材料力学--附录A截面的几何性质

* *

附录I 截面的几何性质 习题解

[习题I-1] 试求图示各截面的阴影线面积对x轴的静积。

（a）

解：)(24000)1020()2040(3mmyAScx

（b）

解：)(42250265)6520(3mmyAScx

（c）

解：)(280000)10150()20100(3mmyAScx

（d）

解：)(520000)20150()40100(3mmyAScx

[习题I-2] 试积分方法求图示半圆形截面对x轴的静矩，并确定其形心的坐标。

* *

解：用两条半径线和两个同心圆截出一微分面积如图所示。

dxxddA)(；微分面积的纵坐标：sinxy；微分面积对x轴的静矩为：

dxdxxdxxdydxxdydAdSxsinsin)(2

半圆对x轴的静矩为：

32)]0cos(cos[3]cos[]3[sin33003002rrxddxxSrrx

因为cxyAS，所以cyrr232132 34ryc

[习题I-3] 试确定图示各图形的形心位置。

（a）

解：

习题I-3(a): 求门形截面的形心位置

矩形 Li Bi Ai Yci AiYci Yc 离顶边

上 400 20 8000 160 1280000

左 150 20 3000 75 225000

右 150 20 3000 75 225000 * *

14000 1730000 123.6 46.4

Ai=Li*Bi Yc=∑AiYci/∑Ai

(b)

解：

习题I-3(b): 求L形截面的形心位置

矩形 Li Bi Ai Yci AiYci Yc Xci AiXci Xc

下 160 10 1600 5 8000 80 128000

【陆工总结材料力学考试重点】之（第4章）

截面的几何性质

1、静矩与形心？

答：图形几何形状的中心称为形心。

对于图示的任意平面图形，任取一微元dA，设其坐标为（y，z），则定义：

平面图形对于z轴的静矩：𝑆

𝑧=∫𝑦𝑑𝐴

𝐴

平面图形对于y轴的静矩：𝑆

𝑦=∫𝑧𝑑𝐴

𝐴

定义平面图形对于坐标轴（y，z）的惯性积：𝐼

𝑦𝑧=∫𝑦𝑧𝑑𝐴

𝐴

根据积分的性质可知：当选取的y、z轴不一样时，则惯性积𝐼

𝑦𝑧也不一样。

若对于某对坐标轴𝑦

0、𝑧

0使得𝐼

𝑦0𝑧0=0，则该对坐标轴𝑦

0、𝑧

0称为主轴，过

形心的主轴称为形心主轴（注：求主轴非常麻烦，大家只需记住以下结论）。

结论：

1）圆截面的任何两条过圆心的且互相垂直的直径都是形心主轴；

2）矩形截面的两条对称轴就是形心主轴；

3）若截面有2跟对称轴，此两轴即为形心主轴，若截面只有一根对称轴，

则该轴必为形心主轴，令一形心主轴为通过形心且与该对称轴垂直的轴。

2、简单截面的惯性矩与极惯性矩？

答：

（1）惯性矩与极惯性矩的定义

如图，任意图形的面积为A，在其上任取微元dA，坐标为（y，z），则定义：

平面图形对于z轴的惯性矩为：𝐼

𝑧=∫𝑦2𝑑𝐴

𝐴

平面图形对于y轴的惯性矩为：𝐼

𝑦=∫𝑧2𝑑𝐴

𝐴

平面图形对坐标原点O点的极惯性矩为：𝐼

𝑝=∫𝜌2𝑑𝐴

𝐴

式中：𝜌为该微元dA到原点的距离，由图可知：𝑦2+𝑧2=𝜌2

则：𝐼

𝑝=𝐼

𝑦+𝐼

𝑧。

（2）常用截面的惯性矩和极惯性矩

①实心圆截面（注：直径为d，对于形心主轴（即y、z轴过圆心O））

𝐼

𝑝=𝜋𝑑432，又：𝐼

𝑝=𝐼

𝑦+𝐼

𝑧，故：𝐼

𝑦=𝐼

𝑧=𝜋𝑑464

②空心圆截面（注：外径为D，内径为d，空心比α=𝑑𝐷，对于形心主轴）

𝐼

𝑝=𝜋𝐷432（1−𝛼4），又：𝐼

𝑝=𝐼

材料力学--截面的几何性质答案

15-1(I-8) 试求图示三角形截面对通过顶点A并平行于底边BC的 轴的惯性矩。

解：已知三角形截面对以BC边为轴的惯性矩是 ，利用平行轴定理，可求得截面对形心轴 的惯性矩

所以

再次应用平行轴定理，得

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15-2(I-9) 试求图示 的半圆形截面对于轴 的惯性矩，其中轴 与半圆形的底边平行，相距1 m。

解：知半圆形截面对其底边的惯性矩是 ，用平行轴定理得截面对形心轴 的惯性矩

再用平行轴定理，得截面对轴 的惯性矩

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15-3(I-10) 试求图示组合截面对于形心轴 的惯性矩。

解：由于三圆直径相等，并两两相切。它们的圆心构成一个边长为 的等边三角形。该等边三角形的形心就是组合截面的形心，因此下面两个圆的圆心，到形心轴 的距离是

上面一个圆的圆心到 轴的距离是 。

利用平行轴定理，得组合截面对 轴的惯性矩如下：

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15-4(I-11) 试求图示各组合截面对其对称轴 的惯性矩。

解：（a）22a号工字钢对其对称轴的惯性矩是 。

利用平行轴定理得组合截面对轴 的惯性矩

（b）等边角钢 的截面积是 ，其形心距外边缘的距离是28.4 mm，求得组合截面对轴 的惯性矩如下：

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15-5(I-12) 试求习题I-3a图所示截面对其水平形心轴 的惯性矩。关于形心位置，可利用该题的结果。

解：形心轴 位置及几何尺寸如图所示。惯性矩 计算如下：

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15-6(I-14) 在直径 的圆截面中，开了一个

的矩形孔，如图所示，试求截面对其水平形心轴和竖直形心轴的惯性矩 和 。

解：先求形心主轴 的位置

即

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15-7(I-16) 图示由两个20a号槽钢组成的组合截面，若欲使截面对两对称轴的惯性矩 和 相等，则两槽钢的间距 应为多少？

解：20a号槽钢截面对其自身的形心轴 、 的惯性矩是 ，

《材料力学》附录I截面的几何性质习题解

附录Ｉ 截面的几何性质 习题解

[习题I-１] 试求图示各截面的阴影线面积对x轴的静积。

(ａ)

解:)(24000)1020()2040(3mmyAScx

(b）

解：)(42250265)6520(3mmyAScx

(c)

解：)(280000)10150()20100(3mmyAScx

(ｄ)

解：)(520000)20150()40100(3mmyAScx

[习题I-２］ 试积分方法求图示半圆形截面对x轴的静矩，并确定其形心的坐标。

解:用两条半径线和两个同心圆截出一微分面积如图所示。

dxxddA)(;微分面积的纵坐标：sinxy；微分面积对x轴的静矩为：

dxdxxdxxdydxxdydAdSxsinsin)(2

半圆对x轴的静矩为: 《材料力学》附录I截面的几何性质习题解

32)]0cos(cos[3]cos[]3[sin33003002rrxddxxSrrx

因为cxyAS,所以cyrr232132 34ryc

［习题I-3] 试确定图示各图形的形心位置。

（a)

解：

习题I-3（a)： 求门形截面的形心位置

矩形 Lｉ Bi Ai Yci AｉYci Yｃ 离顶边

上 4

左 2２5000

右 225０００

14000 12３.6 46.4

Aｉ=Ｌi*Bｉ Yc=∑AiYｃi/∑Ai

(b)

解：

习题I-3(ｂ): 求L形截面的形心位置

矩形 Ｌi Bi Aｉ Yｃi AiYcｉ Yｃ Ｘci AiXci Ｘc

下 16 0 80 128000

左 9 00 ５ 4500

2500 57５０0 2３ １3250０ 53