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第50讲外接球、内切球、棱切球知识梳理知识点一：正方体、长方体外接球1、正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．2、长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．3、补成长方体（1）若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示．（2）若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示．（3）正四面体-P ABC 可以补形为正方体且正方体的棱长=a ，如图3所示．（4）若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示图1图2图3图4知识点二：正四面体外接球如图，设正四面体ABCD 的的棱长为a ，将其放入正方体中，则正方体的棱长为2a ，显然正四面体和正方体有相同的外接球．正方体外接球半径为22==R a ，即正四面体外接球半径为=R ．知识点三：对棱相等的三棱锥外接球四面体ABCD 中，==AB CD m ，==AC BD n ，==AD BC t ，这种四面体叫做对棱相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类问题．如图，设长方体的长、宽、高分别为,,a b c ，则222222222⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩b c m a c n a b t ，三式相加可得222++=a b c 222,2++m n t 而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为R ，则22224+=+a b c R，所以=R．知识点四：直棱柱外接球如图1，图2，图3，直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）图1图2图3第一步：确定球心O 的位置，1O 是∆ABC 的外心，则1⊥OO 平面ABC ；第二步：算出小圆1O 的半径1=AO r ，111122==OO AA h （1=AA h 也是圆柱的高）；第三步：勾股定理：22211=+OA O A O O ⇒222()2=+h R r⇒=R R 知识点五：直棱锥外接球如图，⊥PA 平面ABC ，求外接球半径．解题步骤：第一步：将∆ABC 画在小圆面上，A 为小圆直径的一个端点，作小圆的直径AD ，连接PD ，则PD 必过球心O ；第二步：1O 为∆ABC 的外心，所以1⊥OO 平面ABC ，算出小圆1O 的半径1=O D r (三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得2sin sin sin ===a b c r A B C )，112=OO PA ；第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①222(2)(2)=+R PA r ⇔2=R②2221=+R r OO ⇔=R ．知识点六：正棱锥与侧棱相等模型1、正棱锥外接球半径：222+=r h R h ．2、侧棱相等模型：如图，P 的射影是∆ABC 的外心⇔三棱锥-P ABC 的三条侧棱相等⇔三棱锥-P ABC 的底面∆ABC 在圆锥的底上，顶点P 点也是圆锥的顶点．解题步骤：第一步：确定球心O 的位置，取∆ABC 的外心1O ，则1,,P O O 三点共线；第二步：先算出小圆1O 的半径1=AO r ，再算出棱锥的高1=PO h （也是圆锥的高）；第三步：勾股定理：22211=+OA O A O O ⇒222()=-+R h R r ，解出222+=r h R h ．知识点七：侧棱为外接球直径模型方法：找球心，然后作底面的垂线，构造直角三角形．知识点八：共斜边拼接模型如图，在四面体ABCD 中，⊥AB AD ，⊥CB CD ，此四面体可以看成是由两个共斜边的直角三角形拼接而形成的，BD 为公共的斜边，故以“共斜边拼接模型”命名之．设点O 为公共斜边BD 的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的结论可知，===OA OC OB OD ，即点O 到A ，B ，C ，D 四点的距离相等，故点O 就是四面体ABCD 外接球的球心，公共的斜边BD 就是外接球的一条直径．知识点九：垂面模型如图1所示为四面体-P ABC ，已知平面⊥PAB 平面ABC ，其外接球问题的步骤如下：（1）找出△PAB 和△ABC 的外接圆圆心，分别记为1O 和2O ．（2）分别过1O 和2O 作平面PAB 和平面ABC 的垂线，其交点为球心，记为O ．（3）过1O 作AB 的垂线，垂足记为D ，连接2O D ，则2⊥O D AB ．（4）在四棱锥12-A DO OO 中，AD 垂直于平面12DO OO ，如图2所示，底面四边形12DO OO 的四个顶点共圆且OD 为该圆的直径．图1图2知识点十：最值模型这类问题是综合性问题，方法较多，常见方法有：导数法，基本不等式法，观察法等知识点十一：二面角模型如图1所示为四面体-P ABC ，已知二面角--P AB C 大小为α，其外接球问题的步骤如下：（1）找出△PAB 和△ABC 的外接圆圆心，分别记为1O 和2O ．（2）分别过1O 和2O 作平面PAB 和平面ABC 的垂线，其交点为球心，记为O ．（3）过1O 作AB 的垂线，垂足记为D ，连接2O D ，则2⊥O D AB ．（4）在四棱锥12-A DO OO 中，AD 垂直于平面12DO OO ，如图2所示，底面四边形12DO OO 的四个顶点共圆且OD 为该圆的直径．知识点十二：坐标法对于一般多面体的外接球，可以建立空间直角坐标系，设球心坐标为(,,)O x y z ，利用球心到各顶点的距离相等建立方程组，解出球心坐标，从而得到球的半径长．坐标的引入，使外接球问题的求解从繁琐的定理推论中解脱出来，转化为向量的计算，大大降低了解题的难度．知识点十三：圆锥圆柱圆台模型1、球内接圆锥如图1，设圆锥的高为h ，底面圆半径为r ，球的半径为R ．通常在△OCB 中，由勾股定理建立方程来计算R ．如图2，当>PC CB 时，球心在圆锥内部；如图3，当<PC CB 时，球心在圆锥外部．和本专题前面的内接正四棱锥问题情形相同，图2和图3两种情况建立的方程是一样的，故无需提前判断．由图2、图3可知，=-OC h R 或-R h ，故222()-+=h R r R ，所以222+=h r R h ．2、球内接圆柱如图，圆柱的底面圆半径为r ，高为h ，其外接球的半径为R ，三者之间满足22(2+=h r R ．3、球内接圆台2222222122⎛⎫--=+ ⎪⎝⎭r r h R r h ，其中12,,r r h 分别为圆台的上底面、下底面、高．知识点十四：锥体内切球方法：等体积法，即3体积表面积=V R S知识点十五：棱切球方法：找切点，找球心，构造直角三角形必考题型全归纳题型一：外接球之正方体、长方体模型例1．（2024·云南昆明·高一校考期末）正方体的表面积为96，则正方体外接球的表面积为例2．（2024·吉林·则球的表面积为．例3．（2024·全国·高一专题练习）已知长方体的顶点都在球O 表面上，长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为2，3，4则球O 的表面积是变式1．（2024·湖南长沙·高一长郡中学校考期中）长方体1111ABCD A B C D -的外接球的表面积为25π，AB =AD 1111ABCD A B C D -的体积为.变式2．（2024·天津静海·高一校考期中）在长方体1111ABCD A B C D -中，6AB =，BC =，14BB =，则长方体外接球的表面积为．题型二：外接球之正四面体模型例4．（2024·湖北宜昌·宜昌市夷陵中学校考模拟预测）已知正四面体ABCD 的表面积为且A ，B ，C ，D 四点都在球O 的球面上，则球O 的体积为．例5．（2024·浙江·高二校联考期中）正四面体的所有顶点都在同一个表面积是36π的球面上，则该正四面体的棱长是．例6．（2024·全国·的正四面体的外接球体积为.变式3．（2024·全国·高一假期作业）正四面体P BDE -和边长为1的正方体1111ABCD A B C D -有公共顶点B ，D ，则该正四面体P BDE -的外接球的体积为.变式4．（2024·安徽池州·高二池州市第一中学校考期中）正四面体-P ABC 中，其侧面积与底面积之差为，则该正四面体外接球的体积为.题型三：外接球之对棱相等的三棱锥模型例7．（2024·高一单元测试）在四面体ABCD 中，若AB CD ==，2==AC BD ，AD BC =ABCD 的外接球的表面积为（）A ．2πB ．4πC ．6πD ．8π例8．（2024·河南·开封高中校考模拟预测）已知四面体ABCD 中，AB CD ==AC BD =，AD BC =，则四面体ABCD 外接球的体积为（）A ．45πBC D ．例9．（2024·广东揭阳·高二校联考期中）在三棱锥S ABC -中，5SA BC ==，SB AC ==，SC AB ==）A ．50πB ．100πC ．150πD ．200π变式5．（2024·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥-P ABC 中，PA BC ==2PB AC ==，PC AB ==-P ABC 外接球的体积为（）AB C D ．6π题型四：外接球之直棱柱模型例10．（2024·陕西安康·统考三模）已知矩形ABCD 的周长为36，把它沿图中的虚线折成正六棱柱，当这个正六棱柱的体积最大时，它的外接球的表面积为．例11．（2024·黑龙江齐齐哈尔·高一齐齐哈尔市第八中学校校考阶段练习）设直三棱柱111ABC A B C -的所有顶点都在一个表面积是40π的球面上，且1,120AB AC AA BAC ∠=== ，则此直三棱柱的表面积是（）A ．16+B ．8+C ．8+D ．16+例12．（2024·全国·高三专题练习）在直三棱柱111ABC A B C -中，ABC 为等腰直角三角形，若三棱柱111ABC A B C -的体积为32，则该三棱柱外接球表面积的最小值为（）A ．12πB ．24πC ．48πD ．96π变式6．（2024·湖北咸宁·高二鄂南高中校考阶段练习）已知正三棱柱111ABC A B C -的体积为）A ．12πB ．6πC ．16πD ．8π变式7．（2024·全国·高三专题练习）在三棱柱111ABC A B C -中，已知11,90BC AB BCC ==∠= ，AB ⊥侧面11BB C C ，且直线1C B 与底面ABC 则此三棱柱的外接球的表面积为（）A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π变式8．（2024·新疆昌吉·高三校考期末）已知正三棱柱111ABC A B C -所有棱长都为6，则此三棱柱外接球的表面积为（）A ．48πB ．60πC ．64πD ．84π题型五：外接球之直棱锥模型例13．（2024·安徽宣城·高一统考期末）在三棱锥-P ABC 中，△ABC 是边长为3的等边三角形，侧棱PA ⊥平面ABC ，且4PA =，则三棱锥-P ABC 的外接球表面积为．例14．（2024·江苏南京·高二统考期末）在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥面ABC ，ABC 为等边三角形，且PA AB ==-P ABC 的外接球的表面积为．例15．（2024·四川成都·高一成都七中校考阶段练习）已知三棱锥-P ABC ，其中PA ⊥平面,120,2ABC BAC PA AB AC ∠=︒===，则三棱锥-P ABC 外接球的表面积为.变式9．（2024·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）在三棱锥D ABC -中，ABC 为等边三角形，DC ⊥平面ABC ，若6AC CD +=，则三棱锥D ABC -外接球的表面积的最小值为.变式10．（2024·陕西榆林·高二校考阶段练习）已知三棱锥S ABC -中，SA ⊥平面ABC ，2AB BC CA ===，异面直线SC 与AB 所成角的余弦值为4，则三棱锥S ABC -的外接球的表面积为．变式11．（2024·江苏镇江·高三江苏省镇江中学校考阶段练习）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PD ⊥底面ABCD ，O 为对角线AC 与BD 的交点，若3PD =，π3APD BAD ∠=∠=，则三棱锥P AOD -的外接球的体积为.变式12．（2024·四川绵阳·绵阳中学校考二模）在四棱锥A BCDE -中，AB ⊥平面BCDE ，BC CD ⊥，BE DE ⊥，120CBE ∠=︒，且2AB BC BE ===，则该四棱锥的外接球的表面积为.变式13．（2024·广东韶关·高二统考期末）三棱锥-P ABC 中,PA ⊥平面ABC ,4PA =,π3BAC ∠=,BC =,则三棱锥-P ABC 外接球的体积是．题型六：外接球之正棱锥、正棱台模型例16．（2024·山东滨州·高一校考期中）已知正四棱锥P ABCD -的底面边长为侧棱长为6，则该四棱锥的外接球的体积为．例17．（2024·福建福州·高一福建省福州屏东中学校考期末）已知正三棱锥PABC ﹣的顶点都在球O 的球面上，其侧棱与底面所成角为π3，且PA =O 的表面积为例18．（2024·河南商丘·高一商丘市第一高级中学校联考期末）在正三棱锥-P ABC 中，点D 在棱PA 上，且满足2PD DA =，CD PB ⊥，若AB =P BCD -外接球的表面积为.变式14．（2024·云南保山·高一统考期末）已知正三棱锥-P ABC 的侧棱与底面所成的角为60︒，高为，则该三棱锥外接球的表面积为.变式15．（2024·广东佛山·高一佛山市南海区第一中学校考阶段练习）已知正三棱锥-P ABC中，1PA =，AB =，该三棱锥的外接球体积为．变式16．（2024·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）如图，在正三棱台111ABC A B C -中，AB =116A B =，1AA =111ABC A B C -的外接球表面积为（）A ．64B ．64πC ．256π3D ．64π3变式17．（2024·辽宁·高三校联考期末）正四棱台高为2，上下底边长分别为2和4，所有顶点在同一球面上，则球的表面积为（）A ．32πB ．33πC ．34πD ．35π变式18．（2024·贵州六盘水·高一校考阶段练习）已知正四棱锥P ABCD -的底面边长为6，侧棱长为，则该四棱锥外接球的表面积为．变式19．（2024·山西晋中·高三祁县中学校考阶段练习）在正四棱锥P ABCD -中，=，若四棱锥P ABCD -的体积为2563，则该四棱锥外接球的体积为．变式20．（2024·湖北·高三统考阶段练习）在正四棱台1111ABCD A B C D -中，112AB A B =，1AA =）A ．332πB ．33πC ．572πD ．57π题型七：外接球之侧棱相等的棱锥模型例19．（2024·安徽安庆·校联考模拟预测）三棱锥-P ABC 中，PA PB PC ===，26AB AC ==，π3BAC ∠=，则该三棱锥外接球的表面积为．例20．（2024·江苏常州·高三华罗庚中学校考阶段练习）在三棱锥S ABC -中，2SA SB CA CB AB =====，二面角S AB C --的大小为60︒，则三棱锥S ABC -的外接球的表面积为．例21．（2024·河北承德·高一校联考阶段练习）已知三棱锥-P ABC 的各侧棱长均为且3,AB BC AC ===-P ABC 的外接球的表面积为.变式21．（2024·吉林长春·高一长春市解放大路学校校考期末）已知三棱锥P -ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA PB PC ==，△ABC E ，F 分别是PA ，AB 的中点，90CEF ∠= ，则球O 的体积为.变式22．（2024·全国·高三专题练习）已知在三棱锥S ABC -中，2SA SB SC AB ====，AC BC ⊥，则该三棱锥外接球的体积为A ．27B ．9C ．323πD ．163π变式23．（2024·全国·高一专题练习）如图，在三棱锥A BCD -中，2AB BC AC CD ====，120BCD ∠=︒，二面角A BC D --的大小为120︒，则三棱锥A BCD -的外接球的表面积为（）A ．823πB ．803πC ．27πD ．2449π变式24．（2024·全国·高三专题练习）在四面体ABCD 中，2AB AC BC BD CD =====，AD =ABCD 的外接球的表面积为（）A ．163πB ．5πC ．20πsD ．203π题型八：外接球之圆锥、圆柱、圆台模型例22．（2024·浙江台州·高二校联考期末）已知圆锥的底面半径为1，母线长为2，则该圆锥的外接球的体积为.例23．（2024·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）已知某圆锥的轴截面为正三角形，侧面积为8π，该圆锥内接于球O ，则球O 的表面积为.例24．（2024·河北石家庄·高二校考阶段练习）一个圆柱的底面直径与高都等于一个球的直径，则圆柱的表面积与球的表面积之比为.变式25．（2024·重庆·统考模拟预测）如图所示，已知一个球内接圆台，圆台上、下底面的半径分别为3和4，球的体积为500π3，则该圆台的侧面积为（）A ．60πB ．75πC ．35πD ．变式26．（2024·云南·高三校联考开学考试）已知圆台的上下底面圆的半径分别为3，4，母线长为O 的球面上，则球O 的体积为（）A ．250π3B ．500π3C ．100π3D ．125π3变式27．（2024·陕西西安·高一校考期中）如图所示，一个球内接圆台，已知圆台上､下底面的半径分别为3和4，球的表面积为100π，则该圆台的体积为（）A ．175π3B ．75πC ．238π3D ．259π3题型九：外接球之垂面模型例25．（2024·江西九江·高一校考期末）如图，三棱锥A BCD -中，平面ACD ⊥平面BCD ，ACD 是边长为2的等边三角形，BD CD =，120BDC ∠=︒.若A ，B ，C ，D 四点在某个球面上，则该球体的表面积为.例26．（2024·四川乐山·高二期末）已知正ABC 边长为1，将ABC 绕BC 旋转至DBC △，使得平面ABC ⊥平面BCD ，则三棱锥D ABC -的外接球表面积为．例27．（2024·河南平顶山·高一统考期末）在三棱锥-P ABC 中，平面ABC ⊥平面,PAB AC BC ⊥，点D 是AB 的中点，,2PD PB PB PD ⊥==，则三棱锥-P ABC 的外接球的表面积为.变式28．（2024·江苏·高一专题练习）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AA AB BC ==．设D 为1A C 的中点，三棱锥D ABC -的体积为94，平面1A BC ⊥平面11ABB A ，则三棱柱111ABC A B C -外接球的表面积为．变式29．（2024·河南开封·开封高中校考模拟预测）如图,在三棱锥-P ABC 中,平面PAB ⊥平面ABC ,6AB =,4BC =,AB BC ⊥,PAB 为等边三角形,则三棱锥-P ABC 外接球的表面积为．变式30．（2024·湖北十堰·高一统考期末）如图，在平面四边形ABCD 中，π,42ADB ABC BD BC ∠=∠===，沿对角线BD 将ABD △折起，使平面ADB ⊥平面BDC ，连接AC ，得到三棱锥A BCD -，则三棱锥A BCD -外接球表面积的最小值为.变式31．（2024·河南安阳·高一统考期末）在三棱锥-P ABC 中，平面PAB ⊥平面ABC ，PA PB ⊥，且PA PB ==ABC 是等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为．变式32．（2024·云南临沧·高二校考期中）如图，已知矩形ABCD 中，483AB BC ==，现沿AC 折起，使得平面ABC ⊥平面ADC ，连接BD ，得到三棱锥B ACD -，则其外接球的体积为．变式33．（2024·全国·高三校联考开学考试）在三棱锥-P ABC 中，平面PAB ⊥平面ABC ，底面ABC 是边长为3的正三角形，若该三棱锥外接球的表面积为15π，则该三棱锥体积的最大值为.变式34．（2024·四川乐山·统考三模）在三棱锥-P ABC 中，2PA PC BA BC ====，平面PAC ⊥平面ABC ，则三棱锥-P ABC 的外接球表面积的最小值为．变式35．（2024·湖南衡阳·校联考模拟预测）在平面四边形ABCD 中，90,90,2ADB ABC BD BC ∠∠==== ，沿对角线BD 将ABD △折起，使平面ADB ⊥平面BDC ，得到三棱锥A BCD -，则三棱锥A BCD -外接球表面积的最小值为.题型十：外接球之二面角模型例28．（2024·广东阳江·高三统考开学考试）在三棱锥D ABC -中，2AB BC ==，90ADC ∠= ，二面角D AC B --的平面角为30 ，则三棱锥D ABC -外接球表面积的最小值为（）A ．()161πB ．()163π-C ．()161πD ．()163π例29．（2024·浙江丽水·高二统考期末）在四面体PABC 中，PA PB ⊥，ABC 是边长为2的等边三角形，若二面角P AB C --的大小为120︒，则四面体PABC 的外接球的表面积为（）A ．13π9B ．26π9C ．52π9D ．104π9例30．（2024·广东·校联考模拟预测）已知四棱锥,S ABCD SA -⊥平面,,4ABCD AD DC SA BC ⊥==，二面角S BC A --的大小为π3.若点,,,,S A B C D 均在球O 的表面上，则该球O 的表面积为（）A ．152π3B ．52πC ．160π3D ．54π变式36．（2024·福建·高一福建师大附中校考期末）在四面体ABCD 中，ABC 与BCD △都是边长为6的等边三角形，且二面角A BC D --的大小为60︒，则四面体ABCD 外接球的表面积是（）A ．52πB ．54πC ．56πD ．60π变式37．（2024·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）图1为两块大小不同的等腰直角三角形纸板组成的平面四边形ABCD ，其中小三角形纸板的斜边AC 与大三角形纸板的一条直角边长度相等，小三角形纸板的直角边长为a ，现将小三角形纸板ACD 沿着AC 边折起，使得点D 到达点M 的位置，得到三棱锥M ABC -，如图2．若二面角M AC B --的大小为23π，则所得三棱锥M －ABC 的外接球的表面积为（）A ．273a πB ．24a πC ．2143a πD ．227a 变式38．（2024·全国·高三专题练习）如图1，在PBC 中，PA BC ⊥，AM PB ⊥，6BC =，4PA =，沿PA 将PAB 折起，使得二面角B PA C --为60°，得到三棱锥-P ABC ，如图2，若AM PC ⊥，则三棱锥-P ABC 的外接球的表面积为（）A ．32πB ．36πC ．64πD ．80π变式39．（2024·湖南岳阳·统考三模）已知三棱锥D ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，30AD BD AC BC DAB CBA ∠∠⊥⊥== ,,，二面角D AB C --的大小为60 ，若球O 的表面积等于36π，则三棱锥D ABC -的体积等于（）AB ．8C D变式40．（2024·全国·高一专题练习）在三棱锥A BCD -中，,,224AB BC BC CD CD AB BC ⊥⊥===，二面角A BC D --为60︒，则三棱锥A BCD -外接球的表面积为（）A ．16πB ．24πC ．18πD ．20π题型十一：外接球之侧棱为球的直径模型例31．（2024·贵州黔东南·高二凯里一中校考期中）已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径.若平面SCA ⊥平面SCB ，SA AC =，SB BC =，三棱锥S ABC-的体积为83，则球O 的体积为（）A ．4πB ．203πC ．6πD ．323π例32．（2024·四川巴中·高三统考期末）已知三棱锥S ABC -的体积为12，1AC BC ==，120ACB ∠=︒，若SC 是其外接球的直径，则球的表面积为（）A ．4πB ．6πC ．8πD ．16π例33．（2024·重庆九龙坡·高二重庆市育才中学校考期中）已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上,SA 为球的直径,ABC ∆是边长为2的等边三角形,三棱锥S ABC -的体积为3,则球的表面积为()A ．8πBC ．16πD ．1283π变式41．（2024·重庆·校联考一模）已知三棱锥S ABC -各顶点均在球O 上，SB 为球O 的直径，若2AB BC ==，23ABC π∠=，三棱锥S ABC -的体积为4，则球O 的表面积为A ．120πB ．64πC ．32πD ．16π变式42．（2024·河北唐山·统考三模）三棱锥S ABC -的四个顶点都在球面上，SA 是球的直径，AC AB ⊥，2BC SB SC ===，则该球的表面积为()A ．4πB ．6πC ．9πD ．12π变式43．（2024·河南南阳·统考模拟预测）已知三棱锥-P ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，PC 是球O 的直径.若平面PCA ⊥平面PCB ，PA AC =，PB BC =，三棱锥-P ABC 的体积为a ，则球O 的体积为A ．2a πB ．4a πC ．23a πD ．43a π变式44．（2024·福建莆田·高三统考期中）三棱锥S ABC -的各顶点均在球O 上，SC 为该球的直径，1,120AC BC ACB ︒==∠=，三棱锥S ABC -的体积为12，则球的表面积为A ．4πB ．6πC ．8πD ．16π变式45．（2024·全国·高三专题练习）已知三棱锥-P ABC 的四个顶点均在某球面上，PC 为该球的直径，ABC 是边长为4的等边三角形，三棱锥-P ABC 的体积为163，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A ．163πB ．403πC ．643πD ．803π变式46．（2024·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）已知SC 是球O 的直径，,A B 是球O球面上的两点，且1,CA CB AB ===S ABC -的体积为1，则球O 的表面积为A ．4πB ．13πC ．16πD ．52π题型十二：外接球之共斜边拼接模型例34．（2022·江西·高二阶段练习（理））如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面是菱形，PB ⊥底面ABCD ，O 是对角线AC 与BD 的交点，若1PB =，3APB π∠=，则三棱锥P BOC -的外接球的体积为（）A ．23πB ．43πC ．53πD ．2π例35．（2022·安徽·芜湖一中高二期中）已知三棱锥P ABC -中，1PA =，3PB =，PC =，AB =2CA CB ==，则此三棱锥的外接球的表面积为（）A ．143πB ．283πC ．9πD ．12π例36．（2022·江西赣州·高二期中（理））在三棱锥A SBC -中，10,,,4AB ASC BSC AC AS BC BS π=∠=∠===若该三棱锥的体积为153，则三棱锥A SBC -外球的体积为（）A ．πB ．3πC ．5πD ．43π变式47．在矩形A B C D 中，==4,3A B B C ，沿A C 将矩形A B C D 折成一个直二面角--B A C D ，则四面体A B C D 的外接球的体积为（）A ．π12512B ．π1259C ．π1256D ．π1253变式48．三棱锥-P A B C 中，平面⊥P A C 平面A B C ，=2A C ，⊥P A P C ，⊥A B B C ，则三棱锥-P A B C 的外接球的半径为题型十三：外接球之坐标法模型例37．（2024·浙江·高二校联考阶段练习）空间直角坐标系O xyz -中，(2,0,0),(0,3,0),(0,0,5),(2,3,5),A B C D 则四面体ABCD 外接球体积是（）A ．25πB ．36πC ．1083πD ．288π例38．（2024·贵州·统考模拟预测）如图，某环保组织设计一款苗木培植箱，其外形由棱长为2（单位：m ）的正方体截去四个相同的三棱锥（截面为等腰三角形）后得到.若将该培植箱置于一球形环境中，则该球表面积的最小值为2m 例39．（2024·河南开封·开封高中校考一模）如图，在三棱锥A BCD -中，,2,AD AB AB AD ACD ⊥== 为等边三角形，三棱锥A BCD -的体积为23，则三棱锥A BCD -外接球的表面积为.变式49．（2024·全国·高三专题练习）如图①，在Rt ABC 中，2C π=，2AC BC ==，D ，E 分别为AC ，AB 的中点，将ADE V 沿DE 折起到1A DE △的位置，使1A D CD ⊥，如图②.若F 是1A B 的中点，则四面体FCDE 的外接球体积是（）A ．2πBC ．6D ．12变式50．（2024·湖北武汉·高一武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）期末）如图，已知四棱锥E ABCD -，底面ABCD 是边长为3的正方形，⊥AE 面ABCD ，2EQ QD = ，2EP PB = ，12ER RC = ，若RP RQ ==，则四棱锥E ABCD -外接球表面积为（）A ．44πB ．54πC ．176πD ．216π变式51．（2024·河南郑州·模拟预测）在长方体中1111ABCD A B C D -中，11AB AA ==，AD ＝2，M 是棱11B C 的中点，过点B ，M ，1D 的平面α交棱AD 于点N ，点P 为线段1D N 上一动点，则三棱锥1P BB M -外接球表面积的最小值为．变式52．（2024·湖南郴州·高二统考期末）如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱11A D ､1AA 的中点，G 为面对角线1B C 上一个动点，则三棱锥1A EFG -的外接球表面积的最小值为.变式53．（2024·广东阳江·高三阳春市第一中学阶段练习）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点P 是线段11B D 上的动点，则三棱锥-P ABC 的外接球半径的取值范围为．题型十四：外接球之空间多面体例40．（2024·全国·高三专题练习）自2015年以来，贵阳市着力建设“千园之城”，构建贴近生活、服务群众的生态公园体系，着力将“城市中的公园”升级为“公园中的城市”．截至目前，贵阳市公园数量累计达到1025个．下图为贵阳市某公园供游人休息的石凳，它可以看做是一个正方体截去八个一样的四面体得到的，如果被截正方体的的棱长为，则石凳所对应几何体的外接球的表面积为2cm ．例41．（2024·山东青岛·高一山东省青岛第五十八中学校考阶段练习）截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点所产生的多面体.如图所示，将棱长为3的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为1的截角四面体，则该截角四面体的外接球表面积为.例42．（2024·宁夏银川·银川二中校考一模）把一个棱长都是6的正四棱锥（底面是正方形，顶点在底面的射影是正方形的中心）每条棱三等分，沿与正四棱锥顶点相邻的三等分点做截面，将正四棱锥截去四个小正四面体和一个小正四棱锥（如图所示），则剩下的几何体的外接球的表面积等于．变式54．（2024·山东济南·高一山东省济南市莱芜第一中学校考阶段练习）取两个相互平行且全等的正n边形，将其中一个旋转一定角度，连接这两个多边形的顶点，使得侧面均为等边三角形，我们把这种多面体称作“n角反棱柱”.当n=4时，得到如图所示棱长均为2的“四角反棱柱”，则该“四角反棱柱”外接球的表面积等于（）A ．11πB ．(8π+C ．(8π+D 题型十五：与球有关的最值问题例43．（2024·江西抚州·统考模拟预测）如图，直三棱柱ABC A B C '''-中，,4AC BC AC BC ⊥==，棱柱的侧棱足够长，点P 在棱BB '上，点1C 在CC '上，且1PA PC ⊥，则当△1APC 的面积取最小值时，三棱锥-P ABC 的外接球的体积为.例44．（2024·全国·学军中学校联考二模）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，3π,24BCA AC BC ∠===，点P 在棱1BB 上，且1PA PC ⊥，当1APC 的面积取最小值时，三棱锥-P ABC 的外接球的表面积为.例45．（2024·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点E ∈平面11AA B B ，点F 是线段1AA 的中点，若1D E CF ⊥，则当EBC 的面积取得最小值时，三棱锥1E BCC -外接球的体积为.变式55．（2024·广东深圳·高三深圳中学校考开学考试）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，AC⊥BC ，AC =3BC =，点P 在棱1BB 上，且1PA PC ⊥，当1APC 的面积取最小值时，三棱锥-P ABC 的外接球的表面积为．变式56．（2024·黑龙江齐齐哈尔·高一校联考期末）已知三棱锥-P ABC 的四个顶点均在同一个球面上，底面ABC 为等腰直角三角形且4BA BC ==，若该三棱锥体积的最大值为323，则其外接球的表面积为.变式57．（2024·四川泸州·高三四川省泸县第一中学校考阶段练习）已知四棱锥S －ABCD 中，底面ABCD 为正方形，侧面SAB 为等边三角形，AB ＝3，则当四棱锥的体积取得最大值时，其外接球的表面积为．变式58．（2024·湖南长沙·高三宁乡一中校考阶段练习）在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥底面ABC ，2PA =，2AB AC BC m ===，M 为AC 的中点，若三棱锥P ABM -的顶点均在球O 的球面上，D 是球O 上一点，且三棱锥-D PAC O 的体积为.变式59．（2024·江西南昌·南昌十中校考模拟预测）点A ，B ，C ，D 在同一个球的球面上，AB BC AC ===，若四面体ABCD，则这个球的表面积为.题型十六：内切球之正方体、正棱柱模型例46．（2024·广东肇庆·高一校考阶段练习）棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -的内切球的球心为O ，则球O 的体积为（）A ．23πB ．43πC ．2πD ．83π例47．（2024·河北邯郸·高一大名县第一中学校考阶段练习）已知直三棱柱111ABC A B C -存在内切球，若3,4,AB BC AB BC ==⊥，则该三棱柱外接球的表面积为（）A ．26πB ．27πC ．28πD ．29π例48．（2024·山西太原·高一校考阶段练习）已知正方体的内切球(球与正方体的六个面都相切)的体积是32π3，则该正方体的体积为（）A ．4B ．16C ．8D ．64变式60．（2024·全国·高一专题练习）若一个正三棱柱存在外接球与内切球，则它的外接球与内切球体积之比为（）A ．B ．5:1C ．:1D ．6:1变式61．（2024·辽宁·高二沈阳二中校联考开学考试）在正三棱柱ABC A B C '''-中，D 是侧棱BB '上一点，E 是侧棱CC '上一点，若线段AD DE EA '++的最小值是在一个内切球（与该棱柱的所有面均相切），则该棱柱的外接球表面积为（）A ．4πB ．5πC ．6πD ．8π变式62．（2024·全国·高一专题练习）若一个正六棱柱既有外接球又有内切球，则该正六棱柱的外接球和内切球的表面积的比值为（）A ．2:1B ．3:2C ．7:3D ．7:4变式63．（2024·全国·高三专题练习）已知点O 到直三棱柱111ABC A B C -各面的距离都相等，。
正方体的内切球,
棱切球正方体与球
2
a
r 内切球切点：各个面的中心。
球心：正方体的中心。
直径：相对两个面中心连线。
a r 23 外接球正方体的外接球
球直径等于正方体的体对角线
球与正方体的棱相切
球的直径等于正方体一个面上的对角线长
切点：各棱的中点。
球心：正方体的中心。
直径：“对棱”中点连线a r 22 棱切球
1.求棱长为a 的正四面体的内切球的半径r .
r
S h S V ⋅=⋅=全面积底面积31
31
a
r 126
=S h S r
⋅=⋅底面积全面积1
4
S r S h ==底面积全面积1
4r h =63h a =§3正四面体与球
2.求棱长为a 的正四面体的外接球的半径R
.2
26
.
4R a 将正四面体放到正方体中，
得正方体的棱长为a,
且正四面体的外接球
即正方体的外接球，
所以＝
3.求棱长为a 的正四面体的棱切球的半径R
.
24
R a ＝正四面体的外接球和棱切球的球心重合。
正四面体的外接球和内切球的球心一定重合R:r=3:1
a r 126 内切球64R a 外接球＝24
r a 棱切球＝
正四面体的内切球, 棱切球,外接球
三个球心合一
3
:1:3
半径之比为：
3
1:2:3
小结:常见的补形
正四面体常常补成正方体求外接球的半径三条侧棱两两垂直的三棱锥常补成长方体。
