(完整版)常微分方程第三版课后习题答案
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习题 1.2
1． dy =2xy, 并满足初始条件： x=0,y=1 的特解。 dx
2 特解为 y= e x .
2
2. y 2 dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件： x=0,y=1 的特解。
2 dy 1 解： y dx=-(x+1)dy 2 dy=- dx y x 1
1
两边积分 : - =-ln|x+1|+ln|c|
y
特解： y=
ln |c(x 1)|
2 3． dy 1 y2 3 dx
1 y2 dy=
dy=
4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0
1 y x 1 解：原方程为： dy=- dx yx
两边积分： ln|xy|+x-y=c 另外 x=0,y=0 也是原方程的解。
5．( y+x) dy+(x-y)dx=0
yx 解： 原方程为： dy = 1 y2 dx
y
两边积分： x(1+x 2 )(1+y 2 )= 2 cx 解： dy =2xdx
y 2
两边积分有： ln|y|=x 2 +c
x2 c y=e +e =cex 另外 y=0 也是原方程的解， c=0 时， y=0
原方程的通解为 y= cex 2 ,x=0 y=1 时 c=1
y= ln |c(x 1)|
另外 y=0,x=-1 也是原方程的解 x=0,y=1 时 c=e
3 xy x y
1
3 dx x 解：原方程为：
dx x y
u 1 1
- 2 du= dx
u2 1 x
22
ln(u +1)x =c-2arctgu
即 ln(y 2 +x 2 )=c-2arctg y2 .
x2
dy du
=u+ x dx dx
1 du=sgnx dx x
y arcsin =sgnx ln|x|+c x 7. tgydx-ctgxdy=0两边积分：
1
siny=
ccosx cosx
所以原方程的通解为 sinycosx=c.
y2 3x
dy e
8 + =0
dx y
解：原方程为： dy =
dx ey y 3x e
3x y2
2 e -3e =c.
9.x(lnx-lny)dy-ydx=0
解：原方程为： dy= y ln y 令y =u 则 dy =u+x du
dx dx 代入有：
6. x dy
dx -y+ x2 y2 =0
解：原方程为： dy=y+|x|
dx x x 1 ( y)
x
则令 y =u x
1
1 u2
解 : 原方程为： dy dx
tgy ctgx ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c|
c
另外 y=0 也是原方程的解，而 c=0 时， y=0. dx x x 14:
du u+ x =ulnu dx ln(lnu-1)=-ln|cx|
y
1+ln =cy. x
10. dy =ex y dx
解：原方程为：
e y =ce x
du 2
-1=u
dx
1
2 du=dx
1 u2
arctgu=x+c arctg(x+y)=x+c
解：令 x+y=u, 则 dy = du -1 dx dx du 1 -1=
dx -1= u2 u-arctgu=x+c y-arctg(x+y)=c.
13. dy = 2x y 1 dx x 2y 1
解: 原方程为： ( x-2y+1 ) dy=(2x-y+1)dx xdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0 22
dxy-d(y -y)-dx +x=c
22
xy-y +y-x -x=c
dy x y 5
dx x y 2
解：原方程为： (x-y-2 ) dy=(x-y+5)dx xdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0令 y =u ,则 dy
x dx du
=u+ x dx
12. dy = 1
dx = (x y) 2 dy x y =e e dx
11 dy 2
ddyx =(x+y)
解：令 x+y=u, 则 dy du = -1 dx dx
1 2 1 2 dxy-d( y +2y)-d( x +5x)=0
22
22
y +4y+x +10x-2xy=c.
15: dy =(x+1) 2 +(4y+1) 2 +8xy 1 dx
解： dy 2
原方程为： =( x+4y ) +3
dx
令 x+4y=u 则 dy= 1 du- 1
dx 4 dx 4
1 du 1 2
- =u +3 4 dx 4
du 2
=4 u 2 +13 3
u= 2 tg(6x+c)-1
2
tg(6x+c)= (x+4y+1). 3
16: 证明方程 x dy =f(xy), 经变换 xy=u 可化为变量分离方程，并由此求下列方程： y dx
22
1) y(1+x y )dx=xdy
x dy 2 x 2 y 2 y dx 2-x 2 y2
证明： 令 xy=u, 则 x dy +y= du dx dx 则dy=1 du- u2，有：
dx x dx x2 x du =f(u)+1 u dx
11 du= dx u( f(u) 1) x
所以原方程可化为变量分离方程。
dy 1 du u
1) 令 xy=u 则 = - 2 (1)
dx x dx x2
原方程可化为： dy = y [1+( xy ) 2 ] (2)
dx x
1 du u u 2
将 1 代入 2 式有： - 2 = (1+u 2 )
x dx x2 x
u= u2 2 +cx
17.求一曲线，使它的切线坐标轴间的部分初切点分成相等的部分。
解：设( x +y )为所求曲线上任意一点，则切线方程为： y=y ' (x- x )+ y则与 x 轴， y 轴交点分别为：
4
19.证明曲线上的切线的斜率与切点的横坐标成正比的曲线是抛物线。 证明：设 (x,y) 为所求曲线上的任意一点，则 y'=kx
则： y=kx +c 即为所求。
习题 2.1
1. dy 2 xy ,并求满足初始条件： x=0,y=1 的特解 . dx
解：对原式进行变量分离得
1
1 dy 2xdx , 两边同时积分得： y
2
c 1, 故它的特解为 y ex 。
2
2. y dx (x 1)dy 0, 并求满足初始条件： x=0,y=1 的特解 . 解：对原式进行变量分离得：
当y 0时显然也是原方程的解 。当 x 0,y 1时，代入式子得 c 1,故特解是
1
1 ln1 xx= x 0 y0
y' y= y 0 - x 0 y
x=2 x 0 = x 0 y0
y' 所以 xy=c
18.求曲线上任意一点切线与该点的向径夹角为 0 的曲线方程，其中
解：由题意得： y' = y
x 11 dy= dx yx
ln|y|=ln|xc| y=cx.
= 则 y=tg x 所以 c=1 y=x.
22
ln y x c, 即 y c ex 把 x 0, y 1代入得
1dx 12 dy,当 y y 0时，两边同时积分得 ln x 1 1
1 c,即 y y 1
c ln x 1 2
3 dy 1 y3
dx xy x y
解：原式可化为：
22 dy y 1 3 显然 y 0, 故分离变量得 y 2 dy 1 3 dx dx y x x3 y 1 y2 x x3
1 2 1 2 2 2 两边积分得 ln1 y ln x ln1 x2 lnc(c 0),即(1 y )(1 x2)
2 2 2
故原方程的解为( 1 y )(1 x ) cx
4：(1 x)ydx (1 y)xdy 0
解：由 y 0或x 0是方程的解，当 xy 0时，变量分离 1 xdx 1 ydy 0 xy 两边积分 ln
x x ln y y c,即 ln xy x y c, 故原方程的解为 ln xy x y c; y 0;x 0.2
cx 2
5:(y x)dy ( y x)dx 0 dy y x 令 y
,令 u, y
xx u 1, 变量分离， u1 解：
dx y 则u x
du dx dy ux, dx
得： du
x dx
11
du dx 1x
两边积分得： 1 arctgu ln(1 2
u2) ln x c。
6：x dy y
dx
令y
x
22
x (1 u ) 解：
du
dx 2 xy
dy u, y ux, dx xddux,则原方程化为：
,分离变量得： 1 1u2
1u du sgnx? 1 dx
x
两边积分得：arcsinu
代回原来变量，得 sgnx ? ln x c y
arcsin
x sgnx ?ln x
2
另外，y x2也是方程的解。
7：tgydx 解：变量分离，得：
ctgydy tgxdx 两边积分得：ln sin y ln cos x c. ctgxdy 0
2
y 3 x 8:
dy ey
dx y
解：变量分离，得 y2 dy
ey 1 3 x
13 e c
9 : x(ln x ln y)dy ydx 0
解：方程可变为： dy
令u y ,则有：1 dx xx ln
x
ln u y dx 0
x
代回原变量得： cy d ln u
1 ln u ln y。
x
10：dy ex y dx
解：变量分离
两边积分 ey y
e dy
x
ec x
e dx
