正方体内切球,外接球,棱切球 ppt课件

它包括球面和球面所包围的空间。
半径是R的球的体积：V 4R3
3
2、球的表面积
S 4πR2
练习一：
(1)球的半径伸长为原来的2倍,体积变为原 来的——8 倍.
(2)若球的表面积变为原来的2倍,则半径变 为原来的——2倍。
(3)若球半径变为原来的2倍，则表面积变
为原来的——4倍。
(4)若两球表面积之比为1:2，则其体积之 比是——1: 2—。2
分析：正方体内接于球，则由球和正方 体都是中心对称图形可知，它们中心重 合，则正方体对角线与球的直径相等。
略 解 ：RtB1D1D中 :
(2R)2 a 2 ( 2a)2 , 得 R 3a
2
S 4R2 3a 2
D A
D A11
D A
D A11
C B O
C1
B1
C B O
C1
练习一
1.球的半径伸长为原来的2倍,体积变为原来的＿8 倍.
2.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是4cm,
这个球的体积为＿32＿3＿ cm3.
3.有三个球,一球切于正方体的各面,一球切于正 方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求这三 个球的体积之比_1_:_2__2_: 3__3_.
例1.钢球直径是5cm,求它的体积.
B1
正方体的外接球
正方体的外接球
D A
D1 A1
C
B O
C1 B1
对角面 A

A1
C
O
C1
正方体的外接球直径是体对角线
例2.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长 为a,它的各个顶点都在球O的球面上，问球
O的表面积。
略 解 ：RtB1D1D中 :

举例
若正方体的边长为2，则内切球的半 径为1。
球心位置
• 球心位置：正方体的内切球的球心位于正 方体的中心。
02
正方体的外接球
定义与性质
定义
正方体的外接球是指能够完全容纳正方体的球。
性质
外接球的直径等于正方体的对角线长度，且球心位于正方体中心。
半径计算
半径公式
外接球的半径R可以通过正方体的边长a 计算得出，公式为 $R = frac{sqrt{3}}{2}a$。
正方体的内切、外接、 棱切球
目录 CONTENT
• 正方体的内切球 • 正方体的外接球 • 正方体的棱切球 • 正方体与球的关系总结
01
正方体的内切球
定义与性质
定义
内切球是与正方体的所有面都相切的球。
性质
内切球的直径等于正方体的边长。
半径计算
半径公式
内切球的半径r = a/2，其中a为正方 体的边长。
VS
举例说明
若正方体的边长为4，则外接球的半径为 4$sqrt{3}$。
球心位置
球心位置
正方体的外接球的球心位于正方体的 中心，即各棱的中点。
证明方法
通过正方体的几何特性，可以证明球 心位于正方体中心是唯一能使球完全 容纳正方体的位置。
03
正方体的棱切球
定义与性质
定义
棱切球是与正方体的各棱都相切的球。
04
正方体与球的关系总结
正方体与内切球的关系总结
内切球
内切球是正方体各面中心到正方体中心的连线段所围成的球，其半径等于正方体边长的 一半。
总结
内切球与正方体的各个面相切，其半径等于正方体边长的一半。
正方体与外接球的关系总结

C B
O C1
B1 13
例2.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长 为a,它的各个顶点都在球O的球面上，问球
O的表面积。
略解： Rt B 1 D 1 D 中 :
(2R )2 a 2 ( 2a)2,得
R 3a 2
S 4R 2 3a 2
D A
D A11
D A
C B
O C1
B1
C B
精选可编辑ppt
D A11
O C1
B1 14
O的表面积。
分析：正方体内接于球，则由球和正方
D
C
体都是中心对称图形可知，它们中心重 A
B
合，则正方体对角线与球的直径相等。 略解： Rt B 1 D 1 D 中 : (2R )2 a 2 ( 2a)2,得
D A11
O C1
B1
R 3a 2
S 4R 2 3a 2
精选可编辑ppt
D A
D A11
8
正方体的棱切球直径是面对角线长
精选可编辑ppt
9
正方体的外接球
精选可编辑ppt
10
正方体的外接球
D A
D1 A1
C
对角面 A
B
O
C1
A1B1CO NhomakorabeaC1
正方体的外接球直径是体对角线
精选可编辑ppt
11
精选可编辑ppt
12
例2.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长 为a,它的各个顶点都在球O的球面上，问球
关于正方体的内切球、外 切球、棱切球的半径问题
精选可编辑ppt
1
D1
C1
A1
c d B1

感谢观看
THANKS
棱切球的半径与正方体的边长关系
半径公式
棱切球的半径r与正方体的边长a满足关系 r = a/2。
VS
几何解释
棱切球的球心位于正方体中心，且与正方 体的每个顶点距离为a/2，因此半径为 a/2。
棱切球的几何性质
相切性质
棱切球与正方体的所有棱都相切 ，与每个面都相切。
中心性质
棱切球的球心位于正方体的中心， 且与正方体的每个顶点距离相等。
半径与边长的关系
正方体的内切球半径r等于正方体边 长a的一半，即r = a/2。
证明方法
由于内切球与正方体的各面都相切， 其半径必然等于正方体中心到各面的 距离，即正方体边长的一半。
内切球的几何性质
01
02
03
04
性质1
内切球的直径等于正方体的对 角线长度。
性质2
内切球的表面积与正方体的表 面积之比为π:4。
外接球的半径R与正方体的边长a满足公式R = (√3/2)a。
推导过程
正方体的对角线长度等于外接球的直径，即2R，而正方体的对角线长度又等于空 间中两点（正方体的两个顶点）距离的最大值，即√(a^2 + a^2 + a^2) = √3a ，解得R = (√3/2)a。
外接球的几何性质
性质1
正方体的外接球与其六个 面都相切，且每个面上的 切点都是该面的中心。
性质3
内切球的体积与正方体的体积 之比为π:6。
证明方法
利用勾股定理和球的几何性质 ，可以推导出上述性质。
03
正方体的外接球
外接球的定义与特性
定义
外接球是指与正方体的八个顶点都相切的球。
特性

B1
正方体的外接球
正方体的外接球
D A
D1 A1
C
B O
C1 B1
对角面 A

A1
C
O
C1
正方体的外接球直径是体对角线
例2.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长 为a,它的各个顶点都在球O的球面上，问球
O的表面积。
Байду номын сангаас
略 解 ：RtB1D1D中 :
(2R)2 a 2 ( 2a)2 , 得
分析：正方体内接于球，则由球和正方 体都是中心对称图形可知，它们中心重 合，则正方体对角线与球的直径相等。
略 解 ：RtB1D1D中 :
(2R)2 a 2 ( 2a)2 , 得 R 3a
2
S 4R2 3a 2
D A
D A11
D A
D A11
C B O
C1
B1
C B O
C1
练习一
1.球的半径伸长为原来的2倍,体积变为原来的＿8 倍.
2.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是4cm,
这个球的体积为＿32＿3＿ cm3.
3.有三个球,一球切于正方体的各面,一球切于正 方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求这三 个球的体积之比_1_:_2__2_: 3__3_.
例1.钢球直径是5cm,求它的体积.
它包括球面和球面所包围的空间。
半径是R的球的体积：V 4R3
3
2、球的表面积
S 4πR2
练习一：
(1)球的半径伸长为原来的2倍,体积变为原 来的——8 倍.
(2)若球的表面积变为原来的2倍,则半径变 为原来的——2倍。
(3)若球半径变为原来的2倍，则表面积变

练习一
8 . 1.球的半径伸长为原来的2倍,体积变为原来的＿倍
2.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是4cm, 32 3 cm3. 这个球的体积为＿＿＿ 3.有三个球,一球切于正方体的各面,一球切于正 方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求这三 1: 2 2 : 3 3 个球的体积之比_________.
2 2 2
A
O
C1 B1
3 R a 2 S 4R 2 3a 2
D
A D1 A1 B1 O B
C
C1
正方体的棱切球
正方体的棱切球直径是面对角线长
分析：正方体内接于球，则由球和正方 体都是中心对称图形可知，它们中心重 合，则正方体对角线与球的直径相等。
略解： RtB1 D1 D中 : ( 2 R ) a ( 2a ) , 得
2 2 2
D A D1 A1 B
C
O
C1 B1
3 R a 2 S 4R 2 3a 2
D
A D1 A1 B1 O B
4 半径是R的球的体积：V R 3 3
2、球的表面积
S 4πR
2
练习一：
(1)球的半径伸长为原来的2倍,体积变为原 8 倍. 来的—— (2)若球的表面积变为原来的2倍,则半径变 2 为原来的——倍。 (3)若球半径变为原来的2倍，则表面积变
4 为原来的——倍。
(4)若两球表面积之比为1:2，则其体积之 1: 2 2 比是———。
正方体内切球外接球棱切球图例演示正方体内切球正方体的内切球球内切于正方体正方体内切球半径公式一个正方体的内切球一个正方体的内切圆柱内切球外接球内切球与外接球正三棱锥内切球半径
球的表面积和体积
D1 A1 D A

P
则 OG ⊥ PD，且 OO1 = OG
3
∵ Rt △ PGO ∽ Rt △ PO1D
a 2
•O G
R
6 a R 3
R
6 a
3
3
4
A
O1 D
a
a
2
6
E 3a
6
S表
3 2
a2
球的内切、外接问题
1、内切球球心到多面体各面的距离均相等， 外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。 2、正多面体的内切球和外接球的球心重合。 3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合。 4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理。 5、体积分割是求内切球半径的通用做法。
3
D A
D1
C 正方体的棱切球
B
中截面
O
.
C1
A1
B1
棱切球的直径等于正方体的面对角线。
4
正方体的外接球
D A
D1 A1
C
B O
C1 B1
对角面 A
A1
C
gO
C1
外接球的直径等于正方体的体对角线。
5
6
7
例2、正三棱锥的高为 1，底面边长为2 6 。求棱锥的 全面积和它的内切球的表面积。
A 解法1： 过侧棱AB与球心O作截面( 如图 )
在正三棱锥中，BE 是正△BCD的高，
1
O1 是正△BCD的中心，且AE 为斜高
O • F D BC 26O1E 2 且AE 3
B
O1
E
1
3
2
S全 3226
3 26 4
C
9 26 3
作 OF ⊥ AE 于 F 设内切球半径为 r，则 OA = 1 －r

2
S 4R2 3a 2
D A
D A11
D A
D A11
C B O
C1
B1
C B O
C1
B1
正方体的外接球
正方体的外接球
D A
D1 A1
C
B O
C1 B1
对角面 A
A1
C
O
C1
正方体的外接球直径是体对角线
例2.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长 为a,它的各个顶点都在球O的球面上，问球
球的表面积和体积
D1
A1
d
D
S
A
a
C1
c B1
C
b
B
d2 a2 b2 c2
球的体积
球面：半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面。 球(即球体):球面所围成的几何体。
它包括球面和球面所包围的空间。
半径是R的球的体积：V 4R3
3
2、球的表面积
S 4πR2
练习一：
(1)球的半径伸长为原来的2倍,体积变为原 来的——8 倍.
O的表面积。
略解：RtB1 D1ຫໍສະໝຸດ D中 :(2R)2 a 2 ( 2a)2 , 得 R 3a
2
S 4R2 3a 2
D A
D A11
D A
C B
O C1
B1
C B
D A11
O C1
B1
正方体的棱切球
正方体的棱切球直径是面对角线长
(2)若球的表面积变为原来的2倍,则半径变
2
为原来的——倍。
(3)若球半径变为原来的2倍，则表面积变
4
为原来的——倍。
(4)若两球表面积之比为1:2，则其体积之