常微分方程第三版课后答案

常微分方程2.1

1.xydxdy2,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.

解：对原式进行变量分离得

。故它的特解为代入得把即两边同时积分得：eexxycyxxcycyxdxdyy22,11,0,ln,212

,0)1(.22dyxdxy并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.

解：对原式进行变量分离得：

。故特解是时，代入式子得。当时显然也是原方程的解当即时，两边同时积分得；当xycyxyxcycyxydydxxy1ln11,11,001ln1,11ln0,1112

3 yxydxdyxy321

解：原式可化为：

xxyxxyxyxyyxyccccxdxxdyyyxydxdy2222222232232)1(1)1)(1(),0(ln1ln21ln1ln2111,0111）故原方程的解为（即两边积分得故分离变量得显然

.0;0;ln,ln,lnln0110000)1()1(4xycyxxycyxxycyyxxdyyydxxxxyxyxdyyydxx故原方程的解为即两边积分时，变量分离是方程的解，当或解：由： 10ln1lnln1ln1,0ln0)ln(ln:931:8.coslnsinln07lnsgnarcsinlnsgnarcsin1sgn11,)1(,,,6ln)1ln(21111,11,,,0)()(:53322222222222cdxdydxdyxycyuduudxxxyudxxydyxyydxdyyxxcdyyyyydxdycxytgxdxctgydyctgxdytgydxcxxxycxxudxxxduxdxdudxduxudxdyuxyuxyydxdyxcxarctgudxxduuuudxduxudxduxudxdyuxyuxyxyxydxdydxxydyxyeeeeeeeexyuuxyxuuxyxyyxxx两边积分解：变量分离：。代回原变量得：则有：令解：方程可变为：解：变量分离，得两边积分得：解：变量分离，得：：也是方程的解。另外，代回原来变量，得两边积分得：分离变量得：则原方程化为：解：令：。两边积分得：变量分离，得：则令解： cxyxarctgcxarctgtdxdtdxdtdxdtdxdytyxdxdycdxdydxdyttyxeeeeexyxyyx)(,11111,.11222)(代回变量得：两边积分变量分离得：原方程可变为：则解：令两边积分得：解：变量分离，

12．2)(1yxdxdy

解

cxyxarctgyxcxarctgttdxdttttdxdtdxdtdxdytyx)(1111222，代回变量，两边积分变量分离，原方程可变为，则令

变量分离，则方程可化为：令则有令的解为解：方程组UUdXdUXUXYYXYXdXdYYyXxyxyxyxyxyxdxdyU21222'22,31,3131,31;012,0121212.132 .7)5(72177217)7(,71,1,525,14)5(22cxyxcxtdxdttttdxdtdxdtdxdytyxyxyxdxdyyxt代回变量两边积分变量分离原方程化为：则解：令

15．18)14()1(22xyyxdxdy

原方程的解。，是，两边积分得分离变量，，所以求导得，则关于令解：方程化为cxyxarctgdxduuudxdudxdudxdyxuyxyxxyyyxxdxdy6)383232(941494141412)14(1818161222222

16．2252622yxxyxydxdy

解：，则原方程化为，，令uyxxyxydxdyxxyyxydxdy32322332322232]2)[(32(2)(

126326322222xuxuxxuxudxdu ，这是齐次方程，令cxxyxycxyxycxxyxycxzzdxxdzdzzzzzxyxyzzzzzzzdxdzxdxdzxzzzdxdzxzdxduzxu15337333533735372233222)2()3(023)2()3,)2()3112062312306)1.(..........1261263的解为时。故原方程包含在通解中当或，又因为即（，两边积分的（时，变量分离当是方程的解。或）方程的解。即是（或，得当，，，，所以，则 17. yyyxxxyxdxdy3232332

解：原方程化为123132;;;;;)123()132(2222222222yxyxdxdyyxyyxxdxdy

令)1.......(123132;;;;;;;;;;;;,22uvuvdvduvxuy则

方程组，，，）；令，的解为（111101230132uYvZuvuv

则有zyzydzdyyzyz23321023032）化为，，，，从而方程（

令)2.(..........232223322，，，，，所以，，则有ttdzdtzttdzdtztdzdtztdzdyzyt

当是原方程的解或的解。得，是方程时，，即222222)2(1022xyxytt当cxyxydzzdtttt5222222)2(12223022两边积分的时，，分离变量得

另外

cxyxyxyxy522222222)2(2原方程的解为，包含在其通解中，故，或 ，这也就是方程的解。，两边积分得分离变量得，则原方程化为令解）（并由此求解下列方程可化为变量分离方程，经变换证明方程cyxxydxxduuuuuxuuuuxyxyxdxdyyxxdydxyxyuxyxyfdxdyyx4ln142241)22(1dxduuxy(2) 0.x,c2故原方程的解为原也包含在此通解中。0y,c2即,c2两边同时积分得：dxx12udu变量分离得：),(2ux1dxdu则方程化为u,xy令1dxdyyx时，方程化为0sxy是原方程的解，当0y或0x当:(1)解程。故此方程为此方程为变u)(uf(u)x11)(f(u)xu1)y(f(u)dxduf(u),1dxduy1得：ydxdudxdyx所以,dxdydxdyxy求导导得x关于u,xy证明：因为22).2()1(.1)(18.222222222222224223322222222xyxyxyxyxuuuuyx

19. 已知f(x)xxfxdtxf0)(,0,1)(的一般表达式试求函数.

解：设f(x)=y, 则原方程化为xydtxf01)( 两边求导得'12yyy

cxyycxdyydxdxdyy21;;;;;121;;;;;;;;;;;;1;;;;;;;;;;233所以两边积分得代入把cxy21xydtxf01)(

xyccxccxcxdtctx21,02)2(;;;;;;;;;;2210所以得

20.求具有性质 x(t+s)=)()(1)()(sxtxsxtx的函数x(t),已知x’(0)存在。

解：令t=s=0 x(0)=)0(1)0()0(xxx=)0()0(1)0(2xxx 若x(0)0 得x2=-1矛盾。

所以x(0)=0. x’(t)=)(1)(0(')()(1[))(1)((lim)()(lim22txxtxtxttxtxttxttx)

))(1)(0(')(2txxdttdx dtxtxtdx)0(')(1)(2 两边积分得arctg

x(t)=x’(0)t+c 所以x(t)=tg[x’(0)t+c] 当t=0时 x(0)=0 故c=0 所以

x(t)=tg[x’(0)t]

习题2.2

求下列方程的解

1．dxdy=xysin

解： y=e dx(xsinedxcdx)

=ex[-21ex(xxcossin)+c]

=c ex-21 (xxcossin)是原方程的解。

2．dtdx+3x=et2

解：原方程可化为：dtdx=-3x+et2

所以：x=edt3 (et2 edt3cdt)

=et3 (51et5+c)

=c et3+51et2 是原方程的解。

3．dtds=-stcos+21t2sin

解：s=etdtcos(t2sin21edtdt3c )

=etsin(cdttettsincossin)

= etsin(cetettsinsinsin)

=1sinsintcet 是原方程的解。

4．dxdynxxeynx ， n为常数.

解：原方程可化为：dxdynxxeynx

)(cdxexeeydxxnnxdxxn

)(cexxn 是原方程的解.

5．dxdy+1212yxx=0

解：原方程可化为：dxdy=-1212yxx

dxxxey212(cdxedxxx221)

)21(ln2xe)(1ln2cdxexx

=)1(12xcex 是原方程的解.

6． dxdy234xyxx

解：dxdy234xyxx

=23yx+xy

令xyu 则 uxy dxdy=udxdux

因此：dxduxu=2ux

21udxdu

dxduu2

cxu331

cxxu33 （*）

将xyu带入 （*）中 得：3433cxxy是原方程的解.