一道向量题的7种解法

2015年第3期摘要：从向量加法的平行四边形法则入手，发现解决与模长有关的向量问题的三个核心工具：极化恒等式、平行四边形性质和三角形不等式.合理选择解题工具可使这类问题的解答变得简洁明了.关键词：高考试题；向量模长；解法研究近几年高考或省级竞赛中的向量试题越来越灵活，解题方法众多（以数形结合和坐标解析法最为常见），对学生的能力要求越来越高.合理选择解题方法和解题工具显得尤为重要，选择不恰当，费时、费力，且不得要领.例如，近几年出现的一类与向量模长有关的试题，题目结构千变万化，解题方法多且具有较强的技巧性，给人的感觉是眼花缭乱，难以把握.笔者梳理后发现，这类问题和向量的“极化恒等式”“平行四边形性质”及“三角形不等式”密切相关，用好这些知识，可获得比较简洁的解法.一、寻找解题神器已知a ，b 是两个向量，设m =a ﹢b ，n =a -b ，则m2=a2﹢b2﹢2a ·b .①n 2=a2﹢b2-2a ·b .②由①﹢②，得“平行四边形性质”［1］，m2﹢n2=2（a 2﹢b 2）.③由①-②，即得“极化恒等式”［2］，4a ·b =（a ﹢b ）2-（a -b ）2.④在图1中，利用三角形三边之间的关系，得“三角形不等式”，a -b ɤa ﹢b ɤa﹢b ；⑤a-bɤa -bɤa﹢b .⑥③式即是人教A 版教材（必修4）的第109页［1］例1的探索结果，表明“在平行四边形中，两条对角线的平方和等于四边的平方和”.也有人称之为“平行四边形法则”［3］，［4］，还表明，一个实赋范线性空间E 为内积空间的充要条件为：对于任意的x ，y ɪE ，有x ﹢y2﹢x -y2=2（x2﹢y 2）.⑦其上的内积可定义如下：x ·y =14（x ﹢y2-x -y 2）.⑧当E 为平面向量空间，x ，y 为E 中的平面向量时，⑦式即③式，⑧式即④式.为叙述方便，本文约定m =a ﹢b ，n =a -b .二、小试神器，化难为易例1（2014年高考新课程全国卷·理3）设向量a ，b 满足a ﹢b =10ɿ，a -b =6ɿ，则a ·b 的值为（）.（A ）1（B ）2（C ）3（D ）5收稿日期：2014—07—17基金项目：全国教育科学“十一五”规划2010年教育部重点课题———中小学数学核心内容及其教学的研究（G0A107010）；2014年浙江省教研课题———中学数学核心概念“习得型”习题课教学设计研究（14B002）.作者简介：王红权（1970—），男，中学高级教师，浙江省数学学会理事，杭州市数学学科带头人，杭州市中学数学教研员，主要从事数学教育研究.朱成万（浙江省杭州第十四中学）图1解题研究J I E T I Y A N J I U352015年第3期解：根据④式，得a ·b =14（a ﹢b2-a -b 2）=1.故选A .例2（2014年高考浙江卷·理8）记max ｛x ，y ｝=x ，x ȡy ，y ，x ＜y ，﹛min ｛x ，y ｝=x ，x ɤy ，y ，x ＞y.﹛设a ，b 为平面向量，则（）.（A ）min ｛a ﹢b ，a -b ｝ɤmin ｛a ，b ｝（B ）min ｛a ﹢b ，a -b ｝ȡmin ｛a ，b ｝（C ）max ｛a ﹢b 2，a -b 2｝ɤa 2﹢b2（D ）max ｛a ﹢b 2，a -b 2｝ȡa2﹢b2解：根据③式，a ﹢b2﹢a -b2=2（a2﹢b 2），所以max ｛a ﹢b 2，a -b 2｝ȡ12（a ﹢b2-a -b 2）=a2﹢b 2.故选D .三、拨云见日，理清迷雾例3已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足（a -c ）·（b -c ）=0，则c 的最大值是（）.（A ）1（B ）2（C ）2ɿ（D ）2ɿ2现在看来，这是一个比较容易的向量试题，一般采用数形结合的方法，通过画图获得结果.事实上，根据极化恒等式，得（a -c ）·（a -c ）=a ﹢b -2c 2﹙﹚2-a -b 2﹙﹚2=0，即c -a ﹢b 2=a -b 2.⑨由⑥式，知c -a ﹢b 2ȡc -a -b2.所以c ɤa ﹢b 2﹢a -b2=12（m ﹢n ）.根据③式，有m2﹢n2=2（a 2﹢b 2）=4.再根据常见不等式x ﹢y 2ɤx 2﹢y 22ɿ，可得12（m ﹢n ）ɤm2﹢n 22ɿ=2ɿ.所以cmax=2ɿ.这样的解法看似是小题大做，但事实上这个解答非常本源地反映了命题者的初衷，而且还有其他东西可以挖掘，第一，可以发现条件“a ，b 是互相垂直的”是多余的；第二，⑨式有明显的几何意义：如图2，若点M 为线段A B 的中点，则OM =12（a ﹢b ），⑨式表示向量c 的终点（这里约定向量a ，b ，c 的起点为点O ）轨迹是以点M 为圆心，12AB 长为半径的圆，更一般地，可把c -a =k （k ＞0），⑩，称为“圆的向量方程”，表示向量c 的终点轨迹是以向量a 的终点为圆心，k 为半径的圆（其中a 是已知的向量）.当然，⑨式还可以利用向量a ，b 垂直的充要条件a ﹢b=a -b 得到.因为（a -c ）·（b -c ）=0，即（a -c ）ʅ（b -c ）.所以（a -c ）﹢（b -c ）=（a -c ）-（b -c ），所以2c -（a ﹢b ）=a -b .两边同时除以2，即得⑨式.第三，在下面的应用举例中还能发现这种做法是普适的，也是简单的，更是本源的，揭示了问题的代数本质.例4已知向量α，β是平面内两个互相垂直的单位向量，且（3α-γ）·（4β-γ）=0，则γ的最大值是.同样可以发现条件“α，β是互相垂直的”也是多余的.例5设a ，b 为单位向量，若向量c 满足c -（a ﹢b ）=a -b ，则c 的最大值是（）.（A ）22ɿ（B ）2（C ）2ɿ（D ）1此题一般采用数形结合的方法，好入手但不好得出结论，更难一步到位.另一种常见的方法是建立直角坐标系，但计算过程比较复杂.事实上，由③式，可得m 2﹢n 2=4.由⑥式，可得c -（a ﹢b ）ȡc-a ﹢b .所以c ɤa ﹢b﹢a -b =m ﹢n ɤ2m2﹢n 22ɿ=22ɿ.故选A.图2解题研究J I E T I Y A N J I U36例5的解答过程简洁明了，由此可以知道例3的解答方法不是“小题大做”.比较例3，例5意义非凡.根据例1和例3的条件变化，可以得到如下更一般的结论.若单位向量a，b的夹角为2θ，则a﹢b=cotθ·a-b.1ʻ四、万千景象，根源不变由这些基本内容演变而来的题目很多，有的变得更复杂了，有的解题技巧更强了，但核心的思想和方法并没有改变.常见的改变方法有：变条件为（a-c）·（b-c）ɤ0，或（a-c）·（b-c）=-1，或改变向量的夹角，或改变求解的结论等.下面精选几道比较好的题目以飨读者.1.从模拟试题化身高考题这类问题时有出现，无论是在模拟试卷还是在高考试卷中，很多解法或使用了其他的工具，或无意中使用了三个核心工具，解法繁简不一，精彩纷呈.例6向量a，b满足：a﹢b=23ɿ，a-b= 2，则a，b的夹角θ的范围是.此题解题的关键是利用③式，得到a2﹢b2=8.利用④式，得cosθ的表达式cosθ=2a·b.利用重要不等式x2﹢y2ȡ2xy，得到cosθȡ4a2·b2=12.所以0ɤθɤπ3.由此，可以得出一个估计向量a，b夹角θ范围的不等式m2-n2m2﹢n2ɤcosθɤ1.12ʻ【评注】极化恒等式：4a·b=（a﹢b）2-（a-b）2.把向量的线性运算和数量积运算联系在一起，是计算数量积的有力工具，而数量积又和向量的夹角紧密联系，不等式12ʻ彻底解决了向量夹角与向量线性运算之间的关系.例7已知向量a，b，c满足a=b=a·b= 2，（a-c）·（b-2c）=0，则c的最小值为（）.（A）3ɿ-12（B）7ɿ-3ɿ2（C）3ɿ2（D）7ɿ2此题在例3的基础上改造向量的系数，使得题目难度急剧增加.巧妙利用④式，可使问题变得容易理解，容易入手.由④式，得c-12a﹢12b﹙﹚=12a-12b.设x=a﹢12b，y=a-12b，则x=7ɿ，y=3ɿ.即问题转化为在条件c-12x=12y下，求c的最小值.根据⑤和⑥式，得12（x-y）ɤcɤ12（x﹢y），即7ɿ-3ɿ2ɤcɤ7ɿ﹢3ɿ2.【评注】从这个问题的解决过程中可以发现，利用“极化恒等式”把向量的数量积方程（a-c）·（b-2c）=0转化为圆的向量方程c-12a﹢12b﹙﹚=12a-12b 是解题的突破口，随后利用“三角形不等式”便可顺利求解.例6和例7都关联“和向量a﹢b”和“差向量a-b”的模长，题干简约而题意深刻，既可以利用三个核心工具解决，又可以用数形结合的方法来解决，这也成为后来全国各地高考试题的创意源泉.例8（2013年高考湖南卷·理6）已知a，b是单位向量，a·b=0.若向量c满足c-a-b=1，则c的取值范围是（）.（A）［2ɿ-1，2ɿ﹢1］（B）［2ɿ-1，2ɿ﹢2］（C）［1，2ɿ﹢1］（D）［1，2ɿ﹢2］解法1：显然c-a-b=c-（a﹢b），a﹢b= 2ɿ，根据④式，得c-a﹢bɤc-（a﹢b）ɤc﹢a﹢b.所以c-a﹢bɤ1，且c﹢a﹢bȡ1.解得2ɿ-1ɤcɤ2ɿ﹢1.解题研究J I E T I Y A N J I U372015年第3期2015年第3期图3解法2：因为c -a -b=1，并根据⑩式，知向量c 的终点在以a ﹢b 的终点为圆心，1为半径的圆上，如图3所示.显然2ɿ-1ɤc ɤ2ɿ﹢1.【评注】从例7和例8中，可以归纳出：若向量c 满足c -12（a ﹢b ）=12a -b （a ，b 为已知向量），则12（m -n ）ɤc ɤ12（m ﹢n ）.13ʻ例8给出的条件即为“圆的向量方程”，结合“三角形不等式”可以直接求解，也可以利用“圆的向量方程”的几何意义，数形结合解决.例9设向量a ，b ，c 满足a =b =1，a ·b =-12，〈a -c ，b -c 〉=60ʎ，求c 的最大值是（）.（A ）2（B ）3ɿ（C ）2ɿ（D ）1此题把例3中的条件（a -c ）·（b -c ）=0改为〈a -c ，b -c 〉=60ʎ，使得用数形结合的方法处理变得相对困难.事实上，由③式，得m 2﹢n2=4.由⑤和1ʻ式，得2c -a ﹢bɤ2c -（a ﹢b ）=3ɿa -b ，即2c ɤ3ɿa -b﹢a ﹢b=3ɿm﹢n .根据柯西不等式，得3ɿm﹢nɤ［（3ɿ）2﹢12］［m 2﹢n 2］ɿ=4.所以2c ɤ4，即c 的最大值为2.【评注】条件a ·b =-12是多余的.事实上，当c 的最大值为2时，〈a ，b 〉=120ʎ，与多余条件并不矛盾，笔者猜测命题者这样处理应该是为了降低试题难度，这也更进一步说明本文的意义.对于向量夹角不等于90ʎ的这类问题，利用方程1ʻ即可化为与向量模长相关的方程.2.从高考试题跃迁为竞赛题实际上，本文的三个核心工具在解决数学竞赛相关问题时同样可以发挥作用.例10已知a=b=2，c=1，（a -c ）·（b -c ）=0，求a -b 的取值范围.解：根据④式，得a -b=a ﹢b -2c .所以转化为求a ﹢b -2c 的取值范围.因为a ﹢b -c2=a 2﹢b 2-c 2﹢2ab -2bc -2ac ﹢2c 2=7﹢2（a -c ）·（b -c ）=7，所以a ﹢b -c=7ɿ.根据⑥式，可得a ﹢b -c -c ɤa ﹢b -2c =（a ﹢b -c ）-cɤa ﹢b -c﹢c ，即7ɿ-1ɤa ﹢b -2cɤ7ɿ﹢1.五、透过解题话教育本文涉及的三个核心工具都是最常见的向量性质，且都源于教材，把它们集中在一起，解决问题时就变得威力无比.整合相关的数学知识或方法，使之系统化，更能发挥数学内在的力量，这也是数学能长期发展的根本.笔者认为抓住了向量的“平行四边形性质”“极化恒等式”和“三角形不等式”作为刻画向量及其模长变化的数学工具，就真正抓住了要领，就能以简驭繁，统一解决这一系列试题.本文的写作不是展示技巧（笔者觉得这是通法，是对这类问题梳理后的认知进步），是旨在帮助学生理解数学，增加对已经学习过的知识的理解，让学生有机会整理已学知识，使之前后一致，逻辑连贯，培养用整体数学知识（成体系的数学）来解决问题的意识.向量代数是数学理论近代发展的必然结果，追求本质统一、简单自然的数学教学也是数学教育发展的必由之路.参考文献：［1］刘绍学，章建跃.普通高中课程标准实验教科书·数学（必修4）［M ］.北京：人民教育出版社，2009.［2］王红权，李学军，朱成万.巧用极化恒等式，妙解一类向量题［J ］.中学教研·数学，2013（8）：24.［3］张恭庆.泛函分析讲义［M ］.北京：北京大学出版社，2008.［4］张上泰.内积空间的一些特征［J ］.华侨大学学报（自然科学版），1987（5）：115.解题研究J I E T I Y A N J I U38。

高二数学空间向量试题答案及解析1.如图，将边长为2，有一个锐角为60°的菱形，沿着较短的对角线对折，使得，为的中点.（Ⅰ）求证：（Ⅱ）求三棱锥的体积；（Ⅲ）求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）1；（3）【解析】（1）利用线面垂直的判断定理证明线面垂直，条件齐全.（2）利用棱锥的体积公式求体积.（3）证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法（若两条平行线中的一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面.解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化.（4）在求三棱柱体积时，选择适当的底作为底面，这样体积容易计算.（5）空间向量将空间位置关系转化为向量运算，应用的核心是要充分认识形体特征，建立恰当的坐标系，实施几何问题代数化.同时注意两点：一是正确写出点、向量的坐标，准确运算；二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完备.试题解析：（Ⅰ）连接，由已知得和是等边三角形，为的中点，又边长为2，由于，在中，，（Ⅱ）,（Ⅲ）解法一：过，连接AE，，即二面角的余弦值为.解法二：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则显然，平面的法向量为设：平面的法向量，由,，∴二面角的余弦值为.【考点】（1）空间中线面垂直的判定；（2）三棱锥的体积公式；（3）利用空间向量证明线线垂直和求夹角.2.如图，在三棱柱中，平面，，为棱上的动点，.⑴当为的中点，求直线与平面所成角的正弦值；⑵当的值为多少时，二面角的大小是45.【答案】（1），（2）.【解析】（1）此小题考查用空间向量解决线面角问题，只需找到面的法向量与线的方向向量，注意用好如下公式：，且线面角的范围为：；（2）此小题考查的是用空间向量解决面面角问题，只需找到两个面的法向量，但由于点坐标未知，可先设出，利用二面角的大小是45，求出点坐标，从而可得到的长度，则易求出其比值.试题解析：如图，以点为原点建立空间直角坐标系，依题意得，⑴因为为中点，则，设是平面的一个法向量，则，得，取，则，设直线与平面的法向量的夹角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为；⑵设，设是平面的一个法向量，则，取，则，是平面的一个法向量，，得，即，所以当时，二面角的大小是.【考点】运用空间向量解决线面角与面面角问题，要掌握线面角与面面角的公式，要注意合理建系.3.在空间直角坐标系中，若两点间的距离为10，则__________．【答案】.【解析】直接利用空间两点间的距离公式可得，解之得，即为所求.【考点】空间两点间的距离公式．4. A(5，-5，-6)、B(10，8，5)两点的距离等于 .【答案】.【解析】∵，，由空间中两点之间距离公式可得：.【考点】空间坐标系中两点之间距离计算.5.如图，边长为1的正三角形所在平面与直角梯形所在平面垂直，且，，，，、分别是线段、的中点．（1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）详见解析；（2）．【解析】（1）由已知中F为CD的中点，易判断四边形ABCD为平行四边形，进而AF∥BC，同时EF∥SC，再由面面平行的判定定理，即可得到答案．（II）取AB的中点O，连接SO，以O为原点，建立如图所示的空间坐标系，分别求出平面SAC与平面ACF的法向量，代入向量夹角公式，即可求出二面角S-AC-F的大小．．（1）分别是的中点，．又，所以．，……2分四边形是平行四边形．．是的中点，．……3分又，，平面平面……5分（2）取的中点，连接，则在正中，，又平面平面，平面平面，平面．…6分于是可建立如图所示的空间直角坐标系．则有，，，，，．…7分设平面的法向量为，由．取，得．……9分平面的法向量为．10分…11分而二面角的大小为钝角，二面角的余弦值为．【考点】1．用空间向量求平面间的夹角；2．平面与平面平行的判定．6.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱AA1和BB1的中点，则sin〈，〉的值为 ()．A．B．C．D．【答案】B【解析】设正方体棱长为2，以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系，则C（0，2，0），M（2，0，1），D1（0，0，2），N（2，2，1），可知=（2，-2，1），=（2，2，-1），∴•＝2×2−2×2−1×1＝−1，|| ＝ 3， | |＝3;∴cos＜,＞＝，所以sin＜,＞=．故选B .【考点】用空间向量求平面间的夹角.7.已知在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD＝2，AB＝1，PA⊥平面ABCD，E、F分别是线段AB、BC的中点．(1)证明：PF⊥FD；(2)判断并说明PA上是否存在点G，使得EG∥平面PFD；(3)若PB与平面ABCD所成的角为45°，求二面角A－PD－F的余弦值．【答案】(1)详见解析；(2)详见解析；(3).【解析】解法一（向量法）（I）建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，分别求出直线PF与FD的平行向量，然后根据两个向量的数量积为0，得到PF⊥FD；（2）求出平面PFD的法向量（含参数t），及EG的方向向量，进而根据线面平行，则两个垂直数量积为0，构造方程求出t值，得到G点位置；（3）由是平面PAD的法向量，根据PB与平面ABCD所成的角为45°，求出平面PFD的法向量，代入向量夹角公式，可得答案．解法二（几何法）（I）连接AF，由勾股定理可得DF⊥AF，由PA⊥平面ABCD，由线面垂直性质定理可得DF⊥PA，再由线面垂直的判定定理得到DF⊥平面PAF，再由线面垂直的性质定理得到PF⊥FD；（2）过点E作EH∥FD交AD于点H，则EH∥平面PFD，且有AH＝AD，再过点H作HG∥DP交PA于点G，则HG∥平面PFD且AG＝AP，由面面平行的判定定理可得平面GEH∥平面PFD，进而由面面平行的性质得到EG∥平面PFD．从而确定G点位置；（Ⅲ）由PA⊥平面ABCD，可得∠PBA是PB与平面ABCD所成的角，即∠PBA=45°，取AD的中点M，则FM⊥AD，FM⊥平面PAD，在平面PAD中，过M作MN⊥PD于N，连接FN，则PD⊥平面FMN，则∠MNF即为二面角A-PD-F的平面角，解三角形MNF可得答案．.试题解析：(1)证明：∵PA⊥平面ABCD，∠BAD＝90°，AB＝1，AD＝2，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，F(1,1,0)，D(0,2,0)．不妨令P(0,0，t)，∵＝(1,1，－t)，＝(1，－1,0)，∴＝1×1＋1×(－1)＋(－t)×0＝0，即PF⊥FD.(2)解：设平面PFD的法向量为n=(x，y，z)，由得令z=1，解得：x=y=.∴n=.设G点坐标为(0,0，m)，E，则，要使EG∥平面PFD，只需·n=0，即，得m=，从而满足AG=AP的点G即为所求．(3)解：∵AB⊥平面PAD，∴是平面PAD的法向量，易得=(1,0,0)，又∵PA⊥平面ABCD，∴∠PBA是PB与平面ABCD所成的角，得∠PBA=45°，PA=1，平面PFD的法向量为n= .∴.故所求二面角A－PD－F的余弦值为.【考点】1.用空间向量求平面间的夹角；2.空间中直线与直线之间的位置关系；3.直线与平面平行的判定．8.已知三棱柱，平面，，，四边形为正方形，分别为中点．（1）求证：∥面；（2）求二面角——的余弦值．【答案】（1）见解析（2）【解析】（1）只要证出∥，由直线与平面平行的判定定理即可得证（2）建立空间直角坐标系，利用求二面角的公式求解试题解析：（1）在中、分别是、的中点∴∥又∵平面，平面∴∥平面（2）如图所示，建立空间直角坐标系，则，，，，，∴，平面的一个法向量设平面的一个法向量为则即取.∴∴二面角的余弦值是.【考点】直线与平面平行的判定定理，在空间直角坐标系中求二面角9.如图，直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱),底面中，棱，分别为的中点.（1）求>的值；（2）求证：【答案】（1）>的值为；（2）证明过程详见试题解析.【解析】（1）先以C为原点建立空间坐标系，由已知易求出，进而可求>的值；（2）由（1）所建立的空间坐标系可写出、、的坐标表示，即可知，从而得证.试题解析：以C为原点，CA、CB、CC1所在的直线分别为轴、轴、轴，建立坐标系（1）依题意得,∴∴ ,∴>= 6分(2) 依题意得∴,∴,,∴ ,∴,∴∴ 12分【考点】空间坐标系、线面垂直的判定方法.10.如右图，正方体的棱长为1．应用空间向量方法求：⑴求和的夹角⑵．【答案】（1）（2）对于线线垂直的证明可以运用几何性质法也可以运用向量法来证明向量的垂直即可。

平面向量综合应用与解题技巧【命题趋向】由2019年高考题分析可知：1．这部分内容高考中所占分数一般在10分左右．2．题目类型为一个选择或填空题，一个与其他知识综合的解答题． 3．考查内容以向量的概念、运算、数量积和模的运算为主． 【考点透视】“平面向量”是高中新课程新增加的内容之一，高考每年都考，题型主要有选择题、填空题，也可以与其他知识相结合在解答题中出现，试题多以低、中档题为主． 透析高考试题，知命题热点为：1．向量的概念，几何表示，向量的加法、减法，实数与向量的积． 2．平面向量的坐标运算，平面向量的数量积及其几何意义． 3．两非零向量平行、垂直的充要条件． 4．图形平移、线段的定比分点坐标公式．5．由于向量具有“数”与“形”双重身份，加之向量的工具性作用，向量经常与数列、三角、解析几何、立体几何等知识相结合，综合解决三角函数的化简、求值及三角形中的有关问题，处理有关长度、夹角、垂直与平行等问题以及圆锥曲线中的典型问题等．6．利用化归思想处理共线、平行、垂直问题向向量的坐标运算方面转化，向量模的运算转化为向量的运算等；利用数形结合思想将几何问题代数化，通过代数运算解决几何问题． 【例题解析】1. 向量的概念，向量的基本运算(1)理解向量的概念，掌握向量的几何意义，了解共线向量的概念. (2)掌握向量的加法和减法.(3)掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件.(4)了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算. (5)掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,掌握向量垂直的条件. (6)掌握平面两点间的距离公式.例1（北京卷理）已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA OB OC ++=0，那么（ ） Ａ．AO OD = Ｂ．2AO OD = Ｃ．3AO OD = Ｄ．2AO OD = 命题意图:本题考查能够结合图形进行向量计算的能力．解： 22()(,22.OA OB OC OA DB OD DC OD DB DC OA OD AO OD ∴∴++=++++=-+==)=0,0, 故选A ． 例2．（安徽卷）在ABCD 中，,,3AB a AD b AN NC ===，M 为BC 的中点，则MN =______.（用a b 、表示）命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法,以及实数与向量的积. 解：343A =3()AN NC AN C a b ==+由得，12AM a b =+，所以,3111()()4244MN a b a b a b =+-+=-+. 例3．（广东卷）如图1所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量=( ) （A ）BA BC 21+- （B ） 21--（C ） 21- （D ）21+命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法运算能力. 解：21+-=+=，故选A.例4． (重庆卷)与向量a =71,,22b ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎪⎭⎫ ⎝⎛27,21的夹解相等，且模为1的向量是 ( ) (A) ⎪⎭⎫- ⎝⎛53,54 (B) ⎪⎭⎫- ⎝⎛53,54或⎪⎭⎫ ⎝⎛-53,54 （C ）⎪⎭⎫- ⎝⎛31,322 （D ）⎪⎭⎫- ⎝⎛31,322或⎪⎭⎫ ⎝⎛-31,322 命题意图: 本题主要考查平面向量的坐标运算和用平面向量处理有关角度的问题.解：设所求平面向量为,c 由433,,, 1.555c c ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4或-时5另一方面,当7413431,,cos ,.5527a c c a c a c ⎛⎫⨯+⨯- ⎪⋅⎛⎫=-=== ⎪⋅⎝⎭⎛⎫时 当7413431,,cos ,.5527a c c a c a c ⎛⎫⎛⎫⨯-+⨯ ⎪ ⎪⋅⎛⎫=-==- ⎪⋅⎝⎭⎛⎫时 故平面向量c 与向量a =71,,22b ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎪⎭⎫ ⎝⎛27,21的夹角相等.故选B. 例5．（天津卷）设向量a 与b 的夹角为θ，且)3,3(=a，)1,1(2-=-a b ，则=θcos __． 命题意图: 本题主要考查平面向量的坐标运算和平面向量的数量积,以及用平面向量的数量积处理有关角度的问题.解: ()()()()(),,22,3,323,231,1.b x y b a x y x y =-=-=--=-设由 ()2311,1,2.231 2.x xb y y -=-=⎧⎧⇒∴=⎨⎨-==⎩⎩得 2cos ,33a b a b a b⋅===⋅+例6.（2006年湖北卷）已知向量()3,1a =，b 是不平行于x 轴的单位向量，且3a b ⋅=，则b = （）（A ） ⎪⎪⎭⎫⎝⎛21,23 （B ） ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23,21 （C ）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛433,41 （D ） ()0,1 命题意图: 本题主要考查应用平面向量的坐标运算和平面向量的数量积,以及方程的思想解题的能力.解:设(),()b x y x y =≠，则依题意有1,y +=1,2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩ 故选B.例7.设平面向量1a 、2a 、3a 的和1230a a a ++=.如果向量1b 、2b 、3b ，满足2i i b a =，且i a 顺时针旋转30o 后与i b 同向，其中1,2,3i =，则（ ）（A ）1230b b b -++= （B ）1230b b b -+= （C ）1230b b b +-= （D ）1230b b b ++=命题意图: 本题主要考查向量加法的几何意义及向量的模的夹角等基本概念.常规解法：∵1230a a a ++=，∴ 1232220.a a a ++=故把2i a (i=1,2,3)，分别按顺时针旋转30 后与i b 重合，故1230b b b ++=，应选D.巧妙解法：令1a =0，则2a =3a -，由题意知2b =3b -，从而排除B ，C ，同理排除A ，故选(D). 点评：巧妙解法巧在取1a =0，使问题简单化.本题也可通过画图,利用数形结合的方法来解决.2. 平面向量与三角函数,解析几何等问题结合(1) 平面向量与三角函数、三角变换、数列、不等式及其他代数问题，由于结合性强，因而综合能力较强，所以复习时，通过解题过程，力争达到既回顾知识要点，又感悟思维方法的双重效果，解题要点是运用向量知识，将所给问题转化为代数问题求解.(2)解答题考查圆锥曲线中典型问题，如垂直、平行、共线等，此类题综合性比较强，难度大. 例8．（2007年陕西卷理17.）设函数f (x )=a-b ,其中向量a =(m,cos2x ),b =(1+sin2x ,1),x ∈R ,且函数y=f (x )的图象经过点⎪⎭⎫⎝⎛2,4π，（Ⅰ）求实数m 的值；（Ⅱ）求函数f (x )的最小值及此时x 的值的集合. 解：（Ⅰ）()(1sin 2)cos 2f x a b m x x ==++，由已知πππ1sin cos 2422f m ⎛⎫⎛⎫=++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得1m =．（Ⅱ）由（Ⅰ）得π()1sin 2cos 2124f x x x x ⎛⎫=++=+⎪⎝⎭，∴当πsin 214x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，()f x 的最小值为1，由πsin 214x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，得x 值的集合为3ππ8x x k k ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭Z ， 例2．（2007年陕西卷文17）设函数b a x f 、=)(.其中向量2)2π(R,),1,sin 1(),cos ,(=∈+==f x x b x m a 且.（Ⅰ）求实数m 的值; （Ⅱ）求函数)(x f 的最小值.解：（Ⅰ）()(1sin )cos f x m x x ==++a b ，πππ1sin cos 2222f m ⎛⎫⎛⎫=++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得1m =．（Ⅱ）由（Ⅰ）得π()sin cos 114f x x x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，∴当πsin 14x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，()f x 的最小值为1例9．（湖北卷理16）已知ABC △的面积为3，且满足06AB AC ≤≤，设AB 和AC 的夹角为θ． （I ）求θ的取值范围；（II ）求函数2()2sin 24f θθθ⎛⎫=+⎪⎝⎭π的最大 解：（Ⅰ）设ABC △中角A B C ，，的对边分别为a b c ，，， 则由1sin 32bc θ=，0cos 6bc θ≤≤，可得0cot 1θ≤≤，ππ42θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴．（Ⅱ）2π()2sin 24f θθθ⎛⎫=+⎪⎝⎭π1cos 222θθ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦(1sin 2)2θθ=+-πsin 2212sin 213θθθ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭．ππ42θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∵，ππ2π2363θ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，，π22sin 2133θ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∴≤≤．即当5π12θ=时，max ()3f θ=；当π4θ=时，min ()2f θ=． 例10．（广东卷理）已知ABC 的三个顶点的直角坐标分别为A(3,4)、B(0,0)、Ｃ(c,0) （1）若c=5，求sin ∠A 的值；（2）若∠A 为钝角，求c 的取值范围； 解：（1）(3,4)AB =--，(3,4)AC c =--，若c=5， 则(2,4)AC =-，∴cos cos ,A AC AB ∠=<>=sin ∠A ； （2）∠A 为钝角，则39160,0,c c -++<⎧⎨≠⎩解得253c >，∴c 的取值范围是25(,)3+∞例11．（山东卷文17）在ABC △中，角A B C ，，的对边分别为tan a b c C =，，，（1）求cos C ；（2）若52CB CA =，且9a b +=，求c ．解：（1）sin tan cos CC C=∴=又22sin cos 1C C +=解得1cos 8C =±． tan 0C >，C ∴是锐角． 1cos 8C ∴=． （2）52CB CA =， 5cos 2ab C ∴=，20ab ∴=． 又9a b += 22281a ab b ∴++=． 2241a b ∴+=．2222cos 36c a b ab C ∴=+-=．6c ∴=．例12. （湖北卷）设函数()()f x a b c =⋅+，其中向量()()sin ,cos ,sin ,3cos a x x b x x =-=-, ()cos ,sin ,c x x x R =-∈.（Ⅰ）求函数()x f 的最大值和最小正周期；（Ⅱ）将函数()x f y =的图像按向量d 平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的d . 命题意图:本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力.解：(Ⅰ)由题意得，f(x)＝a ·(b c +)=(sinx,－cosx)·(sinx－cosx,sinx －3cosx)＝sin 2x －2sinxcosx+3cos 2x ＝2+cos2x －sin2x ＝2+2sin(2x+43π).所以，f(x)的最大值为2+2，最小正周期是22π＝π.（Ⅱ）由sin(2x+43π)＝0得2x+43π＝k.π，即x ＝832ππ-k ,k ∈Z ，于是d ＝（832ππ-k ，－2），(k d π=-k ∈Z.因为k 为整数，要使d 最小，则只有k ＝1，此时d ＝（―8π，―2）即为所求.例13．（2006年全国卷II ）已知向量a ＝(sin θ，1)，b ＝(1，cos θ)，－π2＜θ＜π2．（Ⅰ）若a ⊥b ，求θ；（Ⅱ）求｜a ＋b ｜的最大值． 命题意图:本小题主要考查平面向量数量积和平面向量的模的计算方法、以及三角公式、三角函数的性质等基本知识，考查推理和运算能力.解：（Ⅰ）若a ⊥b ，则sin θ＋cos θ＝0，由此得 tan θ＝－1(－π2＜θ＜π2)，所以 θ＝－π4；（Ⅱ）由a ＝(sin θ，1)，b ＝(1，cos θ)得｜a ＋b ｜＝(sin θ＋1)2＋(1＋cos θ)2＝3＋2(sin θ＋cos θ)＝3＋22sin(θ＋π4)，当sin(θ＋π4)＝1时，|a ＋b |取得最大值，即当θ＝π4时，|a ＋b |最大值为2＋1．例14．（2006年陕西卷）如图，三定点(2,1),(0,1),(2,1);A B C --,,AD t AB BE tBC == ,[0,1].DM tDE t =∈（I ）求动直线DE 斜率的变化范围； （II ）求动点M 的轨迹方程。

平面向量常见题型与解题指导一、考点回顾1、本章框图2、高考要求1、理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。

2、掌握向量的加法和减法的运算法则及运算律。

3、掌握实数与向量的积的运算法则及运算律，理解两个向量共线的充要条件。

4、了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。

5、掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。

6、掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用；掌握平移公式。

7、掌握正、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形。

8、通过解三角形的应用的教学，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力。

3、热点分析对本章内容的考查主要分以下三类：1.以选择、填空题型考查本章的基本概念和性质.此类题一般难度不大，用以解决有关长度、夹角、垂直、判断多边形形状等问题.2.以解答题考查圆锥曲线中的典型问题.此类题综合性比较强，难度大，以解析几何中的常规题为主.3.向量在空间中的应用（在B类教材中）.在空间坐标系下，通过向量的坐标的表示，运用计算的方法研究三维空间几何图形的性质.在复习过程中，抓住源于课本，高于课本的指导方针.本章考题大多数是课本的变式题，即源于课本.因此，掌握双基、精通课本是本章关键.分析近几年来的高考试题，有关平面向量部分突出考查了向量的基本运算。

对于和解析几何相关的线段的定比分点和平移等交叉内容，作为学习解析几何的基本工具，在相关内容中会进行考查。

本章的另一部分是解斜三角形，它是考查的重点。

总而言之，平面向量这一章的学习应立足基础，强化运算，重视应用。

考查的重点是基础知识和基本技能。

4、复习建议由于本章知识分向量与解斜三角形两部分，所以应用本章知识解决的问题也分为两类：一类是根据向量的概念、定理、法则、公式对向量进行运算，并能运用向量知识解决平面几何中的一些计算和证明问题；另一类是运用正、余弦定理正确地解斜三角形，并能应用解斜三角形知识解决测量不可到达的两点间的距离问题。

在高考数学立体几何问题的求解过程中，求解平面的法向量始终是一个绕不开的话题，下面介绍几种快速准确的解出法向量的方法.一．借零构造法1.当空间向量的坐标出现一个零时，如()b a ,0,=，在求平面的法向量时，可设()a x b -=,,，或()a x b ,,-=，此时满足0=⋅n m ，注意根据0的位置调整构造的向量. 已知向量()1,3,2=，()3,0,1-=，设平面ABC 的法向量()1,,3x =,由0=⋅AB m ,得0136=++x ,37-=∴x ,⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∴1,37,3,可调整()3,7,9-=. 2.若平面内的两个向量的坐标均没有0出现，如()3,2,1=，()1,3,2=，此时()5,1,02=-b a ，所以可设平面的法向量()1,5,-=x m ，由07=+=⋅x ，所以7-=x ，()1,5,7--=m .3.若平面内的两个向量的坐标均有0,且出现在同一个位置，如()0,2,1=，()0,1,3-=则可以直接得到法向量()1,0,0=.二．行列式法 如()3,2,1=，()6,4,2-=是平面α的两个不共线向量，在求解平面α的法向量时可以用下面的方法.第一步：每个向量(横着)写两遍21- 42 63 21- 4263第二步：掐头去尾留中间42 63 21- 42第三步：交叉相乘再相减42 63 21- 4203462=⨯-⨯=x ()121623-=⨯--⨯=y ()82241=⨯--⨯=z所以平面α的法向量()8,12,0-=.下面简单介绍上述方法的原理 设向量()111,,c b a =，()222,,c b a =是平面ABC 内的两个不共线向量，设平面ABC 的法向量()z y x n ,,=，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0n AC 所以⎩⎨⎧=++=++00222111z c y b x a z c y b x a ，不妨设0≠z ， 则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛00222111c z y b z x a c z y b z x a ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛222111c z y b z x a c z y b z x a 因为向量AB ，AC 不共线，所以01221≠-b a b a ， 令=A |a 1b 1a 2b 2|，=1B |−c 1b 1−c 2b 2|，=2B |a 1−c 1a 2−c 2|， 则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--==--==122112212122112211b a b a a c a c A B zy b a b a c b c b A B z x ，不防令1221b a b a A z -==，则12211c b c b B x -==，12212a c a c B y -==. =|i →j →k →a 1b 1c 1a 2b 2c 2|=|b 1c 1b 2c 2|i →−|a 1c 1a 2c 2|j →+|a 1b 1a 2b 2|k →， 第一步：每个向量(横着)写两遍 21a a 21b b 21c c 21a a 21b b 21c c第二步：掐头去尾留中间 21b b 21c c 21a a 21b b第三步：交叉相乘再相减21b b 21c c 21a a 21b b 1221c b c b x -= 1221a c a c y -= 1221b a b a z -= 完美结束.。

平面向量问题的类型与解法大家知道，平面向量问题是近几年高考的热点问题之一，每年高考必有一个五分小题，有时在大题中也会涉及到平面向量的内容。

从题型上，以选择题或填空题为主，难度系数为低档或中档，但近几年有向高档题目发展的趋势。

纵观近几年高考试题，归结起来平面向量问题主要包括：①平面向量几何运算问题；②平面向量坐标运算问题；③平面向量数量积的问题等几种类型。

各种类型问题结构上具有一定的特征，解答方法也各不相同。

那么在实际解答平面向量问题时，到底应该如何抓住问题的结构特征，快捷，准确地给予解答呢？下面通过典型例题的详细解析，来回答这个问题。

【典例1】解答下列问题：1、在∆ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB u u u r =（ ）A 34AB u u u r - 14AC u u u r B 14AB u u u r - 34AC u u u r C 34AB u u u r + 14AC u u u rD 14AB u u u r +34AC u u u r 【解析】【知识点】①平面向量几何运算的法则与基本方法；②向量共线的充分必要条件；③三角形一边上中线的定义与性质。

【解题思路】运用向量几何运算的基本方法和三角形一边上中线的性质，结合问题条件求出向量EB u u u r 关于向量AB u u u r ，AC u u u r 的式子就可得出选项。

A【详细解答】如图，Q ∆ABC 中，AD 为BC 边上的中线，BC uuu r =AC u u u r -AB u u u r ，∴AD u u u r =AC u u u r -DC u u u r =AC u u u r -12 E BC uuu r =12AC u u u r +12AB u u u r ，Q E 为AD 的中点，∴AE u u u r B D C =12AD u u u r =14AC u u u r +14AB u u u r ，⇒EB u u u r =AB u u u r -AE u u u r =AB u u u r - 14AC u u u r -14AB u u u r =34AB u u u r - 14AC u u u r , ⇒A 正确，∴选A 。

高一数学平面向量坐标运算试题答案及解析1.已知是同一平面内的三个向量，其中.（Ⅰ）若，且，求向量；（Ⅱ）若，且与垂直，求与的夹角的正弦值.【答案】（Ⅰ）或；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）因为是在坐标前提下解决问题，所以求向量，即求它的坐标，这样就必须建立关于坐标的方程；（Ⅱ）求与的夹角的正弦值，首先应想到求它们的余弦值，如何求，还是要建立关于它的方程，可由与垂直关系，确立方程来解决问题.试题解析：（Ⅰ），可设， 1分∴，， 2分∴ 4分∴或. 6分（Ⅱ）∵与垂直，∴，即 8分∴，∴， 10分，所以与的夹角的正弦值 12分【考点】平面向量的坐标运算和向量之间的关系.2.在直角坐标系中，已知点，点在三边围成的区域（含边界）上（1）若，求；（2）设，用表示，并求的最大值.【答案】（1），（2）1.【解析】（1）本小题中因为思路一即化为坐标运算：从而求得x,y，即可求出其模长，思路二先化向量运算，再化坐标运算：即可求得模长；（2）本小题因为所以则，两式相减得，m-n=y-x,令y-x=t,以下把问题转化为目标函数为t的线性规划问题加以解决.试题解析：（1）解法一：又解得x=2,y=2,即所以解法二：则,所以所以（2），两式相减得，m-n=y-x,令y-x=t,由图知，当直线y=x+t过点B（2，3）时，t取得最大值1，故m-n的最大值为1.【考点】平面向量的线性运算与坐标运算；线性规划问题.3.已知(1)若，求x的范围；(2)求的最大值以及此时x的值.【答案】(1);(2),或【解析】(1)先利用向量的数量积的坐标表示把的解析式表示出来，得，然后解关于的一个一元二次不等式得到的范围，然后再解三角不等式即可。

（2）用换元法求的最大最小值，然后求的取值即可。

试题解析：解：（1）由题意，即，；（2）∵令，则，当，即或时，.【考点】1、向量的坐标运算；2、三角不等式；3、换元法求函数的最值；4.已知点，，向量，若，则实数的值为．【答案】4【解析】由题知，=（2,3），由向量共线的充要条件及得，，解得=4考点:点坐标与向量坐标关系；向量平行的条件5.已知向量，，函数.(1)若，求的最大值并求出相应的值；(2)若将图象上的所有点的纵坐标缩小到原来的倍，横坐标伸长到原来的倍，再向左平移个单位得到图象，求的最小正周期和对称中心；（3）若，求的值.【答案】（1），；（2），（3）。