下载文档原格式
12.4分式方程教学目标【知识与能力】1.理解分式方程的概念及意义.2.了解解分式方程的基本思路和解法.3.理解解分式方程时可能无解的原因,并掌握解分式方程的验根方法.【过程与方法】1.能将实际问题中的相等关系用分式方程表示,体会分式方程的模型.2.在学生掌握了分式方程的一般解法和分式方程验根方法的基础上,使学生进一步掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法,使学生熟练掌握解分式方程的技巧.【情感态度价值观】通过学习分式方程的解法,使学生理解解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程,把未知问题转化成已知问题,从而渗透数学的转化思想.教学重难点【教学重点】可化为一元一次方程的分式方程的解法.【教学难点】理解解分式方程时可能无解的原因.课前准备多媒体课件教学过程一、新课导入：导入一:【课件1】小红家到学校的路程为38km.小红从家去学校总是先乘公共汽车,下车后再步行2km,才能到学校,路途所用时间是1h.已知公共汽车的速度是小红步行速度的9倍,求小红步行的速度.教师提出问题:(1)上述问题中有哪些等量关系?(2)根据你所发现的等量关系,设未知数并列出方程.(3)如果设小红步行的时间为x h,又应该怎么列方程?在活动中教师要关注:(1)学生是否能将实际问题转化为数学问题;(2)大部分学生能否将这个问题很好地分析出来?能否列方程?(3)基础较差的学生对于该题的理解是否有困难?如何适当加以个别引导?[设计意图]先通过一个行程问题,引导学生从分析入手,列出含有未知数的式子表示有关的量,并进一步根据等量关系列出方程,为探索分式方程及分式方程的解法做准备.另外以生活中的实际问题为背景,让学生感到数学贴近生活,激起了探究新知识的欲望.导入二:【课件2】西天取经路上,唐僧给徒弟们出了一道天竺国的数学题目:某项工程要在规定的期限内完成,甲队单独做正好能够按期完成,乙队单独做则需要延期3天完成.现在这两个队合作2天后,再由乙队单独做,也正好按期完成.如果设规定的期限是x天,工程总量为1,如何列方程呢?三个徒弟都给出了自己的答案:孙悟空:2x +x x+3=1;猪八戒:2x +2x+3=1;沙和尚:21x +1x+3+x -2x+3=1.师傅表扬了徒弟积极动脑,并说道:有一位徒弟的结论是错误的,你知道谁的错了吗? 同学们分析这个问题列出的方程还是整式方程吗?该如何解呢?[设计意图] 创设故事情境导入,将所出现的方程与整式方程比较,为探索分式方程及分式方程的解法做准备.二、新知构建：探究一:分式方程及其解法思路一1.分式方程【课件3】 一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时,它沿江以最大航速顺流航行90千米所用的时间与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等,江水的流速为多少?教师提出问题.学生独立思考,根据“两次航行所用的时间相等”这一相等关系建立方程. 〔解析〕 设江水的流速为v 千米/时,则轮船顺流航行的速度为(30+v )千米/时,逆流航行的速度为(30-v )千米/时,顺流航行90千米所用的时间为9030+v 小时,逆流航行60千米所用的时间为6030-v 小时.可列方程9030+v =6030-v .教师提问:刚才我们所接触的方程38-21-x =9×2x ,38-29x +2x =1,9030+v =6030-v 与以前所学的整式方程有何不同?学生思考,议论后在全班交流.归纳:该类方程分母含有未知数.教师讲解并板书:分母中含有未知数的方程叫做分式方程.[知识拓展] (1)理解分式方程要明确两点:①是方程;②分母中含有未知数(也可以看成方程中含有分式).(2)整式方程和分式方程统称为有理方程.2.分式方程的解法【课件4】如何解分式方程38-21-x =9×2x 和38-29x +2x =1呢? 在同学讨论的基础上分析:由于我们比较熟悉整式方程的解法,所以要把分式方程转化为整式方程,其关键是去掉含有未知数的分母.引导学生进一步分析:把方程的两边乘最简公分母可将分式方程化为整式方程,解这个整式方程可得方程的解.说明:教师提出问题后,鼓励学生寻求解决问题的方法,引导学生将分式方程转化为整式方程,学生自然会想到“去分母”来实现这种转变,求出方程的解,并要求验根.在活动中教师要关注:(1)学生能否从所列方程中观察到它与整式方程的区别在于“分母中含有未知数”;(2)学生能否有利用“转化思想”解决问题的意识;(3)学生是否能够认真倾听别人的见解,从中获取知识.归纳:解分式方程的基本思路是将分式方程转化为整式方程,具体做法是“去分母”,即方程两边乘最简公分母,这是解分式方程的一般方法.[设计意图] 怎样解分式方程?这是本节的核心问题.这里又一次让学生运用“转化”思想,把待解决或未解决的问题,通过转化,划归到已经解决或比较容易解决的问题中去,最终使问题得到解决.思路二1.分式方程38-21-x =9×2x ,38-29x +2x =1有什么特点? 学生观察,回答:(1)分母含有未知数,(2)是方程.教师引导学生概括:分母中含有未知数的方程叫做分式方程.使得分式方程等号两端相等的未知数的值叫做分式方程的解(也叫做分式方程的根).提问:你还能举出一个分式方程吗?【课件5】 判断下列各式哪个是分式方程.(1)x +y =5; (2)x+25=2y -z 3; (3)1x ; (4)y x+5; (5)1x +2x =5. 根据相关定义可得:(1)(2)是整式方程,(3)(4)是分式,(5)是分式方程.2.分式方程的解法学生自主探索,并尝试选分式方程求解【课件6】解方程1+x 5+x =12.解:两边同乘最简公分母2(x +5)得:2(x +1)=5+x ,2x +2=5+x ,x =3.检验:把x =3代入原方程左边=1+35+3=12,右边=12,左边=右边.所以x =3是原分式方程的解. 学生尝试去分母,将分式方程转化为整式方程,再求整式方程的解.结合解一元一次方程时检验的方法,教师提醒学生解完分式方程后进行检验.【课件7】 如何解课件3中所列出的分式方程?解:方程的两边同乘(30+v )(30-v ),得90(30-v )=60(30+v ),解得v =6.检验:将v =6代入分式方程中,左边=52,右边=52,左边=右边,因此v =6是原分式方程的解. 师生共同分析、求解,进一步归纳:解分式方程的基本思想是将分式方程转化为整式方程,具体做法是“去分母”,即方程两边同乘最简公分母,这也是解分式方程的一般方法.探究二:分式方程的增根【课件8】 解分式方程x+1x -1=x -31-x +1.教师提出问题,让学生解方程.解:方程两边同乘x-1,得x +1=-(x-3)+(x-1),解这个整式方程,得x =1.师:x =1是方程的解吗?为什么?说明:学生先独立解决,然后提出自己的看法,进行小组讨论.在学生讨论期间,教师应到学生中,参与学生的数学活动,鼓励学生勇于探索、实践,解释产生这一现象的原因,并懂得在解分式方程时一定要进行验根.归纳:在解分式方程时,通过去分母将分式方程转化为整式方程,并解这个整式方程,再将整式方程的根代入分式方程(或公分母)中检验.当分母的值不等于0时,这个整式方程的根就是分式方程的根;当公分母的值为0时,分式方程无解,我们把这样的根叫做分式方程的增根.【课件9】解方程:2x+2-2-x2+x =3.解:方程两边同乘x +2,得2-(2-x )=3(x +2),解这个整式方程,得x =-3,经检验,x =-3是原分式方程的根.[知识拓展] (1)检验的方法有两种:①把未知数的值代入所乘最简公分母中,最简公分母为0是增根,舍去.最简公分母不为0的未知数的值就是原分式方程的解.②把未知数的值代入原方程,若左右两边的值相等,则这个未知数的值就是原方程的根;若某个分式的分母为0,则这个未知数的值就是增根,舍去.(2)解分式方程时,必须注意以下几点:①若分式方程中的分母是多项式,应先对各分母因式分解,再寻求最简公分母;②将一个分式方程的两边同时乘最简公分母时,每一个式子都应乘到,不要漏乘,特别是不要漏乘没有分母的项;③解含字母系数的分式方程时,字母系数应视为具体数处理;④解分式方程时,检验这一步必不可少,它是解分式方程的一个重要步骤.三、课堂小结：解分式方程的一般步骤:1.在方程的两边都乘最简公分母,约去分母,化为整式方程.2.解这个整式方程.3.把整式方程的根代入最简公分母,看结果是不是零;使最简公分母为零的根不是原方程的根,必须舍去.[设计意图] 学生通过回顾,自己总结,实现了自我评价,让对本节知识学得不是很好的学生有所收获.。
一、单元学习主题本单元是“数与代数”领域“数与式”和“方程与不等式”主题中的“分式和分式方程”.二、单元学习内容分析1.课标分析《义务教育数学课程标准(2022年版)》(以下简称《标准2022》)指出初中阶段数与代数领域包括“数与式”“方程与不等式”和“函数”三个主题,学生将认识负数、无理数,学习它们的四则运算,还将学习代数式、方程、不等式、函数等内容.本章学生将学习分式和分式过程,了解分式和最简分式的概念,能利用分式的基本性质进行约分和通分;能对简单的分式进行加、减、乘、除运算,能解可化为一元一次方程的分式方程,能根据具体问题的实际意义,检验方程解的合理性.分式和分式方程的教学要通过探索分式方程的解法,体会化归思想;通过探究增根产生的过程,培养逻辑分析能力;用列方程解决实际问题,体会模型思想,建立符号意识,感受生活数学化过程,增强学生学数学、用数学意识;通过课堂活动,培养合作意识和探究精神,形成数学思维,实现数学核心素养要求.2.本单元教学内容分析冀教版教材八年级上册第十二章“分式和分式方程”,本章包括五个小节:12.1分式;12.2分式的乘除;12.3分式的加减;12.4分式方程;12.5分式方程的应用.义务教育阶段的数学学习,学生要能:(1)获得适应未来生活和进一步发展所必需的数学基础知识、基本技能、基本思想、基本生活经验.(2)体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系,在探索真实情境所蕴含的关系中,发现问题和提出问题,运用数学和其他学科的知识与方法分析问题和解决问题.(3)对数学具有好奇心和求知欲,了解数学价值,欣赏数学美,提高学习数学的兴趣,建立学好数学的信心,养成良好的学习习惯形成质疑问难、自我反思和勇于探索的科学精神.本章与分数的相关知识类似,重点在于探索分式的有关概念和运算法则,对分式的概念、分式的基本性质及分式的运算的学习,都要注意通过与分数的有关知识进行类比,让学生真正的去探索,去发现知识之间的内在联系,加深对基础知识的理解,使基本技能的训练更加扎实,对数学思想的认识更加充实,有效地积累基本活动经验.同时经历“实际问题——分式方程——整式方程”的过程,发展学生分析问题和解决问题的能力,渗透转化的数学思想,培养学生的应用数学意识,进一步引导学生借助分式方程来解决实际问题,了解现实世界中事物的相互联系.通过分式方程的应用教学,培养学生数学应用意识、逻辑思维能力和计算能力,在活动中培养学生乐于自主探究,合作交流的学习习惯,体会数学源于实际、用于实际的学科价值与文化价值.三、单元学情分析本单元内容是冀教版教材数学八年级上册第十二章“分式和分式方程”,在小学学生已学习了“分数”,初步了解了分数的基本性质和定义,在此基础上,类比分数的基本性质,探索分式的概念和基本性质,可以加深学生的理解和应用,学生小学学习的关于分数的加、减、乘、除以及通分、约分等知识,都可以作为学习分式的基础.在学习了整式方程即“一元一次方程”“二元一次方程组”后,学生对整式方程的解法和基本思路(使方程逐步化为x=a的形式)已经比较熟悉,而分式方程的未知数在分母,解法步骤稍显复杂,但化为整式方程后的解法体现了解方程的统一性.在后续“二元一次方程”的学习中,会感受到方程求解的一般路径,这也是方程思想有益积累和传承.八年级学生独立思考和探索交流的能力有所提高,并能在探索的过程中形成自己的观点,能在交流中倾听别人的意见,丰富自己的想法观点,具有一定的思维独立性和批判性.但由于年龄特征,数学思维不够完善,方程运算能力和方程建模能力尚在发展中,需要教师引导其从感性认知向理性认知发展.四、单元学习目标1.经历用分式、分式方程表示现实情境中数量关系的过程,了解分式、最简分式、分式方程的概念,体会分式、分式方程的模型思想,进一步培养符号意识.2.经历由观察、类比、猜想获得分式的基本性质、分式乘除法则、分式加减法则的过程,发展合情推理能力与代数式恒等变形能力,积累类比的活动经验.3.熟练掌握分式的基本性质,会进行分式的约分、通分和加减乘除四则运算,会求分式的值,会解可化为一元一次方程的分式方程,会检验分式方程的根的合理性,发展运算能力.4.能解决一些与分式、分式方程有关的实际问题,发展分析问题、解决问题的能力,增强应用意识.五、单元学习内容及学习方法概览六、单元评价与课后作业建议本单元课后作业整体设计体现以下原则:层次性原则:教师注意将课后作业分层进行,注重知识的层次性和学生的层次性.知识由易到难,由浅入深,循序渐进,突出基础知识、基本技能,渗透人人学习数学,人人有所获.重视过程与方法,发展数学的应用意识和建模思想.生活性原则:本节课的知识来源于生活,应回归于生活,体现数学的应用价值.根据以上建议,本单元课后作业设置为两部分,基础性课后作业和拓展性课后作业.。
