附录I 截面的几何性质

A
代入公式
xdA
ydA
xC
A
A
,
yC
A
A
，可得到截面的形心坐标与静矩间的
关系为
Sx AyC , S y AxC
若已知截面的静矩，则可由上式确定截面形心的位置；反之，
若已知截面形心位置，则可由上式求得截面的静矩。
由上式可以看出，若截面对某轴（例如x轴）的静矩为零 （Sx=0），则该轴一定通过此截面的形心（yC=0）。通过截面形心 的轴称为截面的形心轴。反之，截面对其形心轴的静矩一定为零。
截面形心C的坐标为
xC

A1xC1 A2 xC2 A1 A2

105000 175－ 22500 105000－22500
300
mm

140.9mm
yC

A1 yC1 A2 yC2 A1 A2

105000 150－ 22500 105000－22500
200
mm

136.4mm
目录
附录Ⅰ 截面的几何性质\静矩与形心 解法二。
将截面看作由大矩形减去三角 形组成的组合截面，被减去部分的 面积应取负值，这种方法称为负面 积法。矩形和三角形的面积及形心 C1、C2的坐标分别为
矩形 A1=105000mm2， xC1=175mm， yC1=150mm
三角形 A2=－22500mm2， xC2=300mm， yC2=200mm
分别用Sx和Sy表示，即
Sx
A ydA , Sy
xdA
A
目录
附录Ⅰ 截面的几何性质\静矩与形心
由定义知，静矩与所选坐标轴的位置有关，同一截面对不同坐 标轴有不同的静矩。静矩是一个代数量，其值可为正、为负、或为 零。静矩的单位为mm3或m3。

取微面积dA=dzdy，则：Izy 0;
例5-3 圆形截面对其形心轴的惯性矩。 解：取yoz坐标系。取微面积dA=2zdy,则：
由 Iz 对 A y 2 称 dIy A 性 R IR z2 y ： 2 6D 44R ;2 由 y 几 2 d 何 y 关 R 4 4 系 2＝ ： 6 D y24 ;4 z2,
当Sz=0或Sy=0时，必有yc=0或zc=0，可知截面对某轴的
静矩为零时，该轴必通过截面形心；反之，若某轴通过形心，
Байду номын сангаас
则截面对该轴的静矩为零。
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二、形心公式：
yc

SAz ;zc

Sy A
.
三、组合截面的静矩：n个简单图形组成的截面，其静矩为：
n
Sz Ai yci; i1
z2dA;
A
圆形截面：Iy
Iz
D4 ;
64
几何关系： IP A2 d A A (y 2 z 2 ) d A I Z Iy .
四、惯性积：
Izy
zydA;
A
五、平行移轴公式：
Iz1za2A; y1 y b2A; Iz1y1 Izyab;A
特点：①两个形心主惯性矩是截面对过形心所有各轴的惯性矩 中的极大值和极小值；
②有一根对称轴的截面，形心主轴是对称轴和与之垂直 的形心轴；
③有两根对称轴的截面，形心主轴是两根对称轴； ④无对称轴的截面，由转轴公式求对形心的惯性积为零 的 o 角，即 形心主惯性轴。
第五节 组合截面惯性矩的计算 工程中常遇到组合截面。计算其形心主惯性矩时，应先确定形 心位置、形心主轴，再求形心主惯性矩。

材料力学(金忠谋)第六版答案-附录附录I 截面图形的几何性质I-1 求下列截面图形对z 轴的静矩与形心的位置。

解：（a ）)2)2((2)2(2h t h b t h ht t h bt s z ++=⋅++=hb h t h b h b t h t h b t A s y zc +++=+++==2)2()()2)2((22（b ）322332219211)}2)4()43()41()43(32(])4()43[(2{4442DD D D D D D D D D s z =--⨯-+⨯⨯-=ππDD D D D DAs y z c 1367.0])2()43[(2)44(219211223=-⨯+⨯==π（c ）]22)[(22)(2h t t b t h ht t t t b s z +⋅-=⨯+⨯⨯-=tb)(2)(2t b h h t t b A s y z c -++-==I-2 试求（1）图示工字形截面对形心轴 y 及 z 的惯性矩zI 与I y 。

（2）图示 T 字形截面对形心轴的惯矩zI 与I y 。

解(a)12)2)((12)2)((123333t h t b bh t h t b bh J z ---=---=12))2(2(12))(2(1222333t t h b t t t h tb J y -+=-+=(b) cmy c 643.9)520515(2)515(552522=⨯+⨯-⨯+⨯=(b433423231615121551252010186520)643.91025(12205515)5.2643.9(12515cm J cm J y z =⨯+⨯==⨯⨯--+⨯+⨯⋅-+⨯=I-3 求图示椭圆截面对长轴的惯矩、惯性半径与对形心的极惯矩。

解：θθcos ,sin ⋅=⋅=a z b yθθd b dy cos = ⎰⎰--⋅==∴b bbbz zdyy dA y J 222322223224cos sin 2cos cos sin 2ab d abd b a b J bb z πθθθθθθθππ==⋅=⎰⎰--)(4)(42422333b a ab b a ab J J J b ab ab AJ i y z p zz +=+=+====ππππI-4 试求图示的41的圆面积（半径a ）对于z ，yyy 轴的惯性积zyI 。

2
267 104 mm4
附录I 截面的几何性质
于是有组合截面对于两主轴x轴和y轴的惯性矩分别为
I x I x1 2 I x2 3690 10 4 mm 4 2 2110 10 4 mm 4 7910 10 4 mm 4 I y I y1 2 I y2 431 10 4 mm 4 2 267 10 4 mm 4 965 10 4 mm 4
附录I 截面的几何性质
解：将原平面图形分成上中下三个矩形。过形心建立参考坐标 系
40 53 5 603 I x 2I x1 I x2 2 40 5 27.52 12 12 y 4 4 393333 mm 39.33cm I y 2 I y1 I y2
I yC 218.415 cm 形心位置如图所示 90 mm×90 mm×12 mm 等边角钢截面
4
A 20.30 cm 2 I xC I yC 149.22 cm 4
形心位置如图所示
附录I 截面的几何性质
组合截面的形心C在对 称轴x上。以两个角钢截面的 形心连线为参考轴,只需求组 合截面形心C以该轴为基准 的横坐标 x ：
a
x
附录I 截面的几何性质
例题
图示组合截面由一个 25c号槽钢截面和两个 90 mm×90 mm×12 mm等边角钢截面组成。 试求此截面分别对于形 心轴x和y的惯性矩Ix 和 Iy 。
附录I 截面的几何性质
解: 1. 求组合截面的形心位置
由型钢规格表查得：25c号槽钢截面 A 44.91cm 2， I xC 3 690.45 cm4
I x1 y1 dA
2 A
x1 x cos y sin y1 x sin y cos