附录A 截面图形几何性质题解

142 附录A 习题解答

A-1 试求图示三角形形心至其底边的距离。

解： dyhybdyybdA)/1()(

2061)/1(bhydyhybydAShAz

hbhbhASyzC3121612

A-2 试求由20b工字钢与14b槽钢焊接在一起所形成组合截面的形心坐标yc及zc。

解：查型钢表得：

槽 钢：31.211Acm2 67.110ycm

工字钢：5.392Acm2 1020ycm h =20cm

形心坐标：09.145.3931.21105.39)67.120(31.2121202101AAyAyAyCcm

0Cz

A-3 一矩形b=2h/3，从左右两侧切去半圆形（d=h/2）。试求：

（1）切去部分面积占原面积的百分比；

（2）切后的惯性矩Iz’与原矩形的惯性矩Iz之比。

解：（1）切去部分的面积22164'hdA

原面积232hbhA

面积之比%45.293233216'22hhAA

（2）切后惯性矩4443102418164121'hhdbhIz

原惯性矩43181121hbhIz b h d z y

题A-3图 z

B

题A-1图 o y

h A

b b(y) dy

y

z y

c

题A-2图 143 惯性矩之比%5.941811024181'444hhhIIzz

A-4 试求图示工字形截面的形心坐标yc、惯性矩Iz和惯性积Iyz。C为形心。

解：形心坐标5.6282102612872101326Cycm

惯性矩26)5.613(2612123zI

10)5.67(21012123

423117228)15.6(28121cm

惯性积Iyz = 0

A-5 求图示两个10槽钢组成的组合图形的惯性矩Iz和Iy。

解：解：查表：10槽钢

4103.198zI4mm 4106.25ycI4mm

21074.12A2mm 48bmm 2.15czmm

（a）44106.396103.1982zI4mm

444221011010)74.1252.16.25(2)(2mmAzIIcycy

（b）44106.396103.1982zI4mm

2241074.12)2.1548(2106.252yI4103.3254mm

A-6 图示两个20a槽钢组成的图形，C点为组合图形的形心。试求b为多少时，图形对两个形心轴的惯性矩相等。

解：查表：20a 槽钢410128yI4mm 4104.1780zI4mm

21083.28A2mm 1.20czmm

组合图形：

44108.3560104.178022zzIIc4mm

AbzIIcyyc2222241083.2821.20101282b 20 100 20

yc z y

80 60

20

C

题A-4图

y

z

（a） z

（b） y

题A-5图

y

z c

b

题A-6图 144 ccyzII 得 b = 11.12 cm

*A-7 试确定图示图形的形心主惯轴的位置，并计算形心主惯矩。

解：因为c点是图形对称中心，所以c点即为图形的形心。

选取通过形心c的水平轴z及垂直轴y作为参考坐标系。把图形

看成1，2，3三个矩形组成。矩形1形心坐标为（-35，74.5），

矩形3形心坐标为（35，-74.5），矩形2形心坐标为（0，0）。利

用平行移轴公式分别求出各矩形对y轴和z轴的惯性矩和惯性积。

矩形1： 623110983.0591135125911yImm4

623110609.359115.74121159zImm4

611069.159115.74350yzImm4

矩形2： 632100178.01211160yImm4

6321075.31216011zImm4、

02yzI

矩形3： 623310983.0591135125911yImm4

623310609.359115.74121159zImm4

631069.159115.74350yzImm4

整个图形对y轴和z轴的惯性矩和惯性积为

663211098.110983.00178.0983.0yyyyIIIImm4

663211097.1010609.375.3609.3zzzzIIIImm4

663211038.31069.1069.1yzyzyzyzIIIImm4

形心主惯性轴的位置

752.01098.11097.101038.32226660yzyzIIItg

即 α0 = 18.5° （或108.5°）

α0的两个值分别确定了形心主惯性轴z0和y0的位置。把α0代入惯性矩公式中，得到图形的80 80 11

11

11

70 70

z y

题A-7图 145 主惯性矩

5.1082cos21098.11097.1021098.11097.1066660yI

661085.05.1082sin1038.3 mm4

5.182cos21098.11097.1021098.11097.1066660zI

66101.125.182sin1038.3 mm4

A-8 试证明通过正方形截面形心的轴，均为形心主惯轴，且截面对所有形心轴的惯性矩都相等。

证明：设a为正方形边长，y和z为过正方形形心且平行于边长的坐标轴，则

4121aIy 4121aIz 0yzI

设y1和z1为过正方形形心的任意正交坐标轴，与y和z轴的夹角为α，则

411212sin2cos22aIIIIIIyzyzyzy

411212sin2cos22aIIIIIIyzyzyzz

02cos2sin211yzyzzyIIII

得证