等差数列

数列专题（一）——等差数列1．等差数列定义：⇔∈=-+为常数d N n d a a n n ),(*1数列}{n a 为等差数列。

2．等差数列的通项公式1(1)n a a n d =+-； 3．等差数列的前n 项和：公式1：2)(1n n a a n S +=；公式2：1(1)2n n n S na d -=+； 4．等差数列的性质公式： （1）()n m a a n m d =+-；n ma a d n m-=-，如：855(85),(5)n a a d a a n d =+-=+-等；（2）若q p n m +=+，则q p n m a a a a +=+，如11038a a a a +=+； （3）若2m n p +=，则2m n p a a a +=，如11162a a a +=；（4）n S 为等差数列}{n a 的前n 项和，则数列,...,,232m m m m m S S S S S --也是等差数列. 基础题1.已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若12,261=-=S a ，则6a 的值为（ ） A.4 B.5 C.6 D.82.（15年安徽文科）已知数列}{n a 中，11=a ，211+=-n n a a （2≥n ），则数列}{n a 的前 9项和等于 。

3.设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若2,11952-=+-=a a a ，则当n S 取最小值时，n 等 于（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 64.（15年广东理科）在等差数列{}n a 中，若2576543=++++a a a a a ，则82a a +=5.（15年新课标2文科）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若1353a a a ++=,则5S =（ ） A ．5 B ．7 C ．9 D ．116.已知等差数列}{n a 中，其前n 项和为n S ，36,963==S S ，则._______987=++a a a 提高题1.（15年新课标2理科）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则n S =________．2.已知等差数列}{n a 中，若,0,031110119<⋅<+a a a a 且数列}{n a 的前n 项和n S 有最大值，那么n S 取得最小正值时n 等于（ ） A. 20 B. 17 C. 19 D. 213.已知等差数列}{n a 中，其前n 项和为n S ，且满足35124,2a a a a a n n n -=-=++，则7S =（ ） A. 7 B. 12 C. 14 D. 214.在等差数列}{n a 中，前四项之和为20，最后四项之和为60，前n 项之和是100，则项数n 为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 125.设n n T S ,分别是等差数列}{},{n n b a 的前n 项和，且5959=T S ，则35b a的值为_________.6.（15年福建文科）等差数列{}n a 中，24a =，4715a a +=． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设22n a n b n -=+，求12310b b b b +++⋅⋅⋅+的值．7.【2015高考山东，文19】已知数列{}n a 是首项为正数的等差数列，数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬∙⎩⎭的前n 项和为21nn +. （I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）设()12n an n b a =+⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .一、等差数列3．等差数列的通项公式1(1)n a a n d =+-； 2．等差数列的前n 项和：公式1：2)(1n n a a n S +=；公式2：1(1)2n n n S na d -=+； 3．等差数列的性质公式： （1）()n m a a n m d =+-；n ma a d n m-=-，如：855(85),(5)n a a d a a n d =+-=+-等；（2）若q p n m +=+，则q p n m a a a a +=+，如11038a a a a +=+； （3）若2m n p +=，则2m n p a a a +=，如11162a a a +=. 基础题2.已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若12,261=-=S a ，则6a 的值为（ ） A.4 B.5 C.6 D.8 答案：C5.（15年安徽文科）已知数列}{n a 中，11=a ，211+=-n n a a （2≥n ），则数列}{n a 的前 9项和等于 。

等差数列定义
等差数列是一种常见的数列，其定义为：一个数列中，相邻两项之差都是固定值，这个固定值称为等差数列的公差，通常用字母 d 表示。

例如，数列 1，4，7，10，13，16 就是一个等差数列，其中，公差为 3。

等差数列的通项公式是：an = a1 + (n-1)d，其中 an 表示等差数列的第 n 项，a1 表示等差数列的第一项，n 表示数列中的项数，d 表示公差。

等差数列的性质有：
1. 公差相等性质：一个数列中，相邻两项之差都是固定值，这个固定值称为等差数列的公差，公差相等。

2. 首项性质：等差数列的第一项称为首项，通常用 a1 表示。

3. 末项性质：等差数列的最后一项称为末项，通常用 an 表示。

4. 项数性质：等差数列中项的数量称为项数，通常用 n 表示。

5. 总和性质：等差数列的前 n 项和称为总和，通常用 Sn 表示。

通过这些性质，可以求解等差数列的各种问题。

例如，可以根据已知的等差数列前几项和公差，求出数列的通项公式和第 n 项的值；也可以根据已知的等差数列前几项，求出数列的前 n 项和。

等差数列在数学中有广泛的应用，例如在科学和工程中，可以用等差数列描述时间、距离、速度等变化规律；在金融领域中，可以用等差数列描述资金的增长和降低等变化规律。

等差数列的概念等差数列是指数列中相邻两项之差恒定的数列。

在数学中，等差数列是一种重要的数列类型，具有广泛的应用。

它在数学、物理、经济等领域都有着重要的地位和作用。

一、等差数列的定义等差数列的定义比较简单，即数列中任意两项之差都相等。

数列的通项公式可以表示为：an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n项，a1表示首项，d表示公差。

二、等差数列的性质1. 公差：等差数列中相邻两项之差称为公差，常用字母d表示。

公差可以是正数、负数或零，代表着数列中每一项之间的间隔。

2. 首项和末项：等差数列中的第一项为首项，常用字母a1表示；最后一项为末项，常用字母an表示。

3. 通项公式：等差数列的通项公式可以用来表示数列中任意一项的值。

根据公式an = a1 + (n-1)d，我们可以轻松地求得数列中任意一项的值。

4. 总和公式：等差数列的前n项和可以用总和公式来表示。

总和公式为Sn = (n/2)(a1 + an)，其中Sn表示前n项和。

5. 递推关系：等差数列中的每一项都可以通过前一项加上公差得到。

这种递推关系使得我们可以通过已知条件计算出其他项的值。

三、等差数列的应用等差数列在数学上具有广泛的应用，它们可以通过表达式和性质来解决各种问题。

1. 数学应用：等差数列常常用来解决一次方程和一次不等式的问题。

通过等差数列的性质和公式，我们可以求解未知项的值，计算前n项和，判断数列的增减性等。

2. 物理应用：等差数列在物理学中也有重要的应用。

例如，物体匀速运动的位移、速度和加速度等可以通过等差数列来表示和计算。

3. 经济应用：等差数列在经济学中的应用也非常广泛。

例如，在贷款计算和投资分析中，我们常常需要利用等差数列的公式来计算每期的利息、本金和回报率等。

四、等差数列的例题分析为了更好地理解等差数列的概念和应用，我们来看几个例题。

例题1：已知等差数列的首项为2，公差为3，求该数列的前5项和。

解法：根据等差数列的总和公式Sn = (n/2)(a1 + an)，代入已知条件，得到S5 = (5/2)(2 + 2 + 3×4) = 35。

等差数列的知识点总结一、概念等差数列是由一系列按照相同的公差递增或递减的数字所组成的数列。

如果一个数列 a1, a2, a3, ... , an 满足a2 - a1 = a3 - a2 = ... = an - a(n-1)那么这个数列就是等差数列，其中 a1 为首项，a2 - a1 为公差。

例如，3, 6, 9, 12, 15 就是一个等差数列，其中首项为3，公差为3。

二、性质1. 通项公式等差数列的第 n 项 a_n 可以用通项公式表示为a_n = a1 + (n-1)d其中 a1 为首项，d 为公差。

2. 数列求和等差数列的前 n 项和 Sn 可以用求和公式表示为Sn = n/2 * (a1 + an)或Sn = n/2 * (2a1 + (n-1)d)其中 a1 为首项，d 为公差，an 为第 n 项。

3. 任意三项对于等差数列中的任意三项 a_i, a_j, a_k（i < j < k），有2a_j = a_i + a_k这个性质可以用来解决很多等差数列的问题。

4. 求和公式的推导为了理解等差数列求和公式的推导，我们来考虑一个等差数列的和 S_n = a_1 + a_2 + ... + a_n。

如果我们将这个数列反向写，即 S_n = a_n + a_(n-1) + ... + a_1，那么两个数列相加得到的和是2S_n = (a_1 + a_n) + (a_2 + a_(n-1)) + ... + (a_n + a_1)由于等差数列中任意三项的性质，我们知道其中每一对括号内的和都是相等的，所以有2S_n = (a_1 + a_n) + (a_1 + a_n) + ... + (a_1 + a_n) = n * (a_1 + a_n)从而得到了等差数列求和公式。

三、应用等差数列在数学和实际生活中都有着广泛的应用。

在数学中，等差数列的求和公式可以用来解决许多数学问题，比如计算前 n 项的和。

等差数列知识点总结等差数列是数学中重要的概念之一，也是初等数学中最基础的数列形式。

在这篇文章中，我们将对等差数列的定义、性质以及常见问题进行总结。

让我们一起来探索等差数列的奥秘吧！一、等差数列的定义等差数列是指数列中任意两个相邻项之间的差都相等的数列。

简单来说，如果一个数列中，从第二项开始，每一项与前一项的差都相等，那么这个数列就是等差数列。

通常用字母 "a" 表示首项，字母 "d" 表示公差，递推公式可以写作：an = a1 + (n-1)d，其中 n 表示数列中的第 n 项。

二、等差数列的性质1. 公差 (d)：等差数列中相邻两项之间的差称为公差。

任意两项之差为公差的倍数。

2. 首项 (a1)：等差数列中第一项称为首项。

3. 通项公式：等差数列的通项公式用来计算数列中第 n 项的值。

通项公式为：an = a1 + (n-1)d。

4. 项数 (n)：数列中项的个数称为项数。

5. 数列和公式：等差数列的前 n 项和可以通过数列的首项、末项以及项数来计算得出。

数列和公式为：Sn = (n/2)(a1 + an)。

三、等差数列的常见问题1. 求和问题：给定一个等差数列，如何计算前 n 项的和？使用数列和公式 Sn = (n/2)(a1 + an) 可以得到结果。

2. 求特定项问题：在一个等差数列中，找到第 n 项的值。

可以利用通项公式 an = a1 + (n-1)d 来计算。

3. 求公差问题：已知一个等差数列的首项和任意两个相邻项之间的差，怎样求出公差？公差可以通过任意两项之差来求得。

4. 推理问题：已知一个等差数列中的几个项，如何判断一个数是否属于这个数列？当且仅当这个数与该等差数列中的任意两个相邻项之差相等时，该数属于该等差数列。

四、等差数列的应用等差数列广泛应用于数学、物理、经济等领域。

在数学中，等差数列是数学研究的基础，也是其他数列的基础形式之一。

在物理学中，等差数列用来描述匀速直线运动的位移变化。

等差数列一．等差数列的主要内容1，等差数列的基本知识2，等差数列的项3，等差数列的和等差数列的基本知识（一）数列的基本知识（1）1，2，3，4，5，6……（2）2，4，6，8，10，12……（3）5，10，15，20，25，30像这样按一定顺序排列的一列数叫数列。

其中每一个数叫叫做这个数列的项，在第1个位置上的数叫这个数列的第1项（首项），在最后1个位置上的数叫这个数列的末项，在第几个位置上的数就叫第几项。

（二）等差数列的基本数列（1）1，2，3，4，5，6……（公差=1）（2）2，4，6，8，10，12……(公差=2)（3）5，10，15，20，25，30 (公差=5)从第2项起，每一项与前一项的差都相等，像这样的数列就是等差数列，这个数就叫等差数列的公差。

数列：1，3，5，7，9，11……第2项：3=1+2 首项+公差×1 1=2-1第3项：5=1+2×2 首项+公差×2 2=3-1第4项：7=1+2×3 首项+公差×3 3=4-1第5项：9=1+2×4 首项+公差×（5-1）第6项：11=1+2×5 首项+公差×（6-1）等差数列的某一项=首项+公差×（项数-1）例1 已知数列2，5，8，11，14……求（1）它的第十项是多少？（2）它的第98项是多少？（3）197是这个数列中的第几项？（4）这个数列被几除有相同的余数？分析：首项=2 公差=3解：（1）第10项：2+3×（10-1）=29（2）第98项：2+3×（98-1）=293（3）2+3×（X -1）=1973×（X -1）=197-2X-1 =（197-2）÷3X =（197-2）÷3+1=66（项）等差数列的项数=（末项-首项）÷公差+1 分析：被除数=余数+除数×商等差数列的某一项= 2 + 3 ×（项数- 1）（4）这个数列每一项除以3都余2.等差数列的每一项除以它的公差，余数相同。

等差数列四种判定方法等差数列是数学中的一个重要的概念，在高中数学中也经常涉及到。

在判断等差数列的时候，常常有四种方法。

这篇文章将为大家介绍等差数列的四种判定方法，分别为通项公式、公差、前两项差、后两项差。

掌握这些方法，可以更加准确的判断一个数列是否为等差数列。

一、通项公式等差数列通项公式为：an = a1 + (n - 1)dan表示第n项，a1表示第一项，d表示公差。

在使用通项公式判断等差数列时，可以先求出前几项的值，然后利用通项公式求出后面的项，再与实际值进行比较，判断是否为等差数列。

已知一个数列的前五项为1、3、5、7、9，要判断它是否为等差数列。

首先可以看出，这个数列的公差为2，于是可以利用通项公式求出后面的项：a6 = a1 + (6 - 1)d = 1 + 5 × 2 = 11将求得的a6、a7与实际值比较，发现它们与数列中的后两项9、11并不相等，因此这个数列不是等差数列。

二、公差公差是等差数列中相邻两项之差的固定值。

在判断一个数列是否为等差数列时，可以先求出前两项的差，然后比较后面各项之间的差，看是否相等。

如果相等，则说明这个数列是等差数列。

然后比较后面各项之间的差：a3 - a2 = 2发现它们之间的差都是2，因此这个数列是等差数列。

三、前两项差总结等差数列的判定方法有四种，分别为通项公式、公差、前两项差、后两项差。

不同的方法在不同的情况下使用，可以选择合适的方法进行判断。

在求等差数列的和、第n项等问题时，也可根据不同的情况选择不同的方法求解。

除了判定等差数列的四种方法以外，还有一些其他的相关内容需要了解。

一、等差数列的求和公式对于一个等差数列a1，a2，……，an，它们的和Sn可以通过下列公式求得：Sn = (a1 + an)×n/2a1为数列的首项，an为数列的末项，n为数列的项数。

应用等差数列求和公式可以快速计算等差数列的和，节省手工计算的时间。

已知一个等差数列的首项a1为1，公差d为2，项数n为10，要求这个数列的和。