一个向量模的多种解法

MATLAB计算方法3解线性方程组计算解法线性方程组是数学中的一个重要问题，解线性方程组是计算数学中的一个基本计算，有着广泛的应用。

MATLAB是一种功能强大的数学软件，提供了多种解线性方程组的计算方法。

本文将介绍MATLAB中的三种解线性方程组的计算方法。

第一种方法是用MATLAB函数“linsolve”解线性方程组。

该函数使用高斯消元法和LU分解法求解线性方程组，可以处理单个方程组以及多个方程组的情况。

使用该函数的语法如下：X = linsolve(A, B)其中A是系数矩阵，B是常数向量，X是解向量。

该函数会根据A的形式自动选择求解方法，返回解向量X。

下面是一个使用“linsolve”函数解线性方程组的例子：A=[12;34];B=[5;6];X = linsolve(A, B);上述代码中，A是一个2×2的系数矩阵，B是一个2×1的常数向量，X是一个2×1的解向量。

运行代码后，X的值为[-4.0000;4.5000]。

第二种方法是用MATLAB函数“inv”求解逆矩阵来解线性方程组。

当系数矩阵A非奇异（可逆）时，可以使用逆矩阵求解线性方程组。

使用“inv”函数的语法如下：X = inv(A) * B其中A是系数矩阵，B是常数向量，X是解向量。

该方法先计算A的逆矩阵，然后将逆矩阵与B相乘得到解向量X。

下面是一个使用“inv”函数解线性方程组的例子：A=[12;34];B=[5;6];X = inv(A) * B;上述代码中，A是一个2×2的系数矩阵，B是一个2×1的常数向量，X是一个2×1的解向量。

运行代码后，X的值为[-4.0000;4.5000]。

第三种方法是用MATLAB函数“mldivide”（或“\”）求解线性方程组。

该函数使用最小二乘法求解非方阵的线性方程组。

使用“mldivide”函数的语法如下：X=A\B其中A是系数矩阵，B是常数向量，X是解向量。

=1+12(2cos60°cos40°)-12(cos40°-cos120°)=1+12cos40°-12cos40°+12cos120°=1-14=34.四、其它转化在求值问题中,除了重组角度转化之外,还应重视三角函数名,结构等方面的转化,如:①切割化弦;②降幂转化来计算.例6　求tan20°+4sin20°的值.分析:对此类问题一般先将切化弦:tan20°+4sin20°=sin20°cos20°+4sin20°=sin20°+4sin20°cos20°cos20°由于题目中出现了20°与40°的角,其和为60°的特殊角,这样就为转化带来了空间,而且方法不是唯一的.变式1　tan20°+4sin20°=sin20°+2sin40°cos20°=sin(60°-40°)+sin40°cos20°=sin60°cos40°-cos60°sin40°+2sin40°cos20°=32cos40°-12sin40°+2sin40°cos20°=32cos40°+32sin40°cos20°=3(12cos40°+32sin40°)cos20°=3sin70°cos20°=3.变式2　tan20°+4sin20°=sin20°+2sin(60°-20°)cos20°=sin20°+3cos20°-sin20°cos20°=3cos20°cos20°=3.以上几种形式的转化求值问题,只是在三角函数教学中比较普遍存在的转化思想的体现,在很多的具体求值中,还有些异于上述的其它方法.但任何问题的解决都是将未知转化为已知的过程,在三角函数求值中体现得更为突出.在教学中应提炼出来,以便于学生共享.黑龙江省农垦总局哈尔滨分局高级中学(150088)●韩晓辉巧用平面向量解立体几何问题 平面向量是解答立体几何问题的一种快速、简捷的运算工具.不少复杂的立体几何问题,引入平面向量后,通过将空间元素的位置关系转化为数量关系,将过去的形式逻辑证明转化为数值运算,即借助平面使解题模式化,用机械性操作把问题转化,因此,平面向量为立体几何代数化带来了极大的便利.下面,介绍平面向量在立体几何中的应用.例1　如图1,AB、CD为异面直线,CD<平面α,AB∥平面α,M、N分别是AC、BD的中点,求证MN∥平面α证明因为D<平面α,B∥平面α且··数理化学习(高中版)©:.:C A12AB 、CD 异面,所以在α内存在�a 、�b 使AB =�a ,CD =�b ,且�a 、�b 不共线,由M 、N 分别是AC 、BD 的中点,得MN =12(MB +MD )=12[(MA +AB )+(MC +CD )]=12[(MA +AB )+(MC +C D )]=12[-M C +AB +MC +CD ]=12[AB +CD ]=12(�a +�b ),即MN 与�a 、�b 共面.又因为�a 、�b 在平面α内,故MN ∥平面α或MN <平面α,而若MN <平面α,则A B 、C D 同在平面α内,与AB 、CD 为异面直线矛盾,所以MN ∥平面α.例2　正四面体V -ABC 的高VD 的中点为O ,AC 的中点为M.求证:A O 、BO 、CO 两两垂直.证明:设V A =�a,V �b =�b ,VC =�c ,正四面体棱长为m,则VD =13(�a +�b +�c ),A O =16(�b +�c -5�a ),BO =16(�a +�c -5�b ),CO =16(�a +�b -5�c ).因为AO ·BO =136(�b +�c -5�a )·(�a +�c -5�b )=0,所以AO ⊥BO,即AO ⊥BO,同理,AO ⊥CO ,BO ⊥C O.例3　如图3,在三棱锥S -A BC 中,∠S AB =∠S AC =∠AC B =90°,AC =2,SA =23,BC =13,S B =29.证明:(1)SC ⊥BC;(2)求异面直线SC 与AB 所成角α的余弦值.解:(1)证明:由题意,S ·B =,·B =,所以S ·B =(S +)·B =S A ·CB +AC ·C B =0,即SC ⊥BC .(2)因为SC ·AB =(S A +AC)·(AC +C B )=S A ·AC +SA ·C B +AC ·AC +AC ·CB =0+0+|AC |2+0=|AC |2=4,|SC |=(23)2+22=4,|A B |=(13)2+22=17,所以cosα=SC ·AB |SC |·|AB |=4417=1717.例4　如图3,已知平行六面体ABC D -A 1B 1C 1D 1的底面是菱形,且∠C 1CB =∠C 1C D=∠BC D =60°.(1)证明:C 1C ⊥BD ;(2)当CDCC 1的值为多少时,能使A 1C ⊥平面C 1BD 请给予证明.证明:(1)取C D 、CB 、CC 1为空间的一个基.因为∠C 1CB =∠BC D =60°,ABCD 是棱形,所以|C D |=|CB |,又因为BD =C D -CB,所以CC 1·BD =CC 1·(C D -CB )=CC 1·CD -CC 1·C B =0.所以C 1C ⊥BD.(2)设CDCC 1=λ(λ>0),即|C D |=λ|CC 1|时,能使A 1C ⊥平面C 1BD.因为C 1D ∩BD =D ,所以A 1C ⊥平面C 1BD ΖA 1C ⊥C 1D 且A 1C ⊥BD ΖA 1C ·C 1D =0且A 1C ·BD =0.因为=(D +B +),D =D ,<B,D >=6°,<B ,>=6°,··数理化学习(高中版)©A C 0AC C 0C C A AC C A 1C -C C CC 1C 1C -CC 1C C 0C CC 1022|CD|=|CB|,所以A1C·C1D=-(|C D|2-CD·CC1+ CB·CD-CB·CC1+CC1·CD-|CC1|2)=-(λ2|CC1|2+12λ2|CC1|2-12λ|CC1|2-|CC1|2)=-(32λ2-12λ-1)|CC1|2.所以A1C·C1D=0Ζ32λ2-12λ-1=0Ζ(λ-1)(3λ+2)=0,因为λ>0,所以λ=1.经验证,当λ=1时,A1C·C1D=0.即当C DCC1=1时,能使A1C⊥平面C1BD.前面这些题目若采用传统的立体几何方法证明,大多数不可避免地需要添加“辅助线”,然后再分别证明线线平行(垂直)或面面平行(垂直),而这些证法与用平面向量法相比,显然难度是大的.因此,平面向量确实是处理立体几何问题的重要而又简便的方法.作为平面向量的主要技巧,是将相关量表示为基向量的形式,把问题转化为平面向量的运算,这与把空间图形关系转化为平面图形关系的传统解法相比,显然是更高的思维方式,它抓住了空间的主要特征和其内在规律,使“纷繁复杂的现象变得井然有序.”河北省乐亭县第一中学(063600)●张云飞线段定比分点的向量公式及应用例举(一) 线段的定比分点公式是同学们所熟悉的重要公式,它在中学数学中有较为广泛的应用,近几年的高考也时有涉及,如2000年全国高考文理科倒数第一大题都直接考查了定比分点公式的运用.同学们所熟悉的是定比分点的坐标公式,其实,除此以外,定比分点公式还有其向量形式.运用定比分点的向量形式解题有时显得更为简洁明快.一、线段的定比分点向量公式设P1、P2是直线l上的两点,点P是l上不同于、的任意一点,O 是平面内任意一点,设O P1=�a,O P2=�b,P分有向线段P1P2所成的比为λ,则有O P=�a+λ�b1+λ.证明:如图1,因为P1P=O P-�a,.PP2=�b-O P,P1P=λPP2,所以O P-�a=λ(�b-O P)所以O P=�a+λ�b1+λ①公式①就是线段的定比分点向量公式.二、应用例1　在△ABC中,已知D是BC的中点, E是AD的中点,直线B E交AC于F,求证:CF =2FA.证明如图,在△B中,设BD=�,B=�,·3·数理化学习(高中版)©P1P2:2A Ca A b2。

向量在中学数学中的应用向量是中学数学的主要内容之一,巧妙地构造向量,利用向量的运算及性质,可以解决证明有关恒等式，不等式、求某些函数极值和有关几何问题。

1.在代数解题中的应用(1)求函数的最值(值域) 利用向量的模的不等式a b a b a b →→→→→→-≤+≤+, a b a b →→→→⋅≤,可以十分简单地求一些较为复杂的、运用常规方法又比较麻烦的最值(值域)问题．例1、求函数()32f x x =++分析：观察其结构特征，由3x +令(3,4),(p q x →→==，则()2f x p q →→=⋅+，且5,2p q →→==．故()212f x p q →→≤+=，当且仅当p →与q →同向，即30x =>时取等号，从而问题得到解决．(2)证明条件等式和不等式 条件等式和不等式的证明，常常要用一些特殊的变形技巧，不易证明．若利用向量来证 明条件等式和不等式，则思路清晰，易于操作，且解法简捷．例2、设22222()()()a b m n am bn ++=+，其中0mn ≠．求证:m a =nb ． 分析：观察已知等式的结构特征，联想到向量的模及向量的数量积，令(,),p a b →= (,)q m n →=，则易知p →与q →的夹角为0或π，所以p →∥q →，0an bm -=，问题得证．(3)解方程(或方程组)有些方程(方程组)用常规方法求解，很难凑效，若用向量去解，思路巧妙，过程简洁． 例3、求实数,,x y z 使得它们同时满足方程： 2313x y z ++=和22249215382x y z x y z ++-++=．分析：将两方程相加并配方得222(2)(33)(2)108x y z ++++=，由此联想到向量模，令(2,33,2),(1,1,1)a x y z b →→=++=，则a b →→==(2)1(33)1a b x y →→⋅=⋅++⋅ (2)118z ++⋅=，又因为18a b a b →→→→⋅≤=，其中等式成立的条件即为方程组的解，即当且仅当12x =133+y =12+z 0>时等式成立，问题解决． (4)解复数问题因为复数可以用向量表示，所以复数问题都可以用向量来研究解决．例4、已知复平面内正方形ABCD 的两对角顶点A 和C 所对应的复数分别为23i +和 44i -，求另外两顶点B 和D 所对应的复数．分析：先求D ，为此得求OD --→．因OD O A A D -→-→-→=+，而AD --→是AC --→依逆时针方向旋转4π，同时将AC --→倍，因此先求AC --→．而AC OC OA --→--→--→=-，故AC --→对应的复数是 44(23)27i i i --+=-，于是AD --→对应的复数是95(27)cos sin4422i i ππ⎫-+=-⎪⎭ 又OD OA AD --→--→--→=+，所以OD --→可求．同理可求OB --→，问题解决．(5)求参变数的范围求参变数的范围是代数中的一个难点，常常要进行讨论，若用向量去解，会收到意想不到的效果.例5、设,,,a b c d R ∈，且22222(0),3k a b c d k k a b c d +++=>+++=，试讨论 ,,,a b c d 的范围．分析：由2222a b c d +++联想到向量的模，令(,,),(1,1,1)p a b c q →→==，则p q a b c k d →→⋅=++=-，p q →→==.由p q p q →→→→⋅≤得k d -≤102d ≤≤，由,,,a b c d 对称性便可得,,,a b c d 的范围． 2.在三角解题中的应用向量的数量积的定义，将向量与三角函数融为一体，体现了向量的模与三角函数之间的关系，为运用向量解决三角函数问题创造了有利的条件．(1)求值例6、已知3cos cos cos()2αβαβ+-+=，求锐角,αβ的值． 分析：由已知得3(1cos )cos sin sin cos 2βαβαβ-+=-，观察其结构特征,联想到向量的数量积，令(1cos ,sin ),(cos ,sin )a b ββαα→→=-=，则3cos 2a b β→→⋅=-，a b →→=．由a b a b →→→→⋅≤得3cos 2β-≤，所以1cos 2β=， 即3πβ=，代入已知等式便可求得α的值．(2)证明恒等式例7、求证：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+分析：由等式右边联想到向量的数量积，令(cos ,sin ),(cos ,sin )a b ααββ→→==， 则1,1a b →→==，且易知a →与b →的夹角为βα-，则cos()a b a b βα→→→→⋅=-cos()βα=-， 又cos cos sin sin a b αβαβ→→⋅=+，则问题得证．3.在平面几何解题中的应用利用向量加法、减法、数乘和内积的几何意义，可以巧妙而简捷地进行几何证明和解决几何中有关夹角的问题．例8、试证明以三角形的三中线为边可以作成一个三角形.分析：如图，,,AD BE CF 分别为ABC ∆三边上的中线，若要证明,,AD BE CF 能作成一个三角形，只须证明AD BE CF --→--→--→++=0→．证明：设AB --→=c →, BC --→=a →, CA --→=b →,则0a b c →→→→++=，而AD AB BD --→--→--→=+ 12c a →→=+，BE BC CE --→--→--→=+12a b →→=+, 所以 CF CA AF --→--→--→=+12b c →→=+． 于是 AD BE CF --→--→--→++=1()02a b c a b c →→→→→→→+++++=，即以,,AD BE CF 为边可构成一个三角形．4.向量在解析几何中的应用平面向量作为一种有向线段，本身就是线段的一段，其坐标用起点和终点坐标表示，因此向量与平面解析几何有着密切联系．在解析几何中，它可使过去许多形式逻辑的证明转化为数值的计算，化复杂为简单，成为解决问题的一种重要手段和方法.例9、已知一个圆的直径两端点为1122(,),(,)A x y B x y ，求此圆方程.解：设(,)P x y 为圆上异于,A B 的点，由圆周角定理得AP --→⊥BP --→，若(,)P x y 是与点A 或B 重合的点，则AP --→=0→或BP --→=0→，故都有AP --→⋅BP --→=0成立，从而 1122()()()()0x x y y x x y y --+--=，此即为所求圆方程．例10、求过圆22(5)(6)10x y -+-=上的点(6,9)M 的切线方程．解：如图,设(,)N x y 是所求切线上的任意一点，则MN --→(6,9)x y =--， (1,3)O M --→'=,因为MN --→⊥O M --→'，所以MN --→⋅O M --→'=0，即(6)3(9)0x y -+-=，此即为所求切线的方程(即使是,N M 重合时，仍有MN --→⋅O M --→'=0，因为此时MN --→=0→)．5.在立体几何解题中的应用直线与平面所成的角、最小角定理，异面直线所成的角，二面角及其平面角概念、求法，两平面垂直的判定及性质定理，点面、直线与平行面、两平行面、异面直线等四种距离的概念及求法以及用向量解决有关直线、平面的垂直、平行、共面以及夹角与距离问题.例11、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是棱1111,A D A B 的中点，求BC 和面EFBD 所成的角． 解：如图，建立空间直角坐标系D xyz -，设正方体棱长为2，则坐标为：(2,2,0),(0,0,0),B D 1(1,0,2),(2,1,2),(0,2,2)E F C ， (2,2,0),(1,0D B DE --→--→∴== y1(2,0,2)BC --→=-．设n →(,,)x y z =是平面EFBD 的法向量，n →DB --→⋅0=，n →⋅DE --→0=， 得1,2y x z x =-=-，令2x =-，得(2,2,1)n →=-，设θ为1BC 和面EFBD 所成的角，则111sin cos ,6BC n BC n BC nθ⋅=<>==⋅arcsin 6θ= 综上所述，向量是一种有效的工具，在众多数学问题中有十分广泛的应用．因此，我们应该有意识地运用向量分析问题，借助向量的知识来解决问题．。

巧用三角形外心的一个向量性质破解一类客观题作者：刘正祥来源：《中学课程辅导高考版·学生版》2014年第11期在近两年的各种高考调研卷、模拟卷中经常出现一类与三角形外心有关的向量问题，解决此类问题一般可分为两种思路：一种是利用平面向量基本定理转化来优化计算，二是通过建立坐标系，用平面向量的坐标来解决.但用思路一有时出现的向量较多，不知怎么转化，解题缺乏方向性；用思路二有时不好建系.本文就针对这类问题提出如何应用三角形外心的一个向量性质来有效、快速破解问题.一、引例联想（2012浙江调研）如图，在圆O中，若弦AB=3，弦AC=5，则AO·BC的值是（）A. -8B. -1C. 1D. 8一般解法：取BC的中点D，连接AD，OD，则有OD⊥BC，AD=12（AB+AC），BC=AC-AB，AO·BC=（AD+DO）·BC=AD·BC+DO·BC=AD·BC=12（AB+AC）（AC-AB）=12AC2-12AB2=12（52-32）=8，所以正确答案选D.本题求解的关键和难点是向量之间的线性转化，解题的策略是将两个无关联的向量转化为两个目标基向量，通过数量积运算得到结果.在解法中我们可以发现AO·BC=12AC2-12AB2，而AO·BC=AO·（AC-AB）=AO·AC-AO·AB，则AO·AC-AO·AB=12AC2-12AB2，于是从结构形式上希望有AO·AB=12AB2，AO·AC=12AC2发生，从而猜想性质：已知O是△ABC外心，则AO·AB=12AB2；AO·AC=12AC2；同理BO·BA=12BA2，BO·BC=12BC2；CO·CA=12CA2，CO·CB=12CB2.二、性质证明证明：如图，过O作OD⊥AB于点D，则AD=12AB且AB·DO=0，过O作OE⊥AC于点E，则AE=12AC且AC·EO=0，AO·AB=（AD-OD）·AB=AD·AB+DO·AB=12AB·AB=12AB2，同理AO·AC=12AC2；BO·BA=12BA2，BO·BC=12BC2；CO·CA=12CA2，CO·CB=12CB2.该性质结构对称，记忆方便，而且看到这种结构能立刻条件反射，联想到用该性质，从而启发解题手段，例如引例可联想用性质解法如下：AO·BC=AO·（AC-AB）=AO·AC-AO·AB=12AC2-12AB2=12（52-32）=8，显然方便快捷.三、应用举例例1如图，在圆O中，若△ABC是圆O的内接三角形，且AB=4，M是BC边BC的中点，AO·AM=5，则AC=.解：联想性质AO·AM=AO·12（AB+AC）=12AB·AO+12AC·AO=14AB2+14AC2，则14×42+14AC2=5，解得AC=2.评注：原答案提供的解法为：过O作OD⊥AB于点D，则AD=12AB且AB·DO=0，过O 作OE⊥AC于点E，则AE=12AC且AC·EO=0，AO·AM=AO·12（AB+AC）=12AB·AO+12AC·AO=14AB2+14AC2，即14×42+14AC2=5，故AC=2.显然用性质解题方向明确，过程简捷，运算迅速.例2已知O是△ABC外心，AB=AC，若AO=3mAB-nAC，且9m-3n=4，则cosA=.解：因为O是△ABC外心，AB=AC，由对称性可知3m=-n又9m-3n=4，则m=29，从AO=23AB+23AC，联想性质得AO·AB=23AB2+23AC·AB即12AB2=23AB2+23AC·AB，即12c2=23c2+23c2cosA，故cosA=-14.评注：原答案采用的是性质证明过程中所用方法，比较繁琐，显然先用对称性求出m，n，再联想性质构造数量积，得到方程，容易达到解题目的.例3已知O是△ABC外心，AB=2a，AC=2a，∠BAC=120°，若AO=xAB+yAC，则x+y的最小值为.解：由AO=xAB+yAC，联想性质得AO·AB=xAB2+yAB·ACAO·AC=xAB·AC+yAC2，得方程组4a2x-2y=2a2-2x+4ya2=2a2解方程组得x=2a2+13a2y=a2+23，所以x+y=2a2+13a2+a2+23=43+13（a2+1a2）≥43+23a2·1a2=2即当a=1时，x+y取得最小值2.评注：本题亦可以A为原点，以AC边所在的直线为x轴，建立直角坐标系，则C（2a，0），B（-a，3a），O（1a，33（2a+1a））.由AO=xAB+yAC，得（1a，33（2a+1a））=（-ax，3ax）+（2ay，0）解得x=23+13a2，y=23+13a2，再利用基本不等式求出答案.而此法先用性质构造构造数量积，得到方程组，解出x，y后再利用基本不等式求解，显然该法解题方向明确，方法固化，容易入手.四、类题演练演练1设点O是△ABC三边的垂直平分线的交点，且AC2-2AC+AB2=0，则BC·AO的取值范围是.解析：由AC2-2AC+AB2=0得AB2=2AC-AC2，则0演练2已知O是△ABC外心，AB=1，AC=2，且AO=xAB+4-x8AC（x∈R且x≠0），则三角形ABC的边BC长为.解析：联想性质，将等式AO=xAB+4-x8AC两边同时与AC数量积，得12AC2=xAB·AC+4-x8AC2，即x8AC2=xAB·AC，即x8×22=x·1×2cosA解得cosA=14，再由余弦定理得BC=2，故答案为2.演练3已知O是锐角△ABC的外心，且∠A=θ，若cosBsinCAB+cosCsinBAC=2mAO，则m=（用θ表示）.解析：联想性质，将等式cosBsinCAB+cosCsinBAC=2mAO两边同时与AB数量积，得cosBsinCAB2+cosCsinBAC·AB=2mAO·AB，即cosBsinCc2+cosCsinBbccosA=mc2，即m=cosBsinC+cosCsinB·bccosA=cosBsinC+cosCsinB·sinBsinCcosA=cosB+cosAcosCsinC=-cos（A+C）+cosAcosCsinC=sinAsinCsinC=sinA=sinθ，故答案为sinθ.由以上几例可知，用三角形外心的这个向量性质解题的本质是构造数量积，将向量等式转化为数量等式，将问题转化到三角形的边.同时题目条件本身就能预示解题方向，启发解题手段，在以后的解题中同学们应多加尝试.（作者：刘正祥，江苏省阜宁中学）。

平面向量常见题型与解题指导一、考点回顾1、本章框图2、高考要求1、理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。

2、掌握向量的加法和减法的运算法则及运算律。

3、掌握实数与向量的积的运算法则及运算律，理解两个向量共线的充要条件。

4、了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。

5、掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。

6、掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用；掌握平移公式。

7、掌握正、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形。

8、通过解三角形的应用的教学，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力。

3、热点分析对本章内容的考查主要分以下三类：1.以选择、填空题型考查本章的基本概念和性质.此类题一般难度不大，用以解决有关长度、夹角、垂直、判断多边形形状等问题.2.以解答题考查圆锥曲线中的典型问题.此类题综合性比较强，难度大，以解析几何中的常规题为主.3.向量在空间中的应用（在B类教材中）.在空间坐标系下，通过向量的坐标的表示，运用计算的方法研究三维空间几何图形的性质.在复习过程中，抓住源于课本，高于课本的指导方针.本章考题大多数是课本的变式题，即源于课本.因此，掌握双基、精通课本是本章关键.分析近几年来的高考试题，有关平面向量部分突出考查了向量的基本运算。

对于和解析几何相关的线段的定比分点和平移等交叉内容，作为学习解析几何的基本工具，在相关内容中会进行考查。

本章的另一部分是解斜三角形，它是考查的重点。

总而言之，平面向量这一章的学习应立足基础，强化运算，重视应用。

考查的重点是基础知识和基本技能。

4、复习建议由于本章知识分向量与解斜三角形两部分，所以应用本章知识解决的问题也分为两类：一类是根据向量的概念、定理、法则、公式对向量进行运算，并能运用向量知识解决平面几何中的一些计算和证明问题；另一类是运用正、余弦定理正确地解斜三角形，并能应用解斜三角形知识解决测量不可到达的两点间的距离问题。

平面向量问题的类型与解法大家知道，平面向量问题是近几年高考的热点问题之一，每年高考必有一个五分小题，有时在大题中也会涉及到平面向量的内容。

从题型上，以选择题或填空题为主，难度系数为低档或中档，但近几年有向高档题目发展的趋势。

纵观近几年高考试题，归结起来平面向量问题主要包括：①平面向量几何运算问题；②平面向量坐标运算问题；③平面向量数量积的问题等几种类型。

各种类型问题结构上具有一定的特征，解答方法也各不相同。

那么在实际解答平面向量问题时，到底应该如何抓住问题的结构特征，快捷，准确地给予解答呢？下面通过典型例题的详细解析，来回答这个问题。

【典例1】解答下列问题：1、在∆ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB u u u r =（ ）A 34AB u u u r - 14AC u u u r B 14AB u u u r - 34AC u u u r C 34AB u u u r + 14AC u u u rD 14AB u u u r +34AC u u u r 【解析】【知识点】①平面向量几何运算的法则与基本方法；②向量共线的充分必要条件；③三角形一边上中线的定义与性质。

【解题思路】运用向量几何运算的基本方法和三角形一边上中线的性质，结合问题条件求出向量EB u u u r 关于向量AB u u u r ，AC u u u r 的式子就可得出选项。

A【详细解答】如图，Q ∆ABC 中，AD 为BC 边上的中线，BC uuu r =AC u u u r -AB u u u r ，∴AD u u u r =AC u u u r -DC u u u r =AC u u u r -12 E BC uuu r =12AC u u u r +12AB u u u r ，Q E 为AD 的中点，∴AE u u u r B D C =12AD u u u r =14AC u u u r +14AB u u u r ，⇒EB u u u r =AB u u u r -AE u u u r =AB u u u r - 14AC u u u r -14AB u u u r =34AB u u u r - 14AC u u u r , ⇒A 正确，∴选A 。

LASSO 的解法LASSO ⾮常实⽤，但由于它的惩罚项不可以常规地进⾏求导，使得很多⼈以为它⽆法显式地求出解析解。

但其实并不是这样的。

1 单变量情形：软阈值法1.1 软阈值的分类讨论将N 个样本的真实值记为N 维向量y ，将N 个样本的⾃变量记为z ，假设我们已经将⾃变量做过标准化，即z ′ℓn =0，z ′z /N =1，这也意味着在LASSO 模型中截距项为0。

系数β是要优化的参数，惩罚项参数为λ>0。

LASSO 就是要求解\argmin β12N (y −z β)′(y −z β)+λ|β|忽略常数项后，上式等价于\argmin β12β2−y ′zN β+λ|β|将损失函数写成分段函数形式：f (β)=f 1(β)=12β2−y ′z N +λβ,β<0f 2(β)=12β2−y ′z N −λβ,β≥0分类讨论：若y ′z N >λ，则f 1(β)>0，f 2(β)在ˆβ=y ′z N −λ处取到最⼩值f 2(ˆβ)<0，因此解为ˆβ=y ′z N −λ；若y ′zN≤λ，则f 1(β)≥0，f 2(β)≥0，且在ˆβ=0处有f 1(ˆβ)=f 2(ˆβ)=0，因此解为ˆβ=0；若y ′z N <−λ，则f 2(β)>0，f 1(β)在ˆβ=y ′z N +λ处取到最⼩值f 1(ˆβ)<0，因此解为ˆβ=y ′z N +λ。

利⽤软阈值算⼦（soft-thresholding operator ）S λ(x )=sign(x )(|x |−λ)+，可将以上三种解统⼀为ˆβ=S λ(y ′z /N )其实在我们的设定下，OLS 估计量为˜β=y ′z /N ，因此，将OLS 估计量通过⼀个软阈值算⼦的操作，就变成了LASSO 估计量。

1.2 次梯度如果引⼊次梯度（subgradient ）的概念，可以更直接地求解(1)式。

设|β|的次梯度为s ∈sign(β)，它的形式是，当β≠0时有s =sign(β)，当β=0时有s ∈[−1,1]。