初等数学研究期末复习题：选择题与填空题1

《初等数学研究》结课考试试卷（A 卷）共五大题2019－2020学年第二学期
数学与统计学院《初等数学研究》结课考试试卷（A 卷）年级＿＿＿专业＿＿＿＿＿＿班级＿学号＿＿＿＿姓名＿＿＿＿＿＿注：1、共120分钟，总分100分。

2、适用于17级数学与应用数学专业
题号
一二三四五总分签名得分
一
得分阅卷教师一、填空题：（每空2分，共18分）1.根据式和函数的分类办法，用无理、有理分、有理整、超越之一填空.cos 22+x -3是式，
112+-x x -5是式，6.sin2x+cosx 的最小正周期是
.二得分阅卷教师
二、判断题（正确的记√，错误的记×。

每小题2分,共18分）
1.（）(x-y)7(y-z)7(z-x)7是对称式.
2.（
）x 2y+y 2z+z 2x 不是轮换式.3.（）小数集与有理数集是有区别的.
装
订
线。

《初等数学研究》课程习题集一、单选题 1. 已知αβ、是方程22(2)(35)0x k x kk --+++=的两实数根，则221αβ++的最大值是（ ）..20.19.21.18A B C D2. 设()lg (101)2xxxb f x a x x a b -=+++4是偶函数，g ()=是奇函数，则的值为（ ）11..1.1..22A B C D --3. 设432()f x xa xb xc xd =++++，其中a b c d 、、、为常数，如果(1)1,f =[]1(2)2,(3)3,(4)(0)4f f f f ==+=则（ ）.5.3.7.11A B C D4. 若不等式2lo g 0m x x -<在区间（0，2）内恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．1116m ≤< B.1016m <≤ C.104m <<D.116m ≥5. 已知()()(,),(7)7f x y f x y x y R f +=∈=且， 则(49)f 等于（ ）A.7B. 14C.49D. 16. 设33,(5)2003(5)1,(4)2003(4)1,x y xx y y -+-=--+-=为实数，满足则().x y +=A.1B. 9C. -1D. -97. 实数x y 、满足关系式[][]21yx x =+--和[]1y x =+，则x y +的值一定是（ ）1012.1516.910.A B C D .与之间与之间与之间一个整数8. 对每一个自然数n, 抛物线22()(21)1,n yn n x n x x A =+-++与轴交于n B 两点，||n n A B 以表示该两点的距离，则1122||||A B A B ++ 20022002||A B +等于（ ）2001200220032004.....2002200320042003A B C D9. 已知多项式2(),4(1)1,1(2)5,(3)f x a x c f f f =--≤≤--≤≤则满足（）3825.4(3)15.1(3)20.(3)33f B f C f D f ≤≤-≤≤-≤≤-≤≤A .7(3)2610. 若2222,260,2x y x x yx yx -+=++实数满足则的最大值为( ）A.15B. 14C. 17D. 1611.设2250,320,a x x b x x +=-+=是一元二次方程的较大的一根是的较小的一根那么a b +的值是（ ）A.-4B. -3C. 1D. 312. 2320x x -+=方程的最小一个根的负倒数是（）A.1B. 12C. 2D. 413. 在,A B C G ∠022直角中，A =90为重心，且G A =2, 则G B +G C =( )A ． 25 B. 10 C. 20 D. 1514. 圆锥的侧面展开图的圆心角等于0120，该圆锥的侧面积与表面积之比值为（ ）A.23B.45C.12D.3415. ∠∠0A B -A C 在A B C 中,C =90,A 的平分线A D 交B C 于D ,则C D等于（ ）.tan .sin .co s .co t .A AB AC AD A16. 在A B C 中，A B A C =，,,D B C B E A C E ⊥为中点且于交A D P 于，已知3B P =， 1P E =，则P A =（ ）A B C D ....17.已知梯形A中，//,,A B CA B C DA DBC BD A B C B D D C S S∠⊥=梯形平分且则，3A B C D .：1. 2.5：1.2：1. 1.5：118. 已知A D是直角三角形A B C斜边上的高，43A B A C ==，,:()A B CA C DS S=则，5A B C D .：3.25：9.4：3.16：919. 已知直角三角形的周长为2+斜边上的中线为1,则这个三角形的面积为（ ）14A B C D 1..1..220. 若一个正三角形和一个正六边形的面积相等，则他们的边长之比为（ ）11113A B C D ....二、填空题1 21. 集合2{1,2,31},{1,3},{3}A mm B AB =--=-=，实数m 的值是 _______22. 若函数2()1f x x a x =-+能取得负值，则实数a 的取值范围为23. 设x y z 、、为实数,1()2x y z =++，则23x y z=24. 函数sin ()yA x b =ω+ϕ+在同一周期内有最高点（,312π），最底点（7,512π-），则它的解析式为25. 若函数[]2(2)1,()2x f xf -+∞的定义域为，则的定义域为26. 在等差数列{}n a 中，已知前20项的和n S =170，则691116a a a a +++ =27. 已知：1ta n 11ta n +α=-α，则sin 2α的值=28. 设11(0),()f x f x x x ⎛⎫=-<= ⎪⎝⎭则29. 2,120nn S n =数列的前项和那么这个数列的前项中所有奇数项的和是30. 2006!的末尾的“0”的个数是 31. 已知：12()()3f x f x x x+-=+，则()___________f x =32. 不等式20a x a b x b ++>的解集是{23}M x =<<，则_____,______a b ==33. 以三角形的三条中线长为边作三角形，则它的面积与原三角形面积之比为34. P 是正方形ABCD 内一点，PA=2, PB=1, PD=3, 则A P B ∠的度数为 35. 1E F GA EB F A BC A E B F G S=，是的中线，与交于，若，则A B CS=36. 在A B C 中，5B C M I A B C =，与分别是的重心与内心，若//M I B C则A B A C +的值为37. 在A B C 中，90C ∠=，I IE A B E ⊥为内心，于，若2B C =，A C =3， 则A E E B ⋅=38. 设直角三角形的斜边为C, 其内切圆的半径为r, 则内切圆的面积与三角形面积之比是39. 若等腰梯形的两条对角线互相垂直, 高为8cm ，则上、下底之和为40. 凸n 边形的n 个内角与某一个外角的和为1350°，则n 等于三、计算题41. 121212{}1,2,,n n n n n n n a a a a a a a a a ++++===++已知数列中，且121,n n a a ++≠求20031.n n a =∑42. 求函数332s in 3s inc o s 3c o s s in 2c o s 2x x x xy x x+=+的最小值。

初等数论期末试题及答案1. 选择题1.1 以下哪个数是质数？A. 10B. 17C. 26D. 35答案：B. 171.2 下列哪个数不是完全平方数？A. 16B. 25C. 36D. 49答案：C. 361.3 对于任意正整数n，下列哪个数一定是n的倍数？A. n^2B. n^3C. n+1D. n-1答案：A. n^22. 填空题2.1 求下列数的最大公约数：a) 24和36b) 45和75答案：a) 12b) 152.2 求下列数的最小公倍数：a) 6和9b) 12和18答案：a) 18b) 363. 计算题3.1 求1到100之间所有奇数的和。

解答：观察可知，1到100之间的奇数是等差数列，公差为2。

根据等差数列的求和公式，我们可以得到：(100 - 1) / 2 + 1 = 50 个奇数所以，奇数的和为：50 * (1 + 99) / 2 = 25003.2 求1到100之间所有能被3整除的数的和。

解答：观察可知，1到100之间能被3整除的数是等差数列，首项为3，公差为3。

根据等差数列的求和公式，我们可以得到：(99 - 3) / 3 + 1 = 33 个数所以，能被3整除的数的和为：33 * (3 + 99) / 2 = 16834. 证明题4.1 证明：如果一个数是平方数，那么它一定有奇数个正因数。

证明：设n是一个平方数，即n = m^2，其中m是一个正整数。

我们知道，一个数的因数总是成对出现的，即如果a是n的因数，那么n/a也是n的因数。

对于一个平方数n来说，它的因数可以分成两类：1) 当因数a小于等于m时，对应的商n/a必然大于等于m，因此这样的因数对有m对；2) 当因数a大于m时，对应的商n/a必然小于等于m，因此这样的因数对有(m - 1)对。

所以，在m > 1的情况下，平方数n有2m - 1个正因数，由于m是正整数，因此2m - 1一定是奇数。

而当m = 1时，平方数1只有一个因数，也满足奇数个正因数的条件。

期末考试卷(A)一、填空题（每空3分，共45分）1. 若a ︱b ，b ＜a ，则b= ；a ︱b ，b ︱a ，则a= 。

2. (36，108，204)= ；[30，45，84]= 。

3. 300 000的质因数标准分解为 ，它的所有正约数的个数是 ，所有正约数的和是 。

4. 。

5. 四位数b a 27能同时被2，3，5整除，则a= ；b= 。

6. 用m ϕ（)表示数0,1,2,1m -中与数m 互质的数的个数，则ϕ（20)= ，ϕ（120)= 。

7. 循环小数0.01001001000100010001……的循环节的长度h= 。

8. 已知费马（Fermat ）数为2F 21nn =+，n N ∈，则前四个费马质数是 。

9. 设今天是星期一，则102天后是星期 。

二、从0、3、5、7四个数中任意选三个，排成能同时被2、3、5 整除的三位数，求这样的三位数，且确定有多少个这样的三位数。

（7分）三、（16分）1、求4063的个位数。

2、 求1001006！约分后的分母。

四．解方程（16分）。

＝0 ；2. 525x ＋231y=42。

五．证明题、（16分） 1. 求证：77733337|(333777) 。

2．设p为质数，a为整数，且a2≡b2(mod p)，证明：a≡b(mod p)或a≡-b(mod p)。

中央广播电视大学2006—2007学年度第二学期“开放本科”期末考讧数学专业初等数论试题2007年7月一、单项选择题(每题4分，共24分)1．如果b，d，e，b，则( )．A．a＝b B．a＝-bC．a≥b D．a＝±b2．如果2|n, 15|n，则30( )n．A. 整除B．不整除c. 等于D．不一定3．大于10且小于30的素数有( )．A．4个B．5个C 6个D．7个4．模5的最小非负完全剩余系是( )．A．一2，一1，O，1，2 B．一5，一4，一3，一2，一1C．1，2，3，4，5 D．0，1，2，3，45．如果( )，则不定方程ax+by＝c 有解．A．(a，b)|c B．c|(a，b)C．a|c D．(a，b)|a6．整数637693能被( )整除．A．3 B．5C．7 D．9二、填空题(每题4分，共24分)1．x=[x]+ ·2．同余式111x≡75(mod321)有解，而且解的个数．3．在176与545之间有是17的倍数．4．如果ab>o，则[a,b](a,b)= ·5. a,b的最小公倍数是它们公倍数的·S．如果(a，b)＝1，那么(ab，a+b)= ．三、计算题(共32分)1．求(336，221，391)＝?2．求解不定方程4x+12y=8．3．解同余式12x+4≡0(mod 7)．4．解同余式x2≡2(mod 23)四、证明题(第1小题10分，第2小题10分，共20分)1．如果(a,b)＝1，则(a十b，a-b)＝l或2．2．证明相邻两个偶数的乘积是8的倍数．试卷代号：1077中央广播电视大学2006—2007学年度第二学期“开放本科”期末考试2007年7月一、单项选择题(每题4分，共24分)1．B 2．D 3．B4．A 5．D 6．A二、填空题(每题4分，共24分)1．{x}2．33．124．ab5．因数6．1三、计算题(每题8分，共32分)1．求(336，221，391)＝?解：(336，221，391)＝(336，(22l，391))…………………………—…………………(4分)＝(336，17)＝l ，．，．．，，，．，．．．．．，．．．·(4分)2．求解不定方程4x+12y＝8．解：因为(4，12)＝4 | 8，所以有解……………………………………………………(2分)化简x+3y＝2，则有x＝-1,y＝l ……………………………………………(4分)通解为x＝-1十3t,y＝1一t ……………………………………………………(2分)3．解同余式12x十4≡O(mod7)．解：因为(12，7)＝1|4，所以有解，而且解的个数为1 …………………………(2分)变形12x一7y＝一4………………………………………………………………(2分)简单计算x≡2(mod7)．…………………………………………………………(4分)4．解同余式x2≡2(mod23)解：因为，所以有解，而且解的个数为2……………………(4分)解分别为x≡5，18(mod23)………………………………………………………(4分)四、证明题(第14、题lo分，第2小题lo分，共20分)1．如果(a，b)＝1，则(a+b，a-b)＝1或2．证明设(a十b，a一b)=d，则d|(a十b)，d|(a一b)…………………………………(3分)所以d|(a十b)十(a一b)，d|2a．同理d|2b…………………………………………(4分)再(a，b)＝1，所以d|2．即d＝1或2……………………………………—………(3分)2．证明相邻两个偶数的乘积是8的倍数．(10分)证明设相邻两个偶数分别为2n，(2n+2)…………………………………………(2分)所以2n(2n十2)＝4n(n十1) …………………………………………………………<3分)而且两个连续整数的乘积是2的倍数………………………………………………(2分)即4n(n+1)是8的倍数．…………………………………………—……………(3分)初等数论一、判断题1、任意给出5个整数必有三个数之和能被整数3整除。

《初等数学研究》课程期末考试复习题（五）一、选择题1.2009sin 2π的值是 （ ） A . 1 B .1- C .12D .0 2.函数y=1+ln(x-1)(x>1)的反函数是 （ ）A.y=1x e +-1(x>0)B. y=1x e -+1(x>0)C.y=1x e +-1(x ∈R)D.y=1x e -+1 (x ∈R)3.log 510＋log 52.5＝ （ ）A.0B.1C. 2D.44.设25a b m ==，且112a b+=，则m = （ ）5.如果等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么127...a a a +++= （ ）A.14B.21C.28D.356.定义在R 上的偶函数()f x 对于任意的x R ∈都有(2)(2)f x f x +=--，且(3)2f -=-，则(2009)f 的值为 （ ）A .2B .2-C .3D .3-7．已知集合22{|log (1)0},{|0},2x S x x T x x-=+>=<+则S T ⋂等于 （ ） A ．（0，2） B ．（－1，2） C ．（－1，+∞） D ．（2，+∞） 8．若实数,x y 满足2045x y x y +-≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩则z y x =-的最小值为 （ ）A ．0B ．6-C ．8D ．19．已知函数()sin cos f x a x b x =-在4x π=时取最小值，函数3()4y f x π=-是（ ） A ．偶函数且图像关于点(,0)π对称 B ．偶函数且图像关于点3(,0)2π对称 C ．奇函数且图像关于点3(,0)2π对称 D ．奇函数且图像关于点(,0)π对称 10.等比数列{}n a 中，12a =，8a =4，函数()128()()()f x x x a x a x a =---， 则()'0f =（ ） A ．62 B. 92 C. 122 D. 152二、填空题11.在10()x a -的展开式中，7x 的系数是15，则实数a =___________.12.已知(3)4,'(3)1f f ==，则343()lim 3x x f x x →-=-_________ _. 13.函数213log (3)y x x =-的单调递减区间是________ _ __.14．设向量(sin ,2)a α=与向量(cos ,1)b α=共线，则tan 2α= .15.若0,0,2a b a b >>+=，则下列不等式对一切满足条件的,a b 恒成立的是 (写出所有正确命题的编号)。

初等数论模拟试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 以下哪个数是素数？A. 4B. 9C. 13D. 162. 一个数的最小素因子是它本身，这个数是什么？A. 0B. 1C. 质数D. 合数3. 欧拉函数φ(n)表示小于或等于n的正整数中与n互质的数的个数。

若n=12，φ(12)的值是多少？A. 4B. 6C. 8D. 124. 一个数如果只有1和它本身两个因数，这个数是什么？A. 0B. 1C. 质数D. 合数5. 以下哪个数是完全数？A. 6B. 12C. 28D. 4966. 一个数的约数个数是奇数，这个数是什么？A. 质数B. 合数C. 完全数D. 素数7. 模n的逆元是指一个整数a，使得a×x ≡ 1 (mod n)，以下哪个数在模5下没有逆元？A. 1B. 2C. 3D. 48. 费马小定理指出，如果p是一个质数，那么对于任意整数a，a^(p-1) ≡ 1 (mod p)。

以下哪个选项是错误的？A. a^4 ≡ 1 (mod 5)B. a^3 ≡ 1 (mod 7)C. a^2 ≡ 1 (mod 4)D. a^2 ≡ 1 (mod 3)9. 哥德巴赫猜想是指每一个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和。

以下哪个数不能被表示为两个质数之和？A. 4B. 6C. 8D. 1010. 以下哪个数是梅森素数？A. 3B. 7C. 2^7 - 1D. 2^3 - 1二、填空题（每题2分，共20分）11. 素数是指只有________和它本身两个因数的自然数。

12. 如果a和b互质，那么它们的最大公约数是________。

13. 一个数的约数个数是偶数，这个数至少有________个约数。

14. 欧拉函数φ(1)的值是________。

15. 模n的剩余类集合记为Z/nZ，它包含________个元素。

16. 费马小定理中，如果a和p互质，那么a^(p-1) ≡ ________ (mod p)。

初等数论期末考试模拟试卷（含答案）一、填空题（每题5分，共25分）1. 若两个正整数a和b的最大公约数为1，则称a和b互质。

若a和b互质，则a+b与a-b也互质。

（）2. 设m和n是正整数，且m、n互质。

若存在正整数k，使得km+1与kn+1互质，则k的最小值为（）。

答案：13. 已知p和q是不同的质数，且p+q=17，则p^2+q^2的最小值为（）。

答案：974. 设F(n)表示斐波那契数列的第n项，且F(n+1)=F(n)+F(n-1)，F(1)=1，F(2)=1。

若F(n)能被3整除，则n的最小值为（）。

答案：85. 已知正整数a、b、c满足a^2+b^2=c^2，则称a、b、c 为勾股数。

勾股数中，a、b、c都是奇数的三元组称为奇素勾股数。

已知最小的奇素勾股数是(3,4,5)，则第二小的奇素勾股数是（）。

答案：(15,8,17)二、选择题（每题5分，共25分）6. 以下关于最大公约数和最小公倍数的说法，错误的是（）。

A. 两个正整数的最大公约数是它们的公共因子中最大的一个B. 两个正整数的最大公约数等于它们的乘积除以最小公倍数C. 两个正整数的最大公约数和最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积D. 两个正整数的最大公约数和最小公倍数一定互质答案：D7. 设p是质数，且p>2，则以下说法正确的是（）。

A. p的平方能被3整除B. p的立方能被3整除C. p的平方加1能被3整除D. p的平方减1能被3整除答案：D8. 以下关于斐波那契数列的说法，错误的是（）。

A. 斐波那契数列中的任意两个相邻项互质B. 斐波那契数列中的任意两个非相邻项互质C. 斐波那契数列中的任意三个连续项构成勾股数D. 斐波那契数列中的任意两个相邻项之比越来越接近黄金比例答案：C9. 设a、b、c是勾股数，且a是最小的质数。

以下说法正确的是（）。

A. b和c一定互质B. b和c一定不互质C. b和c中至少有一个是质数D. b和c中至少有一个不是质数答案：D10. 以下关于同余的说法，错误的是（）。

《初等数论》期期末复习资料一、单项选择题1、如果n 2，n 15，则30（ ）n .A 整除B 不整除C 等于D 不一定 2、大于10且小于30的素数有（ ）. A 4个 B 5个 C 6个 D 7个 3、模5的最小非负完全剩余系是( ).A -2,-1,0,1,2B -5,-4,-3,-2,-1C 1,2,3,4,5D 0,1,2,3,4 4、整数637693能被( )整除. A 3 B 5 C 7 D 95、不定方程210231525=+y x （ ）.A 有解B 无解C 有正数解D 有负数解 6、 求525与231的最大公因子（ ） A 、63 B 、21 C 、42 D 、12 7、同余式)593(m od 4382≡x （ ）.A 有解B 无解C 无法确定D 有无限个解 8、不定方程210231525=+y x （ ）.A 有解B 无解C 有正数解D 有负数解 9、公因数是最大公因数的（ ）. A 因数 B 倍数 C 相等 D 不确定 10、整数637693能被( )整除. A 3 B 5 C 7 D 911、 求525与231的最大公因子（ ） A 、63 B 、21 C 、42 D 、12 12、同余式)593(m od 4382≡x （ ）.A 有解B 无解C 无法确定D 有无限个解13、不定方程210231525=+y x （ ）.A 有解B 无解C 有正数解D 有负数解 14、公因数是最大公因数的（ ）. A 因数 B 倍数 C 相等 D 不确定 15、整数637693能被( )整除. A 3 B 5 C 7 D 9 16、在整数中正素数的个数（ ）.A 有1个B 有限多C 无限多D 不一定 17、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则 A )(mod m bc ac ≡ Bb a =C ac T )(m od m bcD b a ≠19、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则 A )(mod m bc ac ≡ B b a =C ac T )(m od m bcD b a ≠20、=),0(b （ ）. A b Bb -C bD 021、如果1),(=b a ，则),(b a ab +=（ ）. A a BbC 1D b a +22、小于30的素数的个数（ ）. A 10 B 9 C 8 D 7 三、计算题1、 求50!中2的最高次幂.2、令 =-1859， =1573，求( )=?3、 求525与231的最大公因子?4、解同余式)321(m od 75111≡x .5、求[525,231]=?6、求解不定方程18116=-y x .7、 解不定方程525x+231y=42.8、 求7x+4y=100的一切整数解. 9、 求-15x+25y=-100的一切整数解. 10、 求9x+24y-5z=1000的一切整数解。

初等数论试卷(B)一，选择题（满分15分，每题3分）1，下列不正确的是（ ）A 设m ∈+N ，a ,b ∈Z ,若)(mod m b a ≡ ，则)(mod m a b ≡。

B 设m ∈+N ，a ,b ,c ∈Z ,若)(mod m c b a ≡+,则)(mod m b c a -≡.C 设m ∈+N ，,,11b a 22,b a ∈Z ，,若)(m od 11m b a ≡，)(m od 22m b a ≡，则)(mo d 2121m b b a a ≡。

D 设m ∈+N ，a ,b ∈Z ,若)(m od 22m b a ≡ ，则)(mod m b a ≡。

2，下列哪一个为模12互质的剩余类（ ）A [2]，B [5]，C [6]，D [3]。

3，下列哪一个有理数不可以化为有限小数（ ）A 203，B 607，C 51，D 10019。

4，同余方程)5(m od 022≡+x 的解为（ ）A )5(mod 0≡x ，B )5(mod 4≡x ，C )5(mod 2≡x ，D 此方程无解。

5，下列哪一个同余方程组无解（ ）A ⎪⎩⎪⎨⎧≡≡)10(mod 7)25(mod 9x x ，B ⎪⎩⎪⎨⎧≡≡)6(mod 1)9(mod 4x xC ⎪⎩⎪⎨⎧≡≡)45(mod 2)25(mod 17x x ，D ⎪⎩⎪⎨⎧≡≡)7(mod 26)14(mod 19x x 。

二，填空题（满分10分，每题2分）1，当m = 时，)(mod 1132m ≡和)(mod 1117m ≡同时成立。

2，设m ∈+N ，则 为模m 的非负最小完全剩余系。

3，=)16(ϕ 。

4，写出模8的一个简化剩余系： 。

5，余式)5(mod a x ≡等价于等式： 。

三，判断题（满分10分，每题2分 ）1，)(m ϕ为欧拉函数，则1)(1-≤≤m m ϕ。

（ ）2， 设m ∈+N ，a ∈Z ，（a,m ）=1，若整数集合{})(21,......,,m a a a ϕ为模m 的一个简化剩余系，则{})(21,......,,m aa aa aa ϕ也为模m 的一个简化剩余系。