《常微分方程》(王高雄)第三版课后答案

习题2.3

1、验证下列方程是恰当方程，并求出方程的解。

1. 0)2()(2dyyxdxyx

解： 1yM，xN=1 .

则xNyM

所以此方程是恰当方程。

凑微分，0)(22xdyydxydydxx

得 ：Cyxyx2331

2． 0)4()3(2dyxydxxy

解： 1yM，1xN .

则xNyM .

所以此方程为恰当方程。

凑微分，0432ydydxxxdyydx

得 Cyxyx232

3． 0])(1[]1)([2222dyyxxydxxyxy

解： 3422)(2)()1)((2)(2yxxyyxyxyyxyyM

3422)(2)()(2)(2yxxyyxyxxyxxxN

则yNxM . 因此此方程是恰当方程。

xyxyxu1)(22 （1）

22)(1yxxyyu （2）

对（1）做x的积分，则)(1)(22ydxxdxyxyu

=yxy2)(lnyx （3）

对（3）做y的积分，则dyydyxyyxyyu)()(2)()1(22

=dyydyxyxy)()(222

=22)(1yxxy

则11)(21)(2)(1)(2222222yyxyxyxyyxxyyyxxydyyd

yydyyyln)11()(

yxxyxyyxyxyyxyyyxyxyulnlnlnln222

故此方程的通解为Cyxxyxyln

4、 0)2(3)23(22232dyyyxdxxxy

习题2.2

求下列方程的解。

1．dxdy=xysin

解： y=e dx(xsinedxcdx)

=ex[-21ex(xxcossin)+c]

=c ex-21 (xxcossin)是原方程的解。

2．dtdx+3x=et2

解：原方程可化为：dtdx=-3x+et2

所以：x=edt3 (et2 edt3cdt)

=et3 (51et5+c)

=c et3+51et2 是原方程的解。

3．dtds=-stcos+21t2sin

解：s=etdtcos(t2sin21edtdt3c )

=etsin(cdttettsincossin)

= etsin(cetettsinsinsin)

=1sinsintcet 是原方程的解。

4．dxdynxxeynx ， n为常数.

解：原方程可化为：dxdynxxeynx

)(cdxexeeydxxnnxdxxn

)(cexxn 是原方程的解.

5．dxdy+1212yxx=0

解：原方程可化为：dxdy=-1212yxx

dxxxey212(cdxedxxx221)

)21(ln2xe)(1ln2cdxexx

=)1(12xcex 是原方程的解.

6． dxdy234xyxx

解：dxdy234xyxx

=23yx+xy

令xyu 则 uxy dxdy=udxdux

因此：dxduxu=2ux

21udxdu

dxduu2

cxu331

cxxu33 （*）

1 常微分方程习题答案

2.1

1.xydxdy2,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.

解：对原式进行变量分离得

。故它的特解为代入得把即两边同时积分得：eexxycyxxcycyxdxdyy22,11,0,ln,212

,0)1(.22dyxdxy并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.

解：对原式进行变量分离得：

。故特解是时，代入式子得。当时显然也是原方程的解当即时，两边同时积分得；当xycyxyxcycyxydydxxy1ln11,11,001ln1,11ln0,1112

3.yxydxdyxy321

解：原式可化为：

xxyxxyxyxyyxyccccxdxxdyyyxydxdy2222222232232)1(1)1)(1(),0(ln1ln21ln1ln2111,0111）故原方程的解为（即两边积分得故分离变量得显然 .0;0;ln,ln,lnln0110000)1()1(4xycyxxycyxxycyyxxdyyydxxxxyxyxdyyydxx故原方程的解为即两边积分时，变量分离是方程的解，当或解：由： 10ln1lnln1ln1,0ln0)ln(ln:931:8.coslnsinln07lnsgnarcsinlnsgnarcsin1sgn11,)1(,,,6ln)1ln(21111,11,,,0)()(:53322222222222cdxdydxdyxycyuduudxxxyudxxydyxyydxdyyxxcdyyyyydxdycxytgxdxctgydyctgxdytgydxcxxxycxxudxxxduxdxdudxduxudxdyuxyuxyydxdyxcxarctgudxxduuuudxduxudxduxudxdyuxyuxyxyxydxdydxxydyxyeeeeeeeexyuuxyxuuxyxyyxxx两边积分解：变量分离：。代回原变量得：则有：令解：方程可变为：解：变量分离，得两边积分得：解：变量分离，得：：也是方程的解。另外，代回原来变量，得两边积分得：分离变量得：则原方程化为：解：令：。两边积分得：变量分离，得：则令解： 3 cxyxarctgcxarctgtdxdtdxdtdxdtdxdytyxdxdycdxdydxdyttyxeeeeexyxyyx)(,11111,.11222)(代回变量得：两边积分变量分离得：原方程可变为：则解：令两边积分得：解：变量分离，

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