2016年春福师大网络与继续教育学院《实变函数》在线作业二 标准答案

依然是旧版书的题号19.证明：若E为有界集，根据第15题则存在E中的闭集F使得mF〉O,于是F为有界闭集。

假设Vx w 氏〉0,s"i（EnO（x,氏））=0 ,就有F U U0（X,Q），根据Borel 有XE F限覆盖定理知存在P，使得Fc（j0（x;,^ ）,从而Z=1p P加F =加（尸门［^0（兀，心丿）<工加（£门0（兀，/心））=0，矛盾，故假设不成立，即需证结z=l i=\论成立。

co oo若E为无界集，设B k =O（,0,k）,k=l,2,...,则E = E^R n =En（|J5J = °k=\ k=l由于协E〉0,于是必然存在k,使得m（EC\B k）>Q,而Eg为有界集，由上即知3x e E A , s.t.\/3 > 0, m（（E A B,） A 0（x, ^）） > 0 ,故而对E 而言，相应结论亦成立。

注：此题当然可以不使用Borel有限覆盖定理而得到证明，但作为替代，我们需要求助于习题一的24题（旧版书），此时关于E是否有界的讨论就可以省掉。

在此，我们看到习题一的24题（旧版书）的好处，它能将不可数覆盖转化为至多可数覆盖，从而可以运用（外）测度的相关运算性质。

另外，课本上“提示：利用闭集套定理”，那样做也是可以的，但是感觉繁琐了些，就不在此写出了。

附：对《实变函数参考答案（3）》的补充（一）上次的7.题有个位置有点问题：应该将||处的九4改为m{B - A）“7证明：若mA =+00 ,则m(A U B) + m(A A B) = mA + mB两端皆是+ 8,等式自然成立。

若mA < +8 ,则加(4 U 5) = mA + m(B - A),mB = m(A Cl B) + m(B - A),于是m{A U B) + m{A Pl B) = mA + m(B -A) + mB - m(B - A) = mA + mB ,等式亦成立。

《实变函数及泛函分析基础》试卷及答案（可编辑修改word版）ob 得分试卷⼀：⼀、单项选择题（3 分×5=15 分）1、1、下列各式正确的是（）∞ ∞∞ ∞（A ） lim A n = ? ? A k ; （B ） lim A n = ? ? A k ; n →∞n =1 k =n n →∞n =1 k =n∞ ∞∞ ∞（C ） lim A n = ? ? A k ; （D ） lim A n = ? ? A k ;n →∞n =1 k =nn →∞n =1 k =n2、设 P 为 Cantor 集，则下列各式不成⽴的是（）（A ） P = c (B) mP = 0 (C) P '= P(D) P = P3、下列说法不正确的是（）(A) 凡外侧度为零的集合都可测（B ）可测集的任何⼦集都可测 (C) 开集和闭集都是波雷⽿集（D ）波雷⽿集都可测 4、设{ f n (x )} 是 E 上的a .e . 有限的可测函数列,则下⾯不成⽴的是()（A ）若 f n (x ) ? f (x ) , 则 f n (x ) → f (x )(B) sup { f n (x )} 是可测函数n（C ） i nf { f n (x )} 是可测函数;（D ）若 f n (x ) ? nf (x ) ,则 f (x ) 可测5、设 f(x)是[a , b ] 上有界变差函数，则下⾯不成⽴的是（）(A) f (x ) 在[a , b ] 上有界(B) f (x ) 在[a , b ] 上⼏乎处处存在导数（C ） f '(x ) 在[a , b ] 上 L 可积 (D)af '(x )dx = f (b ) - f (a )⼆. 填空题(3 分×5=15 分)1、(C s A ? C s B ) ? ( A - ( A - B )) =2、设 E 是[0,1]上有理点全体，则 E '=, E =, E = .3 、设 E 是R n 中点集，如果对任⼀点集T 都有得分，则称E 是L 可测的4、f (x) 可测的条件是它可以表成⼀列简单函数的极限函数.（填“充分”，“必要”，“充要”）5、设 f (x) 为[a, b]上的有限函数，如果对于[a, b]的⼀切分划，使f (x) 为, 则称[a, b]上的有界变差函数。

《实变函数试卷一一、单项选择题(3分X5=15分)1、下列各式正确的是( )_________ oo oo oo oo(A) limA = u n A ; (B) lim A = n u A ;n—H=1k=n，?一z?=l k=n00 00 00 00(C) limA" = n u ; (D) lim= A k ;打一＞oo z:=l k=n z?=l k=n2、设P为Cantor集，则下列各式不成立的是( )(A) ~P= c (B) mP = 0 (C) P = P (D) P=P3、下列说法不正确的是( )(A)凡外侧度为零的集合都可测(B)可测集的任何子集都可测(C)开集和闭集都是波雷耳集(D)波雷耳集都可测4、设以(4是£上的E有限的可测函数列，则下而不成立的是( )(A)若又(x)=>/(x),则又(x) + /(x) (B)sup{/…Cr)}是可测函数(O inf{//%)}是可测函数；(D)若/T H又⑺=>/U)，则/(X)可测5、设f(X)是上有界变差函数，则卜*面不成立的是()(A) /(X)在［6Z，/7］上有界(B) /(X)在［6/，刎上儿乎处处存在导数c b(C) / (X)在上L 可积(D) J a f\x)cbc=f(b)-f(a)二.填空题(3分X 5=15分)1、(C s AuC v5)n(A-(A-B))= ________________2、设£是［0，1］上有理点全体，则E - ______ , E- ________ , E- _______ .3、设£是/?。

中点集，如果对任一点集r都,贝1J称£是£可测的4、/⑶可测的________ 条件是它可以表成一列简单函数的极限函数.(填“充分”，“必要”，“充要”)5、设/(x)为上的有限函数，如果对于的一切分划，使_____________________________________ ，则称/(x)为［6Z，/7］上的有界变差函数。

福师《数学分析选讲》在线作业二一、单选题（共 50 道试题，共 100 分。

）1.如题A. AB. BC. CD. D正确答案：C2.A.B.C.D.正确答案：B3.A. AB. BD. D正确答案：D 4.A. AB. BC. CD. D正确答案：D 5.如题A. AB. BC. CD. D正确答案：C 6.如题A. AB. BC. CD. D正确答案：C 7.A. AB. BC. CD. D正确答案：C 8.如题A. AB. BC. CD. d正确答案：D 9.如题A. AB. BC. CD. D正确答案：B 10.如题A. AB. BC. C正确答案：D 11.如题A. AB. BC. CD. D正确答案：D 12.A. AB. BC. CD. D正确答案：C13. 如图所示A.B.C.D.正确答案：D14. 题目如图A. 0B. 1C. 2正确答案：C 15.如题A. AB. BC. CD. D正确答案：A 16.如题A. AB. BC. CD. D正确答案：B 17.A. AB. BC. CD. D正确答案：C 18.如题B. BC. CD. D正确答案：D19. 如图所示A.B.C.D.正确答案：D 20.如题A. AB. BC. CD. D正确答案：D 21.如题A. AB. BC. CD. D正确答案：C 22.如题A. AB. BC. CD. D正确答案：B 23.如题A. AB. BC. CD. D正确答案：B24. 题面见图片A.B.C.D.正确答案：A 25.如题A. AB. BC. CD. D26. 题面见图片A.B.C.D.正确答案：C 27.A. AB. BC. CD. D正确答案：A 28.如题A. AB. BC. CD. D正确答案：D 29.题目如图A.B.C.D.30.如题A. AB. BC. CD. D正确答案：A 31.如题A. AB. BC. CD. D正确答案：B 32.如题A. AB. BC. CD. D正确答案：D 33.A.B.C.D.正确答案：B 34.如题A. AB. BC. CD. D正确答案：D 35.如题A. AB. BC. CD. D正确答案：A 36.如题A. AB. BC. CD. D正确答案：A37. 题面见图片A.B.C.D.正确答案：A 38.如题A. AB. BC. CD. D正确答案：D 39.A. AB. BC. CD. D正确答案：C40. 题面见图片A.B.C.D.正确答案：A41. 如图所示A.B.C.D.正确答案：D 42.如题A. AB. BC. CD. D正确答案：A43. 如图所示A.B.C.D.正确答案：D 44.如题A. AB. BC. CD. D正确答案：C如题A. AB. BC. CD. D正确答案：B46. 如图所示A.B.C.D.正确答案：C 47.如题A. AB. BC. CD. D正确答案：B 48.如题A. AB. BC. C正确答案：D 49.如题A. AB. BC. CD. D正确答案：D 50.如题A. AB. BC. CD. D正确答案：B。

福师（2020-2021）《实变函数》在线作业二注：本科有多套试卷，请核实是否为您所需要资料，本资料只做参考学习使用！！！一、判断题（共37题，74分1、f∈BV，则f至多有可数个间断点，而且只能有第一类间断点.A错误B正确提示：认真复习课本知识302，并完成以上题目【参考选择】：B2、连续函数和单调函数都是有界变差函数.A错误B正确提示：认真复习课本知识302，并完成以上题目【参考选择】：A3、零测度集的任何子集都是可测集.A错误B正确提示：认真复习课本知识302，并完成以上题目【参考选择】：A4、若f,g∈BV，|g|>c>0,则f/g属于BV。

A错误B正确提示：认真复习课本知识302，并完成以上题目【参考选择】：B5、f可积的必要条件:f几乎处处有限，且集X(f≠0)有sigma-有限测度。

A错误B正确提示：认真复习课本知识302，并完成以上题目【参考选择】：B6、f∈BV，则f几乎处处可微，且f'∈L1[a,b].A错误B正确提示：认真复习课本知识302，并完成以上题目【参考选择】：B7、若对任意有理数r,X(f=r)都可测，则f为可测函数.A错误B正确提示：认真复习课本知识302，并完成以上题目【参考选择】：A8、若f∈AC，则f是连续的有界变差函数，即f∈C∩BV.A错误B正确提示：认真复习课本知识302，并完成以上题目【参考选择】：B9、若f,g∈BV，则f/g(g不为0)属于BV。

A错误B正确提示：认真复习课本知识302，并完成以上题目【参考选择】：A10、利用有界变差函数可表示为两个增函数之差，可将关于单调函数的一些结论转移到有界变差函数：几乎处处可微而且导函数可积。

A错误B正确提示：认真复习课本知识302，并完成以上题目【参考选择】：B11、三大积分收敛定理是实变函数论的基本结果。

A错误B正确提示：认真复习课本知识302，并完成以上题目【参考选择】：B12、设f:R->R可测，f(x+y)=f(x)+f(y),则f(x)=axA错误B正确提示：认真复习课本知识302，并完成以上题目【参考选择】：B13、若f,g是增函数，则f+g,f-g,fg也是增函数。

《复变函数》试题二选择题1、函数()f z 沿曲线C 可积是()f z 沿曲线C 有界的（ ）条件A. 充分B. 必要C. 充要D. 以上都不对答案：A2、如果曲线曲线C 为（ ），则23113C dz iz π=-⎰A. 1z =B. 2z =C. 3z =D. 4z =答案：D3、设区域D 的边界是围线C ，()f z 在D 内解析，在D D C =+上连续，()00,4z D f z π∈=，则()C f d z ςςς=-⎰（ ）A. 4πB. 18iC. 22i πD.22π答案：C4、设()f z 为有界整函数，C 为1z =，则4zC e dz z ⎰（ ）42zC e dz z ⎰A. >B. =C. <D. 不能确定答案：C5、在下列个式中可作为某区域D 内解析函数()f z u iv =+的实部(,)u x y 有（ ）A. 323u x xy =-B. 323u x x y =-C. 323u x x y =+D. 323u x xy =+答案：A6、1n n a ∞=∑收敛是1n n a ∞=∑收敛的（ ）条件A. 充分B. 必要C. 充要D. 以上都不对答案：B 7、复级数113()2nn i ∞=+∑（ ）A. 绝对收敛B. 条件收敛C. 发散D. 以上都不是答案：C8、幂级数12nn n z ∞=∑的收敛半径R =（ ）A. 0B. 1C. 2D.12答案：C9、()f z 在无穷远点去心邻域内的罗朗展式:()nn n f z b z∞=-∞=∑的主要部分为（ ）A.1()nnn C z a ∞=-∑ B.()nnn C z a ∞=-∑ C.1()nnn C z a -∞-=-∑D 0()n n n C z a ∞-=-∑答案：A 10、z =∞是函数3411z z +的（ ） A. 可去奇点B. 极点C. 本质奇点D. 非孤立奇点答案：A11、如果曲线曲线C 为（ ），则4132C dz iz π=-⎰A. 1z =B. 2z =C. 3z =D. 4z =答案：D12、设区域D 的边界是围线C ，()f z 在D 内解析，在D D C =+上连续，()00,2z D f z π∈=，则()0C f d z ςςς=-⎰（ ）A.2πB.14iC. 2πD. 2i π答案：D13、设()f z 为有界整函数，C 为1z =，则3zC e dz z⎰（ ）32zC e dz z ⎰A. >B. =C. <D. 不能确定答案：C14、在下列个式中可作为某区域D 内解析函数()f z u iv =+的实部(,)u x y 有（ ）A. 2u x xy =+B. 22u x xy y =+-C. 22u x xy y =++D. 2u y xy =+答案：B15、复级数11()n n n n n a a ib ∞∞===+∑∑收敛的充要条件是（ ）A. 0n a →B.1nn a∞=∑收敛C. 实级数1n n a ∞=∑及1n n b ∞=∑皆收敛D. 实级数1n n a ∞=∑及1n n b ∞=∑至少有一个收敛答案：C16、复级数1(34)!nn i n ∞=+∑（ ）A. 绝对收敛B. 条件收敛C. 发散D. 以上都不是答案：A17、幂级数1!2nn n n z ∞=∑的收敛半径R =（ ）A. 0B. 1C. 2D.12答案：C18、解析函数()f z 的孤立奇点a 的去心邻域{}K a -的罗朗级数()nnn C z a ∞=-∞-∑的正则部分为（ ）A.1()nnn C z a ∞=-∑ B.()nnn C z a ∞=-∑ C.1()nnn C z a -∞-=-∑ D.()nnn C z a ∞-=-∑答案：B 19、z =∞是函数2311z z +的（ ） A. 可去奇点B. 极点C. 本质奇点D. 非孤立奇点答案：A20、幂级数20(1)n n n z ∞=-∑在1<z 内的和函数是（ ）A.211z - B. 211z + C. 112-z D. 211z+- 答案：B21、设221()z f z z z-=+，则0()z Res f z ==（ ）A. ∞B. 1-C. 0D. 1答案：B 22、积分2252(1)z z dz z z =-=-⎰（）A. 0B. 4i πC. 4i π-D. 8i π 答案：A23、方程8521560z z z -++=在1z <内有（ ）个零点A. 5B. 6C. 7D. 8答案：A24、当（ ）时，az bw cz d+=+可将上半Z 平面保形变换成下半W 平面 A. 3,1,2,4a b c d ==== B. 4,1,3,2a b c d ==== C. 1,2,3,4a b c d ====D. 3,1,4,2a b c d ====答案：C。

《实变函数》试卷一一、单项选择题(3分×5=15分) 1、下列各式正确的就是( )(A)1lim n k n n k n A A ∞∞→∞===⋃⋂; (B)1lim n k n k n n A A ∞∞==→∞=⋂⋃;(C)1lim n k n n k nA A ∞∞→∞===⋂⋃; (D)1lim n k n k nn A A ∞∞==→∞=⋂⋂;2、设P 为Cantor 集,则下列各式不成立的就是( ) (A)=P c (B) 0mP = (C) P P ='(D) P P =3、下列说法不正确的就是( )(A) 凡外侧度为零的集合都可测(B)可测集的任何子集都可测(C) 开集与闭集都就是波雷耳集 (D)波雷耳集都可测 4、设{}()n f x 就是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的就是( )(A)若()()n f x f x ⇒, 则()()n f x f x → (B){}sup ()n nf x 就是可测函数(C){}inf ()n nf x 就是可测函数;(D)若()()n f x f x ⇒,则()f x 可测5、设f(x)就是],[b a 上有界变差函数,则下面不成立的就是( )(A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数(C))('x f 在],[b a 上L 可积 (D)⎰-=b aa fb f dx x f )()()('二、 填空题(3分×5=15分)1、()(())s s C A C B A A B ⋃⋂--=_________2、设E 就是[]0,1上有理点全体,则'E =______,oE =______,E =______、 3、设E 就是n R 中点集,如果对任一点集T 都_________________________________,则称E 就是L 可测的4、)(x f 可测的________条件就是它可以表成一列简单函数的极限函数、(填“充分”,“必要”,“充要”)5、设()f x 为[],a b 上的有限函数,如果对于[],a b 的一切分划,使_____________________________________,则称()f x 为[],a b 上的有界变差函数。

考生答题2不得超此线5. 若()f x 是可测函数，则下列断言（ ）是正确的 (A) ()f x 在[],a b L -可积|()|f x ⇔在[],a b L -可积； (B) [][](),|()|,f x a b R f x a b R -⇔-在可积在可积 (C) [][](),|()|,f x a b L f x a b R -⇔-在可积在可积; (D) ()()(),()f x a R f x L +∞-⇒∞-在广义可积在a,+可积二. 填空题(3分×5=15分)1、设11[,2],1,2,n A n n n=-=，则=∞→n n A lim _________。

2、设P 为Cantor 集，则 =P ，mP =_____，oP =________。

3、设{}i S 是一列可测集，则11______i i i i m S mS ∞∞==⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭∑4、鲁津定理：_____________________________________________________________________________________________________________________ 5、设()F x 为[],a b 上的有限函数，如果_________________________________ _____________________________________________________________________________________________则称()F x 为[],a b 上的绝对连续函数。

三.下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则说明原因或举出反例.(5分×4=20分)1、由于[](){}0,10,10,1-=，故不存在使()[]0,101和，之间11-对应的映射。

2、可数个零测度集之和集仍为零测度集。

《实变函数》试卷一一、单项选择题（3分×5=15分） 1、下列各式正确的是（ ）（A ）1lim n k n n k n A A ∞∞→∞===⋃⋂; （B ）1lim n k n k n n A A ∞∞==→∞=⋂⋃;（C ）1lim n k n n k nA A ∞∞→∞===⋂⋃; （D ）1lim n k n k nn A A ∞∞==→∞=⋂⋂;2、设P 为Cantor 集，则下列各式不成立的是（ ） （A ）=P c (B) 0mP = (C) P P ='(D) P P =3、下列说法不正确的是（ ）(A) 凡外侧度为零的集合都可测（B ）可测集的任何子集都可测(C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D ）波雷耳集都可测 4、设{}()n f x 是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的是( )（A ）若()()n f x f x ⇒, 则()()n f x f x → (B){}sup ()n nf x 是可测函数（C ）{}inf ()n nf x 是可测函数;（D ）若()()n f x f x ⇒,则()f x 可测5、设f(x)是],[b a 上有界变差函数，则下面不成立的是（ ）(A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数（C ）)('x f 在],[b a 上L 可积 (D)⎰-=b aa fb f dx x f )()()('二. 填空题(3分×5=15分)1、()(())s s C A C B A A B ⋃⋂--=_________2、设E 是[]0,1上有理点全体，则'E =______,oE =______,E =______. 3、设E 是n R 中点集，如果对任一点集T 都_________________________________，则称E 是L 可测的 4、)(x f 可测的________条件是它可以表成一列简单函数的极限函数.（填“充分”，“必要”，“充要”）5、设()f x 为[],a b 上的有限函数，如果对于[],a b 的一切分划，使_____________________________________,则称()f x 为[],a b 上的有界变差函数。

2016年春福师大网络与继续教育学院《实变函数》在线作业二标准答案福师《实变函数》在线作业二一、判断题（共37 道试题，共74 分。

）1. 设f为[a,b]上增函数，则存在分解f=g+h，其中g是上一个连续增函数，h是f的跳跃函数.A. 错误B. 正确正确答案：B2. 有界可测集的测度为有限数，无界可测集的测度为+∞A. 错误B. 正确正确答案：A3. 有界可测函数f在区间[a,b]上L可积的充要条件是f在[a,b]上几乎处处连续.A. 错误B. 正确正确答案：A4. 利用积分的sigma-可加性质(第二条款)可以证明绝对收敛级数各项可以任意重排。

A. 错误B. 正确正确答案：B5. 积分的引进分为三个递进的步骤：非负简单函数的积分，非负可测函数的积分，一般可测函数的积分.A. 错误B. 正确正确答案：B6. 函数f在区间[a,b]上Ｒ可积的充要条件是f在区间[a,b]上的不连续点集为零测度集.A. 错误B. 正确正确答案：A7. 无论Riemann积分还是Lebesgue积分，只要|f|可积，则f必可积.A. 错误B. 正确正确答案：A8. f可积的充要条件是f+和f-都可积.A. 错误B. 正确正确答案：B9. 集合A可测等价于该集合的特征函数X_A可测A. 错误B. 正确正确答案：B10. 若f有界且m(X)<∞,则f可测。

A. 错误B. 正确正确答案：B11. 若对任意有理数r,X(f=r)都可测，则f为可测函数.A. 错误B. 正确正确答案：A12. f∈BV，则f有“标准分解式”:f(x)=f(a)+p(x)-n(x),其中p(x),n(x)分别为f的正变差和负变差.A. 错误B. 正确正确答案：B13. 连续函数和单调函数都是有界变差函数.A. 错误B. 正确正确答案：A14. 若f_n测度收敛于f，则1/f_n也测度收敛于1/f.A. 错误B. 正确正确答案：A15. 三大积分收敛定理是积分论的中心结果。

《实变函数》作业参考答案一．判断题1．对； 2．错； 3．对；4．对； 5．错； 6．对； 7．错； 8．对； 9．对； 10.对； 11.对； 12.错。

13、错 14、对 15、错16、错 17、对 18、对 二．1．证明：).()(B A B A II-=-∈∈αααα证明：直接的用定义，证明左边包含右边，右边包含左边。

2．试找出使)1,0(和]1,0[之间一一对应的一种方法。

证明：令)1,0(,...},,{321⊂x x x ，做)(x f ，使得⎪⎩⎪⎨⎧>====+2,01)(212n x x x x x x x x f n n ，其它处，.)(x x f =3令,...},{21r r 表示（0,1）上的全体有理数，则,...},,1,0{21r r 是[0,1]上的全体有理数，且有,...},,1,0{\]1,0[,...},{\)1,0(2121r r r r =如下定义一个函数)(x f⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧====∈=-............10,...},{\)1,0()(3212121n n r x r x r x r x r r r r x x x f ，则这是满足条件的一一对应。

4）).(()()(1111B A BA BA B A i i ci i ci i i i -=⋂=⋂=-∞=∞=∞=∞=三．证明题1. 设)(x f n 是E 上几乎处处有限的可测函数列，∞<mE ，而)(x f n 几乎处处收敛于有限函数)(x f ，则对任意的0>ε，存在常数c 与可测集E E ⊂0，ε<)\(0E E m ，使在0E 上，对一切n ，有c x f <|)(|。

证明：直接利用鲁津定理。

2. 证明：证明})(|{a x f x CG >=是开集，事实上，对任意CG x ∈，则a x f >)(，由连续函数的局部保号性，存在0>δ，使得对一切的),(δx B t ∈，有a t f >)(，即CG x B ⊂),(δ，所以x 是内点，从而})(|{a x f x CG >=是开集。

ob 得 分试卷一：一、单项选择题（3 分×5=15 分）1、1、下列各式正确的是（）∞ ∞∞ ∞（A ） lim A n = ⋃ ⋂ A k ; （B ） lim A n = ⋂ ⋃ A k ; n →∞n =1 k =n n →∞n =1 k =n∞ ∞∞ ∞（C ） lim A n = ⋂ ⋃ A k ; （D ） lim A n = ⋂ ⋂ A k ;n →∞n =1 k =nn →∞n =1 k =n2、设 P 为 Cantor 集，则下列各式不成立的是（）（A ） P = c (B) mP = 0 (C) P '= P(D) P = P3、下列说法不正确的是（ ）(A) 凡外侧度为零的集合都可测（B ）可测集的任何子集都可测 (C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D ）波雷耳集都可测 4、设{ f n (x )} 是 E 上的a .e . 有限的可测函数列,则下面不成立的是()（A ）若 f n (x ) ⇒ f (x ) , 则 f n (x ) → f (x )(B) sup { f n (x )} 是可测函数n（C ） i nf { f n (x )} 是可测函数;（D ）若 f n (x ) ⇒ nf (x ) ,则 f (x ) 可测5、设 f(x)是[a , b ] 上有界变差函数，则下面不成立的是（）(A) f (x ) 在[a , b ] 上有界(B) f (x ) 在[a , b ] 上几乎处处存在导数（C ） f '(x ) 在[a , b ] 上 L 可积 (D)⎰af '(x )dx = f (b ) - f (a )二. 填空题(3 分×5=15 分)1、(C s A ⋃ C s B ) ⋂ ( A - ( A - B )) =2、设 E 是[0,1]上有理点全体，则 E '=, E =, E = .3 、 设 E 是R n 中 点 集 ， 如 果 对 任 一 点 集T 都 有得 分，则称E 是L 可测的4、f (x) 可测的条件是它可以表成一列简单函数的极限函数.（填“充分”，“必要”，“充要”）5、设 f (x) 为[a, b]上的有限函数，如果对于[a, b]的一切分划，使f (x) 为, 则称[a, b]上的有界变差函数。

15秋福师《复变函数》在线作业二答案福师《复变函数》在线作业二一、单选题（共 30 道试题，共 60 分。

）1. z0是f(z)的m级极点，那么z0是1/f(z)的（）. 可去奇点. m级零点. m级极点. 本性奇点正确答案：2. 如果|z|<1，那么关于下列函数判断正确的是（）. |^z|<. |sinz|<1. |osz|<1. |tnz|<π正确答案：3. 关于幂级数的收敛半径，下列说法错误的是（）. 幂级数可能仅仅只在原点收敛. 可能在复平面上处处收敛. 求导后导数的收敛半径变小. 任意阶导数都与原幂级数的收敛半径一致正确答案：4. 关于单位圆周和单位圆内部下列说法正确的是（）. 都是开集. 都是闭集. 圆周是开集，内部是闭集. 圆周是闭集，内部是开集正确答案：5.....6.....正确答案：7.....正确答案：8.....正确答案：9. 复函数f(z)在单连通区域内解析，为内任一闭路，则必有（）. Rf(z)沿积分为0. Imf(z)沿积分为0. |f(z)|沿积分为0. 以上都不一定正确答案：10. z0是f(z)的m（m为大于1的正整数）级极点，那么z0是f(z)导数的（）. 可去奇点. m+1级零点. m+1级极点. 本性奇点11.....正确答案：12.....正确答案：13.....正确答案：14. 关于泰勒级数和洛朗级数的区别，下列说法错误的是（）. 收敛区域形状一定不同. 泰勒级数能表示的解析函数类型不如洛朗级数广. 泰勒级数是洛朗级数的特例. 洛朗级数是泰勒级数的推广正确答案：15.....16. 若z0是f(z)的m（m为正整数）级极点，则z0是f'(z)/f(z)的（）. 可去奇点. 极点. 本性奇点. 零点正确答案：17. 洛朗级数在收敛圆环内（）. 处处解析. 可以逐项求导数. 可以逐项求积分. 以上都对正确答案：18.....正确答案：19. f(x,y)=^x在复平面上（）. 处处连续. 处处解析. 在原点解析. 在x轴上解析正确答案：20. z=0是f(z)=(osz-1)/z的（）. 可去奇点. 极点. 本性奇点. 非孤立奇点21.....正确答案：22.....正确答案：23. 下列说法中错误的是：一个复数的n次方根（）. 有n个. 模相等. 辐角主值成等差数列. 和为0正确答案：24. 下列说法错误的是：有理函数在复平面内（）. 处处解析. 除掉极点外处处解析. 奇点都是极点. 只有有限个奇点正确答案：25. 下列说法错误的是：解析函数在一点解析，则（）. 则在一个区域内每点都解析. 存在任意阶导数，且导数解析. 可以展开成幂级数. 展开成的幂级数在复平面上处处收敛正确答案：26.....正确答案：27.....正确答案：28. 下列说法错误的是：复函数在一点处可导，则（）. 在该点处可微. 实部函数与虚部函数均在该点可微. 满足-R条件. 在该点处解析正确答案：29. 下列函数中是单值函数的是（）. 对数函数. 幂函数. 三角函数. 反三角函数正确答案：30.....正确答案：福师《复变函数》在线作业二二、判断题（共 20 道试题，共 40 分。