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7.27.4共轴球面光学系统

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7.2-7.4共轴球面光学系统解析

7.2-7.4共轴球面光学系统解析

I ' U ' 同理，在像方可得 OE L 'sin U '/ cos 2
则
2
I Q
E
I ' U ' I ' U ' cos L sin U cos 2 2 L ' OE I U sin U ' sin U 'cos 2
A
U -L
φ O r
C L'
U'
7.2 单个折射球面的折射
近轴光的光路计算公式
近轴光线的光路计算则按实际光线的光路计算公式近似简化为
l r ， i r
n i' i ， n'
u#39; r (1 u'
当光线平行于光轴时
h sin I r
h i r
7.2 单个折射球面的折射
近轴光的光路计算公式
符号法则
注意：几何图形上各量一律标注其绝对值，因此，对图 中负量必须在该量的字母前加一负号。
7.2 单个折射球面的折射
单个折射球面的光路计算公式 光线的单个折射球面的光路计算，是指在给定单 个折射球面的结构参量n、n’和r，由已知入射光线 坐标L和U，计算折射后出射光线的坐标L’和U’。 L和 L’分别为物方、像方截距；U和U’分别为物方、 像方孔径角。 单考虑折射球面的折射原因是：大多数光学系统由 折、反射球面或平面组成的共轴球面光学系统；平面 可以看成曲率半径取于无穷大；反射是n’=-n时的特 例.
7.2 单个折射球面的折射
单个折射球面的光路计算公式
如图，在ΔAEC中，应用正弦定律 ，得
sin AEC sin(U ) L r r
又 sin I

共轴球面系统成像的原理

共轴球面系统成像的原理

共轴球面系统成像的原理
共轴球面系统（Spherical Coordinate Imaging，SCI）是一种用于成像的技术，其原理基于球面坐标系的数学模型，将空间中的点用三个参数（径向距离、角度和极角）来描述，即r（径向距离）、θ（角度）和φ（极角）。

共轴球面系统成像的原理如下：
1. 首先，将待成像区域划分为一系列小单元，每个小单元对应一个球面坐标系上的点。

2. 对于每个小单元，通过探测器阵列采集其反射或散射的光线，并将其转化为电信号。

3. 将每个小单元对应的球面坐标转化为直角坐标系中的坐标点，并将其输入到图像处理系统中。

4. 图像处理系统根据每个坐标点的位置和亮度信息，计算出其在图像中的像素值，并将其输出到显示器上，从而得到共轴球面系统的成像结果。

共轴球面系统成像的优点在于能够提供比传统成像技术更为全面和详细的图像信息，特别是在对复杂目标的成像方面具有优势。

此外，
共轴球面系统成像还具有高分辨率、高信噪比和低失真率等优点，因此在医学成像、工业检测、天文观测等领域得到了广泛应用。

第二章 共轴光学系统

第二章 共轴光学系统

例3、有一个玻璃球，直径为2R，折射率为
1.5。一束近轴平行光入射，将会聚于何处？
若后半球镀银成反射面，光束又将会聚于何
处？
例4、有一共轴球面系统为一双胶合透镜组，
如下图所示，其结构参数见下表：
序号
0 1 2 3
球面半 球面间 折射率n 径r/mm 距d/mm 1 36.48 6.5 1.5163 -17.539 2.0 1.6475 -44.64 1
由上式可见：
n 2 0 n
且一般：
（除非
所以物和像同方向移动。
1 、 n n
）
提问：立方体成像还是立方体吗？
③、角放大率
u l 角放大率 u l
n nu n 1 ( ) n nu n
n 2 n
n 1 n
第二章
§2.1
共轴球面光学系统
符号法则
基本参量：物距L，像距L‘，光线入射高度h，
球面半径r
1、光路方向通常
规定：
光线从左到右传
播定为光路正
向，反之取负。
2、线量的正负号（直角坐标系） 原点：球面顶点0；横轴：光轴。 正：线段向右，向上为正；负：线段向左，向 下为负。
3、角度的正负号 孔径角：轴上物像点对光学系统的张角。 物方孔径角、像方孔径角、球心角、入射 角、折射角正负与其正切值正负一致。
物平面沿轴方向移动一微量 dl 像平面沿轴方向移动一微量 dl ' 。
dl 定义： 轴向放大率 dl
利用（2-14）式
n n n n l l r ndl ndl 2 2 0 l l 2 dl nl 2 dl nl
对其求导

第二节共轴球面系统及其基点

第二节共轴球面系统及其基点
物空间主点（第一主点）：物空间主平面与光轴交点
象空间主平面：物空间平行光线延长线与过F’光线的延长线的 交点M’，过M’向光轴所作的垂轴平面。
象空间主点（第二主点）象空间主平面与光轴交点。
FH -x -f
-l
H'
F’
f’
x’
l’
主平面还可定义为：系统垂轴放大率为正1, 1的两个
共轭垂轴平面
物空间焦距HF: 物空间主点H到物空间主焦点F的距离 象空间焦距H’F’ : 象空间主点H’到物空间主焦点F’的距离
f' f 1 l' l
对高斯公式进行微分

f
' dl


dl' dl


f l'2 f 'l2

n n'

l'2 l2

n' ( nl' )2 n n'l
n' 2
n
5、角放大率
定义：象方孔径角u’ 的正切与物方孔径角 u的正切之比
F
-x -f -l
F’
f’
-h2 -u2’
-u3
l’2
-l3
r2 d2
n2 n1' 转面公式 u2 u1'
n3 n2' nk nk1' u3 u2' uk uk1'
l2 l1' d1 l3 n2' d 2 lk lk1' -dk-1
n1
n’1=n2
-u1
h1 u1’
n'u' y' nuy
拉赫公式 n1u1 y1 n2u2 y2 n3u3 y3 nk uk yk J

工程光学第2章 共轴球面光学系统

工程光学第2章 共轴球面光学系统
10
共轴球面光学系统
§2.4
共轴球面系统的成像
11
1. 过渡公式
共轴球面光学系统
, n3 n2 , , nk nk 1 n2 n1 , u3 u2 , , uk uk 1 u2 u1 , y3 y2 , , yk yk 1 y2 y1
a b 2
单个反射球面成像
1 1 2 l l r f f r 2
b 1
物点位于球心时
a 1
g 1 b
g 1
9
共轴球面光学系统
b l l
a b 2
g 1 b
J uy uy
球面镜的拉赫不变量
结论
a<0，物体沿光轴移动时，像总是以相反方向移动。 通过球心的光线沿原光路反射。 反射球面镜的焦距等于球面半径的1/2。
3、角放大率g
g
u l n n' l n 1 u l n' nl n' b
n
ag b
n
h
I
nuy nuy J
单折射球面光学系统 拉赫不变量
I
y
U
o

U
r
l'
y
-l
7
共轴球面光学系统
结论：
1.

b是有符号数，具体表现为
成像正倒：当b>0时，表明y’、y同号，成正像；否则，成倒像。 成像大小：当|b|＝1时，表明|y’|=|y|，像、物大小一致；|b|>1时， 表明|y’|>|y|，成放大的像；反之，成缩小的像。 成像虚实：当b>0时，表明l’、l同号，物像同侧，虚实相反；否 则，物像异侧，虚实相同。

共轴球面光学系统特点

共轴球面光学系统特点

共轴球面光学系统特点
共轴球面光学系统是一种采用球面反射镜的光学系统，它由一个球面
反射镜和一个准直物镜组成，它可以聚焦起一束高度集中的光束来实现观
测或其他应用目的。

共轴球面光学系统能够提供高度集中的光束，使其能
够在极短的像差范围内获得高质量的图像，在科学、工业、医学、检测等
领域有着广泛的应用。

其主要特点有：
1、透射特性卓越：由于共轴球面光学系统采用的球面反射镜是镀铬
或钎焊的，具有良好的光学性能，其较高的反射率可以使光的各种波长的
透射率都达到较高的水平。

2、聚焦效果好：由于共轴球面光学系统采用的设计原理是根据透镜
来实现聚焦，因此可以较好的实现视野的高度放大，使其能够有效聚焦。

3、维护方便：共轴球面光学系统采用的是球面反射镜，它只需要定
期清洁即可，而且它没有润滑要求，所以维护非常方便。

4、耐用性强：共轴球面光学系统采用的是优质的、耐用的球面反射镜，可以保证长期使用的稳定性，耐用性也很强。

5、体积小：共轴球面光学系统采用的是非折射性镜片，所以体积小，可以更容易地应用于有空间限制的系统中。

第二章球面和共轴球面系统分析

要讨论成像规律，即像的虚实，成像的位置、正倒和大 小问题，必须计算出光线的走向，所以我们先讨论计算公式。 光线经过单个折射球面的情况如图所示。 包含光轴和物点的平面称为含轴面（纸面）或子午面。 计算的目的：光从何处来，经何处到哪里去（由此得出由物 点发出的光线经过系统后能否交到一点完善成像）？
首要问题：用什么量（怎样）来决定光线在空间中的位置？
对AEC应用正弦定理得 L r r Lr 即 sin I sin U 可求出I sin I sin （ U） r n 据折射定律 sin I ` sin I 可求出I ` n` 对AEC和A`EC应用外角定理 U I U ` I ` U ` U I I ` 可得到U ` sin I ' sin U ' sin I 在A ' EC中 ，利用正弦定律 L ' rr L ' r r sin U
从光轴起算，光轴转向光线（按锐角方向）， 顺时针为正，逆时针为负。
入射角、折射角 从光线起算，光线转向法线（按锐角方向）， 顺时针为正，逆时针为负。 ③ 光轴与法线的夹角（如） 从光轴起算，光轴转向法线（按锐角方向）， 顺时针为正，逆时针为负。
二、实际光线经过单个折射球面的光路计算
已知：折射球面曲率半径r，介质折射率n和n′，及物方坐标L和U。 求：像方L ′和 U ′。
共轴球面系统由许多单个球面构成，当计算出第一面后， 其折射光线就是第二面的入射光线。
U 2 U1; L2 L1 d1
再由相邻两折射球面间的关系，求出下一个球面的折 射光线。
第四节 球面反射镜成像
n n n n 成像公式： l l r

n n
1 1 2 l l r

工程光学 章节2 球面系统

3. 光路计算是根据给定的光学系统，由物求像或由像 求物的过程。 4. 光路计算是根据几何光学的基本定律利用成像光路 图建立起的物象计算式。
光线经球面折射时的光路计算
要讨论成像规律，即像的虚实，成像的位置、正倒和大小问题，必须 计算出光线的走向，所以我们先讨论计算公式。 包含光轴和物点的平面称为含轴面（纸面）或子午面。
第一种情况
求光束经过两次成像后的会聚，图 已知系统 r1 R r2 R n1 1 n2 1.5 n3 1
•第一次成像
n1 1
n'1 1.5
r R
l1
1.5 1 1 .5 1 l '1 R
l1 '求得
A′ -Y′ B′
规则： 以球面的顶点为原点 2-1 沿轴量向右取正，向左取负 垂轴量向上取正，向下取负
单个球面的折射光路
B Y
A -U -L n E I
h I′ O C U′ r L′
n′
A′ -Y′ B′
2-1
角度的符号
• 角度量：U、U′、I、 I ′、φ
规则： 角度正切值为正时该角度为正，反 之为负
第二章 共轴球面光学系统
第一节 光路计算
• • • • 一、概述 二、符号规则 三、单个球面的成像计算 四、共轴球面的成像计算
一、概述
1. 绝大多数光学系统由球面、平面或非球面组成，如 果各曲面的曲率中心在一条直线上，则称该光学系 统为共轴光学系统，该直线为光轴。
2. 非球面, 如抛物面、椭球面等对某些位置等光程的 像质不错, 但加工检验有一定困难。因此，后面的讨 论主要是由球面和平面组成的光学系统。
• 实际光线的光路计算
严格按照几何光学基本定律的光线计算，这类 光线称为实际光线

球面与共轴球面系统

y l r n l
y l r n l
说明：a) β取决于n、 n′、l′、l b) β> 0，l 、l′同号，物象同侧，虚实相反 β< 0，l 、l′异号，物象异侧，虚实相同 c) β> 0，成正象 β< 0，成倒象 d) β> 1，成放大象 β< 1，成缩小象
2. 轴向放大率：光轴上一对共轭点沿轴移动量之间的比值
§ 2－3 共轴球面系统
探讨方法：将光线的光路计算公式及放大率公式反复应用于各个 折射面，分别求出各面的u、 u′、l 、 l′、Q、Q ′、β、α、γ、 y、y′J、J′。 转面公式— 前后相邻面之间的基本量的转化关系。 主要内容：1、结构参量；
sin I L r sin U r
sin I n sin I n
U U I I
L r r sin I sin U
（点成象）
小结：
5、近轴光计算公式：
i lru r
i n i n
u u i i
l r r i u
6、四个常用的推导公式：
h lu lu
Q n(1 1) n(1 1 )
3、四线：截距：顶点到光线与光轴交点的距离（L、L′－物方截距、 象方截距）；r－球面曲率半径； h－入射高度；
4、界面：n 、n′－物象方空间折射率；OE－折射球面 。
三、 符号法则（线段和角度，便于统一计算）
1、线段：规定光线从左向右传播 a）沿轴线段 L、L′、r、d
以O为原点， 与光线传播方向相同，为“＋” 与光线传播方向相反，为“－”
逆时针为“－” 夹角的优先级：“光轴－光线－法线” 3、所有参量是含符号的量，但图示标为参量的大小。
四、 远轴光的计算公式（实际光线光路计算）（点成象）

第二章 共轴球面系统中的光路计算公式汇总

What’s the use of paraxial optics 1. As a criterion to scale the factual optical system. Paraxial optics is a perfect optical system so it images perfectly.
When object index equals image index
Sometimes, for improving magnification, we can improve object index, like microscope.
l' l
2. The relative expression of object-image size
l'
l '，u' f (n, n' , r , l , u) ?
1. Positional relations of object and image
Definition: Projective height h 光线与球面的交点到光轴的距离，以光轴为计算起点，投射点 在光轴上为正，在光轴下为负。
L2 L1 'd1
1
a
a'
d1
2
b
b'
L1 ' n1
n2 n1 '
L2 n2 '
§2-2 Symbol rules
Why do we need symbol rules?
L
L
L
L
§2-2 Symbol rules
line segment Let: 从左向右为正，从下向上为正。 1. L, L’：由球面顶点算起到物像距，在左为负，在右为正。 2. r：由球面顶点算起到球心，球心在顶点左为负，在右为正。 3. d：由前一面顶点算起到下一面顶点，向左为负，向右为正。
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点的位置有关。这个量在像差中有重要用途。
h
（2） n ' u ' nu (n ' n )
孔径变化式
r
表示近轴光经球面折射前后的孔径角 u 和 u ' 的关系 。
2020/9/27
7.3 单个折射球面近轴区成像
（3） n' n n'n “距度”（距离倒数）变化式或物像公式 l' l r
该式表示折射球面成像时，物像位置 l 和l ' 之间的关系。已
2020/9/27
7.2 单个折射球面的折射
➢ 单个折射球面的光路计算公式
如图，在ΔAEC中，应用正弦定律 ，得
sinAECsin(U)
Lr
r
又 sinIsin A E C
sin I (L r) sin U r
2020/9/27
7.2 单个折射球面的折射
➢ 单个折射球面的光路计算公式
在光线的入射点处应用折射定律
②当β>0，y’和y同号，成正像；l '和l 同号，物像位于球面的同
侧，实物成虚像，虚物成实像。 ③当∣β∣>1，为放大像；∣β∣<1，为缩小像。
2020/9/27
7.3 单个折射球面近轴区成像
➢ 轴向放大率
当物体在给定位置有一微量位移dl，其像也在像点位置处有一
微量位移dl′，定义dl′与dl 的比值为轴向放大率，用 表示.
➢ 高斯公式和牛顿公式
将r
/(n'
n)
乘以物象公式
n' l'
ห้องสมุดไป่ตู้
n l
(n
r '
n)，得
f' f 1
l' l
球面折射的高斯公式
2020/9/27
7.3 单个折射球面近轴区成像
➢ 光焦度
物像公式右端的 r /(n'n) 仅与介质的折射率及球面曲率半径
有关，因而对于一定的介质及一定形状的表面来说是一个不变
2
E
则
I Q
cosI'U' L'OE 2
LsinUcosI'U'
2
A
U
O
sinU'
sinU'cosIU
-L
φC
U'
r
L'
2
2020/9/27
7.2 单个折射球面的折射
➢单个折射球面的光路计算公式
见课本例题7-1，7-2
2020/9/27
7.2 单个折射球面的折射
➢ 近轴光的光路计算公式
如图，从A点发出的离光轴很近的光线称为近轴光，此时，U
点是轴上无限远物点的像点，称为球面的像方主焦点或第二主焦
点。从顶点O 到F ' 的距离称为第二主焦距，用 f ' 表示。由物象关
系式
f'
n' n n'n
l' l r
有 l' f ' n' r n'n
2020/9/27
（2.1）
F' O
n n'
7.3 单个折射球面近轴区成像
➢物像公式
同理，如图有球面的物方焦点 F 及物方焦距 f ，且
为拉格朗日－亥姆霍兹不变量，简称拉亥不变量。
2020/9/27
7.5 共轴球面系统
上面讨论了单个折射球面的光路计算及成像特性，它对构成 光学系统的每个球面都适用。因此，只要找到相邻两个球面之间 的光路关系，就可以解决整个光学系统的光路计算问题。
首先先介绍如何由一个面过渡到下一个面的转面计算问题。
2020/9/27
光线的单个折射球面的光路计算，是指在给定单 个折射球面的结构参量n、n’和r，由已知入射光线 坐标L和U，计算折射后出射光线的坐标L’和U’。
L和 L’分别为物方、像方截距；U和U’分别为物方 、像方孔径角。
单考虑折射球面的折射原因是：大多数光学系统由 折、反射球面或平面组成的共轴球面光学系统；平面 可以看成曲率半径取于无穷大；反射是n’=-n时的特 例.
sin I ' n sin I n'
由图知
U I U'I'
像方孔径角 U'U I I'
在ΔCEA′中再次应用正弦定律
sin I ' sinU ' 得像方截距 L' r(1 sinI ' )
L' r r
sinU'
2020/9/27
7.2 单个折射球面的折射
➢ 单个折射球面的光路计算公式
从而实现：光线的单个折 射球面的光路计算，是指在 给定单个折射球面的结构参 量n、n’和r，由已知入射光 线坐标L和U，计算折射后出 射光线的坐标L’和U’。
2020/9/27
7.2 单个折射球面的折射
➢完善成像条件
一个物点发出的同心光束与球面波相对应。如果该 球面波经光学系统后仍为一球面波，对应的光束仍为同 心光束，则称该同心光束的中心 A ' 为物点 A 经光学系统 所成的完善像点。
结论：物点和相应的像点之间各光线的光程相 等。因而，等光程是完善成像的物理条件。
7.3 单个折射球面近轴区成像
➢ 角放大率
如物体以某一孔径角u入射到折射球面上，经折射后以孔径角 u′成像，定义u与u′的比值为角放大率，用γ表示。
u'
u
利用关系式lu l 'u' 可得
l l'
与垂轴放大率 b y ' nl ' 比较 n 1
得
y n 'l
n' b
又知 n ' b 2 ，则 n' b2 n 1 b
E
lul'u'h A
-u
h
-l O D l′
u′
A′
2020/9/27
2-4
7.3 单个折射球面近轴区成像
将近轴成像公式作线性变换，还可以进一步推导出如下计算式
（1）
n'
1 (
1
)
n(
1
1 )
Q
r l'
rl
阿贝不变式
阿贝不变式表明，单个折射球面，物方和像方的一些参量具有
不变量形式，称为阿贝不变量，用字母Q表示，Q的大小只与共轭
量，它表征球面的光学特征，称之为该面的光焦度，以 表示：
(n ' n)
r
当r以米为单位时， 的单位称为折光度，以字母D表示。
根据光焦度及焦距公式，单个折射球面两焦距和光焦度之间
的关系为
n' n
f' f
则，焦距 f 和 f ' 也是折射面的特征量。
2020/9/27
7.3 单个折射球面近轴区成像
知物或像的位置l 或 l ' 和r , n , n ' 可方便求出其相共轭的像或物
的位置 l '和l 。通常， l 称为物距，l ' 称为像距，两者均以折射
面顶点为起点。
2020/9/27
7.3 单个折射球面近轴区成像
➢ 物像公式
若物点位于轴上左方无穷远，即物距 l ，此时入射光
线平行于光轴，经球面折射后交光轴与 F ' 点，如图，这个特殊
➢ 垂轴放大率
如图，设物体大小为y，像的大小为y′，则y′和y的比值定义
为垂轴放大率，用β表示
b y'
y
B y
像高即为 y ' b y
A
由 A B C ~ A 'B 'C ' 得
n
iE
n′
-u
O
i′ C u′ A′
r
-y′
-l
l′
B′
y ' l ' r y l r
1 1 11 n'( )n( )
2020/9/27
7.2 单个折射球面的折射
➢ 单个折射球面的光路计算公式
当物体位于物方轴上无限远时，这时可以认为轴上物点发出的 是平行于光轴的平行光束，即L=－∞，U=0， 如图所示。
此时，不能用 sin I (L r) sin U 计算入射角，而应按下式
计算，即
r
sin I h r
h 为光线的入射高度
IE
h r I′
U′
A′
OD
C
2020/9/27
2-3
7.2 单个折射球面的折射
➢单个折射球面的光路计算公式
为保证光路计算的准确性（光路计算数字位较多，一般取 ６位，而且计算复杂），下面导出光路计算的校对公式，避免 错误。
如图OQAE , 由直角三角形 OEQ和OAQ 得
E I Q
OE OQ cosQOE
r l' r l
2020/9/27
b y ' nl '2-6 y n 'l
7.3 单个折射球面近轴区成像
➢ 垂轴放大率
上面推导结果说明：垂轴放大率β由共轭面的位置决定，在同一 共轭面上，β为常数，所以像物相似。
① 当β<0，y’和y异号，成倒像；l ' 和l 异号，物像位于球面的两
侧，实物成实像，虚物成虚像。
7.5 共轴球面系统
➢ 转面（过渡）公式
设一个共轴光学系统由k个面组成，其成像特性由下列结构参数 确定： ①各球面的曲率半径r1,r2,…,rk。
②相邻球面顶点间的间隔d1,d2,…,dk-1,其中d1为第一面顶点到第 二面顶点间的沿轴距离，d2为第二面顶点到第三面顶点间的沿轴 距离，其余类推。