概率统计习题全解

概率论与数理统计习题与解答第一章 随机事件与概率内容概要：1.随机现象 在一定的条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随机现象.2.样本空间 随机现象的一切可能结果组成的集合称为样本空间.}{ω=Ω，其中：ω：基本结果，又称为样本点.3.随机事件 随机现象的某些样本点组成的集合称为随机事件（事件），用C B A ,,,…表示. Ω：表示必然事件，Φ：表示不可能事件.4.随机变量 用来表示随机现象结果的变量称为随机变量.用,,,Z Y X …表示.5.事件间的关系01.包含关系：若属于A 的样本点必属于B ，则称A 被包含在B 中。

,B A ⊂或A B ⊃.02.相等关系：若,B A ⊂且A B ⊂，则B A =.03.互不相容：若A 与B 没有共同的样本点，则称A 与B 互不相容。

即事件A 与B 不可能同时发生.6.事件运算01.并：B A ⋃.事件A 与B 至少有一个发生.02.交；B A ⋂或AB .事件A 与B 同时发生.03.差：B A -.事件A 发生而B 不发生.04.对立事件：A 的对立事件：A .即：A 不发生.7.事件的运算性质01交换律：A B B A ⋃=⋃，BA AB =02结合律：)()(C B A C B A ⋃⋃=⋃⋃,)()(C B A C B A ⋂⋂=⋂⋂.3 分配率：（B A ⋃）BC AC C ⋃=⋂，))(()(C B C A C B A ⋃⋃=⋃⋂. 04对偶率：B A ⋃=B A ⋂， B A ⋂=B A ⋃.8.事件域 含有必然事件Ω，并关于对立运算和可列并运算都封闭的事件类f 称为事件域.具体说，事件域f 满足：○1f ∈Ω， ○2若,f A ∈则f A ∈， ○3若,...)2,1(,=∈n f A n ，则可列并 +∞=1n n A f ∈.习题与解答1.1随机事件及其概率★1. 设,,A B C 为三事件，试表示下列事件：（1）,,A B C 都发生或都不发生；（2）,,A B C 中不多于一个发生；（3）,,A B C 中不多于两个发生；（4）,,A B C 中至少有两个发生。

习题解答习 题1.11．试判断下列试验是否为随机试验：（1）在恒力的作用下一质点作匀加速运动；（2）在5个同样的球（标号1,2,3,4,5,）中，任意取一个，观察所取球的标号；（3）在分析天平上称量一小包白糖，并记录称量结果． 解（1）不是随机试验，因为这样的试验只有唯一的结果．（2）是随机试验，因为取球可在相同条件下进行，每次取球有5个可能的结果：1,2,3,4,5，且取球之前不能确定取出几号球．（3）是随机试验，因为称量可在相同条件下进行，每次称量的结果用x 表示，则有(,)x m m εε∈-+，其中m 为小包白糖的重量，ε为称量结果的误差限．易见每次称量会有无穷多个可能结果，在称量之前不能确定哪个结果会发生．2．写出下列试验的样本空间．（1）将一枚硬币连掷三次；（2）观察在时间 [0 ，t ] 内进入某一商店的顾客人数；（3）将一颗骰子掷若干次，直至掷出的点数之和超过2为止；（4）在单位圆内任取一点，记录它的坐标．解（1）Ω={（正正正），（正正反），（正反正），（反正正），（正反反），（反正反），（反反正），（反反反）}；（2）Ω={0，1，2，3，……}；（3）Ω={（3,4）,（5,6）,(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(1,1,1),(1,1,2),(1,1,3),(1,1,4),(1,1,5),(1,1,6)}.（4）在单位圆内任取一点，这一点的坐标设为（x ，y ）,则x ，y 应满足条件22 1.x y +≤故此试验的样本空间为{}22(,)| 1.x y x y Ω=+≤3．将一颗骰子连掷两次，观察其掷出的点数．令A =“两次掷出的点数相同” ，B =“点数之和为10” ，C =“最小点数为4” ．试分别指出事件A 、B 、C 以及A B 、ABC 、A C - 、C A - 、B C 各自含有的样本点．解A ={(1,1) ，(2,2) ，(3,3) ，(4,4) ，(5,5) ，(6,6)} ;B ={(4,6) ，(5,5) ，(6,4)};C ={(4,4) ，(4,5) ，(4,6) ，(5,4) ，(6,4)};{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6),(4,6),(6,4)}A B =;ABC =∅AC ={(1,1)，(2,2)，(3,3)，(5,5)，(6,6)};C A -={(4,5)，(4,6)，(5,4)，(6,4)};{(5,5)}.BC =4．在一段时间内，某电话交换台接到呼唤的次数可能是0次，1次，2次，… ．记事件k A（k = 1 ，2 ，…）表示“接到的呼唤次数小于k ” ，试用k A 间的运算表示下列事件：（1） 呼唤次数大于2 ；（2） 呼唤次数在5到10次范围内；（3） 呼唤次数与8的偏差大于2 ．解 (1) 3A ；(2) 115A A -；(3) 611A A .5．试用事件A 、B 、C 及其运算关系式表示下列事件：（1）A 发生而B 不发生；（2）A 不发生但B 、C 至少有一个发生；（3）A 、B 、C 中只有一个发生；（4） A 、B 、C 中至多有一个发生；（5）A 、B 、C 中至少有两个发生；（6）A 、B 、C 不同时发生．解 (1)AB ；(2)()A B C ；(3) ABC ABC A BC ； (4) AB A C BC ；(5)AB BC AC ； (6) ABC6．在某大学金融学院的学生中任选一名学生．若事件A 表示被选学生是女生，事件B 表示该生是大学二年级学生，事件C 表示该生是运动员． （１）叙述ABC 的意义．（2）在什么条件下ABC C =成立？（3）在什么条件下A B ⊂成立？解（1）该生是二年级女生，但非运动员．（2）全学院运动员都是二年级女生．（3）全系男生都在二年级7．化简下列各事件：（1） ()A B A -；（2）()A B B -；（3）()A B A - ；（4）()A B B -（5）()()()A B A B A A ．.解．(1) ()A B A A -=；(2) ()A B B A B -= ；(3) ()A B A A B -=- ；(4) ()A B B -=Φ；(5) ()()()()A B A B A B A A B AB ==.习题1.21．已知事件A 、B 、A B 的概率分别为0.4，0.3，0.6．求()P AB 解 由公式()()()()P A B P A P B P AB =+-及题设条件得()0.40.30.60.1P AB =+-=又 ()()()()0.40.10.3P AB P A B P A P AB =-=-=-=2．设1()()()4P A P B PC ===，()0P AB =，1()()16P AC P BC ==，求（1）A 、B 、C 中至少有一个发生的概率；（2）A 、B 、C 都不发生的概率。

概率论与数理统计习题（含解答,答案）概率论与数理统计复习题（1）⼀．填空.1.3.0)(,4.0)(==B P A P 。

若A 与B 独⽴，则=-)(B A P ；若已知B A ,中⾄少有⼀个事件发⽣的概率为6.0，则=-)(B A P 。

2．)()(B A p AB p =且2.0)(=A P ，则=)(B P 。

3．设),(~2σµN X ，且3.0}42{ },2{}2{=<<≥==>}0{X P 。

4．1)()(==X D X E 。

若X 服从泊松分布，则=≠}0{X P ；若X 服从均匀分布，则=≠}0{X P 。

5．设44.1)(,4.2)(),,(~==X D X E p n b X ，则==}{n X P6．,1)(,2)()(,0)()(=====XY E Y D X D Y E X E 则=+-)12(Y X D 。

7．)16,1(~),9,0(~N Y N X ，且X 与Y 独⽴，则=-<-<-}12{Y X P （⽤Φ表⽰），=XY ρ。

8．已知X 的期望为5，⽽均⽅差为2，估计≥<<}82{X P 。

9．设1?θ和2?θ均是未知参数θ的⽆偏估计量，且)?()?(2221θθE E >，则其中的统计量更有效。

10．在实际问题中求某参数的置信区间时，总是希望置信⽔平愈愈好，⽽置信区间的长度愈愈好。

但当增⼤置信⽔平时，则相应的置信区间长度总是。

⼆．假设某地区位于甲、⼄两河流的汇合处，当任⼀河流泛滥时，该地区即遭受⽔灾。

设某时期内甲河流泛滥的概率为0.1；⼄河流泛滥的概率为0.2；当甲河流泛滥时，⼄河流泛滥的概率为0.3，试求：（1）该时期内这个地区遭受⽔灾的概率；（2）当⼄河流泛滥时,甲河流泛滥的概率。

三．⾼射炮向敌机发射三发炮弹（每弹击中与否相互独⽴），每发炮弹击中敌机的概率均为0.3，⼜知若敌机中⼀弹，其坠毁的概率是0.2，若敌机中两弹，其坠毁的概率是0.6，若敌机中三弹则必坠毁。

习题五2. 解 X 可能的取值为3,2,1，Y 可能的取值为3,2,1，相应的，其概率为()()()()()()()()().03,3,6134212,3,1211,3,6134123,2,6134122,2,6134121,2,12134113,1,6134212,1,01,1====⨯⨯=======⨯⨯====⨯⨯====⨯⨯====⨯⨯====⨯⨯======Y X P Y X P Y X P Y X P Y X P Y X P Y X P Y X P Y X P或写成()()()()63,32,21,1===+==+====Y X P Y X P Y X P Y X P 。

3. 解 （1）在放回抽样时，X 可能取的值为1,0，Y 可能取的值也为1,0，且()()()(),2511010221,1,2541010820,1,2541010281,0,25161010880,0=⨯⨯====⨯⨯====⨯⨯====⨯⨯===Y X P Y X P Y X P Y X P或写成（2）在无放回情形下，X 、Y()()()(),451910121,1,458910820,1,458910281,0,4528910780,0=⨯⨯====⨯⨯====⨯⨯====⨯⨯===Y X P Y X P Y X P Y X P或写成6. 求在D 上服从均匀分布的随机变量其中D 为x 轴、y 轴及直线12+=x y 围成的三角形区域。

解 区域D 见图5.2。

易算得D 的面积为4121121=⨯⨯=S ，所以()Y X ,的密度函数()=y x f ,,0,4()其他Dy x ∈,()Y X ,的分布函数()()⎰⎰∞-∞-=yxdxdy y x f y x F ,,当21-<x 或0<y 时，()0,=y x F ； 当120,021+<≤<≤-x y x 时, ()2021244,y y xy dx dy y x F y xy -+==⎰⎰-； 当12,021+≥<≤-x y x 时，()1444,221120++==⎰⎰-+x x dy dx y x F x x ；当10,0<≤≥y x 时，()2002124,y y dx dy y x F yy -==⎰⎰-； 当1,0≥≥y x 时，()⎰⎰-+==02112014,x dy dx y x F综合有,0 021<-<y x 或,242y y xy +- 120021+<≤<≤-x y x 且 ()=y x F , ,1442++x x 12021+≥<≤-x y x 且,22y y - 100<≤≥y x 且 ,1 10≥≥y x 且13.解 （1）k 满足()⎰⎰+∞∞-+∞∞-=1,dxdy y x f ，即()⎰⎰=-10011xydy x k dx 解得24=k ；（2）X 的边缘密度函数()()⎰+∞∞-==dy y x f x f X , (),0,1240dy y x x⎰- 其他10<<x =(),0,1122x x -其他10<<xY 的边缘密度函数为()=y f Y(),0,1241⎰-y ydx x 其他10<<y=(),0,1122y y -其他10<<y（3）3141212441,21=⨯⨯=⎪⎭⎫⎝⎛f ，而()()16271694112,23214112=⨯⨯==⨯⨯=y f x f Y X ，易见⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≠⎪⎭⎫ ⎝⎛412141,21Y X f f f ，因此X 与Y 不相互独立。

高中概率练习题及讲解讲解一、基础题1. 题目：一个袋子里有5个红球和3个蓝球，随机取出一个球，求是红球的概率。

答案：首先计算总球数为8个，红球数为5个。

根据概率公式 P(A) = 事件发生的次数 / 总的可能次数，红球的概率 P(红球) = 5/8。

2. 题目：掷一枚均匀的硬币两次，求至少出现一次正面的概率。

答案：首先列出所有可能的结果：正正、正反、反正、反反。

其中正正和正反、反正是至少出现一次正面的情况。

根据概率公式，P(至少一次正面) = 3/4。

3. 题目：一个班级有30名学生，随机选取5名学生作为代表，求其中至少有一名男生的概率（假设班级男女比例为1:1）。

答案：首先计算总的选取方式，即从30名学生中选取5名的组合数。

然后计算没有男生的选取方式，即从15名女生中选取5名的组合数。

根据对立事件的概率计算，P(至少一名男生) = 1 - P(没有男生)。

二、进阶题1. 题目：一个工厂每天生产100个零件，其中有5%的次品。

今天工厂生产了200个零件，求至少有10个次品的概率。

答案：首先确定次品数为10、11、...、20。

使用二项分布公式P(X=k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中 n=200, p=0.05。

计算总概率P(X ≥ 10) = Σ P(X=k) (k=10 to 20)。

2. 题目：一个盒子里有10个球，编号为1到10。

随机抽取3个球，求抽取的球的编号之和大于15的概率。

答案：列出所有可能的抽取组合，计算和大于15的组合数。

然后根据概率公式计算概率。

3. 题目：一个班级有50名学生，其中男生30名，女生20名。

随机选取5名学生，求选取的学生中恰好有3名男生的概率。

答案：使用组合数计算选取3名男生和2名女生的组合数，然后除以总的选取方式数，即从50名学生中选取5名的组合数。

三、高难题1. 题目：一个连续掷骰子直到出现6点停止，求掷骰子次数的期望值。

概率统计第一章教材习题选解习题1-21．已知B A ⊂，()4.0=A P ，()6.0=B P .求：（1）()A P ，()B P ；（2）()AB P ；（3）()B A P +；（4）()B A P ；（5）()B A P ⋅，()A B P .解：（1）()()6.01=-=A P A P ，()()4.01=-=B P B P ；（2）()()4.0====⊂A P AB P B A ；（3）()()6.0====+⊂B P B A P B A ；（4）()()()()()()2.0=-=-=-=A P B P AB P B P A B P B A P ；（5）()()()()4.011=-=+-=+=⋅B P B A P B A P B A P ，()()()0=-=AB P A P A B P .2．设B A ,是两事件，且()6.0=A P ，()7.0=B P .问分别在什么条件下，()AB P 取得最大值和最小值？最大值和最小值各为多少？解：因为()()()()B A P B P A P AB P +-+=，所以要使()AB P 最大，只要()B A P +最小；要使()AB P 最小，只要()B A P +最大. 而()B A A +⊆，()B A B +⊆，则()()B A P A P +≤，()()B A P B P +≤.于是B A ⊃或A B ⊃.又因为()()A P B P <，则B A ⊃不合题意.故，当A B ⊃时，()()()()()()()()6.0==-+=+-+=A P B P B P A P B A P B P A P AB P 最大；当Ω=+B A 时，()B A P +最大，()()()()3.0=+-+=B A P B P A P AB P 最小.3．已知B A ,是二事件，且()5.0=A P ， ()7.0=B P ，()8.0=+B A P .试求()A B P -与()B A P -. 解：因为()()()()4.0=+-+=B A P B P A P AB P ，所以()()()3.0=-=-AB P B P A B P , ()()()1.0=-=-AB P A P B A P .4．已知()()41==B P A P ，()21=C P ，()81=AB P ，()()0==CA P BC P .试求C B A ,,中有一个发生的概率. 解：()()()()()()()()ABC P AC P BC P AB P C P B P A P C B A P +---++=++因为()()()0==CA B P CA P ABC P ，而ABC AC ⊇，所以()()0=≥ABC P AC P ，即()0=AC P . 故，()()()()()()()()ABC P AC P BC P AB P C P B P A P C B A P +---++=++()()()()()87=-++=++AB P C P B P A P C B A P . 5．书架上有一部五卷册的文集，求各册自左至右或自右至左排成自然顺序的概率. 解：设A 表示“一部五卷册的文集，各册自左至右或自右至左排成自然顺序”，则()601!5!2==A P . 6．从一批由45件正品、5件次品组成的产品中任取3件产品，求其中恰有一件次品的概率.解：设A 表示“任取3件产品，求其中恰有一件次品”，则()3929935024515==C C C A P . 7．n 个朋友随机地围绕圆桌就座，求其中两人一定坐在一起（即座位相邻）的概率.解：首先必须搞清楚，这是一个环状排列问题.这种排列是无首尾之分的，而我们所熟悉的是线状排列问题.环状排列一种，相当于线状排列n 种.设A 表示“n 个朋友随机地围绕圆桌就座，其中甲，乙两人一定坐在一起”，则按线状排列时，首先考虑将甲，乙两人排在一起，有!2种排法，然后把这两人视为一个元素，再与其它的()1-n 的元素作全排列，共有()!1!2-n 种，而对应的环状排列有()()1!1!2--n n 种，于是()()()12!1!1!2-=--=n n n n n A P . 8．某油漆公司发出17桶油漆，其中白油漆10桶，黑油漆4桶，红油漆3桶，在搬运过程中所有的标签脱落，交货人随机地将这些油漆发给顾客，问一个订货为4桶白油漆，3桶黑油漆和2桶红油漆的顾客，能按所订颜色如数得到订货的概率是多少？解：设A 表示“能按所订颜色如数得到订货”，则()24312529172334410==C C C C A P . 9．设有N 件产品，其中M 件次品，今从中任取n 件，（1）求其中恰有()()n M k k ,m in ≤件次品的概率；（2）求其中至少有两件次品的概率.解：（1）设A 为“从N 件产品中任取n 件，其中恰有()()n M k k ,m in ≤件次品”，则()n Nk n M N k M C C C A P --=. （2）设B 为“从N 件产品中任取n 件，其中至少有两件次品”，则考虑逆事件的概率有：()()B P B P -=1，其中：B 表示“从N 件产品中任取n 件，其中次品件数不多于两件”.于是，()()n N n M N M n M N M C C C C C B P B P 11011---+-=-=. 10．将一枚骰子重复地掷n 次，试求掷出的最大点数为5的概率.解：设k A “n 次投掷中恰有k 次掷出5点，且其他各次小于5点”，则所求概率为：()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=+++--0222112164616461646161n n n n n n n n n C C C A A A P ΛΛ. 点评：本题不管是直接计算还是从对立事件着手都是困难的，但利用减法公式是简洁的. 设A “最大点数为5”，B “最大点数不超过5”，C “最大点数不超过4”，则B C ⊂，且C B A -=，于是()()()()n nn n n n n C P B P C B P A P 6456465-=-=-=-=. 11．甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内到达的时间是等可能的，如果甲船的停泊时间是一小时，乙船的停泊时间是两小时，求它们中任何一艘都不需要等候码头空出的概率.解：设甲乙两船到达的时刻为y x ,，则(){}240;240,≤≤≤≤=Ωy x y x .(){}y x x y y x A +≥+≥=21,或.显然，()11521013=A P . 点评：若甲船先到，则乙船必须晚到一小时x y +≥1；若乙船先到，则甲船必须晚两小时到达y x +≥2.12．（91数1-3）随机地向半圆a x ax y (202-<<为正常数）内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，试求原点和该点的连线与x 轴的夹角小于4π的概率.解：.1212cos 20402πθπθπ+===⎰⎰a D rdr d a S S P 半圆 点评：此题求面积时可用定积分或二重积分.习题1-31．已知()3.0=A P ，()4.0=B P ，()5.0=B A P ，求条件概率()B A B P +. 解：()()()()()()()()()()()()B A P B P A P AB P B A P B P A P B B P AB P B A P B B AB P B A B P --+=-++=++=+1 因为()()()()5.0=-=-=AB P A P B A P B A P ，所以()()()B A P A P AB P -=. 故，()B A B P +()()()()()()()()()4111=--+-=--+=B A P B P A P B A P A P B A P B P A P AB P . 2．已知()5.0=A P ，()6.0=B P ，()8.0=A B P ，求()AB P 及()B A P ⋅.解：()()()4.0==A B P A P AB P ； ()()()()()()3.011=+--=+-=+=⋅AB P B P A P B A P B A P B A P . 3．某种动物由出生活到20岁的概率为8.0，活到25岁的概率为4.0，这种动物已经活到20岁，再活到25岁的概率是多少？解：设A “这种动物由出生活到20岁”，B “这种动物由出生活到25岁”，则A B ⊂， 故所求概率为：()()()()()218.04.0====A PB P A P AB P A B P .4．掷两颗骰子，已知两颗骰子的点数之和为7，求其中有一颗为1点的概率（分别用条件概率的定义计算和条件概率的含义（即用缩减后的样本空间）计算）.解法（一）：设A 表示“两颗骰子的点数之和为7”，B 表示“其中有一颗为1点”，则所求概率为：()()()31666222===A P AB P A B P . 解法（二）：考虑缩减后的样本空间（即两颗骰子的点数之和为7）：()()()()()(){}4,3,5,2,6,1,3,4,2,5,1,6=Ω，()(){}6,1,1,6=A ，故()31=A P . 点评：缩减后的样本空间只含有6个基本事件，而原样本空间含有36个基本事件.5．某人有一笔资金，他投入基金的概率为58.0，购买股票的概率为28.0，两项同时都投资的概率为19.0，（1）已知他已经投入基金，再购买股票的概率是多少？（2）已知他已购买股票，再投入基金的概率是多少？解：设A “投入基金”，B “购买股票”，则()58.0=A P ，()28.0=B P ，()19.0=AB P ，于是，已知他已经投入基金，再购买股票的概率是：()()()581958.019.0===A P AB P A B P . 已知他已购买股票，再投入基金的概率是：()()()281928.019.0===B P AB P B A P . 6．袋中有r 只红球，t 只白球，每次从袋中任取一只球，观察颜色后放回，并再放入a 只与取出的那只球同色的球，若在袋中连续取球四次，试求第一、二次取到红球且第三、四次取到白球的概率（此题为波利亚模型，它是一个包含了许多重要的随机现象的模型，请读者思考一下，什么样的现象可以归结于这一模型）.解：设()4,3,2,1=i A i 表示“第i 次取到红球”，则所求概率为：()4321A A A A P ⋅⋅⋅()()()()()()a t r a t r a t r t r a t a r rt 32+++++++++=. 7．已知10只产品中有2只次品，在其中取两次，每次任取一只，作不放回抽样.求下列事件的概率：（1）两只都是正品；（2）两只都是次品；（3）一只正品，一只次品. 解：设21,A A 分别表示“第1，2次取的是正品”，则（1）()()()45289710812121=⋅==A A P A P A A P . （2）()()()4519110212121=⋅==⋅A A P A P A A P . （3）()()()()()()()12112121212121A A P A P A A P A P A A P A A P A A A A P +=+=+45169810292108=⋅+⋅=. 8．已知()3.0=A P ，()5.0=B P ，()15.0=AB P ，验证()()B P A B P =，()()B P A B P =，()()A P B A P =，()()A P B A P =. 证明：()()()()B P A P AB P A B P ===5.0；()()()()()()()()A P AB P B P A P A B P A P A B P A B P --=--==11 ()B P ==-=5.07.015.05.0.同理可证其他. 9．第一个盒子中有5只红球，4只白球；第二个盒子中有4只红球，5只白球.先从第一个盒子中任取2只球放入第二个盒子中去，然后从第二个盒子中任取一球，求取到白球的概率.解：设1B “从第一只盒子中取得2 只红球”，2B “从第一只盒子中取得2 只白球”，3B “从第一只盒子中取得一只红球，一只白球”，A “从第二只盒子中取到一只白球”. 由全概率公式得：()()()9953116951176111518531=⨯+⨯+⨯==∑=i i i B A P B P A P . 10．某产品主要由三个厂家供货. 甲、乙、丙三个厂家的产品分别占总数的%15，%80，%5.其次品率分别为02.0，01.0，03.0. 试计算：（1）从这批产品中任取一件是合格品的概率；（2）已知从这批产品中随机地取出的一件是不合格品，问这件产品由哪家生产的可能性大？解：设1B ，2B ，3B 分别表示“任取一件产品是甲，乙，丙厂生产的”，A 表示“从这批产品中任取一件是合格品”则()()()0125.003.005.001.08.002.015.031=⨯+⨯+⨯==∑=i i i B A P B P A P .11．将两信息分别编码为X 和Y 后传送出去，接收站接收时，X 被误收作Y 的概率为02.0，而Y 被误收作X 的概率为01.0.信息X 与信息Y 传送的频繁程度之比为1:2.若接收站收到的信息是X ，问原发信息也是X 的概率是多少？解：设A “发出信号X ”，B “收到信号X ”，则由Bayes 公式可知：()()()()()()()19719601.03198.03298.032=⨯+⨯⨯=+=A B P A P A B P A P A B P A P B A P . 12．设有两箱同类零件，第一箱内装有50件，其中10件是一等品；第二箱内装有30件，其中18件是一等品，现从两箱中任选一箱，然后从该箱中依次随机地取出两个零件（取出的零件不放回），试求：（1）第一次取出的零件是一等品的概率；（2）在第一次取出的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍是一等品的概率.解：设21,A A 分别表示“第一，二次取得一等品”，21,B B 分别表示“取到第一箱，第二箱中的零件”.（1）由全概率公式得：()()()4.02130182*********=⨯+⨯==∑=i i i B A P B P A P . （2）由全概率公式得：4856.0=.习题1-41．设()7.0=A P ，()8.0=B P ，()8.0=A B P .问事件A 与B 是否相互独立？解：因为()()()56.0==A B P A P AB P ，而()()56.0=B P A P ，即()()()B P A P AB P =，所以事件A 与B 是相互独立的.2．设C B A ,,是三个互相独立的随机事件，且()10<<C P ，问AC 与C 是否相互独立？ 解：因为()()()()()()01>-==+⋅=+=⋅C P C P C C A P C A C P C AC P ， ()()()[]()()()[]()C P C P A P C P AC P C P AC P C B A -=====-=11,,独立，所以当()0=A P 时，()()()()C P C P AC P C AC P ==⋅，故AC 与C 是相互独立的.否则，AC 与C 是不相互独立的. 点评：因为C AC ⊂，所以C AC ⊃，从而()()C P C AC P =⋅.3．已知()a A P =，()3.0=B P ，()7.0=+B A P .（1）若事件A 与B 互不相容，求a ；（2）若事件A 与B 相互独立，求a .解：（1）若事件A 与B 互不相容，则()()()()A B P B P A P B A P -+=+ ()()()()()()()()()AB P A P AB P B P B P A P A B P B P A P +-=+-+-=--+=11，因为A 与B 互不相容，所以()0=AB P ，从而()()3.0117.0=⇒-=-==+a a A P B A P .（2）若事件A 与B 相互独立，则()()()()A B P B P A P B A P -+=+ ()()()B P A P A P +-=1，从而()()()()a a B P A P A P B A P 3.0117.0+-=+-==+，故73=a . 4．设A 与B 相互独立，且()α=A P ，()β=B P ，求下列事件的概率：（1）()B A P +；（2）()B A P +；（3）()B A P +. 解：（1）()αββα-+=-+=+)()()()(B P A P B P A P B A P ；（2）()()()B A P B P A P B A P -+=+)(，当A 与B 相互独立时，A 与B 也是独立的，则 αββ+-=1；（3）()()()()()αβ-=-=-==+111B P A P AB P AB P B A P . 5．已知事件A 与B 相互独立，且()91=⋅B A P ，()()B A P B A P =，求()A P ，()B P . 解：()()()()()()()()AB P B P AB P A P A B P B A P B A P B A P -=-⇔-=-⇔= ()()B P A P =⇔，从而有()()B P A P =. 当事件A 与B 相互独立时，事件A 与B 也独立，则()()()9191=⇔=⋅B P A P B A P ，于是()()31==B P A P ，()()32==B P A P .6．三个人独立地破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为51，31，41，问三人中至少有一人能将此密码译出的概率为多少？解：设C B A ,,分别表示“甲，乙，丙能独立地译出此密码”，则()()()()()()4332541111⨯⨯-=-=⋅⋅-=++-=++C P B P A P C B A P C B A P C B A P 53=.7．对同一目标进行三次独立射击，第一次、第二次、第三次射击的命中率分别是7.0,5.0,4.0，求：（1）在这三次射击中，恰好有一次击中目标的概率；（2）在这三次射击中，至少有一次命中目标的概率.解：设C B A ,,分别表示“第一，二，三次射击时命中目标”.（1）()()()()()()()()()()C P B P A P C P B P A P C P B P A P C B A C B A C B A P ++=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅36.07.05.06.03.05.06.03.05.04.0=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=.（2）()()()()()()C P B P A P C B A P C B A P C B A P -=⋅⋅-=++-=++11191.03.05.06.01=⨯⨯-=.8．一个元件（或系统）能正常工作的概率称为元件（或系统）的可靠性，设4个独立工作的元件4,3,2,1，求这一系统的可靠性.解：设i A 表示“第i 个元件可靠”)4,3,2,1(=i ，则所求概率为：()()()413214321A A A A A P A A A A P +=+ ()()()432141321432141321p p p p p p p p p A A A A P A A P A A A P -+=-+=.9．设第一只盒子中装有3只兰球，2只绿球，2只白球；第二个盒子中装有2只兰球，3只绿球，4只白球，独立地分别在两个盒子中各取一只球.（1）求至少有一只兰球的概率；（2）求有一只兰球，一只白球的概率；（3）已知至少有一只兰球，求有一只兰球一只白球的概率.解：设111,,C B A 分别表示“从第一只盒子中取出的球为兰，绿，白色的”，设222,,C B A 分别表示“从第二只盒子中取出的球为兰，绿，白色的”.（1）()()()()()959774111121212121=⨯-=-=⋅-=+-=+A P A P A A P A A P A A P ;（2）()()()()()()()212121212121A P C P C P A P A C P C A P A C C A P +=+=+631692729473=⨯+⨯=. （3）()()()()()21212121212121A A P A A A C C A P A A A C C A P +++=++，因为()()212121A A A C C A +⊂+，所以()()()()2121212121A C C A P A A A C C A P +=++.故，()()()()()()()3121212121212121212121=++=+++=++A A P A C C A P A A P A A A C C A P A A A C C A P .10．（先下手为强）甲、乙两人射击水平相当，于是约定比赛规则：双方对同一目标轮流射击，若一方失利，另一方可以继续射击，直到有人命中目标为止.命中一方为该轮的获胜者.你以为先射击者是否一定沾光？为什么？解：设i A 表示“第i 次射击时命中目标”()Λ,2,1=i ，B 表示“甲获胜”，假设由甲先发第一枪，又设甲，乙两人每次射击时的命中率为p ，未命中的概率为q ，则1=+q p .qq p +=-=1112，于是乙获胜的概率为：()()q qB P B P +=-=11.因为10<<q ，故()()B P B P >.即，先下手为强.第一章总习题1．填空题（1）假设B A ,是两个随机事件，且B A AB ⋅=，则()=+B A ，()=AB ；解：()()Ω=+⇔+=+++⇔B A B A B B A A .Φ=Φ⋅=⇔⋅⋅=⇔⋅=A AB B B A ABB B A AB .（2）假设B A ,是任意两个事件，则()()()()[]()=++++B A B A B A B A P .解：()()()()[]()()()()[]B A B A B A B A P B A B A B A B A P ++++=++++()()[]()0=Φ=++=P B B A B B A P .2．选择题（1）设8.0)(=A P ，7.0)(=B P ，()8.0=B A P ，则下列结论正确的是().（A ）事件A 与事件B 相互独立；（B ）事件A 与事件B 互逆； （C ）A B ⊃；（D ）())()(B P A P B A P +=+.解：因为()56.0)()(==B A P B P AB P ，而56.0)()(=B P A P ，即)()()(B P A P AB P =，所以事件A 与事件B 相互独立，选（A ）.（2）设B A ,为两个互逆的事件，且0)(>A P ，0)(>B P ，则下列结论正确的是().（A ）()0>A B P ；（B ）())(A P B A P =；（C ）()0=B A P ；（D ）)()()(B P A P AB P =. 解：因为B A ,为两个互逆的事件，所以当事件B 发生时，事件A 是不会以生的，故()0=B A P .选（C ）.（3）设1)(0<<A P ，1)(0<<B P ，()()1=+B A P B A P ，则下列结论正确的是().（A ）事件A 与事件B 互不相容；（B ）事件A 与事件B 互逆；（C ）事件A 与事件B 不互相独立；（D ）事件A 与事件B 互相独立.解：因为()()()()()()()()()()1111=-++⇔=⋅+⇔=+B P BA PB P AB P BP B A P B P AB P B A P B A P )()()(B P A P AB P =，所以事件A 与事件B 互相独立.选（D ）.3．从五双不同的鞋子中任取四只，求取得的四只鞋子中至少有两只配成一双的概率.解：此题考虑逆事件求解比较方便，即取得的四只鞋子中不能配成一双.设A 表示“取得的四只鞋子中至少有两只配成一双”，则()4101212124511)(C C C C C A P A P -=-= 2113=. 4．（找次品问题）盒中有4只次品晶体管，6只正品晶体管，随机地抽取一只进行测试，直到4只次品晶体管都找到为止，求第4次品晶体管在第五次测试中被发现的概率.解：设i A 表示“第i 次找到次品晶体管”()5,4,3,2,1=i ，则所求概率为：1052617283941064=⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯⨯⨯=.5．（讨论奖金分配的公平性问题）在一次羽毛球比赛中，设立奖金1000元.比赛规定：谁先胜三盘，谁获得全部奖金.设甲、乙两人的球技相当，现已打了三盘，甲2胜1负.由于特殊原因必须中止比赛.问这1000元应如何分配才算公平?解：应以预期获胜的概率为权重来分配这笔奖金，于是求出甲、乙两人获胜的预期概率即可.比赛采取的应是五局三胜制，比赛已打三盘，甲胜两盘，甲若再胜一盘即可获胜. 甲获胜的预期概率为：()()()()43212121544544=⨯+=+=+A P A P A P A A A P . 于是，甲应分得1000元奖金中的750100043=⨯元，乙分得250元.6．4张卡片标着1到4，面朝下放在桌子上，一个自称有透视能力的人将用他超感觉的能力说出卡片上的号码.如果他是冒者而只能随机地猜一下，他至少猜中一个的概率p 是多少？解：由古典概型下概率的定义可知：85!41!40444342414=-=+++=C C C C C p . 7．甲从10,8,6,4,2中任取一个数，乙从9,7,5,3,1中任取一个数，求甲取得的数大于乙取得的数的概率.解：设i A 表示“甲取的数为()10,8,6,4,2=i i ”，k B 表示“乙取的数为()9,7,5,3,1=k k ”，则所求概率为：由于甲、乙取数是相互独立的，则由独立性的性质可知：()()()k i k i B P A P B A P =，且()51=i A P ，()51=k B P ，()9,7,5,3,1;10,8,6,4,2==k i . 以上概率为：5315251=⨯. 8．从数字9,,,3,2,1Λ中可重复地任取n 次，每次取一个数，求n 次所取数的乘积能被10整除的概率.解：n 次取得的数的乘积能被10整除，相当于取得的n 个数中至少有一个是偶数，另一个是5.设A 表示“所取的数是5”，B 表示“所取的数中至少有一个是偶数”，则所求概率为：nnn n 94581-+-=.9．向正方形区域(){}1,1,≤≤=Ωy x y x 中随机地投一个点，如果()y x ,是所投点M 的坐标，试求：（1）02=++y xt t 有两个实根的概率；（2）方程02=++y xt t 有两个正实根的概率.解：（1）设A 表示“02=++y xt t 有两个实根”，02=++y xt t 有两个实根的充要条件是 042≥-y x ， 即(){}04,2≥-=y x y x A .故()24134242102=+=⎰dx x A P .⎝⎛x（2）设B 表示“方程02=++y xt t 有两个正实根”，则方程02=++y xt t 有两个正实根的条件是：042≥-y x ，0>-x ，0>y ，即(){}0,0,04,2><≥-=y x y x y x B .故()48144012==⎰-dx x B P . 10．将四个球任意地放到四个盒子中去，每个盒子中容纳球的个数不限，如果已知前两个球放在不同的盒子中，试求有一个盒子中恰好放有三个球的概率.解：设A 表示“前两个球放在不同的盒子中”，B 表示“有一个盒子中恰好有两个球”，则所求概率为：()()()8114141224121224===C C C C C C C A P AB P A B P .11．设M 件产品中有m 件不合格品，从中任取两件.（1）在所取的两件产品中有一件是不合格品的条件下，求另一件也是不合格品的概率；（2）在所取产品中有一件是合格品的条件下，求另一件也是合格品的概率.解：设i A 表示“取出的两件产品中有i 件合格品”，则()22Mi mi m M i C C C A P --=()2,1,0=i . （1）()()()()()()12112222010010100100---=-=+=++=+--m M m C CC C C A A P A P A A P A A A P A A A P MmM M mm M . 或()()()()()()()()()10010010100100A P A P A P A A P A P A A P A A A P A A A P +=+=++=+121211220220---=+=---m M m C C C C C C C C C Mmm M M m m M M mm M . （2）()()()()()()()()1221121211211-+=+=++=+m M mA P A P A P A P A P A A A P A A A P .12．口袋中有20个球，其中两个是红球，现从袋中取球三次，每次取一个，取后不放回，求第三次才取到红球的概率.解：设i A 表示“第i 次取得红球()3,2,1=i ”，则所求概率为：()()()()089.011812119117120118213121321=⨯⨯=⋅=⋅⋅C C C C C C A A A P A A P A P A A A P .13．12个乒乓球全是新的，每次比赛时取出3个用完后放回去.（1）求第三次比赛时取到的三个球都是新球的概率；（2）问在第三次取到的三个球都是新球的条件下，第二次取到几个新球的概率最大？解：设事件i i i C B A ,,分别表示第一、二、三次比赛时取到i 个新球()3,2,1,0=i .（1）由全概率公式，()()()∑==333i i i B C P B P C P .其中：()()3,2,1,0312339==-i C C C B P i i i ，()()3,2,1,0312393==-i C C B C P i i . 故()()()146.03312393123393033≈⋅==∑∑=--=i ii i i i i C C C C C B C P B P C P .（2）容易求得，()70568430=C B P ，()7056151231=C B P ，()7056378032=C B P ，()7056168033=C B P . 故在第三次取到的三个球都是新球的条件下，第二次取到两个新球的概率最大.14．（有关经济的忠告）美国总统常常从经济顾问委员会寻求各种建议.假设有三种不同经济理论的顾问C B A ,,，总统正在考虑采取一项关于工资和价格控制的新政策，并关注这项政策对失业率的影响，每位顾问就这种影响给总统一个个人预测，预测是以失业率将减少、保持不变或上升的概率来给出的，见下表.用字母C B A ,,分别表示顾问C B A ,,的经济理论是正确的事件，根据以往总统与这些顾问一起工作的经验，总统已经形成了关于每位顾问正确的经济理论可能的一个估计，分别为：()61=A P ，()31=B P ，()21=C P .假设总统采取了所提出的新政策，一年后，失业率上升了，总统应如何调整他对其经济顾问的理论的正确的估计？解：设I 表示“失业率上升”，则()()()()()()()C I P C P B I P B P P A I P A P I P ++=3.02.0212.0318.061=⨯+⨯+⨯=.由Bayes 公式得：()()()()943.08.061=⨯==I P A I P A P I A P ， ()()()()923.02.031=⨯==I P B I P B P I B P ，()()()()933.02.021=⨯==I P C I P C P I C P .总统调整他对其经济顾问的理论的正确的估计为：()94=I A P ，()92=I B P ，()93=I C P . 15．设一枚深水炸弹击沉一艘潜水艇的概率为31，击伤的概率为21，击不中的概率为61，并设击伤两次会导致潜水艇下沉，求施放4枚深水炸弹能击沉潜水艇的概率.（提示：先求出击不沉的概率.）解：设A 表示“施放4枚深水炸弹击沉潜水艇”，则()()43344613121616111-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=C A P A P .16．设有五个独立工作的元件,5,4,3,2,1（称为桥式系统），试求出该系统的可靠性. 解：设i A 表示“第i 个元件可靠()5,4,3,2,1=i ”，则所求概率为：()()()54325432154321543225224p p p p A A A A A P A A A A A P A A A A P +-+=-+-.17．（下赌注问题）17世纪未，法国的De Mere 爵士与人打赌，在“一颗骰子连续掷四次至少出现一次六点”的情况下他赢了钱，可是在“两颗骰子连续掷二十四次至少出现一次双六点”的情况下却输了钱，从概率论的角度解释这是为什么？5解：应分别求出“一颗骰子连续掷四次至少出现一次六点”和“两颗骰子连续掷二十四次至少出现一次双六点”的概率，比较这两个概率的大小即可作出解释.设A “一颗骰子连续掷四次至少出现一次六点”，B “两颗骰子连续掷二十四次至少出现一次双六点”；再设i A “第i 次抛掷时出现六点()4,3,2,1=i ”，k B “第k 次抛掷时出现双六点”，则()()()()518.0651144321≈⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=A P A P A P A P . 此概率大于5.0，故赢钱的可能性大.()()()491.0363511242421≈⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=B P B P B P Λ.此概率小于5.0，故赢钱的可能性小.请注意，在“两颗骰子连续掷二十四次至少出现一次双六点”的情形中，当抛掷次数25>n 时，这时的概率大于5.0，且抛掷次数超过25次越多越有利，这是因为136351lim =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→n n . 18．要验收一批100件的乐器，验收方案如下：自该乐器中随机地取3件测试（设3件乐器的测试是相互独立的），如果3件中至少有一件被认为音色不纯，则这批乐器就被拒绝接收.设一件音色不纯的乐器经测试查出其为音色不纯的概率为95.0，而一件音色纯的乐器经测试被误认为不纯的概率为01.0，如果已知这100件乐器中恰好有4件音色不纯的，试问这批乐器被接收的概率是多少？解：设i H 表示“随机取出的三件乐器中有i 件音色不纯()3,2,1,0=i ”，A 表示“这批乐器被接收”，则()31003960C C H P =，()3100296131C C C H P =，()3100196242C C C H P =，()3100343C C H P =，()()3099.0=H A P ，()()05.099.021⨯=H A P ，()()2205.099.0⨯=H A P ，()()3305.0=H A P . 于是，由全概率公式得：()()()6829.030==∑=i i i H A P H P A P .。

概率统计大题综合知识点总结1.数字样本特征（1）众数：在一组数据中出现次数最多的数（2）中位数：将一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果为奇数个，中位数为中间数；若为偶数个，中位数为中间两个数的平均数（3）平均数：x =x 1+x 2+⋯⋯+x nn ，反映样本的平均水平（4）方差：s 2=(x 1−x )2+(x 2−x )2+⋯⋯(x n −x )2n反映样本的波动程度，稳定程度和离散程度；s 2越大，样本波动越大，越不稳定；s 2越小，样本波动越小，越稳定；（5）标准差：σ=s 2，标准差等于方差的算术平方根，数学意义和方差一样（6）极差：等于样本的最大值−最小值2.求随机变量X 的分布列的步骤：(1)理解X 的意义，写出X 可能取得全部值；(2)求X 取每个值的概率；(3)写出X 的分布列；(4)根据分布列的性质对结果进行检验.还可判断随机变量满足常见分布列：两点分布，二项分布，超几何分布，正态分布.3.求随机变量的期望和方差的基本方法：(1)已知随机变量的分布列，直接利用期望和方差公式直接求解；(2)已知随机变量X 的期望、方差，求aX +b a ,b ∈R 的期望与方差，利用期望和方差的性质E aX +b =aE X +b ，D aX +b =a 2D X 进行计算；(3)若能分析出所给的随机变量服从常用的分布(如：两点分布、二项分布等)，可直接利用常用分布列的期望和方差公式进行计算，若ξ~B (n ,p ),则Eξ=np ，Dξ=np (1-p ).4.求解概率最大问题的关键是能够通过P ξ=k ≥P ξ=k +1P ξ=k ≥Pξ=k -1构造出不等关系，结合组合数公式求解结果5.线性回归分析解题方法：(1)计算x ,y,ni =1x i 2 ,ni =1x i y i 的值；(2)计算回归系数a ,b ；(3)写出回归直线方程y =b x +a.线性回归直线方程为：y =b x +a ，b=ni =1x i −x y i −yni =1x i −x2=ni =1x i y i −nx yni =1x i 2−nx2，a =y −b x其中x ,y为样本中心，回归直线必过该点(4)线性相关系数(衡量两个变量之间线性相关关系的强弱)r =n i =1x i −x y i −y n i =1x i −x 2 n i =1y i −y 2 =ni =1x i y i −nx yn i =1x i 2−nx 2ni =1y i 2−ny2r >0，正相关；r <0，负相关r ≤1,且r 越接近于1，线性相关性越强；r 越接近于0，线性相关性越弱，几乎不存在线性相关性6.独立性检验解题方法：(1)依题意完成列联表；(2)用公式求解；(3)对比观测值即可得到所求结论的可能性独立性检验计算公式：K 2=n ad -bc 2a +b c +d a +c b +d模拟训练一、解答题1.(2023·福建三明·统考三模)在二十大报告中，体育､健康等关键词被多次提及，促进群众体育和竞技体育全面发展，加快建设体育强国是全面建设社会主义现代化国家的一个重要目标.某校为丰富学生的课外活动，加强学生体质健康，拟举行羽毛球团体赛，赛制采取3局2胜制，每局都是单打模式，每队有5名队员，比赛中每个队员至多上场一次且是否上场是随机的，每局比赛结果互不影响.经过小组赛后，最终甲、乙两队进入最后的决赛，根据前期比赛的数据统计，甲队种子选手M 对乙队每名队员的胜率均为34，甲队其余4名队员对乙队每名队员的胜率均为12.(注：比赛结果没有平局)(1)求甲队最终2:1获胜且种子选手M 上场的概率；(2)已知甲队2:1获得最终胜利，求种子选手M 上场的概率.【答案】(1)740(2)711【分析】(1)设事件A i =“种子选手M 第i 局上场”i =1,2,3 ，事件B =“甲队最终2:1获胜且种子选手M 上场”，求出P A i 、P B A i i =1,2,3 的值，利用全概率公式可求得P B 的值；(2)设事件A 0=“种子选手M 未上场”，事件C =“甲队2:1获得胜利”，计算出P C 、P A 0C 的值，利用贝叶斯公式可求得P A 0C 的值.【详解】(1)解：设事件A i =“种子选手M 第i 局上场”i =1,2,3 ，事件B =“甲队最终2:1获胜且种子选手M 上场”.由全概率公式知，P B =P B A 1 ⋅P A 1 +P B A 2 ⋅P A 2 +P B A 3 ⋅P A 3因为每名队员上场顺序随机，故P A i =15i =1,2,3 ，P B A 1 =34×12×12+14×12×12=14，P B A 2 =12×34×12+12×14×12=14，P B A 3 =C 12⋅12×12×34=38.所以P B =∑3i =1P B A i P A i =14×15+14×15+38×15=740，所以甲队最终2:1获胜且种子选手M 上场的概率为740.(2)解：设事件A 0=“种子选手M 未上场”，事件C =“甲队2:1获得胜利”，P A 0 =A 34A 35=25，P A 0 =1-25=35，P C A 0 =C 12×12×12×12=14，P C =P B +P C A 0 ⋅P A 0 =740+14×25=1140，因为P A 0 C =P A 0CP C.由(1)知P A 0 C =P B =740，所以P A 0 C =P A 0 C P C =7401140=711.所以，已知甲队2:1获得最终胜利，种子选手M 上场的概率为711.2.(2023·湖北武汉·统考模拟预测)“英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2022年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从武汉市的中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学、信息技术学科夏令营活动．(1)若化学组的12名学员中恰有5人来自同一中学，从这12名学员中选取3人，ξ表示选取的人中来自该中学的人数，求ξ的分布列和数学期望；(2)在夏令营开幕式的晚会上，物理组举行了一次学科知识竞答活动．规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利，假设每轮答题结果互不影响．已知甲、乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为p 1，p 2，且p 1+p 2=43，如果甲、乙两位同学想在此次答题活动中取得6轮胜利，那么理论上至少要参加多少轮竞赛？【答案】(1)分布列见解析，E (ξ)=54(2)11轮【分析】(1)根据超几何分布列分布列计算数学期望即可；(2)先求每轮答题中取得胜利的概率的最大值，再应用独立重复实验数学期望的范围求出最少轮数.【详解】(1)由题意可知ξ的可能取值有0、1、2、3，P (ξ=0)=C 37C 312=744，P (ξ=1)=C 15C 27C 312=2144，P (ξ=2)=C 17C 25C 312=722，P (ξ=3)=C 35C 312=122所以，随机变量ξ的分布列如下表所示：ξ0123P7442144722122所以E (ξ)=0×744+1×2144+2×722+3×122=54．(2)他们在每轮答题中取得胜利的概率为Q =C 12p 11-p 1 C 22p 22+C 22p 21C 12p 21-p 2 +C 22p 21C 22p 22=2p 1p 2p 1+p 2 -3p 1p 2 2=83p 1p 2-3p 1p 2 2，由0≤p 1≤1，0≤p 2≤1，p 1+p 2=43，得13≤p 1≤1，则p1p2=p143-p1=43p1-p21=-p1-232+49，因此p1p2∈13,49，令t=p1p2∈13,49，Q=83t-3t2=-3t-492+1627，于是当t=49时，Q max=1627．要使答题轮数取最小值，则每轮答题中取得胜利的概率取最大值16 27．设他们小组在n轮答题中取得胜利的次数为X，则X∼B n,16 27，E(X)=1627n，由E(X)≥6，即1627n≥6，解得n≥10.125．而n∈N*，则n min=11，所以理论上至少要进行11轮答题．3.(2023·福建宁德·校考二模)某科研团以为了考察某种药物预防疾病的效果，进行动物实验，得到如下列联表．患病未患病总计服用药物1045末服用药物50总计30(1)请将上面的列联表补充完整．(2)认为“药物对预防疾病有效”犯错误的概率是多少？(3)为了进一步研究，现按分层抽样的方法从未患病动物中抽取10只，设其中未服用药物的动物数为ξ，求ξ的分布列与期望．下面的临界值表供参考：P(K2≥k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k 2.0722706 3.841 5.024 6.6357.87910.828(参考公式：K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d)【答案】(1)列联表见解析(2)2.5%(3)分布列见解析，数学期望为1.6【分析】(1)根据表中的数据完成列联表即可；(2)由公式K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)计算K2，然后根据临界值表进行判断；(3)由题意可得ξ的值可能为0，1，2，3，4，求出相应的概率，从而可求得ξ的分布列与期望．【详解】(1)列联表补充如下：患病末患病总计服用药物104555末服用药物203050总计3075105(2)K2=105×(10×30-20×45)230×75×55×50=33655≈6.109>5.024．∵P K2≥5.024=0.025，∴认为“药物对预防疾病有效”犯错误的概率是2.5%．(3)根据题意，10只未患病动物中，有6只服用药物，4只未服用药物，所以ξ的值可能为0，1，2，3，4，则P (ξ=0)=C 46C 410=15210，P (ξ=1)=C 36C 14C 410=80210，P (ξ=2)=C 26C 24C 410=90210，P (ξ=3)=C 16C 34C 410=24210，P (ξ=4)=C 44C 410=1210，ξ的分布列如下：ξ01234P152108021090210242101210则E (ξ)=0×15210+1×80210+2×90210+3×24210+4×1210=1.6．4.(2023·江苏常州·校考一模)设X ,Y 是一个二维离散型随机变量，它们的一切可能取的值为a i ,b j ，其中i ,j ∈N *，令p ij =P X =a i ,Y =b j ，称p ij i ,j ∈N * 是二维离散型随机变量X ,Y 的联合分布列，与一维的情形相似，我们也习惯于把二维离散型随机变量的联合分布列写成下表形式；X ,Yb 1b 2b 3⋅⋅⋅a 1p 11p 12p 13⋅⋅⋅a 2p 21p 22p 23⋅⋅⋅a 3p 31p 32p 33⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅现有n n ∈N * 个球等可能的放入编号为1,2,3的三个盒子中，记落入第1号盒子中的球的个数为X ，落入第2号盒子中的球的个数为Y ．(1)当n =2时，求X ,Y 的联合分布列，并写成分布表的形式；(2)设p k =nm =0P X =k ,Y =m ,k ∈N 且k ≤n ，求nk =0kp k 的值．(参考公式：若X ~B n ,p ，则nk =0kC k n p k1-p n -k =np )【答案】(1)答案见解析(2)n 3【分析】(1)X 的取值为0，1，2，Y 的取值为0，1，2，分别计算概率即可；(2)计算得p k =Ckn13k23n -k，则n k =0kp k =nk =0kC k n 13k23n -k，最后利用二项分布的期望公式即可得到答案.【详解】(1)若n =2，X 的取值为0，1，2，Y 的取值为0，1，2，则P X =0,Y =0 =132=19，P X =0,Y =1 =C 12×13×13=29，P X =0,Y =2 =132=19，P X =1,Y =0 =C 12×13×13=29，P X =1,Y =1 =C 12×13×13=29，P X =2,Y =0 =132=19，P X =1,Y =2 =P X =2,Y =1 =P X =2,Y =2 =0，故X ,Y 的联合分布列为X ,Y 0120192919129290219(2)当k +m >n 时，P X =k ,Y =m =0，故p k =nm =0P X =k ,Y =m =n -km =0P X =k ,Y =m =n -km =0P C k n C m n -k ⋅13n=C k n 3n n -k m =0C m n -k =C kn 3n 2n -k =C k n13 k23n -k所以nk =0kp k =nk =0kC k n13k23n -k，由二项分布的期望公式可得nk =0kp k =n 3．5.(2023·江苏南京·南京市第九中学校考模拟预测)某种疾病可分为A ，B 两种类型，为了解该疾病的类型与患者性别是否相关，在某地区随机抽取了若干名该疾病的患者进行调查，发现女性患者人数是男性患者的2倍，男性患A 型疾病的人数占男性患者的56，女性患A 型疾病的人数占女性患者的13.A 型病B 型病合计男女合计(1)填写2×2列联表，若本次调查得出“在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为‘所患疾病的类型'与‘性别'有关”的结论，求被调查的男性患者至少有多少人？(2)某团队进行预防A 型疾病的疫苗的研发试验，试验期间至多安排2个周期接种疫苗，每人每个周期接种3次，每次接种费用为m m >0 元.该团队研发的疫苗每次接种后产生抗体的概率为p 0<p <1 ，如果一个周期内至少2次出现抗体，则该周期结束后终止试验，否则进入第二个周期.若p =23，试验人数为1000人，试估计该试验用于接种疫苗的总费用.K 2=n ad -bc 2a +b c +d a +c b +d，P K 2≥k 0 0.100.050.010.0050.001k 02.7063.8416.6357.87910.828【答案】(1)列联表见解析，被调查的男性患者至少有12；(2)340009m 元【分析】(1)设男性患者有x 人，结合题设写出列联表，应用卡方公式求卡方值，根据独立检验的基本思想列不等式求x 范围，再由x 6∈Z ，x3∈Z 确定x 最小值；(2)由题意试验每人的接种费用为ξ的可能取值为3m ，6m ，独立事件乘法公式求出对应概率，进而求出期望，根据总人数求出总费用的期望即可.【详解】(1)设男性患者有x 人，则女性患者有2x 人，2×2列联表如下：A 型病B 型病合计男5x6x 6x 女2x 34x 32x 合计3x 23x 23x假设H 0：患者所患疾病类型与性别之间无关联，根据列联表中的数据K 2=3x 5x 6⋅4x 3-x 6⋅2x 3 23x 2⋅3x 2⋅2x ⋅x =2x 3，要使在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“所患疾病类型”与“性别”有关，则2x 3>7.879，解得x >11.8185，因为x 6∈Z ，x3∈Z ，所以x 的最小整数值为12，因此，男性患者至少有12人.(2)设该试验每人的接种费用为ξ元，则ξ的可能取值为3m ，6m .则P ξ=3m =C 23p 21-p +p 3=-2p 3+3p 2，P ξ=6m =1+2p 3-3p 2，所以E ξ =3m ⋅-2p 3+3p 2 +6m ⋅1+2p 3-3p 2 =3m 2p 3-3p 2+2 ，因为p =23，试验人数为1000人，所以该试验用于接种疫苗的总费用为1000E ξ ，所以1000×3m 2×23 3-3×23 2+2 =340009m 元.6.(2023·安徽蚌埠·统考三模)某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团.为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男、女同学各100名进行调查，部分数据如表所示：喜欢足球不喜欢足球合计男生40女生30合计(1)根据所给数据完成上表，依据α=0.001的独立性检验，能否认为该校学生喜欢足球与性别有关？(2)社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范点球射门.已知这两名男生进球的概率均为23，这名女生进球的概率为12，每人射门一次，假设各人射门相互独立，求3人进球总次数X 的分布列和数学期望.附：χ2=n ad -bc 2a +b c +d a +c b +dα0.10.050.010.0050.001x α2.7063.8416.6357.87910.828【答案】(1)有99.9%的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关；(2)分布列见解析，数学期望为116.【分析】(1)完善列联表，计算χ2的观测值，再与临界值表比对作答.(2)求出X 的可能值，求出各个值对应的概率，列出分布列并求出期望作答.【详解】(1)依题意，2×2列联表如下：喜欢足球不喜欢足球合计男生6040100女生3070100合计90110200零假设H 0：该校学生喜欢足球与性别无关，χ2的观测值为χ2=200(60×70-30×40)2100×100×90×110≈18.182>10.828=x 0.001，根据小概率值α=0.001的独立性检验，推断H 0不成立，所以有99.9%的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关.(2)依题意，X 的可能值为0,1,2,3，P (X =0)=1-23 2×1-12 =118，P (X =1)=C 12×231-23 ×1-12 +1-23 2×12=518，P (X =2)=C 12×231-23 ×12+23 2×1-12 =818=49，P (X =3)=23 2×12=29，所以X 的分布列为：X0123P1185184929数学期望E (X )=0×118+1×518+2×49+3×29=116.7.(2023·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测)在以视觉为主导的社交媒体时代，人们常借助具有美颜功能的产品对自我形象进行美化.移动端的美颜拍摄类APP 主要有两类：A 类是以自拍人像、美颜美妆为核心功能的APP ；B 类是图片编辑、精修等图片美化类APP .某机构为调查市民对上述A ，B 两类APP 的使用情况，随机调查了部分市民.已知被调查的市民中使用过A 类APP 的占60%，使用过B 类APP 的占50%，设个人对美颜拍摄类APP 类型的选择及各人的选择之间相互独立.(1)从样本人群中任选1人，求该人使用过美颜拍摄类APP 的概率；(2)从样本人群中任选5人，记X 为5人中使用过美颜拍摄类APP 的人数，设X 的数学期望为E X ，求P X =E X ；(3)在单独使用过A ，B 两类APP 的样本人群中，按类型分甲、乙两组，并在各组中随机抽取8人，甲组对A 类APP ，乙组对B 类APP 分别评分如下：甲组评分9486929687939082乙组评分8583859175908380记甲、乙两组评分的平均数分别为x 1 ，x 2 ，标准差分别为s 1，s 2，试判断哪组评价更合理.(设V i =s ix i (i =1,2)，V i 越小，则认为对应组评价更合理.)参考数据：0.1925≈0.439，0.2325≈0.482.【答案】(1)0.8(2)256625(3)甲组对A 类APP 的评价更合理.【分析】(1)求出“使用过A 类APP ”和“使用过B 类APP ”的概率，再由对立事件的概率公式求解即可.(2)题意知X ∼B 5,45，由二项分布的数学期望公式可求出E X ，再由二项分布的概率公式即可求出P X =E X .(3)由平均数和方差的公式求解即可得出答案.【详解】(1)设事件A 表示“使用过A 类APP ”，事件B 表示“使用过B 类APP ”，由题意知P A =0.6，P B =0.5.任选一人，该人使用过美颜拍摄类APP 的概率:P =1-P A B=1-0.4×0.5=0.8.(2)由题意知X ∼B 5,45，则X 的数学期望E X =5×45=4.P X =E X =P X =4 =C 4545 4×15=256625.(3)x 1 =94+86+92+96+87+93+90+828=90，x 2 =85+83+85+91+75+90+83+808=84，s 1=1842+-4 2+22+62+-3 2+32+02+-8 2 =19.25≈4.39，s 2=1812+-1 2+12+72+-9 2+62+-1 2+-4 2 =23.25≈4.82，V 1=s 1x 1=4.3990<V 2=s 2x 2=4.8284，故甲组对A 类APP 的评价更合理.8.(2023·广东·统考模拟预测)某工厂车间有6台相同型号的机器，各台机器相互独立工作，工作时发生故障的概率都是14，且一台机器的故障由一个维修工处理．已知此厂共有甲、乙、丙3名维修工，现有两种配备方案，方案一：由甲、乙、丙三人维护，每人负责2台机器；方案二：由甲乙两人共同维护6台机器，丙负责其他工作.(1)对于方案一，设X 为甲维护的机器某一时刻发生故障的台数，求X 的分布列与数学期望E (X )；(2)在两种方案下，分别计算某一时刻机器发生故障时不能得到及时维修的概率，并以此为依据来判断，哪种方案能使工厂的生产效率更高？【答案】(1)分布列见解析，12(2)7214096，3472048，方案二能让故障机器更大概率得到及时维修，使得工厂的生产效率更高．【分析】(1)根据题意得到随机变量X ~B 2,14，结合独立重复试验的概率计算公式求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解；(2)根据题意，分别求得方案一和方案二中，结合对立事件和独立重复试验的概率计算公式，分别求得机器发生故障时不能及时维修的概率P 1和P 2，根据大小关系，即可得到结论.【详解】(1)解：由题意，车间有6台相同型号的机器，各台机器相互独立工作，工作时发生故障的概率都是14，可得方案一中，随机变量X ~B 2,14，则P X=0=342=916，P X=1=C12⋅14⋅34=38，P X=2=142=116，所以随机变量X的分布列为：X012P 91638116所以期望为E X=2×14=12．(2)解：对于方案一：“机器发生故障时不能及时维修”等价于“甲、乙、丙三人中，至少有一人负责的2台机器同时发生故障”，设机器发生故障时不能及时维修的概率为P1，则其概率为P1=1-1-P X=23=1-1-1 163=7214096．对于方案二：设机器发生故障时不能及时维修的概率为P2，则P2=1-346-C16⋅14⋅34 5-C26⋅14 2⋅34 4=1-36+6×35+15×344096=3472048，可得P2<P1，即方案二能让故障机器更大概率得到及时维修，使得工厂的生产效率更高．9.(2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测)相关统计数据显示，中国经常参与体育锻炼的人数比例为37.2%，城乡居民达到《国民体质测定标准》合格以上的人数比例达到90%以上.某健身连锁机构对其会员的年龄等级和一个月内到健身房健身次数进行了统计，制作成如下两个统计图.图1为会员年龄分布图(年龄为整数)，其中将会员按年龄分为“年轻人”(20岁-39岁)和“非年轻人”(19岁及以下或40岁及以上)两类；图2为会员一个月内到健身房次数分布扇形图，其中将一个月内到健身房锻炼16次及以上的会员称为“健身达人”，15次及以下的会员称为“健身爱好者”，且已知在“健身达人”中有56是“年轻人”.(1)现从该健身连锁机构会员中随机抽取一个容量为100的样本，根据图表数据，补全2×2列联表，并依据小概率值α=0.05的独立性检验，是否可以认为“健身达人”与年龄有关？年轻人非年轻人合计健身达人健身爱好者合计(2)该健身机构在今年年底将针对全部的150名会员举办消费返利活动，预设有如下两种方案.方案1：按分层抽样从健身爱好者和健身达人中总共抽取20位“幸运之星”给予奖励.其中，健身爱好者和健身达人中的“幸运之星”每人分别奖励500元和800元.方案2：每位会员均可参加摸奖游戏，游戏规则如下：从一个装有3个白球、2个红球(球只有颜色不同)的箱子中，有放回地摸三次球，每次只能摸一个球.若摸到红球的总数为2，则可获得100元奖励金；若摸到红球的总数为3，则可获得300元奖励金；其他情况不给予奖励.如果每位健身爱好者均可参加1次摸奖游戏；每位健身达人均可参加3次摸奖游戏(每次摸奖的结果相互独立).以方案的奖励金的数学期望为依据，请你预测哪一种方案投资较少？并说明理由.附：χ2=n(ad-bc)2a+bc+da+cb+d.α0.100.050.0250.0100.0050.001χα 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828【答案】(1)列联表见解析，“健身达人”与年龄无关(2)施行方案1投资较少，理由见解析【分析】(1)根据题意计算相关数据填好列联表，利用公式计算χ2，对照参考数据得出结论；(2)按分层抽样计算方案1奖励的总金额ξ1；方案2中，设η表示参加一次摸奖游戏所获得的奖励金，则η的可能取值为0,100,300，计算对应概率，得出分布列，数学期望Eη ，进而计算按照方案2奖励的总金额ξ2，比较ξ1,ξ2即可得出答案.【详解】(1)根据年轻人标准结合图1可得年轻人占比为80%，则年轻人人数为100×80%=80，非年轻人为20人，根据图2表格得健身达人所占比60%，所以其人数为100×60%=60，根据其中年轻人占比56，所以健身达人中年轻人人数为60×56=50，非年轻人为10人；健身爱好者人数为100-60=40，再通过总共年轻人合计为80人，则健身爱好者中年轻人人数为80-50=30，根据非年轻人总共为20人，健身爱好者中非年轻人人数为20-10=10，所以列联表为：年轻人非年轻人合计健身达人501060健身爱好者301040合计8020100零假设为H0：“健身达人”与年龄无关联，根据列联表中的数据，可得χ2=100×(50×10-30×10)280×20×60×40=2524≈1.042<3.841，依据小概率值α=0.05的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可以认为H0成立，即“健身达人”与年龄无关.(2)方案1：按分层抽样从健身爱好者和健身达人中总共抽取20位“幸运之星”，则“幸运之星”中的健身爱好者和健身达人的人数分别为18.2%+21.8%×20=8,30.1%+19.2%+10.7%×20=12，按照方案1奖励的总金额为ξ1=8×500+12×800=13600(元).方案2：设η表示参加一次摸奖游戏所获得的奖励金，全部的150名会员中的健身爱好者和健身达人的人数分别为18.2%+21.8%×150=60,30.1%+19.2%+10.7%×150=90，则η的可能取值为0,100,300.由题意，每摸球1次，摸到红球的概率为P =C 12C 15=25，所以P η=0 =C 0335 325 0+C 1335 225 1=81125，P η=100 =C 2335 125 2=36125，P η=300 =C 3335 025 3=8125.所以η的分布列为：η0100300P81125361258125数学期望为E η =0×81125+100×36125+300×8125=48(元)，按照方案2奖励的总金额为ξ2=60+3×90 ×48=15840(元)，因为由ξ1<ξ2，所以施行方案1投资较少.10.(2023·云南昭通·校联考模拟预测)为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行临床人体试验.研究人员将疫苗注射到200名志愿者体内，一段时间后测量志愿者的某项指标值，按0,20 ，20,40 ，40,60 ，60,80 ，80,100 分组，绘制频率分布直方图如图所示.试验发现志愿者体内产生抗体的共有160人，其中该项指标值不小于60的有110人.假设志愿者注射疫苗后是否产生抗体相互独立.(1)填写下面的2×2列联表，并根据列联表及小概率值α=0.05的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后志愿者产生抗体与指标值不小于60有关.抗体指标值合计小于60不小于60有抗体没有抗体合计(2)为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40名志愿者进行第二次注射疫苗，结果又有m 名志愿者产生抗体.(i )用频率估计概率，已知一名志愿者注射2次疫苗后产生抗体的概率p =0.9，求m 的值；(ⅱ)以(i )中的概率p 作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，再进行另一组人体接种试验，记110名志愿者注射2次疫苗后产生抗体的数量为随机变量X，求P X=k最大时的k的值.参考公式：χ2=n ad-bc2a+bc+da+cb+d(其中n=a+b+c+d为样本容量).α0.500.400.250.150.1000.0500.025xα0.4550.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024【答案】(1)列联表见解析，认为注射疫苗后志愿者产生抗体与指标值不小于60有关；(2)(i)20；(ⅱ)99.【分析】(1)完善列联表，计算χ2的观测值，再与临界值表比对作答.(2)(i)利用对立事件、相互独立事件的概率公式求解作答；(ⅱ)利用二项分布的概率公式，列出不等式组并求解作答.【详解】(1)由频率分布直方图，知200名志愿者按指标值分布为：在[0,20)内有0.0025×20×200=10 (人)，在[20,40)内有0.00625×20×200=25(人)，在[40,60)内有0.00875×20×200=35(人)，在[60,80)内有0.025×20×200=100(人)，在80,100内有0.0075×20×200=30(人)，依题意，有抗体且指标值小于60的有50人，而指标值小于60的志愿者共有10+25+35=70人，则指标值小于60且没有抗体的志愿者有20人，指标值不小于60且没有抗体的志愿者有20人，所以2×2列联表如下：抗体指标值合计小于60不小于60有抗体50110160没有抗体202040合计70130200零假设H0：注射疫苗后志愿者产生抗体与指标值不小于60无关联，根据列联表中数据，得χ2=200×(50×20-20×110)2160×40×70×130≈4.945>3.841，根据小概率值α=0.05的独立性检验，推断H0不成立，即认为注射疫苗后志愿者产生抗体与指标值不小于60有关，此推断犯错误的概率不大于0.05.(2)(i)令事件A=“志愿者第一次注射疫苗产生抗体”，事件B=“志愿者第二次注射疫苗产生抗体”，事件C=“志愿者注射2次疫苗后产生抗体”，记事件A,B,C发生的概率分别为P(A),P(B),P(C)，则P A=160200=0.8,P B =m40,P C =1-P AP B=1-0.2×1-m40=0.9，解得：m=20，所以m=20.(ⅱ)依题意，随机变量X∼B(110,0.9)，P(X=k)=C k110×0.9k×0.1110-k(k∈N,k≤110)，显然P(X=0),P(X=110)不是最大的，即当P(X=k)最大时，k∈N∗,k<110，于是P(X=k)≥P(X=k-1)P(X=k)≥P(X=k+1)，即C k110×0.9k×0.1110-k≥C k-1110×0.9k-1×0.1111-kC k110×0.9k×0.1110-k≥C k+1110×0.9k+1×0.1109-k，则110!k!(110-k)!×0.9≥110!(k-1)!(111-k)!×0.1110!k!(110-k)!×0.1≥110!(k+1)!(109-k)!×0.9，整理得9(111-k)≥kk+1≥9(110-k)，解得98910≤k≤99910，因此k=99，所以P(X=k)最大时，k的值为99.11.(2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考二模)首批全国文明典范城市将于2023年评选，每三年评选一次，2021年长沙市入选为全国文明典范城市试点城市，目前我市正全力争创首批全国文明典范城市，某学校号召师生利用周末从事创建志愿活动.高一(1)班一组有男生4人，女生2人，现随机选取2人作为志愿者参加活动，志愿活动共有交通协管员、创建宣传员、文明监督员三项可供选择，每名女生至多从中选择参加2项活动，且选择参加1项或2项的可能性均为12；每名男生至少从中选择参加2项活动，且选择参加2项或3项的可能性也均为12，每人每参加1项活动可获得综合评价10分，选择参加几项活动彼此互不影响，求：(1)在有女生参加活动的条件下，恰有一名女生的概率；(2)记随机选取的两人得分之和为X，求X的期望．【答案】(1)8 9(2)E X =1303【分析】(1)根据条件概率求解即可；(2)先求出参加人数的分布列及期望，再根据参加人数与得分的关系求出得分的期望即可.【详解】(1)设事件A为：“至少有一名女生参加活动”，设事件B为：“恰有一名女生参加活动”.则P AB=C14⋅C12C26=815，P A =1-C24C26=35.所以在有女生参加活动的条件下，恰有一名女生的概率为：P B A=P ABP A=89；(2)因为女生参加活动得分为12×10+12×20=15；男生参加活动得分为12×20+12×30=25.设恰有Y名女生参加活动，则有2-Y名男生参加活动，所以P Y=0=C24C26=25，P Y=1=C14⋅C12C26=815，P Y=2=C22C26=115，所以E Y=1×815+2×115=23，又X=15Y+252-Y=50-10Y，所以E X=50-10E Y=50-10×23=1303.12.(2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测)为了宣传航空科普知识，某校组织了航空知识竞赛活动．活动规定初赛需要从8道备选题中随机抽取4道题目进行作答．假设在8道备选题中，小明正确完成每道题的概率都是34且每道题正确完成与否互不影响，小宇能正确完成其中6道题且另外2道题不能完成．(1)求小明至少正确完成其中3道题的概率；(2)设随机变量X表示小宇正确完成题目的个数，求X的分布列及数学期望；(3)现规定至少完成其中3道题才能进入决赛，请你根据所学概率知识，判断小明和小宇两人中选择谁去参加市级比赛(活动规则不变)会更好，并说明理由．【答案】(1)189256(2)分布列见解析，3(3)选择小宇，理由见解析【分析】(1)小明至少正确完成其中3道题包含两种情况：一是小明正确完成3道题，二是小明正确完成4道题，然后由互斥事件的概率公式求解即可；(2)由题意得X 的可能取值为2，3，4，然后求各自对应的概率，从而可求出X 的分布列及数学期望；(3)分别计算出他们两人至少完成其中3道题的概率，通过比较概率的大小可得答案.【详解】(1)记“小明至少正确完成其中3道题”为事件A ，则P A =C 3434 314+C 4434 4=189256．(2)X 的可能取值为2，3，4P X =2 =C 22C 26C 48=1570=314，P X =3 =C 12C 36C 48=4070=47，P X =4 =C 02C 46C 48=1570=314，X 的分布列为；X 234P31447314数学期望E X =2×314+3×47+4×314=3．(3)由(1)知，小明进入决赛的概率为P A =189256；记“小宇至少正确完成其中3道题”为事件B ，则P B =47+314=1114；因为P B >P A ，故小宇进决赛的可能性更大，所以应选择小宇去参加比赛．13.(2023·广东·校联考模拟预测)某商场在五一假期间开展了一项有奖闯关活动，并对每一关根据难度进行赋分，竞猜活动共五关，规定：上一关不通过则不进入下一关，本关第一次未通过有再挑战一次的机会，两次均未通过，则闯关失败，且各关能否通过相互独立，已知甲、乙、丙三人都参加了该项闯关活动.(1)若甲第一关通过的概率为23，第二关通过的概率为56，求甲可以进入第三关的概率；(2)已知该闯关活动累计得分服从正态分布，且满分为450分，现要根据得分给共2500名参加者中得分前400名发放奖励.①假设该闯关活动平均分数为171分，351分以上共有57人，已知甲的得分为270分，问甲能否获得奖励，请说明理由；②丙得知他的分数为430分，而乙告诉丙：“这次闯关活动平均分数为201分，351分以上共有57人”，请结合统计学知识帮助丙辨别乙所说信息的真伪.附：若随机变量Z ∼N μ,σ2 ，则P μ-σ≤X ≤μ+σ ≈0.6827；P μ-2σ≤X ≤μ+2σ ≈0.9545；P μ-3σ≤X ≤μ+3σ ≈0.9973.【答案】(1)7081。

概率论与数理统计习题及题解沈志军 盛子宁第一章 概率论的基本概念1．设事件B A ,及B A 的概率分别为q p ,及r ，试求)(),(),(B A P B A P AB P 及)(AB P2．若C B A ,,相互独立，试证明：C B A ,,亦必相互独立。

3．试验E 为掷2颗骰子观察出现的点数。

每种结果以),(21x x 记之，其中21,x x 分别表示第一颗、第二颗骰子的点数。

设事件}10|),{(2121=+=x x x x A ， 事件}|),{(2121x x x x B >=。

试求)|(A B P 和)|(B A P4．某人有5把钥匙，但忘了开房门的是哪一把，只得逐把试开。

问：（1）恰好第三次打开房门锁的概率？（2）三次内打开的概率？（3）如果5把里有2把房门钥匙，则在三次内打开的概率又是多少？5．设有甲、乙两袋，甲袋中装有n 个白球、m 个红球，乙袋中装有N 个白球、M 个红球。

今从甲袋中任意取一个放入乙袋中，再从乙袋中任意取一个，问取到白球的概率是多少？6．在时间间隔5分钟内的任何时刻，两信号等可能地进入同一收音机，如果两信号进入收音机的间隔小于30秒，则收音机受到干扰。

试求收音机不受干扰的概率？7．甲、乙两船欲停靠同一码头，它们在一昼夜内独立地到达码头的时间是等可能的，各自在码头上停留的时间依次是1小时和2小时。

试求一船要等待空出码头的概率？8．某仓库同时装有甲、乙两种警报系统，每个系统单独使用的有效率分别为0.92,0.93,在甲系统失灵的条件下乙系统也失灵的概率为0.15。

试求下列事件的概率：（1）仓库发生意外时能及时发出警报；（2）乙系统失灵的条件下甲系统亦失灵？9．设B A ,为两随机变量，试求解下列问题：（1） 已知6/1)|(,3/1)()(===B A P B P A P 。

求：)|(B A P ； （2） 已知2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 。

A B 124题 15.8 图3 51.一打靶场备有5支某种型号的枪,其中3支已经校正,2支未经校正.某人使用已校正的枪击中目标的概率为1p ,使用未经校正的枪击中目标的概率为2p .他随机地取一支枪进行射击,已知他射击了5次,都未击中,求他使用的是已校正的枪的概率(设各次射击的结果相互独立).2.某人共买了11只水果,其中有3只是二级品,8只是一级品.随机地将水果分给C B A 、、三人,各人分别得到4只、6只、1只.(1)求C 未拿到二级品的概率.(2)已知C 未拿到二级品,求B A ,均拿到二级品的概率. (3)求B A ,均拿到二级品而C 未拿到二级品的概率.3.一系统L 由两个只能传输字符0和1的独立工作的子系统1L 和2L 串联而成(如图15.3),每个子系统输入为0输出为0的概率为)10(<<p p ;而输入为1输出为1的概率也是p .今在图中a 端输入字符1,求系统L 的b 端输出字符0的概率.题15.3图4.甲乙二人轮流掷一骰子,每轮掷一次,谁先掷得6点谁得胜,从甲开始掷,问甲、乙得胜的概率各为多少?5.将一颗骰子掷两次,考虑事件=A “第一次掷得点数2或5”,=B “两次点数之和至少为7”，求),(),(B P A P 并问事件B A ,是否相互独立.6.B A ，两人轮流射击,每次各人射击一枪,射击的次序为 A B A B A ,,,,,射击直至击中两枪为止.设各人击中的概率均为p ,且各次击中与否相互独立.求击中的两枪是由同一人射击的概率.7.有3个独立工作的元件1,元件2,元件3,它们的可靠性分别为.,,321p p p 设由它们组成一个“3个元件取2个元件的表决系统”,记为2/3].[G 这一系统的运行方式是当且仅当3个元件中至少有2个正常工作时这一系统正常工作.求这一2/3][G 系统的可靠性.8. 在如图15.8图所示的桥式结构电路中，第i 个继电器触点闭合的概率为i p ，.54321，，，，i ＝各继电器工作相互独立.求：（1）以继电器触点1是否闭合为条件，求A到B 之间为通路的概率.（2）已知A 到B 为通路的条件下，继电器触 点3是闭合的概率.9.进行非学历考试，规定考甲、乙两门课程，每门课考第一次未通过都允许考第二次．考生仅在课程甲通过后才能考课程乙，如两门课程都通过可获得一张资格证书．设某考生通过课程甲的各次考试的概率为1p ，通过课程乙的各次考试的概率为2p ，设各次考试的结果相互独立．又设考生参加考试直至获得资格证书或者不准予再考为止．以X 表示考生总共需考试的次数．求X 的分布律以及数学期望)(X E ．10.(1)5只电池,其中有2只是次品,每次取一只测试,直到将2只次品都找到.设第2只次品在第)5,4,3,2(=X X 次找到,求X 的分布规律(注:在实际上第5次检测可无需进行).(2)5只电池,其中2只是次品,每次取一只,直到找出2只次品或3只正品为止.写出需要测试的次数的分布律.11．向某一目标发射炮弹设炮弹弹着点目标的距离为R (单位:10m ),R 服从瑞利分布,其概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-.0,0,0,252)(25/2r r er r f r R 若弹着点离目标不超过5m 时,目标被摧毁. (1)求发射一枚炮弹能摧毁目标的概率.(2)为使至少有一枚炮弹能摧毁目标的概率不小于0.94,问最少需要独立发射多少枚炮弹.12．设一枚深水炸弹击沉一潜水艇的概率为31，击伤的概率为21，击不中的概率为61.并设击伤两次也会导致潜水艇下沉.求释放4枚深水炸弹能击沉潜水艇的概率.（提示：先求击不沉的概率.）13． 一盒中装有4只白球，8只黑球，从中取3只球，每次一只，作不放回抽样.14．设元件的寿命T (以小时计)服从指数分布,分布函数为⎩⎨⎧≤>-=-.0,0,0,1)(03.0t t e t F t(1)已知元件至少工作了30小时,求它能再至少工作20小时的概率.(2)由3个独立工作的此种元件组成一个2/3][G 系统(参见第7题),求这一系统的寿命20>X 的概率.15.(1)已知随机变量X 的概率密度为,,21)(+∞<<-∞=-x e x f xX 求X 的分布函数. (2)已知随机变量X 的分布函数为),(x F X 另外有随机变量⎩⎨⎧≤->=,0,1,0,1X X Y 试求Y 的分布律和分布函数.16.(1)X 服从泊松分布,其分布律为,,2,1,0,!}{ ===-k k e k X P k λλ问当k 取何值时}{k X P =为最大. (2)X 服从二项分布,其分布律为.,2,1,0,)1(}{n k p p k n k X P kn k =-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==- 问当k 取何值时}{k X P =为最大.17.. 若离散型随机变量X 具有分布律X 1 2 …nkp n n …n称X 服从取值为n ,,2,1 的离散型均匀分布.对于任意非负实数x ，记][x 为不超过x 的最大整数.记),1,0(~U U 证明1][+=nU X 服从取值为n ,,2,1 的离散型均匀分布.18.设),2,1(~-U X 求X Y =的概率密度. 19.设X 的概率密度⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∞<≤<≤<=.1,21,10,21,0,0)(2x xx x x f X求XY 1=的概率密度. 20. 设随机变量X 服从以均值为λ1的指数分布.验证随机变量][X Y =服从以参数为λ--e1的几何分布.这一事实表明连续型随机变量的函数可以是离散型随机变量.21.投掷一硬币直至正面出现为止,引入随机变量 =X 投掷总次数.⎩⎨⎧=.,0,1若首次投掷得到反面若首次投掷得到正面，Y(1)求X 和Y 的联合分布律及边缘分布律. (2)求条件概率}.1|2{},1|1{====X Y P Y X P22.设随机变量),(~λπX 随机变量).2,max(X Y =试求X 和Y 的联合分布律及边缘分布律. 23. 设X ，Y 是相互独立的泊松随机变量，参数分别为,,21λλ求给定n Y X =+的条件下X 的条件分布.24. 一教授将两篇论文分别交给两个打字员打印.以X ，Y 分别表示第一篇第二篇论文的印刷错误.设),(~λπX ),(~μπY X ，Y 相互独立.（1）求X ，Y 的联合分布律；（2）求两篇论文总共至多1个错误的概率.25. 一等边三角形ROT (如图15.25)的边长为1,在三角形内随机地取点),(Y X Q (意指随机点),(Y X 在三角形ROT 内均匀分布).(1) 写出随机变量),(Y X 的概率密度.y(2) 求点Q 的底边OT 的距离的分布密度. 26. 设随机变量),(Y X 具有概率密度⎩⎨⎧>>=+-.,0,0,0,),()1(其他y x xe y x f y x(1) 求边缘概率密度).(),(y f x f Y X (2) 求条件概率密度).|(),|(||x y f y x f X Y Y X27. 设有随机变量U 和V ，它们都仅取1，1-两个值．已知,2/1}1{==U P}.1|1{3/1}1|1{-=-=====U V P U V P(1)求U 和V 的联合分布密度.(2)求x 的方程02=++V Ux x 至少有一个实根的概率.(3)求x 的方程0)(2=+++++V U x V U x 至少有一个实根的概率.28. 某图书馆一天的读者人数)(~λπX ,任一读者借书的概率为p ,各读者借书与否相互独立.记一天读者借书的人数为Y ,求X 与Y 的联合分布律.29. 设随机变量X 和Y 相互独立,且都服从U (0,1),求两变量之一至少为另一变量之值两倍的概率. 30. 一家公司有一份保单招标，两家保险公司竞标.规定标书的保险费必须在20万元至22万元之间.若两份标书保险费相差2千或2千以上，招标公司将选择报价低者，否则就重新招标.设两家保险公司的报价是相互独立的，且都在20万至22万之间均匀分布.试求招标公司需重新招标的概率.31. 设),0(~),,0(~2221σσN Y N X 且Y X ,相互独立,求概率}20{2112σσσσ<-<Y X P .32. NBA 篮球赛中有这样的规律，两支实力相当的球队比赛时，每节主队得分与客队得分之差为正态随机变量，均值为1.5，方差为6，并且假设四节的比分差是相互独立的.问 （1）主队胜的概率有多大？（2）在前半场主队落后5分的情况下，主队得胜的概率有多大？ （3）在第1节主队赢5分得情况下，主队得胜的概率有多大？33. 产品的某种性能指标的测量值X 是随机变量,设X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>=-其他．,0,0,)(221x xe x f x X测量误差Y~U (εε,-),X ,Y 相互独立,求Z=X+Y 的概率密度)(z f Z ,并验证du e Z P u⎰-=>εεε202/221}{34. 在一化学过程中，产品中有份额X 为杂质，而在杂质中有份额Y 是有害的，而其余部分不影响产品的质量.设)5.0,0(~),1.0,0(~U Y U X ，且X 和Y 相互独立，求产品中有害杂质份额Z 的概率密度. 35. 设随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧<<=-.0,,0,),(其他y x e y x f y(1) 求),(Y X 的边缘概率密度. (2) 问Y X ,是否相互独立. (3) 求Y X ＋的概率密度).(z f Y X + (4) 求条件概率密度).|(|y x f Y X (5) 求条件概率}.5|3{<>Y X P (6) 求条件概率}.5|3{=>Y X P36.设图书馆的读者借阅甲种图书的概率为p ,借阅乙种图书的概率为α,设每人借阅甲、乙图书的行动相互独立，读者之间的行动也相互独立.(1)某天恰有n 个读者,求甲、乙两种图书中至少借阅一种的人数的数学期望.37.某种鸟在某时间区间],0(0t 下蛋数为1~5只,下r 只蛋的概率与r 成正比.一个收集鸟蛋的人在0t 时去收集鸟蛋,但他仅当鸟窝多于3只蛋时他从中取走一只蛋.在某处有这种鸟的鸟窝6个(每个鸟窝保存完好,各鸟窝中蛋的个数相互独立).(1) 写出一个鸟窝中鸟蛋只数X 的分布率.(2) 对于指定的一只鸟窝,求拾蛋人在该鸟窝中拾到一只蛋的概率. (3) 求拾蛋人在6只鸟窝中拾到蛋的总数Y 的分布律及数学期望.(4) 求}4{},4{><Y P Y P(5) 当一个拾蛋人在这6只鸟窝中拾过蛋后,紧接着又有一个拾蛋人到这些鸟窝中拾蛋,也仅当鸟窝 中多于3只蛋时,拾取一只蛋,求第二个拾蛋人拾得蛋数Z 的数学期望.38. 设袋中有r 只白球,r N -只黑球.在袋中取球)(r n n ≤次,每次任取一只做不放回抽样,以Y 表示取到白球的个数,求)(Y E .39.抛一颗骰子直到所有点数全部出现为止,求所需投掷次数Y 的数学期望. 40.设随机变量Y X ,相互独立.且Y X ,分别服从以βα1,1为均值得指数分布.求).(2X Ye X E -+41.一酒吧间柜台前有6张凳子,服务员预测,若两个陌生人进来就坐的话,他们之间至少相隔两张凳子.(1) 若真有2个陌生人入内,他们随机地就坐,问服务员预言为真的概率是多少? (2) 设2个顾客是随机坐的,求顾客之间凳子数的数学期望.42.设随机变量10021,,,X X X 相互独立，且都服从),1,0(U 又设,10021X X X Y ⋅⋅⋅= 求概率}10{40-<Y P 的近似值.43.来自某个城市的长途电话呼叫的持续时间X (以分计)是一个随机变量,它的分布函数是⎪⎩⎪⎨⎧<≥--=--.0,0,0,e 21e 211)(]3[3x x x F x x(其中]3[x 是不大于3x的最大整数). (1) 画出)(x F 的图形.(2) 说明X 是什么类型的随机变量.(3) 求}6{},4{},3{},4{>>==X P X P X P X P (提示)0()(}{--==a F a F a X P ).44.一汽车保险公司分析一组(250人)签约的客户中的赔付情况.据历史数据分析,在未来一周中一组客户中至少提出一项索赔的客户数X 占10%.写出X 的分布,并求12.0250⨯>X (即30>X )的概率.设各客户是否提出索赔相互独立.45.在区间)1,0(随机地取一点X .定义}.75.0,min{X Y = (1) 求随机变量Y 的值域.(2) 求Y 的分布函数,并画出它的图形.(3) 说明Y 不是连续型随机变量,Y 也不是离散型随机变量.46.设21,X X 是数学期望为θ的指数分布总体X 的容量为2的样本,设21X X Y =,试证明θπ=)4(YE ．47.设总体n X X X N X ,,,),,(~212 σμ是一个样本.2,S X 分别为样本均值和样本方差,试证[]⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=44222212)(σσμσn n S X E ． 48.设总体X 具有概率密度:⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-.0,0,0,1)(2x x xe x f x θθ其中0>θ为未知参数,n X X X ,,,21 是来自X 的样本,n x x x ,,,21 是相应的样本观察值.(1) 求θ的最大似然估计量. (2) 求θ的矩估计量.(3) 问求得的估计量是否是无偏估计量.49.设1,,,21n X X X 以及2,,,21n Y Y Y 为分别来自总体),(21σμN 与),(22σμN 的样本,且它们相互独立.221,,σμμ均未知,试求221,,σμμ的最大似然估计量.50.为了探究一批存贮着的产品的可靠性,在产品投入贮存时,即在时刻00=t 时,随机地选定n 只产品,然后在预先规定的时刻k t t t ,,,21 取出来进行检测(检测时确定已失效的去掉,将未失效的继续投入贮存),今得到以下的寿命试验数据.这种数据称为区间数据.设产品寿命T 服从指数分布,其概率密度为⎩⎨⎧>=-,,0,0,)(其它t e t f t λλ0>λ未知．(1) 试基于上述数据写出λ的对数似然方程.(2) 设.,1n s n d <<我们可以用数值解法求得λ的最大似然估计值.在计算机上实现是容易的.特别,取检测 时间是等间隔的,即取.,,2,1,1k i it t i ==验证,此时可得λ的最大似然估计为⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--+=∑=ki i sk d i sn t 21)1(1ln 1ˆλ．51. 设某种电子器件的寿命（以小时计）T 服从指数分布，概率密度为：⎩⎨⎧>=-其他，,0,0,e )(t t f t λλ 其中0>λ未知．从这批器件中任取n 只在时刻0=t 时投入独立寿命试验，试验进行到预订时间0T 结束．此时有)0(n k k <<只器件失效，试求λ的最大似然估计．52.设系统由两个独立工作的成败型元件串联而成(成败型元件只有两种状态:正常工作或失效).元件1、元件2的可靠性分别为21,p p ,它们均未知.随机地取N 个系统投入试验,当系统中至少有一个元件失效时系统失效,现得到以下的试验数据:1n －仅元件1失效的系统数; 2n －仅元件2失效的系统数; 12n －元件1,元件2至少有一个失效的系统数;s －未失效的系统数.N s n n n =+++1221.这里12n 为隐蔽数据,也就是只知系统失效,但不知道是由元件1还是元件2单独失效引起的,还是由元件1,2均失效引起的,设隐蔽与系统失效的真正原因独立.(1)试写出21,p p 的似然函数.(2)设有系统寿命试验数据.11,1,3,5,201221=====s n n n N 试求21,p p 的最大似然估计. 53.(1)设总体X 具有分布律0>θ未知,今有样本1 1 1 3 2 1 3 2 2 1 2 2 3 1 1 2.试求θ得最大似然估计值和矩估计值.(2)设总体X 服从Γ分布,其概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>=--.,0,0,)(1)(1其他x e x x f x βαααΓβ其形状参数0>a 为已知,尺度参数0>β未知.今有样本值n x x x ,,,21 ,求β的最大似然估计值. 54.(1)设),,(~ln 2σμN X Z =即X 服从对数正态分布,验证.21exp )(2⎭⎬⎫⎩⎨⎧+=σμX E (2)设自(1)中总体X 中取一容量为n 的样本.,,,21n x x x 求)(X E 的最大似然估计,此处设2,σμ均为未知.(3)已知在文学家萧伯纳的《An Intelligent Women ’s Guide To Socialism 》一书中,一个句子的单词数近似地服从对数指数分布,设μ及2σ为未知.今自该书中随机地取20个句子.这些句子中的单词数分别为 52 24 15 67 15 22 63 26 16 32 7 33 28 14 7 29 10 6 59 30,问这本书中,一个句子的单词数均值的最大似然估计值等于多少?55.考虑进行定数截尾寿命试验，假设将随机抽取的n 件产品在时间0=t 时同时投入试验.试验进行 到m 件)(n m <产品失效时停止,m 件失效产品的失效时间分别为m t t t ≤≤≤≤ 210.m t 是第m 件产品失效的时间.设产品的寿命分布为韦布尔分布,其概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--其他0,)(1x e x x f x βηββηβ 其中参数β已知.求参数η的最大似然估计.56.设某大城市郊区的一条林荫道两旁开设了许多小商店，这些商店的开设延续时间（以月计）是一个随机变量，现随机地抽取30家商店，将它们的延续时间按自小到大排序，选其中前8家商店，它们的延续时间分别是3.2 3.9 5.9 6.5 16.5 20.3 40.4 50.9X1 2 3k pθ θ θ21-假设商店开设延续时间的长度是韦布尔随机变量. 其概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--其他0,)(1x e x x f x βηββηβ 其中，.8.0=β（1）试用上题结果，写出η的最大似然估计.（2）按（1）的结果求商店开始延续时间至少为2年的概率的估计.57.设分别自总体),(21σμN 和),(22σμN 中抽取容量21,n n 的两独立样本.其样本方差分别为.,2221S S 试证,对于任意常数2221,)1(,bS aS Z b a b a +==+都是2σ的无偏估计,并确定常数b a ,使)(Z D 达到最小.58.设总体n X X X N X ,,,),,(~212σμ是来自X 的样本.已知样本方差∑=--=ni I X X n S 122)(11 是2σ的无偏估计.验证样本标准差S 不是标准差σ的无偏估计.59.设总体X 服从指数分布,其概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>=-,,0,0,1)(/其他x e x f x θθ0>θ未知.从总体中抽取一容量为n 的样本.,,,21n X X X (1)证明.)2(~22n Xn χθ(2)求θ的置信水平为α-1的单侧置信下限.(3)某种元件的寿命(以小时计)服从上述指数分布,现从中抽得一容量为16-n 的样本,测得样本均值为 5010(小时),试求元件的平均寿命的置信水平为0.90的单侧置信下限.60. 设总体n X X X U X ,,,,),0(~21 θ是来自X 的样本.(1)验证),,,max(21n X X X Y =的分布函数为 ⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=.,1,0,/,0,0)(θθθy y y y y F nn Y(2)验证θ/Y U =的概率密度为⎩⎨⎧≤≤=-. ,0,10,)(1其他u nu u f n U(3)给定正数,α10<<a ,求U 的分布的上2/α分位点2/αh 以及上2/1α-分位点.2/1α-h (4)利用(2)(3) 求参数θ的置信水平为α-1的置信区间. (5)设某人上班的等车时间θθ,),0(~U X 未知.现在有样本,4.2,2.1,7.1,5.3,2.454321=====x x x x x 求θ的置信水平为0.95的置信区间.61.设总体X 服从指数分布,概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>=-.,0,0,1)(/其他x e x f x θθ.0>θ设n X X X ,,,21 是来自X 的样本.试取59题中当0θθ=时的统计量022θχXn =作为检验统计量,检验假设 .:,:0100θθθθ≠=H H 取水平为α(注意:θ=)(X E ).设某种电子元件的寿命(以小时计)服从均值为θ的指数分布,随机取12只元件,测得它们的寿命分别为 340 , 430 , 560 , 920 , 1380 , 1520 , 1660 , 1770 , 2100 , 2320 , 2件350 , 2650 .试取水平,05.0=α检验假设.1450:,1450:10≠=θθH H62．经过十一年的试验,达尔文于1876年得到15对玉米样品的数据如下表,每对作物除授粉方式不同外,其它条件都是相同的.试用逐对比较法检验不同授粉方式对玉米高度是否有显著的影响(05.0=α).问应增设什么条件才能用逐对比较法进行检验?63．一内科医生声称,如果病人每天傍晚聆听一种特殊的轻音乐会降低血压(舒张压,以Hg mm -记)．今选取了10个病人在试验之前和试验之后分别测量了血压,得到以下的数据：设)10,,2,1( =-=i Y X D i i i 为来自正态总体),(2D D N σμ的样本,2,D D σμ均已知．试检验是否可以认为医生的意见是对的(取05.0=α)．64．以下是各种颜色汽车的销售情况：试检验顾客对这些颜色是否有偏爱,即检验销售情况是否是均匀的(取)． 65．某种闪光灯,每盏灯含4个电池,随机地取150盏灯,经检测得到以下的数据：试取05.0=α检验一盏灯损坏的电池数),4(~θb X (θ未知)．66．下面分别给出了某城市在春季(9周)和秋季(10周)发生的案件数．试取03.0=α,用秩和检验法检验春季发生的案件数的均值是否较秋季的为多．67．临界闪烁频率(cff)是人眼对于闪烁光源能够分辨出它在闪烁的最高频率(以赫计)．超过cff 的频率,即使光源实际是在闪烁的,而人看起来是连续的(不闪烁的)．一项研究旨在判定cff 的均值是否与人眼的虹膜颜色有关,所得数据如下： 临界闪烁频率(cff)分布,且方差相等,样本之间相互独立．68．下面列出了挪威人自1938~1947年间年人均脂肪消耗量,与患动脉粥样硬化症而死亡的死亡率之间相关的一组数据．设对于给定的Y x ,为正态变量,且方差与x 无关． (1) 求回归直线方程bx a y +=．(2) 水平05.0=α下检验假设0:,0:10≠=b H b H ．（3）求13|=x y．(4) 求13=x 处)(x μ置信水平为0.95的置信区间．(5) 求13=x 处Y 的新观察值0Y 的置信水平为0.95的预测区间．69. 下面给出1924~1992年奥林匹克运动会女子100米仰泳的最佳成绩（以秒计）（其中1940年及1944年未举行奥运会）：年份 1924 1928 1932 1936 1948 1952 1956 1960 成绩 83.2 82.2 79.4 78.9 74.4 74.3 72.9 69.3年份 1964 1968 1972 1976 1980 1984 1988 1992 成绩 83.2 82.2 79.4 78.9 74.4 74.3 72.9 69.3（1）画出散点图．（2）求成绩关于年份的线性回归方程．（3）检验回归效果是否显著（取05.0=α）．70．设在时间区间],0(t 内来到某商店的顾客数)(t N 是强度为λ的泊松过程．每个来到商店的顾客购买某些货物的概率是p ,不买货物就离去的概率是p -1,且各个顾客是否购买货物是相互独立的．令)(t Y 为],0(t 内购买货物的顾客数．试证}0),({≥t t Y 是强度为p λ的泊松过程．71．设随机过程,),Ωcos()(∞<<-∞+=t t a t X Θ其中a 是常数,随机变量)2,0(~πΘU ,随机变量Ω具有概率密度)(x f ,设)(x f 连续且为偶函数,Θ与Ω相互独立．试证)(t X 是平稳过程,且其谱密度为)()(2ωπωf a S X =．。

1.一打靶场备有5支某种型号的枪,其中3支已经校正,2支未经校正.某人使用已校正的枪击中目标的概率为1p ,使用未经校正的枪击中目标的概率为2p .他随机地取一支枪进行射击,已知他射击了5次,都未击中,求他使用的是已校正的枪的概率(设各次射击的结果相互独立).解以M 表示事件“射击了5次均未击中”,以C 表示事件“取得的枪是已经校正的”，则,5/3)(=C P ,5/2)(=C P 又,按题设,)1()|(51p C M P -=52)1()|(p C M P -=,由贝叶斯公式)()()|(M P MC P M C P =)()|()()|()()|(C P C M P C P C M P C P C M P +=52)1(53)1(53)1(525151⨯-+⨯-⨯-=p p p .)1(2)1(3)1(3525151p p p -+--=2.某人共买了11只水果,其中有3只是二级品,8只是一级品.随机地将水果分给C B A 、、三人,各人分别得到4只、6只、1只.(1)求C 未拿到二级品的概率.(2)已知C 未拿到二级品,求B A ,均拿到二级品的概率.(3)求B A ,均拿到二级品而C 未拿到二级品的概率.解以，，，C B A 分别表示事件C B A ，，取到二级品,则C B A，，表示事件C B A ，，未取到二级品.(1).11/8)(=C P (2)就是需要求).|(C AB P 已知C 未取到二级品,这时B A ,将7只一级品和3只二级品全部分掉.而B A 、均取到二级品,只需A 取到1只至2只二级品,其它的为一级品.于是.5441027234103713|(=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=C AB P (3).55/32)()|()(==C P C AB P C AB P 3.一系统L 由两个只能传输字符0和1的独立工作的子系统1L 和2L 串联而成(如图15.3),每个子系统输入为0输出为0的概率为)10(<<p p ;而输入为1输出为1的概率也是p .今在图中a 端输入字符1,求系统L 的b 端输出字符0的概率.1L 2L b题15.3图解“系统L 的输入为1输出为0”这一事件(记)01(→L )是两个不相容事件之和,即),00()01()01()11()01(2121→→→→=→L L L L L 这里的记号“)11(1→L ”表示事件“子系统1L 的输入为1输出为1,其余3个记号的含义类似.于是由子系统工作的独立性得)}00()01({)}01()11({)}01({2121→→+→→=→L L P L L P L P )}00({)}01({)}01({)}11({2121→→+→→=L P L P L P L P ).1(2)1()1(p p p p p p -=-+-=4.甲乙二人轮流掷一骰子,每轮掷一次,谁先掷得6点谁得胜,从甲开始掷,问甲、乙得胜的概率各为多少?解以i A 表示事件“第i 次投掷时投掷者才得6点”.事件i A 发生,表示在前1-i 次甲或乙均未得6点,而在第i 次投掷甲或乙得6点.因各次投掷相互独立,故有.6165)(1-⎪⎭⎫⎝⎛=i i A P 因甲为首掷,故甲掷奇数轮次,从而甲胜的概率为}{}{531 A A A P P =甲胜 +++=)()()(531A P A P A P ),(21两两不相容因 A A ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+= 426565161.116)6/5(11612=-=同样,乙胜的概率为}{}{642 A A A P P =乙胜+++=)()()(642A P A P A P.1156565656153=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+= 5.将一颗骰子掷两次,考虑事件=A “第一次掷得点数2或5”,=B “两次点数之和至少为7”，求),(),(B P A P 并问事件B A ,是否相互独立.解将骰子掷一次共有6种等可能结果,故.3/16/2)(==A P 设以i X 表示第i 次掷出骰子的点数,则}).6({1})7({)(2121≤+-=≥+=X X P X X P B P 因将骰子掷两次共有36个样本点,其中621≤+X X 有6,5,4,3,221=+X X 共5种情况,这5种情况分别含有1,2,3,4,5个样本点,故.12/712/5136/)54321(1)(=-=++++-=B P 以),(21X X 记两次投掷的结果,则AB 共有(2,5),(2,6),(5,2),(5,3)(5,4),(5,5),(5,6)这7个样本点.故.36/7)(=AB P 今有).(36/7)12/7)(3/1()()(AB P B P A P ===按定义B A ,相互独立.6.B A ，两人轮流射击,每次各人射击一枪,射击的次序为 A B A B A ,,,,,射击直至击中两枪为止.设各人击中的概率均为p ,且各次击中与否相互独立.求击中的两枪是由同一人射击的概率.解A 总是在奇数轮射击,B 在偶数轮射击.先考虑A 击中两枪的情况.以12+n A 表示事件“A 在第12+n 轮),2,1( =n 射击时又一次击中,射击在此时结束”.12+n A 发生表示“前n 2轮中A 共射击n 枪而其中击中一枪,且A 在第12+n 轮时击中第二枪”（这一事件记为C ），同时“B 在前n 2轮中共射击n 枪但一枪未中”(这一事件记为D )，因此)()()()(12D P C P CD P A P n ==+nn p p p p n )1()1(11-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-.)1(122--=n p np 注意到 ,,,753A A A 两两互不相容,故由A 击中了两枪而结束射击(这一事件仍记为A )的概率为∑∑∞=-∞=++∞=-===1122112121)1()()()(n n n n n n p np A P A P A P1122])1[()1(-∞=∑--=n n p n p p .)2(1])1(1[1)1(2222p pP p p --=---=(此处级数求和用到公式.1,)1(1112<=-∑∞=-x nx x n n 这一公式可自等比级数1,110<=-∑∞=x x x n n 两边求导而得到.)若两枪均由B 击中,以)1(2+n B 表示事件“B 在第)1(2+n 轮),2,1( =n 射击时又一次击中,射击在此时结束”.)1(2+n B 发生表示在前12+n 轮中B 射击n 枪其中击中一枪,且B 在第)1(2+n 轮时击中第2枪，同时A 在前12+n 轮中共射击1+n 枪,但一枪未中.注意到 ,,,864A A A 两两互不相容,故B 击中了两枪而结束射击(这一事件仍记为B )的概率为∑∞=+-+∞=--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==111)1(21)1()1(1)()(n n n n n p p p p n B P B P 12112222])1[()1()1(-∞=∞=--=-=∑∑n n n np n p p p np .)2()1(])1(1[1)1(222222p p p p p --=---=因此,由一人击中两枪的概率为222)2()1()2(1)()()(p p p p B P A P B A P --+--=+= .21pp --=7.有3个独立工作的元件1,元件2,元件3,它们的可靠性分别为.,,321p p p 设由它们组成一个“3个元件取2个元件的表决系统”,记为2/3].[G 这一系统的运行方式是当且仅当3个元件中至少有2个正常工作时这一系统正常工作.求这一2/3][G 系统的可靠性.解以i A 表示事件“第i 个元件正常工作”，以G 表示事件“2/3][G 系统正常工作”，则G 可表示为下述两两互不相容的事件之和：321321321321A A A A A A A A A A A A G =因321,,A A A 相互独立,故有)()()()()(321321321321A A A P A A A P A A A P A A A P G P +++=AB12题 15.8 图)()()()()()()()()()()()(321321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P +++=.)1()1()1(321321321321p p p p p p p p p p p p +-+-+-=8.在如图15.8图所示的桥式结构电路中，第i 个继电器触点闭合的概率为i p ，.54321，，，，i ＝各继电器工作相互独立.求：（1）以继电器触点1是否闭合为条件，求A 到B 之间为通路的概率.（2）已知A 到B 为通路的条件下，继电器触点3是闭合的概率.解以F 表示事件“A 到B 为通路”，以i C 表示事件“继电器触点i 闭合”，.54321，，，，i ＝各继电器工作相互独立.（1）得.()|(()|()(1111））C P C F P C P C F P F P +=而)()|(545321C C C C C P C F P =)()()()()(54253254532C C C P C C C P C C P C C P C P --++=)()(5432543C C C C P C C C P ＋-543254354253254532p p p p p p p p p p p p p p p p p p ＋－－－＋＋＝)()|(432541C C C C C P C F P ＝543243254p p p p p p p p p －＋＝故),1)(|()|()(1111p C F P p C F P F P -+=其中)|(1C F P 543254354253254532p p p p p p p p p p p p p p p p p p ＋－－－＋＋＝，)|(1C F P 543243254p p p p p p p p p －＋＝.（2）令,1i i p q -=则)()()]([1)()()|()|(35241333F P C P C C C C P F P C P C F P F C P -=＝.)()1(354215241F P p q q q q q q q q +--＝)(F P 的表达式由（1）确定.9.进行非学历考试，规定考甲、乙两门课程，每门课考第一次未通过都允许考第二次．考生仅在课程甲通过后才能考课程乙，如两门课程都通过可获得一张资格证书．设某考生通过课程甲的各次考试的概率为1p ，通过课程乙的各次考试的概率为2p ，设各次考试的结果相互独立．又设考生参加考试直至获得资格证书或者不准予再考为止．以X 表示考生总共需考试的次数．求X 的分布律以及数学期望)(X E ．解按题意知考试总共至少需考２次而最多只考４次．以i A 表示事件“课程甲在考第i 次时通过”，以i B 表示事件“课程乙在考第i 次时通过”，2,1=i ．事件}2{=X 表示考试总共考２次，这一事件只在下列两种互不相容的情况下发生，一种是课程甲、乙都在第一次考试时通过．亦即11B A 发生（此时他得到证书）；另一种是课程甲在第一次、第二次考试均未通过，亦即21A A 发生（此时他不准再考）．故2111}2{A A B A X ==，同样211121211}3{B B A B A A B B A X ==，21212121}4{B B A A B B A A X ==.得X 的分布律为)(}2{2111A A B A P X P ==)()(2111A A P B A P +=)()()()(2111A P A P B P A P ++=)1)(1(2121p p p p --+=；)(}3{211121211B B A B A A B B A P X P ==)(12111B A A B A P =21121)1()1(p p p p p -+-=；)(}3{211121211B B A B A A B B A P X P ==)(12111B A A B A P =21121)1()1(p p p p p -+-=；)(}4{21212121B B A A B B A A P X P ==)(121B A A P =)1()1(211p p p --=．)1()1(4])1()1([3])1([2)(211211212121p p p p p p p p p p p X E --+-+-+-+=)]2(1)[2(211p p p -+-=．例如，若431=p ，212=p ，则有66.2)(=X E （次）．10.(1)5只电池,其中有2只是次品,每次取一只测试,直到将2只次品都找到.设第2只次品在第)5,4,3,2(=X X 次找到,求X 的分布规律(注:在实际上第5次检测可无需进行).(2)5只电池,其中2只是次品,每次取一只,直到找出2只次品或3只正品为止.写出需要测试的次数的分布律.解(1)X 可能取的值为2,3,4,5.P X P ==}2{{第1次、第2次都取到一只次品}.1014152=⨯=P X P ==}3{{(前两次取到一只次品) (第3次取到一只次品)}=P {第3次取到一只次品|前两次取到一只次品}P ⨯{前两次取到一只次品}.102)42534352(31=⨯+⨯⨯=P X P ==}4{{(前3次取到一只次品) (第4次取到一只次品)}=P {第4次取到一只次品|前3次取到一只次品}P ⨯{前3次取到一只次品}.103)324253324253324352(21=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯=}4{}3{}2{1}5{=-=-=-==X P X P X P X P .10/4=得分布律为(2)以Y 表示所需测试的次数,则Y 的可能取值为2,3,4..10/1}2{}2{====X P Y P }3{=Y 表示“前3次取到都是正品”或“第二只次品在第3次取到”，故}3{}3{}3{=+==X P P Y P 次取到的都是正品前.103102314253=+⨯⨯1031011}3{}2{1}4{--==-=-==X P X P X P .Y 的分布律为11．向某一目标发射炮弹设炮弹弹着点目标的距离为R (单位:10m ),R 服从瑞利分布,其概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-.0,0,0,252)(25/2r r er r f r R 若弹着点离目标不超过5m 时,目标被摧毁.(1)求发射一枚炮弹能摧毁目标的概率.(2)为使至少有一枚炮弹能摧毁目标的概率不小于0.94,问最少需要独立发射多少枚炮弹.解(1)所求概率为⎰⎰-∞-==≤525/52252)(}5{dre r dr rf R P r R .632.01|1525/2=-==--e e r(2)设发射n 枚炮弹,则这n 枚炮弹都不能摧毁目标的概率为n)632.01(-,故至少有一枚炮弹能摧毁目标的概率为n )632.01(1--.按题意需求最小的n ,使得.94.0)632.01(1≥--n 即.81.2)368.0/(ln )06.0(ln ,06.0368.0=≥≤n n 故最少需要独立发射3枚炮弹.12．设一枚深水炸弹击沉一潜水艇的概率为31，击伤的概率为21，击不中的概率为61.并设击伤两次也会导致潜水艇下沉.求释放4枚深水炸弹能击沉潜水艇的概率.（提示：先求击不沉的概率.）解“击沉”的逆事件为事件“击不沉”，击不沉潜水艇仅出现于下述两种不相容的情况：（1）4枚深水炸弹全击不中潜水艇（这一事件记为A ），（2）一枚击伤潜水艇而另三枚击不中潜水艇（这一事件记为B ）.各枚炸弹袭击效果被认为是相互独立的.故有,61)(4⎪⎭⎫⎝⎛=A P ,612114)(3⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=B P （因击伤潜水艇的炸弹可以是4枚中的任一枚），又A ，B 是互不相容的，于是，击不沉潜艇的概率为.613)()()(4=+=B P A p B A P 因此，击沉潜艇的概率为.97989.06131)(14=-=-=B A P p 13．一盒中装有4只白球，8只黑球，从中取3只球，每次一只，作不放回抽样.（1）求第1次和第3次都取到白球的概率.（提示：考虑第2次的抽取.）（2）求在第1次取到白球的条件下，前3次都取到白球的概率.解以,1A ,2A 3A 分别表示1，2，3次取到白球.（1）)()()]([)(321321223131A A A P A A A P A A A A p A A P +== )()|()|()()|()|(112213112213A P A A P A A A P A P A A P A A A P +=.111124118103124113101=⨯⨯+⨯⨯=（2）124102113124)()()|(13211321⨯⨯==A P A A A P A A A A P .5531106==14．设元件的寿命T (以小时计)服从指数分布,分布函数为⎩⎨⎧≤>-=-.0,0,0,1)(03.0t t e t F t (1)已知元件至少工作了30小时,求它能再至少工作20小时的概率.(2)由3个独立工作的此种元件组成一个2/3][G 系统(参见第7题),求这一系统的寿命20>X 的概率.解(1)由指数分布的无记忆性(参见教材)1(第56页)知所求概率为}20{}30|50{>=>>=T P T T P p .5488.0)20(16.0==-=-e F (2)由第7题知2/3][G 系统的寿命20>X 的概率为.5730.0)23()1(3}20{232=-=+-=>p p p p p X P 15.(1)已知随机变量X 的概率密度为,,21)(+∞<<-∞=-x e x f xX 求X 的分布函数.(2)已知随机变量X 的分布函数为),(x F X 另外有随机变量⎩⎨⎧≤->=,0,1,0,1X X Y 试求Y 的分布律和分布函数.解(1)由于⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+∞<≤<<∞-=-.0,21,0,21)(x e x e x f x xX 当0<x 时,分布函数,212121)()(|x x x xx x X X e e dx e dx x f x F ====∞-∞-∞-⎰⎰当0≥x 时,分布函数.2112121212121)()(00x x xx x x X X e e dx e dx e dx x f x F ---∞-∞--=-+=+==⎰⎰⎰故所求分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<=-.0,211,021)(x e x e x F x xX (2),21)0(}0{}1{==≤=-=X F X P Y P .21211}1{1}1{=-=-=-==Y P Y P 分布律为分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤--<=.1,1,11,21,10)(y y y y F Y 16.(1)X 服从泊松分布,其分布律为,,2,1,0,!}{ ===-k k e k X P k λλ问当k 取何值时}{k X P =为最大.(2)X 服从二项分布,其分布律为.,2,1,0,)1(}{n k p p k n k X P kn k =-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-问当k 取何值时}{k X P =为最大.解(1)由λλλλ----⨯=-==ek k e k X P k X P k k 1)!1(!}1{}{⎪⎩⎪⎨⎧><===<>=,,1,,2,1,,1,,1λλλλk k k k k 当当当 知道,当λ<k 时,}{k X P =随k 增大而递增;当λ>k 时,}{k X P =随k 增大而递减.从而,若λ为正整数,则当λ=k 时,}1{}{-===λλX P X P 为概率的最大值,即当1-==λλk k 或时概率都取到最大值.若λ不是正整数,令的整数部分），是即λλ00]([k k =则,100+<<k k λ此时有},1{}{},{}1{0000+=>==<-=k X P k X P k X P k X P 因此不难推得]}[{}{0λ===X P k X P 为概率的最大值.(2)由⎪⎩⎪⎨⎧+><=+==+<>--++=---=-==,)1(,1,,2,1,)1(,1,)1(,1)1()1(1)1()1(}1{}{p n k nk p n k p n k p k k p n p k p k n k X P k X P 当当当 知道,当p n k )1(+<时,}{0k X P =随k 增大而递增;,当p n k )1(+>时,}{0k X P =随k 增大而递减.从而,若p n )1(+为正整数,则当p n k )1(+=时,}1)1({})1({-+==+=p n X P p n X P 为概率的最大值,即当1)1()1(-+=+=p n k p n k 或时概率都取到最大值.若p n )1(+不是正整数,令])1[(0p n k +=,则1)1(00+<+<k p n k ,此时有},{}1{00k X P k X P =<-=},1{}{00+=>=k X P k X P 不难推得]})1[({}{0p n X P k X P +===为概率的最大值.17..称X 服从取值为n ,,2,1 的离散型均匀分布.对于任意非负实数x ，记][x 为不超过x 的最大整数.记),1,0(~U U 证明1][+=nU X 服从取值为n ,,2,1 的离散型均匀分布.证对于,,,2,1n i =}1]{[}1]{[)(-===+==i nU P i nU P i X P .1}1{}1{nn i U n i P i nU i P =<≤-=<≤-=证毕.18.设),2,1(~-U X 求X Y =的概率密度.解X 的概率密度为⎩⎨⎧<<-=.,0,21,3/1)(其他x x f X 记X 的分布函数为).(x F X 先来求Y 的分布函数).(y F Y当0≤y 时,,0}{)(=≤=y Y P y F Y 当0>y 时,}{}{)(y X y P y X P y F Y ≤≤-=≤=).()(y F y F X X --=将)(y F Y 关于y 求导可得Y 的概率密度)(y f Y 如下:⎩⎨⎧>-+=.,0,0),()()(其他y y f y f y f X X Y 当10<<y 时,01<-<-y .因而,3/1)(,3/1)(=-=y f y f X X 此时.3/13/1)(+=y f Y 当21<<y 时,12-<-<-y .因而,0)(,3/1)(=-=y f y f X X 此时.3/1)(=y f Y 当2>y 时,,0)(,0)(=-=y f y f X X 因而.0)(=y f Y 故⎪⎩⎪⎨⎧<≤<<=.,0,21,3/1,10,3/2)(其他y y y f Y 19.设X 的概率密度⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∞<≤<≤<=.1,21,10,21,0,0)(2x xx x x f X 求XY 1=的概率密度.解因函数x x g y 1)(==严格单调减少,它的反函数.1)(yy h =当∞<<x 0时,∞<<y 0.由第二章)2(公式(2.1)得Y 的概率密度为⎩⎨⎧≤∞<<'⋅=.0,0,0,)()]([y y y h y h f f X Y⎪⎩⎪⎨⎧≤∞<<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=.0,0,0,112y y yy f X 因而⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∞<≤<<≤=.1,1)/1(121,110,121,0,0)(222y y y y y y y f Y 即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∞<≤≤<≤=.1,21,10,21,0,0)(2y y y y y f Y 本题X 和X1的概率密度相同.20.设随机变量X 服从以均值为λ1的指数分布.验证随机变量][X Y =服从以参数为λ--e1的几何分布.这一事实表明连续型随机变量的函数可以是离散型随机变量.解X 的概率密度为⎩⎨⎧>=-.,0,0,)(其他x e x f x X λλ，X 的值域为）（∞,0，故][X Y =的值域为},2,1,0{ ，Y 是离散型随机变量.对于任意非负整数y ，有}1{}]{[}{+<≤====y X y P y X P y Y P )1(1d +--+--==⎰y y y yx e e x e λλλλ 2,1,0,))(1(==--y e e y λλ－.2,1,0,))1(1)(1( =--=--y e e y λλ－这就是说Y 服从以λ--e1为参数的几何分布.这表示一个连续型随机变量经过变换变成了离散型随机变量.21.投掷一硬币直至正面出现为止,引入随机变量=X 投掷总次数.⎩⎨⎧=.,0,1若首次投掷得到反面若首次投掷得到正面，Y(1)求X 和Y 的联合分布律及边缘分布律.(2)求条件概率}.1|2{},1|1{====X Y P Y X P 解(1)Y 的可能值是0,1,X 的可能值是.,3,2,1 }1{}1|1{}1,1{======X P X Y P Y X P .2/12/11=⨯=(因1=X 必定首次得正面,故).1}1|1{===X Y P 若1>k ,}{}|1{}1,{k X P k X Y P Y k X P ======.0)2/1(0=⨯=k (因,1>=k X 首次得正面是不可能的,故).,3,2,0}|1{ ====k k X Y P }1{}1|0{}0,1{======X P X Y P Y X P 0)2/1(0=⨯=(因1=X 必须首次得正面,故).0}1|0{===X Y P 当1>k }{}|0{}0,{k X P k X Y P Y k X P ======,3,2),2/1(1=⨯=k k (因,1>=k X 必定首次得反面,故).1}|0{===k X Y P 综上,得),(Y X 的分布律及边缘分布律如下:(2).12/12/1}1{}1,1{}1|1{========Y P Y X P Y X P.0}1{}2,1{}1|2{=======X P Y X P X Y P 22.设随机变量),(~λπX 随机变量).2,max(X Y =试求X 和Y 的联合分布律及边缘分布律.解X 的分布律为.,2,1,0,!}{ ===-k k e k X P k λλX 的可能值是 ,2,1,0;Y 的可能值为.,4,3,2 }0{}0|2{}2,0{======X P X Y P Y X P .}0{1λ-==⋅=e X P }1{}1|2{}2,1{======X P X Y P Y X P .}1{1λλ-==⋅=e X P 2≥i 时}{}|{},{i X P i X j Y P j Y i X P ======,4,3,2,,0,,!},{0},{1=⎪⎩⎪⎨⎧≠==⎩⎨⎧≠=⋅==⋅=-j i j i j i e i j i X P i j i X P i λλ即得Y X ,的联合分布律及边缘分布律为23.设X ，Y 是相互独立的泊松随机变量，参数分别为,,21λλ求给定n Y X =+的条件下X 的条件分布.解}|{n Y X k X P =+=}{},{n Y X P n Y X k X P =+=+==}{},{n Y X P k n Y k X P =+-===独立性}{}{}{n Y X P k n Y P k X P =+-==1)(2121!)()!(!2121-+----⎦⎤⎢⎣⎡+-⋅=n e k n e k e n kn k λλλλλλλλn k n k k k n n )(!)!(!2121λλλλ+-=-.)(2122112121kn kn kn k k n k n --⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλλλλλλλλ这就是说给定n Y X =+的条件下X 的条件分布为以)/(,211λλλ+n 为参数的二项分布.24.一教授将两篇论文分别交给两个打字员打印.以X ，Y 分别表示第一篇第二篇论文的印刷错误.设),(~λπX ),(~μπY X ，Y 相互独立.（1）求X ，Y 的联合分布律；（2）求两篇论文总共至多1个错误的概率.解（1）X ，Y 的联合分布律为,!!!!},{)(y x e y e x e y Y x X P y x y x μλμλμλμλ+---=⋅===.,2,1,0, =y x (2)两篇论文总共至多1个错误的概率为})1{}0({}1{=+=+=≤+Y X Y X P Y X P }1,0{}0,1{}0,0{==+==+===Y X P Y X P Y X P ).1()()()()(μλμλμλμλμλμλ++=++=+-+-+-+-e e e e 25.一等边三角形ROT (如图15.25)的边长为1,在三角形内随机地取点),(Y X Q (意指随机点),(Y X 在三角形ROT 内均匀分布).(1)写出随机变量),(Y X 的概率密度.(2)求点Q 的底边OT 的距离的分布密度.解(1)因三角形ROT 的面积为4/3,故),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧--≤≤≤≤=.,0),130,303/4),(其他x y x y y x f （2）点),(Y X Q 到底边OT 的距离就是Y ,因而求Q 到OT 的距离的分布函数,就是求),(Y X 关于Y 的边缘分布函数,现在yo题15.25图,230,32134),()(3.13/<<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==⎰-y y dx y x f y f y y Y 从而⎪⎩⎪⎨⎧<<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=.,0,230,32134)(其他y y y f Y Y 的分布函数为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤-<=.23,1,230,3434,0,0)(2y y y y y y F Y 26.设随机变量),(Y X 具有概率密度⎩⎨⎧>>=+-.,0,0,0,),()1(其他y x xe y x f y x (1)求边缘概率密度).(),(y f x f Y X (2)求条件概率密度).|(),|(||x y f y x f X Y Y X 解(1)当0>x 时,,)()(0)1(x y y xy x y x X e e e dy xe x f -∞==--∞+-===⎰当0>y 时,dx xe y y xe dx xey f y x x x y x y x Y ⎰⎰∞+-∞==+-∞+-+++-==0)1(0)1(0)1(111)(.)1(1)1(22)1(+=+-=∞==+-y y xe x x y x 故边缘概率密度分别是⎩⎨⎧>=-.,0,0,)(其他x e x f x X ⎪⎩⎪⎨⎧>+=.,0,0,)1(1)(2其他y y y f Y (2)条件概率密度:当0>x 时,⎪⎩⎪⎨⎧>=-+-.,0,0,)|()1(|取其他值y y e xe x y f xy x X Y ⎩⎨⎧>=-.,0,0,取其他值y y xe xy 当0>y 时,⎪⎩⎪⎨⎧>+=+-.,0,0,)1/(1)|(2)1(|取其他值x x y xe y x f y x Y X ⎩⎨⎧>+=+-.,0,0,)1()1(2取其他值x x e y x y x 27.设有随机变量U 和V ，它们都仅取1，1-两个值．已知,2/1}1{==U P }.1|1{3/1}1|1{-=-=====U V P U V P (1)求U 和V 的联合分布密度.(2)求x 的方程02=++V Ux x 至少有一个实根的概率.(3)求x 的方程0)(2=+++++V U x V U x 至少有一个实根的概率.解(1).6/1)2/1)(3/1(}1{}1|1{}1,1{========U P U V P V U P }1{}1|1{}1,1{-=-=-==-=-=U P U V P V U P .6/1)2/1)(3/1(}]1{1[)3/1(===-⨯=U P }1{}1|1{}1,1{==-==-==U P U V P V U P .3/1)2/1)(3/2(}1{}]1|1{1[=====-=U P U V P }1{}1|1{}1,1{-=⋅-====-=U P U V P V U P .3/1)2/1()3/2(}1{}]1|1{1[=⨯=-=-=-=-=U P U V P V U ,的联合分布密度为UV-11-11/62/612/61/6xy题 15.30图(2)方程02=++V Ux x 当且仅当在042≥-=∆V U 时至少有一实根,因而所求的概率为.2/1}1{}04{}0{2=-==≥-=≥∆V P V U P P (3)方程0)(2=+++++V U x V U x 当且仅当在0)(4)(2≥+-+=∆V U V U 时至少有一实根,因而所求的概率为.6/5}1,1{}1,1{}1,1{}0{=-==+=-=+-=-==≥∆V U P V U P V U P P 28.某图书馆一天的读者人数)(~λπX ,任一读者借书的概率为p ,各读者借书与否相互独立.记一天读者借书的人数为Y ,求X 与Y 的联合分布律.解读者借书人数的可能值为}{}|{},{,,,2,1,0k X P k X i Y P i Y k X P X Y Y ======≤= =.,,2,1,2,1,!)1(k i k k e p p i k k i k i ==-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--λλ29.设随机变量X 和Y 相互独立,且都服从U (0,1),求两变量之一至少为另一变量之值两倍的概率.解按题意知,(X,Y )在区域:}10,10|),{(<<<<=y x y x G 服从均匀分布,其概率密度为其它10,10,0,1),(<<<<⎩⎨⎧=y x y x f 所求概率为}2{}2{Y X P X Y P p >+>==⎰⎰⎰⎰+12),(),(G G dxdyy x f dxdy y x f =G 1的面积+G 2的面积=1/2,G 1,G 2见图15.29.30.一家公司有一份保单招标，两家保险公司竞标.规定标书的保险费必须在20万元至22万元之间.若两份标书保险费相差2千或2千以上，招标公司将选择报价低者，否则就重新招标.设两家保险公司的报价是相互独立的，且都在20万至22万之间均匀分布.试求招标公司需重新招标的概率.解设以X ，Y 分别表示两家保险公司提出的保费.由假设X 和Y 的概率密度均为⎪⎩⎪⎨⎧<<=.,0,2220 ,21)(其他μμf 因X ，Y 相互独立，故),(Y X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<<<==.,0,2220 ,2220 ,41)()(),(其他y x y f x f y x f Y Xoy题15.29图按题意需求概率为}.2.0{≤-Y X P 画出区域：},2.0|),{(≤-Y X y x 以及矩形},2220 ,2220|),{(<<<<y x y x 如图15.30，它们公共部分的面积G 为G ＝正方形面积－2×三角形面积＝4-1.8×1.8＝0.76.所求概率＝.19.02276.0=⨯31.设),0(~),,0(~2221σσN Y N X 且Y X ,相互独立,求概率}20{2112σσσσ<-<Y X P .解因Y X ,独立,其线性组合Y X 12σσ-仍为正态变量,而)()()(1212=-=-Y E X E Y X E σσσσ22212122122)()()(σσσσσσ=+=-Y D X D Y X D 故).2,0(~222112σσσσN Y X -因而}20{2112σσσσ<-<Y X P =}202200{222121222112σσσσσσσσ-≤--<Y X P =5.0)2()0()22(222121-=-ΦΦσσσσΦ=4207.05.09207.0=-32.NBA 篮球赛中有这样的规律，两支实力相当的球队比赛时，每节主队得分与客队得分之差为正态随机变量，均值为1.5，方差为6，并且假设四节的比分差是相互独立的.问（1）主队胜的概率有多大？（2）在前半场主队落后5分的情况下，主队得胜的概率有多大？（3）在第1节主队赢5分得情况下，主队得胜的概率有多大？解以)4,3,2,1(=i X i 记主队在第i 节的得分与客队在第i 节的得分之差，则有),6,5.1(~N X i ).64,5.14(~41⨯⨯∑=N Xi i记Z 为标准正态随机变量.（1）⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯->⨯⨯=>∑∑==646645.14}0{4141－i i i i X P X P.7889.0}7224.1{=->=Z P （2）由独立性}5{}5|0{432141>+=-=>∑∑==X X P X X P i i i i }33{123562343>=⎭⎬⎫⎩⎨⎧->⨯-+=Z P X X P .8281.0}5577.0{=>=Z P （3）}05{}5|0{432141>+++==>∑=X X X P X XP i i}5{432->++=X X X P ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-->⨯-++=185.45635.4432X X X P .4987.0}239.2{}185.9{=->=->=Z P Z P 33.产品的某种性能指标的测量值X 是随机变量,设X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>=-其他．,0,0,)(221x xe x f x X 测量误差Y~U (εε,-),X ,Y 相互独立,求Z=X+Y 的概率密度)(z f Z ,并验证due Z P u⎰-=>εεε202/221}{解(1)Y 的概率密度为其他．，εεε<<-⎪⎩⎪⎨⎧=y y f Y ,0,21)(故Z =X+Y 的概率密度为⎰+∞∞--=dxx z f x f z f Y X Z )()()(仅当⎩⎨⎧<-<->εεx z x 0即⎩⎨⎧+<<->εεz x z x 0时，上述积分的被积函数不等于零,参考图15.33,即得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<-=⎰⎰+--+-其他，，，,0,21,21)(2212210εεεεεεεεz dx xe z dx xez f z z x z x Z题15.33图题 15.34 图=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥-<<--+---+-其他，，，,0],[21],1[21221221221))()(εεεεεεεεz e e z ez z z (2)⎰∞=>εεdzz f Z P Z )(}{=][21221221)()(⎰⎰∞+-∞---εεεεεdz e dz e z z ε21记成[Ⅰ+Ⅱ]其中Ⅰ=⎰⎰∞-∞--=-0),221221du euz eu dz z εεε令Ⅱ=⎰⎰∞-∞+--=+-εεεε2)(221221dueuz dzez 令于是εε21}{=>Z P [Ⅰ+Ⅱ]=⎰-εε2022121dueu 34.在一化学过程中，产品中有份额X 为杂质，而在杂质中有份额Y 是有害的，而其余部分不影响产品的质量.设)5.0,0(~),1.0,0(~U Y U X ，且X 和Y 相互独立，求产品中有害杂质份额Z 的概率密度.解因,XY Z =)5.0,0(~),1.0,0(~U Y U X 且X 和Y 相互独立，于是Z 的概率密度为,d )()(1)(21-x xz f x f x z f Z ⎰+∞∞=)1(*其中，⎩⎨⎧<<=. 0,0.1,0 ,10)(1其他x x f ，⎩⎨⎧<<=.0,0.5,0 ,2)(2其他x x f 易知仅当⎩⎨⎧<<<<0.5,00.1,0z/x x 即⎩⎨⎧<<<<,200.1,0x z x 时，)1(*中的被积函数不等于零，参考题15.34图，即得⎪⎩⎪⎨⎧<<⋅⋅=⎰.0, 0.05,0 ,d 1210)(1.02其他z x xz f z ⎪⎩⎪⎨⎧<<=.0, 0.05,0 ,ln 201.02其他z x zy题 15.35 图1⎩⎨⎧<<-=.0, 0.05,0 ),20ln(20其他z z 35.设随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧<<=-.0,,0,),(其他y x e y x f y (1)求),(Y X 的边缘概率密度.(2)问Y X ,是否相互独立.(3)求Y X ＋的概率密度).(z f Y X +(4)求条件概率密度).|(|y x f Y X (5)求条件概率}.5|3{<>Y X P (6)求条件概率}.5|3{=>Y X P 解（1）⎪⎩⎪⎨⎧>==⎰∞.0, 0,,d )(其他x e y e x f -x x -y X ⎪⎩⎪⎨⎧>==⎰.0, 0,,d )(0其他y ye x e y f -y y-y Y （2）Y X ,不是相互独立的.（3）⎰+∞∞-+-=.d ),()(y y y z f z f Y X 仅当,0y y z <-<即⎪⎩⎪⎨⎧<>>z y y zy 02时被积函数不为零.如图15.35图1，得⎪⎩⎪⎨⎧>-==⎰+.0, 0, ,d )(2/2/其他z e ey e z f -z -z zz -y Y X （4）对于,0>y ⎪⎩⎪⎨⎧<<==--. 0, ,0 ,1)|(|其他y x yye e y x f yyY X 即对于固定的)0(>y y X 的条件分布是区间),0(y 上的均匀分布.y 题 15.35 图2（5）如图15.35图2，条件概率为}5{}5,3{}5|3{<<>=<>Y P Y X P Y X P ,)d (d d 50⎰⎰⎰-=yy f xy e Y D y分子＝⎰⎰⎰=5355x 53d )(-e d d exx y x-y -y,e e 3)d e (-e 35535--+-=+⎰x -x -＝分母＝⎰⎰=5Y5d e (y)d y y y f -y x,1e 6d e e 5550+-=+-=⎰--y -yy y 故.82030.0}5|3{=<>Y X P （6）⎪⎩⎪⎨⎧<<=. 0, ,50 ,51)5|(|其他x x f Y X .52d 51}5|3{53===>⎰x Y X P 36.设图书馆的读者借阅甲种图书的概率为p ,借阅乙种图书的概率为α,设每人借阅甲、乙图书的行动相互独立，读者之间的行动也相互独立.(1)某天恰有n 个读者,求甲、乙两种图书中至少借阅一种的人数的数学期望.解(1)以X 表示某天读者中借阅甲种图书的人数，因各人借阅甲种图书的概率均为p ,且由题设各人是否借阅相互独立,故np X E p n b X =)(),,(~因此.(2)以A 表示事件“读者借阅甲种图书”,以B 表示事件“读者借阅乙种图书”,则就读者而言,有).()()()(AB P B P A P B A P -+= 借阅两种图书的行动相互独立,故ααp p B P A P B P A P B A P -+=-+=⋃)()()()()(.以Y 表示至少借阅一种图书的人数,由题设各人是否借阅相互独立,知),(~ααp p n b Y -+,故).()(ααp p n Y E -+=也可这样做.引入随机变量:⎩⎨⎧=.,0,,1种图书的任一种位读者不借阅甲、乙两若第两种图书的一种位读者至少借阅甲、乙若第i i Z i ni ,,2,1 =)()(][)(,111ααp p n Z E Z E Y E Z Y ni i n i i n i i -+====∑∑∑===.这里不需假设读者之间的行动相互独立.37.某种鸟在某时间区间],0(0t 下蛋数为1~5只,下r 只蛋的概率与r 成正比.一个收集鸟蛋的人在0t 时去收集鸟蛋,但他仅当鸟窝多于3只蛋时他从中取走一只蛋.在某处有这种鸟的鸟窝6个(每个鸟窝保存完好,各鸟窝中蛋的个数相互独立).(1)写出一个鸟窝中鸟蛋只数X 的分布率.(2)对于指定的一只鸟窝,求拾蛋人在该鸟窝中拾到一只蛋的概率.(3)求拾蛋人在6只鸟窝中拾到蛋的总数Y 的分布律及数学期望.(4)求}4{},4{><Y P Y P (5)当一个拾蛋人在这6只鸟窝中拾过蛋后,紧接着又有一个拾蛋人到这些鸟窝中拾蛋,也仅当鸟窝中多于3只蛋时,拾取一只蛋,求第二个拾蛋人拾得蛋数Z 的数学期望.解(1)设该中鸟在],0(0t 内下蛋数为X 按题意,5,4,3,2,1,}{===r Cr r X P 其中C 为待定常数.因∑===51,1}{r r X P 即有,11551==∑=C Cr r 所以15/1=C ,因此X 的分布律为.5,4,3,2,1,151}{===r r r X P (2)因当且仅当窝中蛋数多于3时,某人从中取走一只蛋,故拾蛋人在该窝中拾取一只蛋的概率为53155154}5{}4{}3{=+==+==>X P X P X P (3)记拾蛋人在6只鸟窝中拾到蛋的总数为Y ,则)53,6(~b Y ,故518)53(6)(=⨯=Y E (4)}6{}5{}4{1}4{=-=-=-=<Y P Y P Y P Y P =6524535253565253461⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0.456,(6)第2个拾蛋人仅当鸟窝中最初有5只蛋时,他才能从该窝中拾到一只蛋,故他在一个鸟窝中拾到一只蛋的为,31}5{===X P p 以Z 记第2个拾蛋人拾到蛋的总数,则),31,6(~b Z 故有2)31(6)(=⨯=Z E ．38.设袋中有r 只白球,r N -只黑球.在袋中取球)(r n n ≤次,每次任取一只做不放回抽样,以Y 表示取到白球的个数,求)(Y E .解引入随机变量i X :⎩⎨⎧=,,0,,1次取球得到不是白球若第次取到白球若第i i X i ,,,2,1n i =则n 次取球得到的白球数.21n X X X Y +++= 而的分布律为次取球得到白球第i i X Nri P X P ,}{}1{===.,,2,1n i =即知i X 的数学期望为NrX E i =)(.于是得Y 得数学期望为NnrN r n X E X E Y E ni i ni i =⨯===∑∑==11)()()(.本题也可按以下方式写出Y 的表达式,从而求得)(Y E ,将球编号,引入随机变量:i X ⎩⎨⎧=号白球未被取到若第号白球被取到若第i i X i ,0,,1ri ,,2,1 =则r X X X Y +++= 21.事件}1{=i X 发生,表示在袋中取球n 次,若每次任取一只不放回抽样时,第i 号白球被取到.因为事件}1{=i X 可以在第一次、第二次、…、第n 次取球,这n 种两两互不相容的情况发生,且每次取到第i 号白球的概率都是N1.因此r i NnN N N X P i ,,2,1,111}1{ ==+++==,这样N n X E i =)(,从而N nrX E Y E ri i ==∑=1)()(.39.抛一颗骰子直到所有点数全部出现为止,求所需投掷次数Y 的数学期望.解引入随机变量.6,5,4,3,2,1,=i X i 如下:,11=X ,,2待次数等待第二不同点所需等是第一点得到后X 3X 是第一、第二两点得到后,等待第三个不同点所需等待次数,654,,X X X 的意义类似.则所需投掷的总次数为621X X X Y +++= .因第一点得到后,掷一次得第二个不同的点的概率为65,因此2X 的分布律为,,2,1,)61(65}{12 ===-k k X P k 即2X 服从参数65=p 的几何分布,又因得到两个不同的点后,掷一次得第三个不相同点的概率为64,故3X 服从参数64=p 的几何分布,其分布律为,2,1,)62(64}{13===-k k X P k 同样,654,,X X X 的分布律分别为.,2,1,63(63}{14 ===-k k X P k .,2,1,64(62}{15 ===-k k X P k .,2,1,65(61}{16 ===-k k X P k 因几何分布 ,2,1,)1(}{1=-==-k p p k X P k 的数学期望为(参见第四章)2(习题选解19题)pX E 1)(=.所以∑∑==+==62161)()()()(i ii i X E X E X E Y E =7.141626364656[1=+++++．40.设随机变量Y X ,相互独立.且Y X ,分别服从以βα1,1为均值得指数分布.求).(2X Ye X E -+解)()()()(22X X e E Y E X E Ye X E --+=+dtee Y E X E X D ttαα-∞-⎰⋅⋅++=02)()]([)(⎰∞+-++=0)1(22111dte t ααβαα.)1(22++=αβαα41.一酒吧间柜台前有6张凳子,服务员预测,若两个陌生人进来就坐的话,他们之间至少相隔两张凳子.(1)若真有2个陌生人入内,他们随机地就坐,问服务员预言为真的概率是多少?(2)设2个顾客是随机坐的,求顾客之间凳子数的数学期望.解(1)将凳子按自左至右编号,设服务员预言为真.)(A 若第一顾客就坐于1号,则另一顾客可坐4或5或6号共三种坐法,)(B 若第一顾客就坐于2号,则另一顾客可坐在5或6号共两种坐法,)(C 若第一顾客就坐于6号,只有一种坐法.综合)(),(),(C B A 三种情况共计6种坐法.同样,若第一顾客分别就坐于6号,5号,4号,则另一顾客也有6种坐法,因此两人共有1226=⨯种坐法,若两人随机就坐共有3026=A 种坐法,故服务员预言为真的概率是523012==p ．(2)若两顾客是随机坐的,以Y 记两顾客间的凳子数,则Y 可能取的值为0,1,2,3,4.可知Y 的分布律为于是3415141523153215411550)(=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=Y E ．42.设随机变量10021,,,X X X 相互独立，且都服从),1,0(U 又设,10021X X X Y ⋅⋅⋅= 求概率}10{40-<Y P 的近似值.解所求概率为}.1.92ln {}10ln 40{ln }10ln 40{ln }10{1001100140-<=-<=-<=<=∑∏==-i i i i X P X P Y P Y P p 因n X X X ,,,21 相互独立且都服从),1,0(U 知n X X X ln ,,ln ,ln 21 也相互独立,且服从同一分布,又),1,0(~U X i 其概率密度为⎩⎨⎧<<=其他，,010,1)(x x f 故有.112)(,2d ln )(ln ,1d ln )(ln 1221=-===-==⎰⎰i i i X D x x X E x x X E 由中心极限定理得}1.92ln {1001-<=∑=i i X P p ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-<-⨯-=∑=11001001.921100)1(100ln 1001i i X P .7852.0)97.0()1001001.92(=Φ=+-Φ≈43.来自某个城市的长途电话呼叫的持续时间X (以分计)是一个随机变量,它的分布函数是⎪⎩⎪⎨⎧<≥--=--.0,0,0,e 21e 211)(]3[3x x x F x x(其中3[x是不大于3x的最大整数).(1)画出)(x F 的图形.(2)说明X 是什么类型的随机变量.(3)求}6{},4{},3{},4{>>==X P X P X P X P (提示)0()(}{--==a F a F a X P ).解(1)(2))(x F 的所有不连续点为),,2,1(3 =k k X 取这些值的概率的总和为∑∑∞=∞=--==11)]03()3([}3{k k k F k F k X P ∑∞=-----⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1)133(33]33[33e 21e 211e 21e 211i k k k k ∑∑∞=∞=---=-=-=111.21e )1e (21)e e (21i k k kk 注意到,在)(x F 的任一连续点a 处有;0}{==a X P 又由于∑∞===121}3{k k X P ,因此,不可能取到可列多个值,,,21 x x 使得∑∞===1,1}{k kx X P 故X 不是离散型随机变量.又由于)(x F 不是连续函数,故X也不是连续型随机变量.(3).0}4{==X P )03()3(}3{--==F F X P ⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-----)11(111e 21e 211e 21e 211.316.0)e 1(211=-=-.684.00e 21e 211}4{)4(}4{134=---==-=<--X P F X P.0.0.0.0.1题15.43图.135.0e 21e 2111)6(1}4{222==⎪⎭⎫⎝⎛---=-=>---e F X P 44.一汽车保险公司分析一组(250人)签约的客户中的赔付情况.据历史数据分析,在未来一周中一组客户中至少提出一项索赔的客户数X 占10%.写出X 的分布,并求12.0250⨯>X (即30>X )的概率.设各客户是否提出索赔相互独立.解按题意知)10.0,250(~b X .现在需要求∑=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=>2503125090.010.0250}30{x x x x X P 即需求∑=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=>30025090.010.02501}30{x xx x X P 由拉普拉斯定理得⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯⨯-Φ-≈>90.010.025010.0250301}30{X P .1469.08531.01)054.1(1=-=Φ-=45.在区间)1,0(随机地取一点X .定义}.75.0,min{X Y =(1)求随机变量Y 的值域.(2)求Y 的分布函数,并画出它的图形.(3)说明Y 不是连续型随机变量,Y 也不是离散型随机变量.解(1)因},75.0,min{X Y =故X Y ≤且.75.0≤Y 又由于X 的值域是)1,0(,知Y 的值域为]75.0,0(.(2)由(1)知当0<y 时,0}{)(=≤=y Y P y F Y 当75.0≥y 时,.1}{)(=≤=y Y P y F Y 当75.00<≤y 时,事件}{y Y ≤表示X 是在],0(y 随机取的一点.故有⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=75.0,175.00,0,0)(y y y y y F Y )(y F Y 的图形如题15.45图所示.(3)从题15.45图看出,)(y F Y 在点75.0=y 处不连续,故它不是连续型随机变量.)(y F Y 只有一个不连续点75.0=y .注意到在)(y F Y 的任一连续点a 处,有,0}{==a Y P 而在不连续点75.0=y 处,.01题15.45图。