高二数学线性规划的实际问题PPT教学课件

• 1．⑪________——设未知数，写出约束 条件与目标函数，将实际应用问题转化为 数学上的线性规划问题；
• 2．⑫________——解这个线性规划问题；
• 3．⑬________——根据应用题提出的问 题作答．
• 答案：
• ①最大值 ②最小值 ③资源配置 ④环 境优化 ⑤产品配方 ⑥合理下料 ⑦可
• [例2] 某工厂生产甲、乙两种产品，每生 产 值品1．种t如产电下品力表需度(所要千) 示的煤：电(力吨、) 煤劳、动人劳力)动( 力及产产值元(千)
甲
4
3
5
7
乙
6
6
39Βιβλιοθήκη • 该厂的劳动力满员150人，根据限额每天用 电不超过180千度，用煤每天不得超过150 t， 问每天生产这两种产品各多少时，才能创 造最大的经济效益？
• 1.线性规划的理论和方法主要在哪几类问 题中得到应用？线性规划问题的常见类型 有哪些？
• (1)线性规划的理论和方法主要在两类问题 中得到应用：
• 一是在人力、物力、资金等资源一定的条 件下，如何使用它们来完成最多的任务；
• 二是给定一项任务，如何合理安排和规划，
• (2)线性规划问题的常见类型有： • ①物资调运问题 • 例如已知A1、A2两煤矿每年的产量，煤需
• 4．3 简单线性规划的应用
• 一、线性规划问题
• 一般地，求线性目标函数在线性约束条件 下的①________或②________问题即为线 性规划问题．
• 二、线性规划解决的常见问题 • (1)③________问题． • (2)④________问题． • (3)⑤________问题．
• 三、线性规划问题的求解步骤
由35xx＋ ＋63yy＝ ＝115500， ， 解得yx＝＝11570700， ， 即点 P 坐标为(1570，1070)． 故每天生产甲种产品1570吨、乙种产品1070吨时，才能 创造最大的经济效益．

1.解：作出平面区域
y
A o x C
y x x＋y 1 y － 1
z＝2x＋y
B
作出直线y=－2x＋z的图 像，可知z要求最大值，即 直线经过C点时。 求得C点坐标为（2，－1）， 则Zmax=2x＋y＝3
2.解：作出平面区域
y
A
5 x＋3 y 15 1 y x＋ x－5 y 3
二、例题
例5、营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提 供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白质，0.06kg的 脂肪，1kg食物A含有0.105kg碳水化合物，0.07kg蛋白 质，0.14kg脂肪，花费28元；而1食物B含有0.105kg碳 水化合物，0.14kg蛋白质，0.07kg脂肪，花费21元。为 了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最 低，需要同时食用食物A和食物B多少kg？
满足线性约束的解（x，y）叫做可行解。 由所有可行解组成的集合叫做可行域。 使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做 这个问题的最优解。
y
可行域
3
4
最优解
可行解
x
o
4
8
线型规划的有关概念
名称 约束条件 线性约束条件 目标函数 意义 由变量x, y 组成的不等式组 由x,y的一次不等式（或方程）组成的不等式组 关于x, y的函数解析式，如z=2x+3y等
x＋2y 8 x 2 y 8 4x 16 x 4 y 3 4y 12 x 0 x 0 y 0 y 0
将上述不等式组表示成平面上的区域，图中的阴影 部分中的整点（坐标为整数）就代表所有可能的日生 产安排。
C x
o B

4x+9y ≦ 360
x≧ 0
≦
y≧ 0
z=600x+1000y
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8
y
75
50 40
检
索:
1
标
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题
2
﹩
35
40
y2 y1
90 y3
9
我们找到了最优解(30, 80／3)
Z=600×30+1000×80/3=20666.7 答:…………….
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感谢你的阅览
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产品 消耗量 资源 A种矿石(t)
甲产品(t) 10
乙产品(t) 4
资源限额(t) 300
B种矿石(t) 5
4
200
煤
(t) 4
9
360
利润 (元) 600
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1000
(分析表)
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解:设生产甲产品X吨,乙产品Y吨,利 润总额为Z元.
10x+4y ≦ 300
5x+4y ≦ 200
Thank you for reading
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日期：
演讲者：蒝味的薇笑巨蟹
4
2答:满足线形约束条件下的解叫可 行解.
由所有可行解组成的集合叫可
行域.
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Eg:1
▪ 某工厂生产甲,乙两种产品,已知生产甲产品
1吨需耗A种矿石10吨,B种矿石5吨,煤4吨;生 产乙种产品1吨需耗A种矿石4吨,B种矿石4 吨,煤9吨;每1吨甲种产品的利润是600元,每 1吨乙产品的利润是1000元,工厂在生产这 两种产品的计划中要求消耗A种矿石不超过 300吨,B种矿石不超过200吨,煤不超过360 吨,甲,乙两种产品应各生产多少吨能使利润 总额达到最大?

4x＋y ≤10 12x＋9y ≤60
即 4x＋y ≤10 4x＋3y ≤20
数学建构
4x＋y ≤10
4x＋3y ≤20
这是一个二元一次不等式组
上题的本质是在约束条件
4x＋y ≤10 4x＋3y ≤20
x ≥0
y ≥0
下，求出x，y ，使利润P= 2x＋y(万元)达到最大
如何解决这个问题？
数学建构
将已知数据整理成下表：
A种原料(t) B种原料(t) 利润(万元)
甲种产品(1t)
4
12
2
乙种产品(1t)
1
9
1
现有库存(t)
10
60
情境问题
A种原料(t) B种原料(t) 利润(万元)
甲种产品(1t)
4
12
2
乙种产品(1t)
1
9
1
现有库存(t)
10
60
设计划生产甲、乙两种产品的吨数分别为x，y，根 据题意，A、B两种原料分别不得超过10t和60t，即
y
y
Ax＋By＋C=0 (B＞0)
Ax＋By＋C＞0 x
Ax＋By＋C=0 (B＞0) x
O
O
作业
课本87页习题3·3第1(1)，(2)， 2(1)题
(2) y＜0 y
x O
x O
(3) 3x－2y ＋6＞0 y
x O
(4) x＞2 y
x O
小结
一般地，直线y=kx＋b把平面分成两个区域： y y=kx＋b
y＞kx＋b y＜kx＋b x
O y＜kx＋b表示直线下方的平面区域。
y＞kx＋b表示直线上方的平面区域；
小结

问题 1：ｘ有无最大(小)值？ 问题２：ｙ有无最大(小)值？ 问题３：2ｘ+ｙ有无最大(小)值？
C 设z＝2ｘ+ｙ
ｙ＝-2ｘ+ z
2ｘ+ｙ=0
o
问题4：z几何意义是:
斜率为-2的直线在y轴上的截距
x-4y=-3
A
3x+5y=25
x B 当直线过点 B(1,1)时,z 最小,即zmin=3 当直线过点A(5,2)时,z最大,即zmax＝ 2×5+2＝12
产安排是什么？
应用举例
【引例】：
某工厂用A、B两种配件生 产甲、乙两种产品，每生 产一件甲产品使用4个A配 件并耗时1h，每生产一件 乙产品使用4个B配件并耗 时2h，该厂每天最多可从 配件厂获得16个A配件和 12个B配件，按每天工作 8h计算，该厂所有可能的 日生产安排是什么？
4 2
2
4
6
8
应用举例
【优化条件】： 若生产一件甲产 品获利2万元，生 产一件乙产品获 利3万元，采用哪 种生产安排获得 利润最大？
4
M(4,2 )
2
2
4
6
8
z y2x2x3yz
33
x -4y≤ - 3
例1、画出不等式组 3x+5y≤ 25 表示的平面区域
x≥1
x-4y≤-3
在该平面区域上
3x+5y≤25 x≥1
y x=1
3
故有四个整点可行解.
2
1
x +4y=11
0 1 2 3 4 5x
3x +２y=10
应用举例
练习5： 某工厂计划生产甲、乙两种产品，这两种产品都需要两

max z x1 x2 则凸多边形的边AB 上的所有点都是问 题的解。因此，解 是无穷多个。
x2
400
300 A
250 B
x2 250
x1 x2 300
0
200
300
x1
2x1 x2 400 16
第3章 线性规划
3. 无最优解(目标函数值
x2
为无穷大或无穷小)。
若例3-4中式(b),(c)的约 250
成立,则称x为凸集D的极点。即在凸集上不能表 示成相异两点凸组合的点，称为极点；在线性 规划问题的凸集上称之为顶点。
20
第3章 线性规划
3. 基本解：对于有n个变量、m个约束方程的标 准线性规划问题，取其m个变量，若这些变量在 约束方程中的系数列向量线性无关，则它们组 成一组基本变量。确定了一组基本变量后，其 它n-m个变量称为非基本变量。
变量约束： xi 0, 1 i 4
6
第3章 线性规划
一、线性规划问题的标准形式（※）
1. 标准形式
目标函数： 约束条件：
n
max z cj xj j 1
n
aij xj b0i , i 1, 2,
j 1
, m, (b0i 0)
变量约束： xj 0, j 1, 2, , n
通常把上述三个式子描述的问题称为标准线
5. 基本可行解：如果基本解中的每一个变量都是非 负的，即满足变量约束 xj 0, (1 j n) 的基本解称 为基本可行解。如果在基本可行解中至少有一个基 本变量为零，则该解称为退化的基本可行解，反之， 称为非退化的基本可行解。
注：基本可行解既是基本解、又是可行解，它对应 于线性规划问题可行域的顶点。
9
第3章 线性规划

【提升总结】 将求变量范围的问题巧妙地转化为简单 的线性规划问题进行求解，减少了失误.
1.已知f(x)=(3a -1)x + b - a,x ∈[0, 1],若f(x)≤ 1恒成立， 则a + b的最大值是
5 3
.
2.（真题· 湖南高考）若变量 x, y 满足约束条件 ，
5 C． 3
5 D． 2
z 600x 1 000y.
作出如图所示的可行域，
3 z z 600x 1 000y可变形为y x . 5 1 000
y
3 作l0 :y = - x及其平行线， 5
3 z 当直线y = - x + 经过点M时， 5 1 000 z最大.
M
10
l0 : y 3 x 5
18x + 15y = 66, 解方程组 得M的坐标为 (2,2). 4x + y = 10, 所以zmax = 2 +0.5×2 = 3.
答：生产甲、乙两种肥料各2车皮，能够产生 最大利润，最大利润为3万元.
探究点2
利用简单线性规划求变量的范围
例4
若二次函数 y f ( x ) 的图象过原点，且
将已知数据列成下表： 分析：
甲产品(1 t) A种矿石(t) B种矿石(t) 煤(t) 利润(元) 10 5 乙产品(1 t) 4 4 9 1 000
资源限额(t)
300 200 363
4
600
解：设生产甲、乙两种产品分别为x t、y t， 利润总额为z元，则
10x 4y 300, 5x 4y 200, 4x 9y 363, x 0, y 0;
满足约束条件时目标函数z = 28x + 21y取得最小 值.

-7-
目标引航
自主预习
课堂互动
典型考题
随堂练习
【做一做 1-2 】 有 5 辆载重 6 吨的汽车,4 辆载重 4 吨的汽车,要运送 一批货物,设需载重 6 吨的汽车 x 辆,载重 4 吨的汽车 y 辆,则完成这项运输 任务的线性目标函数为( A.z=6x+4y C.z=x+y 答案:A 0 ≤ x ≤ 1, 【做一做 1-3 】 设 z=2y-2x,其中 x,y 满足条件 0 ≤ y ≤ 2, 则 z 的最小 2y-x ≥ 1, 值为 答案:0 . ) B.z=5x+4y D.z=4x+5y
-5-
目标引航
自主预习
课堂互动
典型考题
随堂练习
一般地,对目标函数 z=ax+by,若 b>0,则纵截距与 z 同号,因此,纵 截距最大时,z 也最大;若 b<0,则纵截距与 z 异号,因此,纵截距最大时,z 反而 最小.
-6-
目标引航
自主预习
课堂互动
典型考题
随堂练习
【做一做 1-1 】 完成一项装修工程,请木工需付工资每人 50 元,请瓦工 需付工资每人 40 元.现有工人工资预算 2 000 元,设木工 x 人,瓦工 y 人,则完 成这项工程的线性约束条件是( 50x + 40y = 2 000, A. x∈������,y∈������ 50x + 40y ≥ 2 000, C. 答案:B x∈������,y∈������ D. B. ) 50x + 40y ≤ 2 000, x∈������,y∈������ 40x + 50y ≤ 2 000, x∈������,y∈������
-12-

z 2 这是斜率为- ,在 y 轴上的截距为 3的一组平行线 3
２.z取最大值的几何意义
2 z 直线 y =- 3 x+ 3在y轴上截距的最大值
z Z取最大值 取最大值 3
探究
x 2y 8 4 x 16 4 y 12 x 0 y 0 x, y Z
（2）画：画可行域；
（3）作:作z=Ax+By=0时的直线L ;
（4）移：平移直线L ,寻找使纵截距取得最值时的点
（5）求：通过解方程组求出最优解；
（6）答：作出答案;
六步法“列.画.作.移.求.答”
方法 归纳
范例选讲
例.求z=x+2y的最小值,使x,y满足约束 条件
x y 1 x0 y0
解决日生产安排
y
4 3 y=3
8
x
0
X+2y=8
x=4 将上面不等式组表示成平面上的区域(阴影部分), 区域内所有坐标为整数的点P(x,y),(图中红点)安排 生产任务x,y都是有意义的. 即有18种安排方法
探究
解决利润最大值. 即z=2x+3y何时有最大值?
3 3
1.方程的处理: z=2x+3y y=- 2 x+ z
（2）若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品 获利3万元，采取哪种生产安排利润最大？
信 2.产品乙（1件），时间：2h，材料：4配件B，0配件A 息 3.配件限额：A：16， B：12 提 4.时间限额：8h 炼 5.利润：甲：2万元/件，乙：3万元/件
设甲产品生产
1.产品甲（1件），时间：1h，材料：4配件A，0配件B.
线性约束
x 2y 8 4 x 16 4 y 12 x 0 y 0 x, y Z

甲种产品 乙种产品 现有库存
A种原料 4 1 10
B种原料 18 15 66
利润 1 0.5
解：设x、y分别为计划生产甲、乙两种
y
混合肥料的吨数，于是满足以下条件：
4 x＋y 10 18x＋15y 66 x 0 y 0
x
o
解：设生产甲种肥料xt、乙种肥料yt，能够产生利润 Z万元。目标函数为Z＝x＋0.5y，可行域如图：
一、引例：
1、已知x、y满足的条件，求x、y满足的区域： 并求z＝2x＋y的最大值，
y x
y －1
解析：
Z＝2x＋y变形为y＝－2x＋z， 它表示斜率为－2，在y轴上的截距 为z的一组直线系。
y
由图可以看出，当直线经过可行域上
的点C时，截距z最大。
x 可知z要求最大值，即直线经过C点时。
把Z＝x＋0.5y变形为y＝－2x＋2z，它表示斜率为 －2，在y轴上的截距为2z的一组直线系。
由图可以看出，当直线经过可行域上的点M时， 截距2z最大，即z最大。
y
容易求得M点的坐标为 （2，2），则Zmin＝3
故生产甲种、乙种肥料各 2吨，能够产生最大利润， 最大利润为3万元。
M x
o
A
求得A（1.5，2.5），
B（－2，－1），则
oC B
x Zmax=17，Zmin=－11。
思考:(1)若求z＝5x＋3y的最大值？
(2)若求z＝5x-3y的最大值？
3、已知
x y 2 0

x

y-4
0
2x－y 5 0
求 （1）z＝x＋2y-4的最大值；
（2）z＝x2＋y2-10y+25的最小值；