（Ⅰ）求MN 的长；（Ⅱ）当a 为何值时，MN 的长最小； （Ⅲ）当MN 长最小时，求面MNA 与面MNB
D
例3：正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，求异面直线11A C 与1AB 间的距离
例4：如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，14,3,2,AB BC CC ===求平面11A BC 与平面1ACD 的距离。
点评：若n r
是平面α的法向量，AB 是平面α的一条斜线段，且B α∈，则点A 到平面α的
距离AB n
d n
?=u u u r r r
，平行平面之间的距离转化为点到平面的距离，变为斜线在法向量上的射影。
二、利用向量知识求线线角，线面角，二面角的大小。
（1）设12,l l 是两条异面直线，,A B 是1l 上的任意两点，,C D 是直线2l 上的任意两点，
则12,l l 所成的角为arccos AB CD
AB CD
??u u u r u u u r
u u u r u u u r
（2）设AB 是平面α的斜线，且,B BC α∈是斜线AB 在平面α内的射影，则斜线AB 与
平面α所成的角为arccos AB BC AB BC
??u u u r u u u r
u u u r u u u r 。设n r
是平面α的法向量，AB 是平面α的一条斜线，
则AB 与平面α所成的角为arccos 2AB n AB n AB n AB n
π
??-??u u u r r u u u r r u u u r r u u u r r ，或者arcsin 。
x y
x y
（3）设12,n n u r u u r 是二面角l αβ--的面,αβ的法向量，则12
1212
,cos n n n n arc n n ?<>=?u r u u r
u r u u r u r u u r 就是
二面角的平面角或补角的大小。
例5：在棱长为a 的正方体''''ABCD A B C D -中，EF 分别是''
,BC A D 的中点， （1）求直线'
AC DE 与所成角；
（2）求直线AD 与平面'B EDF 所成的角， （3）求平面'B EDF 与平面ABCD 所成的角
例6：如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PD ⊥底面ABCD ，AD=PD ，E ，F 分别CD 、PB 的中点.
（Ⅰ）求证：EF ⊥平面PAB ；
（Ⅱ）设
BC ，求AC 与平面AEF 所成角的大小.
例7：如图，PA ABC ⊥平面
，
,1,AC BC PA AC BC ⊥===A PB C --的大小。
点评：如果,AB CD 分别是二面角l αβ--两个面内的两条直线，且,,A l C l ∈∈
,AB l CD l ⊥⊥，则二面角的大小为,AB CD <>u u u r u u u r
x
z
转化 转化 例8：如图，在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD 中，∠ABC = 90°，SA ⊥面ABCD ，SA = AB = BC = 1，21=AD ．求面SCD 与面SBA 所成的二面角的正切值．
点评：用向量知识求二面角的大小时，是将二面角的问题转化为两平面的法向量的夹角问题，
（1）当法向量12n n u r u u r
与的方向分别指向二面角内侧与外侧时，二面角的大小等于法向量12n n u r u u r
与的夹角的大小。
（2）当法向量12n n u r u u r
与的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的大小等于法向量12n n u r u u r 与的夹角的补角12,n n π-<>r u u r
。
三、利用向量知识解决平行与垂直问题。
例9：如图, 在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AA 1＝4，5AB =,点D 是AB 的中点， （I ）求证：AC ⊥BC 1； （II ）求证：A 1C 1
C （1）证明：
D 1
E ⊥A 1D ；
（2）当E 为AB 的中点时，求点E 到面ACD 1的距离；
（3）AE 等于何值时，二面角D 1—EC —D 的大小为4
π
.
.
四、利用向量知识解决立体几何中的探索性问题。
例11．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，
13,4,5,4AC BC AB AA ====
（1）求证1;AC BC ⊥（2）在AB 上是否存在点D 使得1?AC CD ⊥ （3）在AB 上是否存在点D 使得11//A C CDB 平面
五、专题突破：
1、如图：已知二面角l αβ--的大小为120o
，点,,A B AC l αβ∈∈⊥于点C ，
BD l D ⊥于，且1AC CD DB ===，求 （1）直线AB CD 与所成角的大小，（2）直线AB CD 与的距离。
S B A C D z
x
y
D
C
B
A
A 1
D 1
C 1
B 1
A
1
C B
C D
1
A 1
B l
A
C B
D
2、如图，在四棱锥P —ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD=DC ，E 、F 分别是AB 、PB 的中点.
（Ⅰ）求证：EF ⊥CD ；
（Ⅱ）在平面PAD 内求一点G ，使GF ⊥平面PCB ，并证明你的结论； （Ⅲ）求DB 与平面DEF 所成角的大小.
3、如图, 在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ACB=90°，CB=1,CA=3, AA 1=6,M 为侧棱CC 1上一点, 1AM BA ⊥．
（1）求证: AM 平面1A BC ； （2）求二面角B －AM －C 的大小； （3）求点C 到平面ABM 的距离．
4、如图，1111ABCD A B C D -是正四棱柱，侧棱长为3，底面边长为2，E 是棱BC 的中点。
（Ⅰ）求证：1BD 1C DE 1C DE C --1BB P CP ⊥1C DE 1C （I ）
证明：AB 1⊥BC 1；
（II ）求点B 到平面AB 1C 1的距离. （III ）求二面角C 1—AB 1—A 1的大小 6、( 2006年湖南卷）如图4,已知两个正四棱锥P-ABCD 与Q-ABCD 的高分别为1和2,AB=4.(Ⅰ)证明PQ ⊥平面ABCD;
(Ⅱ)求异面直线AQ 与PB 所成的角; (Ⅲ)求点P 到平面QAD 的距离.
A
B
C
A 1
B 1
C 1
M
7、（2006年全国卷II ）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝BC ，D 、E 分别为BB 1、AC 1的中点．
（Ⅰ）证明：ED 为异面直线BB 1与AC 1的公垂线；
（Ⅱ）设AA 1＝AC ＝2AB ，求二面角A 1－AD －C 1的大小．
参考答案：
例1：解：设平面ABC 的法向量(,,),0,0n x y z n AB n AC =?=?=r r u u u r r u u u r
Q ，所以
(,,)(2,2,1)0(,,)(4,0,6)0x y z x y z ?-=??
?=?，32202460x y z x z
x z y z ?
-+==-??∴??+=??=-? 2,(3,2,2)z n =-=-r 则
，cos ,n AD ∴<>=
r u u u r
所以设D 到平面ABC 的距离为d
，cos ,17d AD n AD =?<>==
u u u r r u u u u u r Q P A D
C
B
图4
A
B C
D E A 1
B 1
C 1
例2：
解：建立如图所示空间直角坐标系.O xyz -
(1,0,0),(0,1,0),(0,1,1),F B
C (1AM AC ==u u u u r u u u r
,(1,0)BN BF AN AB AF a a ==+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
,0,MN AN AM a a =-=u u u u r u u u r u u u u
r MN ∴=u u u u r p
(2)
由MN =u u u u r
min 22a MN ==u u u u r （3
）1(1,01),22a MN ==-u u u u
r Q 又11(0,1,1),(0,1,1)22
MA MB =--=-u u u r u u u r 所以可求得平面MNA 与平面MNB 的法向量分别为12(1,1,1),(1,1,1)n n =--=u r u u r
，所
以
121cos ,3n n <>=
=-u u r u u r ，所以1
arccos 3θπ=-
例3：解：如图建立坐标系，则111(1,0,0),(1,0,1),(1,1,1),(0,1,1)A A B C
111(0,1,1),(1
,1,0)AB AC ∴==-u u u r u u u u r ，设MN 是直线11A C 与1AB
1111(0,,),(,,0)AN AB AM uAC u u λλλ=+==-u u u r u u u r u u u u r u u u u r
则11(,,0)(0,0,1)(0,,)(,MN MA AA AN u u u λλλ=++=--++=u u u u r u u u u r u u u r u u u r
11120203,2110
3MN A C u u MN AB u λλλ?=-???=-=????????-=-?=????=-??
u u u u r u u u u r u u u u
r u u u r ，111(,,)333MN =-u u u u
r 例4：
解：111111//,,//BC AD AD ACD BC ACD ?∴Q 平面平面，同理11//,A B ACD 平面又
11,A B BC B =∴I 111平面A BC //平面ACD ，建立直角坐标系D xyz -，14,3,2AB BC CC ===Q ，11(3,0,2),(3,4,0),(0,4,2)A B C
11(0,4,2),(3,0,2)A B BC ∴=-=-u u u r u u u u r
,设(,,)n x y z =r 为平面11A BC x y
y
A
向量，则110,420,n A B n A B y z ⊥??=?-=r u u u r r u u u r
由110320n BC n BC x z ⊥??=?-+=r u u u u r r u u u u r
， 不妨设1221
1,,,(,,1)2332
z y x n =∴==∴=r
二、利用向量知识求线线角，线面角，二面角的大小。
例5：
解：（1）如图建立坐标系，则'
(0,0,),(,,0),(0,,0),(,
,0)2
a
A a C a a D a E a '
(,,),(,,0)2
a AC a a a DE a ∴=-=-u u u r u u u r ，
''
'cos ,AC DE AC DE AC DE
?∴<>==?u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 故'
AC DE 与
所成的角为arccos
15
（2）,ADE ADF ∠=∠Q 所以AD 在平面'
B EDF 内的射影在EDF ∠的平分线上，又
'B EDF 为菱形，'DB ∴为EDF ∠的平分线，故直线AD 与平面'B EDF 所成的角为'ADB ∠，建立如图所示坐标系，则'(0,0,0),(,0,),(0,,0)A B a a D a ，
'
(0,,0),(,,)DA a DB a a a ∴=-=-u u u u r u u u r
，'''cos ,3DA DB DA DB DA DB
?∴<>==?u u u u
r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r 故AD 与平面'
B EDF
所成角为 由'
'
(0,0,0),(0,0,),(,0,),(0,,0),(,
,0)2
a
A A a
B a a D a E a 所以平面ABCD 的法向量为'
(0,0,)m AA a ==u u u r u r 下面求平面'B EDF 的法向量，设(1,,)n y z =r ，由
'
(,,0),(0,,)22a a ED a EB a =-=-u u u r u u u r ，'021
0n ED y z n EB ??==??∴???=??=??r u u u r
u u u r
r ，(1,2,1)n ∴=r
cos ,m n n m m n
?∴<>==
?u r r
r u r u r r ，所以平面'
B EDF 与平面ABCD
所成的角点评：（1）设12,l l 是两条异面直线，,A B 是1l 上的任意两点，,C D 是直线2l 上的任意两点，
则12,l l 所成的角为arccos AB CD
AB CD
??u u u r u u u r u u u r u u u r
（2）设AB 是平面α的斜线，且,B BC α∈是斜线AB 在平面α内的射影，则斜线AB 与
平面α所成的角为arccos AB BC
AB BC
??u u u r u u u r
u u u r u u u r 。
（3）设12,n n u r u u r 是二面角l αβ--的面,αβ的法向量，则12
1212
,cos n n n n arc n n ?<>=?u r u u r
u r u u r u r u u r 就是
二面角的平面角或补角的大小。 例6：
（Ⅰ）证明：建立空间直角坐标系（如图），设AD=PD=1，AB=2a （0a >），则E(a,0,0),
C(2a,0,0), A(0,1,0), B(2a,1,0), P(0,0,1), 11(,,)22F a .得11(0,,)22
EF =u u u v ，
(2,1,1)PB a =-u u u v ，(2,0,0)AB a =u u u v . 由11
(0,,)(2,0,0)022
EF AB a ?=?=u u u v u u u v ，得EF AB ⊥u u u v u u u v ，
即EF AB ⊥，
同理EF PB ⊥，又AB PB B =I ， 所以，EF ⊥平面PAB.
（Ⅱ）解：由AB =
，得2a =
2
a =
.
得E
，11,)22
F
，C .
有1,0)AC =-u u u v
，1,0)2AE =-u u u v ，11
(0,,)22
EF =u u u v . 设平面AEF 的法向量为(,,1)n x y =，
由00
n EF n AE ??=???=??u u u v u u u
v 11(,,1)(0,,)022(,,1)(1,0)02x y x y ??=??????-=?
?1102
202
y x y ?+=????-=??，
解得1
y x =-???=??
于是(1,1)n =-.
设AC 与面AEF 所成的角为θ，AC u u u v 与n 的夹角为,AC n <>u u u v
.
则sin cos ,6AC n AC n AC n
θ?=<>===?u u u v
u u u v u u u v
.
得arcsin
6
θ=. 所以，AC 与平面AEF
所成角的大小为arcsin
6
. 点评：设n r
是平面α的法向量，AB 是平面α的一条斜线，则AB 与平面α所成的角为
arccos 2AB n AB n AB n AB n
π
??-??u u u r r u u u r r u u u r r u u u r r ，或者arcsin 。 例7： 解：建立如图所示空间直角坐标系C xyz -，取PB 的中点D ，连,DC 可证DC PB ⊥，
作AE PB ⊥于E ，则向量DC EA u u u r u u u r
与的夹角的大小为二面角A PB C --
的大小。(1,0,0),(0,0,0),(1,0,1)A B C P Q ，D 为PB 的中点，
11()22∴，在Rt PAB V 中，2213
PE AP EB AB ==，
1
3E PB ∴u u u r 分的比为
，3313(,
)(,)444444E EA ∴∴=--u u u r
11(,)222DC =---u u u r
，1,22
EA DC EA ?==u u u r u u u r u u u r
，
1
1,cos ,DC EA DC =<>==
u u u r u u u r u u u r ，∴二面角A PC C --
的大小为arc 例8：
解：如图建立直角坐标系，则1
(0,1,0),(,0,0),(1,1,0),(0,0,1)2
B D
C S
11
(,0,0),(1,1,1),(,0,1)22AD SC SD ==-=-u u u r u u u r u u u r ，,SA ABCD AD SAB ⊥∴⊥Q 平面平面
所以AD u u u r
是平面SAB 的一个法向量。设平面SCD 的一个法向量(,,)n x y z =r
由0,0n SC n SC n SD n SD ??⊥?=?????⊥?=????r u u u r r u u u r r u u u r r u u u r
，02102
x y z x z y z x z +-=?=??∴???=--=??? 令1,(2,1,1)z n ==-r
，cos ,3AD n AD n AD n
?∴<>==
?u u u r r u u u r r u u u r
r tan ,2AD n ∴<>=u u u r r 平面SCD 与平面SAB
所成的二面角的正切值为
2
z
转化
转化
点评：用向量知识求二面角的大小时，是将二面角的问题转化为两平面的法向量的夹角问题，
（1）当法向量12n n u r u u r
与的方向分别指向二面角内侧与外侧时，二面角的大小等于法向量12n n u r u u r
与的夹角的大小。
（2）当法向量12n n u r u u r
与的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的大小等于法向量12n n u r u u r 与的夹角的补角12,n n π-<>r u u r
。
三、利用向量知识解决平行与垂直问题。
例9：解：∵直三棱柱ABC －A 1B 1C 1底面三边长AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，∴AC 、BC 、C 1C 两两垂直，如图，以C 为坐标原点，直线CA 、CB 、C 1C 分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则C （0,0，0），A （3,0，0），C 1（0,0，4），B （0,4，0），B 1（0,4，4），D （2
3
，2,0）
（1）∵AC ＝（－3,0，0），1BC ＝（0，－4,0），∴AC ?1BC ＝0，∴AC ⊥BC 1.
（2）设CB 1与C 1B 的交战为E ，则E （0,2，2）.∵DE ＝（－
2
3
，0,2），1AC ＝
（－3,0，4），∴112
DE AC =u u u r u u u u r
，∴DE ∥AC 1. ∵ DE ?平面CDB 1，AC 1?平面CDB 1，∴
AC 1
,,x y z
.
,0)1,,1(),1,0,1(,1111E D DA x E D DA ⊥=-=所以因为)0,2,1(),1,1,1(1-=-=AC E D )1,0,1(1-=AD ),,(c b a n =1
0,0,n AC n AD ??=???=??r u u u r r u u u u r ??
?=+-=+-00
2c a b a ??
?==c
a b
a 2)2,1,2(=n .31
3212|
|1=-+=
=
n h ),,(c b a n =),
1,0,0(),1,2,0(),0,2,1(11=-=-=DD C D x CE 10,20
(2)0.0,
n D C b c a b x n CE ??=-=?????+-=?=???r u u u u r r u u u
r ).
2,1,2(x n -=121||22
cos .
4||||(2)5
n DD n DD x π?==?=?-+r u u u u r
r u u u u r 3
21+=x 322-=x ∴AE=32-时，二面角D 1—EC —D 的大小为
4
π. 四、利用向量知识解决立体几何中的探索性问题。
例11．解：直三棱柱111ABC A B C -，13,4,5,,,AC BC AB AC BC CC ===两两垂直，以
C 为坐标原点，
直线1,,CA CB CC 分别为x 轴y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，
D
C
B
A
A 1
D 1
C 1
B 1
C A B
x D
1A
y
Z
1B
1C
则1(0,0,4),(3,0,0),(0,0,4)C A C ，1(0,4,0),(0,4,4)B B
（1）1(3,0,0),(0,4,4)AC BC =-=-u u u r u u u u r Q ，110,AC BC AC BC ∴?=∴⊥u u u r u u u u r u u u r u u u u r
AC BC ∴⊥
（2）假设在AB 上存在点D ，使得1AC CD ⊥，则(3,4,0)AD AB λλλ==-u u u r u u u r
其中01λ≤≤，则(33,4,0)D λλ-，于是(33,4,0)CD λλ=-u u u r 由于1(3,0,4)AC =-u u u u r
，且
1AC CD ⊥
所以990λ-+=得1λ=，所以在AB 上存在点D 使得1AC CD ⊥，且这时点D 与点B 重合。
（3）假设在AB 上存在点D 使得11//AC CDB 平面，则(3,4,0)AD AB λλλ==-u u u r u u u r
其中
01λ≤≤则(33,4,0)D λλ-，1(33,44,4)B D λλ=---u u u u r 又1(0,4,4).B C =--u u u r
由于
1(3,0,4)AC =-u u u u r ，11//AC CDB 平面，所以存在实数111
,,m n AC mB D nBC =+u u u u r u u u u r u u u r
使成立，(33)3,(44)40,444,m m n m n λλ∴-=---=--=所以1
2
λ=
，所以在AB 上存在点D 使得11//AC CDB 平面，且D 使AB 的中点。
总结：向量有一套良好的运算性质，它可以把几何图形的性质转化为向量运算，实现了数与
形的结合，在解决立体几何的距离与夹角、平行与垂直、探索性等问题中体现出巨大的优越性，请同学们认真领会。 五、专题突破：
1解：设,,,AC a CD b DB c ===u u u r u u u r u u u r r r r 1,a b c ===r r r ,,90,,60a b b c a c <>=<>=<>=o o
r r r r r r
，
2AB ===u u u r Q ，
（1）2()1
cos ,212AB CD a b c b b AB CD a b c b AB CD
?++?∴<>===
=?++??u u u r u u u r r r r r r u u u r u u u r u u u r u u u r r r r r ， ,AB CD ∴所成的角为60o
（2）设与,AB CD 都垂直的非零向量,n xa yb zc =++r r r r 由,n AB n CD ⊥⊥u u u r u u u r r r 得
()()0()0
xa yb zc a b c xa yb zc b ?++?++=??++?=??r r r r r r
r r r r 3230
0x y z y ++=?∴?=?，令1,1,x z n a c ==-∴=-r r r 得，
设AB CD 与的距离为d ，2()12()
a c a AC n d n a c -??∴===-u u u r r r r
r r r r 2、解：以DA 、DC 、DP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标
系（如图），设AD=a ，则D （0，0，0）、A （a,0,0）、B(a,a,0)、
C(0,a,0))0,2,
(a a E 、)2
,2,2(a
a a F 、).,0,0(a P （Ⅰ）,0)0,,0()2
,0,2(=?-=?a a
a DC EF .DC EF ⊥∴
（Ⅱ）.),,0,(PAD G z x G 平面则设∈
2(,,),
222
(,,)(,0,0)()0,;
22222
(,,)(0,,)()0,0.
22222(,0,0),.
2
a a a FG x z a a a a a FG CB x z a a x x a a a a a FG CP x z a a a z z a
G G AD =---?=---?=-==?=---?-=+-==∴u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 点坐标为即点为的中点（Ⅲ）设平面DEF 的法向量为).,,(z y x n =
(,,)(,,)0,0,2220(,,)(,,0)0,
2
()0,21,2,1,0.2
3
(1,2,1).cos ,,6
||||26ar 2a a a x y z n DF a n DE x y z a a
x y z x y z a ax y BD n a n BD n BD n a DB DEF π??=???=?????=????=???++=??==-=??+=???∴=-<>===?∴-r u u u r r u u u r
u u u r r
r u u u r r u u u r r 由得即取则与平面所成角大小为33
ccos (arcsin ).
66
即
3、证明：（1）在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，易知面ACC 1A 1⊥面ABC ，
∵∠ACB=90°，∴BC ⊥面ACC 1A 1，∵AM ?面ACC 1A 1，∴BC ⊥AM ∵1AM BA ⊥，且1BC BA B =I ，∴ AM 平面1A BC
解：（2）如图以C 为原点,CA ，CB ， CC 1所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标
系，则1(0,1,0)A A B ，设1(0,0,)M z ∵1AM BA ⊥，∴10AM BA ?=u u u u r u u u r
即1300-++=
，故12z =
，所以(0,0,2
M 设向量(,,)m x y z =u r 为平面AMB 的法向量，则,m AM m AB ⊥⊥u r u u u u r u r u u u r ，则0
m AM m AB ??=???=??u r u u u u r
u r u u u r
即
00y ?+
=??
?+=?
，令x=1，的平面AMB
的一个法向量为m =u r ，显然向量CB u u u r 是平面AMC 的一个法向量，
cos ,||||
m CB m CB m CB ?<>==?u r u u u r
u r u u u r u r u u u r
易知，m u r 与CB u u u r
所夹的角等于二面角B －AM －C 的大小，故所求二面角的大小为45°． （3）向量CB u u u r 在法向量m u r 上的投影的长||||
m CB m ?u r u u u r
u r 即为所求距离，∵
||
||
m CB m ?==u r u u u r
u r ∴点C 到平面ABM
4、（Ⅰ）建立空间直角坐标系D xyz -，如图，则又
(0,0,0)D ,(2,2,0)B ,(0,2,0)C ,1(0,2,3)C ,1(0,0,3)D ,(1,2,0)E
连接1CD ,与1C D 相交于O ，连接EO 易知O （0，1，）
∴1(2,2,3),(1,1,1.5)BD EO =--=--u u u u r u u u r ∴12BD EO =u u u u r u u u r
∴1//EO BD
又1BD ?平面1C DE ，EO ?平面1C DE ∴1//BD 平面1C DE
（Ⅱ）解：过点C 做CH DE ⊥于H ，连接1C H ，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，
1CC ⊥平面ABCD ∴1C H DE ⊥，1C HC 是二面角1C DE C --的平面角
根据平面几何知识，易得(0.8,1.6,0)H ∴1(0.8,0.4,0),(0.8,0.4,3)HC HC =-=-u u u r u u u u r
∵11112
cos cos()7
HC HC C HC HC HC HC HC ===u u u r u u u u r
u u u r u u u u r g g u u u r u u u u r g
∴12arccos
7C HC ∠=∴二面角1C DE C --的大小为2arccos 7
（Ⅲ）解：在侧棱1BB 上不存在点P ，使得CP ⊥平面1C DE
证明如下：假设CP ⊥平面1C DE ，则必有CP DE ⊥
设(2,2,)P a ，其中03a ≤≤，则20CP DE =≠u u u r u u u r
g ，这显然与CP DE ⊥矛盾
∴假设CP ⊥平面1C DE 不成立，即在侧棱1BB 上不存在点P ，使得CP ⊥平面1C DE 5、（1）如图建立直角坐标系，其中C 为坐标原点.依题意A （2，0，0），B （0，2，0），B 1（0，2，2），C 1（0，0，2），因为0)2,2,0()2,2,2(11=-?-=?BC AB ，所以AB 1⊥BC 1.
（2）设),,(1111z y x n =是平面AB 1C 1的法向量， 由0,01111=?=?AC n AB n 得
???=+-=++-,0,011111z x z y x 所以??
?==,
,
0111z x y 令11=z ，则)1,0,1(1=n ， 因为)0,2,2(-=AB ，所以，B 到平面AB 1C 1的距离为2|
|11==
n n AB d .
（3）设),,(2222z y x n =是平面A 1AB 1的法向量.由得,0,0122=?=?AA n AB n
??
?==???==+-,
0,
.0,0222222z y x z y x 所以 令2y =1，则),0,1,1(2=n 因为2
1
2
21|
||,|,cos 212121=
=
>
所以)2,0,22(--=AQ (0,22,1)PB =-u u u r
于是1
cos ,6
2323AQ PB AQ PB AQ PB ?<>==
=??uuu r uu u r
uuu r uu u r uuu r uu u r . 从而异面直线AQ 与PB 所成的角是3
1
arccos .
Q
B
C
P
A
D
z y
x
O
(Ⅲ)由（Ⅱ），点D 的坐标是（0，－22，0），)0,22,22(--=AD ，
(0,0,3)PQ =-u u u r
，设),,(z y x n =是平面QAD 的一个法向量，由
????
?=?=?0
AD n 得?????=+=+002y x z x .取x =1，得)2,1,1(--=. 所以点P 到平面QAD
的距离2PQ n d n
?==u u u r r
r
. 7、（Ⅰ）如图，建立直角坐标系O －xyz ，其中原点O 为AC 的中点．
设A (a ，0，0)，B (0，b ，0)，B 1(0，b ，2c )． 则C (－a ，0，0)，C 1(－a ，0，2c )，E (0，0，c )，D (0，b ，c )． ED →＝（0，b ，0），BB 1→＝(0，0，2c )．
ED →·BB 1→＝0，∴ED ⊥BB 1．又AC 1→
＝(－2a ，0，2c )，
ED →·AC 1→
＝0，∴ED ⊥AC 1， 所以ED 是异面直线BB 1与AC 1的公垂线． （Ⅱ）不妨设A (1，0，0)，则B (0，1，0)，C (－1，0，0)，A 1(1，0，2)， BC →＝(－1，－1，0)，AB →＝(－1，1，0)，AA 1→
＝(0，0，2)， BC →·AB →＝0，BC →·AA 1→
＝0，即BC ⊥AB ，BC ⊥AA 1，又AB ∩AA 1＝A ， ∴BC ⊥平面A 1A D ．
又 E (0，0，1)，D (0，1，1)，C (－1，0，1)，
EC →＝(－1，0，－1)，AE →＝(－1，0，1)，ED →
＝(0，1，0)， EC →·AE →＝0，EC →·ED →
＝0，即EC ⊥AE ，EC ⊥ED ，又AE ∩ED ＝E ，
∴ EC ⊥面C 1A D ． cos ＜EC →
，BC →
＞＝EC →·BC →
|EC →|·|BC →|
＝1
2，即得EC →和BC →的夹角为
60°．所以二面角A 1－AD －C 1为60°．
C C 1
立体几何典型问题的向量解法
立体几何中几类典型问题的向量解法 空间向量的引入为求立体几何的空间角和距离问题、证线面平行与垂直以及解决立体几 何的探索性试题提供了简便、快速的解法。它的实用性是其它方法无法比拟的， 因此应加强 运用向量方法解决几何问题的意识， 提高使用向量的熟练程度和自觉性， 注意培养向量的代 数运算推理能力，掌握向量的基本知识和技能，充分利用向量知识解决图形中的角和距离、 平行与垂 直问题。 「、利用向量知识求点到点，点到线，点到面，线到线，线到面，面到面的距离 (1) 求点到平面的距离除了根据定义和等积变换外还可运用平面的法向量求得，方法是: (3)求点P 到直线AB 的距离，可在 AB 上取一点Q ，令AQ 的最小值求得参数 ■,以确定Q 的位置，贝U PQ 为点P 到直线AB 的距离。还可以在AB 上 任取一点Q 先求cos ：：： PQ, AB ?，再转化为sin ：：： PQ, AB ?，则 点P 到直线AB 的距离。 (4)求两条异面直线li,l2之间距离，可设与公垂线段 例 1：设 A(2,3,1), B(4,1,2), C(6,3,7), D(-5,-4,8)，求点 D 到平面 ABC 的距离 例2：如图，正方形 ABCD 、ABEF 的边长都是1,而且平面 ABCD 、ABEF 互相垂直。 点M 在AC 上移动，点 N 在BF 上移动，若CM 二BN 二a (0 ：：： a 2)。 求出平面的一个法向量的坐标，再求出已知点 P 与平面内任一点 M 构成的向量 M P 的坐 标, 那么P 到平面的距离d = MP ?'cosen,MP > (2)求两点P,Q 之间距离，可转化求向量 PQ 的模。 sin ：： PQ, AB 为 AB 平行的向量n , C,D 分别是ht 上 的任意两点，贝y h,l2之间距离 AB =
6.2 立体几何中的向量方法(A卷提升篇)【解析版】
专题6.2 立体几何中的向量方法（A 卷基础篇）（浙江专用） 参考答案与试题解析 第Ⅰ卷（选择题） 一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分） 1．（2020·全国高二课时练习）已知(1,0,0)A ，(0,1,0)B ，(0,0,1)C ，则下列向量是平面ABC 法向量的是（ ） A ．(1,1,1)- B ．(1,1,1)- C ．? ? ? ??? D ．?? ? ??? 【答案】C 【解析】 (1,1,0),(1,0,1)AB AC =-=-, 设(,,)n x y z =为平面ABC 的法向量， 则00n AB n AC ??=??=? ，化简得00x y x z -+=??-+=?， ∴x y z ==，故选C. 2．（2020·全国高二课时练习）空间直角坐标中A(1，2，3)，B(－1，0，5)，C(3，0，4)，D(4，1，3)，则直线AB 与CD 的位置关系是( ) A ．平行 B ．垂直 C ．相交但不垂直 D ．无法确定 【答案】A 【解析】 ∵空间直角坐标系中， A （1，2，3）， B （﹣1，0，5）， C （3，0，4）， D （4，1，3）， ∴AB =（﹣2，﹣2，2），CD =（1，1，﹣1）， ∴AB =﹣2CD ， ∴直线AB 与CD 平行． 故选A ．
3．（2020·全国高二课时练习）已知平面α的法向量为(2,2,1)n =--，点(,3,0)A x 在平面α内，则点(2,1,4)P -到平面α的距离为 103，则x ＝( ) A ．－1 B ．－11 C ．－1或－11 D ．－21 【答案】C 【解析】 (2,2,4)PA x =+-，而103n d n PA ?= =， 103=，解得1x =-或－11. 故选：C 4．（2020·全国高二课时练习）已知向量,m n 分别是直线l 和平面α的方向向量和法向量，若 1cos ,2 m n =-，则l 与α所成的角为（ ） A ．030 B ．060 C ．0120 D ．0150 【答案】A 【解析】 设线面角为θ，则1sin cos ,,302 m n θθ=??==. 5．（2020·全国高二课时练习）设直线l 与平面α相交，且l 的方向向量为a ，α的法向量为n ，若2,3a n π= ，则l 与α所成的角为（ ） A ．23π B ．3π C ．6π D ．56 π 【答案】C 【解析】 结合题意，作出图形如下：
用向量方法解立体几何题(老师用)
用向量方法求空间角和距离 在高考的立体几何试题中,求角与距离是常考查的问题,其传统的“三步曲”解法:“作图、证明、解三角形”,作辅助线多、技巧性强,是教学和学习的难点．向量进入高中教材,为立体几何增添了活力,新思想、新方法与时俱进,本专题将运用向量方法简捷地解决这些问题． 1 求空间角问题 空间的角主要有：异面直线所成的角；直线和平面所成的角；二面角． （１）求异面直线所成的角 设a 、b 分别为异面直线a 、b 的方向向量, 则两异面直线所成的角α=arccos |||||| a b a b （２）求线面角 设l 是斜线 l 的方向向量，n 是平面α的法向量， 则斜线l 与平面α所成的角α=arcsin |||||| l n l n （３）求二面角 法一、在α内a l ⊥，在β内b l ⊥，其方向如图，则二面角l αβ--的平面角α=arccos |||| a b a b
法二、设12,,n n 是二面角l αβ --的两个半平面的法向量， 其方向一个指向内侧，另一个指向外侧，则二面角l α β --的平面角α=12 12arccos |||| n n n n 2 求空间距离问题 构成空间的点、线、面之间有七种距离，这里着重介绍点面距离的求法，象异面直线间的距离、线面距离；面面距离都可化为点面距离来求． （１）求点面距离 法一、设n 是平面α的法向量，在α内取一点B, 则 A 到α的距离|| |||cos ||| AB n d AB n θ== 法二、设A O α ⊥于O,利用A O α ⊥和点O 在α内 的向量表示，可确定点O 的位置，从而求出||A O ． （２）求异面直线的距离 法一、找平面β使b β?且a β ，则异面直线a 、b 的距离就转化为直线a 到平面β的距离，又转化为点A 到平面β的距离． 法二、在a 上取一点A, 在b 上取一点B, 设a 、b 分别 为异面直线a 、b 的方向向量,求n （n a ⊥ ，n b ⊥ ），则 异面直线a 、b 的距离|| |||cos ||| AB n d AB n θ== （此方法移植 于点面距离的求法）．
立体几何中的向量方法
立体几何中的向量方法(二)——求空间角和距离 1． 空间向量与空间角的关系 (1)设异面直线l 1，l 2的方向向量分别为m 1，m 2，则l 1与l 2所成的角θ满足cos θ＝|cos 〈m 1，m 2〉|. (2)设直线l 的方向向量和平面α的法向量分别为m ，n ，则直线l 与平面α所成角θ满足sin θ＝|cos 〈m ，n 〉|. (3)求二面角的大小 1°如图①，AB 、CD 是二面角α—l —β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB →，CD →〉． 2°如图②③，n 1，n 2分别是二面角α—l —β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cos θ＝cos 〈n 1，n 2〉或－cos 〈n 1，n 2〉． 2． 点面距的求法 如图，设AB 为平面α的一条斜线段，n 为平面α的法向量，则B 到 平面α的距离d ＝|AB → ·n | |n | . 1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角． ( × ) (2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角． ( × ) (3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角． ( × ) (4)两异面直线夹角的范围是(0，π2]，直线与平面所成角的范围是[0，π 2]，二面角的 范围是[0，π]． ( √ ) (5)直线l 的方向向量与平面α的法向量夹角为120°，则l 和α所成角为30°. ( √ ) (6)若二面角α－a －β的两个半平面α、β的法向量n 1，n 2所成角为θ，则二面角α－ a －β的大小是π－θ. ( × ) 2． 已知二面角α－l －β的大小是π 3 ，m ，n 是异面直线，且m ⊥α，n ⊥β，则m ，n 所成 的角为 ( ) A.2π3 B.π 3 C.π 2 D. π6 答案 B 解析 ∵m ⊥α，n ⊥β， ∴异面直线m ，n 所成的角的补角与二面角α－l －β互补． 又∵异面直线所成角的范围为(0，π 2]， ∴m ，n 所成的角为π 3 . 3． 在空间直角坐标系Oxyz 中，平面OAB 的一个法向量为n ＝(2，－2,1)，已知点P (－1,3,2)，
高中数学向量法解立体几何总结
向量法解立体几何 1、直线的方向向量和平面的法向量 ⑴．直线的方向向量：若A 、B 是直线l 上的任意两点，则AB 为直线l 的一个方向向量；与AB 平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量. ⑵．平面的法向量：若向量n 所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作 n α⊥，如果n α⊥，那么向量n 叫做平面α的法向量. ⑶．平面的法向量的求法（待定系数法）： ①建立适当的坐标系． ②设平面α的法向量为(,,)n x y z =． ③求出平面内两个不共线向量的坐标123123(,,),(,,)a a a a b b b b ==． ④根据法向量定义建立方程组0 n a n b ??=???=??. ⑤解方程组，取其中一组解，即得平面α的法向量. 2、用向量方法判定空间中的平行关系 ⑴线线平行。设直线12,l l 的方向向量分别是a b 、 ，则要证明1l ∥2l ，只需证明a ∥b ，即()a kb k R =∈.⑵线面平行。设直线l 的方向向量是a ，平面α的法向量是u ，则要证明l ∥ α，只需证明a u ⊥，即0a u ?=. ⑶面面平行。若平面α的法向量为u ，平面β的法向量为v ，要证α∥β，只需证u ∥v ，即证u v λ=. 3、用向量方法判定空间的垂直关系⑴线线垂直。设直线12,l l 的方向向量分别是a b 、 ，则要证明12l l ⊥，只需证明a b ⊥，即0a b ?=.⑵线面垂直 ①（法一）设直线l 的方向向量是a ，平面α的法向量是u ，则要证明l α⊥，只需证明a ∥u ，即a u λ=. ②（法二）设直线l 的方向向量是a ，平面α内的两个相交向量分别为m n 、 ，若
利用法向量解立体几何题
利用法向量解立体几何题 一、运用法向量求空间角 向量法求空间两条异面直线a, b 所成角θ，只要在两条异面直线a, b 上各任取一个向量 ''AA BB 和，则角<','AA BB >=θ或π-θ，因为θ是锐角，所以cos θ= '''' AA BB AA BB ??, 不需 要用法向量。 1、运用法向量求直线和平面所成角 设平面α的法向量为n =（x, y, 1)，则直线AB 和平面α所成的角θ的正弦值为 sin θ= cos( 2 π -θ) = |cos| = AB AB n n ?? 2、运用法向量求二面角 设二面角的两个面的法向量为12,n n ，则<12,n n >或π-<12,n n >是所求角。这时要借助图形来判断所求角为锐角还是钝角，来决定<12,n n >是所求，还是π-<12,n n >是所求角。 二、运用法向量求空间距离 1、求两条异面直线间的距离 设异面直线a 、b 的公共法向量为(,,)n x y z =，在a 、b 上任取一点A 、B ，则异面直线a 、b 的距离 d =AB ·cos ∠BAA ＇ = || || AB n n ? 略证：如图，EF 为a 、b 的公垂线段，a ＇为过F 与a 平行的直线， 在a 、b 上任取一点A 、B ，过A 作AA ＇// EF ，交a ＇于A ＇ ， A
则?ˉ //AA n ，所以∠BAA ＇ =<,BA n >（或其补角） ∴异面直线a 、b 的距离d =AB ·cos ∠BAA ＇ = || || AB n n ? * 其中，n 的坐标可利用a 、b 上的任一向量,a b （或图中的,AE BF ），及n 的定义得 0n a n a n b n b ??⊥?=?????⊥?=??? ? ① 解方程组可得n 。 2、求点到面的距离 求A 点到平面α的距离，设平面α的法向量法为(,,1)n x y =，在α内任取一点B ，则A 点到平面α的距离为 d = || || AB n n ?，n 的坐标由n 与平面α内的两个不共线向量的垂直关系，得到方程组（类似于前面所述, 若方程组无解，则法向量与XOY 平面平行，此时可改设 (1,,0)n y =，下同）。 3、求直线到与直线平行的平面的距离 求直线a 到平面α的距离，设平面α的法向量法为(,,1)n x y =，在直线a 上任取一点A ， 在平面α内任取一点B ，则直线a 到平面α的距离 d = || || AB n n ? 4、求两平行平面的距离 设两个平行设平面α、β的公共法向量法为(,,1)n x y =，在平面α、β内各任取一点A 、 B ，则平面α到平面β的距离 d = || || AB n n ? 三、证明线面、面面的平行、垂直关系 设平面外的直线a 和平面α、β，两个面α、β的法向量为12,n n ，则 1a//a n α?⊥ 1a a//n α⊥? 12////n n αβ? 12n n αβ⊥?⊥
立体几何中的向量方法总结
立体几何中的向量方法基础篇一（几何证明） 一．求直线方向向量 1.已知()()4,2,2,2,1,1B A -且),,6(y x a =为直线AB 的方向向量，求y x ,。 二．平面的法向量 2.在空间中，已知()()()0,1,1,1,1,0,1,0,1C B A ，求平面ABC 的一个法向量。 3.如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为正方形， 2,==⊥DC PD ABCD PD 平面，E 为PC 中点 （1）分别写出平面PDC ABCD PAD ,,的一个法向量； （2）求平面EDB 的一个法向量； （3）求平面ADE 的一个法向量。 三．向量法证明空间平行与垂直 1.如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，M AF AB ,1,2== 为EF 的中点，求 证：BDE AM 平面//
2. 如图，正方体''''D C B A ABCD -中，F E ,分别为CD BB ,'的中点，求证：ADE F D 平面⊥'。 3. 如图，在四棱锥ABCD E -中，BCE CD BCE AB 平面平面⊥⊥, 0120,22=∠====BCE CD CE BC AB ，求证：平面ABE ADE 平面⊥。 巩固练习： 1. 如图，在正方体''''D C B A ABCD -中，P 是'DD 的中点，O 是底面ABCD 的中心， （1）求证：O B '为平面PAC 的一个法向量；（2）求平面CD B A ''的一个法向量。
2. 如图，在直棱柱'''C B A ABC -中，4',5,4,3====AA AB BC AC （1）求证：'BC AC ⊥ （2）在AB 上是否存在点D ，使得'//'CDB AC 平面，若存在，确定D 点位置，若不存在，说明理由。 3. 如图，已知长方体''''D C B A ABCD -中，2==BC AB ，E AA ,4'=为'CC 的上的点，C B BE '⊥， 求证：BED C A 平面⊥' 4. 在三棱柱'''C B A ABC -中，1',2,,'===⊥⊥AA BC AB BC AB ABC AA 平面，E 为'BB 的中点，求证：C C AA AEC '''平面平面⊥
用向量方法解立体几何题
用向量方法求空间角和距离 前言： 在高考的立体几何试题中,求角与距离是常考查的问题,其传统的“三步曲”解法:“作图、证明、解三角形”,作辅助线多、技巧性强,是教学和学习的难点．向量进入高中教材,为立体几何增添了活力,新思想、新方法与时俱进,本专题将运用向量方法简捷地解决这些问题． 1.求空间角问题 空间的角主要有：异面直线所成的角；直线和平面所成的角；（平面和平面所成的角）二面角． （１）求异面直线所成的角 设a r 、b r 分别为异面直线a 、b 的方向向量, 则两异面直线所成的角α=arccos ||||||a b a b r r g r r （２）求线面角 设l r 是斜线l 的方向向量，n r 是平面α的法向量， 与平面α所成的角α=arcsin |||||| l n l n r r g r r 则斜线l （３）求二面角
方法一：在α内a r l ⊥，在β内b r l ⊥，其方向如图，则二面角l αβ--的平面角 α=arccos |||| a b a b r r g r r 方法二：设12,,n n u r u u r 是二面角l αβ--的两个半平面的法向量，其方向一个指向内侧，另一个指向外侧，则二面角l αβ--的平面角 α=1212arccos |||| n n n n u r u u r g u r u u r 2.求空间距离问题 构成空间的点、线、面之间有七种距离，这里着重介绍点面距离的求法，像异面直线间的 距离、线面距离、面面距离都可化为点面距离来求． （１）求点面距离 方法一：设n r 是平面α的法向量，在α内取一点B, 则 A 到 α的距离|| |||cos ||| AB n d AB n θ==u u u r r u u u r g r 方法二：设AO α⊥于O,利用AO α⊥和点O 在α内 的向量表示，可确定点O 的位置，从而求出||AO uuu r ． （２）求异面直线的距离 方法一：找平面β使b β?且a βP ，则异面直线a 、b 的距离就转化为直线a 到平面β的距离，又转化为点A 到平面β的距离． a r 、 b r 分别为异面直线a 、b 的方向 法二：在a 上取一点A, 在b 上取一点B, 设
利用空间向量解立体几何(完整版)
向量法解立体几何 引言 立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题：一是位置关系，它主要包括线线垂直，线面垂直，线线平行，线面平行；二是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成角，面面所成角等。教材上讲的比较多的主要是用向量证明线线、线面垂直及计算线线角，而如何用向量证明线面平行，计算点到平面的距离、线面角及面面角的例题不多，给老师对这部分内容的教学及学生解有关这部分内容的题目造成一定的困难，下面主要就这几方面问题谈一下自己的想法，起到一个抛砖引玉的作用。 一、基本工具 1.数量积： cos a b a b θ?= 2.射影公式：向量a 在b 上的射影为 a b b ? 3.直线0Ax By C ++=的法向量为 (),A B ，方向向量为 (),B A - 4.平面的法向量（略） 二、用向量法解空间位置关系 1.平行关系 线线平行?两线的方向向量平行 线面平行?线的方向向量与面的法向量垂直 面面平行?两面的法向量平行 2.垂直关系
线线垂直（共面与异面）?两线的方向向量垂直 线面垂直?线与面的法向量平行 面面垂直?两面的法向量垂直 三、用向量法解空间距离 1.点点距离 点()111,,P x y z 与()222,,Q x y z 的 距离为(PQ x =2.点线距离 求点()00,P x y 到直线:l 0Ax By C ++=的距离： 方法：在直线上取一点(),Q x y ， 则向量PQ 在法向量 (),n A B =上的射影PQ n n ?= 即为点P 到l 的距离. 3.点面距离 求点()00,P x y 到平面α的距离： 方法：在平面α上去一点(),Q x y ，得向量PQ ， 计算平面α的法向量n ， 计算PQ 在α上的射影，即为点P 到面α的距离. 四、用向量法解空间角 1.线线夹角（共面与异面） 线线夹角?两线的方向向量的夹角或夹角的补角 2.线面夹角 求线面夹角的步骤：
立体几何(向量法)—找点难(定比分点公式)
立体几何（向量法）—找点难（定比分点公式） 例1（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））如图, 四棱柱 ABCD -A 1B 1C 1D 1中, 侧棱A 1A ⊥底面ABCD , AB (Ⅰ) 证明B 1C 1⊥CE ; (Ⅱ) 求二面角B 1-CE -C 1的正弦值. (Ⅲ) 设点M 在线段C 1E 上, 且直线AM 与平面ADD 1A 1所成角的正弦值为6 , 求线段AM 的长. 【答案】解：方法一：如图，以点A 为原点建立空间直角坐标系，依题意得A (0，0，0)，B (0，0，2)，C (1，0，1)，B 1(0，2，2)，C 1(1，2，1)，E (0，1，0)． (1)证明：易得B 1C 1→＝(1，0，－1)，CE →＝(－1，1，－1)，于是B 1C 1→·CE → ＝0，所以B 1C 1⊥CE . (2)B 1C → ＝(1，－2，－1)， 设平面B 1CE 的法向量＝(x ，y ，z )，
则?????·B 1C →＝0，m · CE →＝0，即?????x －2y －z ＝0，－x ＋y －z ＝0，消去x ，得y ＋2z ＝0，不妨令z ＝1，可得一个法向量 为＝(－3，－2，1)． 由(1)，B 1C 1⊥CE ，又CC 1⊥B 1C 1，可得B 1C 1⊥平面CEC 1，故B 1C 1→ ＝(1，0，－1)为平面CEC 1 的一个法向量． 于是cos 〈，B 1C 1→〉＝m ·B 1C 1→ |m |·|B 1C 1→|＝－414×2＝－2 77，从而sin 〈，B 1C 1→ 〉＝217. 所以二面角B 1－CE －C 1的正弦值为217. (3)AE →＝(0，1，0)，EC 1→＝(1，1，1)．设EM →＝λEC 1→＝(λ，λ，λ)，0≤λ≤1，有AM →＝AE →＋EM →＝(λ，λ＋1，λ)．可取AB → ＝(0，0，2)为平面ADD 1A 1的一个法向量． 设θ为直线AM 与平面ADD 1A 1所成的角，则 sin θ＝|cos 〈AM →，AB → 〉|＝|AM →·AB →||AM →|·|AB →|＝ 2λ λ2＋（λ＋1）2＋λ2×2＝λ3λ2＋2λ＋1. 于是 λ3λ2＋2λ＋1＝26 ，解得λ＝1 3(负值舍去)，所以AM ＝ 2. 方法二：(1)证明：因为侧棱CC 1⊥平面A 1B 1C 1D 1， B 1 C 1?平面A 1B 1C 1 D 1，所以CC 1⊥B 1C 1.经计算可得B 1 E ＝5，B 1C 1＝2，EC 1＝3，从而 B 1E 2＝B 1 C 21＋EC 21，所以在△B 1EC 1中，B 1C 1⊥C 1E .又CC 1，C 1E ? 平面CC 1E ，CC 1∩C 1E ＝C 1，所以B 1C 1⊥平面CC 1E ，又CE ?平面CC 1E ，故B 1C 1⊥CE . (2)过B 1 作B 1G ⊥CE 于点G ，联结C 1G .由(1)，B 1C 1⊥CE .故CE ⊥平面B 1C 1G ，得CE ⊥C 1G ，
用向量方法解立体几何题
用向量方法求空间角和距离前言： 在高考的立体几何试题中,求角与距离是常考查的问题,其传统的“三步曲”解法:“作图、证明、解三角形”,作辅助线多、技巧性强,是教学和学习的难点．向量进入高中教材,为立体几何增添了活力,新思想、新方法与时俱进,本专题将运用向量方法简捷地解决这些问题． 1.求空间角问题 空间的角主要有：异面直线所成的角；直线和平面所成的角；（平面和平面所成的角）二面角． （１）求异面直线所成的角 设a 、b 分别为异面直线a 、b 的方向向量, 则两异面直线所成的角α=arccos | |||||a b a b （２）求线面角 设l 是斜线l 的方 向向量，n 是平面α的法向量， α所成的角α=arcsin ||||||l n l n 则斜线l 与平面 （３）求二面角 方法一：在α内a l ⊥，在β内b l ⊥，其方向如图，则二面角l αβ --的平面角α=arccos |||| a b a b 12,,n n 是二面角l αβ--的两个半平面的方法二：设 法向量，其方向 一个指向内侧，另一个指向外侧，则二的平面角α=1212arccos |||| n n n n 面角l αβ--2.求空间距离问题 构成空间的点、线、面之间有七种距离，这里着重介绍点面距离的求法，像异面直线间的距离、线面距离、面面距离都可化为点面距离来求． （１）求点面距离 方法一：设n 是平面α的法向量，在α内取一点B, 则 A 到
α的距离|||||cos ||| AB n d AB n θ== 方法二：设AO α⊥于O,利用AO α⊥和点O 在α内 的向量表示， 可确定点O 的位置，从而求出||AO ． （２）求异面直线的距离 方法一：找平面β使b β?且a β，则异面直线a 、b 的距离就 转化为直线a 到平面β的距离，又转化为点A 到平面β的距离． 方法二：在a 上取一点A, 在b 上 取一点B, 设a 、b 分别为异面直 线a 、b 的方向向量,求n （n a ⊥，n b ⊥），则异面直线a 、b 的距离|||||cos |||AB n d AB n θ==（此方法移植于点面距离的求法）． 例１．如图，在棱长为２的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是 棱1111,A D A B 的中点． （Ⅰ）求异面直线1DE FC 与所成的角； （II ）求1BC 和面EFBD 所成的角； （III ）求1B 到面EFBD 的距离 解：（Ⅰ）记异面直线1DE FC 与所成的角为α， 则α等于向量1DE FC 与的夹角或其补角， 图建立空间坐标系D xyz -， （II ）如1 1||||111111cos ||()()|||||| 222||,arccos DE FC DE FC DD D E FB B C DE FC αα∴=++=-==∴=
向量法解立体几何
中山二中2011届空间向量解立体几何 一、空间直角坐标系的建立及点的坐标表示 （1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底 叫单位正交基底，用{,,}i j k 表示； （2）在空间选定一点O 和一个单位正交基底 {,,}i j k ，以点O 为原点，分别以,,i j k 的方向为正 方向建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系O xyz -， 点O 叫原点，向量,,i j k 都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为 xOy 平面，yOz 平面，zOx 平面。 （3）作空间直角坐标系O xyz -时，一般使135xOy ∠=（或45），90yOz ∠=； （4）在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，如果中指指向z 轴的正方向，称这个坐标系为右手直角坐标系规 定立几中建立的坐标系为右手直角坐标系 （5）空间直角坐标系中的坐标：如图给定空间直角坐 标系和向量 a ，设,,i j k 123(,,)a a a ，使123a a i a j a k =++，有序实数组123(,,)a a a 作向量a 在空间直角坐标系O xyz -123(,,)a a a a =．在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任 一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使 OA xi yj zk =++，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的 坐标，记作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标． 二、空间向量的直角坐标运算律 （1）若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =， 则112233(,,)a b a b a b a b +=+++， 112233(,,) a b a b a b a b -=---， 123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈， 112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ?===∈， （2）若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)AB x x y y z z =---． 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 （3）//a b b a λ?=11 223 3()b a b a R b a λλλλ=?? ?=∈??=? 三、空间向量直角坐标的数量积 1、设,是空间两个非零向量，我们把数量><,cos |||| 规定：零向量与任一向量的数量积为0。 2、模长公式 2| |a a a x =?=+3、两点间的距离公式：若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ， 则2 ||(AB AB = =， 或,A B d = 4、夹角：cos |||| a b a b a b ??= ?． 注：①0(,a b a b a b ⊥??=是两个非零向量）； ②2 2||a a a a =?=。 5、 空间向量数量积的性质： ①||cos ,a e a a e ?=<>．②0a b a b ⊥??=．③2||a a a =?．
立体几何的向量解法
E P D A 1．若3,1,2(x a =，)9,2,1(y b -=，如果a 、b 是共线向量，则（ ） A ．1,1x y == B ．11,22x y ==- C ．13 ,62 x y ==- D ．13 ,62 x y =-= 2．直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若CA = a ，CB = b ，1CC = c ， 则1A B = （ ） A.+-a b c B. -+a b c C. -++a b c D. -+-a b c 3．已知点(1 21)A -，，关于面xOy 的对称点为B ，而B 关于x 轴的对称点为C ，则BC = （ ） Ａ．(042)， ， Ｂ．(042)--，， Ｃ．(040)，， Ｄ．(202)-， ， 4.已知()()()2,5,1,2,2,4,1,4,1A B C ---，则向量AB AC 与的夹角为（ ） A. 030 B.045 C.060 D.090 5.若向量λ∈μλμ+λ=且向量和垂直向量R b a n b a m ,(,、则)0≠μ（ ） A ．n m // B ．n m ⊥ C ．n m n m 也不垂直于不平行于, D ．以上三种情况都可能 6．如图，非零向量C b a ,,,⊥==且为垂足，设向量a λ=，则λ的值为( ) A ． 2|a|b a ? B ．||||b a b a ?? C ．2||b b a ? D ． b a b a ??| ||| 7．已知△ABC 的三个顶点为A （3，3，2），B （4，－3，7），C （0，5，1），则BC 边上的 中线长为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 8.如图四棱锥P-ABCD 的的底面是正方形，PD ⊥面ABCD ，PD AD =，E 为PC 的中点，则异面直线BE 与 PA 所成角的余弦值等于（ ） A. 2 B. 22 C. 3 2 D. 3 3 9.如图，在平行六面体ABCD –A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点．若 a B A =11, b D A =11, c A =1,则下列 向量中与B 1相等的向量是（ ） A ．c b a ++- 2121 B ．c b a ++2 1 21 C ．c b a +-2121 D ．c b a +--2 121 11．已知空间三点的坐标为)2,5,1(-A ，)1,4,2(B ，)2,3,(+q p C ，若A 、B 、C 三点共线，则=+q p . 12. 已知A 、B 、C 三点不共线，M 、A 、B 、C 四点共面，则对平面ABC 外的任一点O ，有1123 OM OA OB tOC =++ , 则t ＝ . 13．已知(1,1,),(1,,1)t t t t =+=-a b ，则||-a b 的最小值为________. 14．已知△ABC 的顶点为)1,1,1(A ，(0,1,3)B -，(3,2,3)C ，则△ABC 的面积是 ． 1、（1）3 1 ,cos ->==<,其中n 为平面的法向量α的法向量.则直线AB 与平面α的夹角为 (3) 3 1 ,cos 21->=立体几何中的向量方法—证明平行和垂直
1、依据学习目标。课前认真预习，完成自主学习内容； 2、课上思考，积极讨论，大胆展示，充分发挥小组合作优势，解决疑难问题； 3、当堂完成课堂检测题目； 4、★的多少代表题目的难以程度。★越多说明试题越难。不同层次学生选择相应题目完成 【学习目标】1．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘； 2．了解空间向量的基本定理； 3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积 的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；能用向量的数量积判断向量的共线与 垂直。 【教学重点】理解空间向量的概念；掌握空间向量的运算方法 【教学难点】理解空间向量的概念；掌握空间向量的运算方法 在四棱锥 设直线，则 v
的正方体 I 2. 如图，在棱长为a (1) 试证：A1、G、C三点共线； (2) 试证：A1C⊥平面 3.【改编自高考题】如图所示，四棱柱 的正方形，侧棱A (1)证明：AC⊥A1B； (2)是否在棱A1A上存在一点P，使得C1【学后反思】 本节课我学会了 掌握了那些？ 还有哪些疑问？ 2017届高二数学导学案编写邓兴明审核邓兴明审批
1、依据学习目标。课前认真预习，完成自主学习内容； 2、课上思考，积极讨论，大胆展示，充分发挥小组合作优势，解决疑难问题； 3、当堂完成课堂检测题目； 4、★的多少代表题目的难以程度。★越多说明试题越难。不同层次学生选择相应题目完成 【学习目标】1.掌握各种空间角的定义，弄清它们各自的取值范围.2.掌握异面直线所成的角，二面角的平面角，直线与平面所成的角的联系和区别.3.体会求空间角中的转化思想、数形结合思想，熟练掌握平移方法、射影方法等.4.灵活地运用各种方法求空间角． 【教学重点】灵活地运用各种方法求空间角 【教学难点】灵活地运用各种方法求空间角 —l—β的两个面α，β的法向量，则向量 的大小就是二面角的平面角的大小(如图②③)． 【课堂合作探究】 利用向量法求异面直线所成的角 B1C1，∠ACB＝90°，CA＝CB＝CC1，D 的正方体ABCD—A1B1C1D1中，求异面直线
立体几何(向量法)—建系讲义
立体几何（向量法）—建系 引入空间向量坐标运算，使解立体几何问题避免了传统方法进行繁琐的空间分析，只需建立空间直角坐标系进行向量运算，而如何建立恰当的坐标系，成为用向量解题的关键步骤之一．所谓“建立适当的坐标系”，一般应使尽量多的点在数轴上或便于计算。 一、利用共顶点的互相垂直的三条线构建直角坐标系 例1（2012高考真题重庆理19）（本小题满分12分 如图，在直三棱柱111C B A ABC - 中，AB=4，AC=BC=3，D 为AB 的中点 （Ⅰ）求点C 到平面11ABB A 的距离; （Ⅱ）若11AB A C ⊥求二面角 的平面角的余弦值. 【答案】解：(1)由AC ＝BC ，D 为AB 的中点，得CD ⊥AB .又CD ⊥AA 1，故 CD ⊥面A 1ABB 1，所以点C 到平面A 1ABB 1的距离为 CD ＝BC 2－BD 2＝ 5. (2)解法一：如图，取D 1为A 1B 1的中点，连结DD 1，则DD 1∥AA 1∥CC 1.又由(1)知CD ⊥面A 1ABB 1，故CD ⊥A 1D ，CD ⊥DD 1，所以∠A 1DD 1为所求的二面角A 1－CD －C 1的平面角． 因A 1D 为A 1C 在面A 1ABB 1上的射影，又已知AB 1⊥A 1C ，由三垂线定理的逆定理得AB 1⊥A 1D ，从而∠A 1AB 1、∠A 1DA 都与∠B 1AB 互余，因此∠A 1AB 1＝∠A 1DA ，所以Rt △A 1AD ∽Rt △B 1A 1A .因此AA 1AD ＝A 1B 1 AA 1 ，即AA 21＝AD · A 1 B 1＝8，得AA 1＝2 2.
法向量解立体几何专题训练
法向量解立体几何专题训练 一、运用法向量求空间角 1、向量法求空间两条异面直线a, b 所成角θ，只要在两条异面直线a, b 上各任取一个向量''AA BB 和，则角<','AA BB >=θ或π-θ，因为θ是锐角，所以cos θ= '''' AA BB AA BB ??, 不 需要用法向量。 2、设平面α的法向量为n =（x, y, 1)，则直线AB 和平面α所成的角θ的正弦值为sin θ= cos( 2π -θ) = |cos| = AB AB n n ?? 3、 设二面角的两个面的法向量为12,n n ，则<12,n n >或π-<12,n n >是所求角。这时要借助图形来判断所求角为锐角还是钝角，来决定<12,n n >是所求，还是π-<12,n n >是所求角。 二、运用法向量求空间距离 1、求两条异面直线间的距离 设异面直线a 、b 的公共法向量为(,,)n x y z =，在a 、b 上任取一点 A 、B ，则异面直线a 、b 的距离d =AB ·cos ∠BAA ＇=|| || AB n n ? 2、求点到面的距离 求A 点到平面α的距离，设平面α的法向量法为(,,1)n x y =，在α内任取一点B ，则A 点到平面α的距离为d = || || AB n n ?，n 的坐标由n 与平面α内的两个不共线向量的垂直关系，得到方程组（类似于前面所述, 若方程组无解，则法向量与XOY 平面平行，此时可改设(1,,0)n y = 三、证明线面、面面的平行、垂直关系 设平面外的直线a 和平面α、β，两个面α、β的法向量为12,n n ，则
1a//a n α?⊥ 1a a//n α⊥? 12////n n αβ? 12n n αβ⊥?⊥ 四、应用举例： 例1：如右下图,在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,已知AB= 4, AD =3, AA 1= 2. E 、F 分别是线段AB 、BC 上的点，且EB= FB=1. (1) 求二面角C —DE —C 1的正切值; (2) 求直线EC 1与FD 1所成的余弦值. 解：（I ）以A 为原点，1,,AB AD AA 分别为x 轴，y 轴,z 轴的正向建立空间直角坐标系， 则D(0,3,0)、D 1(0,3,2)、E(3,0,0)、F(4,1,0)、C 1(4,3,2) 于是，11(3,3,0),(1,3,2),(4,2,2)DE EC FD =-==- 设法向量(,,2)n x y =与平面C 1DE 垂直，则有 1330 1320n DE x y x y x y z n EC ⊥-=? ?==-++=⊥?? ???? ?? 11111(1,1,2), (0,0,2), cos 3 ||||1tan 2n AA CDE n AA C DE C n AA n AA θθθ∴=--=∴--?== = ?∴= 向量与平面垂直与所成的角为二面角的平面角 （II ）设EC 1与FD 1所成角为β，则 1111cos 14 |||| 1EC FD EC FD β?= = = ? 例2：（高考辽宁卷17）如图，已知四棱锥P-ABCD ，底面ABCD 是菱形，∠DAB=600，PD ⊥平面ABCD ，PD=AD ，点E 为AB 中点，点F 为PD 中点。 （1）证明平面PED ⊥平面PAB ； （2）求二面角P-AB-F 的平面角的余弦值 证明：（1）∵面ABCD 是菱形，∠DAB=600， ∴△ABD 是等边三角形，又E 是AB 中点，连结BD ∴∠EDB=300，∠BDC=600，∴∠EDC=900，
高中数学用空间向量解立体几何问题方法归纳
用空间向量解立体几何题型与方法 平行垂直问题基础知识 直线l 的方向向量为a ＝(a 1，b 1，c 1)．平面α，β的法向量u ＝(a 3，b 3，c 3)，v ＝(a 4， b 4， c 4) (1)线面平行：l ∥α?a ⊥u ?a ·u ＝0?a 1a 3＋b 1b 3＋c 1c 3＝0 (2)线面垂直：l ⊥α?a ∥u ?a ＝k u ?a 1＝ka 3，b 1＝kb 3，c 1＝kc 3 (3)面面平行：α∥β?u ∥v ?u ＝k v ?a 3＝ka 4，b 3＝kb 4，c 3＝kc 4 (4)面面垂直：α⊥β?u ⊥v ?u ·v ＝0?a 3a 4＋b 3b 4＋c 3c 4＝0 例1、如图所示，在底面是矩形的四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，E ，F 分别是PC ， PD 的中点，PA ＝AB ＝1，BC ＝2. (1)求证：EF ∥平面PAB ； (2)求证：平面PAD ⊥平面PDC . [证明] 以A 为原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标 系如图所示，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (1,2,0)，D (0,2,0)，P (0,0,1)，所以E ? ???? 12，1，12， F ? ????0，1，12，EF ＝? ?? ??－12，0，0，PB ＝(1,0，－1)，PD ＝(0,2，－1)，AP ＝(0,0,1)， AD ＝(0,2,0)，DC ＝(1,0,0)，AB ＝(1,0,0)． (1)因为EF ＝－12 AB ，所以EF ∥AB ，即EF ∥AB . 又AB ?平面PAB ，EF ?平面PAB ，所以EF ∥平面PAB . (2)因为AP ·DC ＝(0,0,1)·(1,0,0)＝0，AD ·DC ＝(0,2,0)·(1,0,0)＝0， 所以AP ⊥DC ，AD ⊥DC ，即AP ⊥DC ，AD ⊥DC . 又AP ∩AD ＝A ，AP ?平面PAD ，AD ?平面PAD ，所以DC ⊥平面PAD .因为DC ?平面
