1.1 不等关系

§1.1 不等关系学习目标：1.理解不等式的意义.2.能根据条件列出不等式.3.通过列不等式，训练学生的分析判断能力和逻辑推理能力.4.通过用不等式解决实际问题，使学生认识数学与人类生活的密切联系以及对人类历史发展的作用.并以此激发学生学习数学的信心和兴趣.学习重点：用不等关系解决实际问题.学习难点：正确理解题意列出不等式.预习作业：请同学们预习作业教材P2-4的内容，在学习的过程中请弄清以下几个问题：1.不等式的概念：一般地，用符号“＜”（或≤），“＞”（或≥）连接的式子叫做______________ 2.长度是L的绳子围成一个面积不小于100的圆，绳长L应满足的关系式为_________________例1、用不等式表示（1）a是正数；（2）a是负数；（3）a与6的和小于5；（4）x与2的差小于－1；（5）x的4倍大于7；（6）y的一半小于3.变式训练：1、用适当的符号表示下列关系：(1) a是非负数；（2）直角三角形斜边c比它的两直角边a、b都长；（3） X与17的和比它的5倍小。

2.（1）当x=2时，不等式x+3＞4成立吗？（2）当x=1.5时，成立吗？（3）当x=－1呢？活动与探究：a,b两个实数在数轴上的对应点如图1－2所示：图1－2用“＜”或“＞”号填空：（1）a__________b;（2）|a|__________|b|;（3）a+b__________0;（4）a－b__________0;（5）a+b__________a－b;（6）ab__________a拓展训练：1.某校两名教师带若干名学生去旅游,联系了两家标价相同的旅游公司,经洽谈后,甲公司优惠条件是1名教师全额收费,其余7.5折收费; 乙公司的优惠条件是全部师生8折收费.试问当学生人数超过多少人时,其余7.5折收费; 甲旅游公司比乙旅游公司更优惠? (只列关系式即可)。

课题：§1.1 不等关系【学习目标】1．理解实数范围内代数式的不等关系，并会用不等式进行表示.2. 能根据条件列出不等关系式.【学习重难点】重点：理解不等式的意义，能正确列出不等式.难点：准确应用不等号.【自学探究】用两根长度均为l cm的绳子，分别围成一个正方形和圆.（1）如果要使正方形的面积不大于25㎝²，那么绳长l应该满足怎样的关系式？（2）如果要使圆的面积大于100㎝²，那么绳长l应满足怎样的关系式？（3）当l=8时，正方形和圆的面积哪个大？l=12呢？（4）由（3）你能发现什么？改变l的取值再试一试.观察上述问题的关系式，他们有什么共同特点？【师生合作】1不等式的概念一般地，用符号“＜”（或“≤”）,“＞”（“或≥”）及“≠”连接的式子叫不等式.2常见不等号的读法和写法3典型例题：例1 .下列式子中，不等式的有哪些?(5) m -2=1 (6) 5121≥+b a (7)︒>∠30A (8) 532≥+m m例2.请用适当的符号表示下列关系：（1）x 的一半小于－1； （2）y 与4的和大于0.5；（3）x 与17的和比它的5倍小；（4）直角三角形斜边c 比它的两直角边a ，b 都长；（5）y 的3倍与8的和比x 的5倍大；（6）a 是负数； （7）x 2是非负数。

（8）老师的年龄比你年龄的2倍还大；（9）地球上海洋面积大于陆地面积；（10）铅球的质量比篮球的质量大；例3.小王4月份计划生产零件182个，前9天每天平均生产5个零件。

后来改进技术，提前2天并且超额完成任务，若小王9天后平均每天至少生产零件x 个，试写出x 所满足的关系式。

例4.通过测量一棵树的树围（树干的周长）可以计算出它的树龄。

通常规定以树干离地面1.5m 的地方作为测量部位。

某棵树栽种时的树围为5cm ，以后树围每年增加约3cm ，这棵树至少生长多少年其树围才能超过2.4m ？（只列关系式）【随堂练习】 1. 课本P5知识技能1、2.(做在书上)2.用适当的符号表示下列关系.(注意关键词)（1）a 是非负数，b 是非正数.（2）a 的21与3的和小于1.（3）a与b两数和的平方不小于3.（4）a与b两数的平方和不大于5.3.下列由题意列出的不等关系中, 错误的是( )A.a不是是负数可表示为a>0B. x不大于3可表示为x≤3C. m与4的差是非负数,可表示为x-4≥0D.代数式 x2+3必大于3x-7,可表示为x2+3>3x-74.用不等式表示“a的5倍与b的和不大于8”为 _______.5.a是个非负数可表示为_______.6.某校规定期中考试成绩的40%和期末考试成绩的60%的和作为学生成绩总成绩.该校骆红同学期中数学靠了85分,她希望自己学期总成绩不低于90分,她在期末考试中数学至少应得多少分? (只列关系式)7.某次数学测验,共有16道选择题,评分方法是:答对一题得6分,不大或答错一题扣2分,某同学要想得分为60分以上,他至少应答对多少道题?(只列关系式)8.一列火车有x节座车厢，每节车厢有116个座位，在春运期间，这列火车上有m人，其中有一些没有座位，请用不等式表示上述关系.9.某校两名教师带若干名学生去旅游,联系了两家标价相同的旅游公司,经洽谈后,甲公司优惠条件是1名教师全额收费,其余7.5折收费; 乙公司的优惠条件是全部师生8折收费.试问当学生人数超过多少人时, 甲旅游公司比乙旅游公司更优惠? (只列关系式即可)【小结】【中考链接】1. (2006.哈尔滨)已知一个等腰三角形的底边长为5,这个等腰三角形的腰长为x,则x的取值范围是( )A. 205x << B.25≥x C.25>x D.100<<x2.(2006.济南)亮亮准备用自己节省的零花钱买一台英语复读机,现在他已存有45元,计划从现在起以后每月节省30元,直到他至少有300元.设x 个月后, 他至少有300元,则可以用于计算所需要的月数x 的不等式是( )A.3004530≥-xB. 3004530≥+xC. 3004530≤-xD. 3004530≤+x【延伸拓展】某市移动通讯公司开设了两种通讯业务，A 类用户：先缴50元月租费，然后每通话1分钟话费0.4元；B 类用户：使用者不缴月租费，每通话1分钟话费0.6元（这里均指市内通话）。

1.1 不等关系●教学目标（一）教学知识点1.理解不等式的意义.2.能根据条件列出不等式.（二）能力训练要求通过列不等式，训练学生的分析判断能力和逻辑推理能力.（三）情感与价值观要求通过用不等式解决实际问题，使学生认识数学与人类生活的密切联系以及对人类历史发展的作用.并以此激发学生学习数学的信心和兴趣.●教学重点用不等关系解决实际问题.●教学难点正确理解题意列出不等式.●教学方法讨论探索法.●教具准备投影片两张第一张（记作§1.1 A）第二张（记作§1.1 B）●教学过程Ⅰ.创设问题情境，引入新课［师］我们学过等式，知道利用等式可以解决许多问题.同时，我们也知道在现实生活中还存在许多不等关系，利用不等关系同样可以解决实际问题.本节课我们就来了解不等关系，以及不等关系的应用.Ⅱ.新课讲授［师］既然不等关系在现实生活中并不少见，大家肯定接触过不少，能举出例子吗？［生］可以.比如我的身高比她的身高高5公分.用天平称重量时，两个托盘不平衡等.［师］很好.那么，如何用式子表示不等关系呢？请看例题. 投影片（§1.1 A ）图1－1）如果要使正方形的面积不大于25 cm 2， 那么绳长l 应满足怎样的关系式？另一个是了解“不大于”“大于”等词的含意.［生］正方形的面积等于边长的平方. 圆的面积是πR 2，其中R 是圆的半径.两数比较有大于、等于、小于三种情况，“不大于”就是等于或小于. ［师］下面请大家互相讨论，按照题中的要求进行解答.［生］（1）因为绳长l 为正方形的周长，所以正方形的边长为4l，得面积为（4l ）2，要使正方形的面积不大于25 cm 2，就是（4l ）2≤25.即162l ≤25. （2）因为圆的周长为l ，所以圆的半径为R=π2l. 要使圆的面积不小于100 cm 2，就是π·（π2l ）2≥100，即π42l ≥100（3）当l=8时，正方形的面积为1682=4（cm 2）.圆的面积为π482≈5.1（cm 2）.∵4＜5.1∴此时圆的面积大.当l=12时，正方形的面积为16122=9（cm 2）.圆的面积为π4122≈11.5（cm 2）此时还是圆的面积大.（4）我们可以猜想，用长度均为l cm 的两根绳子分别围成一个正方形和圆，无论l 取何值，圆的面积总大于正方形的面积，即π42l ＞162l .因为分子都是l 2相等、分母4π＜16，根据分数的大小比较，分子相同的分数，分母大的反而小，因此不论l 取何值，都有π42l ＞162l .做一做投影片（§1.1 B ）［生］设这棵树至少生长x 年其树围才能超过2.4 m ，得 3x+5＞240 议一议观察由上述问题得到的关系式，它们有什么共同特点？［生］由162l ≤25π42l >100 π42l ＞162l 3x+5＞240得，这些关系式都是用不等号连接的式子.由此可知：一般地，用符号“＜”（或“≤”）,“＞”（或“≥”）连接的式子叫做不等式（inequality ）.例题： 用不等式表示 （1）a 是正数； （2）a 是负数； （3）a 与6的和小于5； （4）x 与2的差小于－1； （5）x 的4倍大于7； （6）y 的一半小于3.［生］解：（1）a ＞0;（2）a ＜0; （3）a+6＜5;（4）x －2＜－1; （5）4x ＞7;（6）21y ＜3. Ⅲ.随堂练习 2.解：（1）a ≥0; （2）c ＞a 且c ＞b ； （3）x+17＜5x. 补充练习当x=2时，不等式x+3＞4成立吗？ 当x=1.5时，成立吗？ 当x=－1呢？解：当x=2时，x+3=2+3=5＞4成立， 当x=1.5时，x+3=1.5+3=4.5＞4成立； 当x=－1时，x+3=－1+3=2＞4,不成立. Ⅳ.课时小结能根据题意列出不等式，特别要注意“不大于”，“不小于”等词语的理解. 通过不等关系的式子归纳出不等式的概念. Ⅴ.课后作业 习题1.11.解：（1）3x+8＞5x; （2）x 2≥0;（3）设海洋面积为S海洋，陆地面积为S陆地，则有S海洋＞S陆地.（4）设老师的年龄为x，你的年龄为y,则有x＞2y.（5）m铅球＞m篮球.2.解：满足条件的数组有：1，3；1，5；1，7；3，5.3.解：所需甲种原料的质量为x千克，则所需乙种原料的质量为（10－x）千克，得600x+100（10－x）≥4200.4.解：8x+4（10－x）≤72.Ⅵ.活动与探究a,b两个实数在数轴上的对应点如图1－2所示：图1－2用“＜”或“＞”号填空：（1）a__________b;（2）|a|__________|b|;（3）a+b__________0;（4）a－b__________0;（5）a+b__________a－b;（6）ab__________a.解：由图可知：a＞0,b＜0,|a|＜|b|.（1）a＞b;（2）|a|＜|b|;（3）a+b＜0;（4）a－b＞0;（5）a+b＜a－b;（6）ab＜a.●板书设计参考练习 用不等式表示： （1）x 的32与5的差小于1； （2）x 与6的和大于9； （3）8与y 的2倍的和是正数； （4）a 的3倍与7的差是负数； （5）x 的4倍大于x 的3倍与7的差； （6）x 的54与1的和小于－2； （7）x 与8的差的32不大于0. 参考答案： 解：（1）32x －5＜1; （2）x+6＞9; （3）8+2y ＞0; （4）3a －7＜0; （5）4x ＞3x －7; （6）54x+1＜－2; （7）32（x －8）≤0.§1.1 不等关系教学目的和要求： 教学重点和难点： 重点： 难点： 快速反应：1. 表示不等式关系的符号有哪些?2. 用适当的符号表示下列关系:（1）x 的5倍与3的差比x 的4倍大； （2）a 的41的相反数是非负数； （3）x 的3倍不小于y 的8倍。

不等关系说课稿引言概述：不等关系是数学中的一个重要概念，它描述了两个数之间的大小关系。

在数学的学习过程中，深入理解不等关系对于解决问题和推理判断都具有重要意义。

本文将从不等关系的定义、性质、应用等方面进行详细阐述。

一、不等关系的定义1.1 不等关系的基本概念不等关系是指两个数之间的大小关系，可以分为大于、小于、大于等于、小于等于四种情况。

用符号表示时，大于用 ">"，小于用 "<"，大于等于用"≥"，小于等于用"≤"。

1.2 不等关系的传递性不等关系具有传递性，即如果a>b，b>c，则有a>c。

这个性质在解决问题时非常实用，可以简化推理过程。

1.3 不等关系的对称性不等关系不具有对称性，即a>b不一定意味着b<a。

这是因为不等关系是基于数的大小进行比较，而不是数的本身。

二、不等关系的性质2.1 不等关系的反身性不等关系具有反身性，即对于任意的数a，都有a≥a或者a≤a。

2.2 不等关系的传递闭包不等关系的传递闭包是指将不等关系中的传递性扩展到所有可能的数对上。

通过传递闭包，我们可以得到更多的不等关系。

2.3 不等关系的等价关系不等关系可以看做是等价关系的一种特殊情况。

等价关系具有自反性、对称性和传递性，而不等关系只具有自反性和传递性。

三、不等关系的应用3.1 不等关系在数学推理中的应用不等关系在数学推理中起到了重要的作用，可以匡助我们解决各种问题。

例如，在证明不等式时，我们可以利用不等关系的传递性和性质来进行推导。

3.2 不等关系在实际问题中的应用不等关系在实际问题中也有广泛的应用。

例如，在经济学中，不等关系可以描述不同商品的价格大小关系；在物理学中，不等关系可以描述物体的大小和分量关系等。

3.3 不等关系在计算机科学中的应用不等关系在计算机科学中也有重要的应用。

例如，在排序算法中，我们可以利用不等关系对元素进行比较和排序；在数据库查询中，不等关系可以用于筛选满足特定条件的数据。