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第四章圆与方程
本章教材分析
上一章,学生已经学习了直线与方程,知道在直角坐标系中,直线可以用方程表示,通过方程,可以研究直线间的位置关系、直线与直线的交点坐标、点到直线的距离等问题,对数形结合的思想方法有了初步体验.本章将在上章学习了直线与方程的基础上,学习在平面直角坐标系中建立圆的代数方程,运用代数方法研究点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系,了解空间直角坐标系,以便为今后的坐标法研究空间的几何对象奠定基础,这些知识是进一步学习圆锥曲线方程、导数和微积分的基础,在这个过程中进一步体会数形结合的思想,形成用代数方法解决几何问题的能力.
通过方程,研究直线与圆、圆与圆的位置关系是本章的重点内容之一,坐标法不仅是研究几何问题的重要方法,而且是一种广泛应用于其他领域的重要数学方法,通过坐标系把点和坐标、曲线和方程联系起来,实现了形和数的统一,因此在教学过程中,要始终贯穿坐标法这一重要思想,不怕反复.用坐标法解决几何问题时,先用坐标和方程表示相应的几何元素:点、直线、圆;然后对坐标和方程进行代数运算;最后把运算结果“翻译”成相应的几何结论.这就是坐标法解决几何问题的三步曲.坐标法还可以与平面几何中的综合方法、向量方法建立联系,同时可以推广到空间,解决立体几何问题.
本章教学时间约需9课时,具体分配如下(仅供参考):
§4.1 圆的方程
§4.1.1 圆的标准方程一、教材分析
在初中曾经学习过圆的有关知识,本节内容是在初中所学知识及前几节内容的基础上,进一步运用解析法研究圆的方程,它与其他图形的位置关系及其应用.同时,由于圆也是特殊的圆锥曲线,因此,学习了圆的方程,就为后面学习其他圆锥曲线的方程奠定了基础.也就是说,本节内容在教材体系中起到承上启下的作用,具有重要的地位,在许多实际问题中也有着广泛的应用.由于“圆的方程”一节内容的基础性和应用的广泛性,对圆的标准方程要求层次是“掌握”,为了激发学生的主体意识,教学生学会学习和学会创造,同时培养学生的应用意识,本节内容可采用“引导探究”型教学模式进行教学设计,所谓“引导探究”是教师把教学内容设计为若干问题,从而引导学生进行探究的课堂教学模式,教师在教学过程中,主要着眼于“引”,启发学生“探”,把“引”和“探”有机的结合起来.教师的每项教学措施,都是给学生创造一种思维情境,一种动脑、动手、动口并主动参与的学习机会,激发学生的求知欲,促使学生解决问题.
二、教学目标
1．知识与技能
（1）掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程.
（2）会用待定系数法求圆的标准方程.
2．过程与方法
进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题发现问题和解决问题的能力.
3．情感态度与价值观
通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴趣.
三、教学重点与难点
教学重点：圆的标准方程的推导过程和圆的标准方程特点的明确.
教学难点:会根据不同的已知条件,利用待定系数法求圆的标准方程.
四、课时安排
1课时
五、教学设计
（一）导入新课
思路1.课前准备：(用淀粉在一张白纸上画上海和山)
说明:在白纸上要表演的是一个小魔术,名称是《日出》,所以还缺少一个太阳,请学生帮助在白纸上画出太阳.要求其他学生在自己的脑海里也构画出自己的太阳.
课堂估计：一种是非尺规作图(指出数学作图的严谨性)；一种作出后有同学觉得不够美(点评:其实每个人心中都有一个自己的太阳,每个人都有自己的审美观点).
然后上升到数学层次：
不同的圆心和半径对应着不同的圆,进而对应着不同的圆的方程.
从用圆规作图复习初中所学圆的定义：到定点的距离等于定长的点的轨迹.
那么在给定圆心和半径的基础上,结合我们前面所学的直线方程的求解,应该如何建立圆的方程？教师板书本节课题:圆的标准方程.
思路2.同学们,我们知道直线可以用一个方程表示,那么,圆可以用一个方程表示吗？圆的方程怎样来求呢?这就是本堂课的主要内容,教师板书本节课题:圆的标准方程.
（二）推进新课、新知探究、提出问题
①已知两点A(2,-5),B(6,9),如何求它们之间的距离?若已知C(3,-8),D(x,y),又如何求它们之间的距离?
②具有什么性质的点的轨迹称为圆？
③图1中哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么性质？圆心和半径都反映了圆的什么特点？
图1
④我们知道,在平面直角坐标系中,确定一条直线的条件是两点或一点和倾斜角,
那么,决定圆的条件是什么?
⑤如果已知圆心坐标为C(a,b),圆的半径为r,我们如何写出圆的方程?
⑥圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时,圆的方程是什么？ 讨论结果：①根据两点之间的距离公式221221)()(y y x x -+-,得 |AB|=212)59()62(22=
++-, |CD|=22)8()3(++-y x .
②平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆,定点是圆心,定长是半径(教
师在黑板上画一个圆).
③圆心C 是定点,圆周上的点M 是动点,它们到圆心距离等于定长|MC|=r,圆心和
半径分别确定了圆的位置和大小.
④确定圆的条件是圆心和半径,只要圆心和半径确定了,那么圆的位置和大小就
确定了.
⑤确定圆的基本条件是圆心和半径,设圆的圆心坐标为C(a,b),半径为r(其中a 、
b 、r 都是常数,r ＞0).设M(x,y)为这个圆上任意一点,那么点M 满足的条件是(引导学
生自己列出)P={M||MA|=r},由两点间的距离公式让学生写出点M 适合的条件22)()(b y a x -+-=r.①
将上式两边平方得(x-a)2+(y-b)2=r 2
.
化简可得(x-a)2+(y-b)2=r 2.②
若点M(x,y)在圆上,由上述讨论可知,点M 的坐标满足方程②,反之若点M 的坐标
满足方程②,这就说明点M 与圆心C 的距离为r,即点M 在圆心为C 的圆上.方程②就
是圆心为C(a,b),半径长为r 的圆的方程,我们把它叫做圆的标准方程.
⑥这是二元二次方程,展开后没有xy 项,括号内变数x,y 的系数都是1.点(a,b)、
r 分别表示圆心的坐标和圆的半径.当圆心在原点即C(0,0)时,方程为x 2+y 2=r 2.
提出问题
