§2 2.2 函数的表示法

§2.2 函数的表示法教学设计安徽省宿州市第二中学 柏长胜教学目标：1.使学生掌握函数的常用的三种表示法；2.使学生能根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，了解函数不同表示法的优缺点；3.使学生理解分段函数及其表示法，会处理某些简单的分段函数问题；4.培养学生数形结合与分类讨论的数学思想方法，激发学生的学习热情。

教学重点：函数的三种表示法及其相互转化，分段函数及其表示法教学难点：根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，分段函数及其表示法。

教学过程：一、新课引入复习提问：函数的定义及其三要素是什么？函数的本质就是建立在自变量ｘ的集合Ａ上对应关系，在研究函数的过程中，我们常用不同的方法表示函数，可以从不同的角度帮助我们理解函数的性质，是研究函数的重要手段。

请同学们回忆一下函数有哪些常用的表示法？ 答：列表法是、图像法、解析法 二、新课讲解请同学们阅读课本P28-P29例2以上部分内容，思考下列问题： 1. 列表法是、图像法、解析法的分别是怎样定义的？ 2. 这三种表示法各有什么优、缺点？函数的三种表示法并不是相互独立的，它们可以相互转化，是有机的一个整体，像我们非常熟悉的一次函数、二次函数，我们都可以用列表法是、图像法、解析法来表示和研究它们。

下面我们再通过几个具体实例来研究函数的列表法是、图像法、解析法的相互转化和应用。

例1、 请画出下列函数的图像。

,0,0x x y x x x ≥⎧==⎨-≤⎩解：图像为第一和第二象限的角平分线， y 如图2-5所示0 x图2-5本题体现的是由数到形的变化，是数形结合的数学思想方法。

问1.如何作出函数1y x =-的图像？ 2.如何作出函数1y x =-的图像？ 3. 如何作出函数23y x =+-的图像？4.思考：如何由函数y x =的图像得到函数y x a b =++的图像？5.试求函数y x =与函数y=1的图像围成的图形的面积。

例2、 国内跨省市之间邮寄信函，每封信函的质量和对应的邮资如表2-5:(多媒体课件显示)表2-5信函质量(m)/g邮资(M)/元1.202.403.604.806.00画出图像，并写出函数的解析式。

§2.2函数的表示1、函数的表示法（1）解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式.优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值.中学阶段研究的函数主要是用解析法表示的函数.（2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系.优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值.（3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系.优点：能直观形象地表示出自变量的变化，相应的函数值变化的趋势.2、分段函数：有些函数在它的定义域中，对于自变量x 的不同取值范围，对应法则不同，这样的函数称为分段函数.分段函数是一个函数，而不是几个函数.3、求函数解析式的方法：（1）待定系数法；（2）换元法；（3）方程法 ；（4）配凑法等.4、作函数图象的一般步骤：（1）确定函数定义域；（2）化简或变形函数表达式（一般来说可化简成常见函数或其复合函数）；（3）利用描点法或图象变换法作出图象.5、常见的图象变换有：平移变换、对称变换和翻折变换等.独立自测1．下列四种说法正确的有( )①函数是从其定义域到值域的映射；②f(x)＝x －3＋2－x 是函数；③函数y ＝2x(x ∈N)的图象是一条直线；④f(x)＝x2x与g(x)＝x 是同一函数． A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个2．下列各个图形中，不可能是函数y ＝f(x)的图象的是( )3．函数y ＝f(x)的图象如图所示，根据函数图象填空：(1)f(0)＝________；(2)f(1)＝________；(3)若－1＜x1＜x2＜1，则f(x1)与f(x2)的大小关系是________．4、函数2)1(+=x y -2的图象可由函数2x y =的图象经过（ ）得到.A 、先向右平移1个单位，再向下平移2个单位B 、先向右平移1个单位，再向上平移2个单位C 、先向左平移1个单位，再向下平移2个单位D 、先向左平移1个单位，再向上平移2个单位5、函数1)1(2-+-=x y 的图象与函数1)1(2+-=x y 的图象关于（ ） A 、y 轴对称 B 、x 轴对称 C 、原点对称 D 、以上都探究案例. （1）已知f (x )是一次函数，且满足3f (x +1)-2f (x -1)=2x +17,求f (x )（2）已知)(x f 是一次函数, 且14))((-=x x f f ,求)(x f 的解析式 ；(3)已知2211)11(x x xx f +-=+-，试求)(x f 的解析式.（ 4）已知x x x f 2)1(+=+,求)(x f ；（5）已知)(x f 满足x x f x f 3)1()(2=+，求)(x f训练案1、已知11)1(+=x x f ，那么)(x f 的解析式为 （ ） A 、11+x B 、x x +1 C 、1+x xD 、x +1A 、B 、C 、D 、2、已知⎪⎩⎪⎨⎧+=10)(x x f π )0()0()0(>=<x x x ，则_______)]}1([{=-f f f .3、已知f (x )=x x 22+，则f (2x +1)= .4、已知二次函数y ＝f(x)的最大值为13，且f(3)＝f(－1)＝5，求f(x)的解析式，。

精品教学设计函数的表示方法设计理念：以建构主义理论为支持，以回顾旧知——探索新知———例题讲解————巩固新知为主线，注重新课引入，通过分析比较三种不同表示方法的优缺点及分段函数概念的正确理解，更好的掌握这节课的内容教学目标：知识目标：会用三种表示方法表示常用的函数，了解三种表示方法的优缺点。

理解分段函数的概念，掌握画分段函数图像的方法。

能力目标：渗透分类、比较、归纳的数学思想情感目标：注重数学知识与实际生活得紧密联系，增强数学的趣味性，提高学生学习数学的兴趣教学重点：函数表示方法教学难点：分段函数的定义，作图教学准备：制作ppt,几何画板只做例题片段，学生提前预习教学过程：回顾旧知：通过三个具体例子，从解析式，图像，表格三个方面复习函数的概念。

(1)气温的摄氏度数x与华氏度数y之间可以进行9325y x=+转化，华氏度数y是不是摄氏度x的函数？为什么？(2)某气象站测得当地某一天的气温变化情况如图所示：(3)近年来上海市区的环境绿化不断得到改善，下表是上海市区人均绿化面积变化的一些统计数据：探索新知：回顾以前学过的函数引入解析法，观察图表引入图表法，根据图像得到图像法。

引导学生自己得出三种表达方式的定义及优缺点。

老师进行总结归纳解析法：即全面地概括了变量之间的依赖关系，又简单明了，便于对函数进行理论上的分析和研究．但有时函数不能用解析法表示，或很难找到这个函数的解析式．列表法：自变量的值与其对应的函数值一目了然，查找方便．但有很多函数，往往不可能把自变量的所有值与其对应的函数值都列在表中．图像法：非常直观，可以清楚地看出函数的变化情况．但是，在图像中找对应值时往往不够准确，而且有时函数画不出它的图像，还有很多函数不可能得到它的完整图像．用适当的方法表示函数，或者把几种方法结合起来，能够帮助我们更好的理解函数和运用函数解决问题讲解例题。

： 例２、某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：（1）5公里以内（含5公里），票价２元；（2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里的按5公里计算）。

2 对函数的进一步认识2.2 函数的表示法教学目标：1.了解函数的一些基本表示法(列表法、图象法、解析法),2.通过具体实例,了解简单的分段函数,3.会用描点法画一些简单函数的图象,教学重点、难点：教学重点:函数的三种表示方法,分段函数教学难点:分段函数的表示及其图象,教学过程第1课时导入新课：我们前面已经学习了函数的定义,函数的定义域的求法,函数值的求法,两个函数是否相同的判定方法,那么函数的表示方法常用的有哪些呢？这节课我们就来研究这个问题(板书课题).一、函数的三种表示法提出问题：初中学过的三种表示法:解析法、图象法和列表法各是怎样表示函数的？讨论结果：(1)解析法:用数学表达式表示两个变量之间的函数关系,这种表示方法叫做解析法,这个数学表达式叫做函数的解析式.(2)图象法:以自变量x的取值为横坐标,对应的函数值y为纵坐标,在平面直角坐标系中描出各个点,这些点构成了函数的图象,这种用图象表示两个变量之间函数关系的方法叫做图象法.(3)列表法:列一个两行多列的表格,第一行是自变量的取值,第二行是对应的函数值,这种用表格来表示两个变量之间的函数关系的方法叫做列表法.例1 某种笔记本的单价是5元,买x(x∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y元,试用三种表示法表示函数y=f(x).活动：此处“y=f(x)”有三种含义,它可以是解析表达式,可以是图象,也可以是对应值表.本题的定义域是有限集,且仅有5个元素.解：这个函数的定义域是数集{1,2,3,4,5},用解析法可将函数y=f(x)表示为y=5x,x∈{1,2,3,4,5}.解析法的特点：简明、全面地概括了变量间的关系;可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值,便于用解析式来研究函数的性质,还有利于我们求函数的值域;图象法的特点：直观形象地表示自变量的变化,相应的函数值变化的趋势,有利于我们通过图象来研究函数的某些性质,图象法在生产和生活中有许多应用,如企业生产图、股市走势图、心电图等。

学习资料2.2 函数的表示法(一）内容标准学科素养1。

掌握函数的三种表示法：解析法、列表法、图像法以及各自的优缺点．2。

在实际问题中，能够选择恰当的表示法来表示函数．3。

能利用函数图像求函数的值域，并确定函数值的变化趋势。

加强逻辑推理提升数学运算增强直观想象授课提示：对应学生用书第20页［基础认识]知识点函数的表示法错误!某同学计划买x(x∈{1，2，3,4，5})支2B铅笔,每支铅笔的价格为0。

5元，共需y元，于是y与x之间建立起了一个函数关系．（1)函数的定义域是什么？提示:{1，2,3,4，5｝．(2)y与x有何关系？提示:y＝0.5 x。

（3）试用表格表示y与x之间的关系．提示：表格如下:支数(x）1234 5钱数(y）0。

51 1.52 2.5知识梳理函数的表示方法错误!思考：1。

任何一个函数都能用解析法表示吗？提示：不一定．如一年内每天的气温与日期间的关系，每日股票的价格同开盘时间的关系等等，都不能用解析法表示．2．你能说一下三种表示法各自的优缺点吗？提示：表示法优点缺点解析法简明、全面概括了变量间的关系；利用解析式可以求任一点处的函数值不够形象、直观而且并非所有的函数都有解析式列表法不需计算可以直接看出自变量对应的函仅能表示自变量取较少的有限的对应关数值系图像法能形象直观地表示函数的变化情况只能近似求出自变量的值所对应的函数值,而且有时误差较大3。

如何判断一个图形是否可以作为函数的图像？提示：任取一条垂直于x轴的直线l，在定义域上移动此直线，若直线l与图形只有一个交点，则是函数的图像，若有两个或两个以上的交点，则不是函数的图像．[自我检测］1．下列各图像中,不可能是函数y＝f(x)的图像的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个解析：判断一个图像是否是函数图像，其关键是分析是否满足定义域内的任意一个x，都有唯一确定的y与之对应．故①②可能是函数图像．③④一定不是y＝f（x)的图像．答案：B2．下列用图表给出的函数关系中，当x＝6时，对应的函数值y＝（）x 0＜x≤11＜x≤55＜x≤10x＞10y 123 4A.2 B．解析：5＜x≤10时,y＝3，∴x＝6时，y＝3.答案：B3．已知f(x）是正比例函数且过点(1,1)，则f(x）＝________.解析:设f(x）＝kx（k≠0）,由题意可知f(1)＝k＝1，∴f（x)＝x.答案:x授课提示:对应学生用书第21页探究一函数的三种表示方法［例1]下列式子或表格:①y＝2x,其中x∈｛0,1，2，3｝，y∈{0，2，4｝；②x2＋y2＝2；③y＝x－2＋1－x；④x 1234 5y 9089888595其中表示y是x［思路点拨]解答本题的关键是分析所给式子或表格是否满足函数的定义．[解析］①不表示y是x的函数，因为当x＝3时，y没有值与其对应;②不表示y是x的函数，因为当x＝1时,y＝±1，即y有两个值与x的值对应;③不表示y是x的函数，因为原表达式中x∈∅；④能表示y是x的函数,因为该表格既满足函数概念中的确定性也满足唯一性．[答案]④方法技巧函数表示法的注意事项:(1)列表法、图像法、解析法均是函数的表示方法，无论用哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念．（2)判断所给图像、表格、解析式是否表示函数的关键在于是否满足函数的定义．跟踪探究1。

§2 .2函数的表示方法【学习目标】1、了解函数的基本表示方法，分段函数；理解函数图像及解析法的意义，分段函数的意义；掌握解析式求法，描点法画出图像；2、通过函数图像的理解，体会数形结合；3、激情投入、高效学习、踊跃展示、大胆质疑。

体验自主学习的快乐和成功的愉悦。

【学习重点】：函数的图像法和解析法。

【学习难点】：求函数解析式及对分段函数的理解应用。

预习案 一、问题导学 1、函数的表示法 （1）列表法： （2）解析法： （3）图像法： 讨论：函数的三种表示方法各有什么优缺点？ 2、分段函数：如果函数y=f(x),x ∈A.根据自变量x 在A 中不同的取值范围，有着不同的对应关系，那么这样的函数称为分段函数。

二、预习自测 1、已知()x f 为二次函数，且()32-=f ，()72-=-f ，()30-=f ，求()x f 并作出图像。

2、由下表给出函数()x f y =，则))1((f f 等于（ ），))3((g f 等于（ ）。

x 12 3 4 5 ()x f 4 5 3 2 1x 12 3 ()x g3 2 1导学案装订线3、已知函数()⎩⎨⎧>-≤+=)0(,2)0(,12x x x x x f ，若()2=x f ，则x = 。

【我的疑惑】____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________.探究案探究一：求函数的解析式1、 根据条件，求函数解析式（1）已知函数()x f 是一次函数，且49)]([+=x x f f ，求()x f ；（2）已知()x x x f 24122-=-，求()x f ； （3）已知x x f xf =+)()1(2)0(≠x ，求()x f 。