称a 1++++43211a a a 为无穷连分数,例如2=(2-1)+1=1+++++=+2121211121,这里a 1=1,a n =2(n ∈N *,n ≥2).请你与上式类似地将3写成无穷连分数,并写出a n .思路分析:本题给出了无穷连分数的定义以及范例,依定义仿范例,即可解决问题. 解:3=1+(3-1)=1+13111121311121311132+++=-++=++=++++++=-+++=211121111)13(21111同时有a 1=a 2n =1,a 2n+1=2(n ∈N *).深化升华 对有些提供了范例的信息迁移型创新题,解答时可根据所给的信息与所求的问题的相似性,运用类比推理,使问题得以解决,另外在解有些信息迁移型创新题时,也可类比旧的问题的解决方法,依照它解决新信息中的问题. 例6试将下列演绎推理写成三段论的形式.(1)太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行;(2)所有导体通电时发热,铁是导体,所以铁通电时发热;(3)一次函数是单调函数,函数y=2x-1是一次函数,所以y=2x-1是单调函数;(4)等差数列的通项公式具有形式a n =pn+q(p,q 是常数),数列1,2,3,…,n 是等差数列,所以数列1,2,3,…,n 的通项具有a n =pn+q 的形式.思路分析:分清三段论的大前提、小前提、结论是解题的关键. 解:(1)大前提:太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行; 小前提:冥王星是太阳系里的大行星; 结论:冥王星以椭圆形轨道绕太阳运行. (2)大前提:所有导体通电发热; 小前提:铁是导体; 结论:铁通电时发热.(3)大前提:一次函数是单调函数; 小前提:函数y=2x-1是一次函数; 结论:y=2x-1是单调函数.(4)大前提:等差数列的通项公式具有形式a n =pn+q; 小前提:数列1,2,3,…,n 是等差数列;结论:数列1,2,3,…,n 的通项具有a n =pn+q 的形式.深化升华 分清楚“三段论”中的大前提、小前提、结论,要抓住它们的定义,即大前提——已知的一般原理;小前提——所研究的特殊情况;结论——根据一般原理,对特殊情况作出判断.例7用三段论证明:x 2+3>3x.思路分析:证明本例所依据的是:a-b>0⇔a>b.小前提是证明:(x 2+3)-3x>0,这是证明本例的关键.解:∵(x 2+3)-3x=(x-23)2+43≥43>0, ∴根据“三段论”,得x 2+3>3x.深化升华 由于本例所依据的大前提a-b>0⇔a>b 很明显,因此在证明过程中往往将其省略掉了.例8求证函数y=1212+-x x 是奇函数,且在定义域上是增函数.思路分析:本题在证明过程中使用了三段论推理,假言推理等推理规则.解:y=1221122)12(+-=+-+xx x 所以f(x)的定义域为x ∈R . f(-x)+f(x)=(1-122+-x )+(1-122+x )=2-(122+x +122+-x) =2-(1222121+∙++x x x )=2-12)12(2++xx =2-2=0, 即f(-x)=-f(x),所以f(x)是奇函数.任取x 1,x 2∈R ,且x 1<x 2. 则f(x 1)-f(x 2)=(1-1221+x )-(1-1222+x )=2(1222+x -1221+x ) =2²)12)(12(221221++-x x x x . 由于x 1<x 2,从而022,222121<-<x x x x ,所以f(x 1)<f(x 2),故f(x)为增函数.例9(2005全国高考 )设f(x)=sin(2x+φ)(-π<φ<0)的图象的一条对称轴是直线x=8π. (1)求φ;(2)求y=f(x)的单调增区间;(3)证明直线5x-2y+c=0与函数y=f(x)的图象不相切. (1)解:∵x=8π是函数y=f(x)的图象的对称轴,∴sin(2³8π+φ)=±1. ∴4π+φ=k π+2π,k ∈Z . ∵-π<φ<0,∴φ=43π-.(2)解:由(1)知φ=43π-,因此y=sin(2x-43π-).由题意得2k π-2π≤2x 43π-≤2k π+2π,k ∈Z .∴函数y=sin(2x-43π-)的单调增区间为［k π+8π,k π+85π］,k ∈Z .(3)证明:∵|y ′|=|［sin(2x-43π-)］′|=|2cos(2x-4π)|≤2,∴曲线y=f(x)的切线斜率的取值范围为［-2,2］. 而直线5x-2y+c=0的斜率为25>2, ∴直线5x-2y+c=0与函数y=sin(2x-43π-)的图象不相切. 深化升华 第三问考查直线与三角函数图象的位置关系,很有新意.把函数值域、导数、斜率有机地联系在一起,是一道灵活的好题.。